运筹学概念判断题_百度文库
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运筹学概念判断题
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运筹学完整讲义
经济学核心课程运筹学( Operations Research )绪论本章主要内容： （1）运筹学简述 （2）运筹学的主要内容 （3）本课程的教材及参考书 （4）本课程的特点和要求（5）本课程授课方式与考核（6）运筹学在工商管理中的应用运筹学简述运筹学（Operations Research）Page 3系统工程的最重要的理论基础之一，在美国有人把运筹 学称之为管理科学(Management Science)。运筹学所研究的 问题，可简单地归结为一句话：“依照给定条件和目标，从众多方案中选择最佳方案”故有人称之为最优化技术。运筹学简述运筹学的历史 “运作研究(Operational Research)小组”:解决复 杂的战略和战术问题。例如： 1. 如何合理运用雷达有效地对付德军德空袭 2. 对商船如何进行编队护航，使船队遭受德国潜 艇攻击时损失最少； 3. 在各种情况下如何调整反潜深水炸弹的爆炸深 度，才能增加对德国潜艇的杀伤力等。Page 4运筹学的主要内容数学规划（线性规划、整数规划、目标规划、动态 规划等） 图论 存储论 排队论Page 5对策论排序与统筹方法 决策分析本课程的教材及参考书选用教材?Page 6《运筹学基础及应用》胡运权主编 哈工大出版社 《运筹学教程》胡运权主编 （第2版）清华出版社参考教材???《管理运筹学》韩伯棠主编 （第2版）高等教育出版社《运筹学》(修订版) 钱颂迪主编 清华出版社本课程的特点和要求先修课：高等数学，基础概率、线性代数 特点：系统整体优化；多学科的配合；模型方法的应用 运筹学的研究的主要步骤：真实系统Page 7数据准备系统分析 问题描述模型建立 与修改模型求解 与检验结果分析与 实施本课程授课方式与考核讲授为主，结合习题作业学科总成绩Page 8平时成绩 （40％）期末成绩 （60％）课堂考勤 （50％）平时作业 （50％）运筹学在工商管理中的应用运筹学在工商管理中的应用涉及几个方面：1. 2. 3. 4.Page 9生产计划运输问题人事管理 库存管理5.6.市场营销财务和会计另外，还应用于设备维修、更新和可靠性分析，项目的选择 与评价，工程优化设计等。运筹学在工商管理中的应用Interface上发表的部分获奖项目组织 联合航空公司 Citgo石油公司 AT&T 标准品牌公司 法国国家铁路公司 应用 在满足乘客需求的前提下，以最低成本进 行订票及机场工作班次安排 优化炼油程序及产品供应、配送和营销 优化商业用户的电话销售中心选址 控制成本库存（制定最优再定购点和定购 量确保安全库存） 制定最优铁路时刻表并调整铁路日运营量 效果Page 10每年节约成本600万美元 每年节约成本7000万 每年节约成本4.06亿美元，销 售额大幅增加 每年节约成本380万美元 每年节约成本1500万美元， 年收入大幅增加。Taco BellDelta航空公司优化员工安排，以最低成本服务客户优化配Z上千个国内航线航班来实现利润 最大化每年节约成本1300万美元每年节约成本1亿美元“管理运筹学”软件介绍Page 11“管理运筹学”2.0版包括：线性规划、运输问题、整数规划（0-1整数 规划、纯整数规划和混合整数规划）、目标规划、对策论、最短路径、 最小生成树、最大流量、最小费用最大流、关键路径、存储论、排队论、 决策分析、预测问题和层次分析法，共15个子模块。Chapter1 线性规划(Linear Programming)本章主要内容：LP的数学模型 图解法单纯形法单纯形法的进一步讨论－人工变量法 LP模型的应用线性规划问题的数学模型1. 规划问题 生产和经营管理中经常提出如何合理安排，使人力、 物力等各种资源得到充分利用，获得最大的效益， 这就是规划问题。 线性规划通常解决下列两类问题：Page 13（1）当任务或目标确定后，如何统筹兼顾，合理安排，用 最少的资源 （如资金、设备、原标材料、人工、时间等） 去完成确定的任务或目标 （2）在一定的资源条件限制下，如何组织安排生产获得最 好的经济效益（如产品量最多 、利润最大.）线性规划问题的数学模型例1.1 如图所示，如何截取x使铁皮所围成的容积最 大？ xPage 14v ? ?a ? 2 x ? ? x2adv ?0 dx2(a ? 2 x ) ? x ? (?2) ? (a ? 2 x )2 ? 0a x? 6线性规划问题的数学模型例1.2 某企业计划生产甲、乙两种产品。这些产品分 别要在A、B、C、D、四种不同的设备上加工。按工 艺资料规定，单件产品在不同设备上加工所需要的台 时如下表所示，企业决策者应如何安排生产计划，使 企业总的利润最大？设 备 产 品 甲 乙 有效台时 A 2 2 12 B 1 2 8 C 4 0 16 D 0 4 12 利润（元） 2 3Page 15线性规划问题的数学模型Page 16解：设x1、x2分别为甲、乙两种产品的产量，则数学模型为： max Z = 2x1 + 3x2 2x1 + 2x2 ≤ 12 x1 + 2x2 ≤ 8 s.t. 4x1 ≤ 16 4x2 ≤ 12 x1 ≥ 0 , x2 ≥ 0线性规划问题的数学模型2. 线性规划的数学模型由三个要素构成 决策变量 目标函数 Decision variables Objective functionPage 17约束条件Constraints怎样辨别一个模型是线性规划模型？ 其特征是： （1）问题的目标函数是多个决策变量的线性函数， 通常是求最大值或最小值； （2）问题的约束条件是一组多个决策变量的线性不 等式或等式。线性规划问题的数学模型3. 线性规划数学模型的一般形式Page 18目标函数： max (min) z ? c1 x1 ? c 2 x 2 ? ?? ? c n x na1 1 x1 ? a1 2 x 2 ? ?? ? a1 n x n ? ( ? ? ? ) b1约束条件：??????a m 1 x1 ? a m 2 x 2 ? ?? ? a m n x n ? ( ? ? ? ) bm x1 ? 0 ?? x n ? 0简写为： max(min) Z ??c xj ?1 jnj?aj ?1nijx j ? ( ? ? ? ) bi(i ? 1 ? 2? m ) (j ? 1 ? 2? n)xj ? 0线性规划问题的数学模型向量形式： m ax (min) z ? CXPage 19?? p j x j ? (? ? ? ) B ? ?X ?0其中： C ? (c1 c 2 ? c n )? x1 ? ? ? X???? ? xn ? ? ?? a1 j ? ? ? Pj ? ? ? ? ?a mj ? ? ?? b1 ? ? ? B?? ? ? ? bm ? ? ?线性规划问题的数学模型矩阵形式：Page 20max(min) Z ? CX ? AX ? ( ? ? ? ) B ? ?X ?0其中： C ? (c1 c 2 ? c n )? a11 ? a1 n ? ? ? A?? ? ? ? ? ?a m 1 ? a mn ? ? ?? x1 ? ? ? X???? ? xn ? ? ?? b1 ? ? ? B?? ? ? ? bm ? ? ?线性规划问题的数学模型3. 线性规划问题的标准形式Page 21max Z ? ? c j x jj ?1n?n ?? a ij x j ? bi s.t ? j ?1 i ? 1,2,? , m ? x j ? 0, j ? 1,2,? , n ?特点： (1) 目标函数求最大值（有时求最小值） (2) 约束条件都为等式方程，且右端常数项bi都大于或等于零 (3) 决策变量xj为非负。线性规划问题的数学模型（2）如何化标准形式 目标函数的转换Page 22如果是求极小值即 minz ? ? c j x j ，则可将目标函数乘以(-1)， 可化为求极大值问题。 即也就是：令 z ? ? ? z ，可得到上式。maxz? ? ? z ? ?? c j x j变量的变换若存在取值无约束的变量 x j ，可令 x j ? x?j ? x?j? 其中：x?j , x?j? ? 0线性规划问题的数学模型约束方程的转换：由不等式转换为等式。Page 23?a xijj? bi?aijx j ? x n? i ? bi称为松弛变量x n? i ? 0?aijx j ? bi?aijx j ? x n? i ? bi称为剩余变量x n? i ? 0变量x j ? 0的变换 可令 x?j ? ? x j ，显然 x ?j ? 0线性规划问题的数学模型例1.3 将下列线性规划问题化为标准形式min Z ? ?2 x 1 ? x 2 ? 3 x 3 5 x1 ? x 2 ? x 3 ? 7 ? ? x1 ? x 2 ? 4 x 3 ? 2 ? ? ? ? 3 x 1 ? x 2 ? 2 x 3 ? ?5 ? x 1 , x 2 ? 0, x 3 无 约 束 ?Page 24解:（１）因为x3无符号要求 ，即x3取正值也可取负值，标准 型中要求变量非负，所以 用 x ? ? x ?? 替换 x3 ，且 x ? , x ?? ? 0 3 3 3 3线性规划问题的数学模型Page 25(2) 第一个约束条件是“≤”号，在“≤”左端加入松驰变量x4， x4≥0,化为等式； (3) 第二个约束条件是“≥”号，在“≥”左端减去剩余变量x5， x5≥0；(4) 第3个约束方程右端常数项为-5，方程两边同乘以(-1),将右 端常数项化为正数；(5) 目标函数是最小值，为了化为求最大值，令z′=-z,得到max z′=-z，即当z达到最小值时z′达到最大值，反之亦然;线性规划问题的数学模型标准形式如下：max Z ? 2 x1 ? x 2 ? 3( x ? ? x ??) ? 0 x 4 ? 0 x 5 3 3 ?7 ?5 x1 ? x 2 ? ( x ? ? x ??) ? x 4 3 3 ? ? x5 ? 2 ? x1 ? x 2 ? ( x ? ? x ??) 3 3 ? ?5 3 3 ? 5 x1 ? x 2 ? 2( x ? ? x ??) ? x1 , x 2 , x ? , x ??, x 4 , x 5 ? 0 3 3 ?Page 26线性规划问题的数学模型4. 线性规划问题的解 线性规划问题Page 27max Z ? ? c j x j ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?(1)j ?1n?n ?? a ij x j ? bi ( i ? 1,2,? , m ) ? ?( 2) s.t ? j ?1 ? x j ? 0, j ? 1,2,? , n ? ? ? ? ? ?( 3) ?求解线性规划问题，就是从满足约束条件(2)、(3)的方程组 中找出一个解，使目标函数(1)达到最大值。线性规划问题的数学模型Page 28可行解：满足约束条件②、③的解为可行解。所有可行解 的集合为可行域。 最优解：使目标函数达到最大值的可行解。 基：设A为约束条件②的m×n阶系数矩阵(m&n)，其秩为 m，B是矩阵A中m阶满秩子矩阵（OBO≠0），称B是规划问 题的一个基。设：? a11 ? a1 m ? ? ? B?? ? ? ? ? ? ( p1 ? pm ) ?a m 1 a mm ? ? ?称 B中每个列向量Pj ( j = 1 2 … … m) 为基向量。与基向量Pj对应的变量xj 为基变量。除基变量以外的变量为非基变量。线性规划问题的数学模型Page 29基解：某一确定的基B，令非基变量等于零，由约束条件 方程②解出基变量，称这组解为基解。在基解中变量取非0 m 值的个数不大于方程数m，基解的总数不超过 C n 基可行解：满足变量非负约束条件的基本解，简称基可 行解。 可行基：对应于基可行解的基称为可行基。可 行 解 非可行解基解基可行解线性规划问题的数学模型例1.4 求线性规划问题的所有基矩阵。max Z ? 4 x1 ? 2 x 2 ? x 3 ?5 x1 ? x 2 ? x 3 ? x 4 ? 3 ? ? ? 10 x1 ? 6 x 2 ? 2 x 3 ? x 5 ? 2 ? x ? 0, j ? 1,? ,5 ? jPage 30解: 约束方程的系数矩阵为2×5矩阵 A ? ? ?? 10 6? 5 B1 ? ? ? ? 10 ? 5 B5 ? ? ? ? 10 1? ?1 ? B2 ? ? 6? ?6 1? ?? 1 ? B6 ? ? 0? ?2 ? 1? ? 5 ? B3 ? ? 2? ? ? 10 0? ?? 1 ? B7 ? ? 1? ?2? 51 ? 1 1 0? ? 2 0 1?r(A)=2，2阶子矩阵有10个，其中基矩阵只有9个，即0? ?1 ? B4 ? ? 1? ?6 1? ?1 ? B8 ? ? 0? ?6 1? ? 0? 0? ?1 0? ? B9 ? ? ? 1? 0 1? ?图解法线性规划问题的求解方法 一般有 两种方法 两个变量、直角坐标 三个变量、立体坐标Page 31图解法单纯形法适用于任意变量、但必需将 一般形式变成标准形式下面我们分析一下简单的情况―― 只有两个决策 变量的线性规划问题，这时可以通过图解的方法来 求解。图解法具有简单、直观、便于初学者窥探线 性规划基本原理和几何意义等优点。