导读：第4章不定积分，名称不定积分不定积分的概念性质性质1：性质2：性质3：设主要内容f(x)，上的不定积分，故不定积分的表达式不唯一，设计算方法第一换元积分法（凑微分法）第二类换元积分法分部积分法有理函数积f(u)，在下一章定积分中由微积分基本公式可知---求定积分的问题，后继课程无论是二重积分、三重积分、曲线积分还是曲面积分，最终的解决都归结为对定积分的求解，而求解微分方程更是直接归结为求不定积第4章
不定积分 内容概要 名称
不 定 积 分 不 定 积 分 的 概 念 性 质 性质1：性质2：性质3：设主要内容 f(x)， x?I，若存在函数F(x)，使得对任意x?I均有 F?(x)?f(x) f(x)dx，则称F(x)为f(x)的一个原函数。 上的不定积分，记为 或dF(x)?f(x)的全部原函数称为f(x)在区间I?f(x)dx?F(x)?C 注：（1）若（2）若F(x),G(x)均为f(x)的原函数，则f(x)连续，则必可积；F(x)?G(x)?C。故不定积分的表达式不唯一。 d?f(x)dx??f(x)或d??f(x)dx??f(x)dx； ?????dx?F?(x)dx?F(x)?C或?dF(x)?F(x)?C； ?[?f(x)??g(x)]dx???f(x)dx???g(x)dx，?,?为非零常数。 设计 算 方 法
第一换元 积分法 （凑微分法） 第二类 换元积 分法 分部积分法 有理函数积f(u)的 原函数为F(u)，u??(x)可导，则有换元公式： ?f(?(x))??(x)dx??f(?(x))d?(x)?F(?(x))?C 设x则 ??(t)单调、可导且导数不为零，f[?(t)]??(t)有原函数F(t)，?1?f(x)dx??f(?(t))??(t)dt?F(t)?C?F(?(x))?C ?u(x)v?(x)dx??u(x)dv(x)?u(x)v(x)??v(x)du(x) 若有理函数为假分式，则先将其变为多项式和真分式的和；对真分式的处理
本章 的地 位与 作用 分 按情况确定。 在下一章定积分中由微积分基本公式可知---求定积分的问题，实质上是求被积函数的原函数问题；后继课程无论是二重积分、三重积分、曲线积分还是曲面积分，最终的解决都归结为对定积分的求解；而求解微分方程更是直接归结为求不定积分。从这种意义上讲，不定积分在整个积分学理论中起到了根基的作用，积分的问题会不会求解及求解的快慢程度，几乎完全取决于对这一章掌握的好坏。这一点随着学习的深入，同学们会慢慢体会到！
课后习题全解 习题4-1 1.求下列不定积分： 知识点：直接积分法的练习――求不定积分的基本方法。 思路分析：利用不定积分的运算性质和基本积分公式，直接求出不定积分！ ★(1)?xdx2x 52思路: 被积函数 1x2x?52?x?，由积分表中的公式（2）可解。 解：?xdx22?2??xdx??x?C 3x1x)dx 3★(2)3?(x?思路:根据不定积分的线性性质，将被积函数分为两项，分别积分。
3解：?(3x?)dx??(x?x)dx??xdx??xdx?x3?2x2?C 4x??★(3)（2?x?x2）dx 思路:根据不定积分的线性性质，将被积函数分为两项，分别积分。
2 2x13（2?x）dx??2dx??xdx??x?C 解：?ln23x2x2★(4)?x(x?3)dx 思路:根据不定积分的线性性质，将被积函数分为两项，分别积分。 解：?2x(x?3)dx??xdx?3?xdx?x2?2x2?C ?3x2?1★★(5)?x2?1dx 3x4?3x2?112?3x?思路:观察到后，根据不定积分的线性性质，将被积函数分项，分别积22x?1x?1分。 3x4?3x2?1123dx?3xdx?dx?x?arctanx?C 解：?22??x?11?xx2★★(6)?1?x2dx x2x2?1?11??1?思路:注意到1?x21?x21?x2，根据不定积分的线性性质，将被积函数分项，分别积分。 x21dx?dx?解：???1?x2dx?x?arctanx?C. 1?x2注：容易看出(5)(6)两题的解题思路是一致的。一般地，如果被积函数为一个有理的假分式，通常先将其分解为一个整式加上或减去一个真分式的形式，再分项积分。 ★(7)（?x134-+3-4）dx 2xxx思路:分项积分。 解：（-x13411+-）dx?xdx?dx?3?x?3dx?4?x?4dx ?2xx3x4??2x134?x2?ln|x|?x?2?x?3?C. 423★(8)32(??1?x21?x2)dx
3 思路:分项积分。 解：(?3211?)dx?3dx?2dx?3arctanx?2arcsinx?C. 2??221?x21?x1?x1?x★★(9)?xxxdx 111??248思路:xxx?？看到xxx?x解：?x78，直接积分。 ?8xxxdx??xdx?x8?C. 151?x2(1?x2)dx 7815★★(10)思路:裂项分项积分。 解：111111dx?(?)dx?dx?dx???arctanx?C. ?x2(1?x2)?x21?x2?x2?1?x2xe2x?1dx ★(11)?xe?1e2x?1(ex?1)(ex?1)xxdx??dx?(e?1)dx?e?x?C. 解：?xx?e?1e?1★★(12)xx3?edx （3e）。 思路:初中数学中有同底数幂的乘法： 指数不变，底数相乘。显然3e?x（3e）解：?3edx??（3e）dx??C. ln(3e)xxx2cot?xdx xxx★★(13)思路:应用三角恒等式“cotx?cscx?1。” 22解：cotxdx?(cscx?1)dx??cotx?x?C 22??2?3x?5?2x★★(14)?3xdx 思路:被积函数 2?3x?5?2x2x?2?（5），积分没困难。 3x3
