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简介：本文档为《《概率论基础》答案pdf》，可适用于高等教育领域，主题内容包含《概率论》计算与证明题第一章事件与概率、若ABC是随机事件说明下列关系式的概率意义：()AABC=()()()ACBA=UUCABBCA、试把表示成符等。
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第1章_概率论的基本概念
教师: 熊明e-mail: xiongming@ mail.ccnu.edu.cn教材：《概率论与数理统计》浙江大学 盛骤等 编高等教育出版社 参考书： 1.《新编概率论与数理统计》 肖筱南等 编北京大学出版社2. 《概率与统计》陈萍等 编科学出版社2002序言概率论是研究什么的？随机现象：不确定性与统计规律性概率论与数理统计――研究和揭示随 机现象的统计规律性的一门数学科学随机试验 ? 样本空间、随机事件 ? 频率与概率 ? 等可能概型（古典概型） ? 条件概率 ? 独立性?具有以下特点的试验，称为随机试验 1.可在相同条件下重复进行； 2.试验可能结果不止一个,但能确定所有的可能结果; 3.一次试验之前无法确定具体是哪种结果出现。 随机试验可用字母E表示随机实验的例E1: 抛一枚硬币，分别用“H” 和“T” 表示出正面和反面; E2: 将一枚硬币连抛三次，考虑正反面出现的情况； E3:将一枚硬币连抛三次，考虑正面出现的次数; E4:掷一颗骰子，考虑可能出现的点数； E5: 记录某城市120急救电台一昼夜接到的呼唤次数； E6:在一批灯泡中任取一只，测其寿命; E7:记录某地一昼夜的最高温度和最低温度。随机事件样本空间1、样本空间：实验的所有可能结果所组成的 集合称为样本空间，记为S； 2、样本点: 试验的每一个结果或样本空间的 元素称为一个样本点, 记为e.EX 给出E1-E7的样本空间幻灯片 61.定义 试验中可能出现或可能不出现的情况叫“随机事 件”, 简称“事件”. 记作A、B、C等；任何事件均可表示为样本空间的某个子集，由一个样本点e 组成的单点集称为一个基本事件,也记为e； 称事件A发生当且仅当试验的结果是子集A中的元素。 2.两个特殊事件: 必然事件S 、不可能事件?.例如 对于试验E2 ，以下A 、 B、C即为三个随机事件: A＝“至少出一个正面” ＝{HHH, HHT, HTH, THH，HTT，THT，TTH}； B=“三次出现同一面”={HHH,TTT} C=“恰好出现一次正面”={HTT，THT，TTH} 再如，试验E6中 D＝“灯泡寿命超过1000小时”＝{x:1000&x&T(小时）}。可见，可以用文字表示事件，也可以将事件表示为样本空 间的子集，后者反映了事件的实质，且更便于今后计算概 率 还应注意，同一样本空间中，不同的事件之间有一定的关 系，如试验E2 ，当试验的结果是HHH时，可以说事件A和B 同时发生了；但事件B和C在任何情况下均不可能同时发生 。易见，事件之间的关系是由他们所包含的样本点所决定 的，这种关系可以用集合之间的关系来描述。事件之间的关系与事件的运算事件之间的关系1.包含关系：“ A发生必导致B发生”记为A?B A＝B ? A?B且B?A.2.和事件： “事件A与B至少有一个发生”，记作A?Bn个事件A1, A2,…, An至少有一个发生，记作 ? Aii ?1n3.积事件:A与B同时发生，记作 A?B＝ABn个事件A1, A2,…, An同时发生，记作 A1A2…An4.差事件 ：A－B称为A与B的差事件,表示事件A发生而B不发生思考：何时A-B=?? 何时A-B=A？5. 互斥的事件：AB＝ ?6. 互逆的事件? A?B＝S, 且AB＝ ?记作B ? A ，称为A的对立事件;事件的运算1、交换律：A?B＝B?A，AB＝BA 2、结合律：(A?B)?C＝A?(B?C)， (AB)C＝A(BC) 3、分配律：(A?B)C＝(AC)?(BC)， (AB)?C＝(A?C)(B?C) 4、对偶(德? 