图解法例1.5 用图解法求解线性规划问题max Z = 2X1 + X2 X1 + 1.9X2 ≥ 3.8 X1 - 1.9X2 ≤ 3.8Page 32s.t.X1 + 1.9X2 ≤10.2X1 - 1.9X2 ≥ -3.8 X1 ，X2 ≥ 0图解法max Z = 2X1 + X2X1 - 1.9X2 = -3.8 (≥)Page 33x24 = 2X1 + X2X1 + 1.9X2 = 10.2(≤) 11 = 2X1 + X217.2 = 2X1 + X220 = 2X1 + X2Dmax Z可行域此点是唯一最优解， 且最优目标函数值 max Z=17.2 （7.6，2）X1 + 1.9X2 = 3.8(≥)min ZoLo： 0 = 2X1 + X2X1 - 1.9X2 = 3.8(≤)x1图解法max Z=3X1+5.7X2X1 - 1.9X2 = -3.8(≥)Page 34x2X1 + 1.9X2 = 10.2 (≤)（3.8，4）蓝色线段上的所有点都是最 优解这种情形为有无穷多最 优解，但是最优目标函数值 max Z=34.2是唯一的。Dmax Z可行域（7.6，2）34.2 = 3X1+5.7X2X1 + 1.9X2 = 3.8(≥)X1 - 1.9X2 = 3.8 (≤) L0： 0=3X1+5.7X2ox1图解法min Z=5X1+4X2 x2X1 + 1.9X2 = 10.2 (≤)Page 3543=5X1+4X2 8=5X1+4X2 此点是唯一最优解 （0，2）D可行域max Zmin ZX1 + 1.9X2 = 3.8(≥)X1 - 1.9X2 = 3.8 (≤)oL0： 0=5X1+4X2x1图解法x2 例1.6Page 36max Z=x1+2x2? x1 ? 3 x 2 ? 6 ? ? x1 ? x 2 ? 4 ? ? 3 x1 ? x 2 ? 6 ? x1 ? 0、x 2 ? 0 ?63x1+x2=6(≥)42max Zmin Zx1+x2=4(≥)无界解(无最优解)x1+3x2=6(≥)246x1x2504030例1.7 max Z=3x1+4x2 2 x1 ? x 2 ? 40 x1 ? 1.5 x 2 ? 30 x1 ? x 2 ? 50 x 1 ? 0, x 2 ? 020无可行解(即无最优解)10O1020304050x1图解法学习要点：1. 通过图解法了解线性规划有几种解的形式 （唯一最优解；无穷多最优解；无界解；无可行解） 2. 作图的关键有三点： (1) 可行解区域要画正确Page 38(2) 目标函数增加的方向不能画错(3) 目标函数的直线怎样平行移动单纯形法基本原理Page 39凸集：如果集合C中任意两个点X1、X2，其连线上的所有点 也都是集合C中的点，称C为凸集。凸集顶点凸集不是凸集单纯形法基本原理Page 40定理1：若线性规划问题存在可行解，则该问题的可行域是 凸集。 定理2：线性规划问题的基可行解X对应可行域(凸集)的顶 点。 定理3：若问题存在最优解，一定存在一个基可行解是最优 解。（或在某个顶点取得）单纯形法的计算步骤单纯形法的思路 找出一个初始可行解Page 41是否最优 循 环 否是最优解 结束转移到另一个基本可行解 （找出更大的目标函数值） 核心是：变量迭代单纯形法的计算步骤单纯形表Page 42cjcBXBc1 ? ? cmx1 ? ? xmc1 ??cm cm ?1 ??cn ?i b x1 ?? xm xm?1 ?? xn b1 1 ? ? 0 a1,m?1 ? ? a1n ? 1? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? bm 0 ? ? 1 am,m?1 ? ? amn ? m?j0??0 ? j ? c j ? ? ci aijbi 其中： i ? ? a kj ? 0 a kj单纯形法的计算步骤例1.8 用单纯形法求下列线性规划的最优解max Z ? 3 x1 ? 4 x 2 ? 2 x1 ? x 2 ? 40 ? ? x1 ? 3 x 2 ? 30 ?x , x ? 0 ? 1 2Page 43解：1）将问题化为标准型，加入松驰变量x3、x4则标准型为:max Z ? 3 x1 ? 4 x 2 ? 2 x1 ? x 2 ? x 3 ? 40 ? ? x1 ? 3 x 2 ? x 4 ? 30 ?x , x , x , x ? 0 ? 1 2 3 4单纯形法的计算步骤Page 442）求出线性规划的初始基可行解，列出初始单纯形表。cj cB 0 基 x3 b 40 3 x1 2 4 x2 1 0 x3 1 0 x4 0θi0?jx43013340010检验数?1 ? c1 ? (c3a11 ? c4a21 ) ? 3 ? (0 ? 2 ? 0 ? 1) ? 3单纯形法的计算步骤Page 453）进行最优性检验 如果表中所有检验数 ? ? 0 ，则表中的基可行解就是问题 j 的最优解，计算停止。否则继续下一步。 4）从一个基可行解转换到另一个目标值更大的基可行解， 列出新的单纯形表① 确定换入基的变量。选择 ? j ? 0 ，对应的变量xj作为换入变量，当有一个以上检验数大于0时，一般选择最大的一个检 验数，即：? k ? max{? j | ? j ? 0} ，其对应的xk作为换入变 量。 变量作为换出变量。 ? bi ? ? L ? min ? a ik ? 0? ? a ik ?② 确定换出变量。根据下式计算并选择θ ，选最小的θ对应基单纯形法的计算步骤③Page 46用换入变量xk替换基变量中的换出变量，得到一个新的基。 对应新的基可以找出一个新的基可行解，并相应地可以画出 一个新的单纯形表。5）重复3）、4）步直到计算结束为止。单纯形法的计算步骤换入列将3化为1cj cB 0 0 基变量 x3 b 40 30 3 x1 2 1 3 4 x2 1 3 4 0 x3 1 0 0Page 47bi /ai2，ai2&00 x4 0 1 0 θi?j ?jx440 10换 出 行乘 以 1/3 后 得 到0 4x3 x230 1018 43 4x1?jx25/3 1/3 5/3 1 0 00 1 0 0 1 01 0 0 3/5 －1/5 －1－1/3 1/3 －4/3 －1/5 －2/5 －118 30单纯形法的计算步骤例1.9 用单纯形法求解max Z ? x1 ? 2 x 2 ? x 3 ? 2 x1 ? 3 x 2 ? 2 x 3 ? 15 ?1 ? s .t ? x1 ? x 2 ? 5 x 3 ? 20 ?3 ? x1、x 2、x 3 ? 0 ?Page 48解：将数学模型化为标准形式：max Z ? x1 ? 2 x 2 ? x 3 ? 2 x1 ? 3 x 2 ? 2 x 3 ? x 4 ? 15 ?1 ? s .t ? x1 ? x 2 ? 5 x 3 ? x 5 ? 20 ?3 ? x j ? 0, j ? 1,2, ? ,5 ?不难看出x4、x5可作为初始基变量，列单纯形表计算。单纯形法的计算步骤cjcB0 0Page 491b15 202x2-3 11x32 50x41 00x50 1基变量x4 x5x12 1/3θi－ 20 25 60?j0 x4121002?j12x2x175 3 20 1/3 1/325 35/30 1 0 0 1017 5－91 0 03 1－2?jx21 0017/3 1/3 1 28/9 -1/9 2/3-98/9 -1/9 -7/3单纯形法的计算步骤Page 50学习要点：1. 线性规划解的概念以及3个基本定理2. 熟练掌握单纯形法的解题思路及求解步骤单纯形法的进一步讨论－人工变量法人工变量法：Page 51前面讨论了在标准型中系数矩阵有单位矩阵，很容易 确定一组基可行解。在实际问题中有些模型并不含有单位 矩阵，为了得到一组基向量和初基可行解，在约束条件的 等式左端加一组虚拟变量，得到一组基变量。这种人为加 的变量称为人工变量，构成的可行基称为人工基，用大M 法或两阶段法求解，这种用人工变量作桥梁的求解方法称 为人工变量法。单纯形法的进一步讨论－人工变量法例1.10 用大M法解下列线性规划max Z ? 3 x1 ? 2 x 2 ? x 3 ? ? 4 x1 ? 3 x 2 ? x 3 ? 4 ? ? x1 ? x 2 ? 2 x 3 ? 10 ? ? ? 2 x 1 ? 2 x 2 ? x 3 ? ?1 ? x1、x 2、x 3 ? 0 ?Page 52解：首先将数学模型化为标准形式max Z ? 3 x1 ? 2 x 2 ? x 3 ? ? 4 x1 ? 3 x 2 ? x 3 ? x 4 ? 4 ? ? x1 ? x 2 ? 2 x 3 ? x 5 ? 10 ? ? 2 x1 ? 2 x 2 ? x 3 ? 1 ? x j ? 0, j ? 1,2, ? ,5 ?系数矩阵中不存在 单位矩阵，无法建 立初始单纯形表。单纯形法的进一步讨论－人工变量法max Z ? 3 x1 ? 2 x 2 ? x 3－Mx 6 ? Mx 7 ? ? 4 x1 ? 3 x 2 ? x 3 ? x 4 ? x 6 ? 4 ? ? x1 ? x 2 ? 2 x 3 ? x 5 ? 10 ? ? 2 x1 ? 2 x 2 ? x 3 ? x 7 ? 1 ? x j ? 0, j ? 1,2, ? ,7 ?Page 53故人为添加两个单位向量，得到人工变量单纯形法数学模型：其中：M是一个很大的抽象的数，不需要给出具体的数值， 可以理解为它能大于给定的任何一个确定数值；再用前面介 绍的单纯形法求解该模型，计算结果见下表。单纯形法的进一步讨论－人工变量法cj CB 0 -M -M XB x6 x5 x7 x6 x5 x3 x2 x5 x3 b 4 10 1 3 x1 -4 1 2 3-2M 3 8 1 -6 -3 2 5-6M 3/5 31/5 11/5 －6/5 3/5 －2/5 5↑ 13 31/3 19/3 0 1 0 0 2 x2 3 -1 -2 2+M 5 3 -2 5M↑ 1 0 0 0 1 0 0 0 -1 x3 1 2 1 -1+2M↑ 0 0 1 0 0 0 1 0 0 0 1 0 0 x4 -1 0 0 -M -1 0 0 -M －1/5 3/5 －2/5 0 1 1 0 -5 0 1 0 0 0 1 0 0 2 5/3 2/3 -25/3 1 0 0 0 0 x5 0 1 0 -M x6 1 0 0 -M x7 0 0 1Page 54θi 4 5 1?j0 -M -1→ →3/5 8/3 ―― ―― 31/3 ――?j2 -M -1→?jx2 x12 3 -1?jx3单纯形法的进一步讨论－人工变量法解的判别：Page 551）唯一最优解判别：最优表中所有非基变量的检验数非零, 则线 规划具有唯一最优解。2）多重最优解判别：最优表中存在非基变量的检验数为零, 则线则性规划具有多重最优解（或无穷多最优解）。3）无界解判别：某个λk&0且aik≤０（i=1，2,…,m）则线性 规划具有无界解。 4）无可行解的判断：当用大M单纯形法计算得到最优解并 且存在Ri&0时，则表明原线性规划无可行解。5）退化解的判别：存在某个基变量为零的基本可行解。单纯形法的进一步讨论－人工变量法单纯性法小结:建 立 模 型 两 个 求 解 图 解 法、 三个 以上 单纯 形法 不 处 理 xj′ ≥0 xj″ ≥0 xj≥0 xj无 约束 令xj = xj′ xj″ 令 xj’ = - xj 不 处 理 约束条 件两端 同乘以 -1 加 松 弛 变 量 xs 加 入 人 工 变 量 xa 减 去 xs 加 入 xa 不 处 理 xj ≤ 0 bi ≥0 bi & 0 ≤ 个 数 取 值 右 端 项 等式或 不等式 = ≥ 极大或极小 maxZPage 56新加变量 系数 xs xaminZ令 z′=- Z minZ =－ max z′0-M单 纯 形 法A求 :? j ? c j ? z j所有 ?j ?0否循环是基变 有某个 否 否 唯一 量中是否 非基变量的 最优解 含有xa ?j ?0是 无可行解 是 无穷多 最优解停止找出 ? j )max即? k (aik ? 0 (对任一 ? j ? 0)否循 环是无界解bi 计算? i ? ( alk ? 0) alk用非基变量xk 替换基变量xl列出下一个 新单纯形表线性规划模型的应用一般而言，一个经济、管理问题凡是满足以下条 件时，才能建立线性规划模型。 要求解问题的目标函数能用数值指标来反映，且 为线性函数 存在着多种方案 要求达到的目标是在一定条件下实现的，这些约 束可用线性等式或不等式描述Page 58线性规划在管理中的应用1. 人力资源分配问题Page 59例1.11 某昼夜服务的公交线路每天各时间段内 所需司机和乘务人员人数如下表所示：班次 1 2 3 4 时间 6:00――10:00 10:00――14:00 14:00――18:00 18:00――22:00 所需人员 60 70 60 505622:00――2:002:00――6:002030设司机和乘务人员分别在各时间段开始时上班，并连续工作 8小时，问该公交线路应怎样安排司机和乘务人员，即能满 足工作需要，又使配备司机和乘务人员的人数减少?线性规划在管理中的应用min x1 ? x 2 ? x 3 ? x 4 ? x 5 ? x 6 x1 ? x 6 ? 60 ? ? x1 ? x 2 ? 70 ? ? x 2 ? x 3 ? 60 ? s .t ? x 3 ? x 4 ? 50 ? x 4 ? x 5 ? 