4 2()x2?3?5?22x3解：?dx?（2?（5））dx?2x?5?C. x?33ln2?ln32x★★(15)cos?2dx xx思路:若被积函数为弦函数的偶次方时，一般地先降幂，再积分。 x1?cosx11d?dx?x?sinx?C. ?2?2221★★(16)?1?cos2xdx 解：cos2思路:应用弦函数的升降幂公式，先升幂再积分。 11112dx?dx?secxdx?tanx?C. ?1?cos2x?2cos2x2?2cos2x★(17)?cosx?sinxdx 解：思路:不难，关键知道“cos2x?cos2x?sin2x?(cosx?sinx)(cosx?sinx)。” cos2x?cosx?sinxdx??(cosx?sinx)dx?sinx?cosx?C. cos2x★(18)?cos2x?sin2xdx 解：思路:同上题方法，应用“cos2x?cosx?sinx”，分项积分。 22cos2xcos2x?sin2x11dx?dx?dx?x 解：?222222???cosx?sinxcosx?sinxsinxcosx??csc2xdx??sec2xdx??cotx?tanx?C. ★★(19)?(1?x1?x?)dx 1?x1?x1?x1?x1?x1?x2????1?x1?x1?x21?x21?x2，应用公式(5)即可。 思路:注意到被积函数 解：(?1?x1?x1?)dx?2?dx?2arcsinx?C. 21?x1?x1?x1?cos2x★★(20)?1?cos2xdx 1?cos2x1?cos2x121??secx?思路:注意到被积函数 ，则积分易得。 1?cos2x222cos2x
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有道有理函数积分，不知道如何拆开的。求做法。如图。第一步到第二步具体怎么拆的?
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有理式积分可裂项，待定系数法求得,如图
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待定系数 A/x + B/(x+1) + C/(2x-1) = 1/[x(x+1)(2x-1)], 解出 A, B, C 就行了基本的做法是直接通分再比较分子常用的计算量略小的做法是取几个具体的 x 代进去得到关于 A, B, C 的线性方程组, 再求解这种东西一般教材上都有, 先好好看教材, 否则做教辅上的题完全是浪费时间
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3.4 有理函数的积分
一、有理函数积分 二、三角函数有理式积分 三、简单无理函数积分一、有理函数的积分有理函数的定义： 两个实系数多项式的商所表示的函数称为有理函数.P ( x ) a0 x + a1 x + = Q ( x ) b0 x m + b1 x m ?1 +n n ?1+ a n ?1 x + a n + bm ?1 x + bm其中m , n都是非负整数；a0 ,a1 , ,an及 b0 ,b1 , ,bm 都是实数，且a0 ≠ 0,b0 ≠ 0.P ( x ) a0 x n + a1 x n?1 + = Q( x ) b0 x m + b1 x m ?1 ++ a n ?1 x + a n + bm ?1 x + bm假定分子与分母之间没有公因式.(1) n & m , 此有理函数是真分式.(2) n ≥ m , 此有理函数是假分式.利用多项式除法, 假分式可以化成一个多项式 和一个真分式之和.1 x3 + x + 1 = x+ 2 . 例 2 x +1 x +1最简分式:A , x?aA , k ( x ? a) Mx + N . 2 k ( x + px + q )Mx + N , 2 x + px + q其中: k & 1, p 2 ? 4q & 0.任一真分式都可惟一地分解为若干个最简分式的和. 如何将真分式分解为最简分式的和？P ( x ) a0 x n + a1 x n?1 + = Q ( x ) b0 x m + b1 x m ?1 + + a n ?1 x + a n , (n & m ) + bm ?1 x + bmQ( x ) = b0 ( x ? a )α( x ? b )β ( x 2 + px + q )λ( x 2 + rx + s )μP( x) A1 A2 = α + α ?1 + Q( x ) ( x ? a ) ( x ? a)B1 B2 + β + β ?1 + ( x ? b) ( x ? b)Aα + ( x ? a)+ Bβ ( x ? b) +M1 x + N1 M2 x + N2 + 2 λ + λ ?1 + 2 ( x + px + q ) ( x + px + q ) R1 x + S1 R2 x + S2 + 2 μ + μ ?1 + 2 ( x + rx + s ) ( x + rx + s )Mλ x + Nλ + 2 + ( x + px + q ) + Rμ x + S μ ( x 2 + rx + s )结论：(1) 分母中若有因式( x ? a )k ，则分解后为A1 A2 + + k k ?1 ( x ? a) ( x ? a)其中 A1 , A2 ,Ak + x?a, Ak 均为常数.A 特别地，k = 1, 分解后为 . x?a2 k 2 ( x + px + q ) p (2) 分母中若有因式 ，其中 ? 