摩根)律：A ? B ? A ? B,kAB ? A ? B可推广为: ? Ak ? ? Ak ,k?Akk? ? Ak .k例：甲、乙、丙三人各向目标射击一发子弹，以A、 B、C分别表示甲、乙、丙命中目标，试用A、B、C的 运算关系表示下列事件：A? B ?C A2 : “恰有一人命中目标” ABC ? ABC ? ABC : A3 : “恰有两人命中目标” ABC ? ABC ? ABC : A4 : “最多有一人命中目标” : BC ? AC ? ABA1 : “至少有一人命中目标” : A5 : “三人均命中目标” :ABCA6 : “三人均未命中目标” ? B ? C : A从直观上来看，事件A的概率是指事件A在 一次试验中发生的可能性的大小 P（A）应具有何种性质？抛一枚硬币，币值面向上的概率为多少？ 掷一颗骰子，出现6点的概率为多少？ 出现单数点的概率为多少？ 向目标射击，命中目标的概率有多大？抛一枚硬币，以A表示事件 “币值面向上”，P（A）=？ 定义: 事件A在n次重复试验中出现nA次，则比 值nA/n称为事件A在n次重复试验中出现的频率， 记为fn(A). 即 fn(A)＝ nA/n.注：频率描述了事件A发生的频繁程度。频 率大，事件A就发生频繁，这就意味着A在一次试 验中发生的可能性就大。反之亦然。历史上曾有人做过试验,试图证明抛掷匀质 硬币时，出现正反面的机会均等。实验者De Morgan Buffon K. Pearson K. Pearsonn000 24000nH19 12012fn(H)0.9 0.5频率的性质(1) 0? fn(A) ??1；(2) fn(S)＝1； fn(? )=0(3) 可加性：若AB＝? ，则fn(A?B)＝ fn(A) ＋fn(B). 实践证明：当试验次数n增大时， fn(A) 逐渐 趋向一个稳定值。将此稳定值记作P(A)，可 将它作为事件A发生的概率概率的公理化定义注意到不论是对概率的直观理 解，还是频率定义方式，作为事件 的概率，都应具有前述三条基本性 质，在数学上，我们就可以从这些 性质出发，给出概率的如下公理化 定义定义 若对随机试验E所对应的样本空间S中的每一 事件A，均赋予一实数P(A)，集合函数P(A)满足条 件： (1) 非负性：P(A) ?≥0；(2) 规范性： P(S)＝1；(3) 可列可加性：设A1，A2，…, 是一列两两互不 相容的事件，即AiAj＝?，(i?j), i , j＝1, 2, …, 有 P( A1 ? A2 ? … )＝ P(A1) ＋P(A2)+…. 则称P(A)为事件A的概率。 (1.1)概率的性质 (1) P(?)=0 (2) 有限可加性：设A1，A2，…An , 是n个两两互 不相容的事件，即AiAj＝ ? ，(i?j), i , j＝1, 2, …, n ,则有 P( A1 ? A2 ? … ? An)＝ P(A1) ＋P(A2)+… P(An); (3)事件差： A、B是两个事件，则P(A-B)=P(A)-P(AB) 特别地，若事件B ? A ，则 P(A-B)=P(A)-P(B), 此时P(A)≥P(B)(4) 对于任一事件A，P(A)≤1(5)互补性：P(A)＝1－ P(A);(6)加法公式：对任意两事件A、B，有P(A?B)＝P(A)＋P(B)－P(AB)该公式可推广到任意n个事件A1，A2，…，An的 情形； (7) 可分性：对任意两事件A、B，有P(A)＝P(AB)＋P(AB ) .例1 某市有甲,乙,丙三种报纸,订每种报纸的人 数分别占全体市民人数的30%,其中有10%的 人同时定甲,乙两种报纸.没有人同时订甲丙或 乙丙报纸.求从该市任选一人,他至少订有一种 报纸的概率. 解:设A,B,C分别表示选到的人订了甲,乙,丙报P( A ? B ? C ) ? P( A) ? P( B) ? P(C ) ? P( AB) ? P( AC ) ? P( BC ) ? P( ABC) ? 30% ? 3 ? 10% ? 0 ? 0 ? 0 ? 80%例2 在1?10这10个自然数中任取一数，求（1）取到的数能被2或3整除的概率，（2）取到的数即不能被2也不能被3整除的概率， （3）取到的数能被2整除而不能被3整除的概率。解:设A表示“取到的数能被2整除”; B表示“取到的 数能被3整除”，则故7 (1) P( A ? B) ? P( A) ? P( B) ? P( AB) ? 10 3 (2) P( A ? B) ? 1 ? P( A ? B) ? 10 2 (3) P( A ? B) ? P( A) ? P( AB) ? 51 P( A) ? 23 P( B) ? 101 P( AB) ? 10
