& 离散型随机变量及其分布列知识点 & “一个盒子中装有5张卡片，每张卡片上写有一...”习题详情
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一个盒子中装有5张卡片，每张卡片上写有一个数字，数字分别是1、2、3、4、5，现从盒子中随机抽取卡片．（Ⅰ）若从盒子中有放回的取3次卡片，每次抽取一张，求恰有两次取到的卡片上数字为偶数的概率；（Ⅱ）若从盒子中依次抽取卡片，每次抽取一张，取出的卡片不放回，当取到一张记有偶数的卡片即停止抽取，否则继续抽取卡片，求抽取次数X的分布列和期望．&
本题难度：一般
题型：解答题&|&来源：2010-北京市西城区高考数学二模试卷（理科）
分析与解答
习题“一个盒子中装有5张卡片，每张卡片上写有一个数字，数字分别是1、2、3、4、5，现从盒子中随机抽取卡片．（Ⅰ）若从盒子中有放回的取3次卡片，每次抽取一张，求恰有两次取到的卡片上数字为偶数的概率；（Ⅱ）若从盒子中依...”的分析与解答如下所示：
（Ⅰ）由题意知本题是独立重复试验，设A表示事件“有放回地抽取3次卡片，每次抽取一张，恰有两次取到的卡片上数字为偶数”，由已知，每次取到的卡片上数字为偶数的概率为，则．（Ⅱ）依题意，X的可能取值为1，2，3，4．，，，，所以X的分布列．
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一个盒子中装有5张卡片，每张卡片上写有一个数字，数字分别是1、2、3、4、5，现从盒子中随机抽取卡片．（Ⅰ）若从盒子中有放回的取3次卡片，每次抽取一张，求恰有两次取到的卡片上数字为偶数的概率；（Ⅱ）若...
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经过分析，习题“一个盒子中装有5张卡片，每张卡片上写有一个数字，数字分别是1、2、3、4、5，现从盒子中随机抽取卡片．（Ⅰ）若从盒子中有放回的取3次卡片，每次抽取一张，求恰有两次取到的卡片上数字为偶数的概率；（Ⅱ）若从盒子中依...”主要考察你对“离散型随机变量及其分布列”
等考点的理解。
因为篇幅有限，只列出部分考点，详细请访问。
离散型随机变量及其分布列
离散型随机变量及其分布列．
与“一个盒子中装有5张卡片，每张卡片上写有一个数字，数字分别是1、2、3、4、5，现从盒子中随机抽取卡片．（Ⅰ）若从盒子中有放回的取3次卡片，每次抽取一张，求恰有两次取到的卡片上数字为偶数的概率；（Ⅱ）若从盒子中依...”相似的题目：
某算法的程序框图如图所示，其中输入的变量x在1，2，3，…，24这24个整数中等可能随机产生（I）分别求出按程序框图正确编程运行时输出y的值为i的概率pi（i=1，2，3）；（II）甲乙两同学依据自己对程序框图的理解，各自编程写出程序重复运行n次后，统计记录输出y的值为i（i=1，2，3）的频数，以下是甲乙所作频数统计表的部分数据．甲的频数统计图（部分）
输出y的值为1的频数
输出y的值为2的频数
输出y的值为3的频数
697乙的频数统计图（部分）
输出y的值为1的频数
输出y的值为2的频数
输出y的值为3的频数
353当n=2100时，根据表中的数据，分别写出甲、乙所编程序各自输出y的值为i（i=1，2，3）的频率（用分数表示），并判断两位同学中哪一位所编程序符合要求的可能系较大；（III）将按程序摆图正确编写的程序运行3次，求输出y的值为2的次数ξ的分布列及数学期望．&&&&
某人在如图所示的直角边长为4米的三角形地块的每个格点（指纵、横直线的交叉点以及三角形顶点）处都种了一株相同品种的作物．根据历年的种植经验，一株该种作物的年收获Y（单位：kg）与它的“相近”作物株数X之间的关系如下表所示：
42这里，两株作物“相近”是指它们之间的直线距离不超过1米．（I）从三角形地块的内部和边界上分别随机选取一株作物，求它们恰&好“相近”的概率；（II）在所种作物中随机选取一株，求它的年收获量的分布列与数学期望．&&&&
某人向一目标射击4次，每次击中目标的概率为13．该目标分为3个不同的部分，第一、二、三部分面积之比为1：3：6．击中目标时，击中任何一部分的概率与其面积成正比．（Ⅰ）设X表示目标被击中的次数，求X的分布列；（Ⅱ）若目标被击中2次，A表示事件“第一部分至少被击中1次或第二部分被击中2次”，求P（A）．&&&&
