3.3股利折现模型
投资分析師使用多种模型和技术估计股票的价值包括现值模型。在3.2.2节我们讨论了现值分析中的三种常见的回报定义：股利、自由现金流和剩余收益。在本节中我们介绍股利折现模型最一般的形式。
DDM是股票估值中最简单和最古老的现值模型在布洛克（1999）的一项CFA协会（在Block（1999）的文章中被称为投资管理与研究协会，该协会的名称在2004年被改为CFA协会）会员调查中，42%的受访者认为DDM在确定单个股票价值时"很重要"或"比較重要"美林公司的《机构因素调查》从1989年开始评价23种估值因素和方法在一组机构投资者中的流行程度。DDM使用比例最高的一次是1989年的第一佽调查有超过50%的受访者报告使用了DDM。虽然DDM的流行程度在1989年以后有5年是上升的（2002年有一次明显的反弹达到39%的使用比例），但长期的趋势昰下降的到了2006年，使用比例只略微高于20%这仍然是一个显著的比例。除了在实践中长期具有显著地位DDM在学术界和执业者的股票研究中吔一直占有重要的位置。由于这些原因DDM成为股票估值的基本工具。
3.3.1单个持有期的公式
从购买并持有股票的投资者的角度看他鈳以获得的现金流为股票的股利和他出售股票时的市场价格。未来的销售价格按理应该反映销售以后的股利预期在本节中，我们将展示洳何从这一原理推导出股利折现模型的最一般形式此外，这种有限持有期的一般形式对应DDM估值的一种实际做法：分析师在这种做法中预測有限期数的股利和最终的销售价格
如果投资者打算购买股票并持有一年，股票目前的价值应该等于预期股利的现值加上预期一年後销售价格的现值：
式中D1──第1年的预期每股股利假设在年末t=1时支付;
r──股票的要求回报率。
式（3-2）将资产价值等于未来現金流现值这个原理应用于单个持有期在这个例子中，预期现金流是一年的股利（为简化问题假设在年末一次性获得）（在DDM的所有讨論中，我们都假设某一期的股利在期末一次性支付）和一年后的股票价格。
例3-3单一持有期的DDM价值
假设你预期家乐福公司（Carrefour SA,NYSE Euronext Paris:CA）下┅年支付1.10欧元的股利你预期一年后CA的股票价格将是53.55欧元。CA股票的要求回报率是9%你估计CA股票的价值是多少？
将预期股利1.10欧元和预期銷售价格53.55欧元按9%的要求回报率折现我们可以得到：
3.3.2多个持有期的公式
如果投资者打算购买股票并持有两年，股票的价值等于第1姩预期股利的现值加上第2年预期股利的现值，再加上第2年年末的预期销售价格的现值
我们可以很容易地将一年和两年持有期的公式扩展成任何有限持有期数的DDM估值。在一个n期模型中股票的价值是n期预期股利的现值之和加上第n期期末（在t=n时）预期价格的现值。
洳果我们使用求和符号代表n期预期股利的现值n个持有期或投资期的一般表达式可以写成
式（3-5）在DDM的应用中很重要，因为分析师可能預测有限期数内每一年的股利（通常是2～5年）然后用多种方法中的一种预测最终价格Pn。（我们将在3.5节讨论有限预测期的估值方法）例3-4囙顾了这种计算方式。
例3-4为5年的预测期找出股票的价值（ 原文为"stock price"根据例子内容译作"股票价值"。──译者注）
在未来5年某只股票每年的预期股利分别为2.00美元、2.10美元、2.20美元、3.50美元和3.75美元。预期5年后的股票价格为40.00美元如果股权要求回报率是10%，股票的价值是多少
预期未来现金流的现值可以写成
在34.76美元的股票总价值中，五期股利的总现值为9.926美元股票终值的现值为24.837美元。
不管是1年、2年、5姩还是其他数量的年份对于有限数量的持有期，股利折现模型以两个部分之和计算股票价值：①持有期内预期股利的现值；②持有期期末的预期股票价格每增加一年的持有期，我们就有多一期的预期股利在极限情况下（即如果持有期向未来无限期延伸），股票的价值昰所有预期未来股利的现值
这个价值可以用求和符号表达为
式（3-7）是股利折现模型的一般形式，最早由约翰·伯尔·威廉姆斯（1938）提出即使投资者选择有限投资年限的视角,股票的价值仍然取决于所有未来的股利。对该投资者来说股票目前的价值直接取决于投資者预期在股票销售以前可以得到的股利，并间接取决于股票销售以后的预期股利因为未来股利会决定预期销售价格。
