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在立体图形教学中实施动态想象的几点思考
作者：张娜 来源：转载 发布时间：日 点击数：
缘起:有幸拜读了钱金铎老师发表在《福建教育》的文章(《在&空间与图形&教学中实施&动态想象&有效性策略的思考》),引发我对动态想象的深入思考。修订后的数学新课程标准明确指出,在几何与图形教学中,应当注重发展学生的空间观念。空间观念主要是指根据物体特征抽象出几何图形,根据几何图形想象出所描述的实际物体;想象出物体的方位和相互之间的位置关系;描述图形的运动和变化;依据语言的描述画出图形等。然而在实际教学中发展学生的空间观念并不容易,对教师来说难教,对学生来说难领悟。纵观小学阶段的立体图形,以长方体、正方体、圆柱、圆锥为主,如果能够在这些立体图形的教学中,找准切入点,有效地实施动态想象策略,将对空间想象能力的培养起到推波助澜的作用,并为初中的几何学习打下良好的基础。
一、依托&图形认识&,实施动态想象
对于抽象的数学知识,生动的直观毕竟只能为儿童提供理解的起点,表象的建立则有助于他们更快地摆脱具体事物的束缚,顺利地向抽象思维过渡。在学生非常熟悉某一立体图形或对立体图形进行感知之后,常常可以隐去实物或模型,让学生动态想象图形的特征,帮助学生建立准确鲜明的表象,并以表象为中介,通过抽象思维对立体图形的认识达到深入的理解。在头脑中进行演示、操作、活动等动态想象的过程,它所能使学生对知识经验的前因、后果和来龙去脉进行深刻的思考,在进一步展开的抽象思维中更好地把握过程与结论的关系。这种动态想象的体验在日后的问题情境中常可以通过原型启发的作用而爆发奇异的解题设想来。
(一)认识立体图形特征之前实施动态想象
其实儿童在很小的时候就开始接触各种形状的物体,关于立体图形,他们已经有了较多的的感知经验,只是这些经验太感性,需要进一步抽象化,形成简单的几何概念,发展初步的空间观念。事实上,为了更好地发展学生的想象力,我们不宜过多地或者说一直让学生动手操作,因为过多的动手操作在某种意义讲已经弱化了学生想象能力,折断了学生想象的翅膀,也就毋庸谈促进学生想象力的发展。传统教学圆柱的认识,一般会先让学生观察圆柱体的物品,捕捉圆柱的特征建立相应的数学经验。曾听过杭州学军小学的袁小萍老师上过一节《圆柱的认识》,在课堂上并没有给学生提供实物,让学生空手想圆柱,利用自己想到的圆柱,玩一玩,会有什么发现?基于学生对圆柱丰富的生活经验,出现了不同层次的动态体验:我看了圆柱,从正面看是长方形,从上面、下面看是圆形。我摸了圆柱,周围是一个弯曲的面。我滚了这个圆柱,滚过的面积是一个长方形。我切了圆柱,横着切(平行于底面切),会出现圆形;竖着切(沿底面直径切),会切出长方形、、、、、、、通过这样充分的动态想象,学生对圆柱的认识不只停留在浅表性的层次上,而是由外到内,犹如剥笋,层层逼进,直击圆柱的本质特征,教学效果甚好。
(二)认识立体图形特征之后实施动态想象
《数学新课程标准》指出,&有效的数学学习不能单纯地依赖模仿与记忆,动手实践、自主探索与合作交流是学生学习数学的重要方式。培养学生的空间观念需要大量的实践操作活动,学生要有充分的时间和空间观察、测量和动手操作,对几何图形产生直接感知。在实际教学中,我们经常会有这样的困惑:拿着学具操作的时学生都能较好地说出图形的特征,一旦脱离实物学生就不能熟练地再现图形的特征或出错。究其原因,关于图形特征的表象建立不够牢固,没用内化到学生已有的知识体系结构中。针对这一现象,我们可以考虑在动手操作之后实施动态想象。以《长方形的认识》为例,在认识长方体的特征时,学生常常会出现这样的错误:一是往往无法准确地描述长方体面、棱、顶点的具体部位;二是孤立绝对地理解长方体的长、宽、高,没有清晰、灵活地建立长方体的空间想象。因此,在教学长方体特征中,老师不妨根据学生的认知特点,对教材适当重组,有效地实施动态想象的策略。在教学完认识长方体6个面后,可安排这样的环节:师:我们来玩一玩长方体中的&降龙十八掌&,看谁能玩出水平,玩出智慧。请大家把两个手掌伸直,想象出你眼前有一个长方体,用手掌依次摸出它的前后面、左右面、上下面。在认识12条棱后,可安排这样的环节:想象出眼前有个长方体,伸出食指,指点出左右方向的四条棱。认识8个顶点后,可安排这样的环节:想象出眼前有个长方体,伸出食指,指点出某一个顶点引出的三条棱。长方体的面、棱、顶点等知识可以通过语言来传递,但学习中的体验却难以通过语言来传达。所以教师要充分调动学生的眼、耳、手、口、脑等多种感官,让学生在动态想象中体验,在体验中领悟,逐步建立长方体的空间观念。