20 ? ? x 5 ? x 6 ? 30 ?x , x , x , x , x , x ? 0 ? 1 2 3 4 5 6Page 60解：设xi表示第i班次时开始上班的司机和乘务人员人数。此问题最优解：x1＝50， x2＝20， x3＝50， x4＝0， x5＝20， x6＝10，一共需要司机和乘务员150人。线性规划在管理中的应用2. 生产计划问题 某厂生产Ⅰ、Ⅱ、Ⅲ三种产品，都分别经A、B 两道工序加工。设A工序可分别在设备A1和A2上完 成，有B1、B2、B3三种设备可用于完成B工序。已 知产品Ⅰ可在A、B任何一种设备上加工；产品Ⅱ可 在任何规格的A设备上加工，但完成B工序时，只能 在B1设备上加工；产品Ⅲ只能在A2与B2设备上加工。 加工单位产品所需工序时间及其他各项数据如下表， 试安排最优生产计划，使该厂获利最大。Page 61线性规划在管理中的应用设备Ⅰ A1 A2 5 7 产品 Ⅱ 10 9 Ⅲ 设备有效 台时 Page 62设备加工费（单位小时）300 321B1B2 B3 原料费（每件） 售价（每件）64 7 0.25 1.2581240007000250783 20011 0.35 2.00 0.5 2.84000线性规划在管理中的应用Page 63解：设xijk表示产品i在工序j的设备k上加工的数量。约束条 件有：5 x111 ? 10x 211 ? 6000 (设 备A1) 7 x112 ? 9 x 212 ? 12x 312 ? 10000 设 备 2） （ A 6 x121 ? 8 x 221 ? 4000（ 设 备 1） B 4 x122 ? 11x 322 ? 7000 (设 备B 2) 7 x123 ? 4000 (设 备B 3) x111 ? x112 ? x121 ? x122 ? x123 （ 产 品 在 工 序 ，B上 加 工 的 数 量 相 等 ） I A x 211 ? x 212 ? x 221 （ 产 品 在 工 序 ，B上 加 工 的 数 量 相 等 ） II A x 312 ? x 322 （ 产 品 在 工 序 ，B上 加 工 的 数 量 相 等 ） III A x ijk ? 0（i ? 1,2,3; j ? 1,2; k ? 1,2,3）线性规划在管理中的应用目标是利润最大化，即利润的计算公式如下：利 润 ＝ [(销 售 单 价 － 原 料 单 价 该 产 品 件 数 )? － ] ?i ?1 5 3Page 64? ) ? (每 台 时 的 设 备 费 用该 设 备 实 际 使 用 台 时i ?1带入数据整理得到：max 0.75x111 ? 0.775x112 ? 1.15x 211 ? 1.36x 212 ? 1.915x 312 ? 0.375x121 ? 0.5 x 221 ? 0.448x122 ? 1.23x 322 ? 0.35x123线性规划在管理中的应用因此该规划问题的模型为：max 0.75x111 ? 0.775x112 ? 1.15x 211 ? 1.36 x 212 ? 1.915x 312 ? 0.375x121 ? 0.5 x 221 ? 0.448x122 ? 1.23x 322 ? 0.35x123 ?5 x111 ? 10 x 211 ? 6000 ? ?7 x112 ? 9 x 212 ? 12 x 312 ? 10000 ?6 x ? 8 x ?
? 121 ?4 x122 ? 11x 322 ? 7000 ? s .t ?7 x123 ? 4000 ?x ? x ? x ? x ? x 112 121 122 123 ? 111 ? x 211 ? x 212 ? x 221 ? ? x 312 ? x 322 ? x ? 0（i ? 1,2,3; j ? 1,2; k ? 1,2,3） ? ijkPage 65线性规划在管理中的应用3. 套裁下料问题 例：现有一批某种型号的圆钢长8米，需要截取2.5米 长的毛坯100根，长1.3米的毛坯200根。问如何才能 既满足需要，又能使总的用料最少？Page 66解：为了找到一个省料的套裁方案，必须先设计出较好的几 个下料方案。其次要求这些方案的总体能裁下所有各种规格 的圆钢，以满足对各种不同规格圆钢的需要并达到省料的目 的，为此可以设计出4种下料方案以供套裁用。2.5m 1.3m Ⅰ 3 0 Ⅱ 2 2 Ⅲ 1 4 Ⅳ 0 6料头00.40.30.2线性规划在管理中的应用2,3,4)，可列出下面的数学模型：min Z ? x1 ? x 2 ? x 3 ? x4 ? 3 x1 ? 2 x 2 ? x 3 ? 100 ? ? 2 x 2 ? 4 x 3 ? 6 x4 ? 200 ? x ? 0( j ? 1.2.3.4) ? jPage 67设按方案Ⅰ、Ⅱ、Ⅲ、Ⅳ下料的原材料根数分别为xj (j=1，线性规划在管理中的应用4. 配料问题 例：某人每天食用甲、乙两种食物（如猪肉、鸡蛋）， 其资料如下：问两种食物各食用多少，才能既满足需 要、又使总费用最省？含量 食物 成分Page 68甲 0.1 1.7 1.10 2乙 0.15 0.75 1.30 1.5最低需要量 1.00 7.50 10.00A1 A2 A3 原料单价线性规划在管理中的应用解：设Xj 表示Bj 种食物用量min Z ? 2 x1 ? 1.5 x 2 ?0.10 x1 ? 0.15 x 2 ? 1.00 ? ?1.70 x1 ? 0.75 x 2 ? 7.50 ? ?1.10 x1 ? 1.30 x 2 ? 10.00 ? x1 , x 2 ? 0 ?Page 69Chapter2 对偶理论( Duality Theory )本章主要内容：线性规划的对偶模型对偶性质 对偶问题的经济解释－影子价格对偶单纯形法线性规划的对偶模型1. 对偶问题的现实来源Page 71设某工厂生产两种产品甲和乙，生产中需4种设备按A，B， C，D顺序加工，每件产品加工所需的机时数、每件产品的利润值 及每种设备的可利用机时数列于下表 ：产品数据表设备 产品 甲 A 2 B 1 C 4 D 0 产品利润 （元／件） 2乙设备可利用机时数（时）212280164123问：充分利用设备机时，工厂应生产甲和乙型产品各多少件才能 获得最大利润？线性规划的对偶模型解：设甲、乙型产品各生产x1及x2件，则数学模型为：Page 72max z ? 2 x1 ? 3 x 2 ? 2 x1 ? 2 x 2 ? 12 ? ? x1 ? 2 x 2 ? 8 ? s .t ?4 x1 ? 16 ?4 x ? 12 ? 2 ? x1 , x 2 ? 0 ?反过来问：若厂长决定不生产甲和乙型产品，决定出租机器 用于接受外加工，只收加工费，那么４种机器的机时如何定 价才是最佳决策？线性规划的对偶模型在市场竞争的时代，厂长的最佳决策显然应符合两条：Page 73（1）不吃亏原则。即机时定价所赚利润不能低于加工甲、乙型 产品所获利润。由此原则，便构成了新规划的不等式约束条件。 （2）竞争性原则。即在上述不吃亏原则下，尽量降低机时总收 费，以便争取更多用户。 设A、B、C、D设备的机时价分别为y1、y2、y3、y4，则新的线 性规划数学模型为：min ? ? 12 y1 ? 8 y 2 ? 16 y 3 ? 12 y 4 ? 2 y1 ? y 2 ? 4 y 3 ? 0 y 4 ? 2 ? s.t ? 2 y1 ? 2 y 2 ? 0 y 3 ? 4 y 4 ? 3 ?y , y , y , y ? 0 ? 1 2 3 4线性规划的对偶模型Page 74把同种问题的两种提法所获得的数学模型用表2表示，将会发 现一个有趣的现象。原问题与对偶问题对比表 A（y1） B（y2） C（y3） D（y4）甲（x1）乙（x2）22 1212 840 1604 1223 minω max z线性规划的对偶模型2. 原问题与对偶问题的对应关系Page 75max z ? 2 x1 ? 3 x 2 ? 2 x1 ? 2 x 2 ? 12 ? ? x1 ? 2 x 2 ? 8 ? s .t ?4 x1 ? 16 ?4 x ? 12 ? 2 ? x1 , x 2 ? 0 ?原问题min ? ? 12 y1 ? 8 y 2 ? 16 y 3 ? 12 y 4 ? 2 y1 ? y 2 ? 4 y 3 ? 0 y 4 ? 2 ? s.t ? 2 y1 ? 2 y 2 ? 0 y 3 ? 4 y 4 ? 3 ?y , y , y , y ? 0 ? 1 2 3 4对偶问题（对偶问题）（原问题）线性规划的对偶模型（1）对称形式Page 76特点：目标函数求极大值时，所有约束条件为≤号，变 量非负;目标函数求极小值时，所有约束条件为≥号，变量非 负.P：maxZ ? CX ? AX ? b ? ? X?0D:minW ? Y T b ?A T Y ? C T ? ? Y?0已知P，写出D线性规划的对偶模型例2.1 写出线性规划问题的对偶问题max Z ? 2 x1 ? 3 x 2 ? 4 x 3 ? 2 x1 ? 3 x 2 ? 5 x 3 ? 2 ? ? 3 x1 ? x 2 ? 7 x 3 ? 3 ? ? ? x1 ? 4 x 2 ? 6 x 3 ? 5 ? x1 , x 2 , x 3 ? 0 ?Page 77解：首先将原问题变形为对称形式max Z ? 2 x1 ? 3 x 2 ? 4 x 3 ? ? 2 x ? 3 x 2 ? 5 x 3 ? ?2 ? ? 3 x1 ? x 2 ? 7 x 3 ? 3 ? ? x 1 ? 4 x 2 ? 6 x 3 ? ?5 ? x1 , x 2 , x 3 ? 0 ?线性规划的对偶模型对 偶 问 题 ： minW ? ?2 y1 ? 3 y 2 ? 5 y 3 ? ? 2 y1 ? 3 y 2 ? y 3 ? 2 ? ? ? 3 y 1 ? y 2 ? 4 y 3 ? ?3 ? ? 5 y1 ? 7 y 2 ? 6 y 3 ? 4 ? y1 , y 2 , y 3 ? 0 ?Page 78线性规划的对偶模型(2) 非对称型对偶问题Page 79若给出的线性规划不是对称形式，可以先化成对称形式 再写对偶问题。也可直接按教材表2-2中的对应关系写出非对 称形式的对偶问题。线性规划的对偶模型原问题（或对偶问题） 约束条件右端项 目标函数变量的系数 目标函数 max 约 束 条 件 m个 ≤ ≥ = 对偶问题（或原问题） 目标函数变量的系数 约束条件右端项 目标函数 min m个 ≥0 ≤0 无约束Page 80变 量n个变 量 ≥0 ≤0n个≥ ≤无约束约 束 条 件=线性规划的对偶模型例2.2 写出下列线性规划问题的对偶问题.m axZ ? 2 x1 ? 3 x 2 ? 5 x 3 ? x4 ? 4 x1 ? x 2 ? 3 x 3 ? 2 x4 ? 5 ? ? 7 x4 ? 4 ? 3 x1 ? 2 x 2 ? ? ? 2 x1 ? 3 x 2 ? 4 x 3 ? x4 ? 6 ? x ? 0, x , x ? 0, x 无约束 2 3 4 ? 1Page 81解：原问题的对偶问题为minW ? 5 y1 ? 4 y 2 ? 6 y 3 ? 4 y1 ? 3 y 2 ? 2 y 3 ? 2 ? y1 ? 2 y 2 ? 3 y 3 ? 3 ? ? 4 y 3 ? ?5 ? ? 3 y1 ? ? 2y ? 7y ? y ? 1 1 2 3 ? ? y1 ? 0, y 2 ? 0, y 3无 约 束 ?对偶性质例2.3 分别求解下列2个互为对偶关系的线性规划问题maxz ? 2 x1 ? x 2 ? 5 x 2 ? x 3 ? 15 ? ?6 x1 ? 2 x 2 ? x 4 ? 24 s.t ? ? x1 ? x 2 ? x 5 ? 5 ? xj ? 0 ?Page 82min w ? 15 y1 ? 24 y 2 ? 5 y 3 ? 6 y 2 ? y 3 ? y4 ? 2 ? s.t ?5 y1 ? 2 y 2 ? y 3 ? y5 ? 1 ? yi ? 0 ?分别用单纯形法求解上述2个规划问题，得到最终单纯形表如 下表：对偶性质原问题的变量原问 题最 优表 XB x3 b 15/2 x1 0 x2 0Page 83原问题的松弛变量x3 1 x4 5/4 x5 -15/2x1x27/23/210 001 000 01/4-1/4 －1/4-1/23/2 －1/2?j对偶问题的变量 对偶 问题 最优 表对偶问题的剩余变量 y4 -1/4 1/2 7/2 y5 1/4 -3/2 3/2XBy2 y3b1/4 1/2y1 -4/5 15/2 15/2y2 1 0 0y3 0 1 0?j对偶性质Page 84原问题与其对偶问题的变量与解的对应关系：在单纯形表中，原问题的松弛变量对应对 偶问题的变量，对偶问题的剩余变量对应原问 题的变量。对偶性质性质1 对称性定理：对偶问题的对偶是原问题 max Z=C X s.t. AX≥b X ≥0 min W= Y b s.t. YA ≥ C Y≤0Page 85对偶性质Page 86性质2 弱对偶原理(弱对偶性)：设 X 0 和 Y 0分别是问题(P)和 (D)的可行解，则必有CX ? Y b0 0即： ? c j x j ? ? yi bij ?1 i ?1nm推论1: 原问题任一可行解的目标函数值是其对偶问题目标函数值 的下届；反之，对偶问题任意可行解的目标函数值是其原问题目 标函数值的上界。推论2: 在一对对偶问题（P）和（D）中，若其中一个问题可行但 目标函数无界，则另一个问题无可行解；反之不成立。