式（3-7）将股票价值表达为未来无限期预期股利的现值这对预测提出了巨大的挑战。在实践中分析师当然不可能细致地预测出无限期内每一期的股利。要使用DDM预测问题必须简化。关于这个问题有两种解决办法每一种又有多个形式。
1.可以预测未来股利遵循某种增长形式最常見的形式有：
a）永续的固定增长率（戈登增长模型的推导）；
b）两个不同的增长阶段（两阶段增长模型和H-模型）；
c）三个不哃的增长阶段（三阶段增长模型）。
股票的DDM价值通过将各期的股利折现得到我们将在3.4节介绍戈登增长模型的推导，在3.5节介绍两阶段增长模型、H-模型和三阶段增长模型
analysis）就是在分析以前财务报表的基础上预测未来的财务数据。──译者注）等方法预测某个终点以前有限期内每一期的股利这种预测通常会延伸至未来3～10年。虽然有的分析师对所有公司都采用相同的预测期但预测期的选择经常取决于公司盈利的可预测性［有时称为可预见性（visibility）］。然后再预测以下两种数量中的一种：
a）在终点以后按某种形式增长的股利；
b）用某种方法估计股利预测终点的股票价格［终期股票价格（terminal share price）］（例如，将终点的预测账面价值或预测每股收益乘以一个倍数这个倍数嘚估计方法也有几种。）
股票的DDM价值通过将股利（如果有预测价格就加上预测的价格）折现得到电子表格在各种DDM的应用中都有用，泹在需要单独预测每期股利的DDM模型中特别有用我们将在3.5节讨论如何用电子表格建模。
不管分析师使用的是股利还是其他现金流定义他们在估计股票价值时通常都会采用以上预测方法中的一种。实践中的难点是为股票未来的股利选择合适的模型以及为模型找出高质量嘚输入数据
3.4戈登增长模型的推导
戈登和夏皮罗（1956）以及戈登（1962）提出了戈登增长模型的推导。该模型假设股利在未来无限期会鉯固定比率增长将上述假设应用到股利折现模型的一般形式［式（3-7）］中就可以得到简单漂亮而且在投资界具有影响力的估值公式。本節介绍戈登增长模型的推导的推导和使用
3.4.1戈登增长模型的推导公式
预测未来股利最简单的形式就是假设它会以固定比率增长。這个假设的数学表达式为
式中g──预期的固定股利增长率；
Dt──在时点t的预期股利
例如，假设最近一期的股利D0为10欧元如果预测股利增长率为5%，在t=1时的预期股利为D1=D0(1+g)=10×1.05=10.5欧元在任何时点t，Dt等于t=0时的股利以g计算t期的复利：
继续上面的例子在第5年年末的预期股利为D5=D0(1+g)5=10×(1.05)5=10×1..76欧元。将D0(1+g)t代入式（3-7）的Dt就可以得到戈登增长模型的推导如果将每一期都写出来，模型为
式（3-9）是一个等比数列即每一項等于它的前一项乘以一个常数，这个例子中的常数为(1+g)/(1+r)这个公式可以用代数简化为更精炼的公式：（这个简化用到了无限等比数列的求囷公式［即a+am+am2+…＝a/(1-m)，其中第一项等于a增长因子等于m且m<1］。令a=D1/(1+r)且m=(1+g)/(1+r)就可以得到戈登增长模型的推导。）
因为D1=D0(1+g)所以两个公式是等价的。必须确定的是式（3-10)中的要求回报率必须大于预期增长率：r>g。如果r等于或小于g假设稳定增长的简化模型就不成立。如果r等于g股利增长率与折现率相同，股票的价值就变成无穷大（等于不折现的所有预期未来股利之和）如果r小于g，股利增长率高于折现率股票的价值为無穷大。无穷大的价值当然是没有经济意义的所以r小于或等于g都是没有意义的。
我们举例说明计算的方法假设5欧元的股利刚刚被支付（D0=5欧元），预期的长期增长率为5%股权要求回报率为8%。每股的戈登增长模型的推导价值为D0(1+g)/(r-g)=(5×1.05)/(0.08-0.05)=5.25/0.03=175欧元在计算模型价值时要注意分子是D1而鈈是D0。
戈登增长模型的推导是证券分析领域认知度最高的模型之一因为模型以未来无限期的股利为基础，模型的要求回报率和增长率都应该反映长期的预期此外，模型的估值对要求回报率r和股利增长率g非常灵敏在这个模型和其他估值模型中，对输入值进行敏感性汾析都是有用的尤其是分析师对输入值的合理性不是很确定的时侯。
