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概率问题：胜率代表了什么？
【猪小宝的回答(184票)】:
举个不那么严谨的、直观的例子，NBA 常规赛，马刺60胜20负，山猫32胜48负，假设两队在第一轮季后赛相遇，问各自的胜率有多少？
第一个问题：已知积累足够多的数据，A 的胜率60%，B 的胜率40%，那么 A 和 B 相遇，一场定生死，则 A 胜出的是多少？
现实中有没有这种实例呢？有！美国职业棒球联盟就是个例子，比赛本身偶然性不是那么的强，数据记录已经延续了几十年。
通过这些数据的分析，Bill James 提出了用于估算美国职业棒球联赛胜率的
A=0.6，B=0.4，则 A 赢的概率是
事实上，它的来源是 Bill James 提出的另一个公式 。按照这个公式，A 60胜40负，「能力值」是60除以40等于1.5；B 40胜60负，「能力值」是40除以60，等于0.666。A 赢的概率是
通过与这些年联赛数据的对比，Bill James 也在做着相应的修正。但这两个公式起码可以提供一个近似的估算结果，与实际比赛结果也非常接近。
第二个问题：如果 A、B 连续对决多次，采用三局两胜或者七局四胜，结果如何？
如果比的局次少，输赢的概率按照胜率的相对强弱关系；比的局次足够多，胜率大的那一方总能赢。
只比一局，69.2%；三局两胜，77.42%；五局三胜，82.66%；七局四胜，86.38%；九局五胜，89.15%；十一局六胜，91.27%……17局9胜，95.30%……101局51胜，99.9972%……
一局决胜负，可能的情况有两种。A，B。按照相对强弱对比，A 概率 69.2%，B 概率 30.8%。这两个概率都远远大于5%，都是大概率事件，所以都有可能发生。A 获胜的概率较大，但并不能保证一定能获胜。比100次单场决胜负，B 大约能赢30次。
有的同学说，不对啊，虽然A胜率60%，B胜率40%，A的胜率比B高，实力也比B强，但万一 A 就是从未赢过 B 呢？没错，的确有这种可能，B 是 A 的苦主。所以，我们说 B 赢的可能性也有 30.8% ，这种情况就完全包含在这 30.8% 里。而且，A 从未赢过 B，不代表这次就不能赢 B。
三局两胜，结局共有八种，我们用A代表A胜，B代表B胜。这八种情况分别是，AAA，AAB，ABA，ABB，BAA，BAB，BBA，BBB。八种情况的概率分别为
AAA 0.692^3=0.331
AAB (0.692^2)*(0.308)=0.147
ABB (0.308^2)*(0.692)=0.066
BBB 0.308^3=0.029
A 最终胜出的情况为前四种，相加为 0.331+0.147+0.147+0.147=0.77
B 最终胜出的情况为后四种，相加为 0.066+0.066+0.066+0.029=0.23
也就是，三局两胜，A 赢的概率上升到 77%，B 赢的概率下降到23%。但是，23%还是大概率事件，依然有可能发生。也就是说，比100次三局两胜，B 依然能赢差不多 23 次。
同理，我们再考虑五局三胜的情况。
A 最终胜出的情况有
五局横扫全胜，一种情况：AAAAA，概率为 0.692^5=0.159
赢了其中的四局，五种情况：BAAAA、ABAAA、AABAA、AAABA、AAAAB，总概率为5*(0.692^4)*(0.308)=0.353
赢了其中的三局，十种情况：BBAAA、BABAA……总概率为10*(0.692^3)*(0.308^2)=0.314
A 胜出的概率为 0.159+0.353+0.314=0.826
也就是说，如果五局三胜，A 的胜率上升到82.6%。比100次五局三胜，B 依然能赢差不多17次。
如果我们认为概率小于5%的事件是小概率事件，那么就意外着，A 和 B 至少要进行17局9胜的系列赛，B获胜才是个小概率事件。
现在，你知道为什么 NBA 季后赛要七战四胜、斯诺克世锦赛甚至要35局18胜了吧？
