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,理由:,,,(同角的余角相等),,,;,理由:,,,(同角的补角相等),,,,,.
此题考查了两直角三角形全等的判定方法,是从特殊到一般,所用方法一样,依据有所不同.
3879@@3@@@@全等三角形的判定与性质@@@@@@258@@Math@@Junior@@$258@@2@@@@三角形@@@@@@52@@Math@@Junior@@$52@@1@@@@图形的性质@@@@@@7@@Math@@Junior@@$7@@0@@@@初中数学@@@@@@-1@@Math@@Junior@@
求解答 学习搜索引擎 | CD是经过角BCA顶点C的一条直线,CA=CB,E,F分别是直线CD上两点,且角BEC=角CFA=角α.(1)如图(1),若直线CD经过角BCA的内部,且E,F在射线CD上,当角BCA=角α={{90}^{\circ }}时,线段BE与CF有怎样的大小关系?并说明理由.(2)如图(2),若直线CD经过角BCA的外部,当角BCA=角α>{{90}^{\circ }}时,则EF,BE,AF三条线段之间有怎样的数量关系?并说明理由.初中数学 COOCO.因你而专业 ！
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如图13所示，正方形ABCD中，E、F分别是边AD、CD上的点，DE=CF，AF与BE相交于O，DG⊥AF，垂足为G。
[1]求证：AF⊥BE；
[2]试探究线段AO、BO、GO的长度之间的数量关系；
[3]若GO：CF=4：5，试确定E点的位置。
&[1]证明：∵ABCD为正方形，且DE=CF，
∴AE=DF，AB=AD，∠BAE=∠ADF=90°，
∴△ABE≌△DAF，
∴∠ABE=∠DAF，又∵∠ABE+∠AEB=90°，
∴∠DAF+∠AEB=90°，
∴∠AOE=90°，即AF⊥BE；
[2]解：BO=AO+OG．
理由：由[1]的结论可知，
∠ABE=∠DAF，∠AOB=∠DGA=90°，AB=AD，
则△ABO≌△DAG，
所以，BO=AG=AO+OG；
[3]解：过E点作EH⊥DG，垂足为H[如答图2所示]，
由矩形的性质，得EH=OG，
∵DE=CF，GO：CF=4：5，∴EH：ED=4：5，
∵AF⊥BE，AF⊥DG，∴OE∥DG，
∴∠AEB=∠EDH，△ABE∽△HED，
∴AB：BE=EH：ED=4：5，
在Rt△ABE中，AE：AB=3：4，
故AE：AD=3：4，
即AE= [3AD]/4。
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八上几何试题集锦
12、如图 8，已知△BEC 是等边三角形，∠AEB=∠CED=90°， AE=DE，AC、BD 交于 O，下列结论：①△ABE≌△DCE；② AC=ED；③AC⊥BD；④△AOB≌△ DOC；其中正确的是 （ ） 。 A．①②③④ B．①②③ C．①②④ D．①③④12、如图，△ABC 中，AC=BC， ∠C=90?，D 为 AB 的中点，E、F 分别为 AC、BC 上一 、如图， 的中点， 、 ， ， 、 点，且 ED⊥DF 于点 D，EM⊥AB 于点 M，FN⊥AB 于点 N，下列结论： ⊥ ， ⊥ ， ⊥ ，下列结论： ①DE=DF ③ S四CEDF = ②CE+CF=AC1 S ?ABC 2） C、①②③ 、④ EM + FN =1 AB 2其中正确的有（ 其中正确的有（ A、① 、AB、①② 、D、①②③④ 、M DE N C F B12题图12、如图，在 Rt△AEB 和 Rt△AFC 中，BE 与 AC 相交于点 M，与 CF 相交于点 D，AB 与 CF 相 交于点 N，∠E＝∠F＝90°，∠EAC＝∠FAB，AE＝AF．给出下列结论：①∠B＝∠C；②CD ＝DN；③BE＝CF；④△ACN≌△ABM． 其中正确的结论是（ A．①③④ ） C．①②③ D．①②④B．②③④12. 如图， 分别以 Rt△ ABC 的斜边 AB， 直角边 AC 为边向形外作等边△ ABD 和等边 △ ACE，F 为 AB 的中点. DE.AB 相交于 G，若 ∠BAC=30 ? ，下列结论：EF ⊥ AC论的序号是（ ）AD = AEAD=4AG△ DBF ≌ △ EFA 其中正确结A.B.C.D.12.如图： △ABC 中，∠ACB=90°，∠CAD=30°，AC=BC=AD, CE ⊥CD,且 CE=CD，连接 BD. DE. BE，则下列结论：①∠ECA=165°, ②BE=BC;③AD⊥ BE;④ A．①②③ C．①⑧④CD =1． 其中正确的是( ) BDB．①②④ D．①②⑧④12. 如图， ∠MAN=120° ,AC平分∠MAN, ∠ADC+∠ABC＝180° 下列结论：①∠BCD=60°：②AC=BD;⑨△CDB 是等边三角形：④AD+AB =AC.其中正确的是：( )A.① ② ⑨B.① ③ ④C.① ② ④D.① ② ③ ④12．如图，已知△ABD 中，∠BAD=900 ,AB =A D,△ACE 中，∠CAE=900. 0 AE=AC，下列结论：①∠ABF+ ∠BDF=45 ，②AF 平分∠DFE, ③AF 平 分∠BAC，④BE=DC,其中正确的有( ) A.①③④ B．①②③． C.③④ D.①②④12.如图，在△ABC 中，AC=BC，∠ACB=90°,AE 平分∠BAC 交 BC 于 E，BD ⊥AE 于 D，DM ⊥AC 交 ACM，连接 CD，给出四个结论： ①∠ADC=45°;②BD= 的结论(1 AE,③AC+CE=AB；④A B-BC=2MC，其中正确 2)A.1 个 B。2 个 C.3 个 D.4 个12．已知如图等腰△ABC，AB = AC，∠BAC = 120°，AD⊥BC 于点 D， P 是 BA 延长线上一点， O 是线段 AD 上一点， = OC， 点 点 OP 下面的结论： ①∠APO+∠DCO = 30°；②△OPC 是等边三角形； ③AC = AD + AP；④S△ABC = S 四边形 AOCP．其中正确的有（ ）A．①②③ B．①②④ C．①③④ D．①②③④ 12、在四边形 ABCD 中，AD∥BC，∠ABC=90°，AB=BC，E 为 AB 上一点，AE=AD，且 BF∥CD，AF⊥CE 于 F．连接 DE 交对 角线 AC 于 H．下列结论：①△ACD≌ACE；②AC 垂直平分 ED； ③CE=2BF；④CE 平分∠ACB.其中结论正确的是（ ）. A.①② B.①②④ C.①②③ D.①②③④ADFEHBC12．如图，△ABC 中，AB = AC，把△ABC 绕 C 点顺时针旋转至 △DEC 位置， 且点 E 在 AB 上， 连接 AD， 交 ED 于点 O， AC 下列结论： ①△ABC≌△DEC； ②四边形 ABCD 是平行四边形； ③四边形 AECD 是等腰梯形； ④S△ABO?S△CDO = S△BOC?S△ADO 其中正确的有（ ） A．①②③④ B．①② C．①③ 12．如图，点 D 为△ABC 外一点， DA = DB ，且 CD 平分 外一点， ．如图， 的外角， ∠ACB 的外角， DE ⊥ AC 于 E， DF ⊥ BC 于 F，下列结论： ， ，下列结论： ①△ADE≌△ ≌△BDF；② AE = CE + CB ；③ ∠ADB = ∠ACB ； ①△ ≌△ ； ④ ∠DCF + ∠ABD = 90° ，其中正确的是 A．①②③ B．①②④ ． ． C．②③④ D．①②③④ ． ．A DC EBD．①②③AEC F DB12．如图，△ABC 和△DEF 都是等腰直角三角形， 将 A 放在 EF 的中点 中点上，转动△ABC，则下列结论 中点 ① DG=HF ③EG+HF=DE 其中总是成立的是（ A．①②③ C．②③④°②AG=AH 1 ④SDGAH=2 S△DEF ） B．①②④ D．①②③④A12、如图 4，Rt△ACB 中，∠ACB=90 ，△ABC 的角平分线 AD、BE 相交于点 p，过 p 作 ° PF⊥AD 交 BC 的延长线于点 F， AC 于点 H， 交 则下列结论： ①∠APB=135 ； ②PF=PA； ③AH+BD=AB；F G B D E C④S 四边形 ABDE=3 S△ABP，其中正确的是（ ） 2 A．①③ B．①②④C．①②③D．②③D E C12.正方形 ABCD（四边相等， 四个内角都等于 90° ） 中，E 、 F 分别为 DC 、BC 上的点。 ?CEF 的周长等于正方形 若 的周长的一半。则① ∠EAF = 45° ；② FA 平分 ∠EFB ； ③ EA 平分 ∠DEF ,其中正确的是（ ） B. ① ② C. ① ② ③ A. ① D.②③FA 第12题图BB12．如图△ABC中,AB的垂直平分线与∠ACB的外角平分线交于点D,DE⊥ACEC于E， DF⊥BC于E则下列结论： ①△ADE≌△BDF： ②AE=CE+CB； ③∠ADB= ∠ACB； ④∠DCF+∠ABD=90°，其中一定成立的是( ) A．①②③ B．①②④ C．②③④ D．①②③④AFD12、在△ABC 中，∠ABC=450，AD，BE 分别为 BC、AC 边上的高，AD、BE 相交 于点 F，下列结论： ①∠FCD=450 ②AE=EC ③S△ABF：S△AFC=AD：FD E ④若 BF=2EC，则△FDC 周长等于 AB 的长。正确的是（ H D、①③④ B C F 12、如图，△ABC 是等边三角形，F、G 分别为 AC 和 BC 的中点，D 在线段D 上，连接 BG DF，以 DF 为边在 DF 的右侧作等边△DFE，ED 的延长线交 AB 于 H，连接 EC，则以下结 图4 论：①BF⊥AC；②∠AHD+∠AFD=180°；③∠BCE=60°；④当 D 在线段 BG 上（不与 G 点重合）运动时，DC=FC+CE.其中正确的是（ ） A A.只有①③④ B.只有①②④ C.①②③④ D.只有①②③FA）PA、①②B、①③C、①④H B DG C E12、 如图， 在△ABC 中， AC=BC， ACB=90°， 平分∠BAC ∠ AE 交 BC 于 E，BD⊥AE 于 D，DM⊥AC 交 AC 的延长线于 M，连M C D E B1 接 CD ， 给 出 四 个 结 论 ： ① ∠ ADC=45° ； ②BD= AE ； 2 ③AC+CE=AB； AB ? BC = 2 MC ； ④ 其中正确的结论有( )A、1 个 B、2 个 C、3 个 D、4 个 11、如图， ?ABC 中， ∠BAC = 90° ，AD⊥BC 于 D， ∠ABC 的平分线交 AD 于 E，交 AC 于 F， EG // BC 交 AC 于 G，下列结论：① AG = FC ； ② AF = GC ；③ AF = FG ；④ ∠AEB = ∠EFG ， 其中正确的是（ ） （A）①②③ （B）①②④ （C）①③④ BAA F E G CD （D）②③④E12、如图， ?ABC 的外角 ∠CAE 与 ∠ACF 的平分线交于 D 点， 有下列四个结论：①D 点到直线 BA 与 BC 的距离相等； ② ∠BAC = 2∠BDC ；③ S ?ABD : S ?CBD = AB : BC ④ ∠ABC + ∠ADC = 180° ， 其中正确的是（ ） （A）①②③ （B）①②④ADB C F（C）①③④（D）②③④1、（7 分） 如图， 在等边△ABC 中， D、 分别在边 BC、 上， BD=AE， 点 E AB 且 AD 与 CE 交于点 F。 （1） 求证：AD=CE； （2） 求∠DFC 的度数。22、 （10 分）如图△ABC 中，∠ABC=45°∠BAC=60°，D 为 BC 上一点，∠ADC=60°.AE ° ⊥BC 于点 E.CF⊥AD 于点 F，AE、CF 相交于点 G. ⑴求证：DF=FG；⑵若 DC=2，AF= 3 ，求线段 EG 的长.1、如图，已知：点 D 是△ABC 的边 BC 上一动点，且 AB=AC，DA=DE，∠BAC=∠ADE=α. ⑴如图 1，当 α=60°时，∠BCE= ；AE B D （图 1） C⑵如图 2，当 α=90°时，试判断∠BCE 的度数是否发生改变，若变化，请指出其变化范围； 若不变化，请求出其值，并给出证明； ABD E 图1 （图 2）C⑶如图 3，当 α=120°时，则∠BCE=；ABDCE （图 3） 20．(8 分)如图，BD 是△ABC 的中线， CE ⊥ BD 于 E， AF ⊥ BD 交 BD 的延长线 如图， 的中线， ． 如图 ， 于 F. 三者之间的数量关系，并加以证明； ⑴试探索 BE、BF 和 BD 三者之间的数量关系，并加以证明； 、 A ⑵连结 AE、CF，求证：AE∥CF. 、 ，求证： ∥E B CF D21．(10 分)如图，已知等腰 Rt△ABC，D 为斜边 BC 的中点，过 D 作 DM ⊥ DN ， ． 如图， 的中点， 如图 △ ， 分别交 AB、AC 于 M、N. 