CS欧贝利斯克的巨神兵兵导弹防御没用吗
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时间：2018-08-23 03:23
问一下 除了破灭 打这个巨神兵还可以用什么【反恐精英ol吧】_百度贴吧
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问一下 除了破灭 打这个巨神兵还可以用什么
朱雀无双黑海红鲨
朱雀无双输出都不比破灭慢
朱雀，无双
狼魂就行，输出1200K+的都能用
朱雀无双。
朱雀无双斩魂天龙
但是保命还是破灭最强
天龙吊 龙蛋伤害全吃
绷带狙机关枪
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保存至快速回贴奥西里斯的天空龙，巨神兵，拉的翼神，还有多少人记得？【反恐精英ol吧】_百度贴吧
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奥西里斯的天空龙，巨神兵，拉的翼神，还有多少人记得？
他们三个，谁更厉害？
巨神兵，楚轩说的
神兵，血攻都4000+
修特姆贝洛克的黄金城
这三个东西只让我想起了无限恐怖
虽然这里是CSOL吧，但我还是回答你吧天空龙攻击按手牌算，1张+1000，有无限手札这张魔法卡才牛B巨神兵攻防固定4000，一般一般拉翼神龙攻击按3头献祭怪兽总和算，如果3头白龙的话也无法过万基本拉翼神龙占优势
光之创造神最厉害
真红眼黑龙
黑暗大法师
黑暗大法师
大法师最厉害
个人喜欢巨神
回复9楼：貌似巨神兵一个效果可以短暂提升攻击力至无限大的吧？
12 13 14太有默契了~.
卡多 天空龙nb 神兵稳定 , 翼神龙看祭品.
光之创造神可是三神兽的融合！
我记得有个叫黑暗大法师吧，无限攻无限防的
貌似他们融合是光之创造神吗？
什么会聚了3个什么什么的力量的究极啥的
好像有张叫胜利勋章什么的,出来直接赢
三张都是神族吧。
巨神兵用2头怪物做牺牲可以无限大
索克秒杀一切 前面JJ都变成龙头了
三幻神融合
无限大~~~奥西里斯天空龙
X根据手牌数量决定拉的翼神 ？？？？巨神兵
无限攻防是不是要拿满封印合起来的？我忘得差不多了
我有张巨神兵是用英文写的前面也有水印是真的吗?
回复21楼：呃，百度百科有介绍，其实都是虚的，攻无限，防无限有很多，黑暗大法师，什么黑暗石板，什么光石板的！
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保存至快速回贴CSGIS参会台湾企业系列介绍：雷爵网络
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两岸游戏产业高峰论坛及产品对接会（简称CSGIS）将于5月22号在上海举行，此次大会邀请到中国台湾智冠游戏、雷爵网络、远传电信、台湾大哥大以及中国大陆游久时代、中手游、骏梦、游族、百度游戏、巨人网络、蓝港在线、中青宝、金山网络等上百家知名企业参加。CSGIS参会台湾企业介绍系列将会逐一介绍本次参会的中国台湾企业，本次将向读者介绍以推出游戏史上第一款纯国人自制研发网络游戏而闻名海内外的「雷爵网络」。
「雷爵网络」，凭借优异研发实力，长久以来所推出的各项自制产品一直深获玩家支持与肯定。而今，雷爵网络深知玩家需要的是更多元、更俱娱乐效果的感受，因此全心研发手机，以世界级的技术，推出《摇滚尸》、《勇者跑跳碰》、《T.M.O》等，兼具原创性与娱乐性的，带给全台湾乃至于全世界的玩家，更丰富、更多元的娱乐享受，同时积极寻找最精锐的海内外合作厂商，让雷爵能够再次走出世界，全方位的为广大的玩家们服务，写下台湾史上新一页的奇迹。
◆ 《摇滚尸》-GameStar金奖荣耀，Rocker变身救世主！
在末日来临时，尸成为世界的新主宰，残存的人类只能奋力求生，而人类的希望，竟然就是充满摇滚风格的电吉他！当音乐随着手上的节奏响起，尸将由毁灭者化身为最强力的助手，在这场末日救赎的战役中，摇滚就是人类最后的希望！
由雷爵网络自制研发的《摇滚尸》，甫一推出就荣获「Game Star之星」动作冒险金奖的肯定，是一款将节奏以及创新触控式玩法，相互完美结合的动作。玩家必须按照音乐的节奏，并且配合手势的上下滑动，谱出美妙的旋律，藉此控制尸们前进、后退、防御，并且攻击邪恶的尸们。研发团队精心设计了最摇滚的曲目，最简单的节奏玩法，同时也致力创造，各式各样有趣搞怪的尸，玩家可看到许多世界经典人物，化身尸站上战场，如：性感女神「玛丽莲梦露」、功夫大师「李小龙」、摇滚乐之神「猫王」…等。玩家在冒险的途中，将不断用音乐感化尸，让它们也感受到摇滚乐的魔力，而与玩家一同努力拯救世界。
◆ 《勇者跑跳碰》-跑酷热潮全民疯，勇者也来跑跳碰！
在一个充满童话风格的世界中，原本宁静安详的小村庄，某一天忽然遭受到老鼠大军的袭击，什么都没有准备的勇者，只好先逃之夭夭。为了协助勇者逃离鼠王无情的追击，玩家必须操纵勇者，靠着左右摇晃手机，藉此闪避路上的障碍物，当路上遇到悬崖时，则必须点击屏幕，帮助勇者跳过难关，同时为了累积实力，更要不断的拾取路上的金钱，作为未来战斗的基金，当玩家跑得够远的时候，则可以开启特殊模式，这时候就是反过来，换你追着鼠王打
随着近年席卷全台的路跑风潮兴起，雷爵网络另辟途径，开发出集合 3D 跑酷及角色扮演元素的《勇者跑跳碰》，这个崭新的概念以及新颖的设计，也让《勇者跑跳碰》获得，「2013年第十届中国产业年会」秀手游类第一名的殊荣。玩家将在急速奔跑的过程中，同时体验角色升级、换装、打怪的乐趣。同时为了推扩身心健康，《勇者跑跳碰》也与交互式健身车X-bike结合，将实际应用在健身车上面，让玩家可以同时达到健身以及娱乐的效果。在2014年参加健身器材展时，引起许多参展民众以及厂商的关注，现场试玩人潮久久不散，获得了极大的回响与讨论。
◆ 《T.M.O》次世代3D手游，古代巨神兵苏醒！
在遥远的泰坦大陆上，人们原本平静的生活，被邪恶魔物的入侵所打破，众神为协助人类抵御邪恶势力，将神界最强兵器「巨神兵」赐予人类。各种只有在古籍中才见的到名字的天神，如：「宙斯」、「撒旦」、「盘古」，将一一化身为最强悍的重型机甲，挺身保护人们不受伤害，而人类也就此开始展开反击。
《T.M.O》由北京人人以及雷爵网络携手合作开发，由两岸最顶级研发团队，以大型制作的技术与水平为基底，打造全新3D手机RPG大作，玩家将可以在手机上，体验到可比拟大型在线的顶级画面，以及行云流水的顺畅操作感。玩家将在中操作，高达数十层楼的巨神兵，完成一个又一个的任务，并且一次次的打倒魔物。玩家透过手指滑动操作，就可引导巨神兵移动，简单点击技能钮，即可不断施放出惊天动地、效果华丽的各种必杀技，摧毁阻挡在前方的邪恶魔物，让泰坦大陆回复以往的和平。
雷爵网络在产业的道路上，始终秉持研发与营运并重的路线，凭借不断与时俱进的研发卓越技术，持续以创新思维提升自行研发能力；还有重视玩家需求为根本基础的营运团队，以亲切态度服务所有玩家，持续带来最全面、最深入的梦想及娱乐享受，并以用心、努力、诚恳、务实的态度，希望找到与雷爵拥有相同信念、可以一同创造未来，并打造出世界顶级的合作伙伴。持续带领产业迈向未来的新时代！
(责编：杨虞波罗、沈光倩)
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人 民 网 版 权 所 有 ，未 经 书 面 授 权 禁 止 使 用
Copyright &
by www.people.com.cn. all rights reserved&p&机器学习中的统计学和矩阵理论是最重要的，就不说了&br&&br&学机器学习的Convex Optimization测度论和泛函是绕不过的，而Convex Optimization可以说是机器学习的入门问题吧。但并不意味着要完整和深入的学习。从零开始完整的学习一个理论可以说是我国高等教育的一般性做法，而事实上如果仅仅只需要达到工程师的水平很浪费时间。但不学也不行，理论也要理解，不学好Convex Optimization很多相关的论文都读不懂的。所以我在德国研究生阶段上的Convex Optimization课是这么个形式，先半个学期老师给大家介绍测度论和泛函，搞清楚基础概念，理论介绍就算完了，在此之前学生都没学过。然后开始讲Convex Optimization和相关算法，到了最后期末，我们已经能够证明一些简单的问题并看懂会用到Convex Optimization的论文了，至此足矣。你要让我简述一下测度论和泛函，那我是说不出来的。并且就算是研究计算机视觉的博士和博士后，大部分数学功底都一般，绝对谈不上数学家，相关理论都是临时学的。他们终究是研究现实问题，数学只是工具，而且他们关注的领域很狭窄，只要学会了相关的理论，基本就通吃了。下文只是谈到了很多可能性，譬如微分几何用于三维表面分析，关注这一方面的研究者或者工程师（譬如做游戏的，搞3D渲染器的，做人脸识别的，三维重建的）只需要学好微分几何就行了，群论图论不需要懂。其实作为研究者需要学习的数学还是有限的，远远称不上是数学家。&br&&br&&br&&a href=&//link.zhihu.com/?target=http%3A//blog.sciencenet.cn/blog-694.html& class=& wrap external& target=&_blank& rel=&nofollow noreferrer&&科学网—[转载]《和机器学习和计算机视觉相关的数学（from LinDahua）》&/a&&br&&br&链接中的文章很详细&br&&br&（以下转自一位MIT牛人的空间文章，写得很实际：）&br&&strong&作者：&/strong&&strong&Dahua&/strong&&br&&br&感觉数学似乎总是不够的。这些日子为了解决research中的一些问题，又在图书馆捧起了数学的教科书。从大学到现在，课堂上学的和自学的数学其实不算少了，可是在研究的过程中总是发现需要补充新的数学知识。&strong&Learning&/strong&&strong&和&/strong&&strong&Vision&/strong&都是很多种数学的交汇场。看着不同的理论体系的交汇，对于一个researcher来说，往往是非常exciting的enjoyable的事情。不过，这也代表着要充分了解这个领域并且取得有意义的进展是很艰苦的。记得在两年前的一次blog里面，提到过和learning有关的数学。今天看来，我对于数学在这个领域的作用有了新的思考。对于Learning的研究，&br&&br&1、&strong&Linear Algebra (&/strong&&strong&线性代数&/strong&&strong&) &/strong&&strong&和&/strong&&strong& Statistics (&/strong&&strong&统计学&/strong&&strong&) &/strong&&strong&是最重要和不可缺少的。&/strong&这代表了Machine Learning中最主流的两大类方法的基础。一种是以&strong&研究函数和变换&/strong&为重点的&strong&代数方法&/strong&，比如&strong&Dimension reduction&/strong&&strong&，&/strong&&strong&feature extraction&/strong&&strong&，&/strong&&strong&Kernel&/strong&等，一种是以&strong&研究统计模型和样本分布&/strong&为重点的&strong&统计方法&/strong&，比如&strong&Graphical model, Information theoretical models&/strong&等。它们侧重虽有不同，但是常常是共同使用的，&strong&对于&/strong&&strong&代数方法&/strong&&strong&，往往需要&/strong&&strong&统计上的解释&/strong&&strong&，对于&/strong&&strong&统计模型&/strong&&strong&，其&/strong&&strong&具体计算则需要代数的帮助&/strong&。以代数和统计为出发点，继续往深处走，我们会发现需要更多的数学。 &br&&br&2、&strong&Calculus (&/strong&&strong&微积分&/strong&&strong&)&/strong&&strong&，只是数学分析体系的基础。&/strong&其基础性作用不言而喻。Learning研究的大部分问题是在连续的度量空间进行的，无论代数还是统计，在研究优化问题的时候，对一个&strong&映射的微分或者梯度的分析&/strong&总是不可避免。而在统计学中，&strong&Marginalization&/strong&&strong&和积分&/strong&更是密不可分——不过，以解析形式把积分导出来的情况则不多见。&br&&br&3、&strong&Partial Differential Equation &/strong&&strong&（偏微分方程&/strong&&strong&)&/strong&&strong&，&/strong&这主要用于&strong&描述动态过程&/strong&，或者&strong&仿动态过程&/strong&。这个学科在Vision中用得比Learning多，主要用于&strong&描述连续场的运动或者扩散过程&/strong&。比如&strong&Level set, Optical flow&/strong&都是这方面的典型例子。&br&&br&4、&strong&Functional Analysis (&/strong&&strong&泛函分析&/strong&&strong&)&/strong&&strong&，&/strong&通俗地，可以理解为&strong&微积分&/strong&&strong&从&/strong&&strong&有限维&/strong&&strong&空间到&/strong&&strong&无限维&/strong&&strong&空间的&/strong&&strong&拓展&/strong&——当然了，它实际上远不止于此。在这个地方，函数以及其所作用的对象之间存在的对偶关系扮演了非常重要的角色。Learning发展至今，也在向无限维延伸——从研究&strong&有限维向量&/strong&的问题到&strong&以无限维的函数&/strong&为&strong&研究对象&/strong&。Kernel Learning 和 Gaussian Process 是其中典型的例子——其中的核心概念都是Kernel。很多做Learning的人把Kernel简单理解为Kernel trick的运用，这就把kernel的意义严重弱化了。在&strong&泛函&/strong&里面，&strong&Kernel (Inner Product)&/strong&是&strong&建立整个博大的代数体系的根本&/strong&，从&strong&metric, transform&/strong&到&strong&spectrum&/strong&都根源于此。&br&&br&5、&strong&Measure Theory (&/strong&&strong&测度理论&/strong&&strong&)&/strong&&strong&，&/strong&这是和实分析关系非常密切的学科。但是测度理论并不限于此。从某种意义上说，Real Analysis可以从&strong&Lebesgue Measure&/strong&&strong&（勒贝格测度）&/strong&推演，不过其实还有很多别的测度体系——&strong&概率&/strong&&strong&本身就是一种&/strong&&strong&测度&/strong&。测度理论对于Learning的意义是根本的，&strong&现代统计学&/strong&&strong&整个就是建立在&/strong&&strong&测度理论的基础之上&/strong&——虽然初级的概率论教科书一般不这样引入。在看一些统计方面的文章的时候，你可能会发现，它们会把统计的公式改用测度来表达，这样做有两个好处：所有的推导和结论不用分别给连续分布和离散分布各自写一遍了，这两种东西都可以用同一的测度形式表达：&strong&连续分布的积分&/strong&&strong&基于&/strong&&strong&Lebesgue&/strong&&strong&测度&/strong&，&strong&离散分布的求和&/strong&&strong&基于&/strong&&strong&计数测度&/strong&，而且还能推广到那种既不连续又不离散的分布中去（这种东西不是数学家的游戏，而是已经在实用的东西，在Dirchlet Process或者Pitman-Yor Process里面会经常看到)。而且，即使是连续积分，如果不是在欧氏空间进行，而是在更一般的拓扑空间（比如微分流形或者变换群），那么传统的黎曼积分（就是大学一年级在微积分课学的那种）就不work了，你可能需要它们的一些推广，比如&strong&Haar Measure&/strong&或者&strong&Lebesgue-Stieltjes&/strong&积分。&br&&br&6、&strong&Topology&/strong&&strong&（拓扑学&/strong&&strong&)&/strong&&strong&，&/strong&这是学术中很基础的学科。它一般不直接提供方法，但是它的很多概念和定理是其它数学分支的基石。看很多别的数学的时候，你会经常接触这样一些概念：&strong&Open set / Closed set&/strong&&strong&，&/strong&&strong&set basis&/strong&&strong&，&/strong&&strong&Hausdauf, continuous function&/strong&&strong&，&/strong&&strong&metric space, Cauchy sequence, neighborhood, compactness, connectivity&/strong&。很多这些也许在大学一年级就学习过一些，当时是基于极限的概念获得的。如果，看过拓扑学之后，对这些概念的认识会有根本性的拓展。比如，连续函数，当时是由epison法定义的，就是无论取多小的正数epsilon，都存在xxx，使得xxx。这是需要一种metric去度量距离的，在general topology里面，对于连续函数的定义连坐标和距离都不需要——如果&strong&一个映射使得开集的原像是开集&/strong&，它就是&strong&连续&/strong&的——至于开集是基于集合论定义的，不是通常的&strong&开区间&/strong&的意思。这只是最简单的例子。当然，我们研究learning也许不需要深究这些数学概念背后的公理体系，但是，打破原来定义的概念的局限在很多问题上是必须的——尤其是当你研究的东西它不是在欧氏空间里面的时候——&strong&正交矩阵，变换群，流形，概率分布的空间&/strong&，都属于此。&br&&br&7、&strong&Differential Manifold (&/strong&&strong&微分流形&/strong&&strong&)&/strong&&strong&，&/strong&通俗地说它研究的是平滑的曲面。一个直接的印象是它是不是可以用来fitting一个surface什么的——当然这算是一种应用，但是这是非常初步的。&strong&本质上说&/strong&，&strong&微分流形研究的是&/strong&&strong&平滑的拓扑结构&/strong&。一个&strong&空间构成微分流形&/strong&的基本要素是局部平滑：从&strong&拓扑学&/strong&来理解，就是它的任意局部都同胚于欧氏空间，从&strong&解析&/strong&的角度来看，就是相容的局部坐标系统。当然，在全局上，它不要求和欧氏空间同胚。它除了可以用于刻画集合上的平滑曲面外，更重要的意义在于，它可以用于研究很多重要的集合。一个n-维线性空间的全部k-维子空间(k &br&&br&&br&8、&strong&Lie Group Theory (&/strong&&strong&李群论&/strong&&strong&)&/strong&&strong&，&/strong&一般意义的群论在Learning中被运用的不是很多，群论在Learning中用得较多的是它的一个重要方向&strong&Lie group&/strong&。定义在平滑流形上的群，并且其群运算是平滑的话，那么这就叫李群。因为Learning和编码不同，更多关注的是连续空间，因为Lie group在各种群中对于Learning特别重要。各种子空间，线性变换，非奇异矩阵都基于通常意义的矩阵乘法构成李群。在李群中的映射，变换，度量，划分等等都对于Learning中代数方法的研究有重要指导意义。&br&&br&9、&strong&Graph Theory&/strong&&strong&（图论&/strong&&strong&)&/strong&&strong&，&/strong&图，由于它在表述各种关系的强大能力以及优雅的理论，高效的算法，越来越受到Learning领域的欢迎。经典图论，在Learning中的一个最重要应用就是graphical models了，它被成功运用于分析统计网络的结构和规划统计推断的流程。Graphical model所取得的成功，图论可谓功不可没。在Vision里面，maxflow (graphcut)算法在图像分割，Stereo还有各种能量优化中也广受应用。另外一个重要的图论分支就是Algebraic graph theory (代数图论)，主要运用于图的谱分析，著名的应用包括Normalized Cut和Spectral Clustering。近年来在semi-supervised learning中受到特别关注。&/p&
机器学习中的统计学和矩阵理论是最重要的，就不说了 学机器学习的Convex Optimization测度论和泛函是绕不过的，而Convex Optimization可以说是机器学习的入门问题吧。但并不意味着要完整和深入的学习。从零开始完整的学习一个理论可以说是我国高等教育的一…
&p&卸腰，一个好问题，但却不是一个容易一两句话说清楚的问题。&b&&i&为了避免众多科普图片给人产生的“弹簧床”式的误解&/i&&/b&，我打算从数学角度慢慢说起，所以文章会比较长，我一次更不完。以及阅读需要大量的耐心，不仅是在后面相对复杂的公式和图片，也在前面比较简单粗暴的基础知识。&/p&&hr&&p&&b&&i&补一些自己的想法：&/i&&/b&&/p&&p&前几天看到这个问题：&/p&&a data-draft-node=&block& data-draft-type=&link-card& href=&https://www.zhihu.com/question/& data-image=&https://pic2.zhimg.com/v2-50c1b7f7d089abc34a573b5_180x120.jpg& data-image-width=&1037& data-image-height=&645& class=&internal&&辛苦科普八百年，一夜回到解放前是一种怎样的体验？&/a&&p&于是我就在想，地球科学这些人至少还有一段时间处于解放后，像相对论量子力学这一块却一直还在打第一次国共内战。都是搞科普的为啥差距那么大？仔细想想，地球科学、生物科学等学科科普时囿于学科特性，大多数是以图片加例子的形式给大家说的，其实就相当于给小朋友们看一下静电让毛发竖起来这样的实验。小朋友们对静电自然很兴奋，也能叽叽喳喳和你聊上几句，让人有了解放区的天是朗朗的天的错觉。要是碰到什么防电场辐射这种稍微复杂的问题，他们就又搞不懂了。上面问题中的所谓地球的真正形状就相对于一个稍微复杂的问题。&/p&&p&&br&&/p&&p&这时就有人说了，人家霍金写的《时间简史》通俗易懂，堪称科普界楷模，你们还要学习一个。但忽视了《时间简史》是1988年出版的，那时候黑洞、大爆炸等等一系列东西对民众来说还是新东西。这些东西的科普风格贴近博物学在那时是没有问题的，大家伙就好像第一次看天堂鸟一样，新奇激动。但时代不同了，现在看过《时间简史》不出来装的比出来装的还多了。&/p&&figure&&img src=&https://pic2.zhimg.com/50/v2-cd546a82fa10ccdcec204ee_b.jpg& data-rawwidth=&940& data-rawheight=&726& data-size=&normal& data-default-watermark-src=&https://pic3.zhimg.com/50/v2-3dbfdea99a061_b.jpg& class=&origin_image zh-lightbox-thumb& width=&940& data-original=&https://pic2.zhimg.com/50/v2-cd546a82fa10ccdcec204ee_r.jpg&&&figcaption&天堂鸟&/figcaption&&/figure&&p&我和民科打了许久的交道，每次都发现因为大多数围观群众只知其然不知其所以然，导致在与民科的斗争中，持同情态度的路人无法积极参与进来。后来我明白了：“画图救不了中国人！”好多人就说了，这些数学的东西，内行人用看，外行人看不懂。实际上忽略了一个问题就是广义相对论这种东西的数学推导好多人即使学过高等数学等知识，这一辈子都没见过。但广相科普的重头戏，时空弯曲、水星近日点进动、黑洞等，其实需要的数学知识也就这么多。所以尽可能把推论逻辑化，而不是简单粗暴地甩结论是很有必要的，这样的科普才能知识水平越来越高。实际上，我认为只给做名词党做科普是没有意义的。&/p&&p&当然正如康德所说：&/p&&blockquote&有些书，如果它并不想说得如此明晰的话，它就会更加明晰得多。这是因为明晰性的辅助手段在部分中有效，但在整体中往往分散了，这样它们就不能足够快地让读者达到对整体的综观，倒是用它们所有那些明亮的色彩贴在体系的结合部或骨架上，使它们面目全非了，而为了能对这个体系的统一性和杰出之处下判断，最关键的却是这种骨架。&br&——康德《纯粹理性批判》第一版序&/blockquote&&p&所以如果可能的话，我会把这篇文章写成知乎上目前最简单的广义相对论入门。&/p&&hr&&p&首先，题主问道：“如何弯曲？”就得首先回答一个问题：“怎样的东西才能说是直的？”如何判断一条线或是一个平面是直的，在数学和物理上有不同的操作。我们首先来说数学上的。&/p&&p&&br&&/p&&p&&b&&i&（提示：请注意下文当中“直的”与“平直的”两词不同场合的用法）&/i&&/b&&/p&&p&&br&&/p&&p&&b&&i&数学：&/i&&/b&&/p&&p&什么是直的？你总不可能随手画一条线，然后告诉大家：“所有偏离我画的这条线的都是不直的！”凭什么你来制定直曲的标准，要让大家伙都认，所以需要借助公理来研究直曲。欧几里德有一条公理说到：&b&&i&两点之间直线段最短&/i&&/b&。这其实就给出了一个直线的判断标准，即就是在线上找两个不同的点，判断是否能找到一条线比原有线的长度更短。&/p&&p&&br&&/p&&p&那么此刻问题来了，什么是长度？或者什么是距离？你不能用一根尺子量完之后告诉我距离是多少，因为按照逻辑，我们得先证明你的尺子是直的。而定义直又要用到距离这个概念，从而循环定义，这样是行不通的。所以假设我们现在一无所有，即没有尺子，也没有激光测距仪等物理手段，也没有像曲直、坐标系等数学概念，更没有几千年的生产劳动经验。我们手头目前只有一堆要研究的点和不会自相矛盾的逻辑。为了研究这堆点，我们需要人为手动去定义距离。