二、立足&公式推导&,实施动态想象
在立体图形公式推导过程中,教材安排主要以数学操作为主。数学操作以手与脑结合为显著特点。手与脑之间有着千丝万缕的联系,手使脑得到发展,使它更加明智;脑使手得到发展,使它变成思维的工具和镜子。手和脑的这种联系要求教师在指导小学生动手操作时必须紧密结合于思维的指导。钱老师在《在&空间与图形&教学中实施&动态想象&有效性策略的思考》一文中指出:动态想象和动手操作两者之间具有辩证关系。在实际教学中,既要避免一味过早地让学生进入到动手操作,没能在学生动手操作之前进行动态想象,错失培养学生空间想象的时机;又要注意一味追求动态想象,只流于形式的想象而没有有效的动手操作来验证想象过程的正确性。基于动态想象和动手操作之间的辩证关系,采取先&动态想象&后&动手操作&,或者先&动手操作&后&动态想象&的教学策略,还是取决于关注学生思维的最近发展区,关注学的有效性。
(一)立体图形公式推导之前实施动态想象
空间观念不仅是&观念&,还是数学课程里新的内容、题材和呈现方式。同时,实施新的课程标准必须改变旧的教学模式,学生的学习方式也必须进行相应的改变。让学生在观察、实验、猜想、验证、推理与交流等数学活动中,逐步形成自己对数学知识的理解和有效的学习策略。&动态想象&就是一种学生学习数学知识必备的学习策略。它要求在学生动手操作之前,必须给学生留有足够的思考时间和空间。例如在圆柱侧面积计算公式的推导中,教材是通过让学生动手操作将圆柱体罐头侧面的商标纸剪开,得到圆柱的侧面展开是一个长方形,长方形的长是圆柱的底面周长,宽是圆柱的高,从而推出圆柱侧面积=底面周长&高。这样的教学设计,让学生过早地进入到&动手操作&环节。没能在学生动手操作前进行必要的动态想象,数学教学失去了一种培养学生空间想象能力的大好机会。不妨在动手操作之前,增加一个小小的环节:师:请大家想象一下,把圆柱的侧面沿高展开会得到什么图形?新的图形与圆柱有什么联系?促使学生在脑海中动态剪,完了再动手操作验证自己的猜想。师:沿高剪,一定会得到长方形吗?请大家再次想象。师:如果不沿高剪,斜着剪或弯弯曲曲地剪,又会得到什么图形?通过这样的猜想、验证、再猜想、再验证的教学环节,学生在研究过程中的主体地位得到有效的体现。通过对&沿高剪会得到什么图形?与原来的圆柱有什么联系?&这一具有现实性的挑战性问题的探讨,使学生的思考更具有现实意义,有效地沟通了平面展开图与立体图形之间的联系。
(二)立体图形公式推导之中实施动态想象
在立体图形公式推导过程中,不少教师非常注重学生动手操作这一环节。认为在动手操作中既刺激了学生的感官,又丰富了对公式推导过程的表象,课堂很活跃,学生很激动,而这又恰恰是值得我们警惕的。我们必须警惕这种数学活动究竟有没有真正地发挥学生的想象力,有没有真正地让学生学会数学地思考,这种课堂活跃与繁荣的背后是否意味着课堂教学行为的有效?例如长方体体积公式的推导,传统教法是用12个棱长是1厘米的小正方体,摆成一个长方体。操作后说一说:你是怎样摆的?通过学生的汇报结果,形成表格,得到每排个数&排数&层数=小正方体个数。每排个数、排数、层数、小正方体个数分别对应长方体的长、宽、高、体积,从而推出长方体的体积=长&宽&高。看似顺畅的教学安排,其实忽视学生学的主体地位,只是按照老师的指令完成一些拼摆动作,对于空间想象能力的培养实质为0。不妨增加以下教学环节:
师:请大家动手摆一个长5厘米、宽4厘米、高3厘米的长方体。
没过多久,学生马上质疑:老师,我们手头只有12个小正方体,不够摆?