§４ 等可能概型(古典概型)若某实验E满足1.有限性：样本空间S＝{e1, e 2 , … , e n };2.等可能性：（公认）P(e1)=P(e2)=…=P(en).则称E为古典概型也叫等可能概型。古典概型中的概率: 设事件A中所含样本点个数为N(A) ，以N(S)记 样本空间S中样本点总数，则有N ( A) P ( A) ? N (S ) 对于古典概型，P(A)具有 如下性质：(1) 0? P(A) ??1；(2) P(S)＝1； P(? )=0 (3) AB＝?，则 P( A? B )＝ P(A) ＋P(B)例:有三个子女的家庭,设每个孩子是男是女的概率 相等,则至少有一个男孩的概率是多少?解:设A--至少有一个男孩,以H表示某个孩子是男孩 S={HHH,HHT,HTH,THH,HTT,TTH,THT,TTT}A={HHH,HHT,HTH,THH,HTT,TTH,THT}显然该试验是古典概型，因此：N ( A) 7 P( A) ? ? N (S ) 8二、古典概型的几类基本问题 复习：排列与组合的基本概念 乘法公式：设完成一件事需分两步， 第一步有n1种方法,第二步有n2种方法， 则完成这件事共有n1n2种方法加法公式：设完成一件事可有两种途径，第 一种途径有n1种方法，第二种途径有n2种方 法，则完成这件事共有n1+n2种方法。有重复排列：从含有n个元素的集合中随机抽取k 次，每次取一个，记录其结果后放回，将记录结果排成一列，n n nn共有nk种排列方式.无重复排列：从含有n个元素的集合中随机抽取k 次，每次取一个，取后不放回，将所取元素排成一列，n n-1 n-2n-k+1共有Pnk=n(n-1)…(n-k+1)种排列方式.组合：从含有n个元素的集合中随机抽取k 个， 共有?n? P n! C ?? ?? ? ? k ? k! k!(n ? k )! ? ?k n k n种取法.1、抽球问题例1: 一口袋中有６只球，其中４只白球、２只红 球。从袋中取球两只。考虑两种取球方式：（a）有 放回抽取；（b）无放回抽取。试分别就这两种情况分别求：（１）取到的两只球都是白球的概率；（２）取到的两只球颜色相同的概率；（３）取到的两只球中至少有一只是白球的概率。一般地，设合中有N个球，其中有M个白球，现 从中任抽n个球（此即表明是无放回抽取），则这n个球中恰有k个白球的概率是C C p? Ck Mn ?k N ?M n N在实际中，产品的检验、疾病的抽查、农作物的 选种等问题均可化为随机抽球问题。我们选择抽 球模型的目的在于是问题的数学意义更加突出， 而不必过多的交代实际背景。2、分球入盒问题例2：将3个球随机的放入3个盒子中去，问： （1）每盒恰有一球的概率是多少？（2）空一盒的概率是多少？ 解:设A:每盒恰有一球；B:空一盒。则：N ( S ) ? 3 , N ( A) ? 3! N ( A) 2 故 P( A) ? ? N (S ) 93P( B) ? 1 ? P{空两盒} ? P{全有球}3 2 2 ? 1? 3 ? ? 3 9 3一般地，把n个球随机地分配到N个盒子中去 (n?N)，则每盒至多有一球的概率是：P p? Nn N n某班级有n 个人(n?365)，问 至少有两个人的生日在同一天的 概率有多大？3、抽签问题例３：袋中有a只白球，b只红球，k (k≤a+b)个人依 次在袋中取一只球，（１）作放回抽样；（２）作 不放回抽样。求第i (i=1,2,…,k)人取到白球的概率 。可将此问题看作是抽签模型， 由此可知： “抽签与顺序无关”这一重 要结论４.分组问题例４：30名学生中有3名运动员，将这30名学生平均 分成3组，求： （1）每组有一名运动员的概率； （2）3名运动员集中在一个组的概率。 