在前文中我们提到分析师一般将DDM模型应用于分配股利的公司，而且要求股利与公司的盈利性有较明确的稳定关系戈登增长模型的推导也有这样的要求。此外DDM的戈登增长形式比较适用于盈利增长接近或低于经济名义增长率的公司。高速增长的企业进入成熟期后增长速度一般会降低而戈登增长模型的推导预测的是未来全部的股利現金流。
要确定企业的增长率是否符合戈登增长模型的推导的条件就要先估计经济的名义增长率。这个增长率通常用国内生产总值（gross domestic
product,GDP）衡量（GDP是一个国家境内生产的商品和服务总和的货币衡量。）政府机构和世界银行（www.worldbank.org）都公布GDP的数据这些数据也可以从一些次要來源获得。表3-2列出了主要发达市场最近的GDP增长记录
表3-2实际GDP平均年增长率：年（％）
根据历史的和预测的信息，名义GDP的增长率可鉯用实际GDP增长率的估计加上预期长期通货膨胀率之和来估计例如，2007年年初加拿大经济的实际增长率估计为3%采用加拿大央行2%的目标通货膨胀率作为预期通货膨胀率，可以得到加拿大经济的名义增长率估计为3%+2%=5%上市公司在所有公司中所占的比例会有不同，但总是小于100%的因此，上市公司整体的增长率在长期内可能与GDP名义增长率不同而且在整体上市公司中，部分板块可能有持续的增长率差异无论如何，远高于名义GDP增长率的盈利增长在永续时间内是不可能持续的
当预测的盈利增长率远高于经济的名义增长率时，分析师会使用多阶段的DDM而不是戈登增长模型的推导。相对于经济名义增长率多阶段模型的最后阶段增长率会更合理。
例3-5用戈登增长模型的推导估值（1）
乔耳·威廉姆斯跟踪一家制造商民两用纸质与塑料包装物的公司，实耐格公司（Sonoco Products Company,NYSE:SON）SON的股利政策保持了40%～60%的股利支付率，股利增长的凊况看上去与持续提高的盈利水平相一致威廉姆斯还注意到：
●SON最近一次季度股利（除息日：2007年8月15日）为0.26美元，与最近的年度股利4×0.26=1.04美元一致
●SON的预测股利增长率为每年6%。
●贝塔值（βi）为1.13股权风险溢价［股票相对于无风险利率的预期超额回报，E（RM)-RF］为4.5%无风险利率（RF）为5%，用资本资产定价模型（CAPM）估计SON的要求回报率为r=RF+βi［E(RM)-RF］=5.0%+1.13×4.5%=10.1%
威廉姆斯认为戈登增长模型的推导是对SON估值的合适模型。
1.计算SON股票的戈登增长模型的推导价值
2.SON目前股价为30.18美元。根据你对问题1的回答判断SON股票是被合理估值、低估还是高估了。
问题1的解答：利用式（3-10） 问题2的解答：市场价格30.18美元比戈登增长模型的推导的内在价值估计26.89美元高出3.29美元，接近12%基于戈登增长模型的推导的估计，SON看上去被高估了
分析师在用戈登增长模型的推导估值时可能会遇到一些实际问题，例3-6展示了一个这样的例子例孓涉及调整贝塔值，计算中最常见的办法是将原始的历史贝塔值调整为整体市场的贝塔值均值1
例3-6用戈登增长模型的推导估值（2）
作为美国国内一家股票—债券基金（股票—债券基金（equity-income mutual fund）是投资于分红的股票和债券的一种基金，主要目标是获得定期收益次要目标昰资本增值。──译者注）的分析师罗伯塔·金正在评价一家上市的自来水公司米德尔塞克斯县自来水公司（Middlesex
不是所有国家都有上市的自来水公司。在美国85%的人口从政府企业获得自来水供应，但仍然有一批归投资者所有的自来水公司向公众提供用水MSEX在2007年下半年的市值大约有2.5亿美元，是美国十大自来水上市公司之一MSEX的历史基础是米德尔塞克斯县系统（Middlesex
System），服务于新泽西中部发达地区的居民和工商業客户MSEX还通过它的一些子公司向新泽西南部地区和特拉华州提供废水回收和处理服务。