、 、 上时，求证： ⑴当 M、N 分别在线段 AB、AC 上时，求证： DM = DN ； 、 、 ⑵当 M、N 分别在线段 AB、AC 的延长线上时，DM、DN 有何数量关系？画出图 、 、 的延长线上时， 、 有何数量关系？ 并证明你的结论. 形，并证明你的结论AANMB D 24. （ 本 题 10分 ） 已D ： 如 图 所 示 ， 直 线 MA∥ NB， ∠ MAB与 ∠ NB的 平 分C 交 于 知 线点 C，过点C作一条直线l与直线MA、NB分别相交于点D、E (1)如图1所示，当直线l与直线MA垂直时，请写出线段AD. BE. AB之间的数量关系： (2)如图2所示，当直线l与直线MA不垂直且交点D、E都在AB的同侧时，(1)中的 结论是否成立？如果成立，请证明：如果不成立，请说明理由．BC21、 分） （8 如图， 已知四边形 ABCD 中， ∥CD， ∠D=900， AB AB=AC， ⊥AC 且 AE=AD， AE 连 BE 交 AC 于 F。 ⑴如图 1，若 CD=AD，试猜想 BF 与 EF 的数量关系． ⑵ 如图 2， CD ≠ AD， 若 问题⑴ BF 与 EF 的数量关系是否仍然成立？若成立， 请证明． 若 不成立，请说明理由．C D EC _ _D _E _FF _ B _ A _BA(3)当直线l与直线MA不垂直且交点D、E在AB的异侧时，(1)中的结论是否仍然成立？ 如果成立， 请说明理由； 如果不成立， 那么线段AD. BE. AB之间还存在某种数量关系吗？ 如果存在，请直接写出它们之间的数量关系．（不需证明）例１：已知：在△ABC 中，AB=６，AC=８ (１)求 BC 的取值范围 (２)若 AD 是 BC 边上的中线，求 AD 的取值范围 A 例２： 在△ABC 中， 是过 A 的一条射线， BC 于 D， AD 交 B 过 B 作 BE⊥AD 于 E，过 C 作 CF⊥AD 于 F， (１)若 M 是 BC 的中点。求证：FM=EM E D M F A (２) )若∠BAC＝Ｒｔ∠，AB=AC，线段 BE,CF,AF 之间存在 确定的数量关系吗？试证明你的结论。 B D F (３) 当 AD 在△ABC 的外部时，在(１)的条件下，(１)中的结 论还存立吗？试证明你的猜想。 E C C(４) 当 AD 在△ABC 的外部时，在(２)的条件下，(２)中的结论 还存立吗？试证明你的猜想。 已知：如图在△ABC 中，∠BAC＝90°，AB＝AC，直线 L 过 点 A， （12’ ） B （1）BE⊥L 于 E，CD⊥L 于 D，求证：∠1＝∠2，BE＝ED＋ CD L （2）在（1）的条件下，当直线 L 绕点 A 旋转到如图所示的位L A 1 2 E C DABC置时，其他条件不变，此时，BE、ED、CD 在（1）中的结论是否成立，请画出图形，并证 明你的猜测。（3）如果 BE⊥BC 于 B 交 L 于 E，CD⊥BC 于 C 交 L 于 D，此时，BE＋CD 与 BC 在数量 上有确定的大小关系吗？试作出图形，并证明你的结论。 例３：已知：在△ABC 中，AB=AC，BM⊥BC 于 B， N CN⊥BC 于 C。直线ｌ过点 A 分别与 BE，CF 相交于 E.F l (１)求证：AE=AF F (２)在前面的条件下，当ｌ绕点 A 旋转时，CF-BE 的值是否会 D A 发生变化？若不变，求当 AB=５，BC=８时 CF-BE 的值。若 改变，请说明是怎样变化的。 B E M CA 例４：已知：在△ABC 中，M 为 BC 的中点，过点 M 且异 于 BC 的直线ｌ交 AB,AC 或延长线分别于 E,F (１)试比较 BE,CF 的大小关系， 你能确定吗？证明你的结论。E C B M F l(２)当ｌ绕点 M 旋转时是否存在某一确定的位置，使 BE=CE，若存在，请证明你的结论， 若不存在，请说明理由。(３)当 BE=CF 时，线段 AB,AC,BE 有什么确定的数量关系吗？试证明你的结论。和全等三角形有关的几何动态问题1、已知：如图在锐角△ABC 中，高 AD,BE 相交于点 O，且 BO=AC (１)求证：AD=BD A E CO B (２)当∠C 是钝角， 其它条件不变 AD 与 BD 的大小关系会变吗？请画出图 形，并证明你的猜想 D AC B .已知：如图，在ΔABC 中，∠ACB＝90，AC=BC,点 D 在 AC 上，点 E 在 BC 的延长线上，且 CD=CE,连结 DE,AE,BD 并延长交 AE 于 O. A 求证： (1)BD=AE； BD⊥AE. D OE B C (2)当把ΔDCE 整体绕着点 C 旋转一定的角度，ΔACB 不动，此时 BD 与 AE 的大小关系会 发生改变吗？如果不变，请画出图形并证明你的结论；如果改变，请你说明理由。(3)。在（2）的条件下∠BOC 的大小会发生变化吗？如果不变，请证明你的结论并求出∠ BOC 的度数；如果改变，请你说明理由。A2、在△ABC 中，角平分线 AD,BE,CF 相交于 O。 （1）.若∠A＝60，求∠BOC 的度数FEBDC（2）.在（1）的条件下，线段 BC 与 BF+CE 在数量上有确定的关系吗？试证明你的结论。A（3）.过点 O 作 OG⊥AC 于 G，求证：2AG＝AB+AC-BCG E F O C DBA3、已知：如图，在△ABC 中，D、E 是 BC 上的两点， 且 BE=DE， （1）如果，AD 平分∠EAC，∠BAE＝∠C，线 段 AC 与 AE 在数量上有确定的关系吗？试证明你的猜 想。BEDC（2）如果 AC＝2AE，AB=CD，线段 BC 与 AB 在数量上有确定的关系吗？试证明你的猜想。 ABEDCE 2 A 1 D4、已知如图∠１＝∠２，BD=CD ①试确定ＡＢ与ＥＣ的大小关系，并证明你的结论CB ②延长 BA 交 EC 与 F，试探讨 BF，FC 与 AF 的大小关系，试证明你的结论③过Ｄ的一直线ｌ与 AB,EC 交于 M,N 两点，且 BM=CN，试确定直线ｌ与 ED 的位置关系，并 证明你的结论5、已知： （１）已知：如图，在三角形 ABC 中，∠B 与∠C 的平分线交于点 O。过 O 的直线 EF∥BC 交 AB 于 E，交 AC 于 F， 判断 BE、CF、EF 间的关系，并证明。O DAEBC（２）若将（１）中的条件“∠C 的平分线”改为“∠C 的外角∠ACG 的平分线”,BE、CF、 EF 间是否还存在与（１）类似的结论？若存在，请画图并证明；若不存在，请说明理由。6、如图，在△ABC 中，AC＝BC，∠ACB＝90°，D 是 AC 上一点，且 AE⊥BD 的延长线 于 E， A 1 （1）若 AE＝ BD，试说明 BD 是否平分∠ABC。2ED（2） 如果 BD 平分∠ABC， 试说明 AE 与 BD 具有什么关系。CB（3）若点 D 是 AC 延长线上一点，且 AE⊥BD 的延长线于 E，BD 平分∠ABC 的外角，试 作出图形，并说明（2）中结论会改变吗？7、已知：如图，AC＝AE，∠BAD=∠EAC＝∠EDC。（1）若△ABC 中，∠B＜90°，D 是 BC 上一点，点 E 在△ABC 的外部，求证：AD=AB。(2)若△ABC 中，∠B＞90°，D 在 CB 延长线上，点 E 在△ ABC 下方。 （1）的结论是否仍然成立，若成立，请在图 2 中画出图形，并加以证明，若不成立，请说明理由。8、已知：△ABC 为钝角三角形，∠A 为钝角，BD为角平分线，AP⊥BD 于 N，交∠ACB 的平分线于 P， P 作 EF∥BC 交 AB， 分别于 E， 两点 过 AC F （1） 线段 AE、CF、EF 在数量上有确定的大小关系吗？ 若有，请证明你的结论：若没有，请说明你的理由。BAN E PD F C（2）当△ABC 为锐角三角形，其它条件不变，线段 AE、CF、EF 的关系会改变吗？请画 出图形，并证明你的猜想。9、 已知，如图，BD 是△ABC 的角平分线，AB=AC， （1） 当∠A＝90°时，求证：BC＝BA＋AD （2） 若 BC＝BA＋AD，请你猜想∠A 满足什么条 件，并证明。 （3） 若 BC＝BA＋DC，∠A 又满足什么条件，并 BA DC证明。 （4） 若 BC＝BD＋DA，∠A 又满足什么条件，并证明。如图 (８)∠ADB＝∠ABC，∠BAC 的角平分线分别交 BD 于 BD，BC 于 E,F 两点 (１)求证 S△ABC∶S△AFC＝AB∶AC B F E GAD(图８) PHC(２)过点 D 作 DG∥AF 交 BC 于 G，若 BC=１０，BD＝６。试求线段 GC 的长(３)若过 G 作 GH⊥DG， 为垂足， AC 于 H， AC 上取一点 P， AP=AB。 G 交 在 使 试猜想 DP,PC,HC 三条线段是否成在确定的数量关系，若成在，请写出这个关系，并证明。若不成在，请说 明理由。1、 如图， E 分别在 AB、 上， D、 AC BD、 相交于 O， CE ∠OBC=∠OCB=A1 ∠A， 求证： BE=CD． 2D E OBC2、已知△ABC 中，∠BAC = 45°，以 AB、AC 为边在△ABC 外作等腰△ABD 和△ACE，AB = AD、AC = AE，且∠BAD =∠CAE，连 CD、BE 并交于 F，连 AF． ． （1）①如图 1，若∠BAD = 60°，则∠AFE = ②如图 2，若∠BAD = 90°，则∠AFE = ． ③如图 3，若∠BAD = 120°，则∠AFE = ． （2）如图 4，若∠BAD = α°，猜想∠AFE 的度数，并予以证明． （3）如图 5，将图 2 中的△ABD 绕点 A 顺时针旋转 β°（45°＜β＜90°） ，直接写出 ∠AFE 的度数（不必证明） ．3、如图， 已知△ABC 中，∠B=300，现将△ABC 绕点 A 顺时针旋转角度 α 至△ADE，直 D 线 BC 与直线 DE 交于点 F，连结 AF。 ，则∠AFB= （1）若 α=600（如图 1） 若 α=90 （如图 2） ，则∠AFB=0 0 0； ； B FA C（2）若 0 ＜α＜120 （如图 3） ，猜想∠AFB 的度数 （用 α 表示） ，并证明你的结论 （3）若 1200＜α＜1800（如图 4）（2）中的猜想结论还成立吗？ ，若不成立，试探究∠AFB 的度数，并写出你的结论（不必证明） D D A B B F C F E 图3 E 图2 C E F B AE 图1 DA图44、如下图：将斜边均为 2 的一副直角三角板如图 1 摆放，C、B、D 在同一直线上，将 Rt △CDE 绕 C 点逆时针旋转α角，CE 交 AB 于 F，CD 交 AB 于 G，GH⊥AB 交 AC 于 H。 （1）若α=45°（如图 2） ，求 BE 的长度： （2）若α=45°（如图 2） ，求证：GH+BF=GF； （3）若α=75°（如图 3） ，GH、BF、GF 三条线段是否仍 满足（2）中的关系式，请下结论并予于证明。 D AAB DDA H G ECG5、在△ABC 中，AB=AC，CG⊥BA 交 BA 的延长线于点 G，一等腰直角三角形角尺如图 1 所示 位置摆放，该三角形尺的直角顶点为 F，三角形尺沿一条直角边 AC 边所在直线移动： CG； （1）图 1：当另一直角边恰好经过点 B 时，则 BF （2）图 2：当另一直角边与 BC 相交于点 D， （点 D 不与点 B 重合）判断 DF、DE、CG 之间存 G 在的一种关系是 ；F G AF A E B C DB C图2图1（3）若三角形尺继续移动到如图 3 所示的位置时，判断 DF、DE、CG 之间存在的一种关系 是 ； 和三角形尺继续移动到 AC 延长线上如图 4 所示的位置时， 判断 DF、DE、CG 之间存在的一种关系是 ；请你选择其中一种情 E G 况说明理由。AG A E FD BCC FD B图4图36、如图：在△ ABC 中，BC=2AB=4，AD 为边 BC 上的中线，E、F 分别为 BC、AB 上的动 点，且 CE=BF，EF 与 AD 交于点 G. FH⊥AG 于 H （1）①如图 1，当 ∠B = 90° 时，FG EG；GH= . EG；GH= . ②如图 2，当 ∠B = 60° 时，FGA _ H _ H _ F _ G _ B _ D _ E _ C _ B _ F _ G _ D _ E _ C _ A _? _ 1③如图 3，当 ∠B = α 时，FGA H F B G D E C? _ 2EG；GH=.图 3请你先填上空，再从以上三个命题中任选择一个进行证明（2）如图 4，若（1）中的点 E、F 分别在 BC、AB 的延长线上，试问（1）中的结论是否 仍然成立。若成立，请证明你的结论；若不成立，请说明理由。AH B D G F C E图 47、 △ABC 中，CA=CB，点 D 为 AB 的中点，∠A=30°，M、N 分别为 AC、BC 上的点.且 ∠CMD＋∠CND=180° ①如图 9，当 CM=CN 时， DM 与 DN 的数量关系为___________；∠MDN=__________； CM+CN 与 AB 的数量关系为________________________. ②如图 9-1，当 CM≠CN 时，①的结论是否成立？