解: 设A:每组有一名运动员; B: 3名运动员集中在一组 30! 10 10 10 N ( S ) ? C30C20C10 ? 10! 10! 10! 27! 3! 7 10 10 3 ? C27C20C10 9! 9! 9! 50 P( A) ? ? P( B) ? N (S ) 203 N (S )一般地，把n个球随机地分成m组(n&m), 要求第 i 组恰有ni个球(i=1,…m)，共有分 法：n! n1!.... n m !5 随机取数问题例5 从1到200这200个自然数中任取一个,(1)求取到的数能被6整除的概率(2)求取到的数能被8整除的概率 (3)求取到的数既能被6整除也能被8整除的概率 (4)求取到的数既不能被6整除也不能被8整除的概率 解:N(S)=200, N(1)=[200/6]=33, N(2)=[200/8]=25 N(3)=[200/24]=8(1),(2),(3)的概率分别为:33/200,1/8,1/25思考： 1.从52张扑克（大小白搭不在内）中任意抽取5张，求 （1）拿到“四条”（即其中四点牌点相同）的概率； （2）拿到“同花顺子”（即五张同一花色且牌点按顺序排 列）的概率； （3）拿到一般“同花”（即五张同一花色但牌点不按顺序 排列）的概率； （4）拿到“三条加一对”（即五张中三张有同一牌点，另 两张有同一牌点）的概率；2.从5双不同鞋子中任意取4只，4只鞋子中至少有两只鞋 子配成一双的概率是多少？§５ 条件概率袋中有十只球，其中九只白球，一只红球，十人依次从袋中各取一球(不放回)，问第一个人取得红球的概率是多少？第二 个人取得红球的概率是多少？若已知第一个人取到的是白球，则第二个人 取到红球的概率是多少？ 若已知第一个人取到的是红球 ，则第二个人取到红球的概率 又是多少？已知事件A发生的条件下，事件B发生的 概率称为A条件下B的条件概率，记作 P(B|A)一、条件概率例1 设袋中有3个白球，2个红球，现从袋中任意抽取两次， 每次取一个，取后不放回， （1）已知第一次取到红球，求第二次也取到红球的概率; （2）求第二次取到红球的概率（3）求两次均取到红球的概率解 设A：第一次取到红球；B：第二次取到红球。 则 2 ?1 ? 3 ? 2 2 1 (1) P ( B | A) ? (2) P( B) ? ? 2 4 P5 5 2 2 ? 1 ? C2 ? 1 (3) P ( AB) ? 2 ? 或 2 ? ? P5 ? C5 ? 10 ? ?总结：若事件A、B是古典概型的样本空间S中的两个事件，其中A含有nA个样本点,AB含有nAB个样本点，则n AB P( B | A) ? ? nAn AB nAn nP( AB) ? P( A)一般地，设A、B是S中的两个事件，若P(A)&0，则P( AB) P( B | A) ? P( A)称为事件A发生的条件下事件B发生的条件概率“条件概率”是“概率”吗？ 何时P(A|B)=P(A)?概率定义 若对随机试验E所对应的样本空间S中的每一 事件A，均赋予一实数P(A)，集合函数P(A)满足条件： (1)P(A)≥0； (2) P(S)＝1; (3) 可列可加性：设A1，A2，…, 是一列两两互不相容的事件，即AiAj＝?，(i?j), i , j＝1, 2, …, 有 P( A1 ? A2 ? … )＝ P(A1) ＋P(A2)+…. 则称P(A)为事件A的概率。例2. 一盒中混有100只新、旧乒乓球，各有 红、白两色，分 类如下表。从盒中随机取出 一球，若取得的是一只红球，试求该红球是 新球的概率。解 设A：从盒中随机取到一只红球. 红 白 30 10 B：从盒中随机取到一只新球. 新 40 旧 20 则 n A ? 60 n AB ? 40n AB 2P( B | A) ? ? nA 3二、乘法公式设A、B?S，P（A）&0,则P(AB)＝P(A)P(B|A).此即为事件A、B的概率乘法公式。 该式还可推广到三个事件的情形：P(ABC)＝P(A)P(B|A)P(C|AB).一般地，有下列公式：P(A1A2…An)＝P(A1)P(A2|A1)...P(An|A1…An－1).