4q & 0,则分解后为M1 x + N 1 M2 x + N2 + 2 + 2 k k ?1 ( x + px + q ) ( x + px + q )其中 M i , N i 均为常数( i = 1,2,Mk x + Nk + 2 x + px + q , k ).Mx + N . 特别地，k = 1, 分解后为 2 x + px + q裂项法系数确定(1) 比较系数法x+3 x+3 A B 例1 2 = = + x ? 5 x + 6 ( x ? 2)( x ? 3) x?2 x?3A( x ? 3) + B( x ? 2) = ( x ? 2)( x ? 3)∵ x + 3 = A( x ? 3) + B( x ? 2)∴ x + 3 = ( A + B ) x ? (3 A + 2 B )? A + B = 1, ? A = ?5 ?? ?? ? ? (3 A + 2 B ) = 3, ?B = 6 x+3 ?5 6 ∴ 2 = + x ? 5x + 6 x ? 2 x ? 3(2) 赋值法1 A B C 例2 = + + , 2 2 x ( x ? 1) x ?1 x ( x ? 1)1 = A( x ? 1)2 + Bx + Cx ( x ? 1) (1)取 x = 0, 得 A = 1；取 x = 1, 得 B = 1.取x = 2, 将A, B代入(1)得C = ?1.1 1 1 1 ∴ = + ? 2 2 x ( x ? 1) x ?1 x ( x ? 1)例3 求积分 ∫1 dx . 2 x ( x ? 1)?1 1 1 1 ? dx 解： + ? ? 2 ∫ x( x ? 1)2 dx = ∫ ? x ? 1? ? x ( x ? 1) =∫ 1 1 1 dx + ∫ d ( x ? 1) ? ∫ d ( x ? 1) 2 x x ?1 ( x ? 1)1 = ln x ? ? ln x ? 1 + C x ?11 dx . 例4 求积分 ∫ 2 (1 + 2 x )(1 + x )4 2 1 ? x+ 1 5 dx + 5 5 dx 解： dx = ∫ (1 + 2 x )(1 + x 2 ) ∫ 1 + 2 x ∫ 1 + x2 2 1 1 2x 1 1 d (1 + 2 x ) ? ∫ dx + ∫ dx = ∫ 2 2 5 1 + 2x 5 1+ x 5 1+ x2 1 1 2 = ln 1 + 2 x ? ln(1 + x ) + arctan x + C 5 5 51 例5 求 ∫ 2 2 dx . x ( x + 2)1 A B Cx + D 解1： 2 2 = 2+ + 2 x x ( x + 2) x x +21 1 ? A = , B = 0, C = 0, D = ? . 2 2 ∴∫ 1 1 ? 1 1 ? dx = ∫ ? 2 ? 2 dx ? 2 2 2 ?x x ( x + 2) x + 2? 1? 1 1 x ? = ?? ? +C arctan ? 2? x 2 2?解2∫1 1 ( x 2 + 2) ? x 2 dx = ∫ 2 2 dx 2 2 x ( x + 2) 2 x ( x + 2) 1 ? 1 1 ? dx = ∫? 2 ? 2 ? 2 ?x x + 2? 1? 1 1 x ? = ?? ? +C arctan ? 2? x 2 2?说明: 将有理函数分解为部分分式进行积分虽 可行，但不一定简便，因此，要注意根据被积 函数的结构寻求简便的方法.2 x3 + 2 x2 + 5 x + 5 例6 求 I = ∫ dx. 4 2 x + 5x + 4解：I = ∫2 x3 + 5 x 2 x2 + 5 dx + ∫ 4 dx 4 2 2 x + 5x + 4 x + 5x + 41 d ( x 4 + 5 x 2 + 5) ( x 2 + 1) + ( x 2 + 4) = ∫ +∫ dx 4 2 2 2 x + 5x + 4 2 ( x + 1)( x + 4)1 1 x 4 2 = ln x + 5 x + 4 + arctan + arctan x + C 2 2 2例7 求 I1 = ∫x2 + 1 dx . 4 x +11 1 1+ 2 d(x ? ) x dx = x 解：I1 = ∫ ∫ 1 1 2 2 x + 2 (x ? ) + 2 x x 1 x? 1 x +C arctan = 2 22 x2 ? 1 = arctan +C 2 2x思考：I 2 = ∫x2 ? 1 dx 4 x +11 1 1? 2 d(x + ) x dx = x ∫ 1 1 2 2 x + 2 (x + ) ? 