&/p&&p&&br&&/p&&p&不过需要一个前提，就是我们如何把待研究空间 &img src=&//www.zhihu.com/equation?tex=X& alt=&X& eeimg=&1&& 里的所有点表示出来？这时我们先引入坐标系这一工具了，坐标系的作用就是唯一确定地把我们要研究的点表示出来。&/p&&p&&br&&/p&&p&这样的话，我们构造一个函数 &img src=&//www.zhihu.com/equation?tex=d& alt=&d& eeimg=&1&&，使得在我们待研究的空间 &img src=&//www.zhihu.com/equation?tex=X& alt=&X& eeimg=&1&& 中任取两个点 &img src=&//www.zhihu.com/equation?tex=a& alt=&a& eeimg=&1&& 、 &img src=&//www.zhihu.com/equation?tex=b& alt=&b& eeimg=&1&& 都有一个唯一的函数值 &img src=&//www.zhihu.com/equation?tex=d%28a%2Cb%29& alt=&d(a,b)& eeimg=&1&& 具有：&/p&&p& 1)非负性、同一性：&img src=&//www.zhihu.com/equation?tex=d%28a%2Cb%29%5Cgeq0& alt=&d(a,b)\geq0& eeimg=&1&& ，且 &img src=&//www.zhihu.com/equation?tex=d%28a%2Cb%29%3D0& alt=&d(a,b)=0& eeimg=&1&& 当且仅当 &img src=&//www.zhihu.com/equation?tex=a%3Db& alt=&a=b& eeimg=&1&& ；&/p&&p& 2)对称性： &img src=&//www.zhihu.com/equation?tex=d%28a%2Cb%29%3Dd%28b%2Ca%29& alt=&d(a,b)=d(b,a)& eeimg=&1&& ；&/p&&p& 3)直递性： &img src=&//www.zhihu.com/equation?tex=d%28a%2Cb%29%5Cleq+d%28a%2Cc%29%2Bd%28c%2Cb%29& alt=&d(a,b)\leq d(a,c)+d(c,b)& eeimg=&1&& 。&/p&&p&这样的一个函数 &img src=&//www.zhihu.com/equation?tex=d& alt=&d& eeimg=&1&& 称之为定义在空间 &img src=&//www.zhihu.com/equation?tex=X& alt=&X& eeimg=&1&& 上的距离。（&b&&i&第一条大于零的条件可以去掉，这样的距离叫做“伪距离”，实际上我们的四维时空上定义的距离就是一个伪距离。&/i&&/b&）&/p&&p&&br&&/p&&p&好了，有这样性质的函数千千万万个，其具体形式也依赖于坐标的具体形式。那么对于一个已经定义了距离&img src=&//www.zhihu.com/equation?tex=d& alt=&d& eeimg=&1&& 的空间 &img src=&//www.zhihu.com/equation?tex=X& alt=&X& eeimg=&1&& ，任意两点的距离是否依赖于坐标系的取法呢？显然是不依赖的，因为我们对距离的定义并没有牵扯到坐标的具体形式。&/p&&p&&br&&/p&&p&这个结论是十分重要的，我再次写一遍：&b&&i&距离不依赖于坐标系的具体取法。事实上这种不依赖于坐标系取法的量叫做标量。在相对论里有：一切可以测量的量都是标量。（对应与物理实在不因观察者不同而不同）&/i&&/b&&/p&&p&&br&&/p&&p&当然以上的定义还是太抽象，让人不舒服。为了让大家舒服一点，我们先在欧几里德空间上研究问题。欧几里德空间的距离定义是基于毕达哥拉斯（勾股）定理。即：&/p&&p&&img src=&//www.zhihu.com/equation?tex=d%28a%2Cb%29%3D%5Csqrt%7B%5Csum_%7Bi%3D1%7D%5E%7Bn%7D%28a_i-b_i%29%5E2%7D& alt=&d(a,b)=\sqrt{\sum_{i=1}^{n}(a_i-b_i)^2}& eeimg=&1&&&/p&&p&这样的空间里有一堆我们熟悉的几何定理，比如说三角形的内角和是180°。&b&&i&这种距离定义的空间也就是题主问题当中相对于弯曲的基准：平直&/i&&/b&。&/p&&p&&br&&/p&&p&在欧几里德空间当中我们可以建立各种各样的坐标系，常见的有直角坐标系、柱坐标系、球坐标系、双曲坐标系等。在研究不同的问题时这些坐标系各有便利，但结论是一样的。比如说用直角坐标系去计算球面两点的大圆弧长，最后结果是一样的，其中的道理就是距离不依赖于坐标系。同理，用直角坐标系去求解球对称的拉普拉斯方程，其结果也是一样的。&/p&&p&&br&&/p&&p&好了扯了这多内容这时就能引入度规这一概念了。假设我们的两个点靠的很近，我们可以把其写成微分形式。为了能简单明了说明问题，我们只写三维情况下：&/p&&p& 直角坐标系：&img src=&//www.zhihu.com/equation?tex=ds%C2%B2%3Ddx%C2%B2%EF%BC%8Bdy%C2%B2%EF%BC%8Bdz%C2%B2+& alt=&ds?=dx?＋dy?＋dz? & eeimg=&1&&&/p&&p&柱坐标系： &img src=&//www.zhihu.com/equation?tex=ds%C2%B2%3Ddr%C2%B2%EF%BC%8Br%C2%B2d%CF%86%C2%B2%EF%BC%8Bdz%C2%B2& alt=&ds?=dr?＋r?dφ?＋dz?& eeimg=&1&&&/p&&p&球坐标系： &img src=&//www.zhihu.com/equation?tex=ds%C2%B2%3Ddr%C2%B2%EF%BC%8Br%C2%B2d%CF%86%C2%B2%EF%BC%8Br%C2%B2sin%CF%86%C2%B2d%CE%B8%C2%B2& alt=&ds?=dr?＋r?dφ?＋r?sinφ?dθ?& eeimg=&1&&&/p&&p&&br&&/p&&p&以上东西在黎曼之前就被各大数学家们研究出来了，其中还包括一些奇奇怪怪的坐标系，由此还发展了一门学科叫测地学。因为那会大家都知道地球是个椭球体，在地球上测量距离不就是在椭球面上测量吗？&/p&&p&&br&&/p&&p&这时候黎曼就出来：“诸位请慢！首先我们是搞数学的，不是搞地球科学的（当时肯定是没有这一说法的）。我们数学家看到一群点能够自然地把它们看作是球面上的吗？当然不行，依我看，&b&&i&假设没有告诉你上面的距离是咋样的，我们就不能研究几何学！&/i&&/b&所以，大家伙请我来做这个教授，我没有写论文，就这么一篇稿子……”&/p&&p&&br&&/p&&p&总之，黎曼在其就职演说《关于几何学的基本假设之中》提出我们求曲线长度时，要先定义好在某一点切向量的距离，然后把这条线经过的点所有的切向量距离积个分。而不是像以前那样我们假设有理想的直线段，做内切折线，取折线的上限作为距离。从我们上文的描述中可以看到，黎曼不知道比以前的定义高到哪里去了，因为我们前面说了，为了直线，你要说距离，而后一种定义弧长又要引入特殊的曲线——直线。&/p&&p&&br&&/p&&figure&&img src=&https://pic4.zhimg.com/50/v2-d7eddfa758a957b4f0a27_b.jpg& data-rawwidth=&340& data-rawheight=&176& data-size=&normal& data-default-watermark-src=&https://pic3.zhimg.com/50/v2-f85c43b7fb4_b.jpg& class=&content_image& width=&340&&&figcaption&以前大家用内接折线极限求弧长&/figcaption&&/figure&&figure&&img src=&https://pic2.zhimg.com/50/v2-73b55889bfd16e337f53_b.jpg& data-rawwidth=&497& data-rawheight=&409& data-size=&normal& data-default-watermark-src=&https://pic2.zhimg.com/50/v2-cd23f1c953ac69c97d94edd1fa54b5bf_b.jpg& class=&origin_image zh-lightbox-thumb& width=&497& data-original=&https://pic2.zhimg.com/50/v2-73b55889bfd16e337f53_r.jpg&&&figcaption&黎曼所描述的将切向量积分求弧长，需要提前给出在某一点的切量长度，即定义好距离&/figcaption&&/figure&&p&因而黎曼就提出，一个空间其上必须制定距离，或者叫度规，我们才有办法研究几何。因为对于距离的测量是几何学的中心和基础。不给距离就没有角度、平行、相交等一系列概念。所以黎曼就推广了上面距离微元的写法，他认为：只要在空间各点附近指定这样的关系：&/p&&p&&img src=&//www.zhihu.com/equation?tex=ds%5E2%3Dg_%7Bij%7Ddx%5Ei%5Cotimes+dx%5Ej& alt=&ds^2=g_{ij}dx^i\otimes dx^j& eeimg=&1&&&b&&i&（指标相同表求和）&/i&&/b&&/p&&p&（ &img src=&//www.zhihu.com/equation?tex=x%5Ei& alt=&x^i& eeimg=&1&& 是坐标）都能叫距离，只要其满足我们前面说的三条性质。 &img src=&//www.zhihu.com/equation?tex=g_%7Bij%7D& alt=&g_{ij}& eeimg=&1&& 则称为给定点处的度规张量。&/p&&p&&br&&/p&&p&突然间我们这里出现了一个新名词：张量。为了不影响下文理解，再来介绍一下这位新朋友。前面我们提到过标量这个名词：&i&&b&不依赖于坐标系取法的量叫做标量。即：&/b&&/i&&img src=&//www.zhihu.com/equation?tex=%5Cvarphi%27%3D%5Cvarphi& alt=&\varphi'=\varphi& eeimg=&1&& 。距离微元就是这样的量。那么肯定有随着坐标变化的量。&/p&&p&把 &img src=&//www.zhihu.com/equation?tex=A%27%5Ei%3D%5Cfrac%7B%5Cpartial+x%27%5Ei%7D%7B%5Cpartial+x%5Ej%7DA%5Ej& alt=&A'^i=\frac{\partial x'^i}{\partial x^j}A^j& eeimg=&1&& 或 &img src=&//www.zhihu.com/equation?tex=A%27_i%3D%5Cfrac%7B%5Cpartial+x%5Ej%7D%7B%5Cpartial+x%27%5Ei%7DA_j& alt=&A'_i=\frac{\partial x^j}{\partial x'^i}A_j& eeimg=&1&& 这样的称之为矢量或者一阶张量。前者称为逆变矢量后者称为协变矢量。逆与协二字相对于坐标变换。在广义相对论里是严格区别逆变张量和协变张量的，但在狭义相对论中是不区别的。（以上讨论中带撇的指新坐标系下的形式，不带撇是原坐标系下形式）&/p&&p&&br&&/p&&p&那么二阶张量，就是在前面再添一偏导项系数。度规张量&img src=&//www.zhihu.com/equation?tex=g_%7Bij%7D& alt=&g_{ij}& eeimg=&1&&是一协变的二阶张量。&/p&&p&即： &img src=&//www.zhihu.com/equation?tex=g%27_%7Bij%7D%3D%5Cfrac%7B%5Cpartial+x%5Ek%7D%7B%5Cpartial+x%27%5Ei%7D%5Cfrac%7B%5Cpartial+x%5El%7D%7B%5Cpartial+x%27%5Ej%7Dg_%7Bkl%7D& alt=&g'_{ij}=\frac{\partial x^k}{\partial x'^i}\frac{\partial x^l}{\partial x'^j}g_{kl}& eeimg=&1&&&/p&&p&&b&&i&诸位细心点就能发现上面这些式子的上下标等式左右是一致的，重复的上下标会在等式左边消失（即缩并）&/i&&/b&。这其实相当于线性代数里的矩阵乘法，只是张量可能涉及到三阶以上。对应到矩阵的逆，张量也有逆。比如说一个很重要的逆——度规张量的逆： &img src=&//www.zhihu.com/equation?tex=g_%7Bij%7Dg%5E%7Bjk%7D%3D%5Cdelta_i%5Ek& alt=&g_{ij}g^{jk}=\delta_i^k& eeimg=&1&& （ &img src=&//www.zhihu.com/equation?tex=%5Cdelta%5Ek_i& alt=&\delta^k_i& eeimg=&1&& 只有在i 、k相等时才为一，其余均为零）中的 &img src=&//www.zhihu.com/equation?tex=g%5E%7Bjk%7D& alt=&g^{jk}& eeimg=&1&& 是一逆变二阶张量。度规张量的重要性不仅体现在其定义了距离，而且有了它我们就可以进行逆变和协变张量之间的互换，以矢量举例子如下：&/p&&p&&img src=&//www.zhihu.com/equation?tex=A%5Ei%3Dg%5E%7Bik%7DA_k+%EF%BC%8C+A_i%3Dg_%7Bik%7DA%5Ek& alt=&A^i=g^{ik}A_k ， A_i=g_{ik}A^k& eeimg=&1&&&/p&&p&&br&&/p&&p&从以上可以看出，张量或矢量是严重依赖于具体点的，在某一点是矢量的量在下一个点就可能不是矢量了。这在我们研究导数等概念时是致命的，我们知道，求一个矢量导数时我们要把其x处的值和x+dx处的值相减。这样就需要把x处的矢量搬到x+dx处，但问题来了，搬到x+dx处的矢量还是矢量吗？&/p&&p&&br&&/p&&p&在欧几里德空间中不存在这样的问题，因为空间是平的，但黎曼几何中就不一样了。为了保证搬走之后依旧是一矢量且与原矢量平行，列维西维塔提出平行移动的概念，也就是：平移过程中，向量与这两点最短线（测地线）的夹角始终保持不变。此刻非欧几何和欧氏几何的差距就出现了。&b&&i&在欧氏几何当中经历一个闭合回路的平行移动之后，矢量与原矢量重合。而非欧几何中，就会有和原矢量的一个偏移。&/i&&/b&&/p&&figure&&img src=&https://pic4.zhimg.com/50/v2-9a0ea585aa18dbb2e2d234e_b.jpg& data-rawwidth=&997& data-rawheight=&378& data-size=&normal& data-default-watermark-src=&https://pic4.zhimg.com/50/v2-851a0bd3bfbf7c9da320c06_b.jpg& class=&origin_image zh-lightbox-thumb& width=&997& data-original=&https://pic4.zhimg.com/50/v2-9a0ea585aa18dbb2e2d234e_r.jpg&&&figcaption&平直空间的平行移动和弯曲空间的平行移动，弯曲空间平行移动一个闭合路径后会发生一个偏转&/figcaption&&/figure&&p&即x处矢量平移至x+dx处时要附加一和dx以及原矢量A成正比的小量：&/p&&p&&img src=&//www.zhihu.com/equation?tex=d_p+A%5Ei%3D-%5CGamma%5Ei_%7Bjk%7DA%5Ejdx%5Ek%EF%BC%8Cd_p+A_j%3D%5CGamma%5Ei_%7Bjk%7DA_idx%5Ek& alt=&d_p A^i=-\Gamma^i_{jk}A^jdx^k，d_p A_j=\Gamma^i_{jk}A_idx^k& eeimg=&1&&&/p&&p&其中，&img src=&//www.zhihu.com/equation?tex=%5CGamma%5Ei_%7Bjk%7D& alt=&\Gamma^i_{jk}& eeimg=&1&& 并非一三阶混合张量，而只是一系数称为联络系数。附加了此量之后x处的矢量才能在x+dx处也是矢量。&/p&&p&&br&&/p&&p&20世纪70年代斯坦福大学曾提出一个设想，在人造卫星放一超导陀螺，卫星轨道过地球极轴，陀螺自转轴在轨道面内，则因为地球引力场的空间弯曲，陀螺会有7″进动。&/p&&a data-draft-node=&block& data-draft-type=&link-card& href=&//link.zhihu.com/?target=https%3A//baike.baidu.com/item/%25E5%25BC%%258A%259B%25E6%258E%25A2%25E6%25B5%258B%25E5%B/Ffr%3Daladdin& class=& wrap external& target=&_blank& rel=&nofollow noreferrer&&引力探测器B_百度百科&/a&&p&这其中的道理就是陀螺自转轴可以看成是一个矢量，其经过闭合回路不断回到原点，不断产生偏转(进动)。这个实验当然是广义相对论正确性的一次验证。&/p&&p&&br&&/p&&p&话说回来，这个绕一圈回来之后的偏移量究竟是多少？我们就得再介绍一个张量称之为挠率张量。挠率张量是联络系数的反对称部分，即 &img src=&//www.zhihu.com/equation?tex=%5CGamma%5Ei_%7Bjk%7D-%5CGamma%5Ei_%7Bkj%7D& alt=&\Gamma^i_{jk}-\Gamma^i_{kj}& eeimg=&1&& 。&b&&i&挠率的存在会破坏我们之前很重要的一个法则：平行四边形法则。&/i&&/b&平行四边形法则是：两矢量的和等于以这两矢量为邻边的平行四边形的对角线。&b&&i&但有了挠率的存在，两对互相平行的矢量无法构成一个闭合回路。而相差了一个缺口，这个缺口的大小和挠率成正比。&/i&&/b&&/p&&figure&&img src=&https://pic3.zhimg.com/50/v2-87daa0b3b638cbfbf713faf7d48c1283_b.jpg& data-rawwidth=&429& data-rawheight=&340& data-size=&normal& data-default-watermark-src=&https://pic2.zhimg.com/50/v2-eee5d92ef9e5e8ddb97166cbfd605656_b.jpg& class=&origin_image zh-lightbox-thumb& width=&429& data-original=&https://pic3.zhimg.com/50/v2-87daa0b3b638cbfbf713faf7d48c1283_r.jpg&&&figcaption&挠率的存在，使得平行四边形法则失效&/figcaption&&/figure&&p&上面结论证明起来是简单的，只需要将 &img src=&//www.zhihu.com/equation?tex=%5CDelta+x& alt=&\Delta x& eeimg=&1&& 沿 &img src=&//www.zhihu.com/equation?tex=%5Cdelta+x& alt=&\delta x& eeimg=&1&& 平移和 &img src=&//www.zhihu.com/equation?tex=%5Cdelta+x& alt=&\delta x& eeimg=&1&& 沿&img src=&//www.zhihu.com/equation?tex=%5CDelta+x& alt=&\Delta x& eeimg=&1&& 平移，二者的差就是该处缺口的值。&/p&&p&&br&&/p&&p&有挠的空间称之为“扭曲”的，有趣的是，爱因斯坦的引力理论是无挠的，迄今为止所有建立有挠的引力理论都失败了。这一点也是和非欧几何不同的。&/p&&p&&br&&/p&&p&数学家已经证明：在空间无挠的情况下，可以导出一对称度规，反之通过一对称度规可以诱导出一联络。也就是指定度规和指定联络是相互依存的。&/p&&p&&br&&/p&&p&假设空间无挠，那么沿一无穷小矩形一圈，偏移量应该与此矩形的两边Δx和δx以及矢量A成比，即： &img src=&//www.zhihu.com/equation?tex=%5CDelta_p+A%5Ei%3D-R%5Ei_%7Bjkl%7DA%5Ej%5CDelta+x%5Ek%5Cdelta+x%5El%EF%BC%8C%5CDelta_p+A_j%3DR%5Ei_%7Bjkl%7DA_i%5CDelta+x%5Ek%5Cdelta+x%5El& alt=&\Delta_p A^i=-R^i_{jkl}A^j\Delta x^k\delta x^l，\Delta_p A_j=R^i_{jkl}A_i\Delta x^k\delta x^l& eeimg=&1&&&/p&&p&这其中的 &img src=&//www.zhihu.com/equation?tex=R%5Ei_%7Bjkl%7D& alt=&R^i_{jkl}& eeimg=&1&& 就是大名鼎鼎的黎曼曲率，有曲率的空间称之为完全的。黎曼曲率各关于前后两指标反对称，前后两对指标对称。即&/p&&p&&img src=&//www.zhihu.com/equation?tex=R%5Ei_%7Bjkl%7D%3D-R%5Ej_%7Bikl%7D%2CR%5Ei_%7Bjkl%7D%3D-R%5Ei_%7Bjlk%7D%2CR%5Ei_%7Bjkl%7D%3DR%5Ek_%7Blij%7D& alt=&R^i_{jkl}=-R^j_{ikl},R^i_{jkl}=-R^i_{jlk},R^i_{jkl}=R^k_{lij}& eeimg=&1&&&/p&&p&因为这种对称性，曲率张量的二阶缩并只有一个独立的，即后文我们要提到的里奇张量。&/p&&p&可以由联络系数通过我们前面证明挠率的类似步骤导出来。&/p&&p&&br&&/p&&p&总而言之：&b&&i&联络、挠率和曲率三者的数学意义如上，它们描绘了一个空间是如何偏离于数学上的平直空间（欧几里得空间）。&/i&&/b&更为具体的细节不多做补充，在下面物理部分需要时将会提到。&/p&&p&&br&&/p&&p&&b&&i&物理：&/i&&/b&&/p&&p&1905年，爱因斯坦发现狭义相对论的消息传到了他的大学数学老师闵科夫斯基耳中。闵科夫斯基心中骂道：“懒鬼、笨蛋，这不就是四维伪欧式空间中的度量问题吗？还用洋洋洒洒写三十多页？”于是闵科夫斯基花了一个晚上把爱因斯坦的狭义相对论几何化了。不幸的是闵科夫斯基不久得了阑尾炎，离开了人间。有人就说，否则广义相对论可能会早点。当然广义相对论中那个天才般的等效性原理，没有敏锐的物理直觉很难发现。我们接下来要说的就是相对论的几何化。&/p&&p&&br&&/p&&p&我们前面说了，给定一系列点之后，还需要给定距离的定义即度规方可开始研究几何学。那么对应到物理学中究竟是怎样的？&b&&i&点就相当于事件是一个四维坐标描述的点，而距离由光给出，即连接两点的类光矢量的模是零。而我们可以测量的一切物理量都是标量。&/i&&/b&&/p&&p&&br&&/p&&p&那么就会有人问了，你不是说能测得的一切物理量都是标量，标量又不随坐标系不同变化，那么我测得长度你为啥说会尺缩呢？那是因为你测得的长度是应该四维矢量在空间轴上的投影，这肯定是个标量可以测量。而不同参考系，空间轴是不一样的，故而投影是不一样的，所以就有了尺缩，钟慢同理。&/p&&p&&br&&/p&&p&那么回到我们的问题：时间和空间如何弯曲。先来回答：什么是物理上的直。牛顿惯性定律给出了物理上的直：物体在不受力时做匀速直线运动。那么引申到相对论里就是：物体在不受力时，在四维空间沿测地线运动。&/p&&p&四维空间的测地线如下给出： &img src=&//www.zhihu.com/equation?tex=%5Cfrac%7Bd%7D%7Bds%7D%28g_%7Bij%7D%5Cdot%7Bx%7D%5Ei%29%3D1%2F2+%5Cfrac%7B%5Cpartial+g_%7Bik%7D%7D%7B%5Cpartial+x%5Ej%7D%5Cdot+x%5Ei+%5Cdot+x%5Ek& alt=&\frac{d}{ds}(g_{ij}\dot{x}^i)=1/2 \frac{\partial g_{ik}}{\partial x^j}\dot x^i \dot x^k& eeimg=&1&&&/p&&p&可见其紧密和空间度规有关，四维空间的测地线就是物理意义上的直。而物理意义上的平直，也就是对应的欧氏空间或者题主所言的基准就是闵科夫斯基空间，其度规如下给出：&/p&&p&&img src=&//www.zhihu.com/equation?tex=g_%7B00%7D%3D1%2Cg_%7B11%7D%3Dg_%7B22%7D%3Dg_%7B33%7D%3D-1& alt=&g_{00}=1,g_{11}=g_{22}=g_{33}=-1& eeimg=&1&& 其余皆为零。&/p&&p&即 &img src=&//www.zhihu.com/equation?tex=ds%5E2%3Dc%5E2dt%5E2-dx%5E2-dy%5E2-dz%5E2%3Dc%5E2%281-%5Cfrac%7Bdr%5E2%7D%7Bc%5E2dt%5E2%7D%29dt%5E2%3Dc%5E2%281-%5Cfrac%7Bv%5E2%7D%7Bc%5E2%7D%29dt%5E2& alt=&ds^2=c^2dt^2-dx^2-dy^2-dz^2=c^2(1-\frac{dr^2}{c^2dt^2})dt^2=c^2(1-\frac{v^2}{c^2})dt^2& eeimg=&1&&&/p&&p&&br&&/p&&p&为了更好地阐述问题，接下来我们以最小作用量原理在平直时空来简单看一看把时空几何化之后，究竟有什么便利。&/p&&p&&br&&/p&&p&首先，最小作用量原理指的是：&b&&i&对于每一个力学系统而言，总有一个叫作用量的积分S存在，这个积分对实际运动路径取最小值，因此其变分δS为零。&/i&&/b&很明显S是一个标量函数，因为其与参考系选择无关，对于一个自由的粒子，空间各项同性的体系，我们只能构造出如下的作用量： &img src=&//www.zhihu.com/equation?tex=S%3D-%5Cint_%7Ba%7D%5E%7Bb%7D%5Calpha+ds& alt=&S=-\int_{a}^{b}\alpha ds& eeimg=&1&& ，α是以个正常数，负号是为了能取到最小值，a、b是时空中两个事件的坐标。