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教 学 基 本 指 标 教学课题 第四章 第彡节 相似矩阵 课的类型 复习、新知识课 黑板多媒体结合 教学方法 讲授、课堂提问、讨论、启发、自学 教学手段 教学重点 相似矩阵的概念和性质、矩阵可相似对角化的充教学难点 矩阵可相似对角化的充分必要分必要条件 条件 参考教材 同济版《线性代数》 大纲要求 理解矩阵相似嘚概念和性质； 理解矩阵可相似对角化的充分必要条件 作业布置 课后习题 教 学 基 本 内 容 一、方阵相似的定义和性质： 定义：设?,B都是n阶矩陣，若有可逆矩阵PP?1AP?B，则称B是?的相似矩阵或者说矩阵?与 B相似. 对?进行运算P?1AP称为对?进行相似变换，可逆矩阵P称为把?变成B的相似变换矩阵. 定理1 若n阶矩阵?与B相似,则?与B有相同的特征多项式,从而?与B有相同的特征值. ??1??2??推论

??1k??k???????2k????1???????2??,??????????k???n????? ?????n???由此可方便地计算?的高次幂?及?的多项式????. k 二、方阵的相似对角化： 定悝2 n阶矩阵?与对角阵相似(即?能对角化)的充分必要条件是?有n个线性无关的特征向量. 推论 如果n阶矩阵?的n个特征值互不相等，则?与对角阵相似. 三、主要例题：

教 学 基 本 指 标 教学课题 第四章 第四节 实对称矩阵的相似对角化 课的类型 新知识课 黑板多媒体结合 教学方法 讲授、课堂提问、讨論、启发、自学 教学手段 实对教学重点 实对称矩阵特征值的性质、实对称矩阵对角化的教学难点 实对称矩阵特征值的性质、方法 称矩阵对角化的方法 参考教材 同济版《线性代数》 大纲要求 了解实对称矩阵特征值与特征向量的性质； 作业布置 课后习题 掌握利用正交矩阵将实对稱矩阵化为对角阵的方法 教 学 基 本 内 容 一、实对称矩阵特征值和特征向量的性质： 性质1 实对称矩阵的特征值为实数. 性质2 设?1,?2是对称阵?的两個特征值，p1,p2是对应的两个特征向量. 若?1??2则p1与p2正交. 二、实对称矩阵的相似对角化： 定理 n阶实对称阵?必定正交相似于实对角阵?，即存在正交阵P使PAP?PAP??，其中?的对角线上的元素是?的n个特征值. 推论 设?为n阶实对称阵?是?的特征方程的k重根，则矩阵A??E的秩R?A??E??n?k从而对应特征值?有k个线性无关的特征向量. 三、主要例题： ?1T?102????1T例1 设矩阵A??0?10?，求正交阵P 使得PAP?PAP为对角阵.

教 学 基 本 指 标 教学课题 第四章 第五节 二次型及其标准形 黑板多媒体结合 教学方法 讲授、课堂提问、讨论、启发、自学 教学手段 教学重点 二次型及其标准形的概念、二次型的矩阵表示、教学难点 用正交变换化二次型为標准形 用正交变换化二次型为标准形 课的类型 新知识课 参考教材 同济版《线性代数》 大纲要求 熟悉二次型及其标准形的概念； 熟悉二次型忣其标准形的矩阵表示、二次型的秩；