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高等数学复旦大学出版第三版课后答案习题全1(陈策提供)
习题一1. 下列函数是否相等,为什么?(1) f ( x) = x 2 , g ( x) = x2 ? 1 (3) f ( x) = , g ( x) = x + 1. x ?1解: (1)相等.(2) y = sin 2 (3 x + 1), u = sin 2 (3t + 1);因为两函数的定义域相同,都是实数集 R;由 x = x 知两函数的对应法则也相同;所以2两函数相等. (2)相等. 因为两函数的定义域相同,都是实数集 R,由已知函数关系式显然可得两函数的对应法则 也相同,所以两函数相等. (3)不相等. 因为函数 f ( x ) 的定义域是 {x x ∈ R , x ≠ 1} ,而函数 g ( x ) 的定义域是实数集 R,两函数的 定义域不同,所以两函数不相等. 2. 求下列函数的定义域1 (1) y = 4 ? x + x x (3) y = 2 ; x ?1解: (1)要使函数有意义,必须(2) y = x + 3 +1 ; lg(1 ? x)(4) y = arccos(2sin x).?4 ? x ≥ 0 ? ? x≠0所以函数的定义域是 (?∞, 0) U (0, 4] . (2)要使函数有意义,必须即?x ≤ 4 ? ?x ≠ 0? x+3≥ 0 ? ?lg(1 ? x) ≠ 0 ? 1? x & 0 ?所以函数的定义域是[-3,0)∪(0,1). (3)要使函数有意义,必须即? x ≥ ?3 ? ? x≠0 ? x &1 ?x2 ? 1 ≠ 0即x ≠ ±1所以函数的定义域是 ( ?∞, ?1) U ( ?1,1) U (1, +∞) . (4)要使函数有意义,必须1?1 ≤ 2 sin x ≤ 1 即即??1 1 ≤ sin x ≤ 2 2π π 5π 7π + 2kπ ≤ x ≤ + 2kπ 或 + 2kπ ≤ x ≤ + 2kπ ,(k 为整数). 6 6 6 6 π π 也即 ? + kπ ≤ x ≤ + kπ (k 为整数). 6 6 π π 所以函数的定义域是 [ ? + kπ, + kπ] , k 为整数. 6 6? 1 ?sin , x ≠ 0 的定义域与值域. 3. 求函数 y = ? x ?0, x=0 ?解: 由已知显然有函数的定义域为(-∞,+∞),又当 x ≠ 0 时,1 可以是不为零的任意实数,此 x1 可以取遍[-1,1]上所有的值,所以函数的值域为[-1,1]. x 1? x 1 4. 没 f ( x ) = ,求 f (0), f ( ? x ), f ( ). 1+ x x时, sin1 1? 1? 0 1 ? (? x) 1 + x 1 x = x ?1 . 解: f (0) = = 1 , f (? x) = = , f( )= 1+ 0 1 + (? x) 1 ? x x 1+ 1 x +1 x5.设 f ( x) = ??1 ≤ x & 0 ?1, ,求 f ( x ? 1) . ? x + 1, 0 ≤ x ≤ 2?1 ≤ x ? 1 & 0 ?1, 0 ≤ x & 1 ?1, =? . ?( x ? 1) + 1, 0 ≤ x ? 1 ≤ 2 ? x, 1 ≤ x ≤ 3解: f ( x ? 1) = ?6. 设 f ( x ) = 2 x , g ( x) = x ln x ,求 f ( g ( x )), g ( f ( x )), f ( f ( x )) 和 g ( g ( x )) . 解:f ( g ( x)) = 2 g ( x ) = 2 x ln x , g ( f ( x)) = f ( x) ln f ( x) = 2 x ? ln 2 x = ( x ln 2) ? 2 x ,f ( f ( x)) = 2 f ( x ) = 22 , g ( g ( x)) = g ( x) ln g ( x) = x ln x ln( x ln x).x7. 证明: f ( x ) = 2 x 3 ? 1 和 g ( x) =3x +1 互为反函数. 2证:由 y = 2 x 3 ? 1 解得 x =3y +1 , 223 故函数 f ( x) = 2 x ? 1 的反函数是 y =3x +1 ( x ∈ R ) ,这与 g ( x) = 23x +1 是同一个函 2数,所以 f ( x) = 2 x 3 ? 1 和 g ( x) =3x +1 互为反函数. 28. 求下列函数的反函数及其定义域:1? 1+ x (3) y = 32 x +5 ; (1) y =解: (1)由 y = 所以函数 y =(2) y = ln( x + 2) + 1; (4) y = 1 + cos3 x, x ∈ [0, π].1? x 1? y 解得 x = , 1+ x 1+ y1? x 1? x 的反函数为 y = ( x ≠ ?1) . 1+ x 1+ xy ?1(2)由 y = ln( x + 2) + 1 得 x = e?2, ( x ∈ R) .所以,函数 y = ln( x + 2) + 1 的反函数为 y = e x ?1 ? 21 (log 3 y ? 5) 2 1 所以,函数 y = 32 x + 5 的反函数为 y = (log 3 x ? 5) 2(3)由 y = 32 x + 5 解得 x = (4)由 y = 1 + cos3 x 得 cos x =3( x & 0) .y ? 1 ,又 x ∈ [0, π] ,故 x = arccos 3 y ? 1 .3又由 ?1 ≤ cos x ≤ 1 得 0 ≤ 1 + cos x ≤ 2 , 即 0 ≤ y ≤ 2 ,故可得反函数的定义域为[0,2],所以,函数 y = 1 + cos 3 x, x ∈ [0, π] 的反函 数为 y = arccos 3 x ? 1(0 ≤ x ≤ 2) .9. 判断下列函数在定义域内的有界性及单调性:(1) y = 1 + x2(2) y = x + ln x x x x 1 ≤ 0 ,当 x & 0 时,有 ≤ = , 2 2 1+ x 1+ x 2x 2解: (1)函数的定义域为(-∞,+∞), 当 x ≤ 0 时,有 故 ?x ∈ ( ?∞, +∞), 有 y ≤ 又因为函数 y =1 x .即函数 y = 有上界. 2 1 + x2x 为奇函数,所以函数的图形关于原点对称,由对称性及函数有上界知,函 1 + x2 x 数必有下界,因而函数 y = 有界. 1 + x23又由 y1 ? y2 =x1 x ( x ? x )(1 ? x1 x2 ) ? 2 2 = 1 22 知,当 x1 & x2 且 x1 x2 & 1 时, y1 & y2 ,而 2 2 1 + x1 1 + x2 (1 + x1 )(1 + x2 )当 x1 & x2 且 x1 x2 & 1 时, y1 & y2 . 故函数 y =x 在定义域内不单调. 1 + x2(2)函数的定义域为(0,+∞),Q ?M & 0, ?x1 & 0 且 x1 & M ; ?x2 & e M & 0 ,使 ln x2 & M .取 x0 = max{x1 , x2 } ,则有 x0 + ln x0 & x1 + ln x2 & 2 M & M , 所以函数 y = x + ln x 在定义域内是无界的. 又当 0 & x1 & x2 时,有 x1 ? x2 & 0, ln x1 ? ln x2 & 0 故 y1 ? y2 = ( x1 + ln x1 ) ? ( x2 + ln x2 ) = ( x1 ? x2 ) + (ln x1 ? ln x2 ) & 0 . 即当 0 & x1 & x2 时,恒有 y1 & y2 ,所以函数 y = x + ln x 在 (0, +∞ ) 内单调递增. 10. 判断下列函数的奇偶性:(1) f ( x) = 1 ? x + 1 +(2) y = e 2 x ? e ?2 x + sin x.解: (1)Q f ( ? x) = 1 ? ( ? x) + 1 + ( ? x) = 1 + x + 1 ? x = f ( x)∴ f ( x) = 1 ? x + 1 + x 是偶函数.(2)Q f ( ? x) = e ?2 x ? e 2 x + sin( ? x ) = e ?2 x ? e 2 x + sin x = ?(e 2 x ? e ?2 x + sin x ) = ? f ( x )∴ 函数 y = e 2 x ? e ?2 x + sin x 是奇函数.11. 设 f ( x ) 定义在(-∞,+∞)上,证明: (1) f ( x ) + f ( ? x ) 为偶函数; (2) f ( x ) ? f ( ? x ) 为奇函数. 证: (1)设 F ( x ) = f ( x ) + f ( ? x ) ,则 ?x ∈ ( ?∞, +∞) , 有 F (? x) = f (? x) + f ( x) = F ( x) 故 f ( x ) + f ( ? x ) 为偶函数. (2)设 G ( x ) = f ( x ) ? f ( ? x), 则 ?x ∈ ( ?∞, +∞) , 有 G (? x ) = f ( ? x ) ? f ( ? x ) = ?[ f ( x ) ? f ( ? x)] = ?G ( x )4故 f ( x ) ? f ( ? x ) 为奇函数. 12. 某厂生产某种产品,年销售量为 106 件,每批生产需要准备费 103 元,而每件的年库存费为 0.05 元,如果销售是均匀的,求准备费与库存费之和的总费用与年销售批数之间的函数(销售 均匀是指商品库存数为批量的一半). 解: 设年销售批数为 x, 则准备费为 103x;又每批有产品106 106 106 件,库存数为 件,库存费为 × 0.05 元. x 2x 2x3106 × 0.05 设总费用为,则 y = 10 x + . 2x13. 邮局规定国内的平信,每 20g 付邮资 0.80 元,不足 20 g 按 20 g 计算,信件重量不得超过 2kg, 试确定邮资 y 与重量 x 的关系. 解: 当 x 能被 20 整除,即 [x x x x ]= 时,邮资 y = × 0.80 = ; 20 20 20 25 x x ? x ? ]≠ 时,由题意知邮资 y = ? 20 + 1? × 0.80 . 20 20 ? ?当 x 不能被 20 整除时,即 [?x ? x? 0 & x ≤ 2000且 ? ? = ? 25 , ? ? 20 ? 综上所述有 y = ? ? ? x + 1? × 0.80, 0 & x ≤ 2000且 ? x ? ≠ ? 20 ? ? ? 20 ? ? ? ? ?? 20 x . 20其中x x ? x? ? x ? ? 20 ? , ? 20 + 1? 分别表示不超过 20 , 20 + 1 的最大整数. ? ? ? ?14. 已知水渠的横断面为等腰梯形,斜角 ? =40°,如图所示.当过水断面 ABCD 的面积为定值 S0 时,求湿周 L(L=AB+BC+CD)与水深 h 之间的函数关系式,并指明其定义域.图 1-1 解:S0 =从而 BC =1 1 h( AD + BC ) = h(2h cot ? + BC + BC ) = h( BC + h cot ? ) 2 2S0 ? h cot ? . h L = AB + BC + CD =2 =( AB = CD)S h h + BC = 2 + 0 ? h cot ? sin ? sin ? hS 0 2 ? cos ? S 2 ? cos 40o + h= 0 + h h sin ? h sin 40o5由 h & 0, BC =S0 ? h cot ? & 0 得定义域为 (0, S0 tan 40o ) . h1 2 415. 下列函数是由哪些基本初等函数复合而成的?(1) y = (1 + x ) ; (3) y = (1 + 10? x5(2) y = sin 2 (1 + 2 x); ) ;1 4 21 2(4) y =1 . 1 + arcsin 2 x解: (1) y = (1 + x ) 是由 y = u , u = 1 + x 复合而成. (2) y = sin 2 (1 + 2 x) 是由 y = u 2 , u = sin v, v = 1 + 2 x 复合而成. (3) y = (1 + 10 (4) y = 16. 证明:? x51 2 4) 2 是由 y = u 2 , u = 1 + v, v = 10w , w = ? x5 复合而成.111 是由 y = u ?1 , u = 1 + v, v = arcsin w, w = 2 x 复合而成. 1 + arcsin 2 x (2) arctan hx = 1 1+ x ln , ?1 & x & 1 2 1? x(1) arcsin hx = ln( x + 1 + x 2 );e x ? e? x 2x x 证: (1)由 y = sinh x = 得 e ? 2 ye ? 1 = 0 2解方程 e2 x ? 2 ye x ? 1 = 0 得 e = y ± 1 + y ,x 2因为 e & 0 ,所以 e = y + 1 + y , x = ln( y + 1 + y )x x22所以 y = sinh x 的反函数是 y = arcsin hx = ln( x + 1 + x 2 )(?∞ & x & +∞).e x ? e? x 1+ y 1+ y 1 1+ y (2)由 y = tanh x = x 得 e2 x = ,得 2 x = ln , x = ?x e +e 1? y 1? y 2 1? y 1+ y & 0 得 ?1 & y & 1 , 1? y又由所以函数 y = tanh x 的反函数为y = arctan hx =1 1+ x ln (?1 & x & 1). 2 1? x 5 7 9 (3) ? 3, , ? , ,L. 3 5 717. 写出下列数列的通项公式,并观察其变化趋势:1 2 3 4 (1) 0, , , , ,L ; (2) 1, 0, ?3, 0,5, 0, ?7, 0,L ; 3 4 5 6 n ?1 解: (1) xn = , 当 n → ∞ 时, xn → 1 . n +1 n ?1 (2) xn = n cos π, 26当 n 无限增大时,有三种变化趋势:趋向于 +∞ ,趋向于 0,趋向于 ?∞ .(3) xn = (?1) n2n + 1 ,当 n 无限增大时,变化趁势有两种,分别趋于 1,-1. 2n ? 1n →∞18. 对 下 列 数 列 求 a = lim xn , 并 对 给 定 的 ε 确 定 正 整 数 N (ε ) , 使 对 所 有 n & N (ε ) , 有xn ? a & ε :(1) xn = 1 nπ sin , ε = 0.001; n 2 (2) xn = n + 2 ? n , ε = 0.0001.解: (1) a = lim xn = 0 , ?ε & 0 ,要使 xn ? 0 =n →∞1 nπ 1 1 ?1 ? & & ε ,只须 n & .取 N = ? ? ,则 sin ε n n 2 ?ε ?当 n & N 时,必有 xn ? 0 & ε . 当 ε = 0.001 时, N =? 1 ? ? 0.001 ? = 1000 或大于 1000 的整数. ? ?(2)a = lim xn = 0 , ?ε & 0 ,要使 xn ? 0 =n →∞n+2 ? n =2 2 1 & = &ε n+2 + n 2 n n只要 n & 取N =1ε即n &1ε2即可.?1? ? ε 2 ? ,则当 n & N 时,有 xn ? 0 & ε . ? ? ? 1 ? 8 8 ? 0.00012 ? = 10 或大于 10 的整数. ? ?当 ε = 0.0001 时, N =19. 根据数列极限的定义证明:(1) limn →∞1 = 0; n2 n2 + a2 = 1; n(2) lim(3) limn →∞3n ? 