师:请大家在自己的头脑中摆一摆,看谁摆出来的最快!
基于之前摆的经验,学生在头脑中呈现这样的动态操作:每排摆5个,摆4排,摆3层。既解决了因为学具不够无法操作的难题,又对长、宽、高有深一步的认识,自然流畅地推导出长方体体积。有了这样的体验,在解决这类问题:一个长方体长9分米、宽5分米、高1分米,切成棱长3厘米的小立方体,最多能切几个?学生思考起来就顺畅多了。虽然,不经过动态想象也能推导出长方体体积计算公式,但它的价值更多地体现在培养了学生的空间观念,提高了他们的空间想像能力。
三、沟通&图形联系&,实施动态想象
《数学新课程标准》描述了空间观念的主要表现在:能由实物的形状想象出几何图形,由几何图形想象出物体的形状,进行几何体与其三视图、展开图之间的转化。这是一个包括观察、想象、比较、综合、抽象的分析,是一个不断地由低到高向前发展的认识客观事物的过程,是建立在对周围环境直接感知的基础上,对空间与平面相互关系的理解和把握。每个人都生活在多维的世界里,看到的事物都非平面,可学生的头脑就是难与立体&接轨&。不知是现在学生的空间想象能力越来越差,还是新课标对他们空间观念的要求越来越高。只要谈到空间想像,他们就痛苦不堪,三维世界在孩子们的头脑中渐渐失去了。究其原因是在实际教学中,更多关注的是立体图形的单独教学,忽视了立体图形之间的联系与区别;更多关注的是立体图形静止状态下的知识教学,忽视立体与平面的转化过程的教学。
(一)沟通立体与平面图形联系中实施动态想象
立体图形与平面图形关系密切,从联系与发展的观点来看,孤立地研究立体图形,学生所获取的知识比较零乱、分散,不利于学生更长久的发展。平面图形形成立体图形,本身就是动的过程,如果能利用这一动的机会,充分发挥学生的动态想象能力,将收到事半功倍的效果。以我所教过的《圆柱的认识》的某个教学片断为例:
师:刚才我们对圆柱的特征有了比较充分的了解。如果想要得到一个圆柱,你想到什么办法?
生1:用长方形纸卷起来,形成一个两头空的圆柱。
教师出示一张长方形纸,问:可以怎么卷?卷出来的会一样吗?
生1:可以横着卷生2:可以竖着卷生3:不管怎么卷,侧面积都是一样的,因为都是同一张长方形在卷
生4:横着卷、竖着卷,形成的底面积是不一样的。
师:除了用纸卷,还有其它的办法吗?
生1:可以用小棒快速转动长方形纸,也会形成一个圆柱。
&&&&&&&&&&&&& & & & & & & & & & & & & & &
教师出示:(1) (2)
师:这两种方式旋转出来的圆柱一样吗?请大家想象一下。
生1:第一种方式会转出矮矮胖胖的圆柱。生2:第二种方式会转出高高瘦瘦的圆柱。教师再次出示:(3)(4)
师:这两种方式呢?哪种转出来的体积会更大?
生1:第(4)种生2:我也同意。第(3)种把长作为底面直径,底面积会小一些。第(4)种把长作为底面半径,底面积会更大一些。
师出示圆形,提问:看到圆,你还有补充吗?
生:把圆不断叠加上去也可以形成一个圆柱。
(二)沟通立体图形联系中实施动态想象
人们生活在三维的空间中,常见的楼房、积木、各种包装盒、皮球&都给我们以长方体、正方体、圆柱体、球体等直观形象。立体图形虽然在特征、面积、体积计算等方面存在一些不同之处,但也有一些共性的东西。我们不妨在立体图形的对比联系中,选取有效的教学切入点,实施动态想象。例如在学完圆柱圆锥后,出示长方体、正方体、圆柱、三棱柱、四棱柱的几何直观图。
师:你们觉得这些图形有什么相同点?
