向量、矩阵、三维变换及四元数 - 知乎专栏
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向量与点向量无所谓位置，可以表示为；点用行向量表示为，称为齐次坐标经常还用到非齐次坐标，其表示的点是向量和点的区别在于，点可以平移，而向量无所谓平移。向量可以理解为原点向空间一点的矢量，即 2. 线性插值二维直线上取两点，该直线上任何一点满足：3. 基本变换常用的基本变换包括平移、旋转、伸缩等。理解基本变换应该从基变换出发。所谓基变换，就是变换矩阵对单位矩阵基向量的作用方式。对于任意向量，都可以写成，而向量与矩阵的乘积可表示为即：转换矩阵的每一行都能解释成将原基向量经矩阵转换后的新基向量。例如：平移可以表示如下：伸缩可以表示如下：注意观察变换矩阵相应分量对平移和伸缩变换的作用。变换矩阵最后一行行向量的作用是分别对原基向量做平移；变换矩阵对角元素的作用是对原基向量做伸缩。从模型坐标转换为世界坐标的世界矩阵表示如下：观察该矩阵发现，行向量分别是各模型坐标基向量变换到世界坐标后的单位向量，而是模型原点对世界坐标系原点的偏移。对于绕轴的旋转来说，可以把向量分解为两个分量，只有垂直分量对旋转结果有贡献。另一个理解方式是把旋转分解为分别对轴的旋转，旋转矩阵就是这三个矩阵的积。下面再看视图矩阵的构造。给定的三个D3DXVECTOR3向量，调用D3DXMatrixLookAtLH()可得到为[1]：: 世界坐标系中相机坐标系的基: 世界坐标系中相机坐标系的基: 世界坐标系中相机坐标系的基: 世界坐标系中，原点指向的向量向基的投影，即旧原点向新原点的平移对于镜头来说，局部坐标系（或模型坐标系）和视图坐标系是同一个坐标系。世界矩阵将局部坐标转换为世界坐标，同时也把视图坐标转换为世界坐标[9]。所以该视图矩阵和世界矩阵互为逆矩阵。容易验证（其中为单位矩阵）另外，我们发现上述计算的各基向量分别处于列向量的位置上，这里不能把向量直接理解成对原基向量的变换。这是因为，从世界坐标向视图坐标转换时，转换后的点相对于转换前的点，在世界坐标中的位置并没有改变，只是观察基坐标发生了变化。此时应该将变换理解为世界坐标上一点向视图坐标上的投影，也就是该点对新坐标轴向量的投影。投影后的坐标为：4. 投影变换投影变换是将视图坐标变换到一个立方体空间的过程。有两种投影方式，透视投影和平行投影。平行投影的对象原先也在一个立方体中，所以投影过程就是一个线性的伸缩和平移变换。透视投影的对象则在一个棱台内[7]，所以投影过程带有坐标轴的扭曲。投影后的立方体可简单表示为六个面（左右，上下，远近）：平行投影伸缩系数为，平移表示为。注意到，也经过了伸缩变换。若仅进行伸缩变换，实际是变换到原点为三个面的交点，立方体为的范围内。最终正交变换矩阵为透视投影伸缩系数为，坐标对分量都有作用。转换后的坐标对是线性关系。透视投影变换矩阵为注意上述都是情况下的一般情况，若变换到原点，可以令下面介绍，给定透视投影矩阵，如何得到viewfrustum各平面在view空间的表示方法[2]。而投影后的立方体各面可表示为，由此可得到viewfrustum各平面在view空间可表示为对于TBDR[3]中使用的平面方程也可由此得到，只是需使用offcenter情况下的一般矩阵。有篇文章[4]从平面法线的角度也得到了同样的结果。另外需要提到的是，此节所讲的投影是投影到立方体，并没有丢失维度信息，所以和平移、旋转和缩放一样，都是可逆的。5. 四元数与对偶四元数单位四元数可用于旋转。该单位四元数可以表示为他对应一个以单位向量为轴旋转角度的旋转操作。例如，对一个点，定义纯四元数，经四元数旋转操作后也是一个纯四元数，其中就是点绕轴旋转角度后得到的。之所以使用纯四元数，是因为纯四元数代表了三维空间的一个点，而纯四元数经过上述旋转操作后得到的还是一个纯四元数，即还是一个三维空间中的点。四元数和对偶四元数主要用于沿着旋转路径插值。关于四元数的理解，可以看这篇文章[5]。对偶四元数，可参考[6][10]。6. 参考文献：[1] [2] [3] [4] [5] [6] [7] [8] [9] [10] 注：转载请注明出处。","updated":"T09:18:16.000Z","canComment":false,"commentPermission":"anyone","commentCount":1,"collapsedCount":0,"likeCount":2,"state":"published","isLiked":false,"slug":"","lastestTipjarors":[],"isTitleImageFullScreen":false,"rating":"none","titleImage":"/v2-4daebcb4828340cdf3efe7_r.jpg","links":{"comments":"/api/posts//comments"},"reviewers":[],"topics":[{"url":"/topic/","id":"","name":"计算机图形学"},{"url":"/topic/","id":"","name":"游戏开发"},{"url":"/topic/","id":"","name":"Unity（游戏引擎）"}],"adminClosedComment":false,"titleImageSize":{"width":550,"height":363},"href":"/api/posts/","excerptTitle":"","tipjarState":"activated