&/p&&p&则写成我们熟悉的拉格朗日量形式： &img src=&//www.zhihu.com/equation?tex=S%3D-%5Cint_%7Ba%7D%5E%7Bb%7D%5Calpha+ds%3D-%5Calpha+c%5Cint_%7Bt_1%7D%5E%7Bt_2%7D%5Csqrt%7B1-v%5E2%2Fc%5E2%7Ddt%3D%5Cint_%7Bt_1%7D%5E%7Bt_2%7DLdt& alt=&S=-\int_{a}^{b}\alpha ds=-\alpha c\int_{t_1}^{t_2}\sqrt{1-v^2/c^2}dt=\int_{t_1}^{t_2}Ldt& eeimg=&1&&&/p&&p&有了自由粒子的拉格朗日量后，利用理论力学知识就能很方便建立狭义相对论力学。&/p&&p&&br&&/p&&p&那么空间和时间弯曲的规律是什么？由以上最小作用量原理，也是最小作用量是一标量，但因为有弯曲的存在，形式上就比较复杂，可以推出爱因斯坦场方程：&/p&&p&&img src=&//www.zhihu.com/equation?tex=R_%7B%5Cmu%5Cnu%7D-%5Cfrac%7B1%7D2g_%7B%5Cmu%5Cnu%7DR-%5CLambda+g_%7B%5Cmu%5Cnu%7D%3D-%5Ckappa+T_%7B%5Cmu%5Cnu%7D& alt=&R_{\mu\nu}-\frac{1}2g_{\mu\nu}R-\Lambda g_{\mu\nu}=-\kappa T_{\mu\nu}& eeimg=&1&&&/p&&p&其中 &img src=&//www.zhihu.com/equation?tex=R_%7B%5Cmu%5Cnu%7D& alt=&R_{\mu\nu}& eeimg=&1&& 是黎曼张量的缩并的唯一独立张量，称为里奇张量，即： &img src=&//www.zhihu.com/equation?tex=R_%7B%5Cmu%5Cnu%7D%3DR%5E%5Clambda_%7B%5Cmu%5Clambda%5Cnu%7D& alt=&R_{\mu\nu}=R^\lambda_{\mu\lambda\nu}& eeimg=&1&&&/p&&p&&img src=&//www.zhihu.com/equation?tex=%5CLambda& alt=&\Lambda& eeimg=&1&& 为大名鼎鼎的宇宙常数（其为不为零尚在争议）， &img src=&//www.zhihu.com/equation?tex=T_%7B%5Cmu%5Cnu%7D& alt=&T_{\mu\nu}& eeimg=&1&& 是能量动量四矢描述了物质分布,其写成矩阵形式是这样的：&/p&&figure&&img src=&https://pic2.zhimg.com/50/v2-f8b69ddc62dbd6cf0a3ff2b_b.jpg& data-rawwidth=&388& data-rawheight=&226& data-size=&normal& data-default-watermark-src=&https://pic3.zhimg.com/50/v2-fbc39997e_b.jpg& class=&content_image& width=&388&&&figcaption&能量动量四矢，其中包含了能量、能流、动量流、三维空间应力，体现了方程中的物质项&/figcaption&&/figure&&p&&br&&/p&&p&&b&&i&式子的前两项&/i&&/b& &img src=&//www.zhihu.com/equation?tex=G_%7B%5Cmu%5Cnu%7D%3DR_%7B%5Cmu%5Cnu%7D-%5Cfrac%7B1%7D2g_%7B%5Cmu%5Cnu%7DR& alt=&G_{\mu\nu}=R_{\mu\nu}-\frac{1}2g_{\mu\nu}R& eeimg=&1&&&b&&i&称为爱因斯坦张量，这个张量是唯一一个满足协变微分守恒的张量。有趣的事情是所有二维空间的爱因斯坦张量都是零，这就使得二维空间里没有爱因斯坦引力理论（这也是为何我反感将时空弯曲比作两只在曲面上爬行的蚂蚁或者是弹簧床，因为这些比喻让人最直观感受到的是二维弯曲空间，它们的时间轴藏在字眼里，而只给人留下空间弯曲的印象。时间弯曲是极为重要的）。&/i&&/b&&/p&&p&&br&&/p&&p&我们再来看一次爱因斯坦场方程，为了说明问题，这次我们观察不带宇宙项的方程，并将其改写成下面形式：&/p&&p&&img src=&//www.zhihu.com/equation?tex=R_%7B%5Cmu%5Cnu%7D%3D-%5Ckappa%28+T_%7B%5Cmu%5Cnu%7D-%5Cfrac%7B1%7D2g_%7B%5Cmu%5Cnu%7DT%29& alt=&R_{\mu\nu}=-\kappa( T_{\mu\nu}-\frac{1}2g_{\mu\nu}T)& eeimg=&1&&&/p&&p&&b&&i&在真空当中， &img src=&//www.zhihu.com/equation?tex=T_%7B%5Cmu%5Cnu%7D%3D0& alt=&T_{\mu\nu}=0& eeimg=&1&& ,所以 &img src=&//www.zhihu.com/equation?tex=R_%7B%5Cmu%5Cnu%7D%3D0& alt=&R_{\mu\nu}=0& eeimg=&1&& .但我们之前说过 &img src=&//www.zhihu.com/equation?tex=R_%7B%5Cmu%5Cnu%7D& alt=&R_{\mu\nu}& eeimg=&1&& 只是黎曼曲率 &img src=&//www.zhihu.com/equation?tex=R%5E%5Ctau_%7B%5Cmu%5Clambda%5Cnu%7D& alt=&R^\tau_{\mu\lambda\nu}& eeimg=&1&& 的缩并，只有 &img src=&//www.zhihu.com/equation?tex=R%5E%5Ctau_%7B%5Cmu%5Clambda%5Cnu%7D%3D0& alt=&R^\tau_{\mu\lambda\nu}=0& eeimg=&1&& 时才能说时空是平直的，颜外之意就是说：在真空中时空也可能是弯曲的。&/i&&/b&&/p&&p&&br&&/p&&p&另外只有场方程是无法直接求解出度规、曲率、联络等，因为度规一共有10个独立分量（二阶对称四维张量），但场方程由于爱因斯坦张量的协变微分守恒性质，一下子少了4个独立方程，只有6个。所以需要给选择的坐标系加上一些条件才能真正求解。&/p&&p&&br&&/p&&p&有了以上，我们就可以求解度规、曲率、联络等原则上研究时空的弯曲。以几何的手段研究引力。&/p&&p&&br&&/p&&p&当然场方程的求解是困难的，因为物质分布会影响空间弯曲，空间弯曲又会影响物质分布。至今求得的几个解都是比较简单情形，其中最著名的就是引力波和黑洞等高大上名词。关于黑洞的解请参见：&/p&&a data-draft-node=&block& data-draft-type=&link-card& href=&https://www.zhihu.com/question//answer/& data-image=&https://pic3.zhimg.com/v2-5f2fc394cf9a_ipico.jpg& data-image-width=&628& data-image-height=&529& class=&internal&&黑洞吸入的东西去哪儿了，是否能够塞满一个黑洞？&/a&&p&引力波解不再赘述。&/p&&p&&br&&/p&&p&为了进一步阐述时空弯曲的特性，我将纽曼克尔黑洞的线元贴上，并辅以说明。&/p&&p&&img src=&//www.zhihu.com/equation?tex=ds%C2%B2%3D%281-%5Cfrac%7B2mr-Q%5E2%7D%7Br%5E2%2Ba%5E2cos%5E2%5Ctheta%7D%29dt%C2%B2%EF%BC%8D%5Cfrac%7Br%5E2%2Ba%5E2cos%5E2%5Ctheta%7D%7Br%5E2%2Ba%5E2-2mr%2BQ%5E2%7Ddr%5E2%EF%BC%8D%28r%5E2%2Ba%5E2cos%5E2%5Ctheta%29d%5Ctheta%C2%B2-%5B%28r%5E2%2Ba%5E2%29sin%5E2%5Ctheta%2B%5Cfrac%7B%282mr-Q%5E2%29a%5E2sin%5E4%5Ctheta%7D%7Br%5E2%2Ba%5E2cos%5E2%5Ctheta%7D+%5Dd%5Cvarphi%27%C2%B2%2B2%5Cfrac%7B%282mr-Q%5E2%29asin%5E2%5Ctheta%7D%7Br%5E2%2Ba%5E2cos%5E2%5Ctheta%7Ddtd%5Cphi%27& alt=&ds?=(1-\frac{2mr-Q^2}{r^2+a^2cos^2\theta})dt?－\frac{r^2+a^2cos^2\theta}{r^2+a^2-2mr+Q^2}dr^2－(r^2+a^2cos^2\theta)d\theta?-[(r^2+a^2)sin^2\theta+\frac{(2mr-Q^2)a^2sin^4\theta}{r^2+a^2cos^2\theta} ]d\varphi'?+2\frac{(2mr-Q^2)asin^2\theta}{r^2+a^2cos^2\theta}dtd\phi'& eeimg=&1&&&/p&&p&这是一个带电荷Q、有角动量a的质量为m的粒子在无穷远处的度规。&/p&&p&其图如下：&/p&&figure&&img src=&https://pic2.zhimg.com/50/v2-cbfe9634df7ffd494c2d01c25a284adc_b.jpg& data-rawwidth=&557& data-rawheight=&371& data-size=&normal& data-default-watermark-src=&https://pic4.zhimg.com/50/v2-d9d655fdeea5f6dcdf7681d_b.jpg& class=&origin_image zh-lightbox-thumb& width=&557& data-original=&https://pic2.zhimg.com/50/v2-cbfe9634df7ffd494c2d01c25a284adc_r.jpg&&&figcaption&纽曼克尔黑洞的抛面图&/figcaption&&/figure&&p&首先，重要的一组面是 &img src=&//www.zhihu.com/equation?tex=g_%7B00%7D%3D0& alt=&g_{00}=0& eeimg=&1&& 的面，即： &img src=&//www.zhihu.com/equation?tex=r%5Es_%5Cpm%3Dm%5Cpm%5Csqrt%7Bm%5E2-a%5E2cos%5E2%5Ctheta-Q%5E2%7D& alt=&r^s_\pm=m\pm\sqrt{m^2-a^2cos^2\theta-Q^2}& eeimg=&1&& ，在 &img src=&//www.zhihu.com/equation?tex=r%5Es_%2B& alt=&r^s_+& eeimg=&1&& 这个面以内 &img src=&//www.zhihu.com/equation?tex=g_%7B00%7D%3C0& alt=&g_{00}&0& eeimg=&1&& ,假设粒子静止，则 &img src=&//www.zhihu.com/equation?tex=ds%5E2%3Dg_%7B00%7Dc%5E2dt%5E2%3C0& alt=&ds^2=g_{00}c^2dt^2&0& eeimg=&1&& ，即粒子沿类空测地线运动，这是不可能的。所以这个面以内粒子无法静止，好像是被旋转天体拖着在一起旋转，这面因而称为静界。另一组面是法向量是类光矢量的面，直接给出： &img src=&//www.zhihu.com/equation?tex=r%5Eh_%5Cpm%3Dm%5Cpm%5Csqrt%7Bm%5E2-a%5E2-Q%5E2%7D& alt=&r^h_\pm=m\pm\sqrt{m^2-a^2-Q^2}& eeimg=&1&& 。在 &img src=&//www.zhihu.com/equation?tex=r%5Eh_%5Cpm& alt=&r^h_\pm& eeimg=&1&&之间，时空坐标需要交换，也就是朝内称为在此区域内粒子的未来。当粒子通过 &img src=&//www.zhihu.com/equation?tex=r%5Eh_-& alt=&r^h_-& eeimg=&1&&后，继续受到中心天体拖曳，直到其有可能穿过 &img src=&//www.zhihu.com/equation?tex=r%5Es_-& alt=&r^s_-& eeimg=&1&& 进入中心正常的空间。这就是一个典型的由于物质存在，使得周围时空性质发生极大改变的例子。&/p&&p&&br&&/p&&p&&b&&i&总而言之，四维时空按场方程形式弯曲（不过场方程里只出现了里奇张量并不能唯一决定曲率张量）。而对于在其中运动的物质，只要不受力轨迹都是直的。只不过在三维空间投影弯了。而至于题主想问的看不见摸不着的时空怎么能观测到弯曲，已经由前面叙述的引力探测器B回答了。事实上，这样的实验很多，包括水星近日点进动、恒星光线偏折等都是因为时空弯曲造成的。&/i&&/b&正是因为非欧几何和欧氏几何许多的不同，让我们可以用物理手段观测到时空的弯曲。&/p&&p&&br&&/p&&p&PS.一切试图去想象四维以上空间具体形貌的尝试我都是不赞赏的，因为只能窥豹一斑，只有通过数学去理解高维空间，才能正真获得东西。&/p&
卸腰，一个好问题，但却不是一个容易一两句话说清楚的问题。为了避免众多科普图片给人产生的“弹簧床”式的误解，我打算从数学角度慢慢说起，所以文章会比较长，我一次更不完。以及阅读需要大量的耐心，不仅是在后面相对复杂的公式和图片，也在前面比较简单…
&p&睡前看到这个问题，实在忍不住来送个人头&/p&&p&上Meameamealokkapoowa oompa未免太不浪漫了&/p&&p&想来想去，还是决定葛立恒数了解一下~&/p&&blockquote&考虑一个n维的超立方体，连结所有顶点，有一个2^n个顶点的完全图。将这个图的每条边填上红色或黑色。求n的最小值，才使得所有填法中都必定存在一个在同一平面上有四个顶点的单色完全子图。&/blockquote&&p&这个问题的准确答案未知，但可以证明最终的解一定小于葛立恒数G&/p&&p&换而言之，葛立恒数G就是这个问题解的一个上界，在1977年被提出，1980年吉尼斯认定数学证明中出现过的最大的数字。&/p&&p&那么，葛立恒数有多大呢？&/p&&p&首先科学计数法肯定是不够用的，需要先定义高德纳箭号示数法&/p&&figure&&img src=&https://pic3.zhimg.com/50/v2-e2fa82ebe21e2d2a9eded3c_b.jpg& data-caption=&& data-size=&normal& data-rawwidth=&260& data-rawheight=&67& class=&content_image& width=&260&&&/figure&&p&然后再用递归定义双箭头「↑↑」&/p&&figure&&img src=&https://pic3.zhimg.com/50/v2-1a6e75f6cf_b.jpg& data-caption=&& data-size=&normal& data-rawwidth=&263& data-rawheight=&63& class=&content_image& width=&263&&&/figure&&figure&&img src=&https://pic1.zhimg.com/50/v2-fa4d74d6b3bb72d0c7bbc_b.jpg& data-caption=&& data-size=&normal& data-rawwidth=&680& data-rawheight=&71& class=&origin_image zh-lightbox-thumb& width=&680& data-original=&https://pic1.zhimg.com/50/v2-fa4d74d6b3bb72d0c7bbc_r.jpg&&&/figure&&p&换一个好理解的写法，就相当于&/p&&figure&&img src=&https://pic4.zhimg.com/50/v2-fdbf74564cbc1baeee2798d_b.jpg& data-caption=&& data-size=&normal& data-rawwidth=&798& data-rawheight=&204& class=&origin_image zh-lightbox-thumb& width=&798& data-original=&https://pic4.zhimg.com/50/v2-fdbf74564cbc1baeee2798d_r.jpg&&&/figure&&p&（注意中间那一段y个↑是从右往左运算的）&/p&&p&好的，到这一步我们暂停一下，看一下现在的数字有多大&/p&&figure&&img src=&https://pic2.zhimg.com/50/v2-bd48cce483a75df13c724afd39fb3d42_b.jpg& data-caption=&& data-size=&normal& data-rawwidth=&913& data-rawheight=&554& class=&origin_image zh-lightbox-thumb& width=&913& data-original=&https://pic2.zhimg.com/50/v2-bd48cce483a75df13c724afd39fb3d42_r.jpg&&&/figure&&p&作为参考，可观测宇宙中的总粒子数大约是3x10^80个&/p&&p&我们继续，依然用递归定义三箭头「↑↑↑」&/p&&figure&&img src=&https://pic2.zhimg.com/50/v2-824b74f2e48610defaaaf_b.jpg& data-caption=&& data-size=&normal& data-rawwidth=&293& data-rawheight=&63& class=&content_image& width=&293&&&/figure&&figure&&img src=&https://pic3.zhimg.com/50/v2-91a243a43bc_b.jpg& data-caption=&& data-size=&normal& data-rawwidth=&768& data-rawheight=&71& class=&origin_image zh-lightbox-thumb& width=&768& data-original=&https://pic3.zhimg.com/50/v2-91a243a43bc_r.jpg&&&/figure&&p&为了方便形象思维（真的有人还能形象思维吗？），还是化简成好懂的样子&/p&&figure&&img src=&https://pic3.zhimg.com/50/v2-194ba48c3fcd732c5f7f00b_b.jpg& data-caption=&& data-size=&normal& data-rawwidth=&699& data-rawheight=&158& class=&origin_image zh-lightbox-thumb& width=&699& data-original=&https://pic3.zhimg.com/50/v2-194ba48c3fcd732c5f7f00b_r.jpg&&&/figure&&p&以此类推，我们可以定义n箭头「↑...（n个）...↑」，这里不再赘述&/p&&p&下面我们来定义函数G(n)&/p&&figure&&img src=&https://pic4.zhimg.com/50/v2-4ccdf23d95c7_b.jpg& data-caption=&& data-size=&normal& data-rawwidth=&704& data-rawheight=&71& class=&origin_image zh-lightbox-thumb& width=&704& data-original=&https://pic4.zhimg.com/50/v2-4ccdf23d95c7_r.jpg&&&/figure&&p&嗯，让我们实际算一下G(n)大概是个什么感觉吧！&/p&&ul&&li&&b&G(1) = 3↑3 = 3→3→1 = 3→3 = 3^3 = 27&/b&&/li&&li&&b&G(2) = 3↑↑3 = 3→3→2 = 3↑(3↑3) = 3↑G(1) = 3↑27 = 7&/b&&/li&&li&&b&G(3) = 3↑↑↑3 = 3→3→3 = 3↑↑(3↑↑3) = 3↑↑G(2) = 3↑↑7&/b&&/li&&/ul&&figure&&img src=&https://pic1.zhimg.com/50/v2-befcb820ac44dc_b.jpg& data-caption=&& data-size=&normal& data-rawwidth=&328& data-rawheight=&321& class=&content_image& width=&328&&&/figure&&p&&br&&/p&&p&&br&&/p&&p&这个G(3)有多大呢？强烈建议看到这里的你再回头看一眼G(3)的小弟「3↑↑5」，然后在回来看着一大坨东西，你会有不一样的感触&/p&&p&然后，让我们继续&/p&&ul&&li&&b&G(4) = 3↑↑↑↑3 = 3→3→4 = 3↑↑↑G(3)&/b&&/li&&/ul&&figure&&img src=&https://pic2.zhimg.com/50/v2-7eff8cfea21b2e2f77da3b9_b.jpg& data-caption=&& data-size=&normal& data-rawwidth=&608& data-rawheight=&163& class=&origin_image zh-lightbox-thumb& width=&608& data-original=&https://pic2.zhimg.com/50/v2-7eff8cfea21b2e2f77da3b9_r.jpg&&&/figure&&ul&&li&&img src=&//www.zhihu.com/equation?tex=G%5E%7B2%7D%284%29+%3D+G%28G%284%29%29+%3D+3%E2%86%91%E2%80%A6%28G%284%29+%E4%B8%AA%E7%AE%AD%E5%A4%B4%29%E2%80%A6%E2%86%913+%3D+3%E2%86%923%E2%86%92G%284%29+%3D+3%E2%86%91%5E%7BG%284%29-1%7D3%E2%86%91%5E%7BG%284%29-2%7D%E2%80%A6%E2%86%%%913%E2%86%913& alt=&G^{2}(4) = G(G(4)) = 3↑…(G(4) 个箭头)…↑3 = 3→3→G(4) = 3↑^{G(4)-1}3↑^{G(4)-2}…↑33↑23↑3↑3& eeimg=&1&&&/li&&li&&img src=&//www.zhihu.com/equation?tex=G%5E%7B3%7D%284%29+%3D+G%28G%5E%7B2%7D%284%29%29+%3D+3%E2%86%91%E2%80%A6%28G%5E%7B2%7D%284%29+%E4%B8%AA%E7%AE%AD%E5%A4%B4%29%E2%80%A6%E2%86%913+%3D+3%E2%86%923%E2%86%92G%5E%7B2%7D%284%29& alt=&G^{3}(4) = G(G^{2}(4)) = 3↑…(G^{2}(4) 个箭头)…↑3 = 3→3→G^{2}(4)& eeimg=&1&&&/li&&li&………… &/li&&li&……&/li&&li&…&/li&&/ul&&p&那么，葛立恒数G是多少呢？&/p&&figure&&img src=&https://pic4.zhimg.com/50/v2-b3e0d23ac508c321cbcf_b.jpg& data-caption=&& data-size=&normal& data-rawwidth=&2127& data-rawheight=&921& class=&origin_image zh-lightbox-thumb& width=&2127& data-original=&https://pic4.zhimg.com/50/v2-b3e0d23ac508c321cbcf_r.jpg&&&/figure&&p&&br&&/p&&p&大，就是这么大&/p&&p&——&/p&&p&葛立恒数是最大的数——那也是1977年的事情了&/p&&p&有关大数的研究，一直在以跟大数本身一样难以想象的速度向前推荐，高德纳箭头法也很快不够用了，出现了更多更高级的方法…&/p&&p&30年后的2007年，在麻省理工的大数决斗活动中，拉约数横空出世，吊打一切&/p&&p&（突然意识到拉约数或许不符合题主对于「可验证」的要求）&/p&&p&我想按照题主的要求，或许是Greedy clique sequences的 &img src=&//www.zhihu.com/equation?tex=USGDCS_%7B2%7D%5E%7B10%7D100& alt=&USGDCS_{2}^{10}100& eeimg=&1&& 吧，这已经爆了葛立恒数三条街了&/p&&p&然而，我最喜欢的大数依然是葛立恒数。它代表了我逝去的青春，与那个尚未放弃学理科的高中生的未练&/p&&p&&br&&/p&&p&(?3[▓▓] 朱军晚安&/p&&p&&br&&/p&&p&——————&/p&&p&感谢 &a class=&member_mention& href=&//www.zhihu.com/people/bdad55a3e3aafefe72fc29c& data-hash=&bdad55a3e3aafefe72fc29c& data-hovercard=&p$b$bdad55a3e3aafefe72fc29c&&@西之园萌绘&/a& @jjw 帮忙捉虫！m(&i&_ _&/i&)m&/p&&p&——————&/p&&p&&br&&/p&&p&把一些可能出现的常见答案排个顺序，供楼主判定正确答案。