回到我们开头的小例子，马刺60胜20负，胜率0.75，山猫32胜48负，胜率0.4。七局四胜，此时两者的相对强弱对比
。马刺赢下季后赛的概率是 97.6%，山猫爆冷上演奇迹的概率是 2.4%。但是，如果不是七局四胜，而是一场定生死，那马刺赢的概率只有81.8%，山猫可是有高达 18.2% 的概率爆冷赢马刺哦。
我们再来看看AB比赛A获胜的场次情况：
一局决胜，A 获胜的情况只有1种，A。
三局两胜，A 获胜的情况有 1+3种，全胜AAA这1种，两胜一负AAB、ABA、BAA 这三种。
五局三胜，A 获胜的情况有 1+5+10种……
七局四胜，A 获胜的情况有 1+7+21+35种……
九局五胜，A 获胜的情况有 1+9+36+84+126种……
……听说过有个叫帕斯卡三角的东西吗？在我们的中学课本里，它被叫做杨辉三角。现在你知道它的用处和来历了吧？
【Cloud的回答(7票)】:
之前答案可能带有攻击性，修改下，如果有冒犯的地方给大家陪个不是，望海涵。
既然关于这个还有争论，那我再解释下自己看法。
把题目换个说法：AB的胜率分别为60和40，然后估计下AB对战的胜率。这样可能好理解点。个人认为之所以会认为无解是对于题目里这个胜率的理解有点分歧。这里的胜率应该有两种意思，一种是抽取的AB胜率分别为60和40，此处的胜率是总体的信息，表述的是总体的分布特征。第二种是问题里所要求的胜率，这里的胜率是所抽取样本的可能分布。两者的含义应该是不同的，不少人概念混杂以至于觉得问题多余或者无解。这里叙述可能有点不清晰，举个例子吧。
有十一张卡片，上面分别写着0到10十一个数字，那么我们可以得出卡片上数字的平均数是5，确定值。对应上面的，这个平均数就是对于总体信息的描述。然后，从十一张卡片里面抽取2张卡片，取平均数。显然，这里的平均数突然就由确定变为不确定了，因为这里的平均数是对于样本分布的反映，由于样本的随机性而变为一个随机变量。同样的，这里的样本平均数就对应于上面所要求的胜率。
于是，可能有的人并未分清两者的区别，所以根据样本的随机性，并不可能求得一个像总体信息一样的确定值胜率，所以无解。不过，虽然胜率是一个随机变量，如果能求出其概率分布情况，也就能对胜率有一个充分的预估。那么有理由说胜率的概率分布有着同等的意义，而由所给的总体信息可以推导出样本胜率的分布，所以说胜率是可求的。
还是以上面的卡片为例。知道总体均值为5，于是能够推出每次样本均值的概率分布情况。即使对于每一次抽取样本的平均数没法具体确定，但是仍有理由认为样本平均数期望为5。
这就是对于胜率进行估计的基础。
虽然可能没多少人看得懂，我还是写下我之前推导的完整计算过程。
胜率为60和40的个体都是无穷的，他们之间的关系也是不确定的，所以求的是胜率的期望值而不是具体关系。题目问的是随机选取胜率为60和40的两个个体（并不知道他们之前的胜负关系），根据两者的胜率信息来估计这两个随机个体之间的对战胜率。
按照这个理解，我的思路是由无穷这一条件，对每个参赛者假定X这一随机变量，表示与随机对手对战时若赢X=1，若输X=0，那么X的均值也就是胜率是服从正态分布的，分布的均值和方差可以由伯努利分布和条件导出。
推导过程：设参赛者与随机对手比赛n次（这里n趋近于无穷），这是一个典型的伯努利实验，那么X的均值（即胜率）为P，方差为P（1－P）/n ，也就是其胜率服从均值为P，方差为P（1－P）/n的正态分布。
那么，对于最后的问题可以假设X与Y两个随机变量分别表示A和B的胜率，两者均服从已知的正态分布。
对于A选手，胜率
对于B选手，其胜率
简便起见设
现在求A与B的对战胜率相当于在X+Y=1这一限定条件下求X的期望。此时X和Y的联合分布为二维正态分布，假设其相关系数为
则联合分布函数为：
x+y=1的条件下，条件概率分布为：
已知条件分布，对X积分求期望得
根据这个题目给的条件，正好求出来的期望与假定的相关系数无关，不知道推广到其他情况是否也与相关系数无关，计算量太大，不尝试了。
【王宇睿的回答(7票)】:
以下是来自山村的思维法：