C M NA C M NADBDB图9 ③如图 9-2，若点 M 在 AC 的延长线上，点 N 在 BC 上， 其它条件不变，CM、CN、AB 有何数量关系？A图 9-1C MN D B图 9-2 ④在 图 9-1 中，若∠ A=a， 则 DM 和 DN 的数量关系为____________,∠MDN=______________. 8、等腰△ABC 和等腰△DCE，AB＝AC，DC＝DE，∠ACB＝∠DCE，P、M、N 分别为 AD、BC、CE 的中点，连接 PM、PN. ； ①如图①，B、C、D 依次在同一直线上，∠ACB＝30°，则∠MPN＝ ②如图②，B、C、D 依次在同一直线上，∠ACB＝45°，则∠MPN＝ ； ③如图③，B、C、D 依次在同一直线上，∠ACB＝60°，则∠MPN＝ ；④如图④，B、C、D 依次在同一直线上，∠ACB＝α， 则∠MPN＝ ； （1）请你完成以上各空，并从中任选一个进行证明； （2）如图⑤，将图①中的△ABC 绕 C 点旋转 180°，使得 A 点在 CE 上，B 点在 CD 上， A ∠ACB＝30°，则∠MPN 的度数为多少？写出你的结论并给予证明.A P B D M CB M C A P D N EP B D N EMC①C M B P A NN③②EDA PBE⑤MCD N E④9、 （1）如图 1，△ABC 和△ECD 都是等边三角形，图中有一对全等三角形可以看成是旋转 变换得到的.它们是_______________，其旋转中心是_______，旋转角的度数是________； （2）在（1）中，将△ECD 绕 C 点任意旋转一个角度得如图 2，分别取 AD、BE 的中点 M、 N，连结 MN、MC、NC. 则∠MCN 的度数=__________； （3）如图 3，若△ABC 和△ECD 都是等腰直角三角形，且 C 为直角顶点，M、N 分别是 AD、BE 的中点，请判断△MCN 的形状，并证明你的结论. A A AEM NB C DENM E C BBC图1图2D图3D24、 （10 分）如图，△ABC 中，∠BAC＝90°,AB＝AC,点 D 是 BC 上的一点， A ⑴DE⊥AD 且 DE＝AD,连结 CE。求证 CE⊥ACEBDC⑵以 CD 为斜边在△ABC 外作等腰 Rt△CDM，N 是 BD 的中点，连 MN,AM,试说明 MN 与 AAN 之间的关系。0） B b ， b 25、 12 分） （ 如图， 在平面直角坐标系中，（ a ， ，（0， ） 且 a 、 满足 (a ? 2)2 + b ? 4 = 0 . A （1）求直线 AB 的解析式；（2）若点 M 为直线 y = mx 上一点，且△ABM 是以 AB 为底的等腰直角三角形，求 m 的 值.y B MOAx（3）过点 A 的直线 y = kx ? 2k 交 y 轴负半轴于点 P，N 点的横坐标为-1，过 N 点的直线y=k k PM ? PN x ? 交 AP 于点 M，试证明： 的值是定值. 2 2 AMy M A xO N答案： 答案：10、如图，点 A 在 x 轴上，点 D 在 y 轴上，以 OA、AD 为边分别作等边△OAC 和等边△ ADE，若 D（0，4） ，A（2，0） 。 （1）求 CE 的长； ）（2）若∠DAC=10°，求∠AEC 的度数。 ）（3）如图，若点 P 为 x 轴正半轴上一动点，点 P 在点 A 的右边，连 PC，以 PC 为边在第 ） 一象限作等边△PCM，延长 MA 交 y 轴于 N，当点 P 运动时， ①∠ANO 的值是否发生变化？若不变，求其值，若变化，请说明理由。②AM-AP 的值是否发生变化？若不变， 求其值， 若变化， 请说明理由。（4）如图，点 P 为 x 轴上 A 点右一动点，以 PA 为边在第一象限作等边 △PAM，连 OM、PC，并交于 F，连 AF，当 P 点运动时，AF + MF PF的值是否发生变化？若不变，求其值，若变化，请说明理由。22、 （本题 6 分）等边△ABC 边长为 8，D 为 AB 边上一动点，过点 D 作 DE⊥BC 于 点 E，过点 E 作 EF⊥AC 于点 F。 （1）若 AD=2，求 AF 的长； （2）求当 AD 取何值时，DE=EF。23、 （本题 8 分） ，在平面直角坐标系中，一次函数 y=ax+b 的图像过点 B（－1， 与 x 轴交于点 A（4,0） ，与 y 轴交于点 C，与直线 y=kx 交于点 P，且 PO=PA （1）求 a+b 的值。 （2）求 k 的值。 （3）D 为 PC 上一点，DF⊥x 轴于点 F，5 ） ， 2交 OP 于点 E，若 DE=2EF，求 D 点坐标。25、 （本题 8 分） 如图△ABC 为等边三角形， 直线 a//AB， 为直线 BC 上一点， D ∠ADE 交直线 a 于点 E，且∠ADE=600。 （1）若 D 在 BC 上（如图 1）求证 CD+CE=CA（2）若 D 在 CB 延长线上，CD、CE、CA 存在怎样数量关系，给出你的结论并证明。26、 在平面直角坐标系中， 直线 y=－x+m 交 y 轴于点 A， x 轴于点 B， C 坐标 ( 交 点 作 C 关于 AB 对称点 F，连 BF 和 OF，OF 交 AC 于点 E，交 AB 于点 M。 （1）求证：OF⊥AC,0) ，（2）连接 CF 交 AB 于点 H，求证：AH= CF（3）若 m=2，E 为 x 轴负半轴上一动点，连接 ME，过点 M 作 EM 的垂线交 FB 的延长线 于点 D，问 EB－BD 的值是否改变，若不变，求其值，若改变，求其取值范围。25． 分）⑴如图 ，等腰 △ABD和等腰 △AEG有公共的顶点 ，连BG、DE，M为DE ． （9分 如图1，等腰Rt△ 和等腰Rt△ 有公共的顶点A， （ 和等腰 有公共的顶点 、 ， 为 的中点 ， 连 AM 交 BG于 N点 。 则 AM和 BG的 大小 和 位置 关系分别是 于 点 和 的 ．． ．． 、_ _________； ；中的等腰直角三角形△ 点顺时针旋转至如图2所示位置 则 ⑵将图1中的等腰直角三角形△AEG绕A点顺时针旋转至如图 所示位置， ⑴中的结论是否 将图 中的等腰直角三角形 绕 点顺时针旋转至如图 所示位置， 仍成立？试证明你的结论； 仍成立？试证明你的结论； 中的等腰直角三角形△ ⑶若将图 1 中的等腰直角三角形△AEG 绕 A 点逆顺时针旋转至 AE、AG 分别与 AB、AD 、 、 重合时， 关系分别是__________、____________，请你在图 3 重合时，则 AM 和 BG 的大小和位置关系分别是 、 ， ．． ．． 中画出图形，并直接写出结论 不要求证明 不要求证明). 中画出图形，并直接写出结论(不要求证明GE G M GA A DNDANM EDEB图1B图2B图326． ． （12 分）已知：如图，直线 y=2x+b 与 x 轴交于点 E，与 y 轴交于点 A，△AOE 的面积 已知：如图， （ ， ， 为 4，点 D 是直线 AE 在第一象限上的一点，以 AD 为边，在第一象限内作正方形 ABCD. ， 在第一象限上的一点， 为边， y 的值； ⑴求 b 的值；D CA B的坐标； ⑵若 AD=AE，试求点 B 的坐标； ，E O x运动时， ⑶设直线 AC 交 x 轴于 P 点，当 D 点在第一象限内沿直线 AE 运动时，P 点位置是否发生 改变？如果不变， 点坐标；如果改变， 点移动的范围． 改变？如果不变，请求出 P 点坐标；如果改变，请指出 P 点移动的范围．y D C1 26、 （12 分）如图 1，在平面直角坐标系中，直线 y=－ x＋m（m＞0）与 x 轴、y 轴分别交 2 于点 A、B，过点 A 作 x 轴的垂线交直线 y=x 于点 D，点 C 的坐标为(m，0)，连接 CD． ⑴求证：CD⊥AB； 3 ⑵连接 BC 交 OD 于点 H(如图 2)，求证：DH= BC； 2 ⑶若 m=2，E 为射线 AD 上的一点，且 AE=BE，F 为 EB 延长线上一点，连 FA，作∠FAN 交 y 轴于点 N，且∠FAN=∠FBO(如图 3)，当点 F 在 EB 的延长线上运动时，NB－FB 的值 是否发生变化？若不变，请求出 NB－FB 的值；若变化，请求出其变化范围．yy=xDyy=xDy=- 1 x+m 2By=- 1 x+m 2B H O COCAxAx图1y图2E B F O AxN图322． （8分）如图，A（ 3，0），B（0，1），C（0， 1）.（1）求直线AC的解析式； （2）在 x 轴上取一点 D（ 1，0），过点 D 作 AB 的垂线，垂足为 E，交 ACy于点 F， 交 y 轴于点 G，求 F 点的坐标。B D A F C O xE24． （10分） (1)如图1，等腰直角三角形△ABD和等腰直角三角形△AEG有公共的顶点A，连BG、DE，M 为DE的中点，连AM交BG于N点。则AM和BG的大小和位置关系分别是 ．． ．． 、_ _________；⑵将图1中的等腰直角三角形△AEG绕A点顺时针旋转至如图2所示位置，则⑴中的结论是否仍成立？试证 明你的结论；GE M G A NE A DDNMB图1B图2⑶若将图 1 中的等腰直角三角形△AEG 绕 A 点逆顺时针旋转至 AE、AG 分别与 AB、AD 重合时，则 AM 和 BG 的大小和位置关系分别是__________、____________，请你在图 3 中画出图形， ．． ．． 并直接写出结论，不要求证明.A G DEB图325． （12 分）如图，平面直角坐标系中，A 是 x 轴负半轴上一定点，一动点 B 从原点出发，以 1 个单位/ 秒德速度沿 y 轴正半轴运动，以 B 为直角顶点，作等腰直角三角形△ABC。 （1）若 2 秒钟时，C 点坐标为（2，－2） ，求 A 点的坐标。yBAOxC 图1（2）如图，B 点从（1）中的位置出发，再运动 2 秒钟，D 是 BC 上一点，连 AD 交 y 轴于 F 点，BE⊥AD 交 x 轴于 E 点，连结 EF，请判断△OEF 的形状；yBD F A O E C x图2（3）点 B 从（2）的位置出发继续运动，作 CP⊥x 轴于 P，下 列结论：①BO＋CP 的值不变；②BO－CP 的值不变，可以证 明， 其中只有一个结论是正确的， 请你作出正确的判断并求值。y BC A O P x图31、已知点 E，F 在 △ ABC 的边 AB 所在的直线上，且 AE = BF ， FH ∥ EG ∥ AC ， FH，EG 分别交边 BC 所在的直线于点 H，G ． （1）如图 4，如果点 E，F 在边 AB 上，那么 EG + FH = AC ； （2）如图 5，如果点 E 在边 AB 上，点 F 在 AB 的延长线上，那么线段 EG，FH，AC 的 长度关系是_______； （3）如图 6，如果点 E 在 AB 的反向延长线上，点 F 在 AB 的延长线上，那么线段 EG，FH，AC 的长度关系是_______． 对（1） （3）三种情况的结论，请任选一个给予证明． （2）2 、 已知如图①所示， △ ABC 和 △ ADE 中，AB = AC ，AD = AE ，∠BAC = ∠DAE ， 在 且点 B，A，D 在一条直线上，连接 BE，CD，M ，N 分别为 BE，CD 的中点． （1）求证：① BE = CD ；② △ AMN 是等腰三角形． （2）在图①的基础上，将 △ ADE 绕点 A 按顺时针方向旋转 180 ，其他条件不变，得到图 ②所示的图形．请直接写出（1）中的两个结论是否仍然成立； C C N M B A 图① D E B M E 图② 第 2 题图 N D Ao3、 CD 是经过 ∠BCA 顶点 C 的一条直线， CA = CB ． E，F 分别是直线 CD 上两点，且 ∠BEC = ∠CFA = ∠α ． （1）若直线 CD 经过 ∠BCA 的内部，且 E，F 在射线 CD 上，请解决下面两个问题： ①如图 1，若 ∠BCA = 90 ， ∠α = 90 ，o o则 BEoCF ； EFoBE ? AF （填“ & ”“ & ”或“ = ”； ， ），②如图 2，若 0 & ∠BCA & 180 ，请添加一个关于 ∠α 与 ∠BCA 关系的条件使①中的两个结论仍然成立，并证明两个结论成立． （2）如图 3，若直线 CD 经过 ∠BCA 的外部， ∠α = ∠BCA ，请提出 EF，BE，AF 三条 线段数量关系的合理猜想（不要求证明） ． B B B F E C （图 1） D C A （图 2） （第 3 题） A E EF D C F （图 3） D A4、已知∠MAN，AC 平分∠MAN。 ⑴在图 1 中，若∠MAN＝120°，∠ABC＝∠ADC＝90°，求证：AB＋AD＝AC; ⑵在图 2 中，若∠MAN＝120°，∠ABC＋∠ADC＝180°，则⑴中的结论是否仍然成立？ 若成立，请给出证明;若不成立，请说明理由; ⑶在图 3 中： ①若∠MAN＝60°，∠ABC＋∠ADC＝180°，则 AB＋AD＝____AC;②若∠MAN＝α（0°＜α＜180°） ，∠ABC＋∠ADC＝180°，则 AB＋AD＝____AC（用 含α的三角函数表示） ，并给出证明。