1 3 = ; 2n + 1 2 6n个 7 8 (4) lim 0.99L 9 = 1.n →∞ n →∞证 : (1)?ε & 0 , 要 使? 1? 1 1 1 .取 N = ? ? 0 = 2 & ε ,只要 n & ? , 则 当 n&N 时 , 恒 有 2 ε n n ? ε?1 1 ? 0 & ε .故 lim 2 = 0 . n →∞ n n2(2) ?ε & 0 ,要使5 5 5 5 3n ? 1 3 ?5? & & & ε , 只要 n & ,取 N = ? ? ,则当 ? = ε 2n + 1 2 2(2n + 1) 4n n ?ε ?7n&N 时,恒有3n ? 1 3 3n ? 1 3 = . ? & ε .故 lim n →∞ 2 n + 1 2 2n + 1 2(3) ?ε & 0 , 要 使a2 a2 a2 n2 + a2 & 2 &ε , 只 要 n & ,取 ?1 = ε n( n 2 + a 2 + n) n n? 2? n = ? a ? ,则当 n&N 时,恒有 ? ε ?n2 + a2 n2 + a2 =1. ? 1 & ε ,从而 lim n →∞ n n674 4n个 8 & 1 , 故 ?ε & 0 , 不 防 设 ε & 1 , 要 使 0.999L 9 ? 1(4) 因 为 对 于 所 有 的 正 整 数 n, 有1 ? ln ε ? ln ε ? 6n个 7 8 = n & ε, 只 要 n & , 取 N =? ? ln10 ? , 则 当 n & N 时 , 恒 有 0.99L 9 ? 1 10 ln10 ? ?6n个 7 8 6n个 7 8 & ε , 故 lim 0.99L 9 = 1 . n →∞ 0.99L 9 ? 120. 若 lim xn = a ,证明 lim xn = a ,并举反例说明反之不一定成立.n →∞n →∞证: Q lim xn = 0 ,由极限的定义知, ?ε & 0, ?N & 0 ,当 n & N 时,恒有 xn ? a & ε .n →∞而xn ? a & xn ? a & ε∴?ε & 0, ?N & 0 ,当 n & N 时,恒有 xn ? a & ε ,由极限的定义知 lim xn = a .n →∞但这个结论的逆不成立.如 xn = ( ?1) , lim xn = 1, 但 lim xn 不存在.n n →∞ n →∞21. 利用单调有界准则证明下列数列有极限,并求其极限值:(1) x1 = 2, xn +1 = 2 xn , n = 1, 2,L ;证: (1)Q x1 =(2) x1 = 1, xn +1 = 1 +xn , n = 1, 2,L. 1 + xn2 & 2 ,不妨设 xk & 2 ,则xk +1 = 2 xk & 2 × 2 = 2 .故对所有正整数 n 有 xn & 2 ,即数列 { xn } 有上界. 又 xn +1 ? xn =2 xn ? xn = xn ( 2 ? xn ) 2 ,从而 xn +1 ? xn & 0 即 xn +1 & xn ,显然有 xn & 0 ,又由 xn & 2 得 xn & 即数列 { xn } 是单调递增的.8由极限的单调有界准则知,数列 { xn } 有极限. 设 lim xn = a ,则 a =n →∞2a ,于是 a 2 = 2a , a = 2, a = 0 (不合题意,舍去),∴ lim xn = 2 .n →∞(2) 因为 x1 = 1 & 0 ,且 xn +1 = 1 +xn , 1 + xn所以0 & xn & 2 , 即数列有界 x ? ? x xn ? xn ?1 ? ? xn +1 ? xn = ?1 + n ? ? ?1 + n ?1 ? = ? 1 + xn ? ? 1 + xn ?1 ? (1 + xn )(1 + xn ?1 )又由 1 + xn & 0,1 + xn ?1 & 0 知 xn +1 ? xn 与 xn ? xn ?1 同号， 从而可推得 xn +1 ? xn 与 x2 ? x1 同号， 而 故 xn +1 ? xn & 0 ,x1 = 1, x2 = 1 +即 xn +1 & xn1 3 = , x2 ? x1 & 0 2 2所以数列 {xn } 单调递增，由单调有界准则知， {xn } 的极限存在. 设 lim xn = a ,n →∞则 a = 1+a ， 1+ a解得a=1+ 5 1? 5 ,a = (不合题意，舍去). 2 2 1+ 5 . 2 3x2 ? 1 = 3; x →∞ x 2 + 4 1 (5) lim x sin = 0. x→0 x x2 ? 4 = ?4; x →?2 x + 2所以lim xn =n →∞22. 用函数极限定义证明：(1) limsin x = 0; x →+∞ x 1 ? 4 x2 (4) lim = 2; 1 x →? 2 x + 12(2) lim(3) lim证：(1) ?ε & 0 ,要使sin x sin x 1 ≤ &ε , ?0 = x x x只须 x &1ε,取 X &1ε，则当 x & X 时，必有sin x ?0 &ε , x9sin x = 0. x →+∞ x (2) ?ε & 0 ,要使故 lim13 13 3x 2 ? 1 & &ε , ?3 = 2 2 x + 4 | x |2 x +4只须 x &13ε,取 X =13ε，则当 x & X 时，必有3x 2 ? 1 ?3 &ε , x2 + 4故 lim3x2 ?1 =3. x →∞ x 2 + 4 x2 ? 4 ? (?4) = x + 2 & ε , x+2(3) ?ε & 0 ,要使只要取 δ = ε ，则 当 0 & x + 2 & δ 时，必有x2 ? 4 ? (?4) & ε , x+2故 limx2 ? 4 = ?4 . x →?2 x + 21 1 ? 4 x2 ? 2 = 2x +1 = 2 x + & ε , 2 2x +1(4) ?ε & 0 ,要使只须 x +ε 1 ε & ，取 δ = ，则 2 2 21 1 ? 4 x2 & δ 时，必有 ?2 &ε 2 2x +1当0 & x+故 lim1 ? 4 x2 =2. 1 x →? 2 x + 12(5) ?ε & 0 ,要使x sin只要取 δ = ε ，则1 1 ? 0 = x sin ≤ x & ε , x x10当 0 & x ? 0 & δ 时，必有 x sin 故 lim x sinx →01 ?0 &ε , x1 = 0. x23. 求下列极限：(1) limx2 ? 3 ; x →3 x 2 + 1 x2 ? 1 (3) lim 2 ; x →∞ 2 x ? x ? 1 x2 + 1 (5) x →∞ 2 x + 1? x2 + 1 ? 1 ? ax ? b ? = ，求 a 和 b. x →∞ ? 2x + 1 ? 22 x 2 ? 3 lim ( x ? 3) 9 ? 3 3 = x →3 = = . x 2 + 1 lim ( x 2 + 1) 9 + 1 5 x →3(2) limx2 + x →1 x 4 ? 3 x 2 + 1 x3 ? x (4) lim 4 ; x →∞ x ? 3 x 2 + 1 (n + 1)(n + 2)(n + 3) (6) n →∞ 5n 3(7)若 lim ?解： (1) limx →3lim( x 2 + x) x2 + x 12 + 1 (2) lim 4 = x →14 = 4 = ?2. x →1 x ? 3 x 2 + 1 lim( x ? 3 x 2 + 1) 1 ? 3 × 12 + 1x →11 1? 2 1 x2 ? 1 x (3) lim 2 = lim = . x →∞ 2 x ? x ? 1 x →∞ 1 1 2? ? 2 2 x x 1 1 1 1 lim ? ? 3 ? ? 3 ? ? 3 x →∞ ? x x ?x x ? = 0. x x (4) lim 4 = lim = x →∞ x ? 3 x 2 + 1 x →∞ 3 1 3 1 1 ? 2 + 4 lim ?1 ? 2 + 4 ? ? ? x →∞ ? x x x x ? 2 1 lim ? 2 1 ? + ? + 2? 2x +1 x x 2 = x →∞ ? x x ? = 0 (5) Q lim 2 = lim x →∞ x + 1 x →∞ 1 1 1+ 2 lim ?1 + 2 ? ? ? x →∞ ? x x ? lim x2 + 1 =∞. x →∞ 2 x + 1由无穷大与无穷小的关系知，(6) lim(n + 1)(n + 2)(n + 3) 1 1 2 3 = lim ?1 + ?? 1 + ? ?1 + ? ? ?? ?? ? 3 n →∞ 5n 5 n →∞ ? n ?? n ? ? n ? 1 1 1 2 3 = lim ?1 + ? ? lim ?1 + ? ? lim ?1 + ? = . ? ? n →∞ ? ? n→∞ ? ? n →∞ ? 5 n? ? n? ? n? 51124. 解:因为x2 + 1 (1 ? a ) x 2 ? (a + b) x + (1 ? b) ? ax ? b = x +1 x +1? x2 + 1 ? 1 ? ax ? b ? = 知，分式的分子与分母的次数相同，且 x 项的系数之 x →∞ ? x +1 ? 2由已知 lim ?比为1 ，于是 21? a = 0且?( a + b ) 1 = 1 2解得3 a = 1, b = ? . 225. 利用夹逼定理求下列数列的极限:(1) lim[(n + 1)k ? n k ],0 & k & 1;n →∞n n (2) lim n a1n + a2 + L + am , 其中 a1 , a1 ,L , am 为给定的正常数; n →∞ 1 n n(3) lim(1 + 2 + 3 ) ;n n →∞1 (4) lim 1 + . n →∞ n解: (1) Q 0 & ( n + 1) k ? n k = n k (1 + ) k ? 1 & n k (1 + ) ? 1 = 1? k ? ? ? ? n n n ? ? ? ? 而 lim 0 = 0 ,当 k & 1 时, limn→∞?1??1?11 =0 n →∞ n1? k∴ lim[(n + 1) k ? n k ] = 0 .n →∞(2)记 a = max{a1 , a2 ,L , am }n则有n n a n & n a1n + a2 + L + am & n m ? a n1 n即a & a + a +L + a & m ? an 1 n 2 n m而 故lim a = a,n →∞ n →∞lim m n ? a = a,n →∞1n n lim n a1n + a2 + L + am = a n n lim n a1n + a2 + L + am = max{a1 , a2 ,L , am } . n →∞ n 1 1 1即n n(3)Q (3 ) n & (1 + 2 + 3 ) n & (3 ? 3 ) nn12即 而3 & (1 + 2n + 3n ) n & 3lim 3 = 3,n →∞ n→∞1n +1 nlim 3n →∞ 1n +1 n=3故 (4)Q1 & 1 +lim(1 + 2n + 3n ) n = 3 .1 1 & 1+ n nlim1 = 0,n →∞而1 lim(1 + ) = 1 n →∞ n故lim 1 +n →∞1 =1. n26. 通过恒等变形求下列极限：(1) lim1 + 2 + 3 + L + (n ? 1) ; n →∞ n2x →1(3) limx2 ? 2 x + 1 ; x2 ? 13 21 1 (2) lim ?1 + + L + n ? ; ? ? n →∞ ? 2 2 ? x2 ? 6 x + 8 (4) lim 2 ; x→4 x ? 5 x + 4(6) limx →0(5) lim xx →+∞ 3(x + 2 ? x ? 2 );3 3x2 1 ? 1 + x2;(7) limx →5x?35 ; x? 5n(8) lim41 ? cot 3 3 π x → 2 ? cot x ? cot x (1 ? x )(1 ? 3 x )L (1 ? n x ) ; x →1 (1 ? x) n ?1(9) lim(1 + x)(1 + x 2 )L (1 + x 2 )x →∞( x & 1);(10) lim3 ? ? 1 (11) lim ? ? ?; x →1 ? 1 ? x 1 ? x3 ? log a (1 + x) (13) x →0 x (15) lim(1 + 2 x)x →0 3x2 ? x + 1 (12) x →1 ( x ? 1) 2 a x ?1 (14) x →0 x sin x (16) lim ln . x →0 x解： (1) limn →∞1 + 2 + 3 + L + (n ? 1) n(n ? 1) 1? 1? 1 = lim = lim ?1 ? ? = . 2 2 n →∞ n →∞ 2 ? n 2n n? 2131 1? ? ? ? ? 1 1 (2) lim ? 1 + + L + n ? = lim ? 2 ? = 2. ? ? n →∞ ? 2 2 ? n →∞ 1 ? 1 2 2 2 x ? 2x + 1 ( x ? 1) = lim = lim( x ? 1) = 0. (3) lim x →1 x →1 x →1 x ?1 x ?1 x2 ? 6 x + 8 ( x ? 2)( x ? 4) x?2 2 (4) lim 2 = lim = lim = . x →4 x ? 5 x + 4 x → 4 ( x ? 1)( x ? 4) x→4 x ? 1 3n +1(5) lim x 2 ( x 3 + 2 ? x3 ? 2 ) = lim x →+∞ x →+∞34 x3 x3 + 2 + x3 ? 2= lim4 2 2 1+ 3 + 1? 3 x xx →+∞= 2.x 2 (1 + 1 + x 2 ) (6) lim = lim = ? lim(1 + 1 + x 2 ) = ?2. 2 2 x →0 x →0 x →0 ?x 1? 1+ x x2( 3 x ? 3 5 ) ( 3 x 2 + 3 5 x + 3 25 ) ( x + 5 ) x?35 (7) lim = lim x →5 x ? 5 x →5 ( x ? 5 )( x + 5 ) ( 3 x 2 + 3 5 x + 3 25 )3= lim = lim( x ? 5) ( x + 5 ) x →5 ( x ? 5) 3 2 ( x + 3 5 x + 3 25 ) x+ 5 x + 5 x + 252 3 3 x →5 3=2 5 2 = 6 . 3 3 25 3 5(8) lim41 ? cot 3 x 1 ? cot 3 x = lim 3 3 π π x → 2 ? cot x ? cot x x → (1 ? cot x ) + (1 ? cot x )4= lim πx→ 4(1 ? cot x)(1 + cot x + cot 2 x) (1 ? cot x)(1 + 1 + cot x + cot 2 x) 1 + cot x + cot 2 x 3 = . 2 + cot x + cot 2 x 4= lim πx→ 4n(9) lim(1 + x)(1 + x 2 )L (1 + x 2 )x →∞( x & 1)n(1 ? x)(1 + x)(1 + x 2 )L (1 + x 2 ) = lim x →∞ 1? x 1 ? x2 1 = lim = . x →∞ 1 ? x 1? xn+114(10) lim(1 ? x )(1 ? 3 x )L (1 ? n x ) x →1 (1 ? x)n ?1 (1 ? x) n ?1 (1 ? x) n ?1 (1 + x )(1 + 3 x + 3 x 2 )(1 + 4 x + 4 x 2 + 4 x3 )L (1 + n x + n x 2 + L + n x n ?1 ) 1x →1= lim = limx →1(1 + x )(1 + 3 x + 3 x 2 )(1 + 4 x + 4 x 2 + 4 x3 )L (1 + n x + n x 2 + L + n x n ?1 ) 1 1 = = . 