例3 合中有3个红球，2个白球，每次从袋中任取 一只，观察其颜色后放回，并再放入一只与所取 之球颜色相同的球，若从合中连续取球4次,试求 第1、2次取得白球、第3、4次取得红球的概率。 解：设Ai为第i次取球时取到白球，则P( A1 A2 A3 A4 ) ? P( A1 ) P( A2 | A1 ) P( A3 | A1 A2 ) P( A4 | A1 A2 A3 )2 P( A1 ) ? 53 P( A2 | A1 ) ? 63 P( A3 | A1 A2 ) ? 7 4 P( A4 | A1 A2 A3 ) ? 8例４ 设某光学仪器厂制造的透镜，第一次落下时 打破的概率为1/2，若第一次落下未打破，第二次 落下打破的概率为7/10，若前两次落下未打破， 第三次落下打破的概率为9/10。试求透镜落下三 次而未打破的概率。例５.市场上有甲、乙、丙三家工厂生产的同一品牌产品， 已知三家工厂的市场占有率分别为1/4、1/4、1/2，且三 家工厂的次品率分别为 2％、1％、3％，试求市场上该品 牌产品的次品率。设：B：买到一件次品 A1 : 买到一件甲厂的产品 A2 : 买到一件乙厂的产品 A3 : 买到一件丙厂的产品P( B) ? P( BA1 ) ? P( BA2 ) ? P( BA3 ) ? P( B | A1 ) P( A1 ) ? P( B | A2 ) P( A2 ) ? P( B | A3 ) P( A3 )1 1 1 ? 0.02 ? ? 0.01 ? ? 0.03 ? ? 0. 2定义 事件组A1，A2，…，An (n可为?)，称为样 本空间S的一个划分，若满足：(i ) ? Ai ? S ;i ?1 n(ii) Ai A j ? ? , (i ? j ), i, j ? 1,2,..., n.… … B … … An A2A1…定理1：设A1，…, An是S的一个划分，且P(Ai)&0，(i＝1，…，n)，则对任何事件B?S，有P( B)＝? P( Ai ) P( B | Ai )i ?1 n该式称为全概率公式。例６ 有甲乙两个袋子，甲袋中有两个白球， 1个红球，乙袋中有两个红球，一个白 球．这六个球手感上不可区别．今从甲袋中 任取一球放入乙袋，搅匀后再从乙袋中任取 一球，问此球是红球的概率？解：设A1――从甲袋放入乙袋的是白球；A2――从甲袋放入乙袋的是红球； B――从乙袋中任取一球是红球； 1 2 3 1 7 P( B) ? P( B | A1 ) P( A1 ) ? P( B | A2 ) P( A2 ) ? ? ? ? ? 2 3 4 3 12甲乙?思考：上例中，若已知取到一个红球，则从甲袋放 入乙袋的是白球的概率是多少？答: P( A1 | B) ?P ( A1 B ) P ( B | A1 ) P ( A1 ) 4 ? ? 7 P( B) 7 12定理2 ：设A1,…,An是S的一个划分，且P(Ai) & 0， (i＝1，…，n)，则对任何事件B?S，有P( A j | B) ? P( A j ) P( B | A j )? P( A ) P( B | A )i ?1 i in, ( j ? 1,..., n)该式就称为贝叶斯公式。例７ 对以往数据分析结果表明，当机器调整得良好时，产品的合格率为98%，而当机器发生某种故障时，其合格 率为55%，每天早上机器开动时，机器调整良好的概率为 95%。试求已知某日早上第一件产品是合格时，机器调整 得良好的概率是多少？解：设A：机器调整良好；B：产品为合格品．P( B A ) P ( A ) P(A B ) ＝ P ( B A ) P( A ) ? P ( B A ) P ( A )＝0.95 ? 0.98 0.95 ? 0.98 ? 0.05 ? 0.55例８ 数字通讯过程中，信源发射0、1两种状态信号，其中 发0的概率为0.55，发1的概率为0.45。由于信道中存在干扰， 在发0的时候，接收端分别以概率0.9、0.05和0.05接收为0、1 和“不清”。在发1的时候，接收端分别以概率0.85、0.05和 0.1接收为1、0和“不清”。现接收端接收到一个“1”的信号。 