&/p&&p&以下数字从上到下、从左到右，越来越大&/p&&p&&br&&/p&&p&&b&&/b&&/p&&p&&b&垓&/b&&/p&&p&&b&阿伏伽德罗常数&/b&&/p&&p&&b&穰&/b&&/p&&p&&b&贝尔芬格质数&/b&&/p&&p&&b&沟、涧、正、载、极&/b&&/p&&p&&b&恒河沙、阿僧抵、那由他&/b&&/p&&p&&b&Vigintillion&/b&&/p&&p&&b&不可思议&/b&&/p&&p&&b&无量&/b&&/p&&p&&b&Duovigintillion&/b&&/p&&p&&b&大数（取无量和大数是两个不同的数字说）&/b&&/p&&p&&b&Gazillion&/b&&/p&&p&&b&爱丁顿数（可观测宇宙中质子数）&/b&&/p&&p&&b&Sexvigintillion&/b&&/p&&p&&b&古戈尔&/b&&/p&&p&&b&Gooprol（比古戈尔大的最小质数）&/b&&/p&&p&&b&矜羯罗&/b&&/p&&p&&b&香农数（国际象棋的复杂度）&/b&&/p&&p&&b&阿迦罗&/b&&/p&&p&&b&Centillion&/b&&/p&&p&&b&最小的泰坦质数&/b&&/p&&p&&b&第一军团数&/b&&/p&&p&&b&Millillion&/b&&/p&&p&&b&载的最大值&/b&&/p&&p&&b&《银河系漫游指南》中，被扔进宇宙空间后，30秒内能被路过的宇宙飞船搭救的概率的倒数&/b&&/p&&p&&b&古戈尔弓&/b&&/p&&p&&img src=&//www.zhihu.com/equation?tex=10%5E%7BD& alt=&10^{1000000}& eeimg=&1&&&/p&&p&&b&博尔赫斯的小说《巴比伦图书馆》中，该图书馆的藏书数&/b&&/p&&p&&b&Milli-millillion&/b&&/p&&p&&b&第50个梅森质数（2018年初的现在已知的最大质数）&/b&&/p&&p&&b&第50个梅森质数所对应的完全数&/b&&/p&&p&&b&阿基米德《数沙术》中最大的数字单位&/b&&/p&&p&&b&不可说不可说转&/b&&/p&&p&&b&古戈尔普雷克斯&/b&&/p&&p&&b&古戈尔棒（古戈尔的阶乘）&/b&&/p&&p&&b&4↑↑4&/b&&/p&&p&&b&利维坦数&/b&&/p&&p&&b&第二军团数&/b&&/p&&p&&img src=&//www.zhihu.com/equation?tex=10%5E%7B10%5E%7BD%7D& alt=&10^{10^{1000000}}& eeimg=&1&&&/p&&p&&b&第一斯奎斯数&/b&&/p&&p&&b&古戈尔普雷克斯普雷克斯&/b&&/p&&p&&b&第二斯奎斯数&/b&&/p&&p&&img src=&//www.zhihu.com/equation?tex=10%5E%7B10%5E%7B10%5E%7BD%7D%7D& alt=&10^{10^{10^{1000000}}}& eeimg=&1&&&/p&&p&&b&最大的“天文数字”（宇宙学中最大的数字，把多元宇宙的质量塞进一个黑洞里。在其蒸发后重新形成黑洞所需的时间。单位是普朗克时间还是一千年其实已经无所谓了，数值大小约为3↑↑6）&/b&&/p&&p&&img src=&//www.zhihu.com/equation?tex=10%5E%7B10%5E%7B10%5E%7B10%5E%7BD%7D%7D%7D& alt=&10^{10^{10^{10^{1000000}}}}& eeimg=&1&&&/p&&p&&img src=&//www.zhihu.com/equation?tex=10%5E%7B10%5E%7B10%5E%7B10%5E%7B10%5E%7BD%7D%7D%7D%7D& alt=&10^{10^{10^{10^{10^{1000000}}}}}& eeimg=&1&&&/p&&p&&b&Bentley's Number（Jonathan Bowers的小说《永远的努力》中，为了赢得100万奖金所需要安装的滚轮数）&/b&&/p&&p&&b&吉戈尔（相当于10↑↑100）&/b&&/p&&p&&b&②（Steinhaus-Moser标记法，详情请参考Niconico视频「⑨≠バカを証明してみた」）&/b&&/p&&p&&b&上文中出现过的G(3)&/b&&/p&&p&&b&Folkman's number（跟葛立恒数一样在Ramsey theory研究中出现的一幅图的顶点数）&/b&&/p&&p&&b&Moser's number（在Steinhaus-Moser标记法中，一个②角形里面一个2）&/b&&/p&&p&&b&小葛立恒数（比葛立恒数更小的一个该问题的上界）&/b&&/p&&p&&b&葛立恒数（ ←我们在这(?o??o?) ? ）&/b&&/p&&p&&b&——【高德纳箭号的极限】——&/b&&/p&&p&&b&原始数列数&/b&&/p&&p&&b&TREE(3)&/b&&/p&&p&&b&SCG(13)&/b&&/p&&p&&b&BIGG&/b&&/p&&p&&b&拉约数&/b&&/p&&p&&b&BIG FOOT&/b&&/p&&p&&b&Sasquatch（Googology Wiki的用户在2017年定义出来的一个数，此时距离葛立恒数的提出恰好40年，距离拉约数的提出也已经正好10年了）&/b&&/p&&p&&b&——【我笔记本电量的极限】——&/b&&/p&&p&&b&如果看到这里的你，还想要了解更多巨大数的相关知识&/b&&/p&&p&&b&有日语能力的同学推荐去看小林銅蟲老师的漫画《寿司 虚空篇》&/b&&/p&&figure&&img src=&https://pic4.zhimg.com/50/v2-c16a1ebc44cd563dcd7aee_b.jpg& data-caption=&& data-size=&normal& data-rawwidth=&320& data-rawheight=&430& class=&content_image& width=&320&&&/figure&&p&&br&&/p&&p&朱军再见~ヾ(￣▽￣)&/p&
睡前看到这个问题，实在忍不住来送个人头上Meameamealokkapoowa oompa未免太不浪漫了想来想去，还是决定葛立恒数了解一下~考虑一个n维的超立方体，连结所有顶点，有一个2^n个顶点的完全图。将这个图的每条边填上红色或黑色。求n的最小值，才使得所有填法中…
&p&我来介绍一个可以做傅里叶分析的机器，简直酷炫到爆炸。从来没有想过傅里叶变换，在书本上这么抽象的东西，可以如此的有触感。&/p&&ol&&li&&b&100岁的机械计算机&/b&&/li&&/ol&&a class=&video-box& href=&//link.zhihu.com/?target=https%3A//www.zhihu.com/video/7758336& target=&_blank& data-video-id=&& data-video-playable=&true& data-name=&介绍历史& data-poster=&https://pic3.zhimg.com/80/v2-eca571a529da117d047aff84ac67c772_b.jpg& data-lens-id=&7758336&&
&img class=&thumbnail& src=&https://pic3.zhimg.com/80/v2-eca571a529da117d047aff84ac67c772_b.jpg&&&span class=&content&&
&span class=&title&&介绍历史&span class=&z-ico-extern-gray&&&/span&&span class=&z-ico-extern-blue&&&/span&&/span&
&span class=&url&&&span class=&z-ico-video&&&/span&https://www.zhihu.com/video/7758336&/span&
&/a&&p&&b&2. 傅里叶级数合成&/b&&/p&&p&这台机器可以根据傅里叶级数的公式，来合成函数图像：&/p&&p&&img src=&//www.zhihu.com/equation?tex=f%28x%29+%3D+%5Csum_%7Bn%3D1%7D%5E%7B%7D%7Ba_%7Bn%7Dcos%28nx%29%7D& alt=&f(x) = \sum_{n=1}^{}{a_{n}cos(nx)}& eeimg=&1&&&/p&&a class=&video-box& href=&//link.zhihu.com/?target=https%3A//www.zhihu.com/video/2800640& target=&_blank& data-video-id=&& data-video-playable=&true& data-name=&傅里叶合成& data-poster=&https://pic3.zhimg.com/80/v2-f28de3c2cec058ba1f8de_b.jpg& data-lens-id=&2800640&&
&img class=&thumbnail& src=&https://pic3.zhimg.com/80/v2-f28de3c2cec058ba1f8de_b.jpg&&&span class=&content&&
&span class=&title&&傅里叶合成&span class=&z-ico-extern-gray&&&/span&&span class=&z-ico-extern-blue&&&/span&&/span&
&span class=&url&&&span class=&z-ico-video&&&/span&https://www.zhihu.com/video/2800640&/span&
&/a&&p&&b&3. 傅里叶分析&/b&&/p&&p&更加震惊的是这台机器居然可以做！！！傅里叶变换和傅里叶逆变换！！！简直帅炸了！&/p&&a class=&video-box& href=&//link.zhihu.com/?target=https%3A//www.zhihu.com/video/7887232& target=&_blank& data-video-id=&& data-video-playable=&true& data-name=&傅里叶分析& data-poster=&https://pic3.zhimg.com/80/v2-758c848e1d6573aca1967491fcdb7316_b.jpg& data-lens-id=&7887232&&
&img class=&thumbnail& src=&https://pic3.zhimg.com/80/v2-758c848e1d6573aca1967491fcdb7316_b.jpg&&&span class=&content&&
&span class=&title&&傅里叶分析&span class=&z-ico-extern-gray&&&/span&&span class=&z-ico-extern-blue&&&/span&&/span&
&span class=&url&&&span class=&z-ico-video&&&/span&https://www.zhihu.com/video/7887232&/span&
&/a&&p&&b&4. 操作与设置&/b&&/p&&a class=&video-box& href=&//link.zhihu.com/?target=https%3A//www.zhihu.com/video/3557760& target=&_blank& data-video-id=&& data-video-playable=&true& data-name=&操作与设置& data-poster=&https://pic2.zhimg.com/80/v2-b207c5db9f518d61c6d89_b.jpg& data-lens-id=&3557760&&
&img class=&thumbnail& src=&https://pic2.zhimg.com/80/v2-b207c5db9f518d61c6d89_b.jpg&&&span class=&content&&
&span class=&title&&操作与设置&span class=&z-ico-extern-gray&&&/span&&span class=&z-ico-extern-blue&&&/span&&/span&
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我来介绍一个可以做傅里叶分析的机器，简直酷炫到爆炸。从来没有想过傅里叶变换，在书本上这么抽象的东西，可以如此的有触感。100岁的机械计算机2. 傅里叶级数合成这台机器可以根据傅里叶级数的公式，来合成函数图像：f(x) = \sum_{n=1}^{}{a_{n}cos(nx)}3.…
&figure&&img src=&https://pic4.zhimg.com/v2-918eede42fbb01adcc57106_b.jpg& data-rawwidth=&2247& data-rawheight=&1066& class=&origin_image zh-lightbox-thumb& width=&2247& data-original=&https://pic4.zhimg.com/v2-918eede42fbb01adcc57106_r.jpg&&&/figure&&p&&b&苏州乐志的创始人老张，其实不太喜欢P社游戏的“复杂”，但乐志软件在移动平台上的成绩却吸引到了P社的注意。老张向触乐透露了两家公司一次未能达成的合作：P社曾经找过他们发行手游。&/b&&/p&&blockquote&作者丨林志伟（知乎ID &a class=&member_mention& href=&http://www.zhihu.com/people/8231cdfc31ffe74e398e8& data-hash=&8231cdfc31ffe74e398e8& data-hovercard=&p$b$8231cdfc31ffe74e398e8&&@林内向&/a& ）&/blockquote&&p&&br&&/p&&p&喜欢策略游戏的玩家，应该都听说过“P社”——Paradox Interactive的大名。这家靠历史策略游戏起家的瑞典公司，靠着对历史的高度还原以及在游戏企业中比较少见的“唯物主义史观”受到了众多玩家的追捧。在移动平台上，也有一家公司的作品如P社五萌一样专注历史策略游戏，并将策略战斗从中世纪一直延续到太空时代——手游玩家可能都听说过《欧陆战争4》《世界征服者3》《将军的荣耀》这些游戏的大名，它们虽然在量级上不如P社五萌，却品质出众，包括我在内的许多国内玩家，在初接触这些游戏时都认为它们出自国外团队之手，其实它们全是100%的国人制作。&/p&&p&这家被称为“中国P社”的公司位于苏州，全名是苏州乐志软件科技有限公司，英文简称EasyTech，因而国内粉丝们更愿意称他们为“E社”。&/p&&figure&&img src=&https://pic4.zhimg.com/v2-2fe992cfe18f9aa05cc3f_b.jpg& data-size=&normal& data-rawwidth=&225& data-rawheight=&225& class=&content_image& width=&225&&&figcaption&乐志软件软件的Logo&/figcaption&&/figure&&p&或许与他们的游戏题材大多比较国际化，也鲜少在国内宣传有关，乐志软件的产品在国外的受欢迎程度甚至还要略高于国内。2016年，他们的作品《世界征服者3》预告视频在YouTube上发布，至今累计了200多万次播放，受关注程度不亚于一些流行的热门大作。&/p&&figure&&img src=&https://pic2.zhimg.com/v2-825c61aef8ad94d779e41e_b.jpg& data-size=&normal& data-rawwidth=&700& data-rawheight=&517& class=&origin_image zh-lightbox-thumb& width=&700& data-original=&https://pic2.zhimg.com/v2-825c61aef8ad94d779e41e_r.jpg&&&figcaption&YouTube上《世界征服者3》的预告视频，播放量已经超过212万次&/figcaption&&/figure&&p&乐志软件最早成立于2009年，开始是以工作室的形式存在。当时除了公司的三名主要创始人还有其他一些成员。由于前2款产品销量一般，工作室的房租和成员的报酬都无法落实，这也直接导致了很多成员的离去。直到《欧陆战争2》和《世界征服者1945》的出现，拿到了苹果推荐和多国付费第一的位置，乐志才真正起步。&/p&&p&6年之后，他们依旧坚持做着自己擅长的游戏，但是他们认为，称自己为“中国P社”还是有一些不妥。&/p&&h2&&b&丨 “中国P社”&/b&&/h2&&p&面对触乐的访问，3名创始人都觉得“中国P社”这个称呼有失偏颇。他们的看法是，两家公司的产品是有差异的，最明显的一点就是复杂程度不同。P社开发的端游无论在系统还是内容上，都比乐志的手游要丰富许多。&/p&&p&“P社游戏的复杂性有人爱有人恨，我们也不好对其妄加评价，”乐志的总经理张悦却告诉触乐，他曾经想很认真的把P社的游戏玩通一遍，但是却经常最后选择了放弃。&/p&&p&“老张”是个有二三十年历史的游戏玩家，也是策略游戏的铁杆粉丝，对于P社这家早已在策略玩家群体中声名远播、又常被拿来和乐志软件作比较的公司早有耳闻。老张从《钢铁雄心3》开始玩P社的游戏，至今玩得最多的也是“钢铁雄心”系列，不为别的，只因为这是P社游戏中较为简单的一个系列。&/p&&figure&&img src=&https://pic1.zhimg.com/v2-77e21ed9feb0b3af135e0_b.jpg& data-size=&normal& data-rawwidth=&700& data-rawheight=&526& class=&origin_image zh-lightbox-thumb& width=&700& data-original=&https://pic1.zhimg.com/v2-77e21ed9feb0b3af135e0_r.jpg&&&figcaption&《钢铁雄心3》游戏画面&/figcaption&&/figure&&p&说简单也只是相对简单而已，玩了多年战略游戏的老张刚接触P社的游戏时，就像是个完全没玩过游戏的人。在《钢铁雄心3》中一开始他玩的是德国，本来打算走走历史路线，把军队都调到波德边界，打一次闪电战，结果一切布置妥当之后才发现国际紧张度不够，没法宣战。之后，他又试了试在游戏中使用南京国民政府，想在日本人打来之前搞搞“攘外必先安内”，结果一开战几十万国民党军被几万晋绥军一路平推，从被人从山西一路打到了长江边上。&/p&&p&老张买了许多P社的游戏，却没有一款的游戏时间超过20小时。老张说，P社游戏过于繁复的系统让他很难感受到游戏的乐趣，策略类游戏的战术可以复杂，但系统如果过于臃肿，玩家就难以以此为乐了。&/p&&figure&&img src=&https://pic2.zhimg.com/v2-c75cdbc8f3b9_b.jpg& data-size=&normal& data-rawwidth=&700& data-rawheight=&555& class=&origin_image zh-lightbox-thumb& width=&700& data-original=&https://pic2.zhimg.com/v2-c75cdbc8f3b9_r.jpg&&&figcaption&比起《钢铁雄心3》老张更喜欢这款名为《Unity of Command》的游戏，这是他的游戏时间截图&/figcaption&&/figure&&p&老张不太喜欢P社游戏的“复杂”，但乐志软件在移动平台上的成绩却吸引到了P社的注意。老张向触乐透露了两家公司一次未能达成的合作：P社曾经找过他们发行手游。&/p&&p&P社当时的计划是，将游戏的开发全权委托给乐志，自己仅提供“钢铁雄心”的IP。不过，考虑到乐志旗下已有“世界征服者”“将军的荣耀”等多个二战题材游戏，再出一个“手游版《钢铁雄心》”未免有些重复。在多方考虑后，乐志软件婉拒了P社方面的合作意向。&/p&&p&“因为我们不想只当一个IP的外包公司，我们也有自己的品牌，即便P社的IP很大，我们也不想做他们的IP外包商。”老张说这是他们拒绝和P社合作的最大原因。另外，被P社游戏里的AI数次打爆的老张还告诉触乐，他觉得P社的游戏过于拘泥于历史的真实性，而乐志的产品“历史只是一层外皮，核心还是策略玩法”。&/p&&figure&&img src=&https://pic4.zhimg.com/v2-4a32a03bc6b3d7c901a7_b.jpg& data-size=&normal& data-rawwidth=&700& data-rawheight=&394& class=&origin_image zh-lightbox-thumb& width=&700& data-original=&https://pic4.zhimg.com/v2-4a32a03bc6b3d7c901a7_r.jpg&&&figcaption&《世界征服者4》&/figcaption&&/figure&&p&身为乐志软件的总经理与“金牌制作人”（另一位创始人语），这种对待游戏与历史的观念影响了公司旗下的许多作品——要了解乐志软件的公司文化与追求，还得从老张说起。&/p&&h2&&b&丨 战棋游戏&/b&&/h2&&p&老张是乐志软件的总经理，也是主策划与主程序，从某种意义上来说，他是初创团队的主心骨。作为公司创始人之一，乐志软件几乎所有的主要产品都带有他的个人色彩。&/p&&p&老张出生在南方的一个小康之家，父亲在改革开放初期开始从事贸易工作，优渥的生活条件为他当年玩游戏提供了不少便利。在同龄人还只能玩玩街机的时候，老张的父亲就从深圳为他带来了一架原装正版的任天堂FC，外带几张正版游戏卡带。&/p&&p&老张对那些风靡世界的动作类丝毫不感兴趣，二三十年过去，唯一让他留下印象的只有《魂斗罗》和它的开场动画，这是它的正版标志。老张真正喜欢的是策略游戏。&/p&&p&上个世纪90年代，读小学的老张从某个盗版商手里买到了一张《火焰之纹章：纹章之谜》，这款游戏从某种意义上开启了他几十年的策略游戏之路。在创业成功之后，他还不厌其烦地向公司的策划们推荐这款游戏。&/p&&figure&&img src=&https://pic1.zhimg.com/v2-df30b505cb83cf91b8f0_b.jpg& data-size=&normal& data-rawwidth=&700& data-rawheight=&394& class=&origin_image zh-lightbox-thumb& width=&700& data-original=&https://pic1.zhimg.com/v2-df30b505cb83cf91b8f0_r.jpg&&&figcaption&《火焰之纹章：纹章之谜》，该作在NDS上还有复刻版&/figcaption&&/figure&&p&当然，FC并不是策略游戏的黄金时期，SFC才是它们叱咤风云的时代。老张这回并没有买到SFC，想要玩只能去游戏机厅，或是借。&/p&&p&那时候的战棋游戏流程都不短，想要通关得花上好几十个小时。SFC也没有云存档功能，只能在结束游戏前把存档拷到磁盘里，等到下一次再接着玩。按照那个年代的物价，买一张国产磁盘需要两块钱，不便宜也不贵，而一张索尼出品的磁盘，价格则高达12元。老张一开始都是用国产磁盘，直到有一次磁盘受损，里面辛辛苦苦打了几个月的《皇家骑士团》存档灰飞烟灭，他才下定决心存钱买一张索尼的高级货。&/p&&p&还好当时的老张要攒下12块钱不是什么难事。家庭环境不错，加之家中长辈众多，而且老张家一直以来都奉行开明的教育方针，12元钱很快就凑齐了。之后，靠着这张索尼磁盘，老张在SFC上玩了无数的经典战棋游戏。&/p&&figure&&img src=&https://pic2.zhimg.com/v2-d86050afce396e5d604281_b.jpg& data-size=&normal& data-rawwidth=&700& data-rawheight=&394& class=&origin_image zh-lightbox-thumb& width=&700& data-original=&https://pic2.zhimg.com/v2-d86050afce396e5d604281_r.jpg&&&figcaption&为弥补遗憾，老张去年在淘宝上买了一个SFC Mini放在办公室&/figcaption&&/figure&&p&游戏厅的岁月，给老张留下最深刻印象的是《三国英杰传》。这款游戏之后出过PC版，但是老张没有玩，因为他觉得PC版的《三国英杰传》“弱爆了”。多年之后，老张依旧能回忆起游戏中的诸多细节，譬如“司马懿、司马昭、司马师3人都是有落雷技能的妖术师，自己的大将赵云面对他们，一个照面就被秒杀了。”&/p&&p&开明的方针有利有弊，老张在高中玩了不少的游戏，成绩也一落千丈，一下子从年级前十掉到了倒数第二。不过，也许是战棋游戏磨练了老张的头脑，他在高三时“稍微逆袭了一下”，考上了苏州的一所大学。&/p&&p&从小学到大学，老张都觉得自己和周围的同学不在一个时代。初高中的时候，他就是全班唯一一个玩SFC的人，其他同学最多玩玩FC，更多的人日常娱乐还是看电视剧或是别的什么流行娱乐。&/p&&p&1998年上大学时，老张买了一台586，在当时这样一台机子绝对能算得上是大件。在这台电脑上，他第一次接触了战棋以外的游戏类型，不过出于兴趣，大多数玩下去的还是策略游戏。&/p&&p&老张当时最喜欢的游戏RTS的鼻祖之一是《命令与征服》，按他的话来说，“我是第一次知道游戏可以做成这样”。另一款让他惊异的游戏是汉堂的《炎龙骑士团：邪神之封印》，这款游戏让他发现“原来国人做战棋游戏也可以做得很好，还不必拘泥于中国题材”。&/p&&figure&&img src=&https://pic3.zhimg.com/v2-ff457d69a659cbbebe235e_b.jpg& data-size=&normal& data-rawwidth=&320& data-rawheight=&200& data-thumbnail=&https://pic3.zhimg.com/v2-ff457d69a659cbbebe235e_b.jpg& class=&content_image& width=&320&&&figcaption&《炎龙骑士团：邪神之封印》&/figcaption&&/figure&&h2&&b&丨 珠海第三波&/b&&/h2&&p&大学毕业之后，老张去了珠海第三波工作，其间参与了《三国赵云传》的开发。除了喜欢游戏外，他当时去第三波的真实目的，其实是因为第三波是当时日本光荣的}
&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&签到排名：今日本吧第个签到，本吧因你更精彩，明天继续来努力！
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问一下 除了破灭 打这个巨神兵还可以用什么
朱雀无双黑海红鲨
朱雀无双输出都不比破灭慢
朱雀，无双
狼魂就行，输出1200K+的都能用
朱雀无双。
朱雀无双斩魂天龙
但是保命还是破灭最强
天龙吊 龙蛋伤害全吃
绷带狙机关枪
贴吧热议榜
使用签名档&&
保存至快速回贴奥西里斯的天空龙，巨神兵，拉的翼神，还有多少人记得？【反恐精英ol吧】_百度贴吧
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奥西里斯的天空龙，巨神兵，拉的翼神，还有多少人记得？
他们三个，谁更厉害？
巨神兵，楚轩说的
神兵，血攻都4000+
修特姆贝洛克的黄金城
这三个东西只让我想起了无限恐怖
虽然这里是CSOL吧，但我还是回答你吧天空龙攻击按手牌算，1张+1000，有无限手札这张魔法卡才牛B巨神兵攻防固定4000，一般一般拉翼神龙攻击按3头献祭怪兽总和算，如果3头白龙的话也无法过万基本拉翼神龙占优势
光之创造神最厉害
真红眼黑龙
黑暗大法师
黑暗大法师
大法师最厉害
个人喜欢巨神
回复9楼：貌似巨神兵一个效果可以短暂提升攻击力至无限大的吧？
12 13 14太有默契了~.