2 × 3 × 4 ×L × n n!1 + x + x2 ? 3 x2 + x ? 2 3 ? ? 1 = lim (11) lim ? ? ? = lim 2 2 x →1 ? 1 ? x 1 ? x 3 ? x →1 (1 ? x)(1 + x + x ) x →1 (1 ? x)(1 + x + x ) ( x ? 1)( x + 2) ?( x + 2) = lim = lim = ?1. 2 x →1 (1 ? x )(1 + x + x ) x →1 1 + x + x 2lim( x ? 1) 2 ( x ? 1) 2 (12) Q lim 2 = x →1 2 =0 x →1 x ? x + 1 lim( x ? x + 1)x →1∴ limx →1x ? x +1 = ∞. ( x ? 1)22(13) Q1 log a (1 + x) = log a (1 + x) x x1而 lim(1 + x ) x = e.x →0而 lim log a u = log a e =u →e1 ln a∴ limx →0log a (1 + x) 1 = . x ln a(14)令 u = a x ? 1, 则 x = log a (1 + u ), 当 x → 0 时， u → 0 .所以 limax ?1 u 1 = lim = = ln a (利用(13)题的结果). x →0 u → 0 log (1 + u ) log a (1 + u ) x a lim u →0 u3 3 ln(1+ 2 x )(15) lim(1 + 2 x) sin x = lim e sin xx →0 x →0= lim e 2 x sin xx →06xln(1+ 2 x )= e x→0 =e(16)令 u =lim 6?x sin x1 ?ln(1+ 2 x ) 2 x=e6? limx ?lim ln (1+ 2 x ) 2 x x →0 sin x x→016×1×ln e=e .6sin x sin x ， 则 lim u = lim =1 x →0 x →0 x x15而 lim ln u = 0u →1所以 lim lnx →0 1 usin x = 0. x27. 利用重要极限 lim(1 + u ) = e ，求下列极限：u →0? 1 ?2 (1) lim ?1 + ? ; x →∞ ? x? (3) lim(1 + 3 tan 2 x)2x? x+3? (2) lim ? ? x →∞ ? x ? 2 ?x →02 x +1;32x →0(4) lim(cos 2 x) (6) lim1(5) lim x[ln(2 + x) ? ln x];x →∞1? x . x →1 ln x11 ?? 1 ? x ? 2 ? ? 1 ? x ? 2 ? 1 ?2 解： (1) lim ?1 + ? = lim ??1 + ? ? = ? lim ?1 + ? ? = e 2 = e. x →∞ ? x →∞ x? ?? x ? ? ? x →∞ ? x ? ?xx+3? (2) lim ? ? ? x →∞ ? x ? 2 ?2 x +15 ? = lim ?1 + ? ? x →∞ ? x?2?2 x +1x ?2 5 ? ? 5 ? 5 ? ? ?1 + 5 ? ? = lim ??1 + ? ? ? x →∞ ? ? ?? x ? 2 ? ? ? x ? 2 ? 1010x?2 5 ? ? 5 ? 5 ? ? ? lim ?1 + 5 ? ? = e10 ?15 = e10 . ? = ? lim ?1 + ?? ? ? ? ? x →∞ ? x ? 2 ? ? ? x →∞ ? x ? 2 ? ? ? ? 3 1 1 2 ? ? (3) lim(1 + 3 tan 2 x)cot x = lim ?(1 + 3 tan 2 x) 3tan 2 x ? = ?lim(1 + 3 tan 2 x) 3tan 2 x ? = e3 . ? ? x →0 x →0 x →0 ? ? ? ?cos 2 x ?133232(4) lim(cos 2 x) x = lim e xx →0 x →0ln cos 2 x3= lim ex →0x21 ? ? ? ? ln ? cos 2 x ?1 ? ?[1+ (cos 2 x ?1)] ? ? ?3(cos 2 x ?1)= lim ex →0x2ln [1+ (cos 2 x ?1) ]1 cos 2 x ?1=e =e =e3 limcos 2 x ?1 x2x →0? lim ln [1+ (cos 2 x ?1) ]x→01 cos 2 x ?13 lim?2sin 2 x x2x →01 ? ? ? ? cos 2 x ?1 ? ?ln ? lim [1+ (cos 2 x ?1) ] ? x→0 ? ? ? 2sin x ? ? ?6?? lim ? ?ln e ? x→0 x ?= e ?6×1 ×1 = e ?6 .2x 2+ x ? 2 ?2 (5) lim x[ln(2 + x) ? ln x] = lim 2 ? ? ln = lim 2 ln ?1 + ? x →∞ x →∞ x →∞ 2 x ? x?x ? ? ? 2 ?2 ? 2 ?2 ? = 2 lim ln ?1 + ? = 2 ? ln ? lim 1 + ? ? x →∞ ? x →∞ ? ? x? ? x? ? ? xx= 2 ln e = 2.(6)令 x = 1 + t ，则当 x → 1 时， t → 0 .16lim1? x t = ? lim =? x →1 ln x t → 0 ln(1 + t )1 lim ln(1 + t )t →0 1 t=?1 ln ?lim(1 + t ) ? ? t →0 ? ? ?1 t=?1 = ?1. ln e28. 利用取对数的方法求下列幂指函数的极限：(1) lim ( e x + x ) ;x →01 x? a x + bx + cx ? x (2) lim ? ? ; x →0 3 ? ?x11 1 (3) lim ? sin + cos ? ; ? ? x →∞ ? x x?解：(1)令 y = (e + x) x ，则 ln y =x 11 (4) lim ?1 + 2 ? . ? ? x →∞ ? x ?1 ln(e x + x) xx于是：x ln e x + ln ?1 + x ? ? ? 1 1 x? ? ? e ? lim ln y = lim ln ( e x + x ) = lim ln e x ?1 + x ? = lim x →0 x →0 x x →0 x x ? e ? x →0? ex 1 1 x ?x x ? ? = lim ?1 + ? x ln ?1 + x ? ? = 1 + lim x ? lim ln ?1 + x ? ? ? x →0 x →0 e x →0 x e ? e ? ? e ?? ? = 1 + 1 ? ln e = 2即 ln lim y = 2 x →0ex()即 lim y = ex →012即 lim ( e x + x ) x = e . x →0211 a x + bx + cx ? a x + bx + cx ? x (2)令 y = ? ，则 ln y = ln ? x 3 3 ? ?于是1 ax + bx + cx lim(ln y ) = lim ln x →0 x →0 x 3 ? x x x x x x 1 ? = lim ln ??1 + a + b + c ? 3 ? a +b + c ?3 ? ? x→0 x ?? ? 3 ? ?? ?3 a x + b x + c x ?3 3a x + bx + cx ? 3 ? a x + b x + c x ? 3 ? a x + b x + c x ?3 = lim ? lim ln ? 1 + ? x→0 x →0 3x 3 ? ?3 1 ? a x ? 1 b x ? 1 c x ? 1 ? ? ? a x + b x + c x ? 3 ? a x + b x + c x ?3 ? = lim ? ? + + ? ? ln ?lim 1 + ? 3 x →0 ? x x x ? ? x →0 ? ? 3 ? ? ? ?31 = (ln a + ln b + ln c) ? ln e = ln 3 abc 317即 lim(ln y ) = ln 3 abc ,x →0即 ln lim y = ln 3 abc , x →0()故 lim y =x →03abc即? ax + bx + cx ? x 3 lim ? ? = abc . x →0 3 ? ?1 1? 1 1? ? ? (3)令 y = ? sin + cos ? ，则 ln y = x ln ? sin + cos ? x x? x x? ? ?于是1 ? ?? ?? ? 1 1 ? ? sin 1 + cos 1 ?1 ? lim ln y = lim x ln ? 1 + sin + cos ? 1 ? ? x x ? x →∞ x →∞ x x ?? ?? ? ? ? ?? ? 1 ? ? 1 ? sin + cos ?1? x x ? x11 1 ? ? ? 1 1 ?? ? = lim x ? sin + cos ? 1? ? ln ?1 + ? sin + cos ? 1? ? x →∞ ? x x ? ? ? x x ??1 1 1 sin + cos ?1 x x1 1? ? 1 ? ? sin x 1 ? cos x ? ? ? ? ? 1 1 ? ? sin 1 + cos 1 ?1 ? = lim ? ? ? ? ln ?lim ?1 + ? sin + cos ? 1? ? x x ? x →∞ 1 1 x x ?? ? ? ? ? x →∞ ? ? ? ? x ? x ?2 ? 1?1? ? 1 sin ? ? ? ? x ? lim 2 ? x ? ? ? ln e = (1 ? 0) ? ln e = 1 = ? lim x →∞ 1 ? ? x →∞ 1 ? ? x x ? ?即 lim ln y = 1x →∞从而 ln lim y = 1 x →∞x()故 lim y = ex →∞即1 1? ? lim ? sin + cos ? = e . x →∞ ? x x?(4)令 y = ? 1 +? ?1 ? 1 ? ? ，则 ln y = x ln ? 1 + 2 ? 2 ? x ? ? x ?x于是：x x2 ?? 1 ? ? 1 ? ? lim(ln y ) = lim x ln ?1 + 2 ? = lim x ln ??1 + ? ? 2 x →∞ x →∞ ? x ? x →∞ ?? x ? ?211 ? 1 1 ? 1 ? ? = lim ln ? 1 + 2 ? = lim ? lim ln ?1 + 2 ? x →∞ x x →∞ x x →∞ ? x ? ? x ? = 0 ? ln e = 0即x2x2lim(ln y ) = 0,x →∞ln lim y = 0 x →∞()18∴ lim y = 1x →∞2 2即 lim ?1 +3? x →∞ ?1 ? ? =1. x2 ?x29. 当 x → 0 时， 2x ? x 与 x ? x 相比，哪个是高阶无穷小量？ 解：Q limx 2 ? x3 x ? x2 = lim =0 x →0 2 x ? x 2 x →0 2 ? x2 3 2∴当 x → 0 时， x ? x 是比 2x ? x 高阶的无穷小量. 30. 当 x → 1 时，无穷小量 1 ? x 与 (1)1 ? x , (2)2解： (1) Q lim1? x 1 1 = lim = 2 x →1 1 ? x x →1 1 + x 221 (1 ? x 2 ) 是否同阶？是否等价？ 2∴当 x → 1 时， 1 ? x 是与 1 ? x 同阶的无穷小.1 (1 ? x 2 ) 1+ x 2 (2) Q lim = lim =1 x →1 x →1 1? x 2 1 2 ∴当 x → 1 时， 1 ? x 是与 (1 ? x ) 等价的无穷小. 2 sin x 31. 利用 lim = 1 或等价无穷小量求下列极限： x →0 x x → 0 sin nx 1 ? cos 2 x (3) x →0 x sin x (1) lim (5) limx→0(2)x →0arctan 3 x1 + x2 ? 1 x (6) lim 2 n →∞ 2x →0(4) limln(1 + e x sin 2 x)(7) lim24 x2 ? 1 ; 1 x → arcsin(1 ? 2 x )(9) limtan x ? x →0 sin x3 x arcsin 1 ? x2 ; (11) lim x→0 ln(1 ? x) x → 0 ln cos bxarctan x 2 ; x→0 x sin arcsin x 2 cos α x ? cos β x (10) x →0 x2 (8) lim (12) lim 1 ? cos 4 x →0 2sin 2 x + x tan 2 x ln(sin 2 x + e x ) ? x . x → 0 ln( x 2 + e 2 x ) ? 2 x(13) lim(14) lim解：(1)因为当 x → 0 时， sin mx ~ mx,sin nx ~ nx,19所以 limsin mx mx m = lim = . x → 0 sin nx x →0 nx nx cos x lim cos x ? cos x = lim = x →0 = 1. x →0 x →0 sin x x →0 sin x sin x lim x →0 x x 2 1 ? cos 2 x 2 sin x sin x = lim = 2 lim = 2. (3) lim x →0 x → 0 x sin x x →0 x sin x x (2) lim x cot x = lim(4)因为当 x → 0 时， ln(1 + e sin x ) ~ e sin x, 1 + x ? 1 ~x 2 x 2 21 2 x ,所以 22limx →0ln(1 + e x sin 2 x) 1 + x2 ? 1e x sin 2 x ? sin x ? = lim = lim 2e x ? lim ? ? = 2. x →0 x →0 x →0 ? 1 2 x ? x 2(5)因为当 x → 0 时， arctan 3 x ~ 3 x, 所以arctan 3 x 3x = lim = 3 . x →0 x x x x sin n sin n x 2 = x lim 2 = x. (6) lim 2n sin n = lim x ? n →∞ n →∞ n →∞ x x 2 2n 2n 1 (7)因为当 x → 时， arcsin(1 ? 2 x ) ~ 1 ? 2 x ,所以 2 limx →0lim24 x2 ? 1 4x2 ?1 (2 x ? 1)(2 x + 1) = lim = lim = ? lim(2 x + 1) = ?2. 1 1 1 1 1 ? 2x x → arcsin(1 ? 2 x ) x→ 1 ? 2 x x→ x→2 2 2 2 2(8)因为当 x → 0 时， arctan x ~ x ,sinx x ~ , arcsin x ~ x, 所以 2 2arctan x 2 x2 lim = lim = 2. x →0 x →0 x x sin arcsin x ?x 2 2(9)因为当 x → 0 时， sin x ~ x,1 ? cos x ~1 2 x ,sin x3 ~ x3 ,所以 21 x ? x2 tan x ? sin x sin x(1 ? cos x) lim = lim = lim 3 2 3 3 x →0 x →0 x → 0 x ? cos x sin x sin x cos x 1 1 = lim = . x → 0 2 cos x 2(10)因为当 x → 0 时， sinα+β2x~α +β2x,sinα ?