M D A B N C M D A B NMCC D A B N第 25 题图5、如图 14-1，△ ABC 的边 BC 在直线 l 上， AC ⊥ BC ，且 AC = BC ；△EFP 的边 FP 也在直线 l 上，边 EF 与边 AC 重合，且 EF = FP ． （1）在图 14-1 中，请你通过观察、测量，猜想并写出 AB 与 AP 所满足的数量关系和位置 关系；EP 连结 AP ， ． BQ 猜 （2） △EFP 沿直线 l 向左平移到图 14-2 的位置时， 交 AC 于点 Q ， 将想并写出 BQ 与 AP 所满足的数量关系和位置关系，请证明你的猜想； （3） △EFP 沿直线 l 向左平移到图 14-3 的位置时， 的延长线交 AC 的延长线于点 Q ， 将 EP 连结 AP ， BQ ．你认为（2）中所猜想的 BQ 与 AP 的数量关系和位置关系还成立吗？若成立，给出证明；若不成立，请说明理由．A （E）E QAEBC （F）PlB FC PlF6、如图，已知等边△ABC 和点 P，设点 P 到△ABC 三边 AB、AC、BC（或其延长线）的距 、 离分别为 h1、h2、h3，△ABC 的高为 h． 在图（1）中， 点 P 是边 BC 的中点，此时 h3=0，可得结论： h1 + h2 + h3 = h ． 在图（2）--（5）中，点 P 分别在线段 MC 上、MC 延长线上、△ABC 内、△ABC 外． （1）请探究：图（2）--（5）中， h1、h2、h3、h 之间的关系； （直接写出结论） （2）证明图（2）所得结论； （3）证明图（4）所得结论．A A D D B M(P) (1) A D P E B M F (4) C D E M B C 等腰三角形练习题 E C B D M P (2) A E C B C M (3) E P A等腰三角形练习题P班级姓名座号 (5)总分BC=AC，CD⊥AB，DE∥BC，试说明△ 都是等腰三角形。 1．如图，在△ABC 中 BC=AC，CD⊥AB，DE∥BC，试说明△ADE 和△CED 都是等腰三角形。 如图，CEABAB=AC，BC=BD=BE，AE=DE， 的度数。 2．如图，点 D 在 AC 上，点 E 在 AB 上，且 AB=AC，BC=BD=BE，AE=DE，求∠A 的度数。 如图，AEDBC3．已知△ABC 是等腰直角三角形，AB=AC，若 AD=AB，∠CAD=36°，求∠DBC 的度数。 ．已知△ 是等腰直角三角形，AB=AC， AD=AB， CAD=36° 的度数。AE B D上的中线， 的延长线上，AE=AD， 4．在等边三角形 ABC 中，BE 是 AC 上的中线，D 在 BA 的延长线上，AE=AD，请说明 DE=EBCCEDB AACB、 DE∥AB， BC， 5．如图，在△ABC 中，∠ACB、∠CAB 的平分线交于点 F，过点 F 作 DE∥AB，分别交 BC， 如图， BA 于 D、E， 试说明： 试说明：DE=CD+AEBDFE ACDM、 BC， (1)若 6．如图，在△ABC 中，DM、EN 分别垂直平分 AC 和 BC，交 BC 于 M、N， (1)若△CMN 的周 如图， 18cm cm， 的长。 MCN=48° 的度数。 长为 18cm，求 AB 的长。 2）若∠MCN=48°，求∠ACB 的度数。 （C D A M N E BAB=AC，BC=BD=ED=EA， 的度数． 7．如图，在△ABC 中，AB=AC，BC=BD=ED=EA，求∠A 的度数． 如图，EDF=2∠ FA⊥ 求证： 8．如图，△DEF 中，∠EDF=2∠E，FA⊥DE 于 A，求证：DF+AD=AF 如图，D AEF24、如图， AB = AC , AD ⊥ BC于点D，AD = AE，AB平分∠DAE交DE于点F ，请你 写出图中三对全等三角形，并选取其中一对加以证明． ．． E A F25、如图：在△ABC 中，BE、CF 分别是 AC、AB 两边上的高，在 BE 上截取 BD=AC，在 CF 的 B D C （第 19 题）延长线上截取 CG=AB，连结 AD、AG。 求证： （1）AD=AG， （2）AD 与 AG 的位置关系如何。A G F H D E26、如图 15，△ABC 的边 BC 的中垂线 DF 交△BAC 的外角平分线 AD 于 D, F 为垂足, DE⊥AB C B 于 E，且 AB&AC，求证：BE－AC=AE． A DE27、数学课上，张老师出示了问题：如图 1，四边形 ABCD 是正方形，点 E 是边 BC 的中 B F 点． ∠AEF = 90 ，且 EF 交正方形外角 ∠DCG 的平行线 CF 于点 F，求证：AE=EF．oC经过思考，小明展示了一种正确的解题思路：取 AB 的中点 M，连接 ME，则 AM=EC，易 证 △ AME ≌△ECF ，所以 AE = EF ． 在此基础上，同学们作了进一步的研究： （1）小颖提出：如图 2，如果把“点 E 是边 BC 的中点”改为“点 E 是边 BC 上（除 B， C 外）的任意一点” ，其它条件不变，那么结论“AE=EF”仍然成立，你认为小颖的观点正确 吗？如果正确，写出证明过程；如果不正确，请说明理由； （2）小华提出：如图 3，点 E 是 BC 的延长线上（除 C 点外）的任意一点，其他条件不 变，结论“AE=EF”仍然成立．你认为小华的观点正确吗？如果正确，写出证明过程；如果 不正确，请说明理由． F A D F B E 图1 C G B E 图2 C A D F G B 图3 C E G A D（第 25 题图）1、已知：BP 是 ∠ ABC 的平分线，PD ⊥BC, ∠B AP +∠BCP=180o 。 求证：(1) PA=PC （2）BA+BC=2BDp j A B C D2、△ ABC 是等边三角形 ，点 D 是 AC 的中点，∠ EDF= 120o ,点 E、D 分别在 射线 AB、AC 上，DG⊥BC. （1 ） 、如图（1） ，当点 E 与点 B 重合时，易证：DE=DF, BE+BF=2BG. （2 ） 、如图（2） ，当点 E 在线段 AB 上，点 F 在线段 BC 延长线上，其它条件不 变时，求证：DE=DF, BE+BF=2BG。 （3 ） 、如图（3） ，当点 E 在 AB 的延长线上，点 F 在 BC 延长线上时，BE、BF、 BG 又有怎样的数量关系？请加以证明。AAADDD BE B G C F EGCFF' B(E)GCF如图（1）图（2）图（3）3、 已知，如图:在正△ABC 中，点 P、点 E 分别是射线 AC、BC 上一动点，且满 足 AP=CE，连接 PA、PE.（1） 、如图（1） ，当点 P 是线段 AC 的中点时，求证：PB=PE. (2)、如图（2） ，当点 P 是线段 AC 上任意一点时，其它条件不变，上述结论是 否仍成立？请加以证明。 (3)、如图（3） ，当点 P 是线段 AC 延长线上任意一点时，其它条件不变，上述 结论是否仍成立？请加以证明。A PB C P EA PABCEBCE如图（1）图（2）图（3）4、已知：AB//CD，AE、CE 分别是∠ BAC、∠ ACD 的平分线，且点 E 恰 好落在 BD 上。 求证： （1） 、∠ AEC= 90o （2） BE=DE 、 （3） AB+CD=AC 、ABECD5、已知，如图：BD、CD 是△ABC 的角平分线，过点 D 的直线 EF//BC,交 AB、AC 于点 E、 F (1) 如图（1）,当 BD、CD 是内角的平分线时，求证:BE+CF=EF (2) 图（2）,当 BD 是内角的平分线,CD 是外角的平分线时，BE、CF、EF 有怎样的数量 关系?加以证明 （3）如图（3）, 当 BD 、CD 都是外角的平分线时，BE、CF、EF 又有怎样的数量关系？ 直接写出结果，不予证明。AAA D FE B C DE BD CFsEFBC如图（1）图（2）图（3）6、已知，如图:在△ABC 中，AB=AC,点 D 在 AB 上，点 E 在 AC 的延长线上，连接 DE 交 BC 于点 O,过点 D 作 DG⊥BC 于点 G. 求证: (1) DO = OE(2) 求DG 的值 BCAD BGOC E7、已知，如图:在正△ABC 中，AC=BC,AC ⊥BC. (1)当 CD=BD,CF⊥AD 时， 求证： ① ∠ ADC=∠ BDF. ② ∠BFD=∠AFC. ③ CF+FD=ADC D A E F BP―006 如图所示．∠A=90°，AB=AC，M 是 AC 边的中点，AD⊥BM 交 BC 于 D，交 BM 于 E．求证：∠AMB=∠DMC．A M E B D CP―007 如图，在△ABC 中，∠A=100°，∠ABC=40°，BD 是∠ABC 的平分线，延长 BD 至 E，使 DE=AD.求证：BC=AB+CE.A D EBP―008 已知：如图，△ABC 是边长为 1 的正三角形，△BDC 是顶角∠BDC=1200 的等腰三 角形，以 D 为顶点作一个 600 角，角的两边分别交 AB 于 M,交 AC 于 N 连结 MN，求证： △AMN 的周长等于 2．CP―009 如图所示，△OAB，△OCD 为等腰直角三角形，∠AOB=∠COD=90°． （1）如图 1，点 C 在 OA 边上，点 D 在 OB 边上，连接 AD，BC，M 为线段 AD 的中点．求 证： OM⊥BC． （2）将△OCD 绕点 O 逆时针旋转一定角度（如图 2） ，M 为线段 AD 的中点． ①线段 OM 与线段 AD 是否存在某种确定的数量关系？写出并证明你的结论； ②OM⊥BC 是否仍然成立？若成立，请证明你的结论；若不成立，请说明理由．AMCBDO图1P―010 如图，在平面直角坐标系中，点 A 与点 B 的坐标分别是 A( a,0), B (0, b) ，且 a, b 满 足 2a + 3b ? 2 + (3a + 2b + 2) = 0 。点 E 的坐标是 (0, t )(t & 2) ，以 AE 为边作如图所示正2方形 AEDC。DB 交 x 轴于点 F。 （1）求点 A、点 B 的坐标； （2）试用含 t 的式子表示点 D 和点 C 的坐标； （3）当 t (t & 2) 变化时，线段 OF 的长度是否发生变化？为什么？yDE C BAOF xP-016 如图①，OP 是∠MON 的平分线，请你利用该图形画一对以 OP 所在直线为对称轴的 全等三角形.请你参考这个作全等三角形的方法，解答下列问题： （1）如图②，在△ABC 中，∠ACB 是直角，∠B=60°，AD、CE 分别是∠BAC、∠BCA 的 平分线，AD、CE 相交于点 F.请你判断并写出 FE 与 FD 之间的数量关系； （2）如图③，在△ABC 中，如果∠ACB 不是直角，而(1)中的其它条件不变，请问，你在(1) 中所得结论是否仍然成立？若成立，请证明；若不成立，请说明理由. B M E O N图①B E F A图②PD C AFDC图③P-017 如图，AD∥BC，∠ADC=90°，CA=CB，CE=CD，AC⊥CE，AE 交 BD 于点 O，AC 交 BE 于点 F. （1）若∠ACD= n° ，求∠AOB 的度数； （2）试判断 BF 与 EF 之间的数量关系，并说明理由.A O DEF B CP-018 如图 1，△ABC 是等边三角形，点 D 是边 AC 上一点，点 E 是边 BC 延长线上一点， AD=CE.点 G 为线段 BE 的中点. （1）求证：DG⊥BC； （2）如图 2，若点 D 是 AC 延长线上一点，其他条件不变，则（1）的结论还成立吗？请完 成图 2 并说明你的理由.AADE B P-019 如图，在平面直坐标系中，点 A 的坐标是（ ?2 ，0） ，点 B 的坐标是（ 2 ，0） ，点 C G C 的坐标是（0， 3 ） ，点 D 是线段 CA 延长线上一点，点 E 是线段 BC 上一点，DE 交 x 轴于 D点 G，EF⊥AB 于点 F. （1）若点 G 是 DE 的中点，试问线段 BE 和 AD 有何数量关系？为什么？ （2）在（1）的条件下，求△CGF 的面积.BCCEA DGOFBP-020 如图，在平面直角坐标系中，点 A 的坐标是（ ?t ，0） ，点 B 的坐标是（ t ，0） ，点 C 的坐标是（0， t ） ，其中 t & 0 .点 D 和点 E 分别是 AC 延长线和反向延长线上的点， CD=AE.CF⊥BD 于点 F ,直线 CF 交 x 轴于点 G，直线 GE 交 DB 于点 M. （1）求证：GB 平分∠CGM； （2）试判断∠D 与∠GEC 之间的数量关系，并说明你的理由； （3）若 AE=1 AC，则点 B 是 MD 的中点吗？为什么？ 2yD F Cx G E A O B(2)当 C=BD,CF⊥AD 时， 求证：①CM∠ A D1 C=∠ B D2 F.② ∠BF D1 =∠AFC. ③E A B FCF+F D2 =A D1年金华） ， P―001 （2010 年金华）如图，在△ABC 中，D 是 BC 边上的点（不与 B，C 重合） F，E 分别 001 是 AD 及其延长线上的点，CF∥BE. 