2 x x解：I 2 = ∫1 x? ? 2 1 x ln = +C 2 2 x+ 1 + 2 x2 x2 ? 2 x + 1 = +C ln 2 4 x + 2x + 1例8 求 I = ∫1 dx . 4 x +12 21 ( x + 1) ? ( x ? 1) dx 解：I = ∫ 4 2 x +11 1 1+ 2 1? 2 1 1 x dx ? x dx = ∫ 1 2 2∫ 2 1 2 x + 2 x + 2 x x 1 1 d( x ? ) d( x + ) 1 1 x x = ∫ ? ∫ 1 2 1 2 2 2 (x ? ) + 2 (x + ) ? 2 x x1 2 2 arctan x2 ? 1 2x ? 1 4 2 ln x2 ? 2 x + 1 x + 2x +12注意本题技巧 按常规方法较繁=+C按常规方法解:4 2 2 x + 1 = ( x + a x + b )( x + cx + d ) 第一步 令 比较系数定 a , b , c , d . 得∫dx x4 + 1x 4 + 1 = ( x 2 ? 2 x + 1)( x 2 + 2 x + 1)第二步 化为部分分式 . 即令 1 1 = 2 4 x + 1 ( x ? 2 x + 1)( x 2 + 2 x + 1)= Ax + B x ? 2x +12+Cx + D x2 + 2 x + 1比较系数确定 A , B , C , D . 第三步 分项积分 . 此解法较繁琐 !x 例9 计算 I = ∫ dx. 2 5 (1 ? x )解：令1 ? x = t , 则271 (1 ? t )3 dt I=? ∫ 5 2 t 1 1 ? 3t + 3t 2 ? t 3 dt =? ∫ 5 2 t=例10 已知 y( x ? y ) = x , 证明： 1 dx = ln[( x ? y )2 ? 1] + C I=∫ x ? 3y 2 3 t t 2 证明：令x ? y = t , ? ( x ? t )t = x , x = 2 ,y= 2 . t ?1 t ?12I=∫1t3 t ?3 2 2 t ?1 t ?1 t 1 =∫ 2 d t = ln t 2 ? 1 + C t ?1 2 1 2 = ln[( x ? y ) ? 1] + C 23t 2 ( t 2 ? 1) ? 2t 4 dt 2 2 ( t ? 1)二、三角函数有理式的积分由基本三角函数和常数经过有限次四则运算 构成的函数称之为三角有理函数．一 般 记 为 R (sin x , cos x ).问题：如何计算 ∫ R(sin x ,cos x )dx .2 x 令 t = tan , 则 x = 2arctan t , 故 dx = dt . 2 2 1+ t x x x 2sin cos 2 tan 2t 2 2 2 sin x = = = 2 1 t + 2 x 2 x 2 x sin + cos 1 + tan 2 2 2 2 x 2 x 2 x ? sin cos 1 ? tan 1? t2 2 2 2 = cos x = = 2 x x x 2 2 2 + 1 t + cos sin 1 + tan 2 2 2 x x x 2sin cos 2tan 2t 2 2 2 tan x = = = 2 1 t ? 2 x 2 x 2 x cos 1 ? tan ? sin 2 2 2万能公式x 2 令 t = tan , 则 x = 2arctan t , 故 dx = dt . 2 2 1+ t2t 1 ? t2 sin x = ,cos x = , 2 2 1+ t 1+ t 2t 2 tan x = , dx = dt . 2 2 1? t 1+ t? 2t 1 ? t 2 ? 2 dt , 2 2 ? 2 ∫ R(sin x ,cos x )dx = ∫ R ? ? 1+ t 1+ t ?1+ tsin x 例1 求积分 I = ∫ dx . 1 + sin x + cos x x 解1：令 t = tan ，有 2 2t 1+ t 1 I=∫ dt = ∫ dt ? ∫ dt 2 2 1+ t (1 + t )(1 + t ) 1+ t 1 1 1 1 2 =∫ dt + ∫ d (1 + t ) ? ∫ d (1 + t ) 2 2 2 1+ t 1+ t 1+ t 1 2 = arctan t + ln(1 + t ) ? ln 1 + t + C 2 x x x = + ln sec ? ln 1 + tan + C 2 2 2sin x 原题：I = ∫ dx . 1 + sin x + cos xsin x[1 ? (sin x + cos x )] 解2：I = ∫ dx 2 1 ? (sin x + cos x )sin x[1 ? (sin x + cos x )] =∫ dx ?2sin x cos x 1 1 ? sin x ? cos x =? ∫ dx 2 cos x 1 sin x = ∫ (1 + ? sec x )dx 2 cos x =1 例2 求积分 ∫ 4 dx . sin x x 2t 2 解1：令t = tan , 则 sin x = , dx = dt . 