β2x~α ?β2x ，所以20cos α x ? cos β x lim = lim x →0 x →0 x2 = limx →0?2sinα +β2 x?x sinα ?β2 xx?2 ?α +β2x2α ?β2x2=(11)因为当 x → 0 时， arcsin1 2 ( β ? α 2 ). 2~ x 1 ? x2 x , ln(1 ? x) ~ ? x, 所以x 1 ? x2arcsin limx →0x21 ? x = lim 1 ? x 2 = ? lim 1 = ?1. x →0 x →0 ln(1 ? x) ?x 1 ? x2(12)因为当 x → 0 时， sin x ~ x, sin 2 x ~ 2 x, 所以1 ? cos 4 x 2 sin 2 2 x lim = lim 2 x → 0 2 sin 2 x + x tan 2 x x → 0 sin x (2 + x sec 2 x ) 2 ? (2 x) 2 8 = lim 2 2 x → 0 x (2 + x sec x ) x → 0 2 + x sec 2 x 8 = = 4. lim(2 + x sec 2 x)= limx →0(13)因为 ln cos ax = ln[1 + (cos ax ? 1)], ln cos bx = ln[1 + (cos bx ? 1)], 而当 x → 0 时， cos ax ? 1 → 0, cos bx ? 1 → 0 故ln[1 + (cos ax ? 1)] ~ cos ax ? 1, ln[1 + (cos bx ? 1)] ~ cos bx ? 1,又当 x→0 进， 1 ? cos ax ~1 2 2 1 a x ,1 ? cos bx ~ b 2 x 2 , 所以 2 21 2 2 a x ln cos ax cos ax ? 1 1 ? cos ax a2 2 lim = lim = lim = lim = 2. x → 0 ln cos bx x → 0 cos bx ? 1 x → 0 1 ? cos bx x →0 1 2 2 b b x 2(14)因为当 x → 0 时，sin 2 x x2 → 0, 2 x → 0 ex e故2 2 ? sin 2 x ? sin x ? x2 ? x ln ?1 + x ? ~ ,ln ?1 + 2 x ? ~ 2 x , ex e ? ? ? e ? e所以21? sin 2 x ? ln ?1 + x ? ln(sin x + e ) ? x ln(sin x + e ) ? ln e e ? = lim = lim ? lim x → 0 ln( x 2 + e 2 x ) ? 2 x x → 0 ln( x 2 + e 2 x ) ? ln e 2 x x →0 ? x2 ? ln ?1 + 2 x ? ? e ? 2 sin x 2 2 x sin x ? ? sin x ? ? = lim e 2 = lim e x ? ? = lim e x ? ? lim ? ? x →0 x →0 x →0 x ? x ? ? x →0 x ? e2 x = e0 ?1 = 1.2 x 2 x x32. 求下列函数在指定点处的左、右极限，并说明在该点处函数的极限是否存在？?x ? , x ≠ 0, (1) f ( x) = ? x ?1 x = 0, ? ? x + 2, x ≤ 2 ? (2) f ( x) = ? 1 ?x?2 x & 0 ?解： (1) lim f ( x ) = lim + +x →0 x →0在 x = 0 处;在 x = 2 处.x x = lim+ = 1, x x →0 xx → 0+ x →0x →0lim? f ( x) = lim ?x →0?x x = lim? = ?1 x x →0 x因为lim f ( x) ≠ lim f ( x) ?所以 lim f ( x ) 不存在.x →0(2) lim f ( x ) = lim + +x→2 x→2 x→21 = +∞, x?2x→2x → 2?lim f ( x) = lim? ( x + 2) = 4x→2因为 lim f ( x ) 不存在，所以 lim f ( x ) 不存在. + 33. 研究下列函数的连续性，并画出图形：? x2 , 0 ≤ x ≤ 1, (1) f ( x) = ? ?2 ? x, 1 & x & 2;(3) f ( x) = lim n x ? n? n →∞ n x + n ? x? x, (2) f ( x) = ? ?1,(4) f ( x) = limx ≤ 1, x & 1;1 ? x2n x. n →∞ 1 + x 2 n解：(1)由初等函数的连续性知， f ( x ) 在（0，1）（1，2）内连续， ， 又Q lim f ( x) = lim(2 ? x) = 1, + +x →1 x →1 x →1x →1?lim f ( x) = lim x 2 = 1 ?x →1∴ lim f ( x) = 1, 而 f (1) = 1 ，∴ f ( x) 在 x = 1 处连续，又，由 lim f ( x) = lim x = 0 = f (0) ，知 f ( x ) 在 x = 0 处右连续， + +2 x →0 x →022综上所述，函数 f ( x ) 在[0，2)内连续. 函数图形如下：图 1-2 (2) 由初等函数的连续性知 f ( x ) 在 (?∞, ?1), ( ?1,1), (1, +∞ ) 内连续，又由x →?1?lim f ( x) = lim? 1 = 1,x →?1x →?1+lim f ( x) = lim+ x = ?1,x →?1知 lim? f ( x ) 不存在，于是 f ( x ) 在 x = ?1 处不连续.x →?1又由 lim f ( x ) = lim x = 1, ? ?x →1 x →1 x →1x →1+lim f ( x) = lim1 = 1, +x →1及 f (1) = 1 知 lim f ( x) = f (1) ，从而 f ( x ) 在 x=1 处连续， 综上所述，函数 f ( x ) 在 (?∞, ?1) 及 (?1, +∞) 内连续，在 x = ?1 处间断.函数图形如下：图 1-3n x ? n? x n2 x ? 1 (3)∵当 x&0 时， f ( x) = lim x = lim 2 x = ?1, n →∞ n + n ? x n →∞ n +1当 x=0 时， f ( x) = limn0 ? n0 = 0, n →∞ n 0 + n 0 n ?n n x + n? xx ?x当 x&0 时， f ( x) = limn →∞1 n ?1 n2 x = 1 = lim 2 x = lim n →∞ n + 1 n →∞ 1 + 1 n2 x2x1???1, x & 0, n x ? n? x ? ∴ f ( x) = lim x = ?0, x = 0, n →∞ n + n ? x ?1, x & 0. ?由初等函数的连续性知 f ( x) 在 (?∞, 0), (0, +∞ ) 内连续，23又由x → 0+lim f ( x) = lim 1 = 1, +x →0x →0?lim f ( x) = lim (?1) = ?1 ?x →0知 lim f ( x ) 不存在，从而 f ( x ) 在 x = 0 处间断.综上所述，函数 f ( x ) 在 (?∞, 0), (0, +∞ ) 内x →0连续，在 x = 0 处间断.图形如下：图 1-4 (4)当|x|=1 时， f ( x) = lim1 ? x2n x = 0, n →∞ 1 + x 2 n当|x|&1 时， f ( x) = lim1 ? x2n x = x, n →∞ 1 + x 2 n1 ? x2n n →∞ 1 + x 2 n ? 1 ? ?1 ? 2? x = lim ? x ?n ? x = ?x n →∞ ? 1 ? +1 ? 2? ?x ? x & 1, x = 1, x & 1.n当|x|&1 时， f ( x ) = lim即? x, ? f ( x) = ?0, ? ? x, ?由初等函数的连续性知 f ( x ) 在(－∞,－1),(－1,1),(1,+∞)内均连续，又由x →?1?lim f ( x) = lim? (? x) = 1,x →?1x →?1+lim f ( x) = lim+ x = ?1x →?1知 lim f ( x ) 不存在，从而 f ( x ) 在 x = ?1 处不连续.x →?1又由x →1+lim f ( x) = lim(? x) = ?1, +x →1x →1?lim f ( x) = lim x = 1 ?x →1知 lim f ( x ) 不存在，从而 f ( x ) 在 x = 1 处不连续.x →1综上所述， f ( x ) 在(－∞,－1),(－1,1),(1,+∞)内连续，在 x = ±1 处间断. 图形如下：24图 1-5 34. 下列函数在指定点处间断，说明它们属于哪一类间断点，如果是可去间断点，则补充或 改变函数的定义，使它连续：x2 ? 1 , x = 1, x = 2; x 2 ? 3x + 2 π x (2) y = , x = kπ, x = kπ + , k = 0, ±1, ±2, L; tan x 2 1 (3) y = cos 2 , x = 0; x (1) y =? x ? 1, x ≤ 1, (4) y = ? ?3 ? x, x & 1,解： (1) Q limx →1x = 1.x2 ?1 ( x ? 1)( x + 1) = lim = ?2 2 x ? 3x + 2 x →1 ( x ? 1)( x ? 2)limx→2x2 ? 1 =∞ x2 ? 3x + 2∴ x = 1 是函数的可去间断点.因为函数在 x=1 处无定义，若补充定义 f (1) = ?2 ，则函数在 x=1 处连续；x=2 是无穷间断点.(2) Q limx →0x = 1, tan xπ x → kπ + 2limx =0 tan xx =∞. x → kπ tan x π π ∴ x = 0, x = kπ + , k = 0, ±1, ±2, L 为可去间断点，分别补充定义 f(0)=1, f (kπ + ) = 0 ， 2 2 π 可使函数在 x=0,及 x = + kπ 处连续.( k = 0, ±1, ±2, L ); 2当 k ≠ 0 时， limx = kπ, k ≠ 0, k = ±1, ±2, L 为无穷间断点(3)∵当 x → 0 时， cos1 呈振荡无极限， x2∴x=0 是函数的振荡间断点.(第二类间断点).25(4)Q lim y = lim(3 ? x ) = 2. + +x →1 x →1 x →1?lim y = lim( x ? 1) = 0 ?x →1∴x=1 是函数的跳跃间断点.(第一类间断点.) 35. 当 x=0 时，下列函数无定义，试定义 f (0) 的值，使其在 x=0 处连续:(1) f ( x) =1+ x ?1 ; 3 1+ x ?1(2) f ( x) =tan 2 x11 (3) f ( x) = x解： (1) Q lim f ( x) = limx →0 x →0(4) f ( x) = (1 + x) x .3 (1 + x) 2 + 3 1 + x + 1 3 1 + x ?1 = lim = 3 2 1 + x ? 1 x →0 1+ x +13 , 可使函数在 x=0 处连续. 2 tan 2 x 2x (2) Q lim f ( x) = lim = lim = 2. x →0 x →0 x →0 x x∴补充定义 f (0) = ∴补充定义 f (0) = 2, 可使函数在 x=0 处连续.(3) Q lim sin x sinx→01 =0 x∴补充定义 f (0) = 0, 可使函数在 x=0 处连续.(4) Q lim f ( x) = lim(1 + x) x = ex →0 x →01∴补充定义 f (0) = e, 可使函数在 x=0 处连续. 36. 怎样选取 a, b 的值，使 f(x)在(－∞,+∞)上连续？?e , x & 0, (1) f ( x) = ? ?a + x, x ≥ 0;xπ ? x& , ?ax + 1, ? 2 (2) f ( x) = ? π ?sin x + b, x ≥ . ? ? 2x →0 x →0解：(1)Q f ( x) 在 (?∞, 0), (0, +∞ ) 上显然连续，而 lim f ( x) = lim ( a + x) = a, + +x → 0?lim f ( x) = lim? e x = 1,x →0且 f (0) = a ,∴当 f ? (0) = f + (0) = f (0) ，即 a = 1 时， f ( x ) 在 x = 0 处连续，所以，当 a = 1 时， f ( x ) 在(?∞, +∞ ) 上连续.26(2)Q f ( x ) 在 (?∞, ), ( , +∞ ) 内显然连续.而π 2 π 2π 2π 2 lim+ f ( x) = lim+ (sin x + b) = 1 + b,x→ x→x→lim? f ( x) = lim? (ax + 1) =π 2 x→ π 2π a + 1, 2π f ( ) = 1 + b, 2 π π π ∴当 1 + b = a + 1 ，即 b = a 时， f ( x ) 在 x = 处连续，因而 f ( x ) 在 ( ?∞, +∞ ) 上连续. 2 2 237. 试证：方程 x ? 2 = 1 至少有一个小于 1 的正根.x证： f ( x) = x ? 2 x ? 1 ， f ( x) 在[0,1]上连续， f (0) = ?1 & 0, f (1) = 1 & 0 ,由零点定理， 令 则 且?ξ ∈ (0,1) 使 f (ξ ) = 0 即 ξ ? 2ξ ? 1 = 0即方程 x ? 2 = 1 有一个小于 1 的正根.x38. 试证：方程 x = a sin x + b 至少有一个不超过 a + b 的正根，其中 a & 0, b & 0 . 证：令 f ( x ) = x ? a sin x ? b ，则 f ( x ) 在 [0, a + b] 上连续， 且f (0) = ?b & 0, f (a + b) = a (1 ? sin x) ≥ 0 ,若 f ( a + b) = 0 ，则 a + b 就是方程 x = a sin x + b 的根. 若 f ( a + b) & 0 ，则由零点定理得.?ξ ∈ (0, a + b) , 使 f (ξ ) = 0 即 ξ ? a sin ξ ? b = 0 即 ξ = a sin ξ + b ， 即 ξ 是 方 程 x = a sin x + b 的根，综上所述，方程 x = a sin x + b 至少有一个不超过 a + b 的正根.39. 设 f ( x ) 在 [0, 2a ] 上连续，且 f (0) = f (2a ) ,证明：方程 f ( x ) = f ( x + a ) 在[0，a]内至 少有一根. 证：令 F ( x ) = f ( x ) ? f ( x + a ) ,由 f ( x ) 在 [0, 2a ] 上连续知， F ( x ) 在 [0, a ] 上连续，且F (0) = f (0) ? f (a ), F (a ) = f (a ) ? f (2a ) = f (a ) ? f (0)若 f (0) = f ( a ) = f (2a ), 则 x = 0, x = a 都是方程 f ( x ) = f ( x + a ) 的根， 若 f (0) ≠ f ( a ) ，则 F (0) F ( a ) & 0 ，由零点定理知，至少 ?ξ ∈ (0, a ) ,使 F (ξ ) = 0 ,27即 f (ξ ) = f (ξ + a ) ，即 ξ 是方程 f ( x ) = f ( x + a ) 的根， 综上所述，方程 f ( x ) = f ( x + a ) 在 [0, a ] 内至少有一根. 