这也是对 偶问题的无界性。对偶性质Page 87推论3：在一对对偶问题（P）和（D）中，若一个可行（如 P），而另一个不可行（如D），则该可行的问题目标函数 值无界。性质3 最优性定理：如果 X 0 是原问题的可行解， 0是其对偶 Y 问题的可行解，并且:CX 0 ? BY 0即 : z＝w则 X 0是原问题的最优解，Y 0是其对偶问题的最优解。对偶性质Page 88性质4 强对偶性：若原问题及其对偶问题均具有可行解，则 两者均具有最优解，且它们最优解的目标函数值相等。还可推出另一结论：若（LP）与（DP）都有可行解，则两者 都有最优解，若一个问题无最优解，则另一问题也无最优解。性质5 互补松弛性：设X0和Y0分别是P问题 和 D问题 的可行 解，则它们分别是最优解的充要条件是：?Y 0 X s ? 0 ? Ys X 0 ? 0 ?其中：Xs、Ys为松弛变量对偶性质性质5的应用：Page 89该性质给出了已知一个问题最优解求另一个问题最优解 的方法，即已知Y＊求X＊或已知X＊求Y＊?Y ? X s ? 0 ? Ys X ? ? 0 ?互补松弛条件由于变量都非负，要使求和式等于零，则必定每一分量为零， 因而有下列关系：若Y＊≠0，则Xs必为0；若X＊≠0，则Ys必为0利用上述关系，建立对偶问题（或原问题）的约束线性方程组， 方程组的解即为最优解。对偶性质例2.4 已知线性规划max z ? 3 x1 ? 4 x 2 ? x 3 ? x1 ? 2 x 2 ? x 3 ? 10 ? ? 2 x1 ? 2 x 2 ? x 3 ? 16 ? x ? 0, j ? 1,2,3 ? jPage 90的最优解是X＊=(6,2,0)T,求其对偶问题的最优解Y＊。 解：写出原问题的对偶问题，即min w ? 10 y1 ? 16 y 2 ? y1 ? 2 y 2 ? 3 ? ? 2 y1 ? 2 y 2 ? 4 ? ? y1 ? y 2 ? 1 ? y1 , y 2 ? 0 ?标准化min w ? 10 y1 ? 16 y 2 ? y1 ? 2 y 2 ? y 3 ? 3 ? ? 2 y1 ? 2 y 2 ? y 4 ? 4 ? ? y1 ? y 2 ? y 5 ? 1 ? y1 , y 2 , y 3 , y 4 , y 5 ? 0 ?对偶性质Page 91设对偶问题最优解为Y＊＝(y1，y2),由互补松弛性定理可知， X＊和 Y＊满足：Ys X ? 0?Y ?Xs ? 0即：( y 3 , y4 , y5 )( x1 , x 2 , x 3 )T ? 0 ( y1 , y 2 )( x 4 , x 5 )T ? 0因为X1≠0，X2≠0，所以对偶问题的第一、二个约束的松弛 变量等于零，即y3＝0，y4＝0，带入方程中：? y1 ? 2 y 2 ? 3 ? ? 2 y1 ? 2 y 2 ? 4解此线性方程组得y1=1,y2=1,从而对偶问题的最优解为：Y＊=(1,1)，最优值w=26。对偶性质例2.5 已知线性规划 min z ? 2 x1 ? x 2 ? 2 x 3? ? x1 ? x 2 ? x 3＝4 ? ? ? x1 ? x 2 ? x 3 ? 6 ? x ? 0, x ? 0, x 无约束 2 3 ? 1Page 92的对偶问题的最优解为Y＊=(0,-2)，求原问题的最优解。 解: 对偶问题是max w ? 4 y1 ? 6 y 2 ? ? y1 ? y 2 ? 2 ? ? y1 ? y 2 ? ?1 ? ? y1 ? y 2＝2 ? y1无约，y 2 ? 0 ?标准化max w ? 4 y1 ? 6 y 2 ? ? y1 ? y 2 ? y 3 ? 2 ? ? y1 ? y 2 ? y 4 ? ?1 ? ? y1 ? y 2＝2 ? y1无约, y 2 ? 0, y 3 , y 4 ? 0 ?对偶性质Page 93设对偶问题最优解为X＊＝(x1，x2 ，x3)T ,由互补松弛性定理 可知，X＊和 Y＊满足：( y 3 , y4 , y5 )( x1 , x 2 , x 3 )T ? 0 ( y1 , y 2 )( x 4 , x 5 )T ? 0 将Y＊带入由方程可知，y3＝y5＝0，y4＝1。∵y2=-2≠0 ∴x5＝0 又∵y4=1≠0 ∴x2＝0? ? x1 ? x 3 ? 4 将x2，x5分别带入原问题约束方程中，得：? ? ? x1 ? x 3 ? 6解方程组得：x1=-5,x3=-1, 所以原问题的最优解为X＊=(-5,0,-1)，最优值z=-12对偶性质原问题与对偶问题解的对应关系小结对应关系 最优解 对偶问题 无界解 原问题 最优解 无界解 ―― ―― 无可行解 ―― (Y,Y)Page 94(Y,Y)(N,N) ――无可行解――(Y,Y)无法判断思考题判断下列结论是否正确，如果不正确，应该怎样改正？1）任何线性规划都存在一个对应的对偶线性规划. 2）原问题第i个约束是“≤”约束，则对偶变量yi≥0.Page 953）互为对偶问题，或者同时都有最优解，或者同时都无最优解. 4）对偶问题有可行解，则原问题也有可行解. 5）原问题有多重解，对偶问题也有多重解. 6）对偶问题有可行解，原问题无可行解，则对偶问题具有无界解.7）原问题无最优解，则对偶问题无可行解.8）对偶问题不可行，原问题可能无界解. 9）原问题与对偶问题都可行，则都有最优解.10）原问题具有无界解，则对偶问题不可行.11）对偶问题具有无界解，则原问题无最优解. 12）若X*、Y*是原问题与对偶问题的最优解，则X*=Y*.对偶问题的经济解释－影子价格Page 96定义：在一对 P 和 D 中，若 P 的某个约束条件的右端项常 数bi （第i种资源的拥有量）增加一个单位时，所引起目标 函数最优值z* 的改变量称为第 i 种资源的影子价格，其值等 于D问题中对偶变量yi*。 1. 影子价格的数学分析：max Z ? CX ? AX ? b P ? ?X ? 0nminW ? Yb ?YA ? C D? ?Y ? 0m由对偶问题得基本性质可得：z? ? ? c j x j ?? bi yij ?1 i ?1对偶问题的经济解释－影子价格2. 影子价格的经济意义 1）影子价格是一种边际价格Page 97在其它条件不变的情况下，单位资源数量的变化所引起 的目标函数最优值的变化。即对偶变量yi 就是第 i 种资源的 影子价格。即：?Z * ? y i * ( i ? 1,2 ? m ) ? bi对偶问题的经济解释－影子价格2）影子价格是一种机会成本Page 98影子价格是在资源最优利用条件下对单位资源的估价， 这种估价不是资源实际的市场价格。因此，从另一个角度说， 它是一种机会成本。若第i 种资源的单位市场价格为mi ，则有当yi* & mi 时，企业愿意 购进这种资源，单位纯利为yi*－mi ，则有利可图；如果yi* & mi ， 则企业有偿转让这种资源，可获单位纯利mi－yi * ，否则，企业 无利可图，甚至亏损。 结论：若yi* & mi 则购进资源i，可获单位纯利yi*－mi 若yi* & mi则转让资源i ，可获单位纯利mi－yi对偶问题的经济解释－影子价格3）影子价格在资源利用中的应用 根据对偶理论的互补松弛性定理: Y*Xs=0 , YsX*=0Page 99表明生产过程中如果某种资源bi未得到充分利用时，该种资 源的影子价格为0；若当资源资源的影子价格不为0时，表明 该种资源在生产中已耗费完。对偶问题的经济解释－影子价格4）影子价格对单纯形表计算的解释 单纯形表中的检验数Page 100? j ? c j ? C B B Pj ? c j ? ? aij yi?1 i ?1m其中cj表示第j种产品的价格; ? a ij y i 表示生产该种产品所 消耗的各项资源的影子价格的总和,即产品的隐含成本。 当产值大于隐含成本时，即 ? j ? 0，表明生产该项产品有 利，可在计划中安排；否则 ? j ? 0，用这些资源生产别的 产品更有利，不在生产中安排该产品。i ?1m对偶单纯形法对偶单纯形法原理Page 101对偶单纯形法是求解线性规划的另一个基本方法。它 是根据对偶原理和单纯形法原理而设计出来的，因此称为 对偶单纯形法。不要简单理解为是求解对偶问题的单纯形 法。 对偶单纯形法基本思路： 找出一个对偶问题的可行基，保持对偶问题为可行解的 条件下，判断XB是否可行（XB为非负），若否，通过变换基 解，直到找到原问题基可行解（即XB为非负），这时原问题 与对偶问题同时达到可行解，由定理4可得最优解。对偶单纯形法找出一个DP的可行基Page 102LP是否可行 （XB ≥0） 循 环 否是最优解结束保持DP为可行解情况下转移到LP 的另一个基本解对偶单纯形法例2.9 用对偶单纯形法求解：min Z ? 9 x1 ? 12x 2 ? 15 x 3 ? 2 x1 ? 2 x 2 ? x 3 ? 10 ? ? 2 x1 ? 3 x 2 ? x 3 ? 12 ? ? x1 ? x 2 ? 5 x 3 ? 14 ? x j ? 0( j ? 1.2.3) ?Page 103解:（1）将模型转化为求最大化问题，约束方程化为等式求 出一组基本解，因为对偶问题可行，即全部检验数≤0（求 max问题）。对偶单纯形法max Z ? ? ?9 x1 ? 12x 2 ? 15x 3 ? ?10 ? ? 2 x1 ? 2 x 2 ? x 3 ? x 4 ? ? x5 ? ?12 ? ? 2 x1 ? 3 x 2 ? x 3 ? ? x 6 ? ?14 ? ? x1 ? x 2 ? 5 x 3 ? x1?6 ? 0 ?cj cB 0 0 0 xB x4 x5 x6 -9 x1 -2 -2 -1 -9 -12 x2 -2 -3 -1 -12 -15 x3 -1 -1 -5 -15 0 x4 1 0 0 0 0 x5 0 1 0 0 0 b x6 0 0 1 0 -10 -12 -14 0Page 104?i(-9/-1.-12/-1. -15/-5)λj对偶单纯形法cj cB xB -9 x1 -12 x2 -15 x3 0 x4 0 x5 0 b x6Page 105?i00 -15x4x5 x3-9/5-9/5 1/5 -6-9/5-14/5 1/5 -9 -12 -1500 1 0 010 0 0 001 0 0-1/5-1/5 -1/5 -3 0-36/5-46/5 14/5 42 (-30/-9,-45/-14, -15/-1)?jcj -9cB0 -12 -15xBx4 x2 x3x1-9/14 9/14 1/14 -3/14x20 1 0 0x30 0 1 0x41 0 0 0x5-9/14 -5/14 1/14 -45/14x6-1/14 1/14 -3/14 -33/14b -9/7 23/7 15/7?i(-3/-9,-45/-9, -33/-1)?j对偶单纯形法cjcB -9 -12 -15 xB x1 x2 x3Page 106-9x1 1 0 0 0-12x2 0 1 0 0-15x3 0 0 1 00x4 -14/9 1 1/9 -1/30x5 1 -1 0 -30x6 1/9 0 -2/9 -7/3 b 2 2 2?j原问题的最优解为：X*=（2 , 2 , 2 , 0 , 0 , 0），Z* =72 其对偶问题的最优解为：Y*= （1/3 , 3 , 7/3），W*= 72对偶单纯形法对偶单纯形法应注意的问题：Page 107用对偶单纯形法求解线性规划是一种求解方法，而不是去求对偶 问题的最优解初始表中一定要满足对偶问题可行，也就是说检验数满足最优判 别准则最小比值中??j分母aij&0 这时必须取绝对值。在极大化问题中， σ j≤0，分母a ij的绝对值是使得比值非负，在极小化问题σj≥0，aij&0，j 总满足非负，这时绝对值符号不起作用，可以去掉。如在本例中将目标函数写成 这里σj ≤0在求θk时就可以不带绝对值符号。a ijmax z' ? ?4 x1 ? x2 ? 3 x3对偶单纯形法Page 108对偶单纯形法与普通单纯形法的换基顺序不一样，普通单纯形法 是先确定进基变量后确定出基变量，对偶单纯形法是先确定出基变 量后确定进基变量； ? bi ? a ik ? 0? 其目的是保证下一 普通单纯形法的最小比值是 min ? i ? a ik ? 个原问题的基本解可行，对偶单纯形法的最小比值是? ?j ? ? ? min ? | a lj ? 0? j ? a lj ? ? ?其目的是保证下一个对偶问题的基本解可行 对偶单纯形法在确定出基变量时，若不遵循 bl ? min bi | bi ? 0 规则，任选一个小于零的 bi对应的基变量出基，不影响计算结果， 只是迭代次数可能不一样。??本章小结Page 109学习要点：1. 线性规划解的概念以及3个基本定理2. 熟练掌握单纯形法的解题思路及求解步骤Chapter3 运输规划( Transportation Problem )本章主要内容：运输规划问题的数学模型表上作业法 运输问题的应用运输规划问题的数学模型Page 111例3.1 某公司从两个产地A1、A2将物品运往三个销地B1, B2, B3，各产地的产量、各销地的销量和各产地运往各销地每件 物品的运费如下表所示，问：应如何调运可使总运输费用最 小？