假设AB对决时，A获胜的概率为X
当X为100%时，A选手的胜率依然能够是60%（在其他选手那里多输一点），B选手的胜率依然能够为40%
当X为0%时，A选手的胜率依然能够是60%（在其他选手那里多赢一点），B选手的胜率依然能够为40%
当X为任意数时，都可以让A选手的胜率为60%，B选手的胜率为40%
所以A,B选手的胜率，并不会影响到A对B的胜率。AB对决，A获胜的概率可以是任意值。
======================
修正下答案，我结合了下后面的评论，把答案完善了一下
首先，我觉得我们基本同意了，答案是什么，会与是什么运动相关
把题目抽象为：
假设有一个无限大的运动馆，里面有无数多个运动员在不知疲倦地比赛，任意两人间已进行无数多场比赛。
已知A选手的胜率为60%，B选手的胜率为40%。
今AB对决，求A获胜的概率。
那如果这个运动是一个类似抽牌比大小的运动：A有100张牌，60张是4,40长是1；B有100张牌，100张都是3；其他选手都是60张3,40张2。这样的运动，A胜率必定是60%，A胜B的概率也必定是60%。
如果这个运动是一个类似猜拳的游戏：拳头和布，但是引入许多新的手势，新的手势之间不一定要互相对应的关系，但是会导致拳头的胜率是60%，布的胜率是40%。这样的运动，A胜率是60%，但是A胜B的概率就只有0%。
最后回到台球上来。我刚刚已经得出结论，A胜B的概率是多少，会取决于这个运动。
所以，这个问题的答案，是需要去考虑一些额外的条件的。
所以，去分析台球这项运动，会怎么样去影响这个概率，并得出一个相对准确的模型，才能得出答案。我不太了解台球，但是我至少知道斯诺克也是存在防守技巧的。我不太相信台球会和上面的抽牌的例子一样，不存在相克的关系。
【塞莱尼阿卡沙的回答(4票)】:
这么简单的问题楼上给的都是神马鸟答案啊...居然还有说无解的我擦，你们大学条件概率都学到哪去了...
也就 给出的答案还靠点谱，不过Bill James的公式原理你们理解么？...
来给出最易懂的答案：
A与B对决结果只有四种情况：A赢B赢，A输B输，A赢B输，A输B赢
根据不存在平局的可能性，所以前两种要排除掉，那么后两种的概率合是
1-A赢×B赢-A输×B输=1-（0.6×0.4）-（1-0.6）×（1-0.4）=A+B-2AB也就是Bill James公式的分母
A赢B输的概率是：A赢×B输=0.6×（1-0.4）=A（1-B）也就是Bill James公式的分子
所以A赢B输的条件概率是：以上两个式子的比值。
【谭峻的回答(0票)】:
事实上，不同级别的选手是可以辗压的。。。
首先，我们不考虑这种情况。
那么楼上@刘 同学的算法是对的，我来描述的更乡土一点吧
我们把这个问题简化成概率中常用的抽乒乓球问题。
假设题中的比赛规则如下：
1 每个选手有不同数量的球
2 比赛时，双方先把球放桶里
3 随机抽出一个球，抽到谁的算谁赢
在这个规则下，假设所有人平均有100个球。则获胜概率60%的人有
X/X+100=0.6，即150个，获胜概率40%的人为200/3个。
A获胜概率：150/（150+200/3）=9/13
结论跟楼上的@刘 同学一致。
好了，我们再来考虑真实世界。实际上，不同级别选手对战的胜率不是可以用概率来平均的。
举几个极端的例子，假设一共有101个选手，实力值分别是0—100，实力低的永远打不过实力高，显然，题中的A选手实力值是60，选手B的实力值是40。B获胜概率是100%。
再比如，选手直接是有等级之分的，低等级打不过高等级。
再再比如，高实力值的人对战低实力值胜率是90%；或者胜率按实力值差距等比递增。
结论，题设不足，此题无解。但是9/13在某些前提下是个可供参考的答案。
【王新蜂的回答(0票)】:
是不是要看他们之间历史对战情况才好下定夺啊，这种两人对战的并不能看作随机事件吧
【许可的回答(0票)】:
我也觉得无解，给的条件太少，比如厉害程度是否有传递性，如何传递这些信息都没给出来。比如A赢B的概率是0.8，B赢C的概率是0.6，那A赢C的概率是多少仅靠给出的条件是无法得出的。