卡多 天空龙nb 神兵稳定 , 翼神龙看祭品.
光之创造神可是三神兽的融合！
我记得有个叫黑暗大法师吧，无限攻无限防的
貌似他们融合是光之创造神吗？
什么会聚了3个什么什么的力量的究极啥的
好像有张叫胜利勋章什么的,出来直接赢
三张都是神族吧。
巨神兵用2头怪物做牺牲可以无限大
索克秒杀一切 前面JJ都变成龙头了
三幻神融合
无限大~~~奥西里斯天空龙
X根据手牌数量决定拉的翼神 ？？？？巨神兵
无限攻防是不是要拿满封印合起来的？我忘得差不多了
我有张巨神兵是用英文写的前面也有水印是真的吗?
回复21楼：呃，百度百科有介绍，其实都是虚的，攻无限，防无限有很多，黑暗大法师，什么黑暗石板，什么光石板的！
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保存至快速回贴CSGIS参会台湾企业系列介绍：雷爵网络
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两岸游戏产业高峰论坛及产品对接会（简称CSGIS）将于5月22号在上海举行，此次大会邀请到中国台湾智冠游戏、雷爵网络、远传电信、台湾大哥大以及中国大陆游久时代、中手游、骏梦、游族、百度游戏、巨人网络、蓝港在线、中青宝、金山网络等上百家知名企业参加。CSGIS参会台湾企业介绍系列将会逐一介绍本次参会的中国台湾企业，本次将向读者介绍以推出游戏史上第一款纯国人自制研发网络游戏而闻名海内外的「雷爵网络」。
「雷爵网络」，凭借优异研发实力，长久以来所推出的各项自制产品一直深获玩家支持与肯定。而今，雷爵网络深知玩家需要的是更多元、更俱娱乐效果的感受，因此全心研发手机，以世界级的技术，推出《摇滚尸》、《勇者跑跳碰》、《T.M.O》等，兼具原创性与娱乐性的，带给全台湾乃至于全世界的玩家，更丰富、更多元的娱乐享受，同时积极寻找最精锐的海内外合作厂商，让雷爵能够再次走出世界，全方位的为广大的玩家们服务，写下台湾史上新一页的奇迹。
◆ 《摇滚尸》-GameStar金奖荣耀，Rocker变身救世主！
在末日来临时，尸成为世界的新主宰，残存的人类只能奋力求生，而人类的希望，竟然就是充满摇滚风格的电吉他！当音乐随着手上的节奏响起，尸将由毁灭者化身为最强力的助手，在这场末日救赎的战役中，摇滚就是人类最后的希望！
由雷爵网络自制研发的《摇滚尸》，甫一推出就荣获「Game Star之星」动作冒险金奖的肯定，是一款将节奏以及创新触控式玩法，相互完美结合的动作。玩家必须按照音乐的节奏，并且配合手势的上下滑动，谱出美妙的旋律，藉此控制尸们前进、后退、防御，并且攻击邪恶的尸们。研发团队精心设计了最摇滚的曲目，最简单的节奏玩法，同时也致力创造，各式各样有趣搞怪的尸，玩家可看到许多世界经典人物，化身尸站上战场，如：性感女神「玛丽莲梦露」、功夫大师「李小龙」、摇滚乐之神「猫王」…等。玩家在冒险的途中，将不断用音乐感化尸，让它们也感受到摇滚乐的魔力，而与玩家一同努力拯救世界。
◆ 《勇者跑跳碰》-跑酷热潮全民疯，勇者也来跑跳碰！
在一个充满童话风格的世界中，原本宁静安详的小村庄，某一天忽然遭受到老鼠大军的袭击，什么都没有准备的勇者，只好先逃之夭夭。为了协助勇者逃离鼠王无情的追击，玩家必须操纵勇者，靠着左右摇晃手机，藉此闪避路上的障碍物，当路上遇到悬崖时，则必须点击屏幕，帮助勇者跳过难关，同时为了累积实力，更要不断的拾取路上的金钱，作为未来战斗的基金，当玩家跑得够远的时候，则可以开启特殊模式，这时候就是反过来，换你追着鼠王打
随着近年席卷全台的路跑风潮兴起，雷爵网络另辟途径，开发出集合 3D 跑酷及角色扮演元素的《勇者跑跳碰》，这个崭新的概念以及新颖的设计，也让《勇者跑跳碰》获得，「2013年第十届中国产业年会」秀手游类第一名的殊荣。玩家将在急速奔跑的过程中，同时体验角色升级、换装、打怪的乐趣。同时为了推扩身心健康，《勇者跑跳碰》也与交互式健身车X-bike结合，将实际应用在健身车上面，让玩家可以同时达到健身以及娱乐的效果。在2014年参加健身器材展时，引起许多参展民众以及厂商的关注，现场试玩人潮久久不散，获得了极大的回响与讨论。
◆ 《T.M.O》次世代3D手游，古代巨神兵苏醒！
在遥远的泰坦大陆上，人们原本平静的生活，被邪恶魔物的入侵所打破，众神为协助人类抵御邪恶势力，将神界最强兵器「巨神兵」赐予人类。各种只有在古籍中才见的到名字的天神，如：「宙斯」、「撒旦」、「盘古」，将一一化身为最强悍的重型机甲，挺身保护人们不受伤害，而人类也就此开始展开反击。
《T.M.O》由北京人人以及雷爵网络携手合作开发，由两岸最顶级研发团队，以大型制作的技术与水平为基底，打造全新3D手机RPG大作，玩家将可以在手机上，体验到可比拟大型在线的顶级画面，以及行云流水的顺畅操作感。玩家将在中操作，高达数十层楼的巨神兵，完成一个又一个的任务，并且一次次的打倒魔物。玩家透过手指滑动操作，就可引导巨神兵移动，简单点击技能钮，即可不断施放出惊天动地、效果华丽的各种必杀技，摧毁阻挡在前方的邪恶魔物，让泰坦大陆回复以往的和平。
雷爵网络在产业的道路上，始终秉持研发与营运并重的路线，凭借不断与时俱进的研发卓越技术，持续以创新思维提升自行研发能力；还有重视玩家需求为根本基础的营运团队，以亲切态度服务所有玩家，持续带来最全面、最深入的梦想及娱乐享受，并以用心、努力、诚恳、务实的态度，希望找到与雷爵拥有相同信念、可以一同创造未来，并打造出世界顶级的合作伙伴。持续带领产业迈向未来的新时代！
(责编：杨虞波罗、沈光倩)
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by www.people.com.cn all rights reserved
人 民 网 版 权 所 有 ，未 经 书 面 授 权 禁 止 使 用
Copyright &
by www.people.com.cn. all rights reserved&p&机器学习中的统计学和矩阵理论是最重要的，就不说了&br&&br&学机器学习的Convex Optimization测度论和泛函是绕不过的，而Convex Optimization可以说是机器学习的入门问题吧。但并不意味着要完整和深入的学习。从零开始完整的学习一个理论可以说是我国高等教育的一般性做法，而事实上如果仅仅只需要达到工程师的水平很浪费时间。但不学也不行，理论也要理解，不学好Convex Optimization很多相关的论文都读不懂的。所以我在德国研究生阶段上的Convex Optimization课是这么个形式，先半个学期老师给大家介绍测度论和泛函，搞清楚基础概念，理论介绍就算完了，在此之前学生都没学过。然后开始讲Convex Optimization和相关算法，到了最后期末，我们已经能够证明一些简单的问题并看懂会用到Convex Optimization的论文了，至此足矣。你要让我简述一下测度论和泛函，那我是说不出来的。并且就算是研究计算机视觉的博士和博士后，大部分数学功底都一般，绝对谈不上数学家，相关理论都是临时学的。他们终究是研究现实问题，数学只是工具，而且他们关注的领域很狭窄，只要学会了相关的理论，基本就通吃了。下文只是谈到了很多可能性，譬如微分几何用于三维表面分析，关注这一方面的研究者或者工程师（譬如做游戏的，搞3D渲染器的，做人脸识别的，三维重建的）只需要学好微分几何就行了，群论图论不需要懂。其实作为研究者需要学习的数学还是有限的，远远称不上是数学家。&br&&br&&br&&a href=&//link.zhihu.com/?target=http%3A//blog.sciencenet.cn/blog-694.html& class=& wrap external& target=&_blank& rel=&nofollow noreferrer&&科学网—[转载]《和机器学习和计算机视觉相关的数学（from LinDahua）》&/a&&br&&br&链接中的文章很详细&br&&br&（以下转自一位MIT牛人的空间文章，写得很实际：）&br&&strong&作者：&/strong&&strong&Dahua&/strong&&br&&br&感觉数学似乎总是不够的。这些日子为了解决research中的一些问题，又在图书馆捧起了数学的教科书。从大学到现在，课堂上学的和自学的数学其实不算少了，可是在研究的过程中总是发现需要补充新的数学知识。&strong&Learning&/strong&&strong&和&/strong&&strong&Vision&/strong&都是很多种数学的交汇场。看着不同的理论体系的交汇，对于一个researcher来说，往往是非常exciting的enjoyable的事情。不过，这也代表着要充分了解这个领域并且取得有意义的进展是很艰苦的。记得在两年前的一次blog里面，提到过和learning有关的数学。今天看来，我对于数学在这个领域的作用有了新的思考。对于Learning的研究，&br&&br&1、&strong&Linear Algebra (&/strong&&strong&线性代数&/strong&&strong&) &/strong&&strong&和&/strong&&strong& Statistics (&/strong&&strong&统计学&/strong&&strong&) &/strong&&strong&是最重要和不可缺少的。&/strong&这代表了Machine Learning中最主流的两大类方法的基础。一种是以&strong&研究函数和变换&/strong&为重点的&strong&代数方法&/strong&，比如&strong&Dimension reduction&/strong&&strong&，&/strong&&strong&feature extraction&/strong&&strong&，&/strong&&strong&Kernel&/strong&等，一种是以&strong&研究统计模型和样本分布&/strong&为重点的&strong&统计方法&/strong&，比如&strong&Graphical model, Information theoretical models&/strong&等。它们侧重虽有不同，但是常常是共同使用的，&strong&对于&/strong&&strong&代数方法&/strong&&strong&，往往需要&/strong&&strong&统计上的解释&/strong&&strong&，对于&/strong&&strong&统计模型&/strong&&strong&，其&/strong&&strong&具体计算则需要代数的帮助&/strong&。以代数和统计为出发点，继续往深处走，我们会发现需要更多的数学。 &br&&br&2、&strong&Calculus (&/strong&&strong&微积分&/strong&&strong&)&/strong&&strong&，只是数学分析体系的基础。&/strong&其基础性作用不言而喻。Learning研究的大部分问题是在连续的度量空间进行的，无论代数还是统计，在研究优化问题的时候，对一个&strong&映射的微分或者梯度的分析&/strong&总是不可避免。而在统计学中，&strong&Marginalization&/strong&&strong&和积分&/strong&更是密不可分——不过，以解析形式把积分导出来的情况则不多见。&br&&br&3、&strong&Partial Differential Equation &/strong&&strong&（偏微分方程&/strong&&strong&)&/strong&&strong&，&/strong&这主要用于&strong&描述动态过程&/strong&，或者&strong&仿动态过程&/strong&。这个学科在Vision中用得比Learning多，主要用于&strong&描述连续场的运动或者扩散过程&/strong&。比如&strong&Level set, Optical flow&/strong&都是这方面的典型例子。&br&&br&4、&strong&Functional Analysis (&/strong&&strong&泛函分析&/strong&&strong&)&/strong&&strong&，&/strong&通俗地，可以理解为&strong&微积分&/strong&&strong&从&/strong&&strong&有限维&/strong&&strong&空间到&/strong&&strong&无限维&/strong&&strong&空间的&/strong&&strong&拓展&/strong&——当然了，它实际上远不止于此。在这个地方，函数以及其所作用的对象之间存在的对偶关系扮演了非常重要的角色。Learning发展至今，也在向无限维延伸——从研究&strong&有限维向量&/strong&的问题到&strong&以无限维的函数&/strong&为&strong&研究对象&/strong&。Kernel Learning 和 Gaussian Process 是其中典型的例子——其中的核心概念都是Kernel。很多做Learning的人把Kernel简单理解为Kernel trick的运用，这就把kernel的意义严重弱化了。在&strong&泛函&/strong&里面，&strong&Kernel (Inner Product)&/strong&是&strong&建立整个博大的代数体系的根本&/strong&，从&strong&metric, transform&/strong&到&strong&spectrum&/strong&都根源于此。&br&&br&5、&strong&Measure Theory (&/strong&&strong&测度理论&/strong&&strong&)&/strong&&strong&，&/strong&这是和实分析关系非常密切的学科。但是测度理论并不限于此。从某种意义上说，Real Analysis可以从&strong&Lebesgue Measure&/strong&&strong&（勒贝格测度）&/strong&推演，不过其实还有很多别的测度体系——&strong&概率&/strong&&strong&本身就是一种&/strong&&strong&测度&/strong&。测度理论对于Learning的意义是根本的，&strong&现代统计学&/strong&&strong&整个就是建立在&/strong&&strong&测度理论的基础之上&/strong&——虽然初级的概率论教科书一般不这样引入。在看一些统计方面的文章的时候，你可能会发现，它们会把统计的公式改用测度来表达，这样做有两个好处：所有的推导和结论不用分别给连续分布和离散分布各自写一遍了，这两种东西都可以用同一的测度形式表达：&strong&连续分布的积分&/strong&&strong&基于&/strong&&strong&Lebesgue&/strong&&strong&测度&/strong&，&strong&离散分布的求和&/strong&&strong&基于&/strong&&strong&计数测度&/strong&，而且还能推广到那种既不连续又不离散的分布中去（这种东西不是数学家的游戏，而是已经在实用的东西，在Dirchlet Process或者Pitman-Yor Process里面会经常看到)。而且，即使是连续积分，如果不是在欧氏空间进行，而是在更一般的拓扑空间（比如微分流形或者变换群），那么传统的黎曼积分（就是大学一年级在微积分课学的那种）就不work了，你可能需要它们的一些推广，比如&strong&Haar Measure&/strong&或者&strong&Lebesgue-Stieltjes&/strong&积分。&br&&br&6、&strong&Topology&/strong&&strong&（拓扑学&/strong&&strong&)&/strong&&strong&，&/strong&这是学术中很基础的学科。它一般不直接提供方法，但是它的很多概念和定理是其它数学分支的基石。看很多别的数学的时候，你会经常接触这样一些概念：&strong&Open set / Closed set&/strong&&strong&，&/strong&&strong&set basis&/strong&&strong&，&/strong&&strong&Hausdauf, continuous function&/strong&&strong&，&/strong&&strong&metric space, Cauchy sequence, neighborhood, compactness, connectivity&/strong&。很多这些也许在大学一年级就学习过一些，当时是基于极限的概念获得的。如果，看过拓扑学之后，对这些概念的认识会有根本性的拓展。比如，连续函数，当时是由epison法定义的，就是无论取多小的正数epsilon，都存在xxx，使得xxx。这是需要一种metric去度量距离的，在general topology里面，对于连续函数的定义连坐标和距离都不需要——如果&strong&一个映射使得开集的原像是开集&/strong&，它就是&strong&连续&/strong&的——至于开集是基于集合论定义的，不是通常的&strong&开区间&/strong&的意思。这只是最简单的例子。当然，我们研究learning也许不需要深究这些数学概念背后的公理体系，但是，打破原来定义的概念的局限在很多问题上是必须的——尤其是当你研究的东西它不是在欧氏空间里面的时候——&strong&正交矩阵，变换群，流形，概率分布的空间&/strong&，都属于此。&br&&br&7、&strong&Differential Manifold (&/strong&&strong&微分流形&/strong&&strong&)&/strong&&strong&，&/strong&通俗地说它研究的是平滑的曲面。一个直接的印象是它是不是可以用来fitting一个surface什么的——当然这算是一种应用，但是这是非常初步的。&strong&本质上说&/strong&，&strong&微分流形研究的是&/strong&&strong&平滑的拓扑结构&/strong&。一个&strong&空间构成微分流形&/strong&的基本要素是局部平滑：从&strong&拓扑学&/strong&来理解，就是它的任意局部都同胚于欧氏空间，从&strong&解析&/strong&的角度来看，就是相容的局部坐标系统。当然，在全局上，它不要求和欧氏空间同胚。它除了可以用于刻画集合上的平滑曲面外，更重要的意义在于，它可以用于研究很多重要的集合。一个n-维线性空间的全部k-维子空间(k &br&&br&&br&8、&strong&Lie Group Theory (&/strong&&strong&李群论&/strong&&strong&)&/strong&&strong&，&/strong&一般意义的群论在Learning中被运用的不是很多，群论在Learning中用得较多的是它的一个重要方向&strong&Lie group&/strong&。定义在平滑流形上的群，并且其群运算是平滑的话，那么这就叫李群。因为Learning和编码不同，更多关注的是连续空间，因为Lie group在各种群中对于Learning特别重要。各种子空间，线性变换，非奇异矩阵都基于通常意义的矩阵乘法构成李群。在李群中的映射，变换，度量，划分等等都对于Learning中代数方法的研究有重要指导意义。&br&&br&9、&strong&Graph Theory&/strong&&strong&（图论&/strong&&strong&)&/strong&&strong&，&/strong&图，由于它在表述各种关系的强大能力以及优雅的理论，高效的算法，越来越受到Learning领域的欢迎。经典图论，在Learning中的一个最重要应用就是graphical models了，它被成功运用于分析统计网络的结构和规划统计推断的流程。Graphical model所取得的成功，图论可谓功不可没。在Vision里面，maxflow (graphcut)算法在图像分割，Stereo还有各种能量优化中也广受应用。另外一个重要的图论分支就是Algebraic graph theory (代数图论)，主要运用于图的谱分析，著名的应用包括Normalized Cut和Spectral Clustering。近年来在semi-supervised learning中受到特别关注。&/p&
机器学习中的统计学和矩阵理论是最重要的，就不说了 学机器学习的Convex Optimization测度论和泛函是绕不过的，而Convex Optimization可以说是机器学习的入门问题吧。但并不意味着要完整和深入的学习。从零开始完整的学习一个理论可以说是我国高等教育的一…
&p&卸腰，一个好问题，但却不是一个容易一两句话说清楚的问题。&b&&i&为了避免众多科普图片给人产生的“弹簧床”式的误解&/i&&/b&，我打算从数学角度慢慢说起，所以文章会比较长，我一次更不完。以及阅读需要大量的耐心，不仅是在后面相对复杂的公式和图片，也在前面比较简单粗暴的基础知识。&/p&&hr&&p&&b&&i&补一些自己的想法：&/i&&/b&&/p&&p&前几天看到这个问题：&/p&&a data-draft-node=&block& data-draft-type=&link-card& href=&https://www.zhihu.com/question/& data-image=&https://pic2.zhimg.com/v2-50c1b7f7d089abc34a573b5_180x120.jpg& data-image-width=&1037& data-image-height=&645& class=&internal&&辛苦科普八百年，一夜回到解放前是一种怎样的体验？&/a&&p&于是我就在想，地球科学这些人至少还有一段时间处于解放后，像相对论量子力学这一块却一直还在打第一次国共内战。都是搞科普的为啥差距那么大？仔细想想，地球科学、生物科学等学科科普时囿于学科特性，大多数是以图片加例子的形式给大家说的，其实就相当于给小朋友们看一下静电让毛发竖起来这样的实验。小朋友们对静电自然很兴奋，也能叽叽喳喳和你聊上几句，让人有了解放区的天是朗朗的天的错觉。要是碰到什么防电场辐射这种稍微复杂的问题，他们就又搞不懂了。上面问题中的所谓地球的真正形状就相对于一个稍微复杂的问题。&/p&&p&&br&&/p&&p&这时就有人说了，人家霍金写的《时间简史》通俗易懂，堪称科普界楷模，你们还要学习一个。但忽视了《时间简史》是1988年出版的，那时候黑洞、大爆炸等等一系列东西对民众来说还是新东西。这些东西的科普风格贴近博物学在那时是没有问题的，大家伙就好像第一次看天堂鸟一样，新奇激动。但时代不同了，现在看过《时间简史》不出来装的比出来装的还多了。&/p&&figure&&img src=&https://pic2.zhimg.com/50/v2-cd546a82fa10ccdcec204ee_b.jpg& data-rawwidth=&940& data-rawheight=&726& data-size=&normal& data-default-watermark-src=&https://pic3.zhimg.com/50/v2-3dbfdea99a061_b.jpg& class=&origin_image zh-lightbox-thumb& width=&940& data-original=&https://pic2.zhimg.com/50/v2-cd546a82fa10ccdcec204ee_r.jpg&&&figcaption&天堂鸟&/figcaption&&/figure&&p&我和民科打了许久的交道，每次都发现因为大多数围观群众只知其然不知其所以然，导致在与民科的斗争中，持同情态度的路人无法积极参与进来。后来我明白了：“画图救不了中国人！”好多人就说了，这些数学的东西，内行人用看，外行人看不懂。实际上忽略了一个问题就是广义相对论这种东西的数学推导好多人即使学过高等数学等知识，这一辈子都没见过。但广相科普的重头戏，时空弯曲、水星近日点进动、黑洞等，其实需要的数学知识也就这么多。所以尽可能把推论逻辑化，而不是简单粗暴地甩结论是很有必要的，这样的科普才能知识水平越来越高。实际上，我认为只给做名词党做科普是没有意义的。&/p&&p&当然正如康德所说：&/p&&blockquote&有些书，如果它并不想说得如此明晰的话，它就会更加明晰得多。这是因为明晰性的辅助手段在部分中有效，但在整体中往往分散了，这样它们就不能足够快地让读者达到对整体的综观，倒是用它们所有那些明亮的色彩贴在体系的结合部或骨架上，使它们面目全非了，而为了能对这个体系的统一性和杰出之处下判断，最关键的却是这种骨架。&br&——康德《纯粹理性批判》第一版序&/blockquote&&p&所以如果可能的话，我会把这篇文章写成知乎上目前最简单的广义相对论入门。&/p&&hr&&p&首先，题主问道：“如何弯曲？”就得首先回答一个问题：“怎样的东西才能说是直的？”如何判断一条线或是一个平面是直的，在数学和物理上有不同的操作。我们首先来说数学上的。&/p&&p&&br&&/p&&p&&b&&i&（提示：请注意下文当中“直的”与“平直的”两词不同场合的用法）&/i&&/b&&/p&&p&&br&&/p&&p&&b&&i&数学：&/i&&/b&&/p&&p&什么是直的？你总不可能随手画一条线，然后告诉大家：“所有偏离我画的这条线的都是不直的！”凭什么你来制定直曲的标准，要让大家伙都认，所以需要借助公理来研究直曲。欧几里德有一条公理说到：&b&&i&两点之间直线段最短&/i&&/b&。这其实就给出了一个直线的判断标准，即就是在线上找两个不同的点，判断是否能找到一条线比原有线的长度更短。&/p&&p&&br&&/p&&p&那么此刻问题来了，什么是长度？或者什么是距离？你不能用一根尺子量完之后告诉我距离是多少，因为按照逻辑，我们得先证明你的尺子是直的。而定义直又要用到距离这个概念，从而循环定义，这样是行不通的。所以假设我们现在一无所有，即没有尺子，也没有激光测距仪等物理手段，也没有像曲直、坐标系等数学概念，更没有几千年的生产劳动经验。我们手头目前只有一堆要研究的点和不会自相矛盾的逻辑。为了研究这堆点，我们需要人为手动去定义距离。&/p&&p&&br&&/p&&p&不过需要一个前提，就是我们如何把待研究空间 &img src=&//www.zhihu.com/equation?tex=X& alt=&X& eeimg=&1&& 里的所有点表示出来？这时我们先引入坐标系这一工具了，坐标系的作用就是唯一确定地把我们要研究的点表示出来。