请你添加一个条件，使△BDE≌△CDF (不再添加其它线 段，不再标注或使用其他字母)，并给出证明． （1）你添加的条件是： （2）证明：A；F B E D CP―002 （2010 年无锡） 年无锡） （1）如图 1，在正方形 ABCD 中，M 是 BC 边（不含端点 B、C）上任意一点,P 是 BC 延 长线上一点，N 是∠DCP 的平分线上一点．若∠AMN=90°，求证：AM=MN． 下面给出一种证明的思路，你可以按这一思路证明，也可以选择另外的方法证明． 证明：在边 AB 上截取 AE=MC，连 ME．正方形 ABCD 中，∠B=∠BCD=90°， AB=BC． ∴∠NMC=180°―∠AMN―∠AMB=180°―∠B―∠AMB=∠MAB=∠MAE． 本 D A 试卷由无锡市天一实验学校金杨建录制 QQ：．转载请注明！ （下面请你完成余下的证明过程） NE（2）若将(1)中的“正方形 ABCD”改为“正三角形 ABC” （如图 2）,N 是∠ACP 的平分线 P 上一点，则当∠AMN=60°时，结论 AM=MN 是否还成立？请说明理由． A B M C 本试卷由无锡市天一实验学校金杨建录制 QQ：．转载请注明！ 图1 NB图2MCP（3）若将（1）中的“正方形 ABCD”改为“正 n 边形 ABCD…X” ，请你作出猜想：当∠ °时，结论 AM=MN 仍然成立． （直接写出答案，不需要证明） AMN= P―003 （2010 山西）如图 1，已知正方形 ABCD 的边 CD 在正方形 DEFG 的边 DE 上，连 山西） 接 AE、GC． （1）试猜想 AE 与 GC 有怎样的位置关系，并证明你的结论． （2）将正方形 DEFG 绕点 D 按顺时针方向旋转，使点 E 落在 BC 边上，如图 2，连接 AE 和 CG。你认为（1）中的结论是否还成立？若成立，给出证明；若不成立，请说明理 由． D DAGAG B E（图 1）C FB EC F（图 2）P―004 如图，点 P 是正方形 ABCD 的边 CD 上一点，DF⊥AP 于点 F，在 AP 的延长线上 取一点 G，使 AF=FG，连结 DG。 （1）求证：DG=DC； （2）∠CDG 的平分线交 AG 于点 H，过点 B 作 BE⊥AG 于点 E，试问线段 BE、DF 和 AH 之间有何数量关系？为什么？A E F PDH G B CP―005 （江西省南昌市中考试题） 问题背景 某课外学习小组在一次学习研讨中，得到 江西省南昌市中考试题） 如下两个命题：①如图 8-2-1，在正三角形 ABC 中，M、N 分别是 AC、 上的点， 与 CN 相交于点 O， AB BM 若∠BON = 60°，则 BM = CN. ②如图 8-2-2，在正方形 ABCD 中，M、N 分别是 CD、 上的点， 与 CN 相交于点 O， AD BM 若∠BON = 90°,则 BM = CN. 然后运用类比的思想提出了如下的命题：图 8-2-1图 8-2-2③如图 8-2-3，在正五边形 ABCDE 中，M、N 分别 是 CD、DE 上的点，BM 与 CN 相交于点 O，若∠ BON = 108°，则 BM = CN. 任务要求 （1）请你从①、②、③三个命题中选择一个进行证 明； （2）请你继续完成下面的探索： 图 8-2-3 图 8-2-4 ①如图 8-2-4，在正 n（n≥3）边形 ABCDEF…中， M、N 分别是 CD、DE 上的点，BM 与 CN 相交于点 O，问当∠BON 等于多少度时，结论 BM = CN 成立？（不要求证明） ②如图 8-2-5，在正五边形 ABCDE 中，M、N 分别是 DE、AE 上的点，BM 与 CN 相交于点 O，当∠BON = 108°时，请问结论 BM = CN 是否还成立？若成立，请给予证明；若不成立， 请说明理由. . （1）我选图 8-2-58、在 △ ABC 中， AB = AC ，点 D 是直线 BC 上一点（不与 B、C 重合） ，以 AD 为一边 在 AD 的右侧作 △ ADE ，使 AD = AE，∠DAE = ∠BAC ，连接 CE ． ．． （1）如图 1，当点 D 在线段 BC 上，如果 ∠BAC = 90° ，则 ∠BCE = （2）设 ∠BAC = α ， ∠BCE = β ． ①如图 2，当点 D 在线段 BC 上移动，则 α，β 之间有怎样的数量关系？请说明理由； 度；②当点 D 在直线 BC 上移动，则 α，β 之间有怎样的数量关系？请直接写出你的结论． A A E B D 图1 A C B D 图2 A C EB 备用图CB 备用图C9、已知：如图所示，直线 MA ∥ NB，∠MAB 与 ∠NBA 的平分线交于点 C ，过点 C 作一 条直线 l 与两条直线 MA、NB 分别相交于点 D、E ． （1）如图 1 所示，当直线 l 与直线 MA 垂直时，猜想线段 AD、BE、AB 之间的数量关系， 请直接写出结论，不用证明； （2）如图 2 所示，当直线 l 与直线 MA 不垂直且交点 D、E 都在 AB 的同侧时， （1）中的 结论是否成立？如果成立，请证明：如果不成立，请说明理由； （3）当直线 l 与直线 MA 不垂直且交点 D、E 在 AB 的异侧时， （1）中的结论是否仍然成 立？如果成立，请说明理由；如果不成立，那么线段 AD、BE、AB 之间还存在某种数量 关系吗？如果存在，请直接写出它们之间的数量关系． M D A C E B 图1 l A N D M C B E N l A M C B A N M C B N图2 （第 9 题图）备用图备用图10、将两个全等的直角三角形 ABC 和 DBE 按图①方式摆放，其中∠ACB＝∠DEB＝90?，∠A＝∠D＝30?，点 E 落在 AB 上，DE 所在直线交 AC 所在直线于点 F． (1)求证：AF＋EF＝DE； (2)若将图①中的△DBE 绕点 B 按顺时针方向旋转角 α ，且 0?＜ α ＜60?，其他条件不 变，请在图②中画出变换后的图形，并直接写出(1)中的结论是否仍然成立； (3)若将图①中的△DBE 绕点 B 按顺时针方向旋转角 β ，且 60?＜ β ＜180?，其他条件 不变，如图③．你认为(1)中的结论还成立吗？若成立，写出证明过程；若不成立， 请写出此时 AF、EF 与 DE 之间的关系，并说明理由． DB E C F AB E C A FBCA图①图② D图③22.(8分)如图，∠B=∠C=90,M是BC的中点，DM平分∠ADC, 求证：①AM平分∠DAB,②AD=AB+CDAD17、如图，在△ABC 中，已知∠A＝90°，AB＝AC，D 为 AC 中点， B AE⊥BD 于 E，延长 AE 交 BC 于 F。求证：∠ADC∠CDF。 E 18、如图，爱 Rt△ABC 中，∠ACB＝90°，AC＝BC，D 是 AB 的中点，E、F 分别在 AC、BC 上，且 ED⊥FD，若四边形 EDFC 的面积与△ABC 的面积存在以下关系，CS四边形EDFC = kS ?ABC ，则 k 的值是（A、）3 4B、1 1 C、 4 A 2D、无法确定C E FD E B (17) F CAD (18)B39、如图，已知△ABC 中，AD 是 BC 边上的中线，E 是 AD 上一点，且 BE＝AC，延长 BE 交 AC 于 F，求证：AF＝EF 40、如图，已知 D 为△ABC 边 BC 的中点，DE⊥DF，则 BE＋CF（ ） A、大于 EF B、小于 EF C、等于 EF D、与 EF 的大小关系无法确定 41、如图，△ABC 中，AD 是∠BAC 的平分线，M 是 BC 的中点，过 M 作 ME∥AD 交 BA 的延长 线于 E，交 AC 于 F。求证：BE＝CF＝1 （AB＋AC） 2A F EA E B D (40) FAE FBD(39)CCBD M (41)C专题 12 利用“截长补短”构造全等，解决有关证明或计算 42、如图,在△ABC 中，∠BAC＝120°，AD⊥BC 于 D，且 AB＋BD＝DC， 那么∠C 的度数是 43、如图，在△ABC 中，AD⊥BC 于 D，∠B＝2∠C，求证：AB＋BD＝CD. 44、如图，在△ABC 中，AD 平分∠BAC，AB＋BD＝AC，则∠BU∠C 的值为AAABD(42)C BD (43)CBAD (44)QC45、如图，在△ABC 中，∠BAC＝60°，∠ACB＝40°， P、Q 分别在 BC、AC 上，并且 AP、BQ 分别是∠BAC、 ∠ABC 的角平分线，求证：BQ＋AQ＝AB＋BP。BP (45)C专题 13 综合运用全等、等腰三角形的知识 （利用作垂线或平行线，解决证明有关线段相等的问题） 46、如图，在△ABC 中，AB＝AC，D 为 AB 上一点，E 为 AC 延长线上一点，BD＝CE，连 DE 交 BC 于 G，求证：DG＝EG。 47、如图，在△ABC 中，∠C＝90°，∠CAD＝30°，AC＝BC＝AD，求证：CD＝BD。AC DCDBG (46)A(47)BE23.（8分)如图，△ABC中，点E是AB,BC的垂直平分线的交点，AE的延长线交BC于点 D,AB=AD,AE=BD.①求证：AB=BC;②求∠DAC的度数。AEB DC24．（10分）如图△ABC和△AEF中，AB=AC,AF=AE,∠BAC=∠EAF,FC,BE交于M,连接 AM.①如图1，若∠BAC=∠EAF=90°,则∠AME=______; ②如图2，若∠BAC=∠EAF=60°,则∠AME=______; ③如图3，若∠BAC=∠EAF= α ,则∠AME=______，请证明你的结论。C B CCBBM M E A E AM E AFFF24． （本题 10 分）如图 1，AD∥BC，AB ⊥BC 于 B，∠DCB=75°，以 CD 为边的等边△DCE 的另一顶点 E 在线段 AB 上． (1)填空：∠ADE=____°； (2)求证： AB=BC; (3)如图 2 所示，若 F 为线段 CD 上一点，∠FBC=30°， 求DF 的值． FCADAD FE B CE B C24.(10 分)△ABC 中，AB=A C，将△ABC 绕 C 点旋转至△AB′C′，连 BA， ，以 AB，BB′ 为邻边作平行四边形 ABB′D，连 A′D：①旋转后 B、C、A′在一条直线上，如图①，若∠BAC=600，则∠ADA′=____． ②如图②；旋转后 B、C、A′在一条直线上，若∠BAC= α ，则∠ADA′=________． ③若将图①中的△A′B′C 继续旋转至图③，使 B、C、A′不在一条直线上，连 AA′， 试判别△ADA′的形状，并证明你的结论．25.(12 分，如图，已知平面直角坐标系中，OA=OB=2，BP⊥AP (1)求直线 BP 的函数解析式； (2)在 BP 上截取 BC=BA，过 A 作任意直线 AM 使 CD⊥AM 于 D，求∠ADB 的度数． (3)在(2)的条件下，延长 DB 到 N，且 NA ⊥AD，MN ⊥NA,交 AB 的延长线于 M，连 MC，则 MC-CD 的值是否变化？若不变，求其值，25. （本题 12 分）如图 1：直线 y= kx+4k（k≠0）交 x 轴于点 A，交 y 轴于点 C，点 M(2，m)为直线 AC 上一点，过点 M 的直线 BD 交 x 轴于点 B，交 y 轴于点 D． (1)求OC 的值（用含有 k 的式子表示．； ） OA 9 的根，求直线 BD 的 2(2)若 S ? BOM =3S ? DOM，且 k 为方程(k+7)(k+5)-(k+6)(k+5=解析式． (3)如图 2，在(2)的条件下，P 为线段 OD 之间的动点（点 P 不与点 O 和点 D 重合） ，OE 上 AP 于 E，DF 上 AP 于 F， ， 下列两个结论： ①AE + OE AE ? OE 值不变； ② DF DF值不变，y请你判断其中哪一个结论是正确的，并说明理由并求出其值，yAO xO1BxA1P DC DB M青山区201 青山区20125（14 分）如图，在平面直角坐标系中，△AOB 为等腰直角三角形且 AO=AB , A（4，4）,B点在 x 轴上. （1）求 B 点坐标；yAOBx（2）若 C 为 x 轴正半轴上一动点，以 C 为直角顶点，AC 为直角边作等腰直角△ACD， ∠ACD=90°连 OD，求∠AOD 的度数；yAO DCBx（3）过点 A 作 y 轴的垂线交 y 轴于 E，F 为 x 轴负半轴上一点，G 在 EF 的延长线上，以 EG 为直角边作等腰 Rt△EGH，过 A 作 x 轴垂线交 EH 于点 M，连 FM，问：等式AM ? FM =1 是否成立？若成立，请证明：若不成立，说明理由. OFyE F O G M H A25. （本题12分）如图， 平面直角坐标系中， =OB， OA AB交x轴于点D， 在OB上取点C， 连接 AC交x轴于E． 1)若∠AOB=60°，OC=BD，AC =4，求点D的坐标(2)在(1)的条件下，在 x 轴上取一点 F，使 AF=AE.求∠OBF+∠OAF 的大小(3)若∠AOB =90°， 过点O作ON⊥AC于N,交AB于M， 当∠MCB= ∠ACO时， 下列结 论请判断哪一个结论成立？说明理由并求出其值．22．(12 分)如图，点 M(4, 4)，将一个 90°的角尺的 ． 