","tipjarTagLine":"真诚赞赏，手留余香","sourceUrl":"","pageCommentsCount":1,"tipjarorCount":0,"annotationAction":[],"hasPublishingDraft":false,"snapshotUrl":"","publishedTime":"T17:18:16+08:00","url":"/p/","lastestLikers":[{"bio":"程序猿","isFollowing":false,"hash":"ddb8f95bffb","uid":307800,"isOrg":false,"slug":"leaos","isFollowed":false,"description":"","name":"shaoleaos","profileUrl":"/people/leaos","avatar":{"id":"v2-784107bee798d24f89d545","template":"/{id}_{size}.jpg"},"isOrgWhiteList":false},{"bio":"无","isFollowing":false,"hash":"c6dde99c9ed992cc1a099e959938fada","uid":36,"isOrg":false,"slug":"call-draw","isFollowed":false,"description":"","name":"call draw","profileUrl":"/people/call-draw","avatar":{"id":"da8e974dc","template":"/{id}_{size}.jpg"},"isOrgWhiteList":false}],"summary":"数学概念，特别是矩阵变换相关的数学知识一直是困扰图形学初学者的一大难关。即使看了大量的相关资料，看起代码或动手写代码的时候，还是感到力不从心。当遇到world/view/proj等矩阵的典型应用场景的时候，尚且还能简单调用几个API完成任务。但是一遇到稍微…","reviewingCommentsCount":0,"meta":{"previous":null,"next":null},"annotationDetail":null,"commentsCount":1,"likesCount":2,"FULLINFO":true}},"User":{"HiCuteTom":{"isFollowed":false,"name":"HiTom","headline":"多年端游研发经历，游戏架构，图形引擎优化","avatarUrl":"/v2-8d53afdb17bc9776905f_s.jpg","isFollowing":false,"type":"people","slug":"HiCuteTom","bio":"时常用心，偶有所得","hash":"a0a1ea8dbd9dcb1cb253","uid":28,"isOrg":false,"description":"多年端游研发经历，游戏架构，图形引擎优化","profileUrl":"/people/HiCuteTom","avatar":{"id":"v2-8d53afdb17bc9776905f","template":"/{id}_{size}.jpg"},"isOrgWhiteList":false,"badge":{"identity":null,"bestAnswerer":null}}},"Comment":{},"favlists":{}},"me":{},"global":{},"columns":{"next":{}},"columnPosts":{},"columnSettings":{"colomnAuthor":[],"uploadAvatarDetails":"","contributeRequests":[],"contributeRequestsTotalCount":0,"inviteAuthor":""},"postComments":{},"postReviewComments":{"comments":[],"newComments":[],"hasMore":true},"favlistsByUser":{},"favlistRelations":{},"promotions":{},"switches":{"couldAddVideo":false},"draft":{"titleImage":"","titleImageSize":{},"isTitleImageFullScreen":false,"canTitleImageFullScreen":false,"title":"","titleImageUploading":false,"error":"","content":"","draftLoading":false,"globalLoading":false,"pendingVideo":{"resource":null,"error":null}},"drafts":{"draftsList":[],"next":{}},"config":{"userNotBindPhoneTipString":{}},"recommendPosts":{"articleRecommendations":[],"columnRecommendations":[]},"env":{"isAppView":false,"appViewConfig":{"content_padding_top":128,"content_padding_bottom":56,"content_padding_left":16,"content_padding_right":16,"title_font_size":22,"body_font_size":16,"is_dark_theme":false,"can_auto_load_image":true,"app_info":"OS=iOS"},"isApp":false},"sys":{}}1）void