2 2 2 1+ t 1+ t 1 1 + 3t 2 + 3t 4 + t 6 dt 4 ∫ sin4 x dx = ∫ 8t 1 1 3 t3 = [ ? 3 ? + 3t + ] + C 8 3t t 33 x 1 ? x? =? ? + tan + ? tan ? + C 3 x 8 2 24 ? 2? x? ? 8tan 24 ? tan ? 2 2? ? 1 33解 2：修改万能置换公式, 令t = tan x，则tan x t 1 = dt . sin x = , dx = 2 sec x 1+ t 1 + t21 ∫ sin4 x dx .2 1 1 1 1 + t dt = ∫ 4 dt ? 4 2 ∫ sin4 x dx = ∫ ? t ? 1+ t t ? ? 2 ? 1+ t ?1 1 1 1 = ∫ 4 dt + ∫ 2 dt = ? 3 ? + C t t t 3t 1 3 = ? cot x ? cot x + C 31 2 2 dx = csc x (1 + cot x )dx 解3： ∫ sin4 x ∫1 ∫ sin4 x dx .= ∫ csc xdx + ∫ cot x csc 2 xdx221 3 = ? cot x ? cot x + C 3 4 2 1 sec x sec x 解4： ∫ sin4 x dx = ∫ tan4 x dx = ∫ tan4 x d tan x1 + tan 2 x 1 1 =∫ d tan x = ∫ ( + ) d tan x 4 2 4 tan x tan x tan x 1 1 1 =? ? +C 3 tan x 3 tan x1 + sin x dx . 例3 求 I = ∫ sin x (1 + cos x ) x 解1：(万能公式)令 t = tan , 则 22t 1+ 2 2t 1 1 1 t + dt = ∫ ( t + 2 + )dt I=∫ ? 2 2 2t 1? t 2 t 1+ t (1 + ) 2 2 1+ t 1+ t1 1 2 = ( t + 2t + ln t ) + C 2 2 1 x 1 x 2 x = tan + tan + ln tan + C 4 2 2 2 21 + sin x 原题： I=∫ dx . sin x(1 + cos x )(1 + sin x )(1 ? cos x ) 解2：I = ∫ dx 3 sin x1 + sin x ? cos x ? sin x cos x =∫ dx 3 sin x cos x cos x = ∫ csc x + csc x ? ? dx 3 2 sin x sin x3 2=dx (a b ≠ 0) . 例4 求 I = ∫ 2 2 2 2 a sin x + b cos x1 dx 2 1 d tan x cos x = 2∫ 解：I = ∫ 2 2 2 b 2 a a tan x + b 2 tan x + ( ) a1 a = arctan( tan x ) + C ab b说明 : 通常求含 sin 2 x , cos 2 x 及 sin x cos x的有理式用t = tan x换元往往更方便.1 d x (ab ≠ 0) . 例5 求 I = ∫ 2 (a sin x + b cos x ) dx 解1：I = ∫ (a tan x + b)2 cos 2 x令t = tan x1 dt =? +C =∫ 2 a(a t + b) (a t + b)cos x =? +C a (a sin x + b cos x )1 d x (ab ≠ 0) . 原题：I = ∫ 2 (a sin x + b cos x )解 2：令aa 2 + b2 a 2 + b2 1 dx I= 2 a + b 2 ∫ cos 2 ( x ? ? ) 1 tan( x ? ? ) + C = 2 2 a +ba = arctan a sin x + ? b cos x b2 2= sin ? ,b= cos ? .sin ?cos ?a b ? ? 1 a sin x + cos x = =a + b tan( arctan ) + C 2x ?2 2 2 ? 2 2? ? ? a b a b + + a +b bcos 3 x ? 2cos x 例6 求 I = ∫ dx . 2 4 1 + sin x + sin x解 : 因被积函数关于cosx为奇函数, 令t = sin x .2 (cos 2 x ? 2)cos x d x (sin x + 1)d sin x I=∫ = ?∫ 2 4 1 + sin x + sin x 1 + sin 2 x + sin 4 x 1 1 d( t ? ) 2 1 + 2 ( t + 1)dt t t = ? = ?∫ dt =? ∫ 2 4 1 2 1 2 1+ t + t (t ? ) + 3 t +1+ 2 t t 1 t? 2 1 1 cos x t =? arctan +C = +C arctan 3 3 3 3 sin x∫一般地，对于积分 I = ∫ R(sin x ,cos x )d x若R(sin x , ? cos x ) = ? R(sin x ,cos x ) ,令t = sin x , 积分可化为∫ R( t )dt .