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第三方登录：三国杀里的张角和司马懿
三国杀里张角和司马懿同时存在的话会是一个相当有意思的局面。这篇小文试图用简单的博弈论模型来说明二者并非如一般所想的那样不兼容。具体地说，那就是虽然二者彼此相生相克，但主忠是司马——张角的组合其实不一定会造成主公误杀张角的局面，即便张角的举动非常可疑（例如放闪电）。
前几日在跟朋友玩三国杀的时候就遇上了张角和司马同时在场上。7人局里（3反贼，2忠臣，1内奸）主公选司马懿，我是忠臣选了张角，在主公下家二号位。刚亮将的时候很多人就以为我是反贼：毕竟按照规则，如果闪电转到主公头上，将会是主公先判定我后改判定，主公就会体力流失三滴血，基本崩盘。
事实上我在第一回合的时候就放上了闪电。这样做有很大的风险。按照规则，闪电启动时我将先判定，然后主公改判定。如果主公认为我是反贼——由于场上反贼比忠臣多，理性的主公完全有理由做这样的判断——就会把只有三滴血的我直接爆死，然后主公就得弃掉所有牌。所以，理性的选择应该是为了避免主公误会，我不放闪电。这就是图一里面的不完全信息动态博弈模型（extensive-form
game with incomplete
information)，在均衡状态下张角不应该放闪电，而主公相信我更可能是反贼（证明过程见图二）。(自然[nature]可以选择张角的三种类型，忠臣、反贼、内奸，概率分别为p,
1-p-q。只有张角知道自己的身份。证明过程里的Y为放闪电，N为不放闪电；T是信任张角，配合张角爆死一个反贼；D为不信任张角，张角判定的时候主公司马懿直接改判定，爆死张角。)
然而，因为有过类似的经验，我的感觉是，风险其实并没有这么大。于是我还是放上了闪电，并在第二回合通过“无懈可击”跳过判定，让闪电转起来。这样做虽然是为了避免被主公误杀，但很有可能让主公更加相信我是反贼.然而，最终的结果却是主公并没有因此判定我是反贼（主公此后的表现略去不提），但闪电也没有发挥其作用，被真正的反贼“过河拆桥”了。
一般认为，主公是司马懿的情况下，忠臣选张角可以跟主公做配合，但也可能因为放闪电等举动让主公产生疑心，错杀忠臣。因此，很多人认为张角最理想的做法是求稳。然而，我的一点个人想法是，这种策略misinterpret
the structure of the
game。具体说来，就是没有考虑到还有一个stakeholder的作用，那就是真正的反贼。在图三的模型里，在保持不完全信息的假设下，我增加了反贼这一角色，并让他可以选择P（保护闪电）和W（把闪电“无懈”掉，或者“拆”掉）。计算得出的精炼贝叶斯均衡(PBE)如图四、五所示。
结果显示，一共有11个PBE。其中PBE1、5、7就是上述的求稳战略，无论是那种类型的张角都不放闪电。PBE2-3更有意思，代表我当时遇上的实际状况：张角放闪电，而主公信任张角（虽然因为我“无懈”跳过判定没能直接表现出来，不过后来主公还是坚定相信我跟他是一伙的），但反贼也看出张角其实是忠臣，闪电会对他们造成巨大危害，于是赶紧拆了。PBE4和PBE11都是张角是内奸放闪电的情况，这里我做了许多简化，毕竟在这里内奸不是我重点考虑的对象。PBE6、8-10也很有意思，就是张角之外的反贼认为张角是同伙的概率更大（甚至为1），主公也这么认为，而且反贼们认为主公也这么认为，于是赶紧把张角放的闪电拆了，免得祸害己方，算是给张角擦屁股——虽然这个张角只是他们“认为”的同伙，不一定真如他们所想。
综上，也就是说，张角是忠臣的时候放闪电其实不一定会玩火自焚（被司马冤杀），但闪电的效力很可能会没掉，因为反贼也很可能能看出张角的小心思。结果闪电等于白放。而张角是反贼放闪电的时候也可能被自家队友拆掉，毕竟主公是司马，队友们想给张角补锅。当然，这里面的模型简化了许多东西，就不一一说了。有一个很根本的假设是反贼和主公有同样的智商，反贼能根据主公的belief做判断。然而，如果反贼看不出来主公的心思，哪怕他能猜出张角的真实身份，都无法做到最优（例如该拆闪电的时候没有拆）。当然，遇上智商水平不一致的队友和对手，也是这个游戏很有意思的一部分。
这是小人的第一个模型，其实就是在课上学的经典模型基础上加一个player.虽然课上没学过怎么算有3个player的PBE，但我估摸着差不多，就用一样的方法把PBE算出来了。希望能对三国杀玩家有一点启发。
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