&p&&b&去B站搜“饮料喝多了”Up主，看他复盘的JYCLUB的周赛月赛局。&/b& &b&去B站搜“饮料喝多了”Up主，看他复盘的JYCLUB的周赛月赛局。&/b& &b&去B站搜“饮料喝多了”Up主，看他复盘的JYCLUB的周赛月赛局。&/b&&/p&&img src=&/v2-45e100b0c0cdf67d37a9c960e1bc76e8_b.png& data-rawwidth=&740& data-rawheight=&499& class=&origin_image zh-lightbox-thumb& width=&740& data-original=&/v2-45e100b0c0cdf67d37a9c960e1bc76e8_r.png&&&p&&a href=&///?target=http%3A///%21/index& class=& wrap external& target=&_blank& rel=&nofollow noreferrer&&饮料喝多了的个人空间&i class=&icon-external&&&/i&&/a&&/p&&p&&b&饮料的复盘&/b&是我看过Lyingman，SuperLiar/Pandakill，PLU狼人杀争霸赛，二龙线下局，JYCLUB局等众多狼人杀视频之后，觉得最具有学习价值的。&/p&&p&简单评价一下：
1. &b&Lyingman&/b& &b&（战旗）&/b&
前几季主要节奏停留在主播的演技和嘴炮上，培养入门兴趣可以看看。
最新季加入指间和桃子等民间高配，水平明显有了提高~战术和套路逐渐趋于多元化、复杂化~
其实这样蛮好，民间高配负责技术，主播负责节目效果以及给弹幕喷资和自信心~
&a href=&///?target=http%3A//www.zhanqi.tv/topic/lyingman& class=& wrap external& target=&_blank& rel=&nofollow noreferrer&&Lying Man 战旗高清直播平台&i class=&icon-external&&&/i&&/a&&/p&&p&2. &b&SuperLiar/PandaKill （熊猫tv）&/b&
主要看点在没脖子JY和老流氓囚徒的脏套路，从LM进阶的可以看看。
不难看出，熊猫tv还是壕得一腿，节目的设定无论是什么民国悬疑风还是什么加勒比海盗风，都是浓浓的制作感。引入民间高配从申屠到李锦，各种主播（以2009为例）成长飞快，就连前期的节目宣传（偷看事件）也是满满套路感~~当然，从催眠主播到天天狼人杀冠名PK完美转型的国服第一狼王JY才是最大赢家~
&a href=&///?target=http%3A//www.panda.tv/pandakill& class=& wrap external& target=&_blank& rel=&nofollow noreferrer&&PandaKill熊猫杀&i class=&icon-external&&&/i&&/a& &a href=&///?target=http%3A///news/61567.html& class=& wrap external& target=&_blank& rel=&nofollow noreferrer&&2016熊猫TV狼人杀SuperLiar第一季全集（1-8集）视频完整版全程回放&i class=&icon-external&&&/i&&/a&&/p&&p&3. &b&PLU狼杀赛（龙珠视频）&/b&
主要学习发言和逻辑，全程看下来有较大进步，选手多是上海地区的大神们~比如幸福，指间（亚军），王宝宝（冠军），马修斯，丝丝，大津哥，萌宝宝等等。 指间在B站上近期已经开始复盘了~果然言而有信~~~ 【北派】
&a href=&///?target=http%3A///lrs& class=& wrap external& target=&_blank& rel=&nofollow noreferrer&&PLU狼人杀争霸赛的视频房间&i class=&icon-external&&&/i&&/a& &a href=&///?target=http%3A///%21/index& class=& wrap external& target=&_blank& rel=&nofollow noreferrer&&指间大神经的个人空间&i class=&icon-external&&&/i&&/a&&/p&&p&4. &b&二龙线下局（B站）&/b&
二龙，申屠，囚徒，09，王宝宝，李锦，圈圈，李斯，大津哥，缥缈等人的线下局，娱乐因素较多，可以重点为上述大神的发言和套路。不得不说，二龙对于狼人杀的线下推广做了很大贡献，从最初贴吧上的评阶标准到组织线下高手对局，并促成南北、沪宁等高水平对抗赛~ 【南派】
&a href=&///?target=http%3A///%21/index& class=& wrap external& target=&_blank& rel=&nofollow noreferrer&&龙城大飞的个人空间&i class=&icon-external&&&/i&&/a&（内为线下局全套视频，持续更新）
&a href=&///?target=http%3A///p/& class=& wrap external& target=&_blank& rel=&nofollow noreferrer&&【狼人杀实力评分标准】看看你属于哪一阶？_lyingman吧&i class=&icon-external&&&/i&&/a& &a href=&///?target=http%3A///video/av7092071/& class=& wrap external& target=&_blank& rel=&nofollow noreferrer&&二龙线下局 南北巅峰之战 申屠 指尖CARRY 桃子问鼎 狼人你在瑟瑟发抖吗 &i class=&icon-external&&&/i&&/a& &a href=&///?target=http%3A///video/av7148279/& class=& wrap external& target=&_blank& rel=&nofollow noreferrer&&【饮料复盘】二龙局南北对抗赛第二场（合作视角）_单机联机_游戏_bilibili_哔哩哔哩弹幕视频网&i class=&icon-external&&&/i&&/a& &a href=&///?target=http%3A///video/av7373126/& class=& wrap external& target=&_blank& rel=&nofollow noreferrer&&二龙线下局 沪宁大战 &i class=&icon-external&&&/i&&/a&&/p&&p&&u&回答私信问题&/u&：二龙认为的南北主要是南状态、北逻辑，比方说如果你跳一张枪牌，南牌猎人会先看你的状态，你的状态好，他可以一直不拍你；北派猎人忍你一两天，你还不吃刀，一定扔出去。但答主认为这只是其中一个小方面，之后有时间会详细写在答案里。谢谢关注。&/p&&p&&u&另应评论要求&/u&，加上&b&冷宫群出品的大型武侠狼人杀组合&/b&：&/p&&p&东钩殿：以刘二龙为殿主，完全发挥出了钩这个字的精髓（注解：二龙常年倒钩狼~）&/p&&p&北影教：以影帝李斯教主，教派核心就是一个字，演！（注解：还有实力找白痴的技能~）&/p&&p&南枪派：以韩国人李锦为掌门，枪在手跟我走，创造出了枪徽流（注解：警上有套房的男人~）&/p&&p&西丑峰：王宝宝作为峰主，完美的演绎了丑字的核心理念（注解：野史也记载为不粘锅流派~）&/p&&p&中舒服神山：在申屠大酋长的带领下，躺着就行了（注解：沉迷舒服传销的万千少女啊~）&/p&&img src=&/v2-461bec8b617df38ffba86bd_b.png& data-rawwidth=&569& data-rawheight=&556& class=&origin_image zh-lightbox-thumb& width=&569& data-original=&/v2-461bec8b617df38ffba86bd_r.png&&&br&&p&5. &b&JYCLUB直播（B站）&/b&