如图， 如图 ， ° 直角顶点放在点 M 处，角尺的两边分别交 x 轴、y 轴正 半轴于 A、B，AP 平分∠OAB 交 OM 于 P， PN ⊥ x 轴于 、 ， 平分∠ ， N. 把角尺绕 M 点旋转时， 点旋转时， ⑴求∠BOM； ； 的值； ⑵求 OA + OB 的值； 1 的值是否发生变化？若不变，求其值. ⑶ ON + AB 的值是否发生变化？若不变，求其值 2y B M P O N A x22、 （本题 8 分）如图 9，在直角梯形 ABCD 中，AD∥BC，AB⊥BC，DE⊥AC 于 F，交 BC 于点 G，交 AB 的延长线于点 E，且 AE＝AC. （1）求证：AB=AF； ° （2）若∠BAF=60 ，且 FG=1，求 BC 的长. D A FBGCE图923 、 直 线 CD 经 过 ∠BCA 的 顶 点 C ， CA=CB ． E 、 F 分 别 是 直 线 CD 上 两 点 ， 且∠BEC = ∠CFA = ∠α ．的内部， 请解决下面两个问题： （1）若直线 CD 经过 ∠BCA 的内部，且 E、F 在射线 CD 上，请解决下面两个问题： ） ①如图 1， ∠BCA = 90o , ∠α = 90o ， EF ， 若 则o oBE ? AF （填 & ” & ” “ ， ““ 若使①中的结论仍然成立， 或 = ” ） ②如图 2， 0 & ∠BCA & 180 ， 号 ； ， 若 若使①中的结论仍然成立， ∠α 与 ∠BCA 则 应满足的关系是 ；的外部， （2）如图 3，若直线 CD 经过 ∠BCA 的外部， ∠α = ∠BCA ，请探究 EF、与 BE、AF ） ， 、 三条线段的数量关系，并给予证明． 三条线段的数量关系，并给予证明． B F E C 图1 D C A 图2 A B E EF D C F 图3 D A B24、 （本小题满分 10 分） 已知△ABC， 分别以 AB、 为边作△ABD 和△ACE， AD=AB， AC 且 AC=AE，∠DAB=∠CAE，连接 DC 与 BE，G、F 分别是 DC 与 BE 的中点． E （1）如图 1，若∠DAB =60°，则∠AFG=__ ____； 如图 2，若∠DAB =90°，则∠AFG=____ __；EA D G B C FDAFG B C图1 图2 ； （2）如图 3，若∠DAB = α ，试探究∠AFG 与 α 的数量关系，并给予证明．A E F G B CD（3）如果∠ACB 为锐角，AB≠AC，∠BAC≠90?，点 M 在线段 BC 上运动，连接 AM，以 AM 为一边以点 A 为直角顶点，且在 AM 的右侧作等腰直角△AMN，连接 NC； 试探究：若 NC⊥BC（点 C、M 重合除外） ∠ACB 等于多少度？画出相应图形，并说明 ，则∠ 理由． （画图不写作法）25、 （本小题满分 12 分）直线 AB： y = ? x ? b 分别与 x、y 轴交于 A (6, 0) 、B 两点，过点 B 的直线交 x 轴负半轴于 C，且 OB : OC = 3 :1 ； （1）求直线 BC 的解析式；（2）直线 EF： y = kx ? k （ k ≠ 0 ）交 AB 于 E，交 BC 于点 F，交 x 轴于 D，是否存在这 样的直线 EF，使得 S ?EBD = S ?FBD ？若存在，求出 k 的值；若不存在，说明理由？yBC O Ax（3）如图，P 为 A 点右侧 x 轴上的一动点，以 P 为直角顶点、BP 为腰在第一象限内作等 腰直角三角形△BPQ，连结 QA 并延长交 y 轴于点 K。当 P 点运动时，K 点的位置是否发生 变化？如果不变请求出它的坐标；如果变化，请说明理由。 yQBOAPxK24、10 分） （ 、 AC=AE， BAD=∠CAE， 已知△ABC， 作等腰△ABD 与等腰△ACE， AB=AD， 使 ， ， ∠ 直线 CD、BE 交于 O。 、 。 (1)如图①:若∠BAD=∠CAE=60°，则∠BOD= 如图 ; ; ；(2)如图②:若∠BAD=∠CAE=α，α为锐角，连 AO，则∠AOE= 如图 为锐角， ， (3)如图③： ∠BAD=∠CAE=α， 为钝角， ∠BOD 与α的数量关系是 如图③ 若 如图 α为钝角， 则 并证明你的结论。 证明你的结论。 D A O B图①E E CO DA D A E O 23.（10 分）已知：如图，AF B 平分∠BAC，BC⊥AF，垂足为 E，点 D 与点 A 关于点 E 对称， C 图③ C PB 分别与线段 CF，AF 相交于 P，M 图② B (1)求证：AB=CD； (2)若∠BA C=2 ∠MPC，请你判断∠F 与∠MCD 的数量关系，并说明理由．24.（10 分） (1)如图①， B、 三点在同一直线上， A、 C 分别以 AC,BC 为边在 AB 的同侧作等边△ACD 和等边△BCE,连接 AE、BD，M、N 分别为 AE、BD 的中点，连接 CM、CN、MN.则△CMN 的 形状是________三角形；(2)如图②， B、 三点在同一直线上， A、 C 分别以 AC,BC 为边在 AB 的同侧作等腰 Rt△ACD 和等腰 Rt△BCE．∠ACD=∠BCE=90°，连接 AE、BD，M、N 分别为 AE、BD 的中点，连接 CM、CN,MN.则△CMN 的形状是______三角形； (3)如图③，在图②的基础上，将△BCE 绕点 C 旋转一定的角度，其它条件不变，请将图形补充完整．试判断△CMN 的形状，并说明理由．°24、如图 10，在 Rt△ACB 中，∠ACB=90 ，CA=CB，D 是斜边 AB 的中点，E 是 DA 上一点， 过点 B 作 BH⊥CE 于点 H，交 CD 于点 F. （1）求证：DE=DF； （2）若 E 是线段 BA 的延长线上一点，其它条件不变， （1）中的结论仍成立吗？若 成立，请画出图形并证明；若不成立，请说明理由. A E H F C E A B DDC B 五、综合题（本题 12 分） 图 10 25、如图 11，在平面直角坐标系中，直线 AB 交 x 轴于点 A（a，0） ，交 y 轴于点 B（0， b） ，且 a、b 满足 a ? 4 + (b ? 2) 2 = 0 ，直线 y=x 交 AB 于点 M. （1）求直线 AB 的解析式； （2）过点 M 作 MC⊥AB 交 y 轴于点 C，求点 C 的坐标； （3）在直线 y=x 上是否存在一点 D，使得 S△ABD=6?若存在，求出 D 点的坐标；若不存 在，请说明理由. yBMx O C AyBMx A25.（12 分）一次函数 y=x+4 与 x 轴、y 轴分别交于 A、B 两点，E 为 OA 上一动点，D 为 OB 的延长线上一动点，且 AE=BD (1)当 E 为 OA 中点时，求 C 点坐标．(2)当 E 运动到 z 轴正半轴上， 仍有 AE-BD， E 作 EF⊥AB 于 F, 过 若不变，请求出其值；若变化，请求其变化范围．FC 的值是否变化？ AB25.（12 分）如左图，直线 AB：y=-x-b 分别与 x、y 轴交于 A(6，0)、B 两点，过点 B 的直线交 x 轴负半轴于 C，且 OB:OC=3:1；(1)求直线 BC 的解析式； (2)直线 EF:y=kx-k（k≠0）交 AB 于 E，交 BC 于点 F，交 x 轴于 D，是否存在这样的直线 EF，使得 S ? EBD=S ? FBD?若存在求出 k 的值；若不存在，说明理由？ (3)如上右图，E 为 AB 上一动点，以 AE 为斜边作等腰直角 ? ADE，P 为 BE 的中点， 连结 PD、PO，试问：线段 PD、PO 存在某种确定的数量关系和位置关系？写出你的结论 并证明。25、 、 （12 分）如图，在平面直角坐标系中，△ABC 的顶点 A（-3，0） （0，3） 如图，在平面直角坐标系中， ，B（ ， ） ，AD A （ （ ， ） ， ， BC 于 D 交 y 轴于点 E（0，1） （ ， ） ⑴求证：AE=BC 求证： OE=OC的面积。 ⑵将线段 CB 绕点 C 顺时针旋转 90? 后得线段 CF，连结 BF，求△BCF 的面积。 ， ，yBED F xAOCyP R O Q C x轴正半轴上一动点， 在第三象限内， ⑶点 P 为 y 轴正半轴上一动点，点 Q 在第三象限内，QP A PC，且 QP=PC，连结 QO， ， ， ， 分过点 Q 作 QR A x 轴于 R，求 ，OC ? QR 定值。 定值。 OPP―033 如图，在平面直角坐标系中，点 A 的坐 标是 (0, 3 3) ，点 B 的坐标是 ( 3, 0) ，点 C 在第二象限，△ ABC 是等腰直角三角形，∠ACB=90?. （1）求点 C 的坐标； （2）将△ABC 沿某方向平移，得到△ A1 B1C1 ，若点 A 的对应 点 A1 的坐标是 ( 3, 3) ， 则点 B、 C 的对应点 B1 , C1 的坐标 点 分别是多少？ （3）求△ A1 B1C1 面积.y ACOB xP―034 如图 1，点 E 是正方形 ABCD 的边 BC 上一点，AF 平分∠DAE，交直线 CD 于点 F. （1）试探索线段 DF、BE 和 AE 之间的数量关系，并说明理由；ADADF B E CE B C图1 图2 （2）若点 E 是线段 CB 延长线上一点，如图 2，其他条件不变，试问线段 DF、BE 和 AE ） 之间的又有怎样的数量关系？完成图 2，写出你的结论，并说明理由.P―035 两块等腰直角三角形纸板按如图所示方式摆放，∠BAC=∠ADE=90?，AD、AE 分别交 BC 于点 M、N. （1）请问以线段 BM、MN 和 CN 为边能否构成三角形？若能构成三角形，请判断三角形的形 状；若不能构成三角形，请说明理由.（2）若将三角形纸板 ADE 绕点 A 旋转至如图 2 所示位置，AE 交 BC 延长线于点 N，请问以线 段 BM、MN 和 CN 为边能否构成三角形？为什么？AAB DMNCBM C D图2N EE图12、（8 分） 如图，已知 E 为∠AOB 的平分线上一点，EC⊥OA，ED⊥OB，垂 足分别为 C、D。求证： （1）OC=OD； （2）OE 是 CD 的垂直平分线； （3）∠ ECD=∠EDC。22. （本题 8 分）如图 △ ABC 是等腰三角形，AB=AC,D 为直线 BC 上一点，DE ⊥ AC,DF ⊥ AB,CH ⊥ AB,（1） 分）如图（1）若 D 为 BC 的中点，求证：DE+DF=CH. （3 （2） 分）如图（2）若 D 为 BC 延长线上一点，其他条件不变，线段 DE. DF. CH 之间有 （5 何数量关系，请证明你的结论.（1） 24. (10 分) 已知等边△ABC， 在射线 BA 上， PBA = n， （n≠1） AP（1）如图 1，当 n=2 时，过点 P 作 PF⊥BC 于 F，交 AC 于 点 E， 求证：AE=EC.图1 （2）如图 2，点 D 在 BC 的延长线上，BC=CD，PC=PD，求 n 的值.图1 （3）若点 P 在射线 BA 上，D 在直线 BC 上. PC=PD，那么 子表示）. AC = CD （用含 n 的式22．△ABC 是等边三角形，D，E 是 AB，BC 边是的点，BD=CE， （1）求证：AE=CD（4 分）（2）若 AH⊥CD，AG=20cm，求 HG 的长（4 分）23．如图，AC⊥BC，∠B=300，A（-2，0）将 AC 沿 AD 对折，使 C 点落在 AB 上的 E 点，AD 交 y 轴于 F， （1）求 B 点坐标（5 分）（2）求证：△CDF 是等边三角形（5 分）24．如图，△ABC 和△ADE 都是等腰直角三角形， （1）求证：△ABD≌△ACE（5 分）CD EBA（2）设 M，N 分别是 BD，CE 的中点，求证△AMN 也是等腰直角三角形（5 分）CD M B ANE※(选作题不计入总分 选作题不计入总分)（3）设 BD 交 CE 于 H，求证 AH 平分∠BHE 选作题不计入总分C H D EBA25．已知 A（0，a） ，B（b，0）且满足 a-2 +(b-4)2=0 (1)求 A，B 两点的坐标（3 分）(2)AB 的垂直平分线与∠BOA 的角平分线交于 P， 求证：△PAB 是等腰直角三角形（4 分）(3)过 P 作 PC⊥PO 交x 轴于 C 点，连 AC，设 D（1，0）请你探究 AC 与 PD的数量关系和位置关系，并说明理由。 分） （53、(8 分) 如图，AC 是正方形 ABCD 的对角线，AE 平分∠BAC，EF⊥AC 交 AC 于点 F， （1） 分）图中与 BE 相等的所有线段是__ （2 _____ 。 （2） 分）求∠AEF 的度数。 （3 （3） 分）选择图中与 BE 相等的任意一条线段，并加以证明。 （3一、（10 分） 如图，AD 是△ABC 的中线，∠ADB 与∠ADC 的平分线分别交 AB、AC 于点 E、F，求证：BE+CF＞EF24. （本题 10 分）已知 △ ABC 为等边三 角形，D 为 AC 的中点， ∠EDF = 120 ,DE 交线段 AB 于 E，DF 交直线 BC 于 F.o（1）(3 分）如图（1）求证：DE=DF；（2） 分）如图（2）若 BE=3AE,求证：CF= （3 （3） 分） （3） BE= （4 如图 若1 BC. 41 AE,则 CF=____BC； （1） 若 BE=4AE， CF=____BC. 