B1 A1 6 B2 4 B3 6 产量 200A2销量615051505200300运输规划问题的数学模型解：产销平衡问题：总产量 = 总销量＝500Page 112设 xij 为从产地Ai运往销地Bj的运输量，得到下列运输量 表：B1 A1 x11 B2 x12 B3 x13 产量 200A2销量x21150x22150x23200300Min C = 6x11+ 4x12+ 6x13+ 6x21+ 5x22+ 5x23 s.t. x11+ x12 + x13 = 200 x21 + x22+ x23 = 300 x11 + x21 = 150 x12 + x22 = 150 x13 + x23 = 200 xij ≥ 0 ( i = 1、2；j = 1、2、3）运输规划问题的数学模型运输问题的一般形式：产销平衡Page 113A1、 A2、…、 Am 表示某物资的m个产地； B1、B2、…、Bn 表示 某物质的n个销地；ai 表示产地Ai的产量； bj 表示销地Bj 的销量； cij 表示把物资从产地Ai运往销地Bj的单位运价。设 xij 为从产地Ai 运往销地Bj的运输量，得到下列一般运输量问题的模型：min z ? ? ? c ij x ij? i ? 1, ? , m ? ? x ij ? a i j ?1 ?m ? s .t ? ? x ij ? b j j ? 1, ? , n ? i ?1 ? x ij ? 0, i ? 1, ? , j ? 1, ? , n ? ?nmni ?1j ?1运输规划问题的数学模型变化：Page 1141）有时目标函数求最大。如求利润最大或营业额最大等； 2）当某些运输线路上的能力有限制时，在模型中直接加入 约束条件（等式或不等式约束)； 3）产销不平衡时，可加入假想的产地（销大于产时）或销 地（产大于销时）。 定理: 设有m个产地n个销地且产销平衡的运输问题，则基变 量数为m+n-1。表上作业法Page 115表上作业法是一种求解运输问题的特殊方法，其实质是单纯 形法。步骤 第一步 描述 求初始基行可行解（初始调运方案） 求检验数并判断是否得到最优解当非基变量的 检验数σij全都非负时得到最优解，若存在检验 数σij &0，说明还没有达到最优，转第三步。 调整运量，即换基，选一个变量出基，对原运 量进行调整得到新的基可行解，转入第二步 方法 最小元素法、 元素差额法、 闭回路法和位 势法第二步第三步表上作业法例3.2 某运输资料如下表所示：单位 运价 产地 销地Page 116B1 B2 B3 B43 1 7 11 9 4 3 2 10 10 8 5产量 7 4 9A1 A2 A3销量3656问：应如何调运可使总运输费用最小？表上作业法解：第1步 求初始方案 方法1：最小元素法Page 117基本思想是就近供应，即从运价最小的地方开始供应（调 运），然后次小，直到最后供完为止。B1 A1 B2 B3 B4 产量 7 443 11 3 103A231 9 218A367 43 63105956销量表上作业法Page 118总的运输费＝(3×1)+(6×4) +(4×3) +(1×2)+(3×10)+(3×5)=86元 元素差额法对最小元素法进行了改进，考虑到产地到销地 的最小运价和次小运价之间的差额，如果差额很大，就选最小 运价先调运，否则会增加总运费。例如下面两种运输方案。810 55 11510 20最小元素法：21515总运费是z=10×8+5×2+15×1=105表上作业法后一种方案考虑到C11与C21之间 的差额是8－2=6，如果不先调运 x21，到后来就有可能x11≠0，这 样会使总运费增加较大，从而先 调运x21，再是x22，其次是x12Page 11982155110 510201515总运费z=10×5+15×2+5×1=85用元素差额法求得的基本可行解更接近最优解，所 以也称为近似方案。表上作业法方法2：Vogel法Page 1201）从运价表中分别计算出各行和各列的最小运费和次最小运 费的差额，并填入该表的最右列和最下行。B1 A1 A2 B2 B3 B4 产量 7 行差额 73 111 93 210 849 6 311A3销量 列差额73 246 5105 15表上作业法Page 1212）再从差值最大的行或列中找出最小运价确定供需关系和 供需数量。当产地或销地中有一方数量供应完毕或得到满足 时，划去运价表中对应的行或列。 重复1)和2)，直到找出初始解为至。B1A1 A2B2B3B4产量7 4行差额7 1A3销量 列差额3 1 73 211 9 46 5352 105 110 8 56 391表上作业法单位 运价 产地 销地Page 122B1 B2 B3 B4A1 A2 A33 1 11 9 3产量 7 4行差额71 15102 × 873 246 510 × 55 1 6 39销量 列差额表上作业法单位 运价 产地 销地Page 123B1 B2 B3 B4A1 A2 A33 × 11 1 3 9 3 5 10 2 × 8产量 7 4行差额 7 77× 43 2 6 510 × 55 6 391销量 列差额表上作业法单位 运价 产地 销地Page 124B1 B2 B3 B43 × 11 × 3 1 5 10 2产量 7 4行差额 1 1 1A1 A2 A3销量 列差额39× 2 × 8 16 10 × 5 3 6 5 5 6 37 × 439该方案的总运费: (1×3)＋(4×6)＋(3×5)＋(2×10)＋(1×8)＋(3×5)＝85元表上作业法第2步 最优解的判别（检验数的求法）Page 125求出一组基可行解后，判断是否为最优解，仍然是用检 验数来判断，记xij的检验数为λij由第一章知，求最小值的运 输问题的最优判别准则是：所有非基变量的检验数都非负，则运输方案最优求检验数的方法有两种： 闭回路法 位势法（▲）表上作业法闭回路的概念Page 126称集合{ x i1 j1 , x i1 j2 , x i2 j2 , x i2 j3 ,?, x is js , x is j1 }(其 中i1 , i 2 ,?, i s；j1 , j2 ,?, j s 互 不 相 同 )为一个闭回路 ，集合中的变量称为回路的顶点，相邻两个变 量的连线为闭回路的边。如下表表上作业法Page 127例下表中闭回路的变量集合是{x11,x12,x42,x43,x23,x25,x35, x31} 共有8个顶点，这8个顶点间用水平或垂直线段连接起来，组成一条封闭的回路。B1 A1 A2 A3 X31 X42 X43 X11 B2 X12 X23 X25 X35 B3 B4 B5A4一条回路中的顶点数一定是偶数，回路遇到顶点必须转90 度与另一顶点连接，表3－3中的变量x 32及x33不是闭回路的顶 点，只是连线的交点。表上作业法闭回路 { x11 , x41 , x43 , x 33 , x 32 , x12 }B1 A1 A2 A3 A4 X41 X32 X33 X43 X11 X12 B2 B3Page 128例如变量组 A ? { x 21 , x 25 , x 35 , x 31 , x11 , x12 }不能构成一条闭回路， 但A中包含有闭回路 { x 2 1 , x 2 5 , x 3 5 , x 3 1 } 变量组 B ? { x 33 , x 32 , x12 , x11 , x 21 }变量数是奇数，显然不是 闭回路，也不含有闭回路；表上作业法用位势法对初始方案进行最优性检验：Page 1291）由?ij=Cij-（Ui+Vj）计算位势Ui ， Vj ，因对基变量而言有?ij=0，即 Cij-（Ui+Vj） = 0，令U1=0 2）再由?ij=Cij-（Ui+Vj）计算非基变量的检验数?ij B1 A1 （1） B2 （2） B3 B4 4 1 Ui 3 （-1）3311（1）3261080 -1 -5A2A3 Vj1（10）9（12）37249103510当存在非基 变量的检验 数?kl ≥0，说 明现行方案 为最优方案， 否则目标成 本还可以进 一步减小。表上作业法第3步 确定换入基的变量Page 130当存在非基变量的检验数?kl & 0 且?kl =min{?ij}时，令Xkl 进 基。从表中知可选X24进基。 第4步 确定换出基的变量 以进基变量xik为起点的闭回路中，标有负号的最小运量作为 调整量θ，θ对应的基变量为出基变量，并打上“×”以示换 出作为非基变量。表上作业法B1A1 A2Page 131B2B3(＋) 4 5B4(－) 3 2Ui3311 963(－) 110(＋) 112 1083A3Vj745? ? min ?x 23, x14 ? ? min ?1,3? ? 1调整步骤为：在进基变量的闭回路中标有正号的变量加上调整量 θ，标有负号的变量减去调整量θ，其余变量不变，得到一组新的 基可行解。然后求所有非基变量的检验数重新检验。表上作业法B1 A1A2 A3 Vj （0）Page 132B2（2）B3B45 （1）Ui2 13311（2）310 80 -2 -51（9）962（12）37349103510当所有非基变量的检验数均非负时，则当前调运方案即为最 优方案，如表此时最小总运费：Z =(1×3)＋(4×6)＋(3×5)＋(2×10)＋(1×8)＋(3×5)＝85元表上作业法表上作业法的计算步骤：分析实际问题列出产销平 衡表及单位运价表 确定初始调运方案（最小 元素法或Vogel法）Page 133求检验数（位势法）得到最优方案， 算出总运价所有检验数≥0找出绝对值最大的负检验数，用闭合 回路调整，得到新的调运方案表上作业法表上作业法计算中的问题：Page 134（1）若运输问题的某一基可行解有多个非基变量的检验数 为负，在继续迭代时，取它们中任一变量为换入变量均可使 目标函数值得到改善，但通常取σij&0中最小者对应的变量为 换入变量。 （2）无穷多最优解产销平衡的运输问题必定存最优解。如果非基变量的σij＝ 0，则该问题有无穷多最优解。表上作业法⑵ 退化解：Page 135※ 表格中一般要有(m+n-1)个数字格。但有时在分配运量 时则需要同时划去一行和一列，这时需要补一个0，以保证 有(m+n-1)个数字格作为基变量。一般可在划去的行和列的 任意空格处加一个0即可。 ※ 利用进基变量的闭回路对解进行调整时，标有负号的 最小运量（超过2个最小值）作为调整量θ，选择任意一个最 小运量对应的基变量作为出基变量，并打上“×”以示作为 非基变量。表上作业法Page 136如下例中σ11检验数是 0，经过调整，可得到另一个最优解。销地 产地 A1 A2 A34 2 (9)B1(0)B2(2)(2)B3 12(1) (12) 11 6B4产量12 10 54 311 94 28 1416 10 228814 14销量812表上作业法例：用最小元素法求初始可行解销地 产地 A1 A2 A3 销量3 7 1Page 137B1B2B3B4 1 4 6产量× ×3311× ×664 3 104 8 67 4 972× 06×520在x12、x22、x33、x34中任选一个变量作为基变量，例如选x34运输问题的应用1. 求极大值问题Page 138目标函数求利润最大或营业额最大等问题。max Z ? ? ? C ij x iji ?1 j ?1mn?n i ? 1,2,? , m ?? x ij ? a i j ?1 ?m ? j ? 1,2,? , n ?? x ij ? b j ? i ?1 ? x ij ? 0，i ? 1,2,? j ? 1,2,? , n ? ?运输问题的应用求解方法：Page 139将极大化问题转化为极小化问题。设极大化问题的运价 表为C ，用一个较大的数M（M≥max{cij}）去减每一个cij得 到矩阵C′，其中C′=（M－cij）≥0,将C′作为极小化问题的运 价表，用表上用业法求出最优解。运输问题的应用Page 140例3.3 下列矩阵C是Ai（I=1，2，3）到Bj的吨公里利润,运输 部门如何安排运输方案使总利润最大.销地 产地 A1 A2 A3 销量 B1 2 9 6 8 B2 5 10 5 14 B3 8 7 4 9 产量 9 10 12取M ? max{cij } ? c22 ? 10, c / ij ? 10 ? cij运输问题的应用得到新的最小化运输问题，用表上作业法求解即可。销地 产地 B1 B2 B3 产量Page 141A1A2 A3 销量29 6 8510 5 1487 4 9910 12运输问题的应用2. 产销不平衡的运输问题Page 142当总产量与总销量不相等时,称为不平衡运输问题.这类 运输问题在实际中常常碰到,它的求解方法是将不平衡问题 化为平衡问题再按平衡问题求解。 当产大于销时，即： ? a i ? 数学模型为：i ?1 m?bj ?1njmin Z ? ? ? c ij x iji ?1 j ?1mn?n i ? 1,2,? , m ?? x ij ? a i j ?1 ?m ? j ? 1,2,? , n ?? x ij ? b j ? i ?1 ? x ij ? 0，i ? 1,2,? j ? 1,2,? , n ? ?运输问题的应用Page 143由于总产量大于总销量，必有部分产地的产量不能全部运送完， 必须就地库存，即每个产地设一个仓库，假设该仓库为一个虚拟 销地Bn+1， bn+1作为一个虚设销地Bn+1的销量(即库存量)。各产地 Ai到Bn+1的运价为零，即Ci,n+1=0,（i=1，…，m）。则平衡问题的 数学模型为： m nmin Z ?n?1??ci ?1 j ?1ijx ij具体求解时,只在 运价表右端增加 一列Bn+1，运价 为零,销量为bn+1 即可? i ? 1,2, ? , m ? ? x ij ? a i j ?1 ?m ? j ? 