最具实战价值，很多民间大神（JY，饮料，MCYP，悟空，路老师，Faker，大叔等），狼队一般不屑跟你演（一旦演起来也都是影帝影后，服气！），就是爆刀然后赢下来，非常悍，想学抿身份的要看。另外，近期悟空、Faker和大叔等玩家都做了复盘，其中是Faker的狼刀位置学教学特别有趣，具体讨论放在答主另一个关于位置学的坑里了~~
&a href=&///?target=http%3A///%21/index& class=& wrap external& target=&_blank& rel=&nofollow noreferrer&&JYclub狼人杀俱乐部的个人空间&i class=&icon-external&&&/i&&/a& &a href=&///?target=http%3A///%21/index& class=& wrap external& target=&_blank& rel=&nofollow noreferrer&&哔哩哔哩 ( ゜- ゜)つロ 乾杯~ Bilibili&i class=&icon-external&&&/i&&/a&（悟空的个人空间，定期与Faker复盘~）
&a href=&///?target=http%3A///%21/index& class=& wrap external& target=&_blank& rel=&nofollow noreferrer&&哔哩哔哩 ( ゜- ゜)つロ 乾杯~ Bilibili&i class=&icon-external&&&/i&&/a&（Faker的狼刀位置学教学空间）&/p&&p&6. &b&BestKiller（土豆）&/b&
一个杀人游戏比赛视频，许多狼杀大神都是从普通杀人游戏转的（比如JY~LM桃子~），逻辑有保障~ 这个BK我一直特别钟爱，没事出来看两遍，很有意思，也从很多大神（阿道克，流星，大非，火焰，气球，AK，狼唤，胡杨等老师）那里学到很多，尤其是如何听发言找团队，如何挤位置，如何找鸡匪/鸡警（隐狼），如何留PK等等~
&a href=&///?target=http%3A//www.acfun.tv/v/ac2346624& class=& wrap external& target=&_blank& rel=&nofollow noreferrer&&【天黑请闭眼】BestKiller 第一季 决赛八场大合集&i class=&icon-external&&&/i&&/a& &a href=&///?target=http%3A//www.acfun.tv/v/ac2396515& class=& wrap external& target=&_blank& rel=&nofollow noreferrer&&【天黑请闭眼】BestKiller 第二季 决赛八场大合集&i class=&icon-external&&&/i&&/a& &a href=&///?target=http%3A///video/av6284868& class=& wrap external& target=&_blank& rel=&nofollow noreferrer&&【天黑请闭眼】BestKiller 第三季 决赛 最牛的一季决赛&i class=&icon-external&&&/i&&/a& &a href=&///?target=http%3A///v_show/id_XMTUzMjAxNTYxMg%3D%3D.html%3Ff%3Dfrom%3Dy1.7-3& class=& wrap external& target=&_blank& rel=&nofollow noreferrer&&《非要说》&i class=&icon-external&&&/i&&/a&（大非老师的点评）
&a href=&///?target=http%3A///BESTKILLER2016%3Ffrom%3Dmyfollow_all%26is_all%3D1& class=& wrap external& target=&_blank& rel=&nofollow noreferrer&&BEST_KILLER的微博&i class=&icon-external&&&/i&&/a&（内有第四季、第五季视频链接）
&a href=&/p/& class=&internal&&Best Killer 第五季观赛总结 - 刘二爷的文章 - 知乎专栏&/a&
顶级推理杀人游戏赛事Best Killer第六季来袭 - 刘二爷的文章 - 知乎专栏
&a href=&/p/& class=&internal&&知乎专栏&/a&&/p&&p&7. &b&疯人院2007（B站）&u&中国最高质量的杀人游戏是疯人院2007年的五局全明星赛！&/u&&/b&
07年之后，杀人游戏沉寂好久，由于BK才再次觉醒，涌现出新一批的大神。其中，BK里有几位大师级玩家，如AK，流星，大APPLE都来自疯人院。看疯人院的最大感触就是：无论警队还是匪队，几乎一轮就明晰彼此了，几乎每推必匪，每刀必警！比赛的胜负就看首刀和最后一轮的匪悍跳（毕竟选手都抿人太准）。而且平民大多能爆水，没题话外，说话简单，思路清晰，这就是高手和新手的主要区别，&b&这才是发言，这才是听发言&/b&！
&b&答主认为，普通玩家和高配玩家的发言区别是&/b&：
普通玩家会把场上所有他怀疑的点都讲出来，但仅仅是一盘散沙，东一块西一块，&u&既形不成一条连贯完整的逻辑线，又给不出一个切实可行的实施方案&/u&；
高配玩家的发言每一个字都不是废话，且他会有的放矢，他会利用&u&强大的听发言能力获取场上的已知信息，结合大局观制定一个实施方案，并通过发言最大程度地达到他的目的&/u&。&/p&&p&一个疯人院的玩家都很自信，尤其是匪徒，爆匪很果断，通过两轮爆匪，死警基本不可能有遗言留下信息，为最后的悍跳打下基础。爆匪出局遗言会非常自信地说：匪徒必胜！相比于那些认为狼人和匪徒就是坏人的耿（萌）直（新）玩家们，他们更懂得这个杀人（狼人）游戏的主角是杀手（狼人）。总之，看了疯人院的神配们，答主的膝盖必须送上~~&u&关于什么是疯人院，见评论区回复贴&/u& &a href=&///?target=http%3A///video/av4097946/& class=& wrap external& target=&_blank& rel=&nofollow noreferrer&&【天黑请闭眼】2007年【疯人院】全明星赛&i class=&icon-external&&&/i&&/a& &a href=&///?target=http%3A///video/av4033678/& class=& wrap external& target=&_blank& rel=&nofollow noreferrer&&【天黑请闭眼】东北【疯人院】2007年主治医师选拔赛&i class=&icon-external&&&/i&&/a& &a href=&///?target=http%3A//www.xici.net/d.htm& class=& wrap external& target=&_blank& rel=&nofollow noreferrer&&全国疯人院成员名单&i class=&icon-external&&&/i&&/a& &a href=&///?target=https%3A///group/topic/9656310/& class=& wrap external& target=&_blank& rel=&nofollow noreferrer&&疯人院杀人游戏教材（转）&i class=&icon-external&&&/i&&/a&强推必看！第四部分 相面
&a href=&///?target=https%3A///group/topic//& class=& wrap external& target=&_blank& rel=&nofollow noreferrer&&杀人游戏宝典（出处：北京疯人院）&i class=&icon-external&&&/i&&/a&强推必看！&/p&&p&&b&8. PKiller（B站）&/b&