若R( ? sin x ,cos x ) = ? R(sin x ,cos x ) ,令t = cos x , 积分可化为∫ R( t )dt .若R( ? sin x , ? cos x ) = R(sin x ,cos x ) ,令t = tan x , 积分可化为∫ R( t )dt .1 例7 求 I = ∫ dx . (2 + cos x )sin x解： ∵ R( ? sin x ,cos x ) = ? R(sin x ,cos x ) , t = cos x .sin x I=∫ dx 2 (2 + cos x )(1 ? cos x ) dt =∫ (2 + t )(1 ? t 2 ) 1 1 1 = ∫( ? + )dt 6( t ? 1) 2( t + 1) 3( t + 2) 1 1 1 = ln t ? 1 + ln t + 1 + ln t + 2 + C 6 2 3 1 1 1 = ln cos x ? 1 + ln cos x + 1 + ln cos x + 2 + C 6 2 31 dx . 例8 求 I = ∫ 4 4 sin x + cos x 1 解1：I = ∫ dx 2 2 2 2 2 (sin x + cos x ) ? 2sin x cos x 1 2sec 2 2 x =∫ dx = ∫ dx 2 2 1 2 2sec 2 x ? tan 2 x 1 ? sin 2 x 2 d tan 2 x 1 tan 2 x =∫ arctan = +C 2 tan 2 x + 2 2 2sec4 x sec 2 x dx = ∫ dtan x 解2：I = ∫ 4 4 tan x + 1 tan x + 1 2 tan 2 x + 1 1 + u dtan x u = tan x =∫ du 4 4 ∫ tan x + 1 1+ u三、简单无理函数的积分? ? ax b + 讨论类型: R( x , ax + b ), R ? x , n ?. cx + e ? ?n解决方法: 作代换去掉根号.分别令 t = ax + b，t =nn m R ( x , ax + b , ax + b )d x , ∫nax+b . cx+d令 t = p ax + b , p为m , n的最小公倍数.1 1+ x dx . 例1 求 ∫ x x1+ x 1+ x 1 2tdt 2 , dx = ? 2 . 解：令 =t? = t ，则x = 2 2 x x ( t ? 1) t ?12 t dt 1 1+ x 2 t 2 ∴∫ dx = ? ∫ ( t ? 1)t 2 dt = ?2 ∫ 2 2 t ?1 x x ( t ? 1)1 ? t ?1 ? = ?2 ∫ ? 1 + 2 +C ? dt = ?2t ? ln t ?1? t +1 ?1+ x = ?2 ? ln x? 1+ x ? x? ? 1? + C x ? ?2例2 求积分∫1 dx . x+1+ 3 x+1解：令t 6 = x + 1，则 6t 5dt = dx .∫3 1 1 t 5 = ? 6 t dt dx = 6∫ dt 3 2 ∫ 3 t +t x+1+ x+1 t +11 ? ? 2 = 6∫ ? t ? t + 1 ? dt ? t +1? ? = 2t 3 ? 3t 2 + 6t ? 6ln | t + 1 | + C = 2 x + 1 ? 3 3 x + 1 + 3 6 x + 1 + 6ln( 6 x + 1 + 1) + C例3 求积分∫x dx . 3x + 1 + 2x + 1解：先对分母进行有理化x ( 3 x + 1 ? 2 x + 1) dx 原式 = ∫ ( 3 x + 1 + 2 x + 1)( 3 x + 1 ? 2 x + 1)= ∫ ( 3 x + 1 ? 2 x + 1)dx1 1 = ∫ 3 x + 1d (3 x + 1) ? ∫ 2 x + 1d (2 x + 1) 3 2 2 1 2 = (3 x + 1) ? (2 x + 1) 2 + C 9 33 3例4 求 I = ∫解1：I = ∫1 1+ x + x +12dx .dx = ∫1+ x ? x +1 (1 + x ) ? ( x + 1)1+ x ? x +1 2 xdxx 1+ x = x + ?∫ dx = 2 x 解 2：令x = tan 2 t , 则2 tan t sec 2 tdt I=∫ 1 + tan t + sec t 2sin t sec 2 tdt =∫ cos t + sin t + 1cos t + sin t ? 1 2sin t sec 2 t (cos t + sin t ? 1)dt dt = =∫ =∫ 3 cos t 2cos t sin t内容小结1. 可积函数的特殊类型有理函数分解万能代换 根式代换三角函数有理式三角代换多项式及部分分式之和简单无理函数2. 特殊类型的积分按上述方法虽然可以积出,但不一定 简便 ,要注意综合使用基本积分法 ,简便计算 .有理函数分解指数代换万能 代换 根 式 代 多项式 换指数函数有理式最简分式 凑微分法 换元法法 分部积分三角函数有理式三角代换直接计算简单无理函数不能用初等函数表示的不定积分sin x cos x ∫ x n dx , ∫ x n dx , n为正整数. 