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教学案例《方程的根与函数的零点》
以二次函数的图象与对应的一元二次方程的关系为突破口，探究方程的根与函数的零点的关系，发现并掌握在某区间上图象连续的函数存在零点的判定方法；学会在某区间上图象连续的函数存在零点的判定方法。让学生在探究过程中体验发现的乐趣，体会数形结合的数学思想，从特殊到一般的归纳思想，培养学生的辨证思维以及分析问题解决问题的能力。
五、教学重点难点
重点：函数零点与方程根之间的关系；连续函数在某区间上存在零点的判定方法。 难点：发现与理解方程的根与函数零点的关系；探究发现函数存在零点的方法。
六、教学程序设计
1. 方程的根与函数的零点以及零点存在性的探索
1.1方程的根与函数的零点
问题1：解方程（比赛）：①6x －1=0 ；②3x2＋6x －1=0 。
再比赛解3x3＋6x －1=0
设计意图：问题1（产生疑问，引起兴趣，引出课题）
比赛模式引入，调动积极性，可根据学分评定中进行过程性评定加分奖励，充分调动学生积极性和主动性。
第三题学生无法解答，产生疑惑引入课题：教师介绍说一次方程、二次方程甚至三次方程、四次方程的解都可以通过系数的四则运算，乘方与开方等运算来表示，但高于四次的方程一般不能用公式求解，如 3x5＋6x －1=0
紧接着介绍阿贝尔（挪威）定理（五次及高于五次的代数方程没有一般的代数解法），伽罗瓦（法国）的近世代数理论，提出早在十三世纪的中国，秦九韶等数学家就提出了高次方程数值解的解法，振奋学生的民族自豪感，最后引出人们一直在研究方程的近似解方法二分法引入课题。
问题2：先来观察几个具体的一元二次方程的根及其相应的二次函数的图象：如图7-1 方程与函数
方程与函数
方程与函数
[师生互动]
师：教师引导学生解方程、画函数图象、分析方程的根与图象和x 轴交点坐标的关系，推广到一般的方程和函数引出零点概念。
零点概念：对于函数y ＝f （x ）（x ∈D ），把使f （x ）＝0成立的实数x 叫做函数y ＝f （x ）（x ∈D ）的。
师：填表格
函数的零点
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方程的根与函数的零点训练题（有答案）
作者：佚名 资料来源：网络 点击数： &&&
方程的根与函数的零点训练题（有答案）
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文 章来源莲山 课件 w w w.5Y k J.C om &1．函数f(x)＝log5(x－1)的零点是(　　)A．0　　　　　　　　　　&B．1C．2& &D．3解析：选C.log5(x－1)＝0，解得x＝2，∴函数f(x)＝log5(x－1)的零点是x＝2，故选C.2．根据表格中的数据，可以判断方程ex－x－2＝0必有一个根在区间(　　)x&－1&0&1&2&3ex&0.37&1&2.78&7.39&20.09x＋2&1&2&3&4&5A.(－1,0)& &B．(0,1)C．(1,2)& &D．(2,3)解析：选C.设f(x)＝ex－x－2，∵f(1)＝2.78－3＝－0.22＜0，f(2)＝7.39－4＝3.39＞0.∴f(1)f(2)＜0，由根的存在性定理知，方程ex－x－2＝0必有一个根在区间(1,2)．故选C.3．(2010年高考福建卷)函数f(x)＝x2＋2x－3，x≤0－2＋lnx，x＞0的零点个数为(　　)A．0& &B．1C．2& &D．3解析：选C.当x≤0时，由f(x)＝x2＋2x－3＝0，得x1＝1(舍去)，x2＝－3；当x＞0时，由f(x)＝－2＋lnx＝0，得x＝e2，所以函数f(x)的零点个数为2，故选C.4．已知函数f(x)＝x2－1，则函数f(x－1)的零点是________．解析：由f(x)＝x2－1，得y＝f(x－1)＝(x－1)2－1＝x2－2x，∴由x2－2x＝0.解得x1＝0，x2＝2，因此，函数f(x－1)的零点是0和2.答案：0和2&1．若函数f(x)＝ax＋b只有一个零点2，那么函数g(x)＝bx2－ax的零点是(　　)A．0,2& &B．0，－12C．0，12& &D．2，12解析：选B.由题意知2a＋b＝0，∴b＝－2a，∴g(x)＝－2ax2－ax＝－ax(2x＋1)，使g(x)＝0，则x＝0或－12.2．若函数f(x)＝x2＋2x＋a没有零点，则实数a的取值范围是(　　)A．a＜1& &B．a＞1C．