答主最近在B站上新发现的北大电视台出品的大学生狼人杀节目，节目效果还不错，需要改进的地方也不少，但作为高校学生能做到这个样子，的确是非常热爱这个游戏啊~需要多多支持和鼓励~~
之前看JYCLUB的高校狼人杀联赛时，渐渐发觉了大学生玩家的一些玩法特点~很有意思~~个别玩家配置还是蛮高，比如菜包子，45，阿鹿，Adam，牛肉干等等~~~
&a href=&///?target=http%3A///video/av7174188/& class=& wrap external& target=&_blank& rel=&nofollow noreferrer&&【Pkiller】第零期_日常_生活_bilibili_哔哩哔哩弹幕视频网&i class=&icon-external&&&/i&&/a& &a href=&///?target=http%3A///video/av7297952/& class=& wrap external& target=&_blank& rel=&nofollow noreferrer&&北大学生自制狼人杀Pkiller第一期_综艺_娱乐_bilibili_哔哩哔哩弹幕视频网&i class=&icon-external&&&/i&&/a& &a href=&///?target=http%3A///video/av7340659/& class=& wrap external& target=&_blank& rel=&nofollow noreferrer&&Pkiller第一期节目 · 复盘视频&i class=&icon-external&&&/i&&/a& &a href=&///?target=http%3A///video/av7255585/& class=& wrap external& target=&_blank& rel=&nofollow noreferrer&&【JY-CLUB】11月25号 狼王JY vs 清北 高校预热赛&i class=&icon-external&&&/i&&/a& &a href=&///?target=http%3A///video/av7425415/& class=& wrap external& target=&_blank& rel=&nofollow noreferrer&&j yclub北京高校狼人杀联赛a组小组赛：北京体育大学、北京工商大学、首都师范大学、中国政法大学&i class=&icon-external&&&/i&&/a& &a href=&///?target=http%3A///video/av7425426/& class=& wrap external& target=&_blank& rel=&nofollow noreferrer&&j yclub北京高校狼人杀联赛b组小组赛：中国人民大学、北京邮电大学、北京师范大学、北京工业大学&i class=&icon-external&&&/i&&/a& &a href=&///?target=http%3A///video/av7440009/& class=& wrap external& target=&_blank& rel=&nofollow noreferrer&&j yclub北京高校狼人杀联赛c组小组赛：清华大学、北京大学、北京建筑大学、北京科技大学&i class=&icon-external&&&/i&&/a& &a href=&///?target=http%3A///video/av7425415/& class=& wrap external& target=&_blank& rel=&nofollow noreferrer&&j yclub北京高校狼人杀联赛a组小组赛：北京体育大学、北京工商大学、首都师范大学、中国政法大学&i class=&icon-external&&&/i&&/a&&/p&&p&&b&9. 黄金十二宫（B站）&/b&
鉴于最近饮料复盘的频率降低，答主只能找些生肉来看~这个黄金十二宫就特别好，主逻辑流的上海地区高配局~指间、LM桃子、王宝宝、幸福、will、龙哥等等，大部分选手来自龙珠的狼人杀争霸赛，而且相比比赛阶段有明显进步~~由于是生肉，需要自己做复盘，因此答主建议有基础的中高阶玩家可以重点看这套视频~~【北派】
&a href=&///?target=http%3A///video/av7560945/& class=& wrap external& target=&_blank& rel=&nofollow noreferrer&&【黄金十二宫】狼人杀 第1期 傲娇腹黑 明争暗斗&i class=&icon-external&&&/i&&/a& &a href=&///?target=http%3A///video/av7623058/& class=& wrap external& target=&_blank& rel=&nofollow noreferrer&&【黄金十二宫】狼人杀 第2期 阴阳颠倒 输赢无常&i class=&icon-external&&&/i&&/a& &a href=&///?target=http%3A///video/av7730427/& class=& wrap external& target=&_blank& rel=&nofollow noreferrer&&【黄金十二宫】狼人杀 第3期 神民互忌 不攻而伤&i class=&icon-external&&&/i&&/a& &a href=&///?target=http%3A///video/av7896260/& class=& wrap external& target=&_blank& rel=&nofollow noreferrer&&【黄金十二宫】狼人杀 第4期 丢盔弃甲 王后为尊&i class=&icon-external&&&/i&&/a&&/p&&p&然而这些视频，你如果只是看过而不去分析，就只能囫囵吞枣，以求皮毛。所以，必须通过各种大神专业级的复盘，你才知道为什么这个是狼，这个是民，这个是什么什么神，为什么这时候该上警，该跳身份，该自爆~~&/p&&p&众多复盘里，有各位主播的（JY，少帮主，囚徒，申屠）讲得都不错，但是由于片源是Pandakill，有一些先天缺陷。&b&&u&最好的要数饮料复盘的JYCLUB直播赛，讲得非常详细，非常透彻，他会很耐心地分析每个人发言的好坏，新手玩家的问题，每位玩家的身份（抿人）以及他自己当场的心理活动等等。&/u&&/b&看完自己打的时候用一下就会了。（司高义~~好神奇~~）&/p&&p&关于有些小伙伴有点鄙视抿身份流，觉得这是场外；答主这里引用饮料大神的一句话：
&b&&u&“面杀，就是要收集场上所有可用的信息，来帮助我寻找事情的真相。” &/u&&/b&
你熟悉一个玩家的习惯，你发现一个玩家的异常举动或逻辑混乱，无论是无意中还是下意识的，都是他的身份/动机使然。就算自己只拿到民牌，最起码你的已知条件是“我是个民/好人”，从而用你的行为，以及别人对你的反应等等推出下一步信息，道理是这样没错~~所以答主最喜欢玩民牌~~~~&/p&&p&答主大概用了几个月陆续看完上面这些，看完也要自己反思，平时玩完每局自己要做复盘和总结~~