在图 中， 则 3（1）（2）（3）二、（14 分）如图，正方形 ABCO 在平面直角坐标系中的位置如图(1)，已知正方形的面积为 25， （1） 直接写出点 A、B、C 的坐标； （2） 若 E 是 OA 的中点，以 BE 为腰作等腰直角三角形 BEF，求 F 点的坐 标； （1） 如图(2)所示， BE 为腰作等腰直角三角形 BEF， F 在第二象限内， 以 点 连结 OF 交 AB 于 G，当 E 在边 OA（不与 O、A 重合）上运动时， OE/AG 的值是否改变，若不变，求其值；若改变，求出变化范围。25 、 已 知 ： B ( b, 0 ) 、C ( c, 0 ) 是直角平面坐标系中的两点，且满足 b + 1 + ( c ? 3 ) = 0 ，2（1）求出 B、C 两点的坐标；（2）若 A (1, a ) 是第一象限内的一点，E 在 AB 上，F 在 AC 延长线上，且 BE = CF ， EF 与 BC 交于 D 点，求证： DE = DFyA EC B o DxF（3）在（2）的条件下，若 A 点在第一象限内运动， EM ⊥ x 轴于 M， FN ⊥ x 轴于 N， 试确定线段 MN 的长度变化，若 MN 为定值请证明并求值；若发生变化请说明理由。yAE D C B M o Nx22、如图，四边形 ABCD 是正方形，CF 是∠BCD 的外角平分线 F （1）E 是 BC 上一动点，EF⊥AE 交 CF 于 F，求证：AE=EF（4 分）A 解：在 AB 上截取 AG=EC 连 GE G 在正方形 ABCD 中，AB=BC ∠B=∠BCD=90° ∵AG=EC ∴BG=BE ∴∠BGE=45°∴∠AGE=135° 又 CF 是∠BCD 的外角平分线 B ∴∠DCF=45° ∴∠ECF=135° ∴∠AGE∠ECF ∵EF⊥AE ∴∠AEB+∠CEF=90° 又∵∠GAE+∠AEB=90° ∴∠GAE=∠CEF 在△AGE 和△ECF 中 D FEC 密?∠GAE = ∠CEF ? ? AG = EC ?∠AGE = ∠ECF ?封线内∴△AGE≌△ECF ∴AE=EF（2）若(1)中的 E 点运动到 BC 的延长线上，(1)中的结论是否仍然成立，试 A D 说明理由（4 分） 。F解：成立，在 BA 的延长线上截取 AG=EC 其余过程同（1）B C E（3）若(1)中的 E 点运动到 BC 的反向延长线上，试画出图形，并判断(1) 中的结论是否成立（画图 3 分，结论 1 分）A D成立21.平面直角坐标系中，已知点 P (3a + 1,6a ? 5) 是第一象限角平分线上的点，点 C (0, m) ， EB F C(m ≠ 0) ，点 D (n,0) ， n ≠ 0 ，且 ∠CPD = 90° 。（1）以下两个结论：① m + n 是一个定值；② m ? n 是一个定值。其中有且只有一个结论 正确，请选出来，并求出这个定值。 分） （5yPCODx（2）求四边形 OCPD 的面积。 分） （5MN CAB22.如图①， AM ∥ BN ， AC 平分 ∠MAB ， BC 平分 ∠NBA 。 （4 （1）过点 C 作直线 DE ，分别交 AM 、 BN 于 D 、 E ，求证： ?ABC 是直角三角形。 分）MDN C EA ①B（2） 如图②， 将直线 DE 绕 C 点转动， DE 交 AM 于 D ， NB 的延长线于 E 点， AB 、 使 交 则 AD 、BE 三条线段的长度之间存在何种等量关系？请你写出结论并加以证明。 分） （5M DC NA ② EB（3） 将直线 DE 绕点 C 继续转动， DE 交 BN 于 E ， AM 的反向延长线于 D ， AB 、 使 交 则AD 、 BE 三条线段的长度之间存在何种等量关系？请画出图形，并直接写出你的结论，不必证明。 分） （3M结论：N C23． （本题 10 分）等腰直角三角形 ABC 中,∠A BABC=90°,AB=BC,点 D 为直线 AB 上一点（不包括 A，B两点）,连接 CD,以 CD 为直角边向下作等腰直角三角形 DCE,DE 交直线 CB 于 G,过点 B 作 BF∥ ADAC 交 DE 于点 F. (1)若点 D 在线段 AB 上,试判断 FD 与 FE 的数量关系,并说明理由;A(2)若点 D 在 AB 的延长线上,(1)中结论是否仍然成立?请在下 C 图中画完图形,并直接写出你的结论,不要求证明.BD24． （本题 12 分）如图,在直角坐标系 xoy 中,直线 y = kx ? 4k (k&0) 交 x,y 轴于点 A,B 两点,已知三角形 AOB 的面积为 16. (1)求直线 AB 的解析式;y BA O x(2)点 C 为 y 轴负半轴上一点,连接 AC,直线 CD 交 x 轴负半轴于 点 D,且 CD⊥AC,C 为垂足,E 点为 OB 的中点,点 P 为 AB 上一点, 直线 PE 交 CD 于点 F,问是否存在点 P,使得 FC=AC,若存在,请B y求出点 P 的坐标;若不存在,请说明理由.P EF A D O xC(3)点 G(8 ,g)为直线 AB 上一点,M 为 y 轴正半轴上一动点, 3y G连接 MG,过点 G 作 GN⊥MG,G 为垂足,交 x 轴正半轴于点 N, MQ,NQ 分别是∠OMN 和∠ONM 的平分线,QH⊥x 轴于点 H,问 在点 M 的运动过程中,2QH+MN 的值是否发生变化?若不变, 请求出其值;若变化,请说明理由.M Q O H N x22．如图，ABCD 为平行四边形，AD = 2，BE∥AC，DE 交 AC 的延长线于 F 点，交 BE 于 E 点． （1）求证：EF = DF； （2）若 AC = 2CF，∠ADC = 60°，AC⊥DC，求 DE 的长．例 1．如图，已知以△ABC 的三边为边在 BC 的同侧作等边△ABD、△BCE、△ACF，请回 答下列问题： （1）四边形 ADEF 是什么四边形？写出理由。 （2）当△ABC 满足什么条件时，四边形 ADEF 是菱形？ （3）当△ABC 满足什么条件时，以 A、D、E、F 为顶点的四边形不存在？E F D ABC例 2．如图，已知△ABC 中（其中∠BAC≠45°） ，以 AB、AC、BC 三边作等腰 Rt△ABF、等 腰 Rt△ACD、等腰 Rt△BCE，连接 EF、ED，判断四边形 ADEF 的形状，并证明。F EA D BC例 3．如图，以矩形 ABCD 中的 BC、CD 边作等边△BCF、等边△CDE，连接 AE、AF、EF， 判断△AEF 的形状，并证明。 FADE B C例 4．如图，已知△ABC 中（其中∠BAC≠90°） ，以 AB、AC、BC 三边作等腰 Rt△ABF、等 腰 Rt△ACD、等腰 Rt△BCE，连接 EF、ED，判断四边形 ADEF 的形状，并证明。E D F ABC例 5.（2009 年佳木斯）如图，将矩形纸片 ABCD 沿对角线 AC 折叠，使点 B 落到点 B′的 位置，AB′与 CD 交于点 E. （1）试找出一个与△AED 全等的三角形，并加以证明. （2）若 AB=8，DE=3，P 为线段 AC 上的任意一点，PG⊥AE 于 G，PH⊥EC 于 H，试 求 PG+PH 的值，并说明理由.例 6．如图，在梯形 ABCD 中，AD∥BC，对角线 BD 平分∠ABC，∠BAD 的平分线 AE 交 BC 于 E，其中 F、G 分别是 AB、AD 的中点．（1）求证：EF=EG； （2）当 AB 与 EC 满足怎样的数量关系时，EG∥CD？并说明理由．A G DFBEC例 7．如图，在梯形 ABCD 中，AD∥BC，BD=CD，∠BDC=90°，AD=3，BC=8，求 AB 的 长。A O DBC例 8．已知梯形 ABCD 中，AD∥BC，AD=2，BC=4，对角线 AC=5，BD=3， 试求此梯形的 面积．A DBC例 9．如图，梯形 ABCD 中，AB∥DC，∠B=90°，E 为 BC 上一点，且 AE⊥DE，若 BC=12， DC=7，BEUEC=1U2，求 AB 的长．DABC例 1．如图，已知菱形 ABCD 中，E、F 分别为 BC、CD 上的点，且∠AEF=∠B=60°，求证： △AEF 为等边三角形A DFBEC例 2．如图，菱形 ABCD 中，AB=4，∠ABC=60°，∠EAF=60°，交 BC、CD 于 E、F （1）当点 E、F 分别在边 BC、CD 上时，如图 1，求 CE+CF 的值；AB E C FD图1（2）当点 E、F 分别在边 CB、DC 的延长线上时，如图 2，CE、CF 又存在怎样的数量关系， 并证明你的结论； AE B C F D图2例 3．△ABC 中，∠C=60°，AD⊥BC 于 D，BE⊥AC 于 E，M 为 AB 的中点，N 为 DE 的中 点。 （1）判断 MN 与 DE 的位置关系，并证明； （2）求MN 的值； DEECN DAMB例 4．如图，△ABC 中，∠ACB=90°，AD 平分∠BAC 交 BC 于 D，CH⊥AB 于 H 交 AD 于 F， DE⊥AB 于 E C （1）求证：四边形 CDEF 是菱形； （2）若 AC=8，AB=10，求 EF 长F A DHEB例 5．如图，等腰梯形 ABCD 中，AD∥BC，∠DBC = 45°，折叠梯形 ABCD，使点 B 与点 D 重合，折痕分别交边 AB、BC 于点 F、E，若 AD = 2，BC = 8，求 BE、DC 的长．24． （1）如图 1，正方形 ABCD，点 M 是边 BC 上一点，点 N 是 AB 上的一点，若 DN⊥AM， ； DN 与 AM 交于点 O，则 DN 与 AM 的数量关系是（2）如图 2，已知正方形 ABCD 中，对角线 AC、BD 交于 O 点，过 O 点作 OE⊥OF 分别 交 DC 于点 E，交 BC 于点 F，∠FEC 的角平分线 EP 交 AC 于点 P，写出线段 EF 与 OP 之间的数量关系式，并证明你的结论； （3）如图 3，点 N 是正方形 ABCD 的边 AB 的中点，点 M 在 BC 上，MC = 2MB，NP⊥AM PC 的值． 交 AM 于点 H，交 CD 于点 P，求 DP25例 6，如图，正方形 ABCD 中，点 E、F 分别为 AB、BC 上一点，∠EDF=45° （1）问 AE、EF、CF 存在怎样的数量关系？ （2）若 AB=4，E 为 AB 的中点，求 EF 的长； A （3）若 AM=3，CN=2，求 MN 的长；EDMN B F C例 7．如图正方形 ABCD，E 为 CD 的中点，F 为 BC 上一点，且∠BAE=∠FEA （1）求证：∠FAE=45 （2）求BF 的值； CFADEBFC例 8．如图，将边长为 12cm 的正方形 ABCD 折叠，使得 A 点落在 CD 上的 E 点，然后在压 平得折痕 FG，若 FG = 13cm，求线段 CE、BG 的长．A F D E例 9．如图，E 为正方形 ABCD 的中点，AE 平分∠BAF。 （1）求证：AF=BC+FC； （2）若 AB=4，求 CF 的长；ABEDFC例 10．如图，正方形 ABCD，P 为 BC 的中点，PE⊥AP 交 CD 于 E （1）求证：AE=BC+CE； （2）求CE 的值； DEADE B P C例 11．如图正方形 ABCD，E、F 分别为 AD、AB 的中点，CE、DF 交于 P，连 BP （1）求证：CE⊥DF； （2）若 EP=1，CP=4，求 BP 的长A E P F DBC1．如图，已知△ABC，AB = AC，∠BAC = 90°，D 为 CB 延长线上一点，连 AD，以 AD 为 F 边在△ABC 的同侧作正方形 ADEF． （1）求证：AB⊥EB；E ADBC（2）求证： 2 DC ? BC = 2 EB ；FE ADBC（3）若 AF = 2，AC = 2 ，连 BF，则 S△EBF=．FE ADBC2． 如图， 已知正方形 ABCD， 为 BC 延长线上一点， AE 交 CD 于 F， E 连 作∠AEG =∠AEB， EG 交 CD 于 G，连 AG，作 FH⊥AG 于 H，交 AD 于 I，连 DH． （1）求证：GE + GD = BE； G H A I F B C E D（2）连 AC，求证： AC ? 2 DF = 2 HD ；G I F B C E DH A（3）若 CE = BC，AB = 4，则 DG =．H A I F B C E G D3．如图，正方形 ABCD，E 为 BD 上一点，连 CE，F 为 CD 上一点，连 EF，有 CE = EF．（1）作 FG⊥BD 于 G，求证：AB = 2 GE；A GDF E B C（2）如图，作 DM⊥BD 于 D，H 为 DM 上一点，连 HF，且 HF = EF． 求证：DE = 2 DA +DH．A M H DF（3）在 DM 的反向延长线取一点 I，连 FI，使 FI = HF，若∠ECB = 15°，则M A H DDH = DI．