40.设 f ( x ) 在 [0,1] 上连续，且 0 ≤ f ( x ) ≤ 1 ，证明：至少存在一点 ξ ∈ [0,1] ，使 f (ξ ) = ξ . 证：令 F ( x ) = f ( x ) ? x ,则 F ( x ) 在 [0,1] 上连续，且 F (0) = f (0) ≥ 0, F (1) = f (1) ? 1 ≤ 0, 若 f (0) = 0 ，则 ξ = 0, 若 f (1) = 1 ,则 ξ = 1 ,若 f (0) & 0, f (1) & 1 ,则 F (0) ? F (1) & 0 ,由零点 定理，至少存在一点 ξ ∈ (0,1) ,使 F (ξ ) = 0 即 f (ξ ) = ξ . 综上所述，至少存在一点 ξ ∈ [0,1] ，使 f (ξ ) = ξ . 41. 若 f ( x ) 在 [ a, b] 上连续， a & x1 & x2 & L & xn & b ,证明:在 [ x1 , xn ] 中必有 ξ ，使f (ξ ) =f ( x1 ) + f ( x2 ) + L + f ( xn ) . n证: 由题设知 f ( x ) 在 [ x1 , xn ] 上连续，则 f ( x ) 在 [ x1 , xn ] 上有最大值 M 和最小值 m，于是m≤f ( x1 ) + f ( x2 ) + L + f ( xn ) ≤M , n由介值定理知，必有 ξ ∈ [ x1 , xn ] ，使f (ξ ) =f ( x1 ) + f ( x2 ) + L + f ( xn ) . n习题二1． 设 s =1 2 ds gt ，求 . 2 dt t = 2解：ds ds = gt ，故 = 2g . dt dt t = 2 1 ，求 f ′( x0 ) x02．(1) 设 f ( x ) =( x0 ≠ 0);解： f ′( x0 ) = f ′( x ) x = x = ?1 . x02(2) 设 f ( x ) = x ( x ? 1)( x ? 2) ?L ? ( x ? n), 求 f ′(0).28f ′(0) = lim解：f ( x) ? f (0) = lim( x ? 1)( x ? 2) ?L ? ( x ? n) x →0 x →0 x?0 n = (?1) n !3．下列各题中均假定 f ′( x0 ) 存在，按照导数定义观察下列极限，指出 A 表示什么.f ( x0 ? ?x) ? f ( x0 ) = A; ?x f ( x0 ? ?x) ? f ( x0 ) f ( x0 ? ?x) ? f ( x0 ) 解：Q lim = ? lim = ? f ′( x0 ) ?x →0 ?x → 0 ?x ??x(1) lim?x → 0故 A = ? f ′( x0 ) (2) f ( x0 ) = 0, limx → x0f ( x) = A; x0 ? x解： limx → x0f ( x) f ( x) = ? lim = ? f ′( x0 ) x → x0 x ? x x0 ? x 0故 A = ? f ′( x0 ) (3) limh →0f ( x0 + h) ? f ( x0 ? h) = A. h解：limh →0f ( x0 + h) ? f ( x0 ? h) ? f ( x0 + h) ? f ( x0 ) f ( x0 ? h) ? f ( x0 ) ? = lim ? ? ? h →0 h h h ? ? f ( x0 + h) ? f ( x0 ) f ( x0 ? h) ? f ( x0 ) = lim + lim h →0 h →0 h ?h = f ′( x0 ) + f ′( x0 ) = 2 f ′( x0 )故 A = 2 f ′( x0 ). 4．讨论函数 y =x →03 3x 在 x = 0 点处的连续性和可导性.解： lim 3 x = 0 = f (0) ,故函数在 x = 0 处连续.2 ? x ?0 = lim x 3 = ∞ ,故函数在 x = 0 处不可导. x →0 x?0又 limx →05．设函数 f ( x) = ?? x2 , ?ax + b,x ≤ 1, x & 1.为了使函数 f ( x ) 在 x = 1 点处连续且可导， a, b 应取什么值？ 解：因 lim f ( x) = lim x = 1 = f (1) ? ?2 x →1 x →129x →1+lim f ( x) = lim(ax + b) = a + b +x →1要使 f ( x ) 在 x = 1 处连续，则有 a + b = 1, 又 f ?′(1) = lim ?x →1f ( x) ? f (1) x2 ? 1 = lim = 2, x →1? x ? 1 x ?1f +′(1) = lim +x →1ax + b ? 1 ax ? a = lim = a, x →1+ x ? 1 x ?1要使 f ( x ) 在 x = 1 处可导，则必须 f ?′(1) = f +′(1) ， 即 a = 2. 故当 a = 2, b = ?1 时， f ( x ) 在 x = 1 处连续且可导. 6. 讨论下列函数在指定点的连续性与可导性: (1) y = sin x , x = 0; 解：因为 lim y = 0 = y x =0, 所以此函数在 x = 0 处连续.x →0又 f ?′(0) = lim ?x →0f ( x) ? f (0) ? sin x = lim? = ?1, x →0 x?0 x f ( x) ? f (0) sin x f +′(0) = lim = lim = 1, + + x →0 x →0 x?0 xf ?′(0) ≠ f +′(0) ，故此函数在 x = 0 处不可导.1 ? 2 ? x sin , (2) y = ? x ?0, ?解：因为 lim x sinx →0x ≠ 0, x = 0,x = 0;1 = 0 = y (0), 故函数在 x = 0 处连续. x 1 x 2 sin f ( x) ? f (0) x =0, 又 y′(0) = lim = lim x →0 x →0 x?0 x 故函数在 x = 0 处可导.2(3) y = ? 解：因为x ≤ 1, ? x, x = 1. ?2 ? x, x & 1,x →1+ x →1?lim f ( x) = lim(2 ? x) = 1 +x →1lim f ( x) = lim x = 1 ?x →1x →1+lim f ( x) = lim f ( x) = f (1) = 1 ,故函数在 x=1 处连续. ?x →130又 f ?′ (1) = lim ?f ( x) ? f (1) x ?1 = lim =1 ? x →1 x →1 x ? 1 x ?1 f ( x) ? f (1) 2 ? x ?1 f +′ (1) = lim = lim = ?1 + + x →1 x →1 x ?1 x ?1f ?′ (1) ≠ f +′ (1) ，故函数在 x=1 处不可导.7. 如果 f ( x ) 为偶函数，且 f ′(0) 存在，证明： f ′(0) = 0. 证明：f ′(0) = limf (?x) ? f (0) f (??x) ? f (0) = lim ?x → 0 ?x → 0 ?x ?x f (??x) ? f (0) = ? lim = ? f ′(0), ?x → 0 ??x故 f ′(0) = 0. 8．求下列函数在 x0 处的左、右导数，从而证明函数在 x0 处不可导. (1) y = ??sin x, 3 ?x ,x →0x ≥ 0, x & 0,x0 = 0;证明： f +′(0) = lim +f ( x) ? f (0) sin x = lim = 1, + x →0 x?0 x f ( x) ? f (0) x3 = lim = 0, x → 0? x x?0f ?′(0) = lim?x →0因 f +′(0) ≠ f ?′(0) ，故函数在 x0 = 0 处不可导.? x ? 1 , (2) y = ?1 + e x ?0, ?证明： f +′(0) = lim +x →0x ≠ 0, x = 0,x0 = 0;f ( x) ? f (0) 1 = lim 1 = 0, + x →0 1 + e x x?0 f ( x) ? f (0) 1 = lim 1 = 1, x → 0? 1 + e x x?0f ?′(0) = lim?x →0因 f +′(0) ≠ f ?′(0) ，故函数在 x0 = 0 处不可导. (3) y = ?? ? x, 2 ?x , ?x ≥ 1, x & 1,x0 = 1.31证明： f +′(1) = lim +x →1f ( x) ? f (1) x ?1 1 = lim = , + x →1 x ?1 x ?1 2f ?′(1) = lim ?x →1f ( x) ? f (1) x2 ? 1 = lim = 2, x →1? x ? 1 x ?1因 f +′(1) ≠ f ?′(1) ，故函数在 x0 = 1 处不可导. 9．求下列函数的导数: (1) y = 解： y ′ =x;1 2 x 1;(2) y =3x22 ?5 解： y ′ = ? x 3 3(3) y =x2 ? 3 x2 x52 5 2+ ? 3 2;1解： y = x= x6y′ =1 ?5 x 6. 6 ?sin x, ? x,x & 0, x ≥ 0,求 f ′( x ) .10．已知 f ( x ) = ?解：当 x & 0 时， f ′( x ) = cos x, 当 x & 0 时， f ′( x ) = 1, 当 x = 0 时， f ?′(0) = lim ?x →0sin x ? 0 = 1, x?0f +′(0) = lim +x→0x?0 = 1, x?0故 f ′(0) = 1. 综上所述知 f ′( x ) = ??cos x, ?1,x & 0, x ≥ 0.11. 设 f ( x) = x ? a ? ( x) ,其中 a 为常数， ? ( x ) 为连续函数，讨论 f ( x ) 在 x = a 处的可导32性. 解：f ( x ) ? f (a ) ( x ? a )? ( x) = lim+ = ? (a) x →a x →a x?a x?a . ′ (a ) = lim f ( x) ? f (a ) = lim (a ? x)? ( x) = ?? (a ) f? x → a? x →a ? x?a x?a f +′ (a ) = lim+故当 ? ( a ) = 0 时， f ( x ) 在 x = a 处可导，且 f ′( a ) = 0 当 ? ( a ) ≠ 0 时， f ( x ) 在 x = a 处不可导. 12. 已知 f ( x) = max{x 2 , 3} ，求 f ′( x) . 解： f ( x) = ? 当 x & 当 x &?3, ?2 ?x , ?x≤ 3 x & 33 时， f ′( x) = 0 , 3 时， f ′( x) = 2 x ,x2 ? 3 = lim ? ( x ? 3) = ?2 3 x →? 3 x + 3 x →? 3 3?3 f +′ (? 3) = lim + = 0, x →? 3 x + 3 f ?′ (? 3) = lim ?故 f ′( ? 3) 不存在.又3?3 = 0, x→ 3 x ? 3 2 ′ ( 3) = lim x ? 3 = lim ( x + 3) = 2 3, f+ + + x→ 3 x ? 3 x→ 3 f ?′ ( 3) = lim?故 f ′( 3) 不存在. 综上所述知?0, ? f ′( x) = ? ? 2 x, ?x& 3 x & 3.1 x+ 1 13. 若 f ( ) = e x ，求 f ′( x ) . x解：令1 = t ，则 x33f (t ) = e t ,即 f ( x) = e xf ′( x) = e x (1 ?1 +x1+t1+x1 ) x2214. 试求过点(3，8)且与曲线 y = x 相切的直线方程. 解： 曲线上任意一点 ( x, y ) 处的切线斜率为 k = 2 x .因此过(3， 8)且与曲线相切的直线方程为：? y ? 8 = 2 x( x ? 3) y ? 8 = 2 x( x ? 3) ，且与曲线的交点可由方程组解得 ? 2 ?y = x为(2，4)，(4，16)即为切点. 故切线方程为： y ? 4 = 4( x ? 2),y ? 16 = 8( x ? 4).215. 证明：双曲线 xy = a 2 上任一点处的切线与两坐标轴构成的三角形的面积都等于 2a . 证明：在双曲线上任取一点 M ( x0 , y0 ), 则y=a2 a2 , y ′ = ? 2 , y′ x xx =0=?a2 ， 2 x0则过 M 点的切线方程为： y ? y0 = ?a2 ( x ? x0 ) 2 x0令y =0? x=2 x0 y0 x a2 + x0 = 0 2 + x0 = 2 x0 a2 a得切线与 x 轴的交点为 (2 x0 , 0) ， 令x=0? y =x y a2 + y0 = 0 0 + y0 = 2 y0 x0 x0得切线与 y 轴的交点为 (0, 2 y0 ) ， 故S =1 2 x0 2 y0 = 2 x0 y0 = 2a 2 . 216. 已知 f ( x ) 在 x = x0 点可导，证明：limh →0f ( x0 + α h) ? f ( x0 ? β h) = (α + β ) f ′( x0 ) . h f ( x0 + α h) ? f ( x0 ? β h) h34证明：limh →0= α limh →0f ( x0 + ah) ? f ( x0 ) f ( x0 ? β h) ? f ( x0 ) + β lim h→0 αh ?β h= α f ′( x0 ) + β f ′( x0 ) = (α + β ) f ′( x0 ).17. 垂直向上抛一物体，其上升高度与时间 t 的关系式为： h(t ) = 10t ? ⑴ 物体从 t=1(s)到 t=1.2(s)的平均速度：1 2 gt (m), 求： 2h(1.2) ? h(1) 解： v = = 1.2 ? 1⑵ 速度函数 v(t)；12 ?1 1 g × 1.44 ? 10 + g 2 2 = ?0.78 (m ? s ?1 ) 0.2解： v(t ) = h′(t ) = 10 ? gt . ⑶ 物体何时到达最高. 解：令 h′(t ) = 10 ? gt = 0 ,得 t =10 (s) , g即物体到达最高点的时刻为 t =10 s. g18. 设物体绕定轴旋转，在时间间隔[0,t]内，转过角度 θ ，从而转角 θ 是 t 的函数：θ = θ (t ) . 如果旋转是匀速的，那么称 ω = 定该物体在时刻 t0 的角速度？ 解：设此角速度值为 ω ,则θ为该物体旋转的角速度.如果旋转是非匀速的，应怎样确tω = limθ (t0 + ?t ) ? θ (t0 )?t?t → 0= θ ′(t0 ) .°19. 设 Q = Q (T ) 表示重 1 单位的金属从 0 C 加热到 T °C 所吸收的热量，当金属从 T °C 升 温 到 (T + ?T )°C 时 ， 所 需 热 量 为 ?Q = Q (T + ?T ) ? Q (T ), ?Q 与 ?T 之 比 称 为 T 到T + ?T 的平均比热，试解答如下问题：⑴ 如何定义在 T C 时，金属的比热；°解：ν = lim ⑵?T → 0Q (T + ?T ) ? Q (T ) = Q′(T ) ?T当 Q (T ) = aT + bT 2 (其中 a, b 均为常数)时，求比热.解：ν = Q′(T ) = a + 2bT .3520. 求下列函数在给定点处的导数： ⑴1 dy y = x sin x + cos x, 求 2 dx；x= π 4解： y′ = sin x + x cos x ?1 1 sin x = sin x + x cos x 2 21 π π π 2 π y′ x = π = sin + cos = (1 + ) 2 4 4 4 4 2 43 x2 f ( x) = + , 求 f ′(0) 和 f ′(2) ； 5? x 53 2 + x 2 (5 ? x) 5 3 25 f ′(2) = 17 15⑵解： f ′( x ) =f ′(0) =⑶?5 x ? 