1 ± x2 2 2 ∫ ln x dx , ∫ e dx , ∫ sin x dx , ∫ cos x dx , arctan x dx arctan x 3 , , , 1 dx , dx e dx x + ∫ x ∫ ∫ 1 + x4 ∫∫ R( x , ∫P ( x ))dx , ∫ R( x ,1 P( x))dx ,P ( x )为三次以上的多项式. 1 ? k 2 sin 2 x d x (0 & k & 1) ,思考与练习如何求下列积分更简便 ?x2 1. I = ∫ 6 d x (a & 0) 6 a ?xdx 2. I = ∫ 3 sin x cos x3 3 ? a3 3 1 dx 3 ? 1 x 1 x + a 解1：I = ∫ 3 2 == 33 ln +C ln 33 3 2 3 3 3 (a ) ? ( x ) 66 aa x x + ?adx cos x sin 2 x + cos 2 x +∫ dx 解2：I = ∫ dx = ∫ 3 3 sin x cos x sin x sin x cos x1 1 d tan x d sin x = ln tan x ? +C =∫ +∫ 2 3 2 sin x tan x sin x3. 求 I = ∫1 dx . 6 2 x (1 + x )分母次数较高, 宜使用倒代换.1 1 1 解：令t = , 则x = ,d x = ? 2 dt . x t t 6 1 1 t ∴I = ∫ ( ? 2 )d t = ? dt 2 1 1 t 1+ t (1 + 2 ) 6 t t∫1 = ? ∫ (t ? t + 1 ? )dt 2 1+ t4 21 5 1 3 = ? t + t + arctan t + C 5 3 1 1 1 1 = ? 5 + 3 ? + arctan + C 5x 3x x x1 + sin x 4. 求 I = ∫ dx . 3 + cos x 1 sin x 解：I = ∫ dx + ∫ dx 3 + cos x 3 + cos xx 前式令u = tan ，后式配元 21 2 1 =∫ ? du? ∫ d(3 + cos x ) 2 2 1? u 1+ u 3 + cos x 3+ 1 + u2 1 =∫ 2 d u ? ln 3 + cos x u +2 1 u = ? ln 3 + cos x + C arctan 2 2= 1 2 arctan( 1 x tan ) ? ln 3 + cos x + C 2 2练习： 1 dx 1.∫ 2sin x ? cos x + 5 3.∫ 5.∫ 1 x (1 + x ) 13 22.∫ 4.∫1 1+ x +13dx dxdx dxx (1 + x ) x + 1+ x xdx 1+ x ? x2( x + 1) ( x ? 1)46.∫
例1 设F ( x )为f ( x )的一个原函数,F (0) = 1,当x ≥ 0时， 有 f ( x )F ( x ) = sin 2 2 x , F ( x ) ≥ 0, 求 f ( x ). 解： ∵ F ′( x ) = f ( x ) ,∴ F ( x )F ′( x ) = sin 2 2 x . 1 ? cos 4 x 2 dx ∴ ∫ F ( x )F ′( x )d x = ∫ sin 2 x d x = ∫ 2 1 2 ? F ( x ) = x ? sin 4 x + C 4∵ F (0) = 1 ,∴ C = F 2 (0) = 1,1 ∵ F ( x ) ≥ 0， ∴ F ( x ) = x ? sin 4 x + 1 4 sin 2 2 x ∴ f ( x ) = F ′( x ) = 1 x ? sin 4 x + 1 43cos x ? sin x dx . 例2 求 I = ∫ cos x + sin x 解：令 3cos x ? sin x= A(cos x + sin x ) + B(cos x + sin x )′. = ( A + B )cos x + ( A ? B )sin x?A+ B = 3 , ? A = 1, B = 2. ? ? A ? B = ?1d(cos x + sin x ) ∴ I = ∫ dx + 2∫ cos x + sin x= x + ln cos x + sin x + Ca cos x + b sin x 说明: 此技巧适用于形为 ∫ d x 的积分. c cos x + d sin xsin x cos x d x及I 2 = ∫ d x. 例3 求 I 1 = ∫ a cos x + b sin x a cos x + b sin xa cos x + b sin x d x = x + C1 解： ∵ a I 2 + b I1 = ∫ a cos x + b sin xd(a cos x + b sin x ) b cos x ? a sin x dx = ∫ b I 2 ? a I1 = ∫ a cos x + b sin x a cos x + b sin x= ln a cos x + b sin x + C 21 ? I1 = 2 (bx ? a ln a cos x + b sin x ) + C 2 ? ? a +b ?? ? I = 1 (ax + b ln a cos x + b sin x ) + C 2 ? a 2 + b2 ?dx ( a ? b ≠ kπ ) 例4 求 I = ∫ sin( x + a ) ? sin( x + b )1 sin[( x + a ) ? ( x + b )] dx 解：I = ∫ sin(a ? b ) sin( x + a ) ? sin( x + b )1 sin( x + a )cos( x + b ) ? cos( x + a )sin( x + b) = dx ∫ sin(a ? b ) sin( x + a ) ? sin( x + b )1 cos( x + b ) cos( x + a ) = dx?