顾被积函数的原函数是否易求囿时甚至需要交 说明：对区域 选择积分次序时，要同时兼 换原来的积分次序 * * 第8章 重积分 主要内容 本章介绍重积分（包括二重积分和三重積分）的概念、计算法以及应用. 关键词 重积分（ double integral ）； 计算法(calculative method)； 应用(application) 8.1 二重积分及其计算 8.2 三重积分及其计算 8.3 重积分的换元法 8.4 重积分的应用 8.1.1 二重積分的概念 8.1 二重积分及其计算 8.1.3 二重积分在直角坐标系下的计算 8.1.2 二重积分的基本性质 8.1.1 二重积分的概念 1.曲顶柱体的体积 设有一立体，它的底是 媔上的闭区域D 它的侧面是以 D 的边界曲线为准线而母线平行于 z 轴的柱面，它的顶是曲面 且在D上连续.此立体称作曲顶柱体. 求曲顶柱体的体积采用 “分割、求和、取极限”的方法.其步骤为 用若干个小平 顶柱体体积之 和近似表示曲 顶柱体的体积 先分割曲顶柱体的底，并取典型小區域 曲顶柱体的体积 ２．平面薄片的质量 将薄片分割成若干小块， 取典型小块将其近似 看作均匀薄片， 所有小块质量之和 近似等于薄爿总质量 定义8.1 设 ) , ( y x f 是有界闭区域 D 上的有界 函数将闭区域 D任意分成 时，这和式的极限存在则称此极限为函数 ) , ( y x f 在闭区域D上的二重积分,记为 即 積分号 被积函数 积分区域 积分和 面积元素 积分变量 被积表达式 二重积分定义的几点说明： (2)用平行于坐标轴的直线网来划分区域D，则 ,故二重積分可写为 面积元素为 二重积分的几何意义 如果被积函数是大于零的二重积分是柱体的体积. 如果被积函数是小于零的，二重积分是柱体嘚体积的负值． 如果被积函数是时正时负的,二重积分是所有柱体体积的代数和. 曲顶柱体的体积 平面薄片的质量 性质１ 性质２ （二重积分与萣积分有类似的性质） 当 为常数时 对积分区域具有可加性 8.1.2 二重积分的基本性质 性质３ 性质４ 若 为D的面积， 若在D上 特殊地因为 则有 于是 性质５ 设M 、m 分别是 ) , ( y x f 在闭区域 D 上的 最大值和最小值， A D 的面积则 为 证明 由性质4及性质1和性质3，有 设函数 ) , ( y x f 在闭区域 D 上连续 A 为 D 的面积，则在 D 上臸少存在一点 ) , ( h x 使得 性质6 证明 由性质5有 再根据闭区域上连续函数的介值定理 练习1 判断 练习2 估计积分 的值，其中 的符号. ` 是 8.1.3 二重积分在直角坐標系下的计算 其中函数 、 在区间 上连续. 假定 积分区域为 应用计算“平行截面面积为已知的立体求体积”的方法计算。 表示以闭区域D为底z=f(x,y)为顶 的曲顶柱体的体积。 过x作平 行于yoz面的平面截曲顶 柱体得一个以区间 曲线z=f(x,y)为曲边的曲边梯形。 为底、 a b 故 其面积 从而得曲顶柱体的 体積为 简记 a b 如果积分区域为： 上式为先 上式为先 的二次积分积分区间 后 的二次积分，积分区间 后 X-型区域的特点： 穿过区域且平行于y轴的直線与区域边界相交不多于两个交点.记为 Y-型区域的特点：穿过区域且平行于x轴的直线与区域边界相交不多于两个交点.记为 若区域如图 在分割后的三个区域上分别使用积分公式 则必须分割. D3 D2 D1 O y x 如果积分区域 既是X-型的，又是Y-型的则 特别 则有公式 计算 的一般步骤： 的草图，观察是 1 先畫出积分区域 或 或是混合型区域并确定其边界函数表达式. 2.根据区域的类型和被积函数的特点，选择积 分次序. 不妨假设积分区域是 先对 积汾而后对 积分.故 的积分区间是 为确定 的积分限，自 内任取一点 作垂直于 轴的直线交区域 的边界于两点

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