生1:它们都是立体图形。生2:它们的上下底面都是一样的
师给这些立体图形的底面涂上阴影,并标出高的位置,如图
& & & & && & & & & & & & & && & & & & & & & & &
师:现在你对这些立体图形又有什么新的认识?
生1:高都是指两个平面之间的距离。
生2:每个图形上下粗细是一样的。
生3:我想像了一下,都可以看成是底面的图形不断叠加上去得到的立体图形
师:根据大家观察和想象的结果,发现这些立体图形都具有一些相同的特征,把这些图形称为柱体。猜想柱体的体积如何计算?
生:也是用底面积&高
在上述片段中,一开始学生对这些立体图形共性的观察是静止的,只看到它们是立体图形、上下底面完全相等。经过教师画龙点晴的一标示,学生在头脑中开始情不自禁进行动态想象,发现这些立体图形都是由底面的图形堆积得到的。并以
这一动态想象的结果为思维的支撑点,猜想柱体的体积是底面积乘高。其实还有很多教学的细节之处,可以实施动态想象。例如圆柱和圆锥特征的比较,让学生通过动态想象感悟到:都可以看成是底面的圆形堆积得到,只不过圆柱是圆在堆积过程中始终不变,圆锥是圆在堆积过程中不断缩小。又如在装有水的容器中放入某一个立体图形,解答之前也可以放手让学生动态想象,建立起上升部分水的体积等于所投入立体图形体积的联系。
总之, 在立体图形的教学中捕捉恰当的时机进行&动态想象&,能较好地发展学生的空间观念,同时更好地发展学生的数学思维能力。作为老师要从理念上根植,充分提高认识在传授学生数学知识的同时,更要注重培养学生的空间想象能力,使&动态想象&不仅是学生解决空间图形问题的一种重要思想方法,更是我们数学教学的一种重要策略与智慧。
1、《修订后数学新课程标准》
2、张兴华《数学学习心理学》
3、《小学数学教师》
4、《小学数学教学设计》
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人脑海里的思想是一个立体空间形状
专家脑海里（工人、农民、教师、军人等）的思想立体空间形状是：针的立体形状（柱的形状）。
博士脑海里（在一个以上领域都有研究成果）的思想立体空间形状是：图钉的立体形状，（高柱+矮柱）
在某一个领域里，要测量出这个人的脑海里，其思想空间到底有多大呢？
可以这样度量：
在这个领域，先度量出，他知道的广度有多大，即知识面有多大（平面积）。
通俗地说，就是他知道这个领域的知识，从面（或从水平面看）的角度看，有多大的知识面。
再度量出，他知道的高度或深度有多少，即知识的水平有多高（高度）。
通俗地说，就是他知道这个领域的知识，从高度或深度（或从竖向看）的角度看，有多高的认识（悟性）或有多深的理解。
两者相乘数的大小，就是这个人的脑海里，在这个领域所呈现的思想空间的大小。
当然，形成领域（平面）的知识，是由点点滴滴的知识，逐步连成线的知识，再由线的知识，合成面的知识。
当有了一定面的知识后，同类的知识多了，就会自然的形成堆积，逐步的积累堆积，就组成了某领域知识的高度或深度。
毛泽东的思想是伟大的，就是因为他的思想空间比普通人要大的多。他的思想空间里有：革命家、政治家、军事家、文学家、书法家等好几个领域，都是面很广（平面积），又有很高水平（高度）。
形象地说：在毛泽东的脑海里，有很多又粗又高的思想柱体，组成了毛泽东庞大的思想空间。
领导人与被领导人的关系，就是领导人的思想空间比被领导人的思想空间要大。
在一群人当中，经过共同参与的实践活动后，当上领导的人，肯定是在这一群人当中，他的思想空间在某个领域是相比较最大的，当然，可能不是绝对最大的。
所以，人要通过直接的学习和间接的学习，自觉扩大自己脑海里的思想空间。
直接学习就是亲自参加社会实践活动的学习，间接学习就是通过中介：书籍、电视、图片等载体等形式的学习。
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