现在网杀已经很少玩了，面杀几乎一轮能摸清场上80~90%人的身份，曾被封为【开天眼的五阶大神】（其实并没有五阶&0&），也曾经摸坏人牌时强怼好人，让那些好人一度认为他们自己是坏人（这个可以有O(∩_∩)O~）。&/p&&p&总之，在同一个场子，在别人还云里雾里的时候，你能看到不一样的剧情展开，并能说服其他玩家，掌控全局秀一波操作，确实是一件很幸福的事情。（吹B到此结束，撒花~~~）&/p&&p&另外关于南北派，逻辑，状态，发言等等，答主偷空回来答吧。&/p&&p&相信等你看完，会回来赞我的~~加油↖(^ω^)↗&/p&&p&&img src=&&a href=&///?target=https%3A///v2-d50c4bf232a6a482bdde78_b.png& class=& external& target=&_blank& rel=&nofollow noreferrer&&&span class=&invisible&&https://&/span&&span class=&visible&&/v2-d50c4&/span&&span class=&invisible&&bf232a6a482bdde78_b.png&/span&&span class=&ellipsis&&&/span&&i class=&icon-external&&&/i&&/a&& data-rawwidth=&271& data-rawheight=&244& class=&content_image& width=&271&&当然，就算你不回来赞我~&/p&&p&当然，就算你不回来赞我~&/p&&p&我也只想说：&/p&&p&&img src=&&a href=&///?target=https%3A///v2-756d3abbcdc9b99302d27c_b.png& class=& external& target=&_blank& rel=&nofollow noreferrer&&&span class=&invisible&&https://&/span&&span class=&visible&&/v2-9618a&/span&&span class=&invisible&&8aabbcdc9b99302d27c_b.png&/span&&span class=&ellipsis&&&/span&&i class=&icon-external&&&/i&&/a&& data-rawwidth=&250& data-rawheight=&242& class=&content_image& width=&250&&~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~&/p&&p&~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~&/p&&p&看见赞同100+了，评论里真的有看完回来赞的同学~~感觉自己身份做好了~~恩&/p&&p&~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~&/p&&p&看见赞同200+了，评论里还有饮料大神的回复~~感觉自己可以佩戴警徽了~~恩&/p&&p&~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~&/p&&p&看见赞同接近300了，谢谢大家，把各视频链接附上了~~是时候收藏一波了~~恩&/p&&p&~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~&/p&&p&看见赞同400+了，好开森，谢谢各方狼王们~答主又偷偷加了点内容~~撒花~~恩&/p&&p&~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~&/p&&p&看见赞同500+了，收藏880+了，答主很是意外~谢谢支持~放一张JY的萌图~~恩&/p&&p&&img src=&&a href=&///?target=https%3A///v2-6cca25f48c7bc695bcace8b_b.png& class=& external& target=&_blank& rel=&nofollow noreferrer&&&span class=&invisible&&https://&/span&&span class=&visible&&/v2-6cca2&/span&&span class=&invisible&&5f48c7bc695bcace8b_b.png&/span&&span class=&ellipsis&&&/span&&i class=&icon-external&&&/i&&/a&& data-rawwidth=&257& data-rawheight=&244& class=&content_image& width=&257&&~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~&/p&&p&~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~&/p&&p&看见赞同600+，收藏1000+了~既然这样，再给你们推荐一个狼人杀的公众号吧~&/p&&p&&b&狼人杀俱乐部，微信号：LRSJLB&/b&&/p&&p&几乎每天更新，最近几期目录如下：狼人杀游戏术语大全，意识流玩家carry过程，&/p&&p&狼人杀游戏心态的重要性，狼人杀被查杀辩解技法，狼人杀面杀助手出炉...&/p&&p&注意，本答主并不是营销号哈，以上所有链接都是&b&单纯推荐，不喜勿喷&/b&~~恩~~&/p&&p&~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~&/p&&p&看见赞同700+了，收藏1200+，本答主决定祭出压箱底的大招&b&【疯人院】！！！&/b&&/p&&p&&b&~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~&/b&&/p&&p&看见赞同900+了，收藏1600+，这是答主开楼时想不到的，谢谢大家支持~~&/p&&p&听说学校里最近也要举办狼人杀的比赛了，学弟学妹们游戏热情很高，祝好~&/p&&p&~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~&/p&&p&收藏2000+了，&b&授权到LRSJLB的公众号&/b&了，答主在这里一并谢谢各位的支持~&/p&&p&另，关于评论区里对于各位玩家评阶的问题，仁者见仁，有不同见解总是好的~&/p&&p&~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~&/p&&p&收藏5000+了，答主已经好久没登知乎了，今天上线看见一条私信，敦促答主填坑o(╯□╰)o&/p&&p&首先谢谢各位的支持，不敢自称大神，有时间的话，我会陆续填坑的~（先立一个FLAG）&/p&&p&PS：最近刚开始玩手狼APP，假装萌新还挺有意思的~哈哈~ （更新于）&/p&&img src=&/v2-b680ea9407cffa25f9e94dd155e4a530_b.png& data-rawwidth=&1080& data-rawheight=&1920& class=&origin_image zh-lightbox-thumb& width=&1080& data-original=&/v2-b680ea9407cffa25f9e94dd155e4a530_r.png&&&p&~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~&/p&&p&收藏7000+了，已授权至【清华南都】微博公众号&a href=&///?target=http%3A///ttarticle/p/show%3Fid%3D& class=& wrap external& target=&_blank& rel=&nofollow noreferrer&&Sina Visitor System&i class=&icon-external&&&/i&&/a&&/p&&img src=&/v2-2b3c4dab76a228a8c37d_b.png& data-rawwidth=&888& data-rawheight=&498& class=&origin_image zh-lightbox-thumb& width=&888& data-original=&/v2-2b3c4dab76a228a8c37d_r.png&&&br&&br&&p&&a href=&/question//answer/?from=profile_answer_card& class=&internal&&狼人杀首刀位置学？ - 刘二爷的回答 - 知乎&/a&&/p&&p&&a href=&/question//answer/& class=&internal&&狼人杀有什么晚上交流手势？ - 刘二爷的回答 - 知乎&/a&&/p&&p&&a href=&/question//answer/& class=&internal&&有什么狼人杀DIY角色? - 刘二爷的回答 - 知乎&/a&&/p&&p&&a href=&/question//answer/& class=&internal&&狼人游戏玩久了以后生活会有什么变化？ - 刘二爷的回答 - 知乎&/a&&/p&&p&&a href=&/question//answer/& class=&internal&&狼人杀闭眼玩家在天黑阶段可不可以做动作？ - 刘二爷的回答 - 知乎&/a&&/p&&p&&a href=&/question//answer/& class=&internal&&你在狼人杀中学到了什么？ - 刘二爷的回答 - 知乎&/a&&/p&&p&&a href=&/question//answer/?group_id=582592& class=&internal&&你觉得你印象中的哪些名人，如果玩狼人杀会很厉害 ？&/a&（新开的坑，介绍了日综《人狼》~）&/p&
去B站搜“饮料喝多了”Up主，看他复盘的JYCLUB的周赛月赛局。 去B站搜“饮料喝多了”Up主，看他复盘的JYCLUB的周赛月赛局。 去B站搜“饮料喝多了”Up主，看他复盘的JYCLUB的周赛月赛局。饮料的复盘是我看过Lyingman，SuperLiar/Pandaki…
&p&我也不理解这篇文章为何会突然爆发出这么多赞，与此而来的是一大堆的“看不懂”和“这是数学不是物理”的回复。对于前者，请你们不用再回复了，这篇文章对你们毫无意义。对于后者，我觉得有必要强调一下电动力学是什么样的。&/p&&p&电动力学（Electrodynamics）在一般的教学安排中，是在普通物理（General Physics）之后，作为理论物理课程的一部分的，作为理论物理，当然应该&b&严格描述数学&/b&。实验事实和物理图像的建立是普通物理课程的内容，为此我写过一篇专栏（&a href=&/p/?refer=everytingisphysics& class=&internal&&&span class=&invisible&&https://&/span&&span class=&visible&&/p/19&/span&&span class=&invisible&&622073?refer=everytingisphysics&/span&&span class=&ellipsis&&&/span&&/a&），虽然我承认效果并不理想。一般公认&b&讲好普通物理是很难的&/b&。&/p&&p&而电动力学课程在理论物理课程的框架中也是更多具有承上启下和应用的意义。电动力学需要的基础的框架在分析力学中已经描述得很清楚，而应用必然涉及到对麦克斯韦方程组在各种条件下（包括辐射）的求解——这也是大部分电动力学书籍和课程的主题。更进一步发展的要涉入量子的范畴，就远远超出了经典电动力学的范畴。于是，经典电动力学范围内有意思的部分非常有限，对大部分学生来说这是一门非常枯燥的课程。&/p&&p&当然，以方程写法为主轴是用了一个梗，这还需要我说破实在是太没有幽默感了。这些方程形式蕴含了一些结论，比如电磁波的存在，正好可以一并介绍。而对于记号系统的介绍，是作为介绍广义相对论（&a href=&/p/?refer=everytingisphysics& class=&internal&&&span class=&invisible&&https://&/span&&span class=&visible&&/p/19&/span&&span class=&invisible&&932660?refer=everytingisphysics&/span&&span class=&ellipsis&&&/span&&/a&）的准备，外微分内容则是我为自己写的参考。文章内容的动机差不多就是这样。&/p&&p&至于谩骂的回复，我会直接举报。&/p&&p&==========================&br&&/p&电动力学的推荐书是两本：&p&1、Griffiths《Introduction to Electrodynamics》。Griffiths的教材都很经典，这本也不例外。讲得很清楚，也很容易入手。不过国内的学生读起来可能会感觉过于简单，其实大部分内容很接近一般普物电磁学教材的难度，但是数学更严格一点。&/p&&p&2、Jackson《Classical Electrodynamics》。恐怕对这本书的批评和赞扬是差不多多的。批评主要在于这本书过于重视数学计算，内容太多太庞杂，习题超难。据说当年霍金做完了里面全部的习题，传为一段佳话。据说会教你解各种你一辈子也遇不到的奇葩边界条件。可能以它的篇幅，如果不是做电磁场相关的领域，还是留着当字典好了。&/p&&p&================================================&/p&&h2&一、麦克斯韦方程组（一般写法）&/h2&&p&将高斯定理、电场环路定理、安培环路定理、磁高斯定理、法拉第电磁感应定律、位移电流假设等综合在一起，麦克斯韦总结出了描述电磁场运动的&b&麦克斯韦方程组&/b&：&/p&&p&&img src=&/equation?tex=%5Cnabla%5Ccdot%5Cbm%7BE%7D%3D%5Cfrac%7B%5Crho%7D%7B%5Cvarepsilon_0%7D& alt=&\nabla\cdot\bm{E}=\frac{\rho}{\varepsilon_0}& eeimg=&1&&（高斯定律）&br&&/p&&p&&img src=&/equation?tex=%5Cnabla%5Ccdot%5Cbm%7BB%7D%3D0& alt=&\nabla\cdot\bm{B}=0& eeimg=&1&&（磁高斯定律）&br&&/p&&p&&img src=&/equation?tex=%5Cnabla%5Ctimes%5Cbm%7BE%7D%3D-%5Cfrac%7B%5Cpartial%5Cbm%7BB%7D%7D%7B%5Cpartial+t%7D& alt=&\nabla\times\bm{E}=-\frac{\partial\bm{B}}{\partial t}& eeimg=&1&&（法拉第电磁感应定律+电场环路定理）&/p&&p&&img src=&/equation?tex=%5Cnabla%5Ctimes%5Cbm%7BB%7D%3D%5Cmu_0%5Cbm%7BJ%7D%2B%5Cmu_0%5Cvarepsilon_0%5Cfrac%7B%5Cpartial%5Cbm%7BE%7D%7D%7B%5Cpartial+t%7D& alt=&\nabla\times\bm{B}=\mu_0\bm{J}+\mu_0\varepsilon_0\frac{\partial\bm{E}}{\partial t}& eeimg=&1&&（安培环路定理+位移电流假设）&br&&/p&&p&对于给定的电荷&img src=&/equation?tex=%5Crho& alt=&\rho& eeimg=&1&&与电流密度&img src=&/equation?tex=%5Cbm%7BJ%7D& alt=&\bm{J}& eeimg=&1&&，我们可以确定出在各个介质表面电磁场满足的边界条件。对于给定的边界条件，数学的偏微分方程理论告诉我们麦克斯韦方程有唯一确定的解，于是我们可以得知空间中电磁场的分布。接下来的问题只是怎么解这一组偏微分方程，但这是数学的事。&/p&&p&而电荷在电磁场中的受力由&b&洛伦茨力&/b&给出：&/p&&img src=&/equation?tex=%5Cbm%7BF%7D%3D%5Crho%5Cbm%7BE%7D%2B%5Cbm%7BJ%7D%5Ctimes%5Cbm%7BB%7D& alt=&\bm{F}=\rho\bm{E}+\bm{J}\times\bm{B}& eeimg=&1&&&br&&p&接下来就是牛顿第二定律的事情了。