4, x ≤ 1, f ( x) = ? 2 求 f ′(1) . 4 x ? 3x, x & 1, ?f ( x) ? f (1) 4 x 2 ? 3x ? 1 = lim =5 x →1+ x ?1 x ?1 f ( x) ? f (1) 5x ? 4 ?1 = lim =5 ? x →1 x ?1 x ?1解： f +′ (1) = lim +x →1f ?′ (1) = lim ?x →1故 f ′(1) = 5. 21. 求下列函数的导数：π S = 3ln t + 7 3 解： S ′ = t⑴ ⑵y = 1 2 x ln x + x ? 1 1 = (ln x + 2) x 2 x解： y′ =⑶ y = (1 ? x 2 ) ? sin x ? (1 ? sin x) ; 解：y = ?2 x sin x(1 ? sin x) + (1 ? x 2 ) cos x(1 ? sin x) + (1 ? x 2 ) sin x(? cos x) = 2 x sin 2 x ? 2 x sin x + cos x ? x 2 cos x ? sin 2 x + x 2 sin 2 x36⑷ y=1 ? 1 ? cos x解： y′ =? cos x(1 ? cos x) ? (1 ? sin x) sin x 1 ? sin x ? cos x = (1 ? cos x)2 (1 ? cos x) 2⑸y = tan x + e π ;2 解： y′ = sec xsec x ? 3 x x sec x tan x ? sec x 解： y′ = ? 3sec x tan x x2⑹y=⑺y = ln x ? 2 lg x + 3log 2 1 1 1 1 2 3 ?2 + 3? = (1 ? + ) x ln10 ? x ln 2 ? x x ln10 1n 2 1 y= . 1 + x + x2 ?(1 + 2 x) (1 + x + x 2 ) 2解： y′ = ⑻解： y′ =22. 设 p ( x) = f1 ( x) f 2 ( x) L f n ( x) ≠ 0 ，且所有的函数都可导，证明：f ′ ( x) P′ ( x) f1′ ( x) f 2′ ( x) = + +L+ n P ( x) f1 ( x) f 2 ( x) f n ( x)证明：P′ ( x) 1 = [ f1′ ( x) f 2 ( x) L f n ( x) + f1 ( x) f 2′ ( x) L f n ( x) + L + f1 ( x) f 2 ( x) L f n′ ( x)] P ( x) P ( x ) = f ′ ( x) f1′ ( x) f 2′ ( x) + +L+ n . f1 ( x) f 2 ( x) f n ( x)23. 求下列函数的导数： ⑴ y = e3 ⑶ y=e2 2x +1⑵ y = arctan x 2 ; ; ⑷ y = (1 + x 2 ) ? ln( x + 1 + x 2 ) ; ⑹1 ； x2 1 ⑺ y = arccos ； x⑸ y = x ? sin2 ⑼ y = 1 +y = cos 2 ax3 （a 为常数） ； x y = (arcsin )2 ； 2⑻⑽ y = sin n x ? cos nx ；37⑾ y=1+ x ? 1? 1+ x + 1? x⑿ y = arcsin1? x ； 1+ x⒀y = ln cos arctan(sinh x) ； y= x 2 a2 x a ? x 2 + arcsin (a & 0 为常数）. 2 2 a3x⒁解：⑴ y′ = 3 ⑵ y′ =2 1 + x42x +1⑶ y′ = e?1 1 ?2 = e 2 2x +1 2x +12 22x +1;⑷ y′ = 2 x ? ln( x + 1 + x ) + (1 + x ) ?1 x + 1 + x2? (1 +2x 2 1 + x2)= 2 x ln( x + 1 + x 2 ) + 1 + x 2 ;⑸ y′ = 2 x sin1 1 2 + x 2 cos 2 ? (? 3 ) 2 x x x 1 2 1 = 2 x sin 2 ? cos 2 ； x x x⑹y′ = 2 cos ax3 ? (? sin ax3 ) ? 3ax 2 = ?3ax 2 sin 2ax3 ；⑺y′ =1 1 ? 1 ? ( )2 x? (?x 1 )= ； x2 x2 x2 ? 1⑻x y′ = 2 arcsin ? 21 x 1 ? ( )2 2?1 = 22 arcsin4 ? x2x 2；⑼ y′ =1 2 1 + ln 2 x? 2 ln x ?1 ln x = ; x x 1 + ln 2 x⑽ y′ = n sin n ?1 x ? cos x cos nx + sin n x( ? sin nx ) ? n = n sin n ?1 x ? cos( n + 1) x ； ⑾381 1 1 ?1 + )( 1 + x + 1 ? x ) ? ( 1 + x ? 1 ? x )( + ) 2 1+ x 2 1? x 2 1+ x 2 1? x y′ = ( 1 + x + 1 ? x )2 1 ; = 1 ? x2 + 1 ? x2 (⑿ y′ =1 1 ?(1 + x) ? (1 ? x) 1 ; ? ? =? 2 (1 + x) 1? x 1? x (1 + x) 2 x(1 ? x) 1? 2 1+ x 1+ x⒀ y′ =1 1 ? [? sin arctan(sinh x)] ? ? cosh x = ? tanh x ； cos arctan(sinh x) 1 + (sinh x)2 1 2 x 1 a2 1 1 ? ( ?2 x ) + ? = a2 ? x2 . a ? x2 + ? 2 2 2 2 2 a ?x 2 a x 1 ? ( )2 a⒁y′ =24.y = arccosx ?3 6? x ?2 , 求 y′ 3 xx =3.解： y′ = ?1 1 1 ? x ? (6 ? x) ? ?2 ? x2 x?3 2 3 6? x 1? ( ) 2 3 x= 1 3 1 x dy dxx =2y′ π 3x =325. 若 f ′( ) = 1, y = f (arccos ) ，求 解：.dy 1 = f ′(arccos )(? dx x dy dx1 1 1 ? ( )2 x) ? (?1 ) x2x =2π 4 1 1 2 1 = f ′( ) ? = ? = . 3 3 4 4 3 2 326. 试求曲线 y = e ? x ? 3 x + 1 在点（0，1）及点（－1，0）处的切线方程和法线方程.2 ? 1 解： y′ = ?e ? x + 1 + e ? ( x + 1) 3 3?x3?xy′x =02 =? . 3y′x =?1=∞故在点（0，1）处的切线方程为：392 y ? 1 = ? ( x ? 0) ，即 2 x + 3 y ? 3 = 0 3 2 法线方程为： y ? 1 = ( x ? 0) ，即 3 x ? 2 y + 2 = 0 3 在点（－1，0）处的切线方程为： x = ?1法线方程为： y = 0 27. 设 f ( x ) 可导，求下列函数 y 的导数dy ： dx⑴y = f ( x2 )解： y′ = 2 xf ′( x 2 ) ⑵y = f (sin 2 x) + f (cos 2 x)2 2解： y′ = 2sin x cos xf ′(sin x) + 2 cos x( ? sin x) f ′(cos x)= sin 2 x[ f ′(sin 2 x) ? f ′(cos 2 x)]28. 求函数 y = 解：1 1+ x ln 的反函数 x = ? ( y ) 的导数. 2 1? x1 y = [ln(1 + x) ? ln(1 ? x)] 2 dy 1 1 1 1 )= = ( + dx 2 1 + x 1 ? x 1 ? x 2故反函数的导数为：dx 1 = = 1 ? x2 . dy dy dx29. 已知 y = f ( x) 的导数 f ′( x ) =2x +1 ，且 f ( ?1) = 1 ，求 y = f ( x) 的反函数 (1 + x + x 2 ) 2x = ? ( y ) 的导数 ? ′(1) .解：Q y = 1 时 x = ?1, 故 ? ′( y ) =1 (1 + x + x 2 ) 2 = , f ′( x) 2x +1 [1 + (?1) + (?1) 2 ]2 = ?1 . 2 × (?1) + 1从而 ? ′(1) =4030. 求下列参数方程所确定的函数的导数dy ： dx⑴? x = a cos bt + b sin at , ? ? y = a sin bt ? b cos at ,(a,b 为常数)解：dy d y dt ab cos bt + ab sin at = = dx d x ? ab sin bt + ab cos at dt cos bt + sin at = cos at ? sin bt⑵? x = θ (1 ? sin θ ), ? ? y = θ cos θ .解：dy d y dθ cos θ ? θ sin θ cos θ ? θ sin θ = = = d x 1 ? sin θ + θ (? cos θ ) 1 ? sin θ ? θ cos θ dx dθ31. 已知 ?? x = et sin t , π dy ? 求当 t = 时 的值. t 3 dx ? y = e cos t , ?解：dy d y dt et cos t ? et sin t cos t ? sin t = = = dx d x et sin t + et cos t sin t + cos t dt π π cos ? sin dy 3 3 = 3?2. π = t= π dx 3 sin + cos π 3 332. 求下列隐函数的导数： ⑴x3 + y 3 ? 3axy = 0 ；xe y ? ye x = 10 ； xy = e x + y⑵x = y ln( xy ) ； ln( x 2 + y 2 ) = 2 arctan y ； x⑶⑷⑸解：⑴ 两边求导，得：3 x 2 + 3 y 2 ? y′ ? 3ay ? 3axy′ = 0解得y′ =ay ? x 2 . y 2 ? ax41⑵两边求导，得：1 = y′ ln( xy ) + y ?1 ( y + xy′) xy解得y′ =x? y . x(ln x + ln y + 1)⑶两边求导，得：e y + xe y ? y′ + y′e x + ye x = 0 y ′= ? e y + ye x . xe y + e x解得⑷两边求导，得：1 1 y′x ? y ? (2 x + 2 yy′) = 2 ? ? 2 y x +y x2 1 + ( )2 x2解得y ′=x+ y . x? y⑸两边求导，得：y + xy′ = e x + y (1 + y′) y ′= e x+ y ? y . x ? e x+ y解得33. 用对数求导法求下列函数的导数：⑴y=x + 2 ? (3 ? x)4 ; ( x + 1)51 2解： y′ = y ? (ln y )′ = y ? [ ln( x + 2) + 4 ln(3 ? x ) ? 5ln( x + 1)]′= y = (sin x)x + 2 ? (3 ? x) 4 1 4 5 [ ? ? ] 5 ( x + 1) 2( x + 2) 3 ? x x + 1⑵ 解：y′ = y (ln y )′ = y ? (cos x ln sin x)′ = y[(? sin x) ln sin x + cos x ? = (sin x)cos x1 ? cos x] sin xcos 2 x ( ? sin x ln sin x) sin x42⑶y=e 2 x ( x + 3) . ( x + 5)( x ? 4)解：1 1 y′ = y (ln y )′ = y[2 x + ln( x + 3) ? ln( x + 5) ? ln( x ? 4)]′ 2 2 2x e ( x + 3) 1 1 1 [2 + ]. = ? ? x + 3 2( x + 5) 2( x ? 4) ( x + 5)( x ? 4)34. 求自由落体运动 s (t ) = 解： s′(t ) = gt1 2 gt 的加速度. 2s′′(t ) = [ s′(t )]′ = g 即为加速度.35. 求 n 次多项式 y = a0 x + a1 xn n ?1+ L + an ?1 x + an 的 n 阶导数.解： y(n )= (a0 x n )( n ) + (a1 x n ?1 )( n ) + L + (an ?1 x)( n ) + (an )( n ) =a0 ( x n )( n ) =a0 ? n !36. 设 f ( x ) = ln(1 + x) ，求 f ( n ) ( x). 解：Q (ln x)(n)= (?1)n ?1 ?(n ? 1)! xn (n ? 1)! . (1 + x)n∴ f ( n ) ( x) = [ln(1 + x)]( n ) = (?1) n ?1 ?37. 验证函数 y = e x sin x 满足关系式 y′′ ? 2 y′ + 2 y = 0 证明： y′ = e x (sin x + cos x)y′′ = e x (sin x + cos x) + e x (cos x ? sin x) = 2 cos x ? e x故 y′′ ? 2 y′ + 2 y = 2 cos x ? e x ? e x (2 sin x + 2 cos x) + 2e x sin x = 0 38. 求下列函数的高阶导数： ⑴y = e x ? sin x, 求 y (4) ； y = x 2 ? sin x, 求 y (80) .⑵y = x 2 ? e2 x , 求 y (6) ；⑶解：⑴ y′ = e x ? sin x + e x ? cos x = e x (sin x + cos x)43y′′ = e x (sin x + cos x) + e x (cos x ? sin x) = 2 cos x ? e x y′′′ = 2e x (cos x ? sin x) y (4) = 2e x (cos x ? sin x) + 2e x (? sin x ? cos x)= ? 4e x sin x⑵i y (6) = ∑ C6 (e 2 x )(6 ?i ) ( x 2 )i i =0 6= x 2 (e2 x )(6) + 6( x 2 )′(e 2 x )(5) + 15( x 2 )′′(e 2 x )(4) = 26 x 2 e2 x + 6 ? 2 x ? 25 e 2 x + 15 ? 2 ? 2 4 e2 x = 32e 2 x (2 x 2 + 12 x + 15)⑶i y (80) = ∑ C80 ( x 2 )(i ) (sin x)(80 ?i ) i =0 80= x 2 (sin x)(80) + 80 ? 2 x ? (sin x)(79) + 3160 ? 2 ? (sin x)(78) π π π = x 2 ? sin(x + 80 ? )+160x ? sin (x + 79 ? ) + 6320sin (x + 78 ? ) 2 2 2 2 = x sin x ? 160 x cos x ? 6320 sin x.39. 求下列函数在指定点的高阶导数： ⑴f ( x) =x 1 + x2, 求 f ′′(0) ；⑵f ( x) = e2 x ?1 , 求 f ′′(0) ， f ′′′(0) ； f ( x) = ( x + 10)6 , 求 f (5) (0) ， f (6) (0) . 1 + x2 ? x ? 2x 2 1 + x 2 = (1 ? x 2 ) ? 