首先介绍定义雅克比A矩阵T是一阶偏导数以一定的方式排列成的A矩阵T，当其实方阵时行列式称为雅克比行列式。设有m个n元函数组成的函数组：称之为函数组。我们对这个函数组取一阶导数获得下面的雅克比A矩阵T：

如果m=n，那么J就是一个方阵於是我们就得到对应的雅克比行列式：

首先讨论雅克比A矩阵T，凡是A矩阵T都可以看做是一个线性空间之间的转换工具这里也不例外，我们將雅克比A矩阵T看做是将点转化到点或者说是从一个n维的欧式空间转换到m维的欧氏空间。这里需要强调的是不要和hessian 阵混合后者也是梯度A矩阵T，针对的是多元函数的二阶偏导数构成的方块阵

下面介绍雅克比A矩阵T和雅克比行列式的数学和物理意义。

Eg1.雅克比A矩阵T可以用来体现┅个可微方程与给定的某个点的最佳线性逼近也可以理解为某点的一阶展开，因为雅克比A矩阵T类似多元函数的导数只是这里的函数是函数组。雅克比A矩阵T的第i行的转置就是函数yi的梯度例如在某点p处可微，那么我们将有

   球坐标与直角坐标的变换公式如下：

    实现了将球涳间转化为笛卡尔空间。我们得到的雅克比A矩阵T是

    这个需要强调的是在这个例子中雅克比A矩阵T更加准确的体现的是其微分形式反应了原始空间微小变化引发的值域空间的变化的敏感度。

Eg3. 雅克比行列式的性质雅克比行列式可以看做是空间的坐标变换时对应的面积（或者体積）元素的伸缩系数

     在应用到多重积分的变量替换是最常用到的。例如对于二重积分：

在这里。我们做这么麻烦的转化只是为了将来的運算方便一种情况是在x，y不好运算比如我们用极坐标运算来代替直角坐标运算。第二种是x，y的运算未知而我们已   经知道了u，v的运算以及两者之间转换关系

    总之，雅克比行列式表示不同坐标下的转换尺度