E BF I C4．如图，正方形 ABCD 与正方形 CEFG，且 B、C、E 三点共线，连结 AF、DE，交于点 H． （1）求证：∠AHD = 45°； D AH G FBCE（2）连 GH，求证：HE C GH = 2 HF；A DH G FBCE（3）若正方形 CEFG 的位置如图，B、C、F 三点共线，P 为正方形 ABCD 对角线的交点， Q 为 CF 的中点，连 CH，判断 HC，HP，HD 的关系． A DPGHBCQFE（1） ?110 + π 0 ? ( ? ) ?2 × ( ?2) ?2 ? 251 2（2） ?22 ?(0 ?1? 5 ?2 +? ? + 9 ?2?)?1（3）| ?1 | ? 4 + (π ? 3) + 2 ?20（4） 4 ? 2 × ( ) + | ?3 | +( 2 ? 1)1 2?10（5） 12 + | 3 ? 2 | + (2 ? π) 03 （6） ?27 ? | 3 ? 2 | + ( ? 3)3 + ( ?1) ?1（7）先化简，x 2 ? 2x 1 ×（1+ ） ，然后自选一个合理的 x 值代入求值。 x +1 x（8）先化简，1+ x ? 2x ? ÷?x ? ? ，然后自选一个合理的 x 值代入求值。 1? x ? 1? x ?（9）先化简， (a 1 1 ? )÷ 2 ，再选取一个你喜欢的 a 的值代入求值. a ?1 a +1 a ?1（10）先化简， (1 a?2 1 ? 2 )÷ ，再选一个你喜欢的 a 值代入求值。 a +1 a ?1 a +1（11）先化简a2 ? 1 2a ? a 2 + ÷ a ，然后自选一个合理的 a 值代入求值。 a 2 ? 2a + 1 a?2（12）先化简： ?x ? x ? 3x ，然后自选一个合理的 x 值代入求值。 ? ?÷ 2 ? x ?1 x + 1 ? x ?1（13）先化简，再求值： ? x + 2 ?? ?12 ? 4 ? x ，其中 x = 2 ? 4 . ?÷ x?2? x ?2（14）先化简，再求值： ? x ?? ?x ? ? 1 ? ? ÷ ?1 + 2 ? ，其中 x = 2 + 1 x +1 ? ? x ?1 ?（15）先化简，再求值：2x + 6 x?2 1 ? 2 ? ，其中 x = ? 2 x ? 4 x + 4 x + 3x x ? 22（16）先化简，再求值： ?? x ?1 1? 2 y ? xy ? ÷ ? + ? ，其中 x = 2 ， y = 1 ?? ? x ? y x ? y ? x ? 2y ? x y ?（17）先化简，再求值： ?x ? x ? 3x ? ，其中 x = ?3 ?÷ 2 ? x+2 x?2? x ?4（18）先化简，再求值：x2 + 2 x + 1 x2 ? 1 1 ÷ ? ，其中 x = 2 x+2 x ?1 x + 2（19）先化简，再求值：x ? 4 x 2 ? 3x ? 4 1 ÷ 2 + ，其中 x = 2 3 + 1 2 x ?1 x + 2x + 1 x ?1（20）先化简，再求值： ?8 ? a?2 ? a+2 ，其中 a = 1 + ÷ 2 2 ? a ? a ? 2a 4 ? a ?（21）先化简，再求值： ?? x2 + y2 x ? y ? 2xy ，其中 (x ? y)2 ? (x ? y) = 0 ? ?÷ 2 2 2 ? x ? y x + y ? ( x ? y) ( x + y)（22）先化简，再求值：x 2 ? 2x ? 2x ? 1? 2 ÷ ? x ?1? ? ，其中 x ? 3 x = 0 2 x +1 ? x ?1 ?（23）先化简，再求值： (x+ y x? y 1 ? ) ( ? 1 ) ，其中 x=2＋ 3 ，y=2 ? 3 x ? y x + y x2 y 2（24）先化简，再求值： 1 ?a ?b a2 ? b2 1 1 ÷ 2 ，其中 a = ， b = 2 a + 2b a + 4ab + 4b 2 3（25）先化简，再求值：a 2 ? b2 ? 2ab + b 2 ? ÷?a + ? ，当 b = ?1 时，请你为 a 任选一个适当 a 2 ? ab ? a ?的数代入求值．（26）先化简，再求值：2a + 2 a2 ?1 ÷ (a + 1) ? 2 ．其中 a = 3 ? 1 a ?1 a ? 2a + 1（27）先化简，化简：x? y x2 ? y 2 2y ÷ 2 ? ．其中 xy = 2 2 x + 3 y x + 6 xy + 9 y x+ yx? y ? 2 xy ? y 2 ? （28）先化简，再求值： ÷? x ? ? ，已知 x = 2009，y = 2010 x x ? ?（1）x 2 + 1 x 2 ? 36 ? x ? 6 x3 + x（2）x2 ? 4 y2 x+2 ? 2 2 x + 4 x + 4 3 x + 6 xyy 2 ? x2 x+ y （3） 2 ÷ 5 x ? 4 xy 5 x ? 4 y1 a b ? 2a ? （4） ? ? ÷ ? ? ? b ? a ?b b 42? a2 ? ? a ? 4 （5） ? ? ? ÷ ? ? 2 ? ÷ ( ab ) ? b ? ? b ?2（6）x? y xy ? x 2 1 ÷ 2 2 ? 2 4 x + xy x y ? x x ? y（7） 8 x 2 y 4 ? ? ??3x ? ? 6 z ? ? ? 2 ? 6 ? ? ? 4y ? ? x y ?（8）x2 ? 1 x 2 ? 3x + 2 ÷ ( x + 1) ? x2 ? 4 x + 4 x ?1（9）x 2 ? 3 x ? 10 x 2 ? 4 x ? 5 x 2 + 2 x + 1 ÷ ? x 2 ? 4 x ? 12 x 2 ? 7 x + 6 x2 ? 1（10）2x ? 6 x2 + x ? 6 ÷ ( x + 3) ? 4 ? 4x + x2 3? x（11）x 2 ? 6 x + 9 x 2 ? 7 x + 10 x + 3 ? ? 2( x ? 5) x2 ? x ? 6 x2 ? 9（12） ? a ?? ?a ? a 2 ? 2a a +1 ? 2 ?÷ 2 a + 1 ? a ? 4 a + 3a + 2（13）m + 2n n 2m + ? n?m m?n n?m（14）a ?b ? 2ab ? b 2 ? ÷?a ? ? a a ? ?（15）x2 ?x+ y x+ y（16） a + b ?2ab + 2b 2 a+b（17） ? 1 ?? ?1 ?? x2 ? x? ? ?? x ?? x ?1 ?（18） ???1 1? x 2 y ? xy + ÷? + ? ?? ? x + y x + y ? x + 2y ? x y ?（19） 1 ÷ ? 2 x +? ?1 ? x2 ? ? x ?（20） ?? x ?1 1? 2 y ? xy ? ÷? + ? ?? ? x ? y x ? y ? x ? 2y ? x y ?（21）2x 1 ? 2 2 x ? 64 y x ? 8y（22）4 x2 + 8x ? x ? 1 x + 1 ? ÷? ? ? x2 ? 1 ? x + 1 x ? 1 ?（23）3y 2 xy + 2 2 x + 2 y x + xy（24）1 1 ? x+ y ? ? ? x ? y? ? 2x x + y ? 2x ?（25） ? a ? b +? ?4ab ?? 4ab ? ?? a + b ? ? a ? b ?? a+b?（26）2a 2 + 10a ? 12 ? ÷ ? a +1? ? 2 a + 4a + 4 ? a+2?（27）2x 1 ?2 + ? 2 2 9? x x ? 3 x + 6x + 9（28） ?b ? ?1 1? ? a + ?÷? ? ? ? a ?b b ?a ? ? a b ?（29） ?1 a ? a +1 ? + 2 ?÷ ? a ? 1 a ? 2a + 1 ? a ? 1（30） x + y ) ? (x2 y2 2 x 2 y ? 2 xy 2 + ? 2 x 2 ? y 2 x ? y x ? 2 xy + y 22a 2 + 10a（31）a 2 + 4a + 4÷ (a + 1 ?12 ) a+2（32） x ? y ) ? (x2 y2 2 x 2 y + 2 xy 2 ? ? 2 y 2 ? x 2 x + y x + 2 xy + y 2P―026 如图，在平面角直角坐标系中，点 A、B 的坐标分别是（0,4）和（4,0）.点 C 是△ AOB 的一个外角平分线上一点，且∠ACO=45?，CO 交 AB 于点 D. （1）求证：AC=OC； （2）求 AD 的长.y A CD O Bx，OD=3OA，点 B 与点 P―027 如图，在平面角直角坐标系中，点 A（0，2） 、点 B（ ? 4,0） C 关于 y 轴对称，DE⊥AB 于点 E，DM=AB. （1）求点 M 的坐标； （2）求证：△AMC 是等腰直角三角形.y A E B M O C xDP―028 如图，在平面角直角坐标系中，A（C2，0） ，B（0，3） ，C（3，0） ，D（0，2）. （1）求证：AB=CD 且 AB⊥CD；yB DO A C x （2）以 A 为直角顶点在第二象限内作等腰直角三角形 ABE，过点 E 作 EF⊥ x 轴于点 F， 求点 F 的坐标；y E B DFAOC x（3） 若点 P 为 y 轴正半轴上一动点， AP 为直角边作等腰直角三角形 APQ， 以 ∠APQ=90?， QR⊥ x 轴于点 R，当点 P 运动时，OP ? QR 的值是否发生变化？若不变，求出其值；若变 化，请说明理由.y P QAOR xP―029 如图 1， 在平面角直角坐标系中， P 的坐标是 点 （3， ， 3） 以点 P 为顶点的直角∠APB 分别交 y 轴正半轴和 x 轴正半轴于点 A、点 B. （1）当直角∠APB 绕点 P 转动（保持与 y 轴正半轴和 x 轴正半轴相交）时，OA+OB 的值 是否发生变化？说明你的理由；y APOB x（2） 如图 2， 连接 OP、 AB， 若∠BAO 的平分线交 OP 于点 C， CD⊥AO 于点 D， CD+ 求 的值.AB 2y A D O CPB xyP―030 如图，在平面角直角坐标系中，点 A 的坐标是 （ a, 0 ）、 D 的 坐 标 是 （ 0, b ）， 且 a, b 满 足DAOxa + 2 + (b ? 4) 2 = 0 .（1）求点 A 和点 D 的坐标；（2）以 AD 为直角边作等腰直角三角形 AMD，求点 M 的坐标；（3）如图，以 AD 为边作正方形 ABCD，连接 BD，点 P 在线段 BD 上（不与 B、D 重合） ， 在 BD 上截取 PG=1 BD，过点 G 作 GF⊥BD 于点 G，交 BC 于点 F，连接 AP、PF，则 AP 与 2PF 有怎样的数量与位置关系？为什么？yD P CAOG BFx一次函数与几何问题1.如图，在平面直角坐标系中，正比例函数 y = kx 的图象经过点 P(m，m)，PA⊥ x 轴于点 A. （1）求 k 的值； （2）若点 P 在直线上运动，设△APO 的面积为 S，求 S 与 m 的函数关系式； （3）若 m 为 2，在坐标轴上是否存在点 Q，使△POQ 为等腰直角三角形？ 若存在，求 Q 点坐标；若不存在，说明理由. O A x y P2.如图，直线 y = kx + 4 的图象与 x 轴正半轴交于点 A，与 y 轴正半轴交于点 B.且 S （1）求直线的解析式； （2）点 C 为直线 y = mx 上一点，是否存在这样的 m， 使△ABC 是以 AB 为直角边的等腰直角三角形？ 若存在，求 m 的值；若不存在，说明理由. O B yAOB=2.Ax3.如图，在平面直角坐标系中，直线 l1 : y = x ? 2 与 x 轴交于点 A，与 y 轴交于点 B，与直线l2 : y = kx ? 4 交于点 C.且 S（1）求 k 的值；AOC=3.y= 9 ？ 2（2）点 P 为直线 l2 的第三象限的点，是否存在点 P，使 S 若存在，求 P 点坐标；若不存在，说明理由.AOPO B CAx4.如图，在平面直角坐标系中，直线 y = ? x + b 与 x 轴交于点 A(8，0)，与 y 轴交于点 B，C 为线段 AO 上一点，且 S （1）求直线 BC 的解析式； （2）若 SODC ABC= 16 ，P 为线段 AB 上一动点，OP 交 BC 于 D.y B ？若存在，求 P 点坐标； D O C P A x= 4 ，求 P 点坐标；BPD（3）是否存在点 P，使 S 若不存在，说明理由.=SODC5.直线 y = ?2 x + 4 与坐标轴的交于 A、B 两点，点 P 在 x 轴上，且 SPAB= 6 ，求 P 点坐标.6.直线 y = ? x + 2 与坐标轴的交于 A、B 两点，C(-1，2)，点 P 在 y 轴上， S 求 P 点坐标.1 2PAB=SABC，y BA O x7.如图，直线 y = 2 x + 3 与坐标轴的交于 A、B 两点，点 P 在直线 y = x 上， 且△ABP 被 y 轴平分为面积相等的两个部分}