2 23⑶解： ⑴f ′( x) =1+ x5 ? 3 f ′′( x) = ? (1 ? x 2 ) 2 ? 2 x 2故 f ′′(0) = 0 .⑵f ′( x) = 2e2 x ?1f ′′( x) = 4e2 x ?1 f ′′′( x) = 8e2 x ?1故 f ′′(0) = ⑶4 8 ， f ′′′(0) = . e ef ′( x) = 6( x + 10)544f ′′( x) = 30( x + 10) 4 f ′′′( x) = 120( x + 10)3 f (4) ( x) = 360( x + 10)2 f (5) ( x) = 720( x + 10) f (6) ( x) = 720(5) (6) 故 f (0) = 720 × 10 = 7200 ， f (0) = 720d2 y 40. 求由下列方程所确定的隐函数 y 的二阶导数 2 ： dx⑴ b 2 x 2 + a 2 y 2 = a 2b 2 ； ⑶ y = tan( x + y ) ； 解：⑴ 两边对 x 求导，得 ⑵y = 1 + xe y ；⑷y 2 + 2 ln y = x 4 .2b 2 x + 2a 2 yy′ = 0? y′ = ?b2 x b 2 y ? xy′ b4 ? y′′ = ? 2 ? =? 2 3 . a2 y a y2 a y⑵ 两边对 x 求导，得y′ = e y + xe y y′ey e y y′(2 ? y ) ? e y (? y′) e2 y (3 ? y ) ? y′ = ? y′′ = = . 2? y (2 ? y )2 (2 ? y )3⑶ 两边对 x 求导，得y′ = sec2 ( x + y )(1 + y′)? y′ = ?1 ? cot 2 ( x + y ) ? y′′ = 2 cot( x + y ) ? cot( x + y ) ? csc( x + y ) ? (1 + y′) ? y′′ = ?2 cot 3 ( x + y ) ? csc2 ( x + y ).⑷ 两边对 x 求导，得2 yy′ +2 ? y′ = 4 x3 y45? y′ = ? y′′ = =2 yx 3 1+ y2 (2 y′x3 + 2 y ? 3 x 2 )(1 + y 2 ) ? 2 yx3 ? 2 yy′ (1 + y 2 ) 2 2 x 2 y[3(1 + y 2 ) 2 + 2 x 4 (1 ? y 2 )] . (1 + y 2 )3d2 y ： dx 2⑵41. 已知 f ′′( x ) 存在，求⑴y = f ( x2 ) ； y′ = 2 xf ′( x 2 )y = ln f ( x) .解：⑴y′′ = 2 f ′( x 2 ) + 2 x ? 2 xf ′′( x 2 ) = 2 f ′( x 2 ) + 4 x 2 f ′′( x 2 )⑵y′ =f ′( x) f ( x)y′′ =f ′′( x) f ( x) ? [ f ′( x)]2 f 2 ( x)d2 y ： dx 242. 求由下列参数方程所确定函数的二阶导数⑴? x = a (t ? sin t ), ? ? y = a (1 ? cos t ),( a 为常数)；⑵? x = f ′(t ), 设 f ′′(t ) 存在且不为零. ? ? y = tf ′(t ) ? f (t ),dy dy dt a sin t sin t = = = dx dx a (1 ? cos t ) 1 ? cos t dt d2 y d sin t d sin t 1 = ( )= ( )? 2 dx dx 1 ? cos t dt 1 ? cos t dx dt cos t (1-cos t )-sin t ? sin t 1 ? = 2 (1- cos t ) a (1 ? cos t ) 1 =? . a (1 ? cos t )2解：⑴46⑵dy f ′(t ) + tf ′′(t ) ? f ′(t ) dy dt = = =t dx dx f ′′(t ) dtd2 y d d 1 1 1 = (t ) = (t ) ? = 1? = . 2 dx dx dx dt f ′′(t ) f ′′(t ) dt43. 设 y = f ( x) 是由方程组2 ? ? x = 3t + 2t + 3, ? y ? y = e sin t + 1, ?所确定的隐函数，求d2 y dx 2t =0.解：分别对已知方程组的两边关于 x 求导，得：dt dt ? ?1 = 6t ? dx + 2 dx , ? ? ? dy = e y dy sin t + e y cos t dt , ? dx dx dx ?再对 x 求一次导，得? dt d 2t d 2t 0 = 6( ) 2 + 6t 2 + 2 2 , ? ? dx dx dx ? 2 2 ? d y = (e y dy )′ sin t + 2e y dy ? cos t ? dt ? e y sin t ( dt ) 2 + e y cos t ? d t , x ? dx 2 dx dx dx dx dx 2 ?将 t = 0, yt =0= 1 代入上述各式，得dt 1 dy e , , t =0 = t =0 = dx 2 dx 2 d 2t 3 =? , 2 t =0 dx 4 2 2 d y e 3 = ? e. 2 t =0 dx 2 444. 设函数 f ( x ) 在 [ a, b] 上连续，在 (a, b) 内可导，且 lim f ′( x ) = A, 试证： f +′ ( a ) = A . +x→a证明： f +′ ( a ) = lim +x →af ( x ) ? f (a ) f ′( x) = lim+ = lim+ f ′( x) = A . x→a x →a x?a 145. 设 f ( x ) 具有二阶连续导数，且 f (0) = 0 ，试证：47? f ( x) , ? g ( x) = ? x ? f ′(0), ?可导，且导函数连续.x ≠ 0, x = 0,证明：因 f ( x ) 具有二阶连续导数，故 x ≠ 0 时， g ( x ) 可导,又f ( x) ? f ′(0) g ( x) ? g (0) x g ′(0) = lim = lim x →0 x →0 x?0 x f ( x) ? f ′(0) ? x f ′( x) ? f ′(0) = lim = lim 2 x →0 x →0 x 2x f ′′( x) f ′′(0) = lim = , x →0 2 2故 g ( x ) 是可导的，且导函数为? xf ′( x) ? f ( x) , ? ? x2 g ′( x) = ? ? f ′′(0) , ? 2 ?又因 lim g ′( x ) = limx →0 x →0x ≠ 0, x = 0,xf ′( x) ? f ( x) x2= limf ′( x) + xf ′′( x) ? f ′( x) x →0 2x f ′′( x) f ′′(0) = lim = lim = g ′(0) x →0 x →0 2 2故 g ( x ) 的导函数是连续的. 46. 在括号内填入适当的函数，使等式成立： ⑴ d( ⑶ d() = cos tdt ； )= )= 1 dx ； 1+ x 1 x 1 x⑵d( d() = sin ω ) = e ? 2 ) = sec2 3 xdx ；x 1 ? x2⑷⑸ d(⑹ d(⑺d()=⑻ d()=dx .解： ⑴ Q (sint)′ = cos t48∴ d(sin t + C ) = cos tdt .⑵ Q (?1ωcosω x)′ = ?1ω? (? sin ω x) = sin ω x∴ d(?1ωcosω x + C ) = sin ω xdx . 1 1+ x 1 dx . 1+ x⑶ Q [ln(1 + x )]′ =∴ d[ln(1 + x) + C ] =⑷ Q (?1 ?2 x 1 e )′ = ? ? ( ? 2)e ?2 x =e ?2 x 2 2 1 ?2 x ∴ d(? e + C ) = e ?2 x dx . 2⑸ Q (2 x )′ = 2 ?1 2 x=1 x∴ d(2 x + C ) =⑹ Q ( tan3x)′ =1 dx . x1 31 ? sec 2 3 x ? 3 = sec 2 3 x 31 ∴ d( tan3x + C ) = sec2 3 xdx . 3 1 2 1 1 1 ⑺ Q ( ln x)′ = ? 2 ln x ? = ln x 2 2 x x 1 1 ∴ d( ln 2 x + C ) = ln xdx . 2 x⑻ Q ( ? 1 ? x )′ = ?21 2 1 ? x2 x 1 ? x2? (?2 x) =x 1 ? x2∴ d(? 1 ? x 2 + C ) =dx .47. 根据下面所给的值，求函数 y = x 2 + 1 的 ?y , dy 及 ?y ? dy ： ⑴ 解： 当 x = 1, ?x = 0.1 时；?y = ( x + ?x) 2 + 1 ? ( x 2 + 1) = 2 x?x + ?x 2 = 2 × 1× 0.1 + 0.12 = 0.21 dy = 2 x ? ?x = 2 × 1× 0.1 = 0.2 ?y ? dy = 0.21 ? 0.2 = 0.01.⑵ 当 x = 1, ?x = 0.01 时.49.解：?y = 2 x?x + ?x 2 = 2 × 1× 0.01 + 0.012 = 0.0201 dy = 2 x ? ?x = 2 ×1× 0.01 = 0.02 ?y ? dy = 0.0201 ? 0.02 = 0.0001.48. 求下列函数的微分： ⑴y = xe x ；y = cos x ； y = 8 x x ? 6e2 x ；⑵y=ln x ； x⑶⑷y = 5ln tan x ； y = arcsin x + (arctan x)2 .⑸ 解： ⑴⑹dy = ( xe x )′dx = e x (1 + x)dx ； 1 ? x ? ln x ln x 1 ? ln x dy = ( )′dx = ( x 2 )dx = dx ； x x x2 dy = (cos x )′dx = (? sin x ) ? dy = (5ln tan x )′dx = (ln 5 ? 5ln tan x ? = 2 ln 5 ? 5ln tan x ? 1 dx ； sin 2 x 1 2 x dx = ? 1 2 x sin xdx ；⑵⑶⑷1 ? sec2 x)dx tan x⑸dy = (8 x x ? 6e 2 x )′dx = [8 x x (1 + ln x) ? 12e2 x ]dx ；2⑹ dy = [ arcsin x + (arctan x ) ]′dx = [1 1 1 ? + 2 arctan x ? ]dx. ； 1 + x2 2 arcsin x 1 ? x 249. 求由下列方程确定的隐函数 y = y ( x ) 的微分 dy ： ⑴ y = 1 + xe y ； ⑶ y = x+⑵x2 y2 + = 1； a2 b21 sin y ； 2⑷ y 2 ? x = arccos y .解：⑴ 对等式两端微分，得dy = e y dx + xd(e y )即 dy = e y dx + xe y dy 于是 dy =ey dx. 1 ? xe y50⑵ 对等式两端微分，得1 1 ? 2 xdx + 2 ? 2 ydy = 0 2 a b得 dy = ?b2 x dx. a2 y⑶ 对等式两端微分，得1 dy = dx + cos ydy 2解得 dy =2 dx. 2 ? cos y⑷ 对等式两端微分，得2ydy ? dx = ?1 1? y2dy解得 dy =1? y2 1+ 2 y 1? y2dx.50. 利用微分求下列各数的近似值：3⑴ ⑶8.1 ；⑵ln 0.99 ； 1 x ，有 3arctan1.02 .解：⑴ 利用近似公式 3 1 + x ≈ 1 +38.1 = 3 8(1 +1 1 1 1 ) = 23 1+ ≈ 2 ? (1 + × ) = 2.0083 . 80 80 3 80⑵利用近似公式 ln(1 + x ) ≈ x ，有ln 0.99 = ln(1 ? 0.01) ≈ ?0.0100.⑶ 取 f ( x ) = arctan x ，令 x0 = 1, x = 0.02 ， 而 f ′( x ) =1 ，则 1 + x2arctan1.02 ≈ arctan1 + =0.7954.1 × 0.02 1 + 1251. 设 a & 0 ，且 b 与 a 相比是很小的量，证明：nnan + b ≈ a +b . na n ?151证明：利用近似公式 n 1 + x ≈ 1 +n1 x ，有 nan + b = a n 1 +b 1 b b ≈ a (1 + ? n ) = a + n ?1 . n a n a na52. 利用一阶微分形式的不变性，求下列函数的微分，其中 f 和 ? 均为可微函数： ⑴y = f ( x3 + ? ( x 4 )) ；⑵y = f (1 ? 2 x) + 3sin f ( x) .解：⑴dy = f ′[ x3 + ? ( x 4 )]d[ x 3 + ? ( x 4 )] =f ′[ x 3 + ? ( x 4 )][3 x 2 + 4 x3? ′( x 4 )]dx⑵dy = df (1 ? 2 x) + 3d sin f ( x)=f ′(1 ? 2 x)d(1 ? 2 x) + 3cos f ( x)df ( x) = f ′(1 ? 2 x)(?2)dx + 3cos f ( x) f ′( x)dx = [?2 f ′(1 ? 2 x) + 3cos f ( x) f ′( x)]dx.53. 求下列函数的高阶微分： ⑴y = 1 + x 2 ，求 d 2 y ； y = x ? cos 2 x ，求 d10 y ；⑵y = x x ，求 d 2 y ； y = x3 ? ln x ，求 d n y ；⑶⑷⑸r 2 ? cos3 θ ? a 2 sin 3 θ = 0 ( a 为常数)，求 d 2 r .dy = ( 1 + x 2 )′dx = x 1 + x2 x 1 + x2 dx ,? 3解：⑴d2 y = ()′dx = (1 + x 2 ) 2 dx 2 .⑵y′ = y (ln y )′ = y ( x ln x)′ = x x (1 + ln x). 1 y′′ = x x [(1 + ln x) 2 + ], x故1 d 2 y = x x [(1 + ln x) 2 + ]dx 2 x( x & 0).⑶由莱布尼兹公式，得i d10 y = ( x cos 2 x)(10) dx10 = [∑ C10 x (i ) cos (10?i ) 2 x]dx10 i =0 1010π 9 ) + 10 ? 29 ? cos(2 x + π)]dx10 2 2 10 = ?1024( x cos 2 x + 5sin 2 x)dx . = [210 x cos(2 x +52⑷由莱布尼兹公式，得2 d n y = [ x3 ? (ln x)( n ) + C1 ( x 3 )′ ? (ln x)( n ?1) + C n ( x 3 )′′ ? (ln x)( n ? 2) n+ C3 ( x3 )′′′ ? (ln x)( n ?3) ]dx n n = [ x3 ? (?1) n ?1 ? (n ? 1)! (n ? 2)! n(n ? 1) (n ? 3)! + n ? 3 x 2 ? (?1)n ? 2 ? n ?1 + ? 6 x ? (?1) n ?3 n ? 2 n 2 x x x n(n ? 1)(n ? 2) (n ? 4)! + ? 6 ? (?1) n ? 4 n ?3 ]dx n 6 x 3? n n n = [(?1) ? 6 ? (n ? 4)! x ]dx .⑸r 2 = a 2 tan 3 θ2 2 2两端求导，得 2rr ′ = 3a tan θ ? sec θ ? r ′ = 等式两端再求导得3 a tan θ sec2 θ 22r ′2 + 2rr ′′ = 3a 2 (2 tan θ ? sec 2 θ + 4 tan 3 θ ? sec 2 θ )解得 r ′′ =3 1 1 + 4sin 2 θ a? ? 