问发端发的是0的概率是多少? 解：设A：发射端发射0， B：接收端接收到一个“1”的信号．0.05 ? 0.55 P( B A ) P ( A ) P(A B ) ＝ ＝ ＝ 0.067 0.05 ? 0.55 ? 0.85 ? 0.45 P ( B A ) P( A ) ? P ( B A ) P ( A )0 (0.55) (0.9) 1 (0.45) (0.85)01清 1(0.05)清 0(0.05)不 (0.05)不 (0.1)条件概率 缩减样本空间 乘法公式 定义式全概率公式贝叶斯公式The end定义1设A、B是两事件，若 P(AB)＝P(A)P(B) 则称事件A与B相互独立。 显然，如果 P(A) ≠0, 则该式也等价于：P(B|A)＝P(B)例：设试验E为“抛甲、乙两枚硬币，观察正反面 出现的情况”，设事件A为“甲币出现正面”，事 件b为“乙币出现正面”，问A与B是否独立？ 再如：从一付52张的扑克牌中任意抽取一张，以A 表示抽出一张A，以B表示抽出一张黑桃，问A与B是 否独立？ 定理、以下四件事等价：(1)事件A、B相互独立；(2)事件A、B相互独立；(3)事件A、B相互独立；(4)事件A、B相互独立。定义2、若三个事件A、B、C满足：(1) P(AB)=P(A)P(B), P(AC)=P(A)P(C),P(BC)=P(B)P(C), 则称事件A、B、C两两相互独立； 若在此基础上还满足：(2)P(ABC)＝P(A)P(B)P(C),则称事件A、B、C相互独立。一般地，设A1，A2，…，An是n个事件，如果对 任意k (1?k?n), 任意的1?i1?i2 ?… ? ik? n，具有等式 P(A i1 A i2 … A ik)＝P(A i1)P(A i2)…P(A ik) 则称n个事件A1，A2，…，An相互独立。思考： 1.设事件A、B、C、D相互独立，则A ? B与CD独立吗？ 2.一颗骰子掷4次至少得一个六点与两颗骰子掷24次至少得一个双六，这两件事， 哪一个有更多的机会遇到？答:0.518, 0.4961、加法公式的简化：若事件A1，A2，…，An相互 独立, 则P{ A1 ? A2 ? ... ? An ) ? 1 ? P( A1 ).... P( An )例１ 三人独立地去破译一份密码，已知各人能 译出的概率分别为1/5，1/3，1/4。问三人中至少 有一人能将次密码译出的概率是多少？2、在可靠性理论上的应用 例２ 如图，1、2、3、4、5表示继电器触点,假 设每个触点闭合的概率为p,且各继电器接点闭合 与否相互独立，求L至R是通路的概率。解 设A：L至R为通路, Ai：第i个继电器通,i=1,2,…5P( A | A3 ) ? P( A1 A4 ? A2 A5 )? 2p ? p24P( A | A3 ) ? P{( A1 ? A2 )( A4 ? A5 )} P( A | A3 ) ? P( A1 ? A2 ) P( A4 ? A5 )? (2 p ? p 2 ) 2由全概率公式P( A) ? P( A | A3 ) P( A3 ) ? P( A | A3 ) P( A3 ) ? 2 p 2 ? 2 p 3 ? 5 p 4 ? 2 p 5例3 要验收一批(100件)乐器,验收方案如下:自 该批乐器随机地取3件测试(设3件乐器的测试是 相互独立的),如果3件中至少有一件在测试中被 认为音色不纯,则这批乐器就被拒绝接收.设一件 音色不纯的乐器经测试查出其为音色不纯的概率 为0.95;而一件音色纯的乐器经测试被误认为不 纯的概率为0.01,如果已知这100件乐器中恰有4 件是音色不纯的,试问这批乐器被接收的概率是 多少(利用独立性和全概率公式)?例4 甲、乙两人进行乒乓球比赛，每局甲胜的 概率为p，问对甲而言，采用三局两胜制有利， 还是采用五局三胜制有利？设各局胜负相互独立。第一章 小结本章由六个概念（随机试验、事件、概率 、条件概率、独立性），四个公式（加法 公式、乘法公式、全概率公式、贝叶斯公 式）和一个概型（古典概型）组成The end
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