a≤1& &D．a≥1解析：选B.由题意知，Δ＝4－4a&0，∴a&1.3．函数f(x)＝lnx－2x的零点所在的大致区间是(　　)A．(1,2)& &B．(2,3)C．(3,4)& &D．(e,3)解析：选B.∵f(2)＝ln2－1＜0，f(3)＝ln3－23＞0，∴f(2)•f(3)＜0，∴f(x)在(2,3)内有零点．4．下列函数不存在零点的是(　　)A．y＝x－1x& &B．y＝2x2－x－1C．y＝x＋1　x≤0x－1　x＞0& &D．y＝x＋1　x≥0x－1　x＜0解析：选D.令y＝0，得A和C中函数的零点均为1，－1；B中函数的零点为－12，1；只有D中函数无零点．5．函数y＝loga(x＋1)＋x2－2(0＜a＜1)的零点的个数为(　　)A．0& &B．1C．2& &D．无法确定 解析：选C.令loga(x＋1)＋x2－2＝0，方程解的个数即为所求函数零点的个数．即考查图象y1＝loga(x＋1)与y2＝－x2＋2的交点个数．6．设函数y＝x3与y＝(12)x－2的图象的交点为(x0，y0)，则x0所在的区间是(　　)A．(0,1)& &B．(1,2)C．(2,3)& &D．(3,4)解析：选B.设f(x)＝x3－(12)x－2，则f(0)＝0－(12)－2&0；f(1)＝1－(12)－1&0；f(2)＝23－(12)0&0.∴函数f(x)的零点在(1,2)上．7．函数f(x)＝ax2＋2ax＋c(a≠0)的一个零点为1，则它的另一个零点为________．解析：设方程f(x)＝0的另一根为x，由根与系数的关系，得1＋x＝－2aa＝－2，故x＝－3，即另一个零点为－3.答案：－38．若函数f(x)＝3ax－2a＋1在区间[－1,1]上存在一个零点，则a的取值范围是________．解析：因为函数f(x)＝3ax－2a＋1在区间[－1,1]上存在一个零点，所以有f(－1)•f(1)≤0，即(－5a＋1)•(a＋1)≤0，(5a－1)(a＋1)≥0，所以5a－1≥0a＋1≥0或5a－1≤0，a＋1≤0，解得a≥15或a≤－1.答案：a≥15或a≤－1.& 9．下列说法正确的有________：①对于函数f(x)＝x2＋mx＋n，若f(a)＞0，f(b)＞0，则函数f(x)在区间(a，b)内一定没有零点．②函数f(x)＝2x－x2有两个零点．③若奇函数、偶函数有零点，其和为0.④当a＝1时，函数f(x)＝|x2－2x|－a有三个零点．解析：①错，如图．&②错，应有三个零点．&③对，奇、偶数图象与x轴的交点关于原点对称，其和为0.④设u(x)＝|x2－2x|＝|(x－1)2－1|，如图向下平移1个单位，顶点与x轴相切，图象与x轴有三个交点．∴a＝1.答案：③④10．若方程x2－2ax＋a＝0在(0,1)恰有一个解，求a的取值范围．解：设f(x)＝x2－2ax＋a.由题意知：f(0)•f(1)＜0，即a(1－a)＜0，根据两数之积小于0，那么必然一正一负．故分为两种情况．a＞0，1－a＜0，或a＜0，1－a＞0， ∴a＜0或a＞1.11．判断方程log2x＋x2＝0在区间[12，1]内有没有实数根？为什么？解：设f(x)＝log2x＋x2，∵f(12)＝log212＋(12)2＝－1＋14＝－34＜0，f(1)＝log21＋1＝1＞0，∴f(12)•f(1)＜0，函数f(x)＝log2x＋x2的图象在区间[12，1]上是连续的，因此，f(x)在区间[12，1]内有零点，即方程log2x＋x2＝0在区间[12，1]内有实根．12．已知关于x的方程ax2－2(a＋1)x＋a－1＝0，探究a为何值时，(1)方程有一正一负两根；(2)方程的两根都大于1；(3)方程的一根大于1，一根小于1.解：(1)因为方程有一正一负两根，所以由根与系数的关系得a－1a＜0Δ＝12a＋4＞0，解得0＜a＜1.即当0＜a＜1时，方程有一正一负两根．(2)法一：当方程两根都大于1时，函数y＝ax2－2(a＋1)x＋a－1的大致图象如图(1)(2)所示，新课标第一网&
所以必须满足a＞0Δ＞0a＋1a＞1fǡ＞0，或a＜0Δ＞0a＋1a＞1fǡ＜0，不等式组无解．所以不存在实数a，使方程的两根都大于1.法二：设方程的两根分别为x1，x2，由方程的两根都大于1，得x1－1＞0，x2－1＞0，即&#6&#6＞0&#6＋&#6＞0&#－x1＋x2＋1＞0x1＋x2＞2.所以a－1a－2a＋1a＋1＞02a＋1a＞2⇒a＜0a＞0，不等式组无解．即不论a为何值，方程的两根不可能都大于1.(3)因为方程有一根大于1，一根小于1，函数y＝ax2－2(a＋1)x＋a－1的大致图象如图(3)(4)所示，&所以必须满足a＞0fǡ＜0或a＜0fǡ＞0，解得a＞0.∴即当a＞0时，方程的一个根大于1，一个根小于1. 文 章来源莲山 课件 w w w.5Y k J.C om