1,2, ? , n ? 1 ? ? x ij ? b j ? i ?1 ? x ij ? 0, i ? 1,2, ? m ；j ? 1,2, ? ?运输问题的应用当销大于产时，即： ? a i ?mPage 144数学模型为：m ni ?1?bj ?1njmin Z ? ?? C ij x iji ?1 j ?1?n ?? x ij ? a i i ? 1,2,? , m j ?1 ?m ? ?? x ij ? b j j ? 1,2,? , n ? i ?1 ? x ij ? 0, i ? 1,2,? , j ? 1,2,? , ? ?由于总销量大于总产 量,故一定有些需求地 不完全满足,这时虚设 一个产地Am+1，产量 m 为： n?bj ?1j? ? aii ?1运输问题的应用销大于产化为平衡问题的数学模型为 ：min Z ?Page 145??ci ?1 j ?1mnijx ij?n i ? 1,2,? , m ? 1 ?? x i j ? a i j ?1 ? m ?1 ? j ? 1,2, ? , n ?? x ij ? b j ? i ?1 ? x ij ? 0, i ? 1,2, ? , m ? 1；j ? 1,2,? , n ? ?具体计算时，在运价表的下方增加一行Am+1，运价为零。产 量为am+1即可。运输问题的应用例3.4 求下列表中极小化运输问题的最优解。B1 A1 A2 A3 A4 bj 5 -3 4 20 B2 9 4 6 8 60 B3 2 7 4 10 35 B4 3 8 2 11 45 ai 60 40 30 50Page 146180 160因为有：?ai ?14i? 180 ? ? b j ? 160j ?14运输问题的应用Page 147所以是一个产大于销的运输问题。表中A2不可达B1，用一个 很大的正数M表示运价C21。虚设一个销量为b5=180-160=20， Ci5=0，i=1,2,3,4，表的右边增添一列 ，得到新的运价表。B1 A1 A2 A3 5 M 3 B2 9 4 6 B3 2 7 4 B4 3 8 2 B5 0 0 0 ai 60 40 30A4bj4208601035114502050180运输问题的应用Page 148下表为计算结果。可看出：产地A4还有20个单位没有运出。B1 A1 A2 A3 A4 Bj 20 20 40 10 10 60 35 45 20 20 20 B2 B3 35 B4 25 B5 Ai 60 40 30 50 180运输问题的应用3. 生产与储存问题Page 149例3.5 某厂按合同规定须于当年每个季度末分别提供10、15、25、 20台同一规格的柴油机。已知该厂各季度的生产能力及生产每台 柴油机的成本如右表。如果生产出来的柴油机当季不交货，每台 每积压一个季度需储存、维护等费用0.15万元。试求在完成合同 的情况下，使该厂全年生产总费用为最小的决策方案。季度 Ⅰ Ⅱ Ⅲ Ⅳ 生产能力/台 25 35 30 10 单位成本/万元 10.8 11.1 11 11.3运输问题的应用Page 150解： 设 xij为第 i 季度生产的第 j 季度交货的柴油机数目，那 么应满足：交货： x11 = 10 x12 + x22 = 15 x13 + x23 + x33 = 25 x14 + x24 + x34 + x44 = 20 生产：x11 + x12 + x13 + x14 ≤ 25 x22 + x23 + x24 ≤ 35 x33 + x34 ≤ 30 x44 ≤ 10把第 i 季度生产的柴油机数目看作第 i 个生产厂的产量；把第 j 季 度交货的柴油机数目看作第 j 个销售点的销量；设cij是第i季度生 产的第j季度交货的每台柴油机的实际成本，应该等于该季度单位 成本加上储存、维护等费用。可构造下列产销平衡问题：运输问题的应用j i Ⅰ 10.8 10.95 11.1 11.25 25 Ⅰ Ⅱ Ⅲ Ⅳ 产量Page 151ⅡⅢ Ⅳ 销量MM M 1011.10M M 1511.2511.00 M 2511.4011.15 11.30 20 703530 10100由于产大于销，加上一个虚拟的销地D，化为平衡问题， 即可应用表上作业法求解。运输问题的应用该问题的数学模型：Min f = 10.8 x11 +10.95 x12 +11.1 x13 +11.25 x14 +11.1 x22 +11.25 x23 +11.4 x24 +11.0 x33 +11.15 x34 +11.3 x44j i Ⅰ Ⅱ Ⅲ Ⅳ 销量 10.8 M M M 10 10.95 11.10 M M 15 11.1 11.25 11.00 M 25 11.25 11.40 11.15 11.30 20 0 0 0 0 30 25 35 30 10 Ⅰ Ⅱ Ⅲ Ⅳ D 产量Page 152100 100运输问题的应用最优生产决策如下表，最小费用z＝773万元。j i Ⅰ 10 15 0 25 Ⅰ Ⅱ Ⅲ Ⅳ D 产量Page 153ⅡⅢ Ⅳ 销量 10 1502555 10303530 10252030100100Chapter4 整数规划( Integer Programming )本章主要内容：整数规划的特点及应用分支定界法 分配问题与匈牙利法整数规划的特点及应用整数规划（简称：IP）Page 155要求一部分或全部决策变量取整数值的规划问题称为整 数规划。不考虑整数条件，由余下的目标函数和约束条件构 成的规划问题称为该整数规划问题的松弛问题。若该松弛问 题是一个线性规划，则称该整数规划为整数线性规划。 整数线性规划数学模型的一般形式：max Z (或 min Z ) ? ? c j x jj ?1 n?n ?? a ij x j ? bi ( i ? 1.2? m ) ? j ?1 ? x j ? 0 (j ? 1.2?n) 且 部 分 或 全 部 为 整 数 ?整数规划的特点及应用整数线性规划问题的种类：Page 156纯整数线性规划：指全部决策变量都必须取整数值的整数 线性规划。 混合整数线性规划：决策变量中有一部分必须取整数值， 另一部分可以不取整数值的整数线性规划。0-1型整数线性规划：决策变量只能取值0或1的整数线性 规划。整数规划的特点及应用整数规划的典型例子Page 157例4.1 工厂A1和A2生产某种物资。由于该种物资供不应求，故需要 再建一家工厂。相应的建厂方案有A3和A4两个。这种物资的需求地 有B1,B2,B3,B4四个。各工厂年生产能力、各地年需求量、各厂至各 需求地的单位物资运费cij，见下表：B1A1 A2 A3 2 8 7B29 3 6B33 5 1B44 7 2年生产能力400 600 200A4年需求量4350540023005150200工厂A3或A4开工后，每年的生产费用估计分别为1200万或1500万 元。现要决定应该建设工厂A3还是A4，才能使今后每年的总费用 最少。整数规划的特点及应用Page 158解：这是一个物资运输问题，特点是事先不能确定应该建A3 还是A4中哪一个，因而不知道新厂投产后的实际生产物资。 为此，引入0-1变量：?1 若 建 工 厂 yi ? ? ( i ? 1,2) ?0 若 不 建 工 厂再设xij为由Ai运往Bj的物资数量，单位为千吨；z表示总费用， 单位万元。 则该规划问题的数学模型可以表示为：整数规划的特点及应用min z ? ? ? c ij x ij ? [1200y1 ? 1500y 2 ]i ?1 j ?1 4 4Page 159? x11 ? x 21 ? x 31 ? x 41 ? 350 ? ? x12 ? x 22 ? x 32 ? x 42 ? 400 ? x13 ? x 23 ? x 33 ? x 43 ? 300 ? ? x14 ? x 24 ? x 34 ? x 44 ? 150 ? x ? x ? x ? x ? 400 ? 11 12 13 14 s .t ? ? x 21 ? x 22 ? x 23 ? x 24 ? 600 ? x 31 ? x 32 ? x 33 ? x 34 ? 200y1 ? ? x 41 ? x 42 ? x 43 ? x 44 ? 200y 2 ? x ? 0 ( i , j ? 1,2,3,4) ? ij ? y i ? 0,1 ( i ? 1,2) ?混合整数规划问题整数规划的特点及应用Page 160例4.2 现有资金总额为B。可供选择的投资项目有n个，项目 j所需投资额和预期收益分别为aj和cj（j＝1,2,..,n），此外由 于种种原因，有三个附加条件： 若选择项目1，就必须同时选择项目2。反之不一定项目3和4中至少选择一个；项目5,6,7中恰好选择2个。 应该怎样选择投资项目，才能使总预期收益最大。整数规划的特点及应用Page 161解：对每个投资项目都有被选择和不被选择两种可能，因此 分别用0和1表示，令xj表示第j个项目的决策选择，记为：j ?1 对 项 目 投 资 xj ? ? ( j ? 1,2,..., n) j ?0 对 项 目 不 投 资投资问题可以表示为：max z ??cj ?1njxj? n ?? a j x j ? B j ?1 ? ? x 2 ? x1 s .t ? x ? x ? 1 4 ? 3 ? x5 ? x6 ? x7 ? 2 ? x ? 0或 者1 （ j ? 1,2, ? n） ? j整数规划的特点及应用Page 162例4.3 指派问题或分配问题。人事部门欲安排四人到四个不 同岗位工作，每个岗位一个人。经考核四人在不同岗位的成 绩（百分制）如表所示，如何安排他们的工作使总成绩最好。工作人员 甲 乙 丙 丁A 85 95 82 86B 92 87 83 90C 73 78 79 80D 90 95 90 88整数规划的特点及应用设?1 x ij ? ? ?0 分配第i人做j工作时 不分配第i人做j工作时Page 163数学模型如下：max Z ? 85 x1 1 ? 92 x1 2 ? 73 x1 3 ? 90 x1 4 ? 95 x 2 1 ? 87 x 2 2 ? ? 78 x 2 3 ? 95 x 2 4 ? 82 x 3 1 ? 83 x 3 2 ? 79 x 3 3 ? 90 x 3 4 ? ? 86 x 4 1 ? 90 x 4 2 ? 80 x 4 3 ? 88 x 4 4要求每人做一项工作，约束条件为：? x11 ? x12 ? x13 ? x14 ? 1 ? ? x 21 ? x 22 ? x 23 ? x 24 ? 1 ? ? x 31 ? x 32 ? x 33 ? x 34 ? 1 ? x 41 ? x 42 ? x 43 ? x 44 ? 1 ?整数规划的特点及应用每项工作只能安排一人，约束条件为：? x11 ? x 21 ? x 31 ? x 41 ? ? x12 ? x 22 ? x 32 ? x 42 ? ? x13 ? x 23 ? x 33 ? x 43 ? x14 ? x 24 ? x 34 ? x 44 ? ?1 ?1 ?1 ?1Page 164变量约束：x ij ? 0或1 i、j ? 1,2,3,4 ，整数规划的特点及应用整数规划问题解的特征：Page 165整数规划问题的可行解集合是它松弛问题可行解集合的一 个子集，任意两个可行解的凸组合不一定满足整数约束条件， 因而不一定仍为可行解。 整数规划问题的可行解一定是它的松弛问题的可行解（反 之不一定），但其最优解的目标函数值不会优于后者最优解 的目标函数值。整数规划的特点及应用例4.3 设整数规划问题如下max Z ? x1 ? x 2 ?14x1 ? 9 x 2 ? 51 ? ? ? 6 x1 ? 3 x 2 ? 1 ? x , x ? 0且 为 整 数 ? 1 2Page 166首先不考虑整数约束，得到线性规划问题（一般称为松弛问 题）。max Z ? x1 ? x 2 ?14x1 ? 9 x 2 ? 51 ? ? ? 6 x1 ? 3 x 2 ? 1 ?x , x ? 0 ? 1 2整数规划的特点及应用用图解法求出最优解为：x1＝3/2, x2 = 10/3，且有Z = 29/6 现求整数解(最优解):如用舍 入取整法可得到4个点即(1， 3),(2，3),(1，4),(2，4)。显然， 它们都不可能是整数规划的最优 解。 按整数规划约束条件，其可行 解肯定在线性规划问题的可行域 内且为整数点。故整数规划问题 的可行解集是一个有限集，如右 图所示。其中(2,2),(3,1)点的目Page 167x23⑴⑵(3/2,10/3)标函数值最大，即为Z=4。3x1整数规划的特点及应用整数规划问题的求解方法： 分支定界法和割平面法Page 168匈牙利法（指派问题）分支定界法分支定界法的解题步骤：Page 1691）求整数规划的松弛问题最优解； 若松弛问题的最优解满足整数要求，得到整数规划的最优解,否则转下 一步； 2）分支与定界： 任意选一个非整数解的变量xi，在松弛问题中加上约束： xi≤[xi] 和 xi≥[xi]+1 组成两个新的松弛问题，称为分枝。新的松弛问题具有特征：当原问题 是求最大值时，目标值是分枝问题的上界；当原问题是求最小值时，目 标值是分枝问题的下界。 检查所有分枝的解及目标函数值，若某分枝的解是整数并且目标函数 值大于（max）等于其它分枝的目标值，则将其它分枝剪去不再计算，若 还存在非整数解并且目标值大于(max)整数解的目标值，需要继续分枝， 再检查，直到得到最优解。分支定界法例4.4 用分枝定界法求解整数规划问题min Z ? ? x1 ? 