Rotate(Vector3 eulerAngles, float relativeTo)应用一个欧拉角的旋转角度，eulerAngles.z度围绕z轴，eulerAngles.x度围绕x轴，eulerAngles.y度围绕y轴（这样的顺序）。如果relativeTo留空或者设置为Space.Self 旋转角度被应用围绕变换的自身轴。（当在场景视图选择物体时，x、y和z轴显示）如果是Space.World 旋转角度被应用围绕世界的x、y、z轴。
2）void SetFromToRotation (Vector3 fromDirection, Vector3 toDirection)把物体的fromDirection旋转到toDirection3）void SetLookRotation(Vector3 view); void SetLookRotation(Vector3 view,Vector3 up);这个函数根据指定的向前和向上向量创建四元数,建立一个旋转使z轴朝向view, y轴朝向up。4）static Quaternion AngleAxis(float angle,Vector3 axis)物体沿指定轴向axis旋转角度angle。5）Quaternion.eulerAngles存放四元数对应的三个轴向的欧拉角，分别是绕x轴、y轴、z轴旋转的角度6）static Quaternion FromToRotation(Vector3 fromDirection,Vector3 toDirection);根据两个向量计算出旋转量，计算出来的旋转量为从fromDirection旋转到toDirection的旋转量，跟SetFromToRotation差不多，区别是可以返回一个Quaternion。通常用来让transform的一个轴向(例如 y轴)与toDirection在世界坐标中同步。 7）static Quaternion LookRotation(Vector3 forward); static Quaternion LookRotation(Vector3 forward,Vector3 upwards);使用指定的向前方向和向上方向来创建四元数，跟SetLootRotation差不多，区别是可以返回一个Quaternion。 8）static Quaternion RotateTowards(Quaternion from,Quaternion to, float maxDegreesDelta);以maxDegreesDelta作为角度步长计算从from到to之间的旋转量9）static Quaternion Slerp (Quaternion from : Quaternion to, float t)球形插值, 从from转换到to，移动距离为t。当两个quaternion接近时，转换的速度会比较慢。10）static Quaternion Lerp (Quaternion a, Quaternion b, float t)跟Slerp相似，且比Slerp快，.但是如果旋转角度相距很远则会看起来很差 11）static Quaternion Inverse (Quaternion rotation) : 返回与rotation相反的方向
12）static float Angle (Quaternion a, Quaternion b)计算两个旋转之间的夹角。跟Vector3.Angle() 作用一样。 13）static Quaternion Euler (float x, float y, float z)把旋转角度变成对应的Quaternion
14）void ToAngleAxis (out float angle, out Vector3 axis)返回物体的旋转角度（物体的z轴和世界坐标z轴的夹角）和三维旋转轴的向量到变量out angle 和out axis
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正切或余切公式计算即可
&&&您需要以后才能回答，未注册用户请先。萌新求问怎么根据向量旋转啊？【unity3d吧】_百度贴吧
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萌新求问怎么根据向量旋转啊？收藏
我想让1个物体旋转朝向另一个物体该怎么弄啊
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可以在资源商店里面下载一个DOTWEEN插件非常好用，有免费的也有收费的，这个插件的话在脚本中需要添加头文件DG.DOTWEEN，用对象或者直接获取Trform 使用点成员符点出DOROAT这个函数根据里面的参数的话就可以进行旋转了当然可以只旋转某个轴，
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