&/p&&p&好了，电动力学讲完了。&/p&&p&………………………………………………&/p&&p&等等，这样是不是太短了？&/p&&p&嗯，总得多找点内容充充篇幅，不过解方程这种事情太繁琐了，大家看教材吧。接下来我们讲讲麦克斯韦方程的&img src=&/equation?tex=N& alt=&N& eeimg=&1&&种写法与狭义相对论。&/p&&br&&h2&二、麦克斯韦方程的&img src=&/equation?tex=N& alt=&N& eeimg=&1&&种写法&/h2&&p&你知道麦克斯韦方程有至少5种写法吗？&/p&&h2&0、积分写法&/h2&&p&大家初次接触到麦克斯韦方程的时候，往往见到的是一组积分方程（尤其工程的教材）：&/p&&img src=&/equation?tex=%5Coiint+%5Cbm%7BE%7D%5Ccdot+d%5Cbm%7BS%7D%3D%5Cfrac%7Bq%7D%7B%5Cvarepsilon_0%7D& alt=&\oiint \bm{E}\cdot d\bm{S}=\frac{q}{\varepsilon_0}& eeimg=&1&&, &br&&img src=&/equation?tex=%5Coint+%5Cbm%7BE%7D%5Ccdot+d%5Cbm%7Bl%7D%3D-%5Cfrac%7B%5Cpartial%7D%7B%5Cpartial+t%7D%5Ciint+%5Cbm%7BB%7D%5Ccdot+d%5Cbm%7BS%7D& alt=&\oint \bm{E}\cdot d\bm{l}=-\frac{\partial}{\partial t}\iint \bm{B}\cdot d\bm{S}& eeimg=&1&&, &p&&img src=&/equation?tex=%5Coiint+%5Cbm%7BB%7D%5Ccdot+d%5Cbm%7BS%7D%3D0& alt=&\oiint \bm{B}\cdot d\bm{S}=0& eeimg=&1&&, &br&&br&&img src=&/equation?tex=%5Coint+%5Cbm%7BB%7D%5Ccdot+d%5Cbm%7Bl%7D%3D%5Cmu_0+I_0%2B%5Cmu_o%5Cvarepsilon_0+%5Cfrac%7B%5Cpartial%7D%7B%5Cpartial+t%7D%5Ciint%5Cbm%7BE%7D%5Ccdot+d%5Cbm%7BS%7D& alt=&\oint \bm{B}\cdot d\bm{l}=\mu_0 I_0+\mu_o\varepsilon_0 \frac{\partial}{\partial t}\iint\bm{E}\cdot d\bm{S}& eeimg=&1&&.&br&&/p&&p&这个写法一点也不简洁，也不方便解，但却直观地体现出了高斯定律等定律。积分方程和微分方程是通过（广义的）斯托克斯定律相互转化的：&/p&&img src=&/equation?tex=%5Coiint_%7B%5Cpartial+V%7D+%5Cbm%7BA%7D%5Ccdot+d%5Cbm%7BS%7D%3D%5Ciiint_V+%5Cnabla%5Ccdot%5Cbm%7BA%7D%5C%2CdV& alt=&\oiint_{\partial V} \bm{A}\cdot d\bm{S}=\iiint_V \nabla\cdot\bm{A}\,dV& eeimg=&1&&&br&&img src=&/equation?tex=%5Coint_%7B%5Cpartial+S%7D%5Cbm%7BA%7D%5Ccdot+d%5Cbm%7Bl%7D%3D%5Ciint_S%28%5Cnabla%5Ctimes%5Cbm%7BA%7D%29%5Ccdot+d%5Cbm%7BS%7D& alt=&\oint_{\partial S}\bm{A}\cdot d\bm{l}=\iint_S(\nabla\times\bm{A})\cdot d\bm{S}& eeimg=&1&&&br&&p&对于线性介质，我们常常定义新的参量：&/p&&img src=&/equation?tex=%5Cbm%7BD%7D%3D%5Cvarepsilon%5Cvarepsilon_0%5Cbm%7BE%7D& alt=&\bm{D}=\varepsilon\varepsilon_0\bm{E}& eeimg=&1&&&br&&img src=&/equation?tex=%5Cbm%7BB%7D%3D%5Cmu%5Cmu_0%5Cbm%7BH%7D& alt=&\bm{B}=\mu\mu_0\bm{H}& eeimg=&1&&&br&&p&然后改写第一个方程和第四个方程，使其中“源”的项只包含自由电荷——即除去了介质的极化电荷。这样改写的方程在工程中更方便使用，但&b&请不要以为改写后的方程是麦克斯韦方程的基本形式！原本的麦克斯韦方程已经可以适用于任何情况，并不限于&真空&！&/b&&/p&&h2&1、波动方程写法&/h2&&p&从高中我们就知道，因为静电场的保守性，我们可以定义一个电势&img src=&/equation?tex=%5Cphi& alt=&\phi& eeimg=&1&&，使得静电场满足：&/p&&img src=&/equation?tex=%5Cbm%7BE%7D%3D-%5Cnabla%5Cphi& alt=&\bm{E}=-\nabla\phi& eeimg=&1&&&br&&p&而磁高斯定律意味着磁场也可以用一个矢势&img src=&/equation?tex=%5Cbm%7BA%7D& alt=&\bm{A}& eeimg=&1&&写成：&/p&&img src=&/equation?tex=%5Cbm%7BB%7D%3D%5Cnabla%5Ctimes%5Cbm%7BA%7D& alt=&\bm{B}=\nabla\times\bm{A}& eeimg=&1&&&br&&p&把它代到电磁感应定律中去，我们可以一般地，把电场写成：&/p&&img src=&/equation?tex=%5Cbm%7BE%7D%3D-%5Cnabla%5Cphi-%5Cfrac%7B%5Cpartial%5Cbm%7BA%7D%7D%7B%5Cpartial+t%7D& alt=&\bm{E}=-\nabla\phi-\frac{\partial\bm{A}}{\partial t}& eeimg=&1&&&p&电势和矢势不仅仅是数学上的处理，实际上，由Aharonov-Bohm实验所揭示的，电势和矢势是实际的物理存在，甚至可以说比电场和磁场更为基本。这个实验是在有矢势但无磁场的区域中，测量粒子受到的电磁场的影响。实验发现，虽然没有磁场，但矢势依然足以改变粒子的相位，使不同路径的粒子发生干涉。但尽管如此，电势和矢势依然包含一个冗余的对称性。如果假设&img src=&/equation?tex=%5CGamma& alt=&\Gamma& eeimg=&1&&是一个实数函数，那么做规范变换：&/p&&img src=&/equation?tex=%5Cbm%7BA%27%7D%3D%5Cbm%7BA%7D%2B%5Cnabla%5CGamma& alt=&\bm{A'}=\bm{A}+\nabla\Gamma& eeimg=&1&&&br&&img src=&/equation?tex=%5Cphi%27%3D%5Cphi-%5Cfrac%7B%5Cpartial%5CGamma%7D%7B%5Cpartial+t%7D& alt=&\phi'=\phi-\frac{\partial\Gamma}{\partial t}& eeimg=&1&&&br&&p&代入定义式我们会发现新的电磁势给出完全同样的电磁场。在纯经典的范畴中，所有可以观测到的效应只与电磁场有关，这意味着经典电动力学中我们可以做一个额外的规定，取一个特定的规范。当然，因为Aharonov-Bohm效应，这在量子电动力学中不成立。