&/p&&p&&br&&/p&&p&这样的话，我们构造一个函数 &img src=&//www.zhihu.com/equation?tex=d& alt=&d& eeimg=&1&&，使得在我们待研究的空间 &img src=&//www.zhihu.com/equation?tex=X& alt=&X& eeimg=&1&& 中任取两个点 &img src=&//www.zhihu.com/equation?tex=a& alt=&a& eeimg=&1&& 、 &img src=&//www.zhihu.com/equation?tex=b& alt=&b& eeimg=&1&& 都有一个唯一的函数值 &img src=&//www.zhihu.com/equation?tex=d%28a%2Cb%29& alt=&d(a,b)& eeimg=&1&& 具有：&/p&&p& 1)非负性、同一性：&img src=&//www.zhihu.com/equation?tex=d%28a%2Cb%29%5Cgeq0& alt=&d(a,b)\geq0& eeimg=&1&& ，且 &img src=&//www.zhihu.com/equation?tex=d%28a%2Cb%29%3D0& alt=&d(a,b)=0& eeimg=&1&& 当且仅当 &img src=&//www.zhihu.com/equation?tex=a%3Db& alt=&a=b& eeimg=&1&& ；&/p&&p& 2)对称性： &img src=&//www.zhihu.com/equation?tex=d%28a%2Cb%29%3Dd%28b%2Ca%29& alt=&d(a,b)=d(b,a)& eeimg=&1&& ；&/p&&p& 3)直递性： &img src=&//www.zhihu.com/equation?tex=d%28a%2Cb%29%5Cleq+d%28a%2Cc%29%2Bd%28c%2Cb%29& alt=&d(a,b)\leq d(a,c)+d(c,b)& eeimg=&1&& 。&/p&&p&这样的一个函数 &img src=&//www.zhihu.com/equation?tex=d& alt=&d& eeimg=&1&& 称之为定义在空间 &img src=&//www.zhihu.com/equation?tex=X& alt=&X& eeimg=&1&& 上的距离。（&b&&i&第一条大于零的条件可以去掉，这样的距离叫做“伪距离”，实际上我们的四维时空上定义的距离就是一个伪距离。&/i&&/b&）&/p&&p&&br&&/p&&p&好了，有这样性质的函数千千万万个，其具体形式也依赖于坐标的具体形式。那么对于一个已经定义了距离&img src=&//www.zhihu.com/equation?tex=d& alt=&d& eeimg=&1&& 的空间 &img src=&//www.zhihu.com/equation?tex=X& alt=&X& eeimg=&1&& ，任意两点的距离是否依赖于坐标系的取法呢？显然是不依赖的，因为我们对距离的定义并没有牵扯到坐标的具体形式。&/p&&p&&br&&/p&&p&这个结论是十分重要的，我再次写一遍：&b&&i&距离不依赖于坐标系的具体取法。事实上这种不依赖于坐标系取法的量叫做标量。在相对论里有：一切可以测量的量都是标量。（对应与物理实在不因观察者不同而不同）&/i&&/b&&/p&&p&&br&&/p&&p&当然以上的定义还是太抽象，让人不舒服。为了让大家舒服一点，我们先在欧几里德空间上研究问题。欧几里德空间的距离定义是基于毕达哥拉斯（勾股）定理。即：&/p&&p&&img src=&//www.zhihu.com/equation?tex=d%28a%2Cb%29%3D%5Csqrt%7B%5Csum_%7Bi%3D1%7D%5E%7Bn%7D%28a_i-b_i%29%5E2%7D& alt=&d(a,b)=\sqrt{\sum_{i=1}^{n}(a_i-b_i)^2}& eeimg=&1&&&/p&&p&这样的空间里有一堆我们熟悉的几何定理，比如说三角形的内角和是180°。&b&&i&这种距离定义的空间也就是题主问题当中相对于弯曲的基准：平直&/i&&/b&。&/p&&p&&br&&/p&&p&在欧几里德空间当中我们可以建立各种各样的坐标系，常见的有直角坐标系、柱坐标系、球坐标系、双曲坐标系等。在研究不同的问题时这些坐标系各有便利，但结论是一样的。比如说用直角坐标系去计算球面两点的大圆弧长，最后结果是一样的，其中的道理就是距离不依赖于坐标系。同理，用直角坐标系去求解球对称的拉普拉斯方程，其结果也是一样的。&/p&&p&&br&&/p&&p&好了扯了这多内容这时就能引入度规这一概念了。假设我们的两个点靠的很近，我们可以把其写成微分形式。为了能简单明了说明问题，我们只写三维情况下：&/p&&p& 直角坐标系：&img src=&//www.zhihu.com/equation?tex=ds%C2%B2%3Ddx%C2%B2%EF%BC%8Bdy%C2%B2%EF%BC%8Bdz%C2%B2+& alt=&ds?=dx?＋dy?＋dz? & eeimg=&1&&&/p&&p&柱坐标系： &img src=&//www.zhihu.com/equation?tex=ds%C2%B2%3Ddr%C2%B2%EF%BC%8Br%C2%B2d%CF%86%C2%B2%EF%BC%8Bdz%C2%B2& alt=&ds?=dr?＋r?dφ?＋dz?& eeimg=&1&&&/p&&p&球坐标系： &img src=&//www.zhihu.com/equation?tex=ds%C2%B2%3Ddr%C2%B2%EF%BC%8Br%C2%B2d%CF%86%C2%B2%EF%BC%8Br%C2%B2sin%CF%86%C2%B2d%CE%B8%C2%B2& alt=&ds?=dr?＋r?dφ?＋r?sinφ?dθ?& eeimg=&1&&&/p&&p&&br&&/p&&p&以上东西在黎曼之前就被各大数学家们研究出来了，其中还包括一些奇奇怪怪的坐标系，由此还发展了一门学科叫测地学。因为那会大家都知道地球是个椭球体，在地球上测量距离不就是在椭球面上测量吗？&/p&&p&&br&&/p&&p&这时候黎曼就出来：“诸位请慢！首先我们是搞数学的，不是搞地球科学的（当时肯定是没有这一说法的）。我们数学家看到一群点能够自然地把它们看作是球面上的吗？当然不行，依我看，&b&&i&假设没有告诉你上面的距离是咋样的，我们就不能研究几何学！&/i&&/b&所以，大家伙请我来做这个教授，我没有写论文，就这么一篇稿子……”&/p&&p&&br&&/p&&p&总之，黎曼在其就职演说《关于几何学的基本假设之中》提出我们求曲线长度时，要先定义好在某一点切向量的距离，然后把这条线经过的点所有的切向量距离积个分。而不是像以前那样我们假设有理想的直线段，做内切折线，取折线的上限作为距离。从我们上文的描述中可以看到，黎曼不知道比以前的定义高到哪里去了，因为我们前面说了，为了直线，你要说距离，而后一种定义弧长又要引入特殊的曲线——直线。&/p&&p&&br&&/p&&figure&&img src=&https://pic4.zhimg.com/50/v2-d7eddfa758a957b4f0a27_b.jpg& data-rawwidth=&340& data-rawheight=&176& data-size=&normal& data-default-watermark-src=&https://pic3.zhimg.com/50/v2-f85c43b7fb4_b.jpg& class=&content_image& width=&340&&&figcaption&以前大家用内接折线极限求弧长&/figcaption&&/figure&&figure&&img src=&https://pic2.zhimg.com/50/v2-73b55889bfd16e337f53_b.jpg& data-rawwidth=&497& data-rawheight=&409& data-size=&normal& data-default-watermark-src=&https://pic2.zhimg.com/50/v2-cd23f1c953ac69c97d94edd1fa54b5bf_b.jpg& class=&origin_image zh-lightbox-thumb& width=&497& data-original=&https://pic2.zhimg.com/50/v2-73b55889bfd16e337f53_r.jpg&&&figcaption&黎曼所描述的将切向量积分求弧长，需要提前给出在某一点的切量长度，即定义好距离&/figcaption&&/figure&&p&因而黎曼就提出，一个空间其上必须制定距离，或者叫度规，我们才有办法研究几何。因为对于距离的测量是几何学的中心和基础。不给距离就没有角度、平行、相交等一系列概念。所以黎曼就推广了上面距离微元的写法，他认为：只要在空间各点附近指定这样的关系：&/p&&p&&img src=&//www.zhihu.com/equation?tex=ds%5E2%3Dg_%7Bij%7Ddx%5Ei%5Cotimes+dx%5Ej& alt=&ds^2=g_{ij}dx^i\otimes dx^j& eeimg=&1&&&b&&i&（指标相同表求和）&/i&&/b&&/p&&p&（ &img src=&//www.zhihu.com/equation?tex=x%5Ei& alt=&x^i& eeimg=&1&& 是坐标）都能叫距离，只要其满足我们前面说的三条性质。 &img src=&//www.zhihu.com/equation?tex=g_%7Bij%7D& alt=&g_{ij}& eeimg=&1&& 则称为给定点处的度规张量。&/p&&p&&br&&/p&&p&突然间我们这里出现了一个新名词：张量。为了不影响下文理解，再来介绍一下这位新朋友。前面我们提到过标量这个名词：&i&&b&不依赖于坐标系取法的量叫做标量。即：&/b&&/i&&img src=&//www.zhihu.com/equation?tex=%5Cvarphi%27%3D%5Cvarphi& alt=&\varphi'=\varphi& eeimg=&1&& 。距离微元就是这样的量。那么肯定有随着坐标变化的量。&/p&&p&把 &img src=&//www.zhihu.com/equation?tex=A%27%5Ei%3D%5Cfrac%7B%5Cpartial+x%27%5Ei%7D%7B%5Cpartial+x%5Ej%7DA%5Ej& alt=&A'^i=\frac{\partial x'^i}{\partial x^j}A^j& eeimg=&1&& 或 &img src=&//www.zhihu.com/equation?tex=A%27_i%3D%5Cfrac%7B%5Cpartial+x%5Ej%7D%7B%5Cpartial+x%27%5Ei%7DA_j& alt=&A'_i=\frac{\partial x^j}{\partial x'^i}A_j& eeimg=&1&& 这样的称之为矢量或者一阶张量。前者称为逆变矢量后者称为协变矢量。逆与协二字相对于坐标变换。在广义相对论里是严格区别逆变张量和协变张量的，但在狭义相对论中是不区别的。（以上讨论中带撇的指新坐标系下的形式，不带撇是原坐标系下形式）&/p&&p&&br&&/p&&p&那么二阶张量，就是在前面再添一偏导项系数。度规张量&img src=&//www.zhihu.com/equation?tex=g_%7Bij%7D& alt=&g_{ij}& eeimg=&1&&是一协变的二阶张量。&/p&&p&即： &img src=&//www.zhihu.com/equation?tex=g%27_%7Bij%7D%3D%5Cfrac%7B%5Cpartial+x%5Ek%7D%7B%5Cpartial+x%27%5Ei%7D%5Cfrac%7B%5Cpartial+x%5El%7D%7B%5Cpartial+x%27%5Ej%7Dg_%7Bkl%7D& alt=&g'_{ij}=\frac{\partial x^k}{\partial x'^i}\frac{\partial x^l}{\partial x'^j}g_{kl}& eeimg=&1&&&/p&&p&&b&&i&诸位细心点就能发现上面这些式子的上下标等式左右是一致的，重复的上下标会在等式左边消失（即缩并）&/i&&/b&。这其实相当于线性代数里的矩阵乘法，只是张量可能涉及到三阶以上。对应到矩阵的逆，张量也有逆。比如说一个很重要的逆——度规张量的逆： &img src=&//www.zhihu.com/equation?tex=g_%7Bij%7Dg%5E%7Bjk%7D%3D%5Cdelta_i%5Ek& alt=&g_{ij}g^{jk}=\delta_i^k& eeimg=&1&& （ &img src=&//www.zhihu.com/equation?tex=%5Cdelta%5Ek_i& alt=&\delta^k_i& eeimg=&1&& 只有在i 、k相等时才为一，其余均为零）中的 &img src=&//www.zhihu.com/equation?tex=g%5E%7Bjk%7D& alt=&g^{jk}& eeimg=&1&& 是一逆变二阶张量。度规张量的重要性不仅体现在其定义了距离，而且有了它我们就可以进行逆变和协变张量之间的互换，以矢量举例子如下：&/p&&p&&img src=&//www.zhihu.com/equation?tex=A%5Ei%3Dg%5E%7Bik%7DA_k+%EF%BC%8C+A_i%3Dg_%7Bik%7DA%5Ek& alt=&A^i=g^{ik}A_k ， A_i=g_{ik}A^k& eeimg=&1&&&/p&&p&&br&&/p&&p&从以上可以看出，张量或矢量是严重依赖于具体点的，在某一点是矢量的量在下一个点就可能不是矢量了。这在我们研究导数等概念时是致命的，我们知道，求一个矢量导数时我们要把其x处的值和x+dx处的值相减。这样就需要把x处的矢量搬到x+dx处，但问题来了，搬到x+dx处的矢量还是矢量吗？&/p&&p&&br&&/p&&p&在欧几里德空间中不存在这样的问题，因为空间是平的，但黎曼几何中就不一样了。为了保证搬走之后依旧是一矢量且与原矢量平行，列维西维塔提出平行移动的概念，也就是：平移过程中，向量与这两点最短线（测地线）的夹角始终保持不变。此刻非欧几何和欧氏几何的差距就出现了。&b&&i&在欧氏几何当中经历一个闭合回路的平行移动之后，矢量与原矢量重合。而非欧几何中，就会有和原矢量的一个偏移。&/i&&/b&&/p&&figure&&img src=&https://pic4.zhimg.com/50/v2-9a0ea585aa18dbb2e2d234e_b.jpg& data-rawwidth=&997& data-rawheight=&378& data-size=&normal& data-default-watermark-src=&https://pic4.zhimg.com/50/v2-851a0bd3bfbf7c9da320c06_b.jpg& class=&origin_image zh-lightbox-thumb& width=&997& data-original=&https://pic4.zhimg.com/50/v2-9a0ea585aa18dbb2e2d234e_r.jpg&&&figcaption&平直空间的平行移动和弯曲空间的平行移动，弯曲空间平行移动一个闭合路径后会发生一个偏转&/figcaption&&/figure&&p&即x处矢量平移至x+dx处时要附加一和dx以及原矢量A成正比的小量：&/p&&p&&img src=&//www.zhihu.com/equation?tex=d_p+A%5Ei%3D-%5CGamma%5Ei_%7Bjk%7DA%5Ejdx%5Ek%EF%BC%8Cd_p+A_j%3D%5CGamma%5Ei_%7Bjk%7DA_idx%5Ek& alt=&d_p A^i=-\Gamma^i_{jk}A^jdx^k，d_p A_j=\Gamma^i_{jk}A_idx^k& eeimg=&1&&&/p&&p&其中，&img src=&//www.zhihu.com/equation?tex=%5CGamma%5Ei_%7Bjk%7D& alt=&\Gamma^i_{jk}& eeimg=&1&& 并非一三阶混合张量，而只是一系数称为联络系数。附加了此量之后x处的矢量才能在x+dx处也是矢量。&/p&&p&&br&&/p&&p&20世纪70年代斯坦福大学曾提出一个设想，在人造卫星放一超导陀螺，卫星轨道过地球极轴，陀螺自转轴在轨道面内，则因为地球引力场的空间弯曲，陀螺会有7″进动。&/p&&a data-draft-node=&block& data-draft-type=&link-card& href=&//link.zhihu.com/?target=https%3A//baike.baidu.com/item/%25E5%25BC%%258A%259B%25E6%258E%25A2%25E6%25B5%258B%25E5%B/Ffr%3Daladdin& class=& wrap external& target=&_blank& rel=&nofollow noreferrer&&引力探测器B_百度百科&/a&&p&这其中的道理就是陀螺自转轴可以看成是一个矢量，其经过闭合回路不断回到原点，不断产生偏转(进动)。这个实验当然是广义相对论正确性的一次验证。&/p&&p&&br&&/p&&p&话说回来，这个绕一圈回来之后的偏移量究竟是多少？我们就得再介绍一个张量称之为挠率张量。挠率张量是联络系数的反对称部分，即 &img src=&//www.zhihu.com/equation?tex=%5CGamma%5Ei_%7Bjk%7D-%5CGamma%5Ei_%7Bkj%7D& alt=&\Gamma^i_{jk}-\Gamma^i_{kj}& eeimg=&1&& 。&b&&i&挠率的存在会破坏我们之前很重要的一个法则：平行四边形法则。&/i&&/b&平行四边形法则是：两矢量的和等于以这两矢量为邻边的平行四边形的对角线。&b&&i&但有了挠率的存在，两对互相平行的矢量无法构成一个闭合回路。而相差了一个缺口，这个缺口的大小和挠率成正比。&/i&&/b&&/p&&figure&&img src=&https://pic3.zhimg.com/50/v2-87daa0b3b638cbfbf713faf7d48c1283_b.jpg& data-rawwidth=&429& data-rawheight=&340& data-size=&normal& data-default-watermark-src=&https://pic2.zhimg.com/50/v2-eee5d92ef9e5e8ddb97166cbfd605656_b.jpg& class=&origin_image zh-lightbox-thumb& width=&429& data-original=&https://pic3.zhimg.com/50/v2-87daa0b3b638cbfbf713faf7d48c1283_r.jpg&&&figcaption&挠率的存在，使得平行四边形法则失效&/figcaption&&/figure&&p&上面结论证明起来是简单的，只需要将 &img src=&//www.zhihu.com/equation?tex=%5CDelta+x& alt=&\Delta x& eeimg=&1&& 沿 &img src=&//www.zhihu.com/equation?tex=%5Cdelta+x& alt=&\delta x& eeimg=&1&& 平移和 &img src=&//www.zhihu.com/equation?tex=%5Cdelta+x& alt=&\delta x& eeimg=&1&& 沿&img src=&//www.zhihu.com/equation?tex=%5CDelta+x& alt=&\Delta x& eeimg=&1&& 平移，二者的差就是该处缺口的值。&/p&&p&&br&&/p&&p&有挠的空间称之为“扭曲”的，有趣的是，爱因斯坦的引力理论是无挠的，迄今为止所有建立有挠的引力理论都失败了。这一点也是和非欧几何不同的。&/p&&p&&br&&/p&&p&数学家已经证明：在空间无挠的情况下，可以导出一对称度规，反之通过一对称度规可以诱导出一联络。也就是指定度规和指定联络是相互依存的。&/p&&p&&br&&/p&&p&假设空间无挠，那么沿一无穷小矩形一圈，偏移量应该与此矩形的两边Δx和δx以及矢量A成比，即： &img src=&//www.zhihu.com/equation?tex=%5CDelta_p+A%5Ei%3D-R%5Ei_%7Bjkl%7DA%5Ej%5CDelta+x%5Ek%5Cdelta+x%5El%EF%BC%8C%5CDelta_p+A_j%3DR%5Ei_%7Bjkl%7DA_i%5CDelta+x%5Ek%5Cdelta+x%5El& alt=&\Delta_p A^i=-R^i_{jkl}A^j\Delta x^k\delta x^l，\Delta_p A_j=R^i_{jkl}A_i\Delta x^k\delta x^l& eeimg=&1&&&/p&&p&这其中的 &img src=&//www.zhihu.com/equation?tex=R%5Ei_%7Bjkl%7D& alt=&R^i_{jkl}& eeimg=&1&& 就是大名鼎鼎的黎曼曲率，有曲率的空间称之为完全的。黎曼曲率各关于前后两指标反对称，前后两对指标对称。即&/p&&p&&img src=&//www.zhihu.com/equation?tex=R%5Ei_%7Bjkl%7D%3D-R%5Ej_%7Bikl%7D%2CR%5Ei_%7Bjkl%7D%3D-R%5Ei_%7Bjlk%7D%2CR%5Ei_%7Bjkl%7D%3DR%5Ek_%7Blij%7D& alt=&R^i_{jkl}=-R^j_{ikl},R^i_{jkl}=-R^i_{jlk},R^i_{jkl}=R^k_{lij}& eeimg=&1&&&/p&&p&因为这种对称性，曲率张量的二阶缩并只有一个独立的，即后文我们要提到的里奇张量。&/p&&p&可以由联络系数通过我们前面证明挠率的类似步骤导出来。&/p&&p&&br&&/p&&p&总而言之：&b&&i&联络、挠率和曲率三者的数学意义如上，它们描绘了一个空间是如何偏离于数学上的平直空间（欧几里得空间）。&/i&&/b&更为具体的细节不多做补充，在下面物理部分需要时将会提到。&/p&&p&&br&&/p&&p&&b&&i&物理：&/i&&/b&&/p&&p&1905年，爱因斯坦发现狭义相对论的消息传到了他的大学数学老师闵科夫斯基耳中。闵科夫斯基心中骂道：“懒鬼、笨蛋，这不就是四维伪欧式空间中的度量问题吗？还用洋洋洒洒写三十多页？”于是闵科夫斯基花了一个晚上把爱因斯坦的狭义相对论几何化了。不幸的是闵科夫斯基不久得了阑尾炎，离开了人间。有人就说，否则广义相对论可能会早点。当然广义相对论中那个天才般的等效性原理，没有敏锐的物理直觉很难发现。我们接下来要说的就是相对论的几何化。&/p&&p&&br&&/p&&p&我们前面说了，给定一系列点之后，还需要给定距离的定义即度规方可开始研究几何学。那么对应到物理学中究竟是怎样的？&b&&i&点就相当于事件是一个四维坐标描述的点，而距离由光给出，即连接两点的类光矢量的模是零。而我们可以测量的一切物理量都是标量。&/i&&/b&&/p&&p&&br&&/p&&p&那么就会有人问了，你不是说能测得的一切物理量都是标量，标量又不随坐标系不同变化，那么我测得长度你为啥说会尺缩呢？那是因为你测得的长度是应该四维矢量在空间轴上的投影，这肯定是个标量可以测量。而不同参考系，空间轴是不一样的，故而投影是不一样的，所以就有了尺缩，钟慢同理。&/p&&p&&br&&/p&&p&那么回到我们的问题：时间和空间如何弯曲。先来回答：什么是物理上的直。牛顿惯性定律给出了物理上的直：物体在不受力时做匀速直线运动。那么引申到相对论里就是：物体在不受力时，在四维空间沿测地线运动。&/p&&p&四维空间的测地线如下给出： &img src=&//www.zhihu.com/equation?tex=%5Cfrac%7Bd%7D%7Bds%7D%28g_%7Bij%7D%5Cdot%7Bx%7D%5Ei%29%3D1%2F2+%5Cfrac%7B%5Cpartial+g_%7Bik%7D%7D%7B%5Cpartial+x%5Ej%7D%5Cdot+x%5Ei+%5Cdot+x%5Ek& alt=&\frac{d}{ds}(g_{ij}\dot{x}^i)=1/2 \frac{\partial g_{ik}}{\partial x^j}\dot x^i \dot x^k& eeimg=&1&&&/p&&p&可见其紧密和空间度规有关，四维空间的测地线就是物理意义上的直。而物理意义上的平直，也就是对应的欧氏空间或者题主所言的基准就是闵科夫斯基空间，其度规如下给出：&/p&&p&&img src=&//www.zhihu.com/equation?tex=g_%7B00%7D%3D1%2Cg_%7B11%7D%3Dg_%7B22%7D%3Dg_%7B33%7D%3D-1& alt=&g_{00}=1,g_{11}=g_{22}=g_{33}=-1& eeimg=&1&& 其余皆为零。&/p&&p&即 &img src=&//www.zhihu.com/equation?tex=ds%5E2%3Dc%5E2dt%5E2-dx%5E2-dy%5E2-dz%5E2%3Dc%5E2%281-%5Cfrac%7Bdr%5E2%7D%7Bc%5E2dt%5E2%7D%29dt%5E2%3Dc%5E2%281-%5Cfrac%7Bv%5E2%7D%7Bc%5E2%7D%29dt%5E2& alt=&ds^2=c^2dt^2-dx^2-dy^2-dz^2=c^2(1-\frac{dr^2}{c^2dt^2})dt^2=c^2(1-\frac{v^2}{c^2})dt^2& eeimg=&1&&&/p&&p&&br&&/p&&p&为了更好地阐述问题，接下来我们以最小作用量原理在平直时空来简单看一看把时空几何化之后，究竟有什么便利。&/p&&p&&br&&/p&&p&首先，最小作用量原理指的是：&b&&i&对于每一个力学系统而言，总有一个叫作用量的积分S存在，这个积分对实际运动路径取最小值，因此其变分δS为零。&/i&&/b&很明显S是一个标量函数，因为其与参考系选择无关，对于一个自由的粒子，空间各项同性的体系，我们只能构造出如下的作用量： &img src=&//www.zhihu.com/equation?tex=S%3D-%5Cint_%7Ba%7D%5E%7Bb%7D%5Calpha+ds& alt=&S=-\int_{a}^{b}\alpha ds& eeimg=&1&& ，α是以个正常数，负号是为了能取到最小值，a、b是时空中两个事件的坐标。