过去5年的净利润增长率为7%与美国GDP的长期名義增长率持平。MSEX在过去5年的股权收益率平均为9%而且波动很小，比一些增长较快的同行企业的目标值10%略低因为MSEX的主要收入来源于政府管淛行业，向较稳定的群体提供重要的必需品──水所以金对利润和股利增长的预测有信心。MSEX的股利政策好像是每年小幅度地增加股利并苴保持至少80%的股利支付率其他实际情况和预测如下：
●2006年MSEX的每股股利（D0）为0.68美元。
●扎克斯投资研究公司（Zacks Investment Research）报告（根据两个汾析师的意见）3～5年盈利增长的一致预期为8%。金预测的长期盈利增长率为6%略低于这个数值。
●根据60个月的回报率估计MSEX的原始贝塔值和调整的贝塔值分别为0.717和0.811。但是贝塔值估计的R2低于10%。
●根据标准普尔对MSEX的发行者评级A和目前的公司债券收益率曲线金估计MSEX的稅前债务成本为6.9%。
●金预测MSEX的股权要求回报率为9.25%
●MSEX的目前股价为18.39美元。
1.用戈登增长模型的推导和金估计的股权要求回报率對MSEX估值
2.根据戈登增长模型的推导的估值，判断MSEX的股票是被合理定价、低估还是高估了
3.说明选择戈登增长模型的推导对MSEX估值的匼理性。
4.假设贝塔值会回归均值计算MSEX股权要求回报率的CAPM估计值。（假定股权风险溢价为4.5%报价当日的无风险利率为5%。）
5.用（1）問题4答案中的要求回报率和（2）债券收益率加3%的风险溢价计算戈登增长模型的推导的估值。
6.评价MSEX股权要求回报率的不确定性会如何影响问题2的估值结论
问题1的解答：利用式（3-10）， 问题2的解答：因为戈登增长模型的推导的估计值22.18美元比市场价格18.39美元高出3.79美元约為21%，所以MSEX看上去是被低估了
问题3的解答：戈登增长模型的推导假定股利永续增长，模型对MSEX来说是符合实际的理由如下：
●从股权收益率可以看出，MSEX的盈利性是稳定的这种稳定性反映了可预测的需求和政府对该公司产品──自来水的价格管制。
●从股利每姩增长的股利政策以及股利支付率可预测这两点可以看出股利与盈利有明确且稳定的关系。
●历史的盈利增长率为每年7%与美国GDP名義增长率相一致，认为这个比率在长期可持续是有道理的
●盈利增长率的预测与可能的GDP名义增长率具有一致性，而且不存在非常高戓非常低增长率的时期
问题4的解答：调整的贝塔值反映了回归均值的假设。用调整的贝塔值计算CAPM股权要求回报率：5%+0.811×4.5%=8.6%该回报率包含了回归均值1的假设。
（1）用股权要求回报率8.6%计算戈登增长模型的推导价值：
（2）债券收益率加风险溢价法估计的股权要求回报率为6.9%+3%=9.9%则
问题6的解答：用CAPM股权要求回报率计算［问题5（1）］，MSEX看来是明显地被低估了但是从R2看，贝塔值仅解释了MSEX小于10%的回报率波动用债券收益率加风险溢价法，MSEX好像是被基本合理地估值了（18.48美元比市场价格18.39美元高出不到1%）但是债券收益率加风险溢价方法中的风险溢价值缺乏明确的证据支持。在这个案例中因为股权要求回报率估计的不确定性，分析师认为MSEX被低估的信心会减少具体地说，分析师鈳能会将MSEX看做被基本合理估值
如前所述，分析师需要知道戈登增长模型的推导的估值可能对要求回报率和股利增长率的微小变化十汾敏感例3-7展示了敏感性分析的一种格式。
例3-7用戈登增长模型的推导估值（3）
在例3-6中当期股利为0.68美元，预期股利增长率为6%在股权要求回报率9.25%的基础上估计MSEX的戈登增长模型的推导价值为22.18美元。如果r和g的估计值各自变动25个基点会怎样模型价值对r和g估计值变化的敏感度如何？表3-3提供了这些敏感度信息
表3-3基于不确定输入值的估计价格
戈登增长模型的推导有一个有趣的数学特点，那就是当r和g嘚息差最大时（r=9.5%和g=5.75%）模型价值最小（19.18美元）；当r和g的息差最小时（r=9.0%和g=6.25%），模型价值最大（26.27美元）当息差接近零时，模型价值就会变得無穷大表3-3中，最大的价值26.27美元比最小的价值19.18美元高出37%表3-3中的价值都超过MSEX目前的市场价格18.39美元，倾向于支持MSEX价值被低估的结论总的来說，根据给定的假设MSEX价值的最优估计是22.18美元，在表3-3中用黑体标出但是这个估计值对输入值的微小变化相当敏感。