5 x 2 ? x 1 ? x 2 ? ?2 ? IP ?5 x1 ? 6 x 2 ? 30 ? ?4 ? x1 ? x1 , x 2 ? 0且 全 为 整 数 ?Page 170解：首先去掉整数约束，变成一般线性规划问题(原整数规划 问题的松驰问题)min Z ? ? x1 ? 5 x 2 ? x 1 ? x 2 ? ?2 ? ?5 x1 ? 6 x 2 ? 30 ? ?4 ? x1 ? x1 , x 2 ? 0 ?LP分支定界法用图解法求松弛问题的最优解，如图所示。x1＝18/11, x2 =40/11 Z=－218/11≈(－19.8) 即Z 也是IP最小值的下限。 对于x1＝18/11≈1.64，Page 171⑵x23 2 1⑴ (18/11,40/11) ⑶取值x1 ≤1， x1 ≥2对于x2 =40/11 ≈3.64，取值x2 ≤3 ，x2 ≥4 先将（LP）划分为（LP1） 和（LP2）,取x1 ≤1, x1 ≥2123x1分支定界法分支：min Z ? ? x1 ? 5 x 2 min Z ? ? x1 ? 5 x 2Page 172? x 1 ? x 2 ? ?2 ? x 1 ? x 2 ? ?2 ? ? ?5 x1 ? 6 x 2 ? 30 ?5 x1 ? 6 x 2 ? 30 ? ? ( IP 2)? x1 ?4 ( IP 1)? x1 ?4 ? x ? x ?2 ?1 ? 1 ? 1 ? x1 , x 2 ? 0且 为 整 数 ? x1 , x 2 ? 0且 为 整 数 ? ?分别求出（LP1）和（LP2）的最优解。分支定界法先求LP1,如图所示。此时在B 点取得最优解。 x1＝1, x2 =3, Z(1)＝－16Page 173⑵x23 B找到整数解，问题已探明，此 枝停止计算。 同理求LP2,如图所示。在C 点 取得最优解。即:⑴ (18/11,40/11) A C ⑶x1＝2, x2 =10/3,Z(2)＝－56/3≈－18.7 ∵Z(2)& Z(1)＝－16 ∴原问题有比－16更小的最优 解，但 x2 不是整数，故继续 分支。113x1分支定界法在IP2中分别再加入条件： x2≤3, x2≥4 得下式两支：min Z ? ? x1 ? 5 x 2 min Z ? ? x1 ? 5 x 2Page 174? x1 ? x 2 ? ?2 ? x 1 ? x 2 ? ?2 ? ? 5 x1 ? 6 x 2 ? 30 ?5 x1 ? 6 x 2 ? 30 ? ? x1 ? x1 ?4 ?4 ? ? ( IP 21)? ( IP 22)? ?2 ?2 ? x1 ? x1 ? x2 ? x2 ?4 ?3 ? ? ? x1 , x 2 ? 0且 为 整 数 ? x1 , x 2 ? 0且为整数 ? ?分别求出LP21和LP22的最优解分支定界法先求LP21,如图所示。此时D 在点取得最优解。 即 x1＝12/5≈2.4, x2 =3, Z(21)＝-87/5≈-17.4 & Z(1)=-16 但x1＝12/5不是整数，可继续 分枝。即 3≤x1≤2。Page 175⑵ x2 A 3 B⑴ (18/11,40/11) C D⑶求LP22，如图所示。无可行解， 故不再分枝。1 13x1分支定界法Page 176在（LP21）的基础上继续分枝。加入条件3≤x1≤2有下式： min Z ? ? x1 ? 5 x 2 min Z ? ? x1 ? 5 x 2? x1 ? x 2 ? ?2 ? x1 ? x 2 ? ?2 ? ? ?5 x1 ? 6 x 2 ? 30 ?5 x1 ? 6 x 2 ? 30 ? x1 ? x1 ?4 ?4 ? ? ( IP 212)? x1 ?2 ( IP 211)? x1 ?2 ? x ? x ?3 ?3 2 ? 2 ? ? x1 ?3 ? x1 ?2 ? ? ? x1 , x 2 ? 0且为整数 ? x1 , x 2 ? 0且为整数分别求出（LP211）和（LP212）的最优解分支定界法先求（LP211）,如图所示。此时 x2 在E点取得最优解。即 x1＝2, x2 =3, Z(211)＝－17 找到整数解，问题已探明，此枝 停止计算。 求（LP212），如图所示。此时 F在点取得最优解。即x1＝3, x2 =2.5, Z(212)＝－31/2≈－15.5 & Z(211)Page 177⑵ A⑴ (18/11,40/11) C D E F3B⑶1如对LP212继续分解，其最小值 也不会低于－15.5 ，问题探明, 剪枝。13x1分支定界法原整数规划问题的最 优解为:x1=2, x2 =3, Z* =－17x1≤1 LP1 x1=1, x2=3 Z(1) ＝－16 ＃ LP x1=18/11, x2=40/11 Z(0) ＝－19.8 x1≥2 LP2 x1=2, x2=10/3 Z(2) ＝－18.5Page 178以上的求解过程可以 用一个树形图表示如 右：x2≤3x2≥4LP22 无可 行解 x1≥3 LP212 x1=3, x2=5/2 Z(212) ＝－15.5 ＃ ＃x1≤2LP21 x1=12/5, x2=3 Z(21) ＝－17.4LP211 x1=2, x2=3 Z(211) ＝－17 ＃分支定界法例4.5 用分枝定界法求解max Z ? 4 x1 ? 3 x 2 ? 1.2 x1 ? 0.8 x 2 ? 10 ? 2 x1 ? 2.5 x 2 ? 25 ? ? x , x ? 0, 且 均 取 整 数 ? 1 2Page 179解: 先求对应的松弛问题（记为LP0）max Z ? 4 x1 ? 3 x 2 ?1.2 x1 ? 0.8 x 2 ? 10 ? st? 2 x1 ? 2.5 x 2 ? 25 ? x1 , x 2 ? 0 ? ( LP 0 )用图解法得到最优解X＝(3.57,7.14),Z0=35.7,如下图所示。分支定界法x2 10 APage 1801.2 x1 ? 0.8 x 2 ? 10松弛问题LP0的最优解 X=(3.57,7.14),Z0=35.7 B2 x1 ? 2.5 x 2 ? 25C o 10 x1分支定界法x2A10 BLP2:X=(4,6.5),Z2=35.5Page 181增加 约束 1 ? 3及x1 ? 4得到 两个 线性 规划 xmax Z ? 4 x1 ? 3 x 2LP1:X=(3,7.6),Z1=34.8?1.2 x1 ? 0.8 x 2 ? 10 ? 2 x1 ? 2.5 x 2 ? 25 ? LP 1 : ? ? x1 ? 3 ? x1 , x 2 ? 0 ?max Z ? 4 x1 ? 3 x 2 ?1.2 x1 ? 0.8 x 2 ? 10 ? 2 x1 ? 2.5 x 2 ? 25 ? LP 2 : ? ? x1 ? 4 ? x1 , x 2 ? 0 ?LP1 LP2 C o 3 4①②分支定界法x2Page 182选 择 目 标 值 最 大 的 分 LP 2进 行 分 枝 ， 增 加 约 束 枝 x 2 ? 6及x 2 ? 7， 显 然 2 ? 7不 可 行 ， 得 到 线 性 规 划 xA10 B 6 LP1x2 ? 7不可行max Z ? 4 x1 ? 3 x 2 ?1.2 x1 ? 0.8 x 2 ? 10 ? 2 x1 ? 2.5 x 2 ? 25 ? LP 22 : ? ? x1 ? 4，x 2 ? 7 ? x1 , x 2 ? 0 ?LP21:X=(4.33,6),Z21=35.33max Z ? 4 x1 ? 3 x 2LP21C o 3 4?1.2 x1 ? 0.8 x 2 ? 10 ? 2 x1 ? 2.5 x 2 ? 25 ? LP 21 : ? ? x1 ? 4，x 2 ? 6 ? x1 , x 2 ? 0 ?x1分支定界法x2A 10Page 183由 于Z 21 ? Z 1， 选 择 21进 行 分 枝 ， 增 加 约 束 LP x1 ? 4及x1 ? 5， 得 线 性 规 划 211 LP 212 LP 及 ：LP211:X=(4,6), Z211=34max Z ? 4 x1 ? 3 x 2 ? 1.2 x1 ? 0.8 x 2 ? 10 ?2 x1 ? 2.5 x 2 ? 25 ? LP 211: ? ? x1 ? 4，x 2 ? 6，x1 ? 4 ? x1 , x 2 ? 0 LP212:X=(5,5) ? 即x1 ? 4, 可 行 域 是 一 条 线 段 ,Z212=356LP1max Z ? 4 x1 ? 3 x 2 ?1.2 x1 ? 0.8 x 2 ? 10 ? 2 x1 ? 2.5 x 2 ? 25 ? LP 212 : ? ? x1 ? 5，x 2 ? 6 ? x1 , x 2 ? 0 ?LP212Co 3 4 5x1分支定界法上述分枝过程可用下图表示： LP0:X=(3.57,7.14),Z0=35.7 x1≤3 LP1:X=(3,7.6) Z1=34.8 x2≤6 LP21:X=(4.33,6) Z21=35.33 x1≤4 LP211:X=(4,6) Z211=34 x1≥5 LP212:X=(5,5) Z212=35 x1≥4 LP2:X=(4,6.5) Z2=35.5 x2≥7Page 184LP22 无可行解小结学习要点：? 掌握一般整数规划问题概念及模型结构Page 185? 掌握分支定界法原理? 能够用分支定界法求解一般整数规划问题课后练习：分配问题与匈牙利法指派问题的数学模型的标准形式：Page 186设n 个人被分配去做n 件工作，规定每个人只做一件工作， 每件工作只有一个人去做。已知第i个人去做第j 件工作的效率 （ 时间或费用）为Cij(i=1.2…n;j=1.2…n)并假设Cij ≥0。问应 如何分配才能使总效率（ 时间或费用）最高？ 设决策变量?1 x ij ? ? ?0指 派 第 个 人 做 第件 事 i j ( i , j ? 1,2,..., n) 不 指 派 第个 人 做 第件 事 i j分配问题与匈牙利法指派问题的数学模型为：Page 187min Z ???ci ?1 j ?1nnijx ij? n ? ? x ij ? 1 ( i ? 1.2.? .n) j ?1 ? n ? ? ? x ij ? 1 ( j ? 1.2.? .n) ? i ?1 ? x ij 取0或1(i , j ? 1.2.? .n) ? ?分配问题与匈牙利法克尼格定理 :Page 188如果从分配问题效率矩阵[aij]的每一行元素中分别减去 (或加上)一个常数ui，从每一列中分别减去(或加上)一个常数 vj，得到一个新的效率矩阵[bij]，则以[bij]为效率矩阵的分配 问题与以[aij]为效率矩阵的分配问题具有相同的最优解。分配问题与匈牙利法指派问题的求解步骤：Page 1891) 变换指派问题的系数矩阵(cij)为(bij)，使在(bij)的各行各列 中都出现0元素，即 从(cij)的每行元素都减去该行的最小元素； 再从所得新系数矩阵的每列元素中减去该列的最小元素。2) 进行试指派，以寻求最优解。在(bij)中找尽可能多的独立0元素，若能找出n个独立0元 素，就以这n个独立0元素对应解矩阵(xij)中的元素为1，其余 为0，这就得到最优解。分配问题与匈牙利法找独立0元素，常用的步骤为：Page 190从只有一个0元素的行开始，给该行中的0元素加圈，记作◎ 。 然后划去◎ 所在列的其它0元素，记作? ；这表示该列所代表的 任务已指派完，不必再考虑别人了。依次进行到最后一行。 从只有一个0元素的列开始（画?的不计在内），给该列中的0 元素加圈，记作◎；然后划去◎ 所在行的0元素，记作? ，表示 此人已有任务，不再为其指派其他任务了。依次进行到最后一列。 若仍有没有划圈的0元素，且同行(列)的0元素至少有两个，比 较这行各0元素所在列中0元素的数目，选择0元素少这个0元素加 圈(表示选择性多的要“礼让”选择性少的)。然后划掉同行同列 的其它0元素。可反复进行，直到所有0元素都已圈出和划掉为止。分配问题与匈牙利法Page 191若◎ 元素的数目m 等于矩阵的阶数n（即：m＝n），那么这指 派问题的最优解已得到。若m & n, 则转入下一步。3) 用最少的直线通过所有0元素。其方法：① 对没有◎的行打“√”； ② 对已打“√” 的行中所有含?元素的列打“√” ； ③ 再对打有“√”的列中含◎ 元素的行打“√” ； ④ 重复①、②直到得不出新的打√号的行、列为止； ⑤ 对没有打√号的行画横线，有打√号的列画纵线，这就得到覆盖所有0元素的最少直线数 l 。注：l 应等于m，若不相等，说明试指派过程有误，回到第2步，另行试 指派；若 l＝m & n，表示还不能确定最优指派方案，须再变换当前的系 数矩阵，以找到n个独立的0元素，为此转第4步。分配问题与匈牙利法4) 变换矩阵(bij)以增加0元素Page 192在没有被直线通过的所有元素中找出最小值，没有被直线通过 的所有元素减去这个最小元素；直线交点处的元素加上这个最小 值。新系数矩阵的最优解和原问题仍相同。转回第2步。分配问题与匈牙利法Page 193例4.6 有一份中文说明书，需译成英、日、德、俄四种文字， 分别记作A、B、C、D。现有甲、乙、丙、丁四人，他们将 中文说明书译成不同语种的说明书所需时间如下表所示，问 如何分派任务，可使总时间最少？任务 人员 A B C D甲乙 丙64 375 1119 1028 4丁5982分配问题与匈牙利法解：1）变换系数矩阵，增加0元素。?6 ? ?4 (c ij ) ? ?3 ? ?5 7 11 2? ? 2 ? 