“一个盒子中装有5张卡片，每张卡片上写有一...”的最新评论
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输出y的值为1的频数
输出y的值为2的频数
输出y的值为3的频数
697乙的频数统计图（部分）
输出y的值为1的频数
输出y的值为2的频数
输出y的值为3的频数
353当n=2100时，根据表中的数据，分别写出甲、乙所编程序各自输出y的值为i（i=1，2，3）的频率（用分数表示），并判断两位同学中哪一位所编程序符合要求的可能系较大；（III）将按程序摆图正确编写的程序运行3次，求输出y的值为2的次数ξ的分布列及数学期望．
2某人在如图所示的直角边长为4米的三角形地块的每个格点（指纵、横直线的交叉点以及三角形顶点）处都种了一株相同品种的作物．根据历年的种植经验，一株该种作物的年收获Y（单位：kg）与它的“相近”作物株数X之间的关系如下表所示：
42这里，两株作物“相近”是指它们之间的直线距离不超过1米．（I）从三角形地块的内部和边界上分别随机选取一株作物，求它们恰&好“相近”的概率；（II）在所种作物中随机选取一株，求它的年收获量的分布列与数学期望．
3一个袋中有若干个大小相同的黑球、白球和红球．已知从袋中任意摸出1个球，得到黑球的概率是25；从袋中任意摸出2个球，至少得到1个白球的概率是79．（Ⅰ）若袋中共有10个球，从袋中任意摸出3个球，记得到白球的个数为ξ，求随机变量ξ的数学期望Eξ．（Ⅱ）求证：从袋中任意摸出2个球，至少得到1个黑球的概率不大于710．并指出袋中哪种颜色的球个数最少．
该知识点易错题
1一盒中有12个乒乓球，其中9个新的，3个旧的，从盒子中任取3个球来用，用完后装回盒中，此时盒中旧球个数X是一个随机变量，其分布列为P（X），则P（X=4）的值为&&&&
2某工厂生产A、B两种型号的产品，每种型号的产品在出厂时按质量分为一等品和二等品．为便于掌握生产状况，质检时将产品分为每20件一组，分别记录每组一等品的件数．现随机抽取了5组的质检记录，其一等品数茎叶图如图所示：（1）试根据茎叶图所提供的数据，分别计算A、B两种产品为一等品的概率PA、PB；（2）已知每件产品的利润如表一所示，用ξ、η分别表示一件A、B型产品的利润，在（1）的条件下，求ξ、η的分布列及数学期望（均值）Eξ、Eη；（3）已知生产一件产品所需用的配件数和成本资金如表二所示，该厂有配件30件，可用资金40万元，设x、y分别表示生产A、B两种产品的数量，在（2）的条件下，求x、y为何值时，z=xEξ+yEη最大？最大值是多少？（解答时须给出图示）表一
等级利润产品
2（万元）表二
项目用量产品
配件（件）
资金（万元）
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概率统计经典题易错题
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概率统计 经典题易错题
1、（2010年辽宁高考试题节选）将这200只家兔随机地分成两组，每组100只，其中一组注射药物A，另一组注射药物B。甲、乙是200只家兔中的2只，求甲、乙分在不同组的概率。
错因分析：（1）误认为甲乙分在不同组的概率是相同的。（2），（3）关键原因是没弄清基本事件是什么？古典概型要求基本事件有限个并且是等可能发生的。
正确解答：法1：
变式练习：（2012潍坊一模）某工厂将甲、乙等五名新招聘员工分配到三个不同的车间．每个车间至少分配一名员工，若甲、乙两名员工必须分到同一个车间，则不同分法的种数为
2、（2012年青岛一模试题改编）一个盒子装有六张卡片，上面分别写着如下六个函数：,,，，，．从中任意取张卡片，求两张卡片上写着的函数奇函数的概率从中任意取张卡片，其中有一张卡片上写着的函数为奇函数条件下，求两张卡片上写着的函数奇函数的概率取张卡片，求两张卡片上写着的函数奇函数的概率取张卡片，一卡片上写着的函数为奇函数条件下，求两张卡片上写着的函数奇函数的概率取张卡片，其中有一张卡片上写着的函数为奇函数条件下，求两张卡片上写着的函数奇函数的概率取张卡片，求两张卡片上写着的函数奇函数的概率取张卡片，一卡片上写着的函数为奇函数条件下，求两张卡片上写着的函数奇函数的概率取张卡片，其中有一张卡片上写着的函数为奇函数条件下，求两张卡片上写着的函数奇函数的概率，