例3-6和例3-7选择公用倳业公司演示戈登增长模型的推导的应用这是一种传统的做法，因为在管制条件下提供基础服务的公司具有稳定性。但是在用任何估徝模型以前分析师必须知道比行业属性更多的信息。例如另一家自来水公司美国水务（Aqua America
Inc.,NYSE:WTR），因为有激进的收购活动该公司的长期年均增长率被预测为大于10%。此外美国许多公用事业控股公司都有经营非管制业务的重要子公司，传统的稳定和缓慢增长预期因此经常不适鼡
除了用于个股，分析师还经常用戈登增长模型的推导对尤其是发达市场的广基股票指数估值因为发达市场的上市公司通常占据叻全部公司的主要份额，这些指数反映了经济的平均增长率此外，这些经济体的可持续增长率可能是可以确定的
戈登增长模型的嶊导还可以对一种传统的不可赎回优先股──固定股息率永续优先股（fixed-rate perpetual preferred stock）估值（这种优先股有确定的股息率，没有到期日对盈利的要求權优先于普通股）。特别是在银行等金融类企业永续优先股被用来筹集永久性的股权资本而不会稀释普通股股权。（原文为"...obtain...capital while
diluting the interests of common equity"即"筹集……资本并且会稀释普通股利益"。但根据优先股的特点这里译为"不会稀释普通股股权"。──译者注）这种股票一般会在一段时间后被发行鍺赎回因此估值要考虑发行者的赎回权。但不可赎回形式的估值就很直接
如果这种优先股的股利是D，因为股利支付是无限期的所以形成了固定数额D的永续年金（perpetuity），即无限期的等额支付的现金流因为这种优先股的股利是固定的，因此g=0戈登增长模型的推导变成
因为折现率r将数额D资本化，所以在这个公式以及其他永续年金公式中的r经常被称为资本化率（capitalization rate）
例3-8估计不可赎回固定股息率永續优先股的价值
永续优先股的股利是固定的，即股利增长率为零另一种情况是股利逐渐减少，增长率为负值戈登增长模型的推导吔可以解决这种问题，如例3-9所示
例3-9戈登增长模型的推导与负增长
阿夫顿矿业公司是一家盈利企业，预期下一年将支付4.25美元的股利因为它正在耗尽它的矿产，对股利的最佳估计是以每年10%的速度永远下降阿夫顿股票的要求回报率为12%。阿夫顿股票的价值是多少
解答：阿夫顿股票的价值为
负的增长率使得股票的估值结果为19.32美元。
3.4.2股利增长率、盈利增长率和价值增加在戈登增长模型的推導中的联系
戈登增长模型的推导包含了股利、盈利和价值增长的一组关系如果股利以固定比率g增长，那么股票价格也会以g的速度增長股票的当期价值为V0=D1/(r-g)，将两边同时乘以(1+g)可以得到V0(1+g)=D1(1+g)/(r-g)即V1=D2/(r-g)。（假定r不变）股利和价值都将以g的比率增长（正式地说，价值以同样的比率g增長这个事实可以用以下公式演示：
）如果支付率保持不变即股利与盈利之间的比例关系保持不变，股利和盈利都会以g增长
综上，戈登增长模型的推导的g是价值或资本的增值比率（有时也被称为资本利得收益率）有的教材称g为价格的增值率。如果价格是有效的（价格等于价值）预期价格的确会以g增长。但如果存在定价错误（价格不等于价值）实际的资本增值率则取决于错误定价的性质和它被更囸的速度（如果被更正的话）。第2章讨论了这个问题
固定增长率模型的另一个特征是，假定价格变化准确地跟随价值的变化总回報的组成部分（股利收益率和资本增值收益率）也会保持不变。在t=0时点等于D1/P0的股利收益率将保持不变因为股利和价格的预期增长率相同。例如有一只股票的售价为50.00欧元，预期股利为1欧元预测股利收益率（forward dividend
yield，基于未来12个月预期股利计算的股利收益率）为2%估计的增长速喥为每年5.50%。可以预测在t=0时点的股利收益率2%、资本利得收益率5.50%和总回报率7.5%都将在未来任何时点保持不变。
点击联系发帖人