&/p&&p&则写成我们熟悉的拉格朗日量形式： &img src=&//www.zhihu.com/equation?tex=S%3D-%5Cint_%7Ba%7D%5E%7Bb%7D%5Calpha+ds%3D-%5Calpha+c%5Cint_%7Bt_1%7D%5E%7Bt_2%7D%5Csqrt%7B1-v%5E2%2Fc%5E2%7Ddt%3D%5Cint_%7Bt_1%7D%5E%7Bt_2%7DLdt& alt=&S=-\int_{a}^{b}\alpha ds=-\alpha c\int_{t_1}^{t_2}\sqrt{1-v^2/c^2}dt=\int_{t_1}^{t_2}Ldt& eeimg=&1&&&/p&&p&有了自由粒子的拉格朗日量后，利用理论力学知识就能很方便建立狭义相对论力学。&/p&&p&&br&&/p&&p&那么空间和时间弯曲的规律是什么？由以上最小作用量原理，也是最小作用量是一标量，但因为有弯曲的存在，形式上就比较复杂，可以推出爱因斯坦场方程：&/p&&p&&img src=&//www.zhihu.com/equation?tex=R_%7B%5Cmu%5Cnu%7D-%5Cfrac%7B1%7D2g_%7B%5Cmu%5Cnu%7DR-%5CLambda+g_%7B%5Cmu%5Cnu%7D%3D-%5Ckappa+T_%7B%5Cmu%5Cnu%7D& alt=&R_{\mu\nu}-\frac{1}2g_{\mu\nu}R-\Lambda g_{\mu\nu}=-\kappa T_{\mu\nu}& eeimg=&1&&&/p&&p&其中 &img src=&//www.zhihu.com/equation?tex=R_%7B%5Cmu%5Cnu%7D& alt=&R_{\mu\nu}& eeimg=&1&& 是黎曼张量的缩并的唯一独立张量，称为里奇张量，即： &img src=&//www.zhihu.com/equation?tex=R_%7B%5Cmu%5Cnu%7D%3DR%5E%5Clambda_%7B%5Cmu%5Clambda%5Cnu%7D& alt=&R_{\mu\nu}=R^\lambda_{\mu\lambda\nu}& eeimg=&1&&&/p&&p&&img src=&//www.zhihu.com/equation?tex=%5CLambda& alt=&\Lambda& eeimg=&1&& 为大名鼎鼎的宇宙常数（其为不为零尚在争议）， &img src=&//www.zhihu.com/equation?tex=T_%7B%5Cmu%5Cnu%7D& alt=&T_{\mu\nu}& eeimg=&1&& 是能量动量四矢描述了物质分布,其写成矩阵形式是这样的：&/p&&figure&&img src=&https://pic2.zhimg.com/50/v2-f8b69ddc62dbd6cf0a3ff2b_b.jpg& data-rawwidth=&388& data-rawheight=&226& data-size=&normal& data-default-watermark-src=&https://pic3.zhimg.com/50/v2-fbc39997e_b.jpg& class=&content_image& width=&388&&&figcaption&能量动量四矢，其中包含了能量、能流、动量流、三维空间应力，体现了方程中的物质项&/figcaption&&/figure&&p&&br&&/p&&p&&b&&i&式子的前两项&/i&&/b& &img src=&//www.zhihu.com/equation?tex=G_%7B%5Cmu%5Cnu%7D%3DR_%7B%5Cmu%5Cnu%7D-%5Cfrac%7B1%7D2g_%7B%5Cmu%5Cnu%7DR& alt=&G_{\mu\nu}=R_{\mu\nu}-\frac{1}2g_{\mu\nu}R& eeimg=&1&&&b&&i&称为爱因斯坦张量，这个张量是唯一一个满足协变微分守恒的张量。有趣的事情是所有二维空间的爱因斯坦张量都是零，这就使得二维空间里没有爱因斯坦引力理论（这也是为何我反感将时空弯曲比作两只在曲面上爬行的蚂蚁或者是弹簧床，因为这些比喻让人最直观感受到的是二维弯曲空间，它们的时间轴藏在字眼里，而只给人留下空间弯曲的印象。时间弯曲是极为重要的）。&/i&&/b&&/p&&p&&br&&/p&&p&我们再来看一次爱因斯坦场方程，为了说明问题，这次我们观察不带宇宙项的方程，并将其改写成下面形式：&/p&&p&&img src=&//www.zhihu.com/equation?tex=R_%7B%5Cmu%5Cnu%7D%3D-%5Ckappa%28+T_%7B%5Cmu%5Cnu%7D-%5Cfrac%7B1%7D2g_%7B%5Cmu%5Cnu%7DT%29& alt=&R_{\mu\nu}=-\kappa( T_{\mu\nu}-\frac{1}2g_{\mu\nu}T)& eeimg=&1&&&/p&&p&&b&&i&在真空当中， &img src=&//www.zhihu.com/equation?tex=T_%7B%5Cmu%5Cnu%7D%3D0& alt=&T_{\mu\nu}=0& eeimg=&1&& ,所以 &img src=&//www.zhihu.com/equation?tex=R_%7B%5Cmu%5Cnu%7D%3D0& alt=&R_{\mu\nu}=0& eeimg=&1&& .但我们之前说过 &img src=&//www.zhihu.com/equation?tex=R_%7B%5Cmu%5Cnu%7D& alt=&R_{\mu\nu}& eeimg=&1&& 只是黎曼曲率 &img src=&//www.zhihu.com/equation?tex=R%5E%5Ctau_%7B%5Cmu%5Clambda%5Cnu%7D& alt=&R^\tau_{\mu\lambda\nu}& eeimg=&1&& 的缩并，只有 &img src=&//www.zhihu.com/equation?tex=R%5E%5Ctau_%7B%5Cmu%5Clambda%5Cnu%7D%3D0& alt=&R^\tau_{\mu\lambda\nu}=0& eeimg=&1&& 时才能说时空是平直的，颜外之意就是说：在真空中时空也可能是弯曲的。&/i&&/b&&/p&&p&&br&&/p&&p&另外只有场方程是无法直接求解出度规、曲率、联络等，因为度规一共有10个独立分量（二阶对称四维张量），但场方程由于爱因斯坦张量的协变微分守恒性质，一下子少了4个独立方程，只有6个。所以需要给选择的坐标系加上一些条件才能真正求解。&/p&&p&&br&&/p&&p&有了以上，我们就可以求解度规、曲率、联络等原则上研究时空的弯曲。以几何的手段研究引力。&/p&&p&&br&&/p&&p&当然场方程的求解是困难的，因为物质分布会影响空间弯曲，空间弯曲又会影响物质分布。至今求得的几个解都是比较简单情形，其中最著名的就是引力波和黑洞等高大上名词。关于黑洞的解请参见：&/p&&a data-draft-node=&block& data-draft-type=&link-card& href=&https://www.zhihu.com/question//answer/& data-image=&https://pic3.zhimg.com/v2-5f2fc394cf9a_ipico.jpg& data-image-width=&628& data-image-height=&529& class=&internal&&黑洞吸入的东西去哪儿了，是否能够塞满一个黑洞？&/a&&p&引力波解不再赘述。&/p&&p&&br&&/p&&p&为了进一步阐述时空弯曲的特性，我将纽曼克尔黑洞的线元贴上，并辅以说明。&/p&&p&&img src=&//www.zhihu.com/equation?tex=ds%C2%B2%3D%281-%5Cfrac%7B2mr-Q%5E2%7D%7Br%5E2%2Ba%5E2cos%5E2%5Ctheta%7D%29dt%C2%B2%EF%BC%8D%5Cfrac%7Br%5E2%2Ba%5E2cos%5E2%5Ctheta%7D%7Br%5E2%2Ba%5E2-2mr%2BQ%5E2%7Ddr%5E2%EF%BC%8D%28r%5E2%2Ba%5E2cos%5E2%5Ctheta%29d%5Ctheta%C2%B2-%5B%28r%5E2%2Ba%5E2%29sin%5E2%5Ctheta%2B%5Cfrac%7B%282mr-Q%5E2%29a%5E2sin%5E4%5Ctheta%7D%7Br%5E2%2Ba%5E2cos%5E2%5Ctheta%7D+%5Dd%5Cvarphi%27%C2%B2%2B2%5Cfrac%7B%282mr-Q%5E2%29asin%5E2%5Ctheta%7D%7Br%5E2%2Ba%5E2cos%5E2%5Ctheta%7Ddtd%5Cphi%27& alt=&ds?=(1-\frac{2mr-Q^2}{r^2+a^2cos^2\theta})dt?－\frac{r^2+a^2cos^2\theta}{r^2+a^2-2mr+Q^2}dr^2－(r^2+a^2cos^2\theta)d\theta?-[(r^2+a^2)sin^2\theta+\frac{(2mr-Q^2)a^2sin^4\theta}{r^2+a^2cos^2\theta} ]d\varphi'?+2\frac{(2mr-Q^2)asin^2\theta}{r^2+a^2cos^2\theta}dtd\phi'& eeimg=&1&&&/p&&p&这是一个带电荷Q、有角动量a的质量为m的粒子在无穷远处的度规。&/p&&p&其图如下：&/p&&figure&&img src=&https://pic2.zhimg.com/50/v2-cbfe9634df7ffd494c2d01c25a284adc_b.jpg& data-rawwidth=&557& data-rawheight=&371& data-size=&normal& data-default-watermark-src=&https://pic4.zhimg.com/50/v2-d9d655fdeea5f6dcdf7681d_b.jpg& class=&origin_image zh-lightbox-thumb& width=&557& data-original=&https://pic2.zhimg.com/50/v2-cbfe9634df7ffd494c2d01c25a284adc_r.jpg&&&figcaption&纽曼克尔黑洞的抛面图&/figcaption&&/figure&&p&首先，重要的一组面是 &img src=&//www.zhihu.com/equation?tex=g_%7B00%7D%3D0& alt=&g_{00}=0& eeimg=&1&& 的面，即： &img src=&//www.zhihu.com/equation?tex=r%5Es_%5Cpm%3Dm%5Cpm%5Csqrt%7Bm%5E2-a%5E2cos%5E2%5Ctheta-Q%5E2%7D& alt=&r^s_\pm=m\pm\sqrt{m^2-a^2cos^2\theta-Q^2}& eeimg=&1&& ，在 &img src=&//www.zhihu.com/equation?tex=r%5Es_%2B& alt=&r^s_+& eeimg=&1&& 这个面以内 &img src=&//www.zhihu.com/equation?tex=g_%7B00%7D%3C0& alt=&g_{00}&0& eeimg=&1&& ,假设粒子静止，则 &img src=&//www.zhihu.com/equation?tex=ds%5E2%3Dg_%7B00%7Dc%5E2dt%5E2%3C0& alt=&ds^2=g_{00}c^2dt^2&0& eeimg=&1&& ，即粒子沿类空测地线运动，这是不可能的。所以这个面以内粒子无法静止，好像是被旋转天体拖着在一起旋转，这面因而称为静界。另一组面是法向量是类光矢量的面，直接给出： &img src=&//www.zhihu.com/equation?tex=r%5Eh_%5Cpm%3Dm%5Cpm%5Csqrt%7Bm%5E2-a%5E2-Q%5E2%7D& alt=&r^h_\pm=m\pm\sqrt{m^2-a^2-Q^2}& eeimg=&1&& 。在 &img src=&//www.zhihu.com/equation?tex=r%5Eh_%5Cpm& alt=&r^h_\pm& eeimg=&1&&之间，时空坐标需要交换，也就是朝内称为在此区域内粒子的未来。当粒子通过 &img src=&//www.zhihu.com/equation?tex=r%5Eh_-& alt=&r^h_-& eeimg=&1&&后，继续受到中心天体拖曳，直到其有可能穿过 &img src=&//www.zhihu.com/equation?tex=r%5Es_-& alt=&r^s_-& eeimg=&1&& 进入中心正常的空间。这就是一个典型的由于物质存在，使得周围时空性质发生极大改变的例子。&/p&&p&&br&&/p&&p&&b&&i&总而言之，四维时空按场方程形式弯曲（不过场方程里只出现了里奇张量并不能唯一决定曲率张量）。而对于在其中运动的物质，只要不受力轨迹都是直的。只不过在三维空间投影弯了。而至于题主想问的看不见摸不着的时空怎么能观测到弯曲，已经由前面叙述的引力探测器B回答了。事实上，这样的实验很多，包括水星近日点进动、恒星光线偏折等都是因为时空弯曲造成的。&/i&&/b&正是因为非欧几何和欧氏几何许多的不同，让我们可以用物理手段观测到时空的弯曲。&/p&&p&&br&&/p&&p&PS.一切试图去想象四维以上空间具体形貌的尝试我都是不赞赏的，因为只能窥豹一斑，只有通过数学去理解高维空间，才能正真获得东西。&/p&
卸腰，一个好问题，但却不是一个容易一两句话说清楚的问题。为了避免众多科普图片给人产生的“弹簧床”式的误解，我打算从数学角度慢慢说起，所以文章会比较长，我一次更不完。以及阅读需要大量的耐心，不仅是在后面相对复杂的公式和图片，也在前面比较简单…
&p&睡前看到这个问题，实在忍不住来送个人头&/p&&p&上Meameamealokkapoowa oompa未免太不浪漫了&/p&&p&想来想去，还是决定葛立恒数了解一下~&/p&&blockquote&考虑一个n维的超立方体，连结所有顶点，有一个2^n个顶点的完全图。将这个图的每条边填上红色或黑色。求n的最小值，才使得所有填法中都必定存在一个在同一平面上有四个顶点的单色完全子图。&/blockquote&&p&这个问题的准确答案未知，但可以证明最终的解一定小于葛立恒数G&/p&&p&换而言之，葛立恒数G就是这个问题解的一个上界，在1977年被提出，1980年吉尼斯认定数学证明中出现过的最大的数字。&/p&&p&那么，葛立恒数有多大呢？&/p&&p&首先科学计数法肯定是不够用的，需要先定义高德纳箭号示数法&/p&&figure&&img src=&https://pic3.zhimg.com/50/v2-e2fa82ebe21e2d2a9eded3c_b.jpg& data-caption=&& data-size=&normal& data-rawwidth=&260& data-rawheight=&67& class=&content_image& width=&260&&&/figure&&p&然后再用递归定义双箭头「↑↑」&/p&&figure&&img src=&https://pic3.zhimg.com/50/v2-1a6e75f6cf_b.jpg& data-caption=&& data-size=&normal& data-rawwidth=&263& data-rawheight=&63& class=&content_image& width=&263&&&/figure&&figure&&img src=&https://pic1.zhimg.com/50/v2-fa4d74d6b3bb72d0c7bbc_b.jpg& data-caption=&& data-size=&normal& data-rawwidth=&680& data-rawheight=&71& class=&origin_image zh-lightbox-thumb& width=&680& data-original=&https://pic1.zhimg.com/50/v2-fa4d74d6b3bb72d0c7bbc_r.jpg&&&/figure&&p&换一个好理解的写法，就相当于&/p&&figure&&img src=&https://pic4.zhimg.com/50/v2-fdbf74564cbc1baeee2798d_b.jpg& data-caption=&& data-size=&normal& data-rawwidth=&798& data-rawheight=&204& class=&origin_image zh-lightbox-thumb& width=&798& data-original=&https://pic4.zhimg.com/50/v2-fdbf74564cbc1baeee2798d_r.jpg&&&/figure&&p&（注意中间那一段y个↑是从右往左运算的）&/p&&p&好的，到这一步我们暂停一下，看一下现在的数字有多大&/p&&figure&&img src=&https://pic2.zhimg.com/50/v2-bd48cce483a75df13c724afd39fb3d42_b.jpg& data-caption=&& data-size=&normal& data-rawwidth=&913& data-rawheight=&554& class=&origin_image zh-lightbox-thumb& width=&913& data-original=&https://pic2.zhimg.com/50/v2-bd48cce483a75df13c724afd39fb3d42_r.jpg&&&/figure&&p&作为参考，可观测宇宙中的总粒子数大约是3x10^80个&/p&&p&我们继续，依然用递归定义三箭头「↑↑↑」&/p&&figure&&img src=&https://pic2.zhimg.com/50/v2-824b74f2e48610defaaaf_b.jpg& data-caption=&& data-size=&normal& data-rawwidth=&293& data-rawheight=&63& class=&content_image& width=&293&&&/figure&&figure&&img src=&https://pic3.zhimg.com/50/v2-91a243a43bc_b.jpg& data-caption=&& data-size=&normal& data-rawwidth=&768& data-rawheight=&71& class=&origin_image zh-lightbox-thumb& width=&768& data-original=&https://pic3.zhimg.com/50/v2-91a243a43bc_r.jpg&&&/figure&&p&为了方便形象思维（真的有人还能形象思维吗？），还是化简成好懂的样子&/p&&figure&&img src=&https://pic3.zhimg.com/50/v2-194ba48c3fcd732c5f7f00b_b.jpg& data-caption=&& data-size=&normal& data-rawwidth=&699& data-rawheight=&158& class=&origin_image zh-lightbox-thumb& width=&699& data-original=&https://pic3.zhimg.com/50/v2-194ba48c3fcd732c5f7f00b_r.jpg&&&/figure&&p&以此类推，我们可以定义n箭头「↑...（n个）...↑」，这里不再赘述&/p&&p&下面我们来定义函数G(n)&/p&&figure&&img src=&https://pic4.zhimg.com/50/v2-4ccdf23d95c7_b.jpg& data-caption=&& data-size=&normal& data-rawwidth=&704& data-rawheight=&71& class=&origin_image zh-lightbox-thumb& width=&704& data-original=&https://pic4.zhimg.com/50/v2-4ccdf23d95c7_r.jpg&&&/figure&&p&嗯，让我们实际算一下G(n)大概是个什么感觉吧！&/p&&ul&&li&&b&G(1) = 3↑3 = 3→3→1 = 3→3 = 3^3 = 27&/b&&/li&&li&&b&G(2) = 3↑↑3 = 3→3→2 = 3↑(3↑3) = 3↑G(1) = 3↑27 = 7&/b&&/li&&li&&b&G(3) = 3↑↑↑3 = 3→3→3 = 3↑↑(3↑↑3) = 3↑↑G(2) = 3↑↑7&/b&&/li&&/ul&&figure&&img src=&https://pic1.zhimg.com/50/v2-befcb820ac44dc_b.jpg& data-caption=&& data-size=&normal& data-rawwidth=&328& data-rawheight=&321& class=&content_image& width=&328&&&/figure&&p&&br&&/p&&p&&br&&/p&&p&这个G(3)有多大呢？强烈建议看到这里的你再回头看一眼G(3)的小弟「3↑↑5」，然后在回来看着一大坨东西，你会有不一样的感触&/p&&p&然后，让我们继续&/p&&ul&&li&&b&G(4) = 3↑↑↑↑3 = 3→3→4 = 3↑↑↑G(3)&/b&&/li&&/ul&&figure&&img src=&https://pic2.zhimg.com/50/v2-7eff8cfea21b2e2f77da3b9_b.jpg& data-caption=&& data-size=&normal& data-rawwidth=&608& data-rawheight=&163& class=&origin_image zh-lightbox-thumb& width=&608& data-original=&https://pic2.zhimg.com/50/v2-7eff8cfea21b2e2f77da3b9_r.jpg&&&/figure&&ul&&li&&img src=&//www.zhihu.com/equation?tex=G%5E%7B2%7D%284%29+%3D+G%28G%284%29%29+%3D+3%E2%86%91%E2%80%A6%28G%284%29+%E4%B8%AA%E7%AE%AD%E5%A4%B4%29%E2%80%A6%E2%86%913+%3D+3%E2%86%923%E2%86%92G%284%29+%3D+3%E2%86%91%5E%7BG%284%29-1%7D3%E2%86%91%5E%7BG%284%29-2%7D%E2%80%A6%E2%86%%%913%E2%86%913& alt=&G^{2}(4) = G(G(4)) = 3↑…(G(4) 个箭头)…↑3 = 3→3→G(4) = 3↑^{G(4)-1}3↑^{G(4)-2}…↑33↑23↑3↑3& eeimg=&1&&&/li&&li&&img src=&//www.zhihu.com/equation?tex=G%5E%7B3%7D%284%29+%3D+G%28G%5E%7B2%7D%284%29%29+%3D+3%E2%86%91%E2%80%A6%28G%5E%7B2%7D%284%29+%E4%B8%AA%E7%AE%AD%E5%A4%B4%29%E2%80%A6%E2%86%913+%3D+3%E2%86%923%E2%86%92G%5E%7B2%7D%284%29& alt=&G^{3}(4) = G(G^{2}(4)) = 3↑…(G^{2}(4) 个箭头)…↑3 = 3→3→G^{2}(4)& eeimg=&1&&&/li&&li&………… &/li&&li&……&/li&&li&…&/li&&/ul&&p&那么，葛立恒数G是多少呢？&/p&&figure&&img src=&https://pic4.zhimg.com/50/v2-b3e0d23ac508c321cbcf_b.jpg& data-caption=&& data-size=&normal& data-rawwidth=&2127& data-rawheight=&921& class=&origin_image zh-lightbox-thumb& width=&2127& data-original=&https://pic4.zhimg.com/50/v2-b3e0d23ac508c321cbcf_r.jpg&&&/figure&&p&&br&&/p&&p&大，就是这么大&/p&&p&——&/p&&p&葛立恒数是最大的数——那也是1977年的事情了&/p&&p&有关大数的研究，一直在以跟大数本身一样难以想象的速度向前推荐，高德纳箭头法也很快不够用了，出现了更多更高级的方法…&/p&&p&30年后的2007年，在麻省理工的大数决斗活动中，拉约数横空出世，吊打一切&/p&&p&（突然意识到拉约数或许不符合题主对于「可验证」的要求）&/p&&p&我想按照题主的要求，或许是Greedy clique sequences的 &img src=&//www.zhihu.com/equation?tex=USGDCS_%7B2%7D%5E%7B10%7D100& alt=&USGDCS_{2}^{10}100& eeimg=&1&& 吧，这已经爆了葛立恒数三条街了&/p&&p&然而，我最喜欢的大数依然是葛立恒数。它代表了我逝去的青春，与那个尚未放弃学理科的高中生的未练&/p&&p&&br&&/p&&p&(?3[▓▓] 朱军晚安&/p&&p&&br&&/p&&p&——————&/p&&p&感谢 &a class=&member_mention& href=&//www.zhihu.com/people/bdad55a3e3aafefe72fc29c& data-hash=&bdad55a3e3aafefe72fc29c& data-hovercard=&p$b$bdad55a3e3aafefe72fc29c&&@西之园萌绘&/a& @jjw 帮忙捉虫！