但规范对称性在量子场论中起着非常本质的作用，具有特定规范对称性（由相应的规范群描述）的规范场论就给出了自然界三种基本相互作用的描述。而具有U(1)规范对称性的场论，正是量子电动力学。这个U(1)对称性实际上给出了电荷守恒，而相应的联络给出了粒子与电磁场的耦合。这里我并没有很清晰的理解，无法细说。&/p&&p&定义&img src=&/equation?tex=c%3D1%2F%5Csqrt%7B%5Cmu_0%5Cvarepsilon_0%7D& alt=&c=1/\sqrt{\mu_0\varepsilon_0}& eeimg=&1&&（后面我们会发现，这就是光速，这里先这样形式地定义一下），一般经典电动力学常用的规范是洛伦茨规范（协变规范）：&/p&&img src=&/equation?tex=%5Cnabla%5Ccdot%5Cbm%7BA%7D%2B%5Cfrac%7B1%7D%7Bc%5E2%7D%5Cfrac%7B%5Cpartial+%5Cphi%7D%7B%5Cpartial+t%7D%3D0& alt=&\nabla\cdot\bm{A}+\frac{1}{c^2}\frac{\partial \phi}{\partial t}=0& eeimg=&1&&&br&&p&这个形式虽然现在看起来很复杂，但其实是最方便的规范，而且后面我们会看到它可以写得很简洁。另一个常见规范是库仑规范&img src=&/equation?tex=%5Cnabla%5Ccdot%5Cbm%7BA%7D%3D0& alt=&\nabla\cdot\bm{A}=0& eeimg=&1&&。&/p&&p&在这电磁势的定义下，麦克斯韦方程的第二条和第三条就自然满足了，带入第一条和第四条，我们可以得到两个二阶微分方程：&/p&&img src=&/equation?tex=%5Cnabla%5Ccdot%28-%5Cnabla%5Cphi-%5Cfrac%7B%5Cpartial%5Cbm%7BA%7D%7D%7B%5Cpartial+t%7D%29%3D-%5Cnabla%5E2%5Cphi-%5Cfrac%7B%5Cpartial%28%5Cnabla%5Ccdot%5Cbm%7BA%7D%29%7D%7B%5Cpartial+t%7D%3D%5Cfrac%7B%5Crho%7D%7B%5Cvarepsilon_0%7D& alt=&\nabla\cdot(-\nabla\phi-\frac{\partial\bm{A}}{\partial t})=-\nabla^2\phi-\frac{\partial(\nabla\cdot\bm{A})}{\partial t}=\frac{\rho}{\varepsilon_0}& eeimg=&1&&&br&&img src=&/equation?tex=%5Cnabla%5Ctimes%5Cnabla%5Ctimes%5Cbm%7BA%7D-%5Cfrac%7B1%7D%7Bc%5E2%7D%5Cfrac%7B%5Cpartial%7D%7B%5Cpartial+t%7D%28-%5Cnabla%5Cphi-%5Cfrac%7B%5Cpartial%5Cbm%7BA%7D%7D%7B%5Cpartial+t%7D%29%3D-%5Cnabla%5E2%5Cbm%7BA%7D%2B%5Cfrac%7B1%7D%7Bc%5E2%7D%5Cfrac%7B%5Cpartial%5E2%5Cbm%7BA%7D%7D%7B%5Cpartial+t%5E2%7D%2B%5Cnabla%28%5Cnabla%5Ccdot%5Cbm%7BA%7D%2B%5Cfrac%7B1%7D%7Bc%5E2%7D%5Cfrac%7B%5Cpartial%5Cphi%7D%7B%5Cpartial+t%7D%29%3D%5Cmu_0%5Cbm%7BJ%7D& alt=&\nabla\times\nabla\times\bm{A}-\frac{1}{c^2}\frac{\partial}{\partial t}(-\nabla\phi-\frac{\partial\bm{A}}{\partial t})=-\nabla^2\bm{A}+\frac{1}{c^2}\frac{\partial^2\bm{A}}{\partial t^2}+\nabla(\nabla\cdot\bm{A}+\frac{1}{c^2}\frac{\partial\phi}{\partial t})=\mu_0\bm{J}& eeimg=&1&&&br&&p&现在，如果我们把洛伦茨规范代进去，方程就变成了：&/p&&img src=&/equation?tex=%5Cnabla%5E2%5Cphi-%5Cfrac%7B1%7D%7Bc%5E2%7D%5Cfrac%7B%5Cpartial%5E2%5Cphi%7D%7B%5Cpartial+t%5E2%7D%3D-%5Cfrac%7B%5Crho%7D%7B%5Cvarepsilon_0%7D& alt=&\nabla^2\phi-\frac{1}{c^2}\frac{\partial^2\phi}{\partial t^2}=-\frac{\rho}{\varepsilon_0}& eeimg=&1&&与&img src=&/equation?tex=%5Cnabla%5E2%5Cbm%7BA%7D-%5Cfrac%7B1%7D%7Bc%5E2%7D%5Cfrac%7B%5Cpartial%5E2%5Cbm%7BA%7D%7D%7B%5Cpartial+t%5E2%7D%3D-%5Cmu_0%5Cbm%7BJ%7D& alt=&\nabla^2\bm{A}-\frac{1}{c^2}\frac{\partial^2\bm{A}}{\partial t^2}=-\mu_0\bm{J}& eeimg=&1&&&p&这两个与麦克斯韦方程等价的方程现在相互独立，而且展现出波动方程的形式！而刚刚形式定义的&img src=&/equation?tex=c& alt=&c& eeimg=&1&&正是这个波的波速。麦克斯韦由此预言了电磁波的存在，几年后，赫兹在实验中发现了电磁波。&br&&/p&&h2&1.9、记号系统&/h2&&p&为了更进一步叙述，我们需要引入新的记号系统了。前面已经看了一堆矢量运算，是不是已经烦透了呀？说实话，关于矢量的记号，我觉得可以分为普通、文艺和二X三种：&/p&&ol&&li&普通记号：按照规定，用粗斜体&img src=&/equation?tex=%5Cbm%7Ba%7D& alt=&\bm{a}& eeimg=&1&&表示矢量。这种记号大家已经很熟悉了，很清晰地体现出了矢量和数字的分别，但是，做微分运算非常地不直观。而且另一个缺点是，我们用什么记号来表示矩阵和张量？&br&&/li&&li&二X记号：不区分所有的量——矢量、矩阵、张量通通用同一种记号，比如&img src=&/equation?tex=Ax%3Db& alt=&Ax=b& eeimg=&1&&。如果方程很多读者又需要跳着看，或者作者再重复用几个符号，理解难度可以直线上升。&/li&&/ol&&p&下面我们来讲讲文艺记号——分量记号（我随便取的名字= =）。这个记号可以被广泛用于后续的物理、数学课程——线性代数、量子场论、广义相对论、微分几何等等……这个记号系统很灵活，又不容易引起歧义，而且做微分运算非常直观，不再需要查一大堆矢量运算公式，所以广受青睐。&/p&&p&其中的中心思想是，我们用一个矢量的分量的一般形式，来代替这个矢量本身——对于矢量&img src=&/equation?tex=%5Cbm%7Ba%7D& alt=&\bm{a}& eeimg=&1&&，我们直接写作&img src=&/equation?tex=a%5Ei& alt=&a^i& eeimg=&1&&（注意，这个可不是&img src=&/equation?tex=a& alt=&a& eeimg=&1&&的&img src=&/equation?tex=i& alt=&i& eeimg=&1&&次方！）。其中&img src=&/equation?tex=i%3D1%2C2%2C3& alt=&i=1,2,3& eeimg=&1&&，&img src=&/equation?tex=i& alt=&i& eeimg=&1&&取不同值表示矢量的不同分量。