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校内公开课《方程的根与函数的零点》教学设计
校内公开课《方程的根与函数的零点》教学设计
海口海港学校& &黄于芮
一、教学目标
（1）知识与技能：
结合二次函数的图象，判断一元二次方程根的存在性及个数，从而了解函数的零点与方程的根的联系.理解并会用零点存在性定理。
（2）过程与方法：
培养学生观察 、思考、分析、猜想，验证的能力，并从中体验从特殊到一般及函数与方程思想。
（3）情感态度与价值观：
在引导学生通过自主探究，发现问题，解决问题的过程中，激发学生学习热情和求知欲，体现学生的主体地位，提高学习数学的兴趣。
二、教学重难点
重点：体会函数零点与方程根之间的联系，掌握零点的概念
难点：函数零点与方程根之间的联系
三、教法学法
以问题为载体，学生活动为主线，以多媒体辅助教学为手段利用探究式教学法，构建学生自主探究、合作交流的平台
四、教学过程
1．创设问题情境，引入新课
问题1&&求下列方程的根
（1）（2）（3）
师生互动:问题1让学生通过自主解前3小题，复习一元二次方程根三种情形。
问题2&&填写下表，探究一元二次方程的根与相应二次函数与x轴的交点的关系？
师生互动:让学生自主完成表格，观察并总结数学规律
问题3 完成表格，并观察一元二次方程的根与相应二函数图象与x轴交点的关系？
师生互动:让学生通过探究，归纳概括所发现结论，并能用相对准确的数学语言表达。
2．建构函数零点概念
函数零点的概念：对于函数y=f(x),我们把使f(x)=0的实数x叫做函数y=f(x)的零点。
（1）零点是一个点吗？
（2）零点跟方程的根的关系？
(3)请你说出问题2中3个函数的零点及个数？（投影问题2的表格）
师生互动:教师逐一给出3个问题，让学生思考回答，教师对回答正确学生给予表扬，不正确学生给予提示与鼓励。
3．知识的延伸，得出等价关系
(1)方程f(x)=0有实数根(2)函数y=f(x)有零点(3)函数y=f(x)的图象与x轴有交点
师生互动:分析等价性：（1）、（2）两个命题的等价是从数的角度来刻画，第（3）个命题是从形的角度来刻画。基于此，我们就可用函数的观点看待方程，方程的根即函数的零点，可以把解方程的问题转化为函数图像与x轴的交点问题。
4．练习巩固
练习1：函数& && && && & 的零点是（& &）
A. (-2，0)和(3，0)& &&&B. -2& &&&C. 3& &&&D. -2和3
练习2：求下列函数的零点。
练习3：根据函数图象判断下列函数有几个零点？
5、归纳小结
请你谈谈本节课的收获？
（1）、函数零点的概念
（2）、三个等价关系
师生互动:让学生自己对本课进行小结，教师对学生的小结给予肯定并补充完善。
布置作业，学以致用
1、求函数：y=-x2+6x+7的零点
2、方程的解所在的区间是& && && && && & （& & ）
& & A．（0，1）& && &B．（1，2）& && &C．（2，3）& && &D．（3，4）
五、反思与体会
现代教育心理学的研究认为，有效的概念教学是建立在学生已有知识结构基础上的，因此我在教学设计过程中注意了：
（1）在学生已有知识结构和新概念间寻找“最近发展区”
（2）设法走出“概念一带而过，演习铺天盖地”的误区，促使自己与学生一起走进“重视探究、重视交流、重视过程” 的新天地。因此教学设计过程：逐层铺垫，降低难度由具体到一般，建立一元二次方程的根与相应的二次函数的零点的联系，然后将其推广到一般方程与相应的函数的情形，恰当地使用多媒体和计算器，让学生直观形象地理解问题，了解知识的形成过程。
& & 采用“启发—探究—讨论”教学模式精心设置一个个问题链，给每个学生提供思考、创造、表现和成功的机会.
建构主义认为：知识不是被动接受，而是认知主体积极主动建构的。本节的教学设计正是在这种教学理念的指导下，让学生经历“创设问题情境——建构概念——探究定理——注重反思——拓展应用”的活动过程，体验参与数学知识的发生、发展过程，提高学习数学的兴趣，成为积极主动的建构者。
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