m(&i&_ _&/i&)m&/p&&p&——————&/p&&p&&br&&/p&&p&把一些可能出现的常见答案排个顺序，供楼主判定正确答案。&/p&&p&以下数字从上到下、从左到右，越来越大&/p&&p&&br&&/p&&p&&b&&/b&&/p&&p&&b&垓&/b&&/p&&p&&b&阿伏伽德罗常数&/b&&/p&&p&&b&穰&/b&&/p&&p&&b&贝尔芬格质数&/b&&/p&&p&&b&沟、涧、正、载、极&/b&&/p&&p&&b&恒河沙、阿僧抵、那由他&/b&&/p&&p&&b&Vigintillion&/b&&/p&&p&&b&不可思议&/b&&/p&&p&&b&无量&/b&&/p&&p&&b&Duovigintillion&/b&&/p&&p&&b&大数（取无量和大数是两个不同的数字说）&/b&&/p&&p&&b&Gazillion&/b&&/p&&p&&b&爱丁顿数（可观测宇宙中质子数）&/b&&/p&&p&&b&Sexvigintillion&/b&&/p&&p&&b&古戈尔&/b&&/p&&p&&b&Gooprol（比古戈尔大的最小质数）&/b&&/p&&p&&b&矜羯罗&/b&&/p&&p&&b&香农数（国际象棋的复杂度）&/b&&/p&&p&&b&阿迦罗&/b&&/p&&p&&b&Centillion&/b&&/p&&p&&b&最小的泰坦质数&/b&&/p&&p&&b&第一军团数&/b&&/p&&p&&b&Millillion&/b&&/p&&p&&b&载的最大值&/b&&/p&&p&&b&《银河系漫游指南》中，被扔进宇宙空间后，30秒内能被路过的宇宙飞船搭救的概率的倒数&/b&&/p&&p&&b&古戈尔弓&/b&&/p&&p&&img src=&//www.zhihu.com/equation?tex=10%5E%7BD& alt=&10^{1000000}& eeimg=&1&&&/p&&p&&b&博尔赫斯的小说《巴比伦图书馆》中，该图书馆的藏书数&/b&&/p&&p&&b&Milli-millillion&/b&&/p&&p&&b&第50个梅森质数（2018年初的现在已知的最大质数）&/b&&/p&&p&&b&第50个梅森质数所对应的完全数&/b&&/p&&p&&b&阿基米德《数沙术》中最大的数字单位&/b&&/p&&p&&b&不可说不可说转&/b&&/p&&p&&b&古戈尔普雷克斯&/b&&/p&&p&&b&古戈尔棒（古戈尔的阶乘）&/b&&/p&&p&&b&4↑↑4&/b&&/p&&p&&b&利维坦数&/b&&/p&&p&&b&第二军团数&/b&&/p&&p&&img src=&//www.zhihu.com/equation?tex=10%5E%7B10%5E%7BD%7D& alt=&10^{10^{1000000}}& eeimg=&1&&&/p&&p&&b&第一斯奎斯数&/b&&/p&&p&&b&古戈尔普雷克斯普雷克斯&/b&&/p&&p&&b&第二斯奎斯数&/b&&/p&&p&&img src=&//www.zhihu.com/equation?tex=10%5E%7B10%5E%7B10%5E%7BD%7D%7D& alt=&10^{10^{10^{1000000}}}& eeimg=&1&&&/p&&p&&b&最大的“天文数字”（宇宙学中最大的数字，把多元宇宙的质量塞进一个黑洞里。在其蒸发后重新形成黑洞所需的时间。单位是普朗克时间还是一千年其实已经无所谓了，数值大小约为3↑↑6）&/b&&/p&&p&&img src=&//www.zhihu.com/equation?tex=10%5E%7B10%5E%7B10%5E%7B10%5E%7BD%7D%7D%7D& alt=&10^{10^{10^{10^{1000000}}}}& eeimg=&1&&&/p&&p&&img src=&//www.zhihu.com/equation?tex=10%5E%7B10%5E%7B10%5E%7B10%5E%7B10%5E%7BD%7D%7D%7D%7D& alt=&10^{10^{10^{10^{10^{1000000}}}}}& eeimg=&1&&&/p&&p&&b&Bentley's Number（Jonathan Bowers的小说《永远的努力》中，为了赢得100万奖金所需要安装的滚轮数）&/b&&/p&&p&&b&吉戈尔（相当于10↑↑100）&/b&&/p&&p&&b&②（Steinhaus-Moser标记法，详情请参考Niconico视频「⑨≠バカを証明してみた」）&/b&&/p&&p&&b&上文中出现过的G(3)&/b&&/p&&p&&b&Folkman's number（跟葛立恒数一样在Ramsey theory研究中出现的一幅图的顶点数）&/b&&/p&&p&&b&Moser's number（在Steinhaus-Moser标记法中，一个②角形里面一个2）&/b&&/p&&p&&b&小葛立恒数（比葛立恒数更小的一个该问题的上界）&/b&&/p&&p&&b&葛立恒数（ ←我们在这(?o??o?) ? ）&/b&&/p&&p&&b&——【高德纳箭号的极限】——&/b&&/p&&p&&b&原始数列数&/b&&/p&&p&&b&TREE(3)&/b&&/p&&p&&b&SCG(13)&/b&&/p&&p&&b&BIGG&/b&&/p&&p&&b&拉约数&/b&&/p&&p&&b&BIG FOOT&/b&&/p&&p&&b&Sasquatch（Googology Wiki的用户在2017年定义出来的一个数，此时距离葛立恒数的提出恰好40年，距离拉约数的提出也已经正好10年了）&/b&&/p&&p&&b&——【我笔记本电量的极限】——&/b&&/p&&p&&b&如果看到这里的你，还想要了解更多巨大数的相关知识&/b&&/p&&p&&b&有日语能力的同学推荐去看小林銅蟲老师的漫画《寿司 虚空篇》&/b&&/p&&figure&&img src=&https://pic4.zhimg.com/50/v2-c16a1ebc44cd563dcd7aee_b.jpg& data-caption=&& data-size=&normal& data-rawwidth=&320& data-rawheight=&430& class=&content_image& width=&320&&&/figure&&p&&br&&/p&&p&朱军再见~ヾ(￣▽￣)&/p&
睡前看到这个问题，实在忍不住来送个人头上Meameamealokkapoowa oompa未免太不浪漫了想来想去，还是决定葛立恒数了解一下~考虑一个n维的超立方体，连结所有顶点，有一个2^n个顶点的完全图。将这个图的每条边填上红色或黑色。求n的最小值，才使得所有填法中…
&p&我来介绍一个可以做傅里叶分析的机器，简直酷炫到爆炸。从来没有想过傅里叶变换，在书本上这么抽象的东西，可以如此的有触感。&/p&&ol&&li&&b&100岁的机械计算机&/b&&/li&&/ol&&a class=&video-box& href=&//link.zhihu.com/?target=https%3A//www.zhihu.com/video/7758336& target=&_blank& data-video-id=&& data-video-playable=&true& data-name=&介绍历史& data-poster=&https://pic3.zhimg.com/80/v2-eca571a529da117d047aff84ac67c772_b.jpg& data-lens-id=&7758336&&
&img class=&thumbnail& src=&https://pic3.zhimg.com/80/v2-eca571a529da117d047aff84ac67c772_b.jpg&&&span class=&content&&
&span class=&title&&介绍历史&span class=&z-ico-extern-gray&&&/span&&span class=&z-ico-extern-blue&&&/span&&/span&
&span class=&url&&&span class=&z-ico-video&&&/span&https://www.zhihu.com/video/7758336&/span&
&/a&&p&&b&2. 傅里叶级数合成&/b&&/p&&p&这台机器可以根据傅里叶级数的公式，来合成函数图像：&/p&&p&&img src=&//www.zhihu.com/equation?tex=f%28x%29+%3D+%5Csum_%7Bn%3D1%7D%5E%7B%7D%7Ba_%7Bn%7Dcos%28nx%29%7D& alt=&f(x) = \sum_{n=1}^{}{a_{n}cos(nx)}& eeimg=&1&&&/p&&a class=&video-box& href=&//link.zhihu.com/?target=https%3A//www.zhihu.com/video/2800640& target=&_blank& data-video-id=&& data-video-playable=&true& data-name=&傅里叶合成& data-poster=&https://pic3.zhimg.com/80/v2-f28de3c2cec058ba1f8de_b.jpg& data-lens-id=&2800640&&
&img class=&thumbnail& src=&https://pic3.zhimg.com/80/v2-f28de3c2cec058ba1f8de_b.jpg&&&span class=&content&&
&span class=&title&&傅里叶合成&span class=&z-ico-extern-gray&&&/span&&span class=&z-ico-extern-blue&&&/span&&/span&
&span class=&url&&&span class=&z-ico-video&&&/span&https://www.zhihu.com/video/2800640&/span&
&/a&&p&&b&3. 傅里叶分析&/b&&/p&&p&更加震惊的是这台机器居然可以做！！！傅里叶变换和傅里叶逆变换！！！简直帅炸了！&/p&&a class=&video-box& href=&//link.zhihu.com/?target=https%3A//www.zhihu.com/video/7887232& target=&_blank& data-video-id=&& data-video-playable=&true& data-name=&傅里叶分析& data-poster=&https://pic3.zhimg.com/80/v2-758c848e1d6573aca1967491fcdb7316_b.jpg& data-lens-id=&7887232&&
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&span class=&title&&傅里叶分析&span class=&z-ico-extern-gray&&&/span&&span class=&z-ico-extern-blue&&&/span&&/span&
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&/a&&p&&b&4. 操作与设置&/b&&/p&&a class=&video-box& href=&//link.zhihu.com/?target=https%3A//www.zhihu.com/video/3557760& target=&_blank& data-video-id=&& data-video-playable=&true& data-name=&操作与设置& data-poster=&https://pic2.zhimg.com/80/v2-b207c5db9f518d61c6d89_b.jpg& data-lens-id=&3557760&&
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我来介绍一个可以做傅里叶分析的机器，简直酷炫到爆炸。从来没有想过傅里叶变换，在书本上这么抽象的东西，可以如此的有触感。100岁的机械计算机2. 傅里叶级数合成这台机器可以根据傅里叶级数的公式，来合成函数图像：f(x) = \sum_{n=1}^{}{a_{n}cos(nx)}3.…
&figure&&img src=&https://pic4.zhimg.com/v2-918eede42fbb01adcc57106_b.jpg& data-rawwidth=&2247& data-rawheight=&1066& class=&origin_image zh-lightbox-thumb& width=&2247& data-original=&https://pic4.zhimg.com/v2-918eede42fbb01adcc57106_r.jpg&&&/figure&&p&&b&苏州乐志的创始人老张，其实不太喜欢P社游戏的“复杂”，但乐志软件在移动平台上的成绩却吸引到了P社的注意。老张向触乐透露了两家公司一次未能达成的合作：P社曾经找过他们发行手游。&/b&&/p&&blockquote&作者丨林志伟（知乎ID &a class=&member_mention& href=&http://www.zhihu.com/people/8231cdfc31ffe74e398e8& data-hash=&8231cdfc31ffe74e398e8& data-hovercard=&p$b$8231cdfc31ffe74e398e8&&@林内向&/a& ）&/blockquote&&p&&br&&/p&&p&喜欢策略游戏的玩家，应该都听说过“P社”——Paradox Interactive的大名。这家靠历史策略游戏起家的瑞典公司，靠着对历史的高度还原以及在游戏企业中比较少见的“唯物主义史观”受到了众多玩家的追捧。在移动平台上，也有一家公司的作品如P社五萌一样专注历史策略游戏，并将策略战斗从中世纪一直延续到太空时代——手游玩家可能都听说过《欧陆战争4》《世界征服者3》《将军的荣耀》这些游戏的大名，它们虽然在量级上不如P社五萌，却品质出众，包括我在内的许多国内玩家，在初接触这些游戏时都认为它们出自国外团队之手，其实它们全是100%的国人制作。&/p&&p&这家被称为“中国P社”的公司位于苏州，全名是苏州乐志软件科技有限公司，英文简称EasyTech，因而国内粉丝们更愿意称他们为“E社”。&/p&&figure&&img src=&https://pic4.zhimg.com/v2-2fe992cfe18f9aa05cc3f_b.jpg& data-size=&normal& data-rawwidth=&225& data-rawheight=&225& class=&content_image& width=&225&&&figcaption&乐志软件软件的Logo&/figcaption&&/figure&&p&或许与他们的游戏题材大多比较国际化，也鲜少在国内宣传有关，乐志软件的产品在国外的受欢迎程度甚至还要略高于国内。2016年，他们的作品《世界征服者3》预告视频在YouTube上发布，至今累计了200多万次播放，受关注程度不亚于一些流行的热门大作。&/p&&figure&&img src=&https://pic2.zhimg.com/v2-825c61aef8ad94d779e41e_b.jpg& data-size=&normal& data-rawwidth=&700& data-rawheight=&517& class=&origin_image zh-lightbox-thumb& width=&700& data-original=&https://pic2.zhimg.com/v2-825c61aef8ad94d779e41e_r.jpg&&&figcaption&YouTube上《世界征服者3》的预告视频，播放量已经超过212万次&/figcaption&&/figure&&p&乐志软件最早成立于2009年，开始是以工作室的形式存在。当时除了公司的三名主要创始人还有其他一些成员。由于前2款产品销量一般，工作室的房租和成员的报酬都无法落实，这也直接导致了很多成员的离去。直到《欧陆战争2》和《世界征服者1945》的出现，拿到了苹果推荐和多国付费第一的位置，乐志才真正起步。&/p&&p&6年之后，他们依旧坚持做着自己擅长的游戏，但是他们认为，称自己为“中国P社”还是有一些不妥。&/p&&h2&&b&丨 “中国P社”&/b&&/h2&&p&面对触乐的访问，3名创始人都觉得“中国P社”这个称呼有失偏颇。他们的看法是，两家公司的产品是有差异的，最明显的一点就是复杂程度不同。P社开发的端游无论在系统还是内容上，都比乐志的手游要丰富许多。&/p&&p&“P社游戏的复杂性有人爱有人恨，我们也不好对其妄加评价，”乐志的总经理张悦却告诉触乐，他曾经想很认真的把P社的游戏玩通一遍，但是却经常最后选择了放弃。&/p&&p&“老张”是个有二三十年历史的游戏玩家，也是策略游戏的铁杆粉丝，对于P社这家早已在策略玩家群体中声名远播、又常被拿来和乐志软件作比较的公司早有耳闻。老张从《钢铁雄心3》开始玩P社的游戏，至今玩得最多的也是“钢铁雄心”系列，不为别的，只因为这是P社游戏中较为简单的一个系列。&/p&&figure&&img src=&https://pic1.zhimg.com/v2-77e21ed9feb0b3af135e0_b.jpg& data-size=&normal& data-rawwidth=&700& data-rawheight=&526& class=&origin_image zh-lightbox-thumb& width=&700& data-original=&https://pic1.zhimg.com/v2-77e21ed9feb0b3af135e0_r.jpg&&&figcaption&《钢铁雄心3》游戏画面&/figcaption&&/figure&&p&说简单也只是相对简单而已，玩了多年战略游戏的老张刚接触P社的游戏时，就像是个完全没玩过游戏的人。在《钢铁雄心3》中一开始他玩的是德国，本来打算走走历史路线，把军队都调到波德边界，打一次闪电战，结果一切布置妥当之后才发现国际紧张度不够，没法宣战。之后，他又试了试在游戏中使用南京国民政府，想在日本人打来之前搞搞“攘外必先安内”，结果一开战几十万国民党军被几万晋绥军一路平推，从被人从山西一路打到了长江边上。&/p&&p&老张买了许多P社的游戏，却没有一款的游戏时间超过20小时。老张说，P社游戏过于繁复的系统让他很难感受到游戏的乐趣，策略类游戏的战术可以复杂，但系统如果过于臃肿，玩家就难以以此为乐了。&/p&&figure&&img src=&https://pic2.zhimg.com/v2-c75cdbc8f3b9_b.jpg& data-size=&normal& data-rawwidth=&700& data-rawheight=&555& class=&origin_image zh-lightbox-thumb& width=&700& data-original=&https://pic2.zhimg.com/v2-c75cdbc8f3b9_r.jpg&&&figcaption&比起《钢铁雄心3》老张更喜欢这款名为《Unity of Command》的游戏，这是他的游戏时间截图&/figcaption&&/figure&&p&老张不太喜欢P社游戏的“复杂”，但乐志软件在移动平台上的成绩却吸引到了P社的注意。老张向触乐透露了两家公司一次未能达成的合作：P社曾经找过他们发行手游。&/p&&p&P社当时的计划是，将游戏的开发全权委托给乐志，自己仅提供“钢铁雄心”的IP。不过，考虑到乐志旗下已有“世界征服者”“将军的荣耀”等多个二战题材游戏，再出一个“手游版《钢铁雄心》”未免有些重复。在多方考虑后，乐志软件婉拒了P社方面的合作意向。&/p&&p&“因为我们不想只当一个IP的外包公司，我们也有自己的品牌，即便P社的IP很大，我们也不想做他们的IP外包商。”老张说这是他们拒绝和P社合作的最大原因。另外，被P社游戏里的AI数次打爆的老张还告诉触乐，他觉得P社的游戏过于拘泥于历史的真实性，而乐志的产品“历史只是一层外皮，核心还是策略玩法”。&/p&&figure&&img src=&https://pic4.zhimg.com/v2-4a32a03bc6b3d7c901a7_b.jpg& data-size=&normal& data-rawwidth=&700& data-rawheight=&394& class=&origin_image zh-lightbox-thumb& width=&700& data-original=&https://pic4.zhimg.com/v2-4a32a03bc6b3d7c901a7_r.jpg&&&figcaption&《世界征服者4》&/figcaption&&/figure&&p&身为乐志软件的总经理与“金牌制作人”（另一位创始人语），这种对待游戏与历史的观念影响了公司旗下的许多作品——要了解乐志软件的公司文化与追求，还得从老张说起。&/p&&h2&&b&丨 战棋游戏&/b&&/h2&&p&老张是乐志软件的总经理，也是主策划与主程序，从某种意义上来说，他是初创团队的主心骨。作为公司创始人之一，乐志软件几乎所有的主要产品都带有他的个人色彩。&/p&&p&老张出生在南方的一个小康之家，父亲在改革开放初期开始从事贸易工作，优渥的生活条件为他当年玩游戏提供了不少便利。在同龄人还只能玩玩街机的时候，老张的父亲就从深圳为他带来了一架原装正版的任天堂FC，外带几张正版游戏卡带。&/p&&p&老张对那些风靡世界的动作类丝毫不感兴趣，二三十年过去，唯一让他留下印象的只有《魂斗罗》和它的开场动画，这是它的正版标志。老张真正喜欢的是策略游戏。&/p&&p&上个世纪90年代，读小学的老张从某个盗版商手里买到了一张《火焰之纹章：纹章之谜》，这款游戏从某种意义上开启了他几十年的策略游戏之路。在创业成功之后，他还不厌其烦地向公司的策划们推荐这款游戏。&/p&&figure&&img src=&https://pic1.zhimg.com/v2-df30b505cb83cf91b8f0_b.jpg& data-size=&normal& data-rawwidth=&700& data-rawheight=&394& class=&origin_image zh-lightbox-thumb& width=&700& data-original=&https://pic1.zhimg.com/v2-df30b505cb83cf91b8f0_r.jpg&&&figcaption&《火焰之纹章：纹章之谜》，该作在NDS上还有复刻版&/figcaption&&/figure&&p&当然，FC并不是策略游戏的黄金时期，SFC才是它们叱咤风云的时代。老张这回并没有买到SFC，想要玩只能去游戏机厅，或是借。&/p&&p&那时候的战棋游戏流程都不短，想要通关得花上好几十个小时。SFC也没有云存档功能，只能在结束游戏前把存档拷到磁盘里，等到下一次再接着玩。按照那个年代的物价，买一张国产磁盘需要两块钱，不便宜也不贵，而一张索尼出品的磁盘，价格则高达12元。老张一开始都是用国产磁盘，直到有一次磁盘受损，里面辛辛苦苦打了几个月的《皇家骑士团》存档灰飞烟灭，他才下定决心存钱买一张索尼的高级货。&/p&&p&还好当时的老张要攒下12块钱不是什么难事。家庭环境不错，加之家中长辈众多，而且老张家一直以来都奉行开明的教育方针，12元钱很快就凑齐了。之后，靠着这张索尼磁盘，老张在SFC上玩了无数的经典战棋游戏。&/p&&figure&&img src=&https://pic2.zhimg.com/v2-d86050afce396e5d604281_b.jpg& data-size=&normal& data-rawwidth=&700& data-rawheight=&394& class=&origin_image zh-lightbox-thumb& width=&700& data-original=&https://pic2.zhimg.com/v2-d86050afce396e5d604281_r.jpg&&&figcaption&为弥补遗憾，老张去年在淘宝上买了一个SFC Mini放在办公室&/figcaption&&/figure&&p&游戏厅的岁月，给老张留下最深刻印象的是《三国英杰传》。这款游戏之后出过PC版，但是老张没有玩，因为他觉得PC版的《三国英杰传》“弱爆了”。多年之后，老张依旧能回忆起游戏中的诸多细节，譬如“司马懿、司马昭、司马师3人都是有落雷技能的妖术师，自己的大将赵云面对他们，一个照面就被秒杀了。”&/p&&p&开明的方针有利有弊，老张在高中玩了不少的游戏，成绩也一落千丈，一下子从年级前十掉到了倒数第二。不过，也许是战棋游戏磨练了老张的头脑，他在高三时“稍微逆袭了一下”，考上了苏州的一所大学。&/p&&p&从小学到大学，老张都觉得自己和周围的同学不在一个时代。初高中的时候，他就是全班唯一一个玩SFC的人，其他同学最多玩玩FC，更多的人日常娱乐还是看电视剧或是别的什么流行娱乐。&/p&&p&1998年上大学时，老张买了一台586，在当时这样一台机子绝对能算得上是大件。在这台电脑上，他第一次接触了战棋以外的游戏类型，不过出于兴趣，大多数玩下去的还是策略游戏。&/p&&p&老张当时最喜欢的游戏RTS的鼻祖之一是《命令与征服》，按他的话来说，“我是第一次知道游戏可以做成这样”。另一款让他惊异的游戏是汉堂的《炎龙骑士团：邪神之封印》，这款游戏让他发现“原来国人做战棋游戏也可以做得很好，还不必拘泥于中国题材”。&/p&&figure&&img src=&https://pic3.zhimg.com/v2-ff457d69a659cbbebe235e_b.jpg& data-size=&normal& data-rawwidth=&320& data-rawheight=&200& data-thumbnail=&https://pic3.zhimg.com/v2-ff457d69a659cbbebe235e_b.jpg& class=&content_image& width=&320&&&figcaption&《炎龙骑士团：邪神之封印》&/figcaption&&/figure&&h2&&b&丨 珠海第三波&/b&&/h2&&p&大学毕业之后，老张去了珠海第三波工作，其间参与了《三国赵云传》的开发。除了喜欢游戏外，他当时去第三波的真实目的，其实是因为第三波是当时日本光荣的}
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