4 cos 4 θ tan θ故d r =23 1 1 + 4sin 2 θ 2 a? ? dθ . 4 cos 4 θ tan θ54. 利用麦克劳林公式，按 x 乘幂展开函数 f ( x ) = ( x 2 ? 3 x + 1)3 . 解：因为 f ( x ) 是 x 的 6 次多项式，所以f ( x) = f (0) + f ′(0) x +f ′′(0) 2 f ′′′(0) 3 f (4) (0) 4 f (5) (0) 5 f (6) (0) 6 x + x + x + x + x. 2! 3! 4! 5! 6!计算出： f (0) = 1, f ′(0) = ?9, f ′′(0) = 60, f ′′′(0) = ?270 ，f (4) (0) = 720, f (5) (0) = ?1080, f (6) (0) = 720.故 f ( x ) = 1 ? 9 x + 30 x 2 ? 45 x 3 + 30 x 4 ? 9 x 5 + x 6 . 55. 利用泰勒公式求下列极限：⑴limx →0x ? x3⑵lime tan x ? 1 ; x →0 x(3) lim[ x ? x ln(1 + )].2x →∞1 xx3 解：⑴ Q sin x = x ? + 0( x 4 ) 3!53x3 x ? [ x ? + 0( x 4 )] x ? sin x 1 3! ∴ lim = lim = 3 3 x →0 x →0 x x 6⑵Q e tan x = 1 + tan x + 0(tan 2 x)∴ lime tan x ? 1 1 + tan x + 0(tan 2 x) ? 1 = lim =1 x →0 x →0 x x1 ,当 x → ∞ 时， t → 0 ， t(3) 令 x =1 1 1 1 1 t2 lim[ x ? x 2 ln(1 + )] = lim[ ? 2 ln(1 + t )] = lim{ ? 2 [t ? + o(t 2 )]} x →∞ t →∞ t t →0 t x t t 2 2 1 o(t ) 1 = lim( ? 2 ) = . t →0 2 t 256. 求下列函数在 x = x0 处的三阶泰勒展开式： ⑴y= xy′ =( x0 = 4);⑵y = ( x ? 1) ln x( x0 = 1).解：⑴1 ?1 1 ?3 3 ?5 15 ? 7 2 ′′ = ? x 2 ,y′′′ = x 2 ,y (4) = ? x 2 . x , y 2 4 8 16所以 y′(4) =1 1 3 , y′′(4) = ? ,y′′′(4) = 4 32 256 15 y (4) [4 + θ ( x ? 4)] = ? 7 16[4 + θ ( x ? 4)]21 1 1 故 x =2+ ( x ? 4) ? ( x ? 4) 2 + ( x ? 4)3 ? 4 64 512⑵ Q ln(1 + x) = x ?5( x ? 4)4 128[4 + θ ( x ? 4)]7 2(0 & θ & 1).x 2 x3 x4 + ? 2 3 4(1 + θ x) 4( x ? 1) 2 ( x ? 1)3 ( x ? 1) 4 + ? } 2 3 4[1 + θ ( x ? 1)]4∴ y = ( x ? 1) ln x = ( x ? 1) ln[1 + ( x ? 1)] = ( x ? 1){( x ? 1) ? = ( x ? 1) 2 ?57. 求函数 f ( x ) =( x ? 1)3 ( x ? 1)4 ( x ? 1)5 + ? . 2 3 4[1 + θ ( x ? 1)]41 在 x0 = ?1 处的 n 阶泰勒公式. x解： Q1 x n +1 = 1 ? x ? x 2 + L + (?1)n x n + (?1) n +1 1+ x (1 + θ x) n + 254∴ f ( x) =1 1 =? 1 + [?( x + 1)] x ( x + 1) n +1 } (0 & θ & 1). [1 ? θ ( x + 1)]n + 2= ?{1 + ( x + 1) + ( x + 1)2 + L + ( x + 1) n +58. 求函数 f ( x) = xe x 的 n 阶麦克劳林公式.x2 x n ?1 xn θ x 解： Q e = 1 + x + +L + + e 2! (n ? 1)! n !x∴ f ( x) = xe x = x + x 2 +x3 xn x n +1 θ x +L + + e (0 & θ & 1) 2! (n ? 1)! n !59. 求函数 y = 解：e x + e? x 的 2n 阶麦克劳林展开式. 21 1 x2 x2n x 2 n +1eθ x x2 x2n x 2 n +1e ?θ x y = [e x + e ? x ] = [1 + x + + L + + +1? x + +L + ? ] 2 2 2! (2n)! (2n + 1)! 2! (2n)! (2n + 1)! 1 x2 x 2n eθ x ? e ?θ x 2 n +1 = [2 + 2 ? + L + 2 + x ] 2 2! (2n)! (2n + 1)!= 1+x2 x2n eθ x ? e ?θ x 2 n +1 +L + + x (0 & θ & 1). 2! (2n) ! 2(2n + 1)!60. 设 f ( x ) 在 x0 的某区间上，存在有界的二阶导函数.证明：当 x 在 x0 处的增量 h 很小时， 用增量比近似一阶导数 f ′( x0 ) 的近似公式f ′( x0 ) ≈f ( x0 + h) ? f ( x0 ) , h其绝对误差的量级为 O ( h) ，即不超过 h 的常数倍. 证明： f ( x0 + h) 在 x0 处泰勒展开式为f ( x0 + h) = f ( x0 ) + f ′( x0 )h +则 f ′( x0 ) ?f ′′( x0 + θ h) 2 h (0 & θ & 1) , 2f ( x0 + h) ? f ( x0 ) f ′′( x0 + θ h) = h, h 2 f ′′( x0 + θ h) M h≤ h, 2 2又知f ′′( x0 + θ h) ≤ M ,故即 f ′( x0 ) ≈f ( x0 + h) ? f ( x0 ) 的绝对误差为 O ( h) . h5561. 利用四阶泰勒公式，求 ln1.2 的近似值，并估计误差. 解：Q ln(1 + x) = x ?x 2 x3 x 4 x5 ? + ? (0 & θ & 1) 2 3 4 5(1 + θ x)5(0.2) 2 (0.2)3 (0.2) 4 + + = 0. 4∴ ln1.2 = ln(1 + 0.2) ≈ 0.2 ?(0.2)5 (0.2)5 Rn (0.2) = & ≈ 7 × 10?5 5 5(1 + 0.2θ ) 562. 计算 e0.2的近似值，使误差不超过 10 .?3解： e = 1 + x +xx 2 x3 eθ x 4 x (0 & θ & 1) + + 2 6 24e0.2 ≈ 1 + 0.2 +(0.2) 2 (0.2)3 + = 1.2213 ≈ 1.221 2 6eθ ×0.2 3 1 R(0.2) = × (0.2)4 & × (0.2) 4 = × 0.2 4 ≈ 0.0002 & 0.001 24 24 863. 球的半径以速率 v 改变，球的体积与表面积以怎样的速率改变？ 解：V=4 3 πr , 3A = πr 2 ,dr = v. dtdV dV dr = ? = 4πr 2 ? v dt dr dt dA dA dr = ? = 8πr ? v dt dr dt64. 一点沿对数螺线 r = ea?运动，它的极径以角速度 ω 旋转，试求极径变化率.解：dr dr d? = ? = e a? ? a ? ω = aω e a? . dt d? dt65. 一点沿曲线 r = 2a cos ? 运动，它的极径以角速度 ω 旋转，求这动点的横坐标与纵坐标 的变化率.解：? x = 2a cos 2 ? ? ? y = 2a cos ? sin ? = a sin 2?dx dx d? = ? = 2a ? 2 cos ? ? (? sin ? ) ? ω = ?2aω sin 2? , dt d? dt dy dy d? = ? = 2a cos 2? ? ω = 2aω cos ? . dt d? dt5666. 椭圆 16 x + 9 y = 400 上哪些点的纵坐标减少的速率与它的横坐标增加的速率相同？2 2 2 2 解：方程 16 x + 9 y = 400 两边同时对 t 求导，得32 x ?由?dx dy + 18 y ? = 0 dt dt y= 16 x 916 . 3dx dy = . 得 18 y = 32 x, dt dt2代入椭圆方程得： x = 9 ， x = ±3,y=±即所求点为 ? 3,16 ? ? 16 ? ? ? , ? ?3, ? ? . 3? ? 3? ?67. 一个水槽长 12m，横截面是等边三角形，其边长为 2m，水以 3m3?min-1 的速度注入水 槽内，当水深 0.5m 时，水面高度上升多快？ 解：当水深为 h 时，横截面为1 2h h2 s= ? ?h = 2 3 3 V = sh′ = h2 12 2 ?12 = h = 4 3h 2 3 3体积为dV dh = 4 3 ? 2h ? dt dt dV 当 h=0.5m 时， = 3m3 ? min ?1 . dt dh 故有 3 = 4 3 ? 2 ? 0.5 ， dt得dh 3 = dt 4(m3?min 1).－68. 某人走过一桥的速度为 4km?h-1，同时一船在此人底下以 8 km?h -1 的速度划过，此桥 比船高 200m，求 3min 后，人与船相离的速度. 解：设 t 小时后，人与船相距 s 公里，则s = (4t ) 2 + (8t )2 + (0.2)2 = 80t 2 + 0.04. ds 80t = . dt 80t 2 + 0.04且20 ds = ≈ 8.16 1 dt t = 620(km?h－1)69. 一动点沿抛物线 y=x2 运动，它沿 x 轴方向的分速度为 3 cm?s-1，求动点在点(2，4)时， 沿 y 轴的分速度.57解： 当 x=2 时，dy dy dx = ? = 2 x ? 3 = 6 x. dt dx dtdy = 6 × 2 = 12 (cm?s－1). dt 5 70. 设一路灯高 4 m，一人高 m，若人以 56 m?min-1 的等速沿直线离开灯柱，证明：人影 3的长度以常速增长. 证明：如图，设在 t 时刻，人影的长度为 y m.则5 3= y 4 y + 56t7 y = 280t , y = 40t , dy = 40 (m?min－1). dt化简得即人影的长度的增长率为常值. 71. 计算抛物线 y=4x－x2 在它的顶点处的曲率. 解：y=－(x－2)2+4，故抛物线顶点为(2，4) 当 x=2 时，y′ = 0,y′′ = ?2 ，故k=y′′ = 2. (1 + y′2 )3/ 2y′′ = cosh x. y′′ = 1 ，72. 计算曲线 y=cosh x 上点(0，1)处的曲率. 解： y′ = sinh x,当 x=0 时， y′ = 0,故k=y′′ = 1. (1 + y′2 )3/ 2? π ? 处的曲率. ,1? ?2 ?73. 计算正弦曲线 y=sin x 上点 ? 解： y′ = cos x, 当x=y′′ = ? sin x . y′′ = ?1 ，π 时， y ′ = 0, 2故k=y′′ = 1. (1 + y′2 )3/ 274. 求曲线 y=ln(sec x)在点(x，y)处的曲率及曲率半径. 解： y′ = tan x,y′′ = sec 2 x58故k=R=y′′ sec 2 x = = cos x (1 + y′2 )3/ 2 (1 + tan 2 x)3/ 21 = sec x . k75. 求曲线 x=acos3t，y= asin3t 在 t=t0 处的曲率.解：dy dy dt 3a sin 2 t cos t = = = ? tan t ， dx dx ?3a cos 2 t sin t dt d2 y d d(? tan t ) 1 ? sec 2 t 1 = (? tan t ) = ? = = ， 2 dx ?3a cos 2 t sin t 3a sin t cos 4 t dx dx dt dt1 4 2 t k = 3a sin t cos2 3/ 2 = [1 + (? tan t ) ] 3a sin 2t k= 2 . 3a sin 2t0故且当 t=t0 时，76. 曲线弧 y=sin x (0&x&π)上哪一点处的曲率半径最小？求出该点的曲率半径. 解： y′ = cos x,y′′ = ? sin x .R=(1 + cos 2 x)3/ 2 , sin xk=1 sin x = R (1 + cos 2 x)3/ 2显然 R 最小就是 k 最大， k ′ = 令 k ′ = 0 ，得 x =2 cos x(1 + sin 2 x) (1 + cos 2 x)5 / 2π 为唯一驻点. 2在 ? 0,? ?π? ?π ? ? 内， k ′ & 0 ，在 ? , π ? 内， k ′ & 0 . 2? ?2 ? π 为 k 的极大值点，从而也是最大值点，此时最小曲率半径为 2所以 x =R=(1 + cos 2 x)3/ 2 sin xx=π 2= 1.77. 求曲线 y=lnx 在与 x 轴交点处的曲率圆方程. 解：由 ?? y = ln x 解得交点为(1，0). ?y = 059y′ x =1 =1 x= 1,x =1y′′ x =1 = ?1 x2= ?1.x =1故曲率中心? ? y′(1 + y′2 ) ? α = ?x ? ? ? =3 y′′ ? ? x =1 ? ? 2 ? β = ? y + 1 + y′ ? = ?2 ? ? y′′ ? (1,0) ? ? ?曲率半径为 R = 8 . 故曲率圆方程为：( x ? 3) 2 + ( y + 2) 2 = 8 .78. 一飞机沿抛物线路径 y =x2 ( y 轴铅直向上，单位为 m )做俯冲飞行，在坐标原点 O 10000处飞机速度 v=200 m?s-1，飞行员体重 G=70kg，求飞机俯冲至最低点即原点 O 处时，座椅 对飞行员的反力. 解： y′ x = 0 = 0,y′′ x =0 =1 ， 5000R=飞行员在飞机俯冲时受到的向心力(1 + y′2 )3/ 2 = 5000 y′′F=故座椅对飞行员的反力mv 2 70 ? 200 2 = = 560 (牛顿) R 5000F = 560 + 70 × 9.8 = 1246 (牛顿).79. 设总收入和总成本分别由以下两式给出：R (q ) = 5q ? 0.003q 2 ,C (q ) = 300 + 1.1q其中 q 为产量，0≤q≤1000，求：(1)边际成本；(2)获得最大利润时的产量；(3)怎样的生产量 能使盈亏平衡？ 解：(1) 边际成本为：C ′(q ) = (300 + 1.1q )′ = 1.1.(2) 利润函数为L(q ) = R (q ) ? C (q ) = 3.9q ? 0.003q 2 ? 300 L′(q ) = 3.9 ? 0.006q60令 L′( q ) = 0 ,得 q = 650 即为获得最大利润时的产量. (3) 盈亏平衡时： R(q)=C(q) 即 3.9q－0.003q2－300=0 q2－=0 解得 q=1218(舍去)，q=82. 80. 设生产 q 件产品的总成本 C(q)由下式给出： C(q)=0.01q3－0.6q2+13q. (1)设每件产品的价格为 7 元，企业的最大利润是多少？ (2)当固定生产水平为 34 件时，若每件价格每提高 1 元时少卖出 2 件，问是否应该提高 价格？如果是，价格应该提高多}