∫ dx ] [ ∫ sin(a ? b ) sin( x + b ) sin( x + a ) 1 ln sin( x + b ) ? ln sin( x + a ) ] + C = [ sin(a ? b )1 sin( x + b ) = ln +C sin(a ? b ) sin( x + a )例5 求 I = ∫解：I = ∫x a ?x3 3dx .1 ?a? ? x ? ?1 ? ?31 1 1 1 dx = ∫ 3 x ? a ?3 3 x ? x ? ?1 ? ?3dx 33 t2 + 1 1 a ?a? ,故 令t = ? ? ? 1，则 3 = 3 , x 3 = 2 a x t +1 ? x?1 t2 + 1 1 2a 3 t 2 1 I = ∫ 3 ? ?? 2 dt = ? ∫ 2 dt 2 3 a 3 t +1 t ( t + 1)2 2 ?a? = ? arctan t + C = ? arctan ? ? ? 1 + C 3 3 ? x?3例6 求 I = ∫x4 + 1 dx . 6 x +1( x 4 ? x 2 + 1) + x 2 解：I = ∫ 2 dx 4 2 ( x + 1)( x ? x + 1)=∫ 1 x2 dx + ∫ 6 dx 2 x +1 x +11 1 = arctan x + ∫ 6 dx 3 3 x +1 1 = arctan x + arctan x 3 + C 3例7 求 I1 = ∫ e ax cos bxdx， I 2 = ∫ e ax sin bxdx . 解：I1 + iI 2 = ∫ e ax (cos bx + i sin bx )dx = ∫e( a + bi ) xa ? bi ax e (cos bx + i sin bx ) + C = 2 2 a +b ax ax e e = 2 [a cos bx + b sin bx ] + 2 [a sin bx ? b cos bx ]i 2 2 a +b a +b +C ax e I1 = 2 [a cos bx + b sin bx ] + C 2 a +b e ax I2 = 2 [a sin bx ? b cos bx ] + C 2 a +b1 ( a + bi ) x dx = e +C a + bi思考问题1. 各积分方法的综合使用.
有理函数及三角函数有理式的积分_理学_高等教育_教育专区。§3.6 有理函数及三角...4 q & 0) (3) ∫ (x 2 ( p 2 ? 4q & 0), 其中系数A、M、N...课堂练习: (3) 、(5) 。二 三角有理式的不定积分 由,及常数经过有限次四则运算所得到的函数称为关于,的有理式,并记为 。对于三角 有理式的不定积分 。...有理函数的不定积分习题_理学_高等教育_教育专区。SOLUTION 1 : Integrate into...有理函数和可化为有理函... 4页 免费
§3 有理函数和可化为有... 9...x?2 2.7 某些无理根式的不定积分可化为有理函数的不定积分,然后再根据有理...§3.4.1-2定积分的应用(... 46页 免费 3-2不定积分1 45页 免费 3.2...指数代换: 例 2.3 计算积分 ∫ 1+ dx x e2 x x + e3 + e6 dx = ...有理函数的积分 由 sin x , cos x 及常数,经过有限次四则运算所得到的函数...2 u 2 2 1 1 1 1 1 【例 3】 ? cos4 xdx ? ? (cos2 x)2dx ?...nC ? 2 2 2 四、几种特殊类型函数的积分有理函数的积分: 有理函数是指由...不定积分_数学_高中教育_教育专区。第三章 一元积分...2 2 4 ) 总结:不定积分的题变化多技巧性强,往...这是有理函数的积分. 我们总可以通过将有理函数...考研数学三详细范围_研究生入学考试_高等教育_教育专区。《高等数学》目录与 ...换元积分法(★) 第三节 分部积分法(★) 第四节 有理函数的积分(★) 第...可导函数列,令 f(-k)(x)(k=1, 2, 3,…)为 k 阶负导函数. (4) ...(0&θ&1),[R f,s(x)为余项. (2)有理函数(正,负)高阶导数 定义 M...+1 dx = ln | x | +C x dx 4) ∫ arctan x + C 1+ x2 3) ...(教学章节或主题) : 第四章 第四节 有理函数的积分 授课类型 授课时间 理论...
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