我再举个极端的例子吧，不知道大家还记不得记得以前那种动物棋，大象最屌，狮子其次，过了是老虎...老鼠最渣，不过老鼠可以钻到大象鼻子里面去，所以大象遇老鼠老鼠赢。假设把各种动物混到一起让他们无穷多次相遇，如果有11种，那下来大象的总体胜率应该是0.9，老鼠的胜率应该是0.1，这时候如果让老鼠跟大象比试的话老鼠反而有100%的胜率。
在运动比赛中一般A比B厉害B比C厉害那么A还是会比C厉害一些，不像刚才说的那么极端，不过模型给的不详细的话很难定量判断这个胜率如何传递。也就无从回答题目中的问题了。
再举一个例子吧，比如说这个比赛就像比高矮一样，每两个人相遇他们的胜率只能是0和1，意思如果A能赢B，那么A总能赢B，同时如果A赢B，B赢C，那么A一定能赢C。这样在无穷多个人之中互相比试无穷多次，A胜率0.6，B的胜率0.4，假设身高是从0-1m等可能分布的(怎么分布都不影响，等可能分布更方便计算)，那A的身高应该是0.6m，B的身高应该是0.4m，A赢B的概率100%.但如果换成另外的比赛模型，那胜率就显然不同了。
【刘陈佳的回答(0票)】:
① 里面有无数多个球手在不知疲倦地比赛，那我给每个球手用大于零的有理数编一个号，则0~无穷大之间任何一个有理数X代表一个球手。这里假设代表A和B的有理数是a和b。
② 任意两人间已进行无数多场比赛，如果两人各自的实力不是随机的话，则意味A对任意一个确定的人之间的交战有一个确定的胜率，如果X表示代表选手的编号，那么A(X)可以看做A对任意一个X选手获胜的概率，则LZ问题的答案即A对B获胜的概率为A（b）。
③A选手的胜率为60%是什么意思呢，因为有60%这个确切的数据，我是不是可以认为60%是指A和其他所有人各打一局，其中六成获胜了，否则60%无法解释。那么
60%=lim(x趋近于无穷大){ [∫（0→无穷大) A（x）*dx]/x} 这个学过微积分的都能理解，因为符号太难打，有兴趣的同学写在纸上会比较直观，要符合以上的式子也就是A的胜率为百分之六十的A（x）有很多种，比如A(x)=0.6+sinx/3 或者0.6+sinx/4等等（自己验证，很简单，至于这些函数怎么得来的此处不明）。。所以同样一个b根据A（x）不同会有不同的答案。
④同理，B选手的胜率为40%，我也可以举例B(x)=0.4+sinx/2等等。
总结：①只知道A选手的胜率为60%，B选手的胜率为40%，意味着A和B的胜率函数可能有很多，只要满足第三点那个函数就好，所以AB的胜率不确定。
②我是直接告诉大家答案，中间部分过程简略或没写，欢迎疑问或指正。
【黄诺的回答(0票)】:
我试试这么解释这件事情：
假设所有这些球员每场比赛的结构都被记录下来了，这些记录叫做“原始数据”。
基于这些原始数据，统计得出的每一个球员的胜率表，叫做“报表”。
报表是基于原始数据，通过钻取，切片等方式进行分析得到的结果。生成报表的过程中，原始数据中的几乎所有个别信息都被抛弃了。例如球员A每场比赛的得分，对手等等。
而问题中想要的结果“A和B对战的胜利”，实际上是基于原始数据采用其他分析方法导出的报表（类似于郭奇贴的相性表）。这个报表所需要的个别信息在前一个胜率表中已经被抛弃了。所以要输出这张报表，需要从原始数据跑，而不是从前面那张报表来跑。
这事儿有点像盲人摸象。象是原始数据，摸的方式是输出报表所采用的分析方法。不可能指望倚靠摸腿的那个人的描述来预测摸以巴的那个人的感受。还是得用摸以巴的方式去摸一遍大象才行。
【TomHall的回答(1票)】:
相当于是已知P(A)和P(B)，要求P(A|B)。
但是P(A|B)=P(A,B)/P(B)，我们不知道P(A,B)，所以没法得到答案。
【刘煜鸿的回答(0票)】:
A赢B输的概率：60% * 60% = 36%
A输B赢的概率：40% * 40% = 16%
最终 A赢的概率：36% /（36% + 16%）
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