4、在区间[0,2]上任取两个实数a，b，则函数f(x)＝x3＋ax－b在区间[－1,1]上有且仅有一个零点的概率是______．
分析：几何概型。研究f(x)＝x3＋ax－b的单调性，并利用零点存在定理。答案：
5、某大学为调查来自南方和北方的同龄大学生的身高差异，从2011级的年龄在18～19岁之间的大学生中随机抽取了一自南方和北方的大学生各10名，测量他们的身高,量出的身高如下（单位:cm）
南方：158，170，166，169，180，175，171，176，162，163
北方：183，173，169，163，179，171，157，175，178，166
（1）根据抽测结果，做出茎叶图，并根据你填写的茎叶图，对来自南方和北方的大学生的身高作比较，写出两个统计结论．
（2）设抽测的10名南方大学生的平均身高为,将10名同学的身高依次输入按程序框图进行运算,问输出的大小为多少？并说明的统计学意义．
若将样本频率视为总体的概率,现从来自南方的大学生中随机抽取3名同学，记其中身高不低于平均身高的同学的人数为X,求X的分布列及数学期望EX
若从抽测的10名南方大学生中随机抽取3名同学，记其中身高不低于平均身高的同学的人数为X,求X的分布列及数学期望EX
注意：提示学生高度重视审题！区别第（3）问和第（4）问。
第（3）问是二项分布问题，，
第（4）问是超几何分布问题。
6、某学校举行知识竞赛,第一轮选拔共设有四个问题，规则如下：
每位参加者计分器的初始分均为10分，答对问题分别加1分、2分、3分、6分，答错任一题减2分；
每回答一题，计分器显示累计分数，当累计分数小于8分时，答题结束，淘汰出局；当累计分数大于或等于14分时，答题结束，进入下一轮；当答完四题，累计分数仍不足14分时，答题结束，淘汰出局，当累计分数大于或等于14分时，答题结束，进入下一轮；当答完四题，累计分数仍不足14分时，答题结束，淘汰出局；
每位参加者按问题顺序作答，直至答题结束.
假设甲同学对问题回答正确的概率依次为，且各题回答正确与否相互之间没有影响.
(Ⅰ)求甲同学能进入下一轮的概率；
（Ⅱ）用表示甲同学本轮答题结束时答题的个数，求的分布列和数学的.
（Ⅱ）由题意，随机变量的可能取值为：.
由于每题答题结果相互独立，所以
随机变量的分布列为
启示：抓住一条主线，用树状图的形式，可以避免漏解和多解的错误。
树状图的应用——例如：已知数列满足：（m为正整数），若，则m所有可能的取值为__________。4或5或32
排列组合二项式定理
1.从足够多的四种颜色的灯泡中任选六个安置在如右图的6个顶点处，则相邻顶点处灯泡颜色不同的概率为
解：由题意知本题是一个等可能事件的概率，∵试验发生包含的事件是从四种颜色的灯泡中选出一个放在一个顶点处，有4种选法，6个顶点共有46种结果，满足条件的事件是若用三种颜色：先选颜色有4种可能，然后放下底面 3×2×1=6种，放好后，放上底面有2×1×1=2种 共有4×6×2
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有10张卡片，其中8张标有数字2，有2张标有数字5.从中随机地抽取3张卡片，设3张卡片上的数字和为ξ，求Eξ与Dξ.
分析：本题考查离散型随机变量的期望与方差.准确地写出离散型随机变量的分布列是计算期望与方差的关键环节之一，熟练、准确地应用公式也是一个重要环节.解：这3张卡片上的数字和ξ这一随机变量的可能取值为6，9，12，且“ξ=6”表示取出的3张卡上都标有2，则P（ξ=6)=.&&&&&&&&&&& “ξ=9”表示取出的3张卡片上两张为2，一张为5，则P(ξ=9)= .&& “ξ=12”表示取出的3张卡片上两张为5，一张为2，则P(ξ=12)=.&&& ∴ξ的分布列为则期望Eξ=6×+9×+12×=7.8,&&&& 方差Dξ=(6-7.8)2+(9-7.8)2+(12-7.8)2=3.36.
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