5 9 8? ? 4 1 10 4? ? 1 ? 9 8 2? ? 2?4 ? ?0 ?2 ? ?3 5 9 0? ? 1 5 4? 0 9 3? ? 7 6 0?－5Page 194?4 ? ?0 ?2 ? ?35 4 0? ? 1 0 4? 0 4 3? ? 7 1 0?2）试指派（找独立0元素）?4 ?◎ ? ?2 ? ?35 4 ◎? 1 ? 4? ? ◎ 4 3? ? 7 1 ??找到 3 个独立零元素 但m=3&n=4分配问题与匈牙利法3）作最少的直线覆盖所有0元素Page 195?4 ?◎ ? ?2 ? ?35 4 ◎? √ ? 4? 1 ? ◎ 4 3? ?√ 7 1 ?? √独立零元素的个数m等于最少 直线数l，即l＝m=3&n=4；4）没有被直线通过的元素中选择最小值为1，变换系数矩 阵，将没有被直线通过的所有元素减去这个最小元素；直 线交点处的元素加上这个最小值。得到新的矩阵，重复2） 步进行试指派分配问题与匈牙利法?3 4 3 0 ? ? 0 1 0 5? ? ? ? 2 0 4 4? ? ? 0? ?2 6 0?0 ? ?1 ?0 ? ?0Page 196试指派?3 ?◎ ? ?2 ? ?24 3 1 ? ◎ 4 6 ◎◎?5? ? 4? ? ??得到4个独立零元素， 所以最优解矩阵为：0 0 1? ? 0 0 0? 1 0 0? ? 0 1 0?即完成4个任务的总时间最少 为：2＋4＋1+8=15分配问题与匈牙利法Page 197例4.7 已知四人分别完成四项工作所需时间如下表，求最优 分配方案。任务人员 甲 A 2 B 15 C 13 D 4乙丙 丁109 7414 81416 111513 9分配问题与匈牙利法解：1）变换系数矩阵，增加0元素。?0 ? 2 15 13 4 ? ? 2 ? ? ? 10 4 14 15? ? 4 ?6 ? ?0 ? 9 14 16 13? ? 9 ? ? ? ?0 7 8 11 9 ? ? 7 ? 2）试指派（找独立0元素） 13 11 2 ? ? 0 10 11? 5 7 4? ? 1 4 2? ?4 ? 2Page 198?0 13 7 0? ? ? 6 0 6 9? ? ? 0 5 3 2? ? ? ?0 1 0 0??0 ? ? ?6 ?0 ◎ ? ? ?013 7 ◎ ? 0 ? ◎ 6 9 0 ? 5 3 2? ? 1 ◎ ?? 0 0独立0元素的个数为4 , 指派问题的最优指 派方案即为甲负责D工作，乙负责B工作， 丙负责A工作，丁负责C工作。这样安排 能使总的工作时间最少，为4＋4＋9＋11 ＝28。分配问题与匈牙利法Page 199例4.8 已知五人分别完成五项工作耗费如下表，求最优分配 方案。任务 人员 甲 乙 丙 A 7 9 8 B 5 12 5 C 9 7 4 D 8 11 6 E 11 9 8丁戊74366795611分配问题与匈牙利法解：1）变换系数矩阵，增加0元素。Page 200?7 ? 9 ? ?8 ? ?7 ?4 ?5 12 5 3 69 7 4 6 78 11 6 9 511? ? 5 ? 9??7 9??4 ? 6??3 11? ? 4 ??2 ? 2 ? ?4 ? ?4 ?0 ?0 4 3 6? ? 5 0 4 2? 1 0 2 5? ? 0 3 6 3? 2 3 1 7? ? -1 -2分配问题与匈牙利法2）试指派（找独立0元素）Page 201?2 ?2 ? ?4 ? ?4 ?0 ?0 4 2 4? ? 5 0 3 0? 1 0 1 3? ? 0 3 5 1? 2 3 0 5? ??2 ?2 ? ?4 ? ?4 ?0 ?◎◎ 05 1 0 ? 24 2 4? ? 0 0 ? 3 ◎? ◎ 1 3? 0 ? 3 5 1? 3 ? 5? 0 ?独立0元素的个数l＝4&5，故画直线调整矩阵。分配问题与匈牙利法Page 202?2 ?2 ? ?4 ? ?4 ?◎ ?0◎0 5 1 ? 04? ? ◎ 0? 3? ? 1? ? 2 3 0 5? ? 4 ? 0 ◎ 0 3 2 3 1 5√选择直线外的最小元素 为1；直线外元素减1， 直线交点元素加1，其 他保持不变。√√分配问题与匈牙利法Page 203?1 ?2 ? ?4 ? 3 ? ?◎ ?0◎0 6 2 ? 03? √ ? ◎ √ 0? 3? √ ?√ ? 0? 3 3 ? 5? 0 ? 3 ? 0 ◎ 0 2 1 3 1 4√ √l =m=4 & n=5选择直线外最小元素为1， 直线外元素减1，直线交 点元素加1，其他保持不 变，得到新的系数矩阵。√分配问题与匈牙利法? ?0 ?1 ? ?3 ? 2 ? ?◎ ?0◎Page 2040 6 2 ? 03? ? ? 0? 3? ? ◎ 0? ? 4 4 0 6? ? 3 ◎ 0 0 ? 2 0 ? 2 ◎ 0 3总费用为 =5+7+6+6+4=28注：此问题有多个最优解分配问题与匈牙利法◎ ?0 ?1 ? ?3 ? ?2 ?0 ? ?Page 205? 03? 0 ◎ 0 2? 06 2 ◎ 0 42 0 ? 3◎ 043? ? ◎ 0? 3? ? ? 0? 6? ?总费用为=7+9+4+3+5=28分配问题与匈牙利法Page 2060 ?? ?1 ? ?3 ? 2 ? ?0 ◎ ?? 03? 0 ◎ 0 2◎0 2 0 ? 3? 06 2 ◎ 0 443? ? ◎ 0? 3? ? ? 0? 6? ?总费用为=8+9+4+3+4=28分配问题与匈牙利法课堂练习：用匈牙利法求解下列指派问题。 练习1： 练习2：Page 207?7 ? ?13 ?15 ? ? 11 ?9 12 16 1210 16 14 1512 ? ? 17 ? 15 ? ? 16 ? ??3 8 ? ?8 7 ?6 4 ? ?8 4 ? 9 10 ?2 10 3 ? ? 2 9 7? 2 7 5? ? 2 3 5? 6 9 10 ? ?分配问题与匈牙利法答案：Page 208?7 ? ?13 ?15 ? ? 11 ?9 12 16 1210 16 14 1512 ? ? 17 ? 15 ? ? ? 16 ?48?3 8 ? 8 7 ? ?6 4 ? ?8 4 ? 9 10 ?2 10 3 ? ? 2 9 7? 2 7 5? ? 2 3 5? ? 6 9 10 ? 21分配问题与匈牙利法非标准型的指派问题： 匈牙利法的条件是：模型求最小值、效率cij≥0。Page 209当遇到各种非标准形式的指派问题时，处理方法是先将 其转化为标准形式，然后用匈牙利法来求解。分配问题与匈牙利法1. 最大化指派问题Page 210处理方法：设m为最大化指派问题系数矩阵C中最大元素。 令矩阵B＝（m-cij）nn则以B为系数矩阵的最小化指派问题和 原问题有相同的最优解。 例4.9 某人事部门拟招聘4人任职4项工作，对他们综合考评的 得分如下表（满分100分），如何安排工作使总分最多。甲 ?85 ? 乙 ?95 C＝ 丙 ?82 ? 丁 ?86 92 73 90? ? 87 78 95? 83 79 90? ? 90 80 88?分配问题与匈牙利法解: M＝95，令 C ? ? (95 ? c ij )?10 3 22 ? ? 0 8 17 C ?＝ ?13 12 16 ? ? 9 5 15 用匈牙利法求解C’，最优解为：?0 ? ?1 X＝ ?0 ? ?0 1 0 0 0 0 0 0 1Page 2115? ? 0? 5? ? 7?0? ? 0? 1? ? 0?即甲安排做第二项工作、乙做第三项、丙做第四项、丁做 第三项, 最高总分Z＝92＋95＋90＋80＝357分配问题与匈牙利法2. 不平衡的指派问题Page 212当人数m大于工作数n时，加上m－n项虚拟工作，例如：?5 ? ?1 1 ?8 ? ?6 ?3 ? 9 6 14 4 2 1 0? ? 3? 1 7? ? 5 ? 1 ? ? 9 10 0 ?5 ? 3 0 ?11 6 ? 8 14 17 0 ? 4 5 0 ?6 ?3 2 1 0 ? 0? ? 0? 0? ? 0? 0? ?当人数m小于工作数n时，加上n－m个人，例如?15 20 10 9 ? ? ? 6 5 4 7? ? ?10 13 16 17? ? ??15 ? ?6 ?10 ? ?0 20 5 13 0 10 4 16 0 9? ? 7? 17? ? 0?分配问题与匈牙利法3. 一个人可做几件事的指派问题Page 213若某人可做几件事，则将该人化作相同的几个“人”来接受 指派，且费用系数取值相同。 例如：丙可以同时任职A和C工作，求最优指派方案。甲 乙 丙 ?15 20 10 9 ? ? ? 6 5 4 7? ? ?10 13 16 17? ? ??15 ? ?6 ?10 ? ?10 20 5 13 13 10 4 16 16 9? ? 7? 17? ? 17?分配问题与匈牙利法4. 某事一定不能由某人做的指派问题Page 214将该人做此事的效率系数取做足够大的数，可用M表示。例4.10 分配甲、乙、丙、丁四个人去完成A、B、C、D、E五项 任务。每个人完成各项任务的时间如表所示。由于任务数多于人 数，考虑任务E必须完成，其他4项中可任选3项完成。试确定最 优分配方案，使完成任务的总时间最少。人员 任务 A 25 B 29 C 31 D 42 E 37甲乙丙 丁3934 243827 422628 362040 233332 45分配问题与匈牙利法Page 215解: 1) 这是不平衡的指派问题，首先转换为标准型，再用匈牙利 法求解。 2) 由于任务数多于人数，所以假定一名虚拟人，设为戊。因为工 作E必须完成，故设戊完成E的时间为M（M为非常大的数），其 余效率系数为0，则标准型的效率矩阵表示为：人员 任务 A 25 B 29 C 31 D 42 E 37甲乙丙 丁3934 243827 422628 362040 233332 45戊0000M分配问题与匈牙利法用匈牙利法求出最优指派方案为：?0 ? ?0 ?0 ? ?1 ?0 ? 1 0 0 0 0 0 0 0 0 1 0 1 0 0 0 0? ? 0? 1? ? 0? 0? ?Page 216即甲－B，乙－D，丙－E，丁－A, 任务C放弃。 最少时间为105。Chapter5 目标规划( Goal programming )本章主要内容：目标规划问题及其数学模型目标规划的图解分析法 目标规划应用举例目标规划问题及其数学模型问题的提出：Page 218目标规划是在线性规划的基础上，为适应经济管理多目 标决策的需要而由线性规划逐步发展起来的一个分支。 由于现代化企业内专业分工越来越细，组织机构日益复 杂，为了统一协调企业各部门围绕一个整体的目标工作，产 生了目标管理这种先进的管理技术。目标规划是实行目标管 理的有效工具，它根据企业制定的经营目标以及这些目标的 轻重缓急次序，考虑现有资源情况，分析如何达到规定目标 或从总体上离规定目标的差距为最小。目标规划问题及其数学模型Page 219例5.1 某企业计划生产甲，乙两种产品，这些产品分别要在 A,B,C,D四种不同设备上加工。按工艺文件规定，如表所示。A B C D 单件利润甲乙 最大负荷12 1212 840 1604 1223问该企业应如何安排计划，使得计划期内的总利润收入为最 大？目标规划问题及其数学模型Page 220解：设甲、乙产品的产量分别为x1，x2，建立线性规划模型： max z ? 2 x1 ? 3 x 2? 2 x1 ? 2 x 2 ? 12 ? ? x1 ? 2 x 2 ? 8 ? s.t ?4 x1 ? 16 ? 4 x 2 ? 12 ? ? x1 , x 2 ? 0 ?其最优解为x1＝4，x2＝2，z＊＝14元目标规划问题及其数学模型(1) 力求使利润指标不低于12元；Page 221但企业的经营目标不仅仅是利润，而且要考虑多个方面，如：(2) 考虑到市场需求，甲、乙两种产品的生产量需保持1:1的比例；(3) C和D为贵重设备，严格禁止超时使用； (4) 设备B必要时可以加班，但加班时间要控制；设备A即要求充分利用，又尽可能不加班。 要考虑上述多方面的目标，需要借助目标规划的方法。目标规划问题及其数学模型线性规划模型存在的局限性：Page 2221）要求问题的解必须满足全部约束条件，实际问题中并非 所有约束都需要严格满足。 2）只能处理单目标的优化问题。实际问题中，目标和约束 可以相互转化。 3）线性规划中各个约束条件都处于同等重要地位，但现实 问题中，各目标的重要性即有层次上的差别，同一层次中又 可以有权重上的区分。 4）线性规划寻求最优解，但很多实际问题中只需找出满意 解就可以。目标规划问题及其数学模型Page 223目标规划怎样解决上述线性规划模型建模中的 局限性？1. 设Z偏差变量，用来表明实际值同目标值之间的差异。偏差变量用下列符号表示： d+――超出目标的偏差，称正偏差变量 d-――未达到目标的偏差，称负偏差变量 正负偏差变量两者必有一个为0。 当实际值超出目标值时： d+&0, d-=0; 当实际值未达到目标值时： d+=0, d-&0; 当实际值同目标值恰好一致时： d+=0, d-=0; 故恒有d+×d-=0目标规划问题及其数学模型2. 统一处理目标和约束。Page 224对有严格限制的资源使用建立系统约束，数学形式同线性规划 中的约束条件。如C和D设备的使用限制。4 x1 ? 16 4 x 2 ? 12对不严格限制的约束，连同原线性规划建模时的目标，均通过 目标约束来表达。 1）例如要求甲、乙两种产品保持1:1的比例，系统约束表达为： x1=x2。由于这个比例允许有}