而且一般约定，英文指标取值范围是1-3，而如果我们用希腊字母做指标，取值范围则是从0到3，其中0表示时间分量——这样表明相应的矢量是四维时空中的矢量。这样一来，只要方程中指标是匹配的，我们可以将1,2,3带入指标来得到矢量的全部信息，比如&img src=&/equation?tex=a%5Ei%3Db%5Ei& alt=&a^i=b^i& eeimg=&1&&意味着&img src=&/equation?tex=a%5E1%3Db%5E1%2Ca%5E2%3Db%5E2%2Ca%5E3%3Db%5E3& alt=&a^1=b^1,a^2=b^2,a^3=b^3& eeimg=&1&&。&/p&&p&接下来要写的东西其实和我在&a href=&/everytingisphysics/& class=&internal&&量子力学（一~五） - Everything is Physics 万物皆理 - 知乎专栏&/a&第一节中写的东西相差无几。我们知道对任何一个线性空间，都有一个对偶的线性空间——线性算符构成的线性空间，那么对于一般的矢量空间，我们也有一个空间与它对应，其中的元素我们记做&img src=&/equation?tex=a_i& alt=&a_i& eeimg=&1&&，用下标表示。如果两个元素作用在一起，我们得到一个数：&/p&&img src=&/equation?tex=%5Csum_ia_ib%5Ei%3Da_1b%5E1%2Ba_2b%5E2%2Ba_3b%5E3& alt=&\sum_ia_ib^i=a_1b^1+a_2b^2+a_3b^3& eeimg=&1&&&br&&p&但这里我们讨论的主要是实空间，实数空间的对偶，显然还是实数空间，所以，我们其实可以在同一个空间中谈论两个完全不同的数学结构。而之前所说的“矢量”和“算符”其实并没有明晰的分界线，于是这里我们模糊矢量和算符的分界线，称&img src=&/equation?tex=a%5Ei& alt=&a^i& eeimg=&1&&为&b&逆变矢量&/b&，称&img src=&/equation?tex=a_i& alt=&a_i& eeimg=&1&&为&b&协变矢量&/b&。比如一般我们约定，速度矢量是一个逆变矢量。&/p&&p&我们称上面的求和为&b&内积&/b&。这里对协变和逆变的区分对于非欧几里得空间是非常重要的，虽然在日常中我们可以心安理得地拿两个矢量分量相乘来做内积，但是，即使同样是欧几里得空间，极坐标系下的矢量就已经不能这么做了！为了更一致地定义内积，我们需要这样的区分。实际操作中，我们往往采用&b&爱因斯坦求和规则——重复指标表示求和&/b&，即&img src=&/equation?tex=a_ib%5Ei%3D%5Csum_ia_ib%5Ei& alt=&a_ib^i=\sum_ia_ib^i& eeimg=&1&&，这样把烦人的求和号去掉，让方程变得简洁。但注意，为了减少歧义，&b&求和的重复指标最多只能有一对，且必须是一个指标在上，一个指标在下&/b&，这被求和掉的指标，我们称为&b&哑指标&/b&，因为这个符号本身已经没有了任何意义——你甚至可以画一只小猫来代替它。&/p&&br&&p&对于任何一个空间，我们可以引入度量来衡量空间中无穷接近的两个元素的距离。（参见&a href=&/question//answer/& class=&internal&&有人了解“度规张量”吗？&/a&）一般，对于两个无穷接近的点&img src=&/equation?tex=%28x%2Cy%2Cz%29& alt=&(x,y,z)& eeimg=&1&&与&img src=&/equation?tex=%28x%2Bdx%2Cy%2Bdy%2Cz%2Bdz%29& alt=&(x+dx,y+dy,z+dz)& eeimg=&1&&，我们可以把连接它们的矢量记为&img src=&/equation?tex=dx%5Ei& alt=&dx^i& eeimg=&1&&。那么，这两个点之间的距离是一个二次函数（注意我们已经开始使用爱因斯坦求和约定了）：&/p&&p&&img src=&/equation?tex=ds%5E2%3Dg_%7Bij%7Ddx%5Eidx%5Ej& alt=&ds^2=g_{ij}dx^idx^j& eeimg=&1&&（或者四维时空：&img src=&/equation?tex=ds%5E2%3Dg_%7B%5Cmu%5Cnu%7Ddx%5E%5Cmu+dx%5E%5Cnu& alt=&ds^2=g_{\mu\nu}dx^\mu dx^\nu& eeimg=&1&&）&/p&&p&对于欧几里得空间，&img src=&/equation?tex=g_%7Bij%7D%3D%5Cdelta_%7Bij%7D%3D%5Cmathrm%7Bdiag%7D%281%2C1%2C1%29& alt=&g_{ij}=\delta_{ij}=\mathrm{diag}(1,1,1)& eeimg=&1&&，对于四维时空，&img src=&/equation?tex=g_%7B%5Cmu%5Cnu%7D%3D%5Cmathrm%7Bdiag%7D%281%2C-1%2C-1%2C-1%29& alt=&g_{\mu\nu}=\mathrm{diag}(1,-1,-1,-1)& eeimg=&1&&（或者有的书中写成：&img src=&/equation?tex=%5Cmathrm%7Bdiag%7D%28-1%2C1%2C1%2C1%29& alt=&\mathrm{diag}(-1,1,1,1)& eeimg=&1&&。看你喜欢了……）这里，这个有两个指标的东西&img src=&/equation?tex=g_%7Bij%7D& alt=&g_{ij}& eeimg=&1&&，我们称为&b&度规张量&/b&。这种有多个指标的量，我们称为张量（当然，严格的定义是要在多个线性空间与对偶空间的直积上，将张量定义为某个线性映射——这都是数学了），而矢量其实不过是一种特殊的张量。两个指标的东西，其实很像&b&矩阵&/b&，但在这种记号中，我们可以更详细地区分出四种不同的张量：&img src=&/equation?tex=A_%7Bij%7D%2CA%5E%7Bij%7D%2CA_%7B%5C+j%7D%5Ei%2CA%5E%7B%5C+j%7D_i& alt=&A_{ij},A^{ij},A_{\ j}^i,A^{\ j}_i& eeimg=&1&&，&b&这四个张量是不同的（甚至最后两个因为指标的位置不同也有可能不同）&/b&！一般而言，我们只将最后两种张量称为&b&矩阵&/b&，这种写法和以往将第&img src=&/equation?tex=i& alt=&i& eeimg=&1&&行第&img src=&/equation?tex=j& alt=&j& eeimg=&1&&列矩阵元记为&img src=&/equation?tex=A_%7Bij%7D& alt=&A_{ij}& eeimg=&1&&并无明显不同，只是，我们加入了更细致的分类，来处理更复杂的空间。而且这个记号更厉害的是，一个东西可以有更多指标——比如三个指标，在三维空间中这相当于一个3x3x3的正方体数阵！&/p&&p&在这种记号系统中，矩阵与向量、矩阵与矩阵的乘法也可以简单写成：&img src=&/equation?tex=A%5Ei_%7B%5C+j%7Dx%5Ej& alt=&A^i_{\ j}x^j& eeimg=&1&&和&img src=&/equation?tex=A%5Ei_%7B%5C+j%7DB%5Ej_%7B%5C+k%7D& alt=&A^i_{\ j}B^j_{\ k}& eeimg=&1&&，注意到求和的指标总是靠近放置。这样，我们也不用特意去记矩阵是怎么相乘的了。&/p&&p&度规张量对于一个度量空间是无比重要的，它决定了一个空间的几何性质——这一点我们还是在广义相对论中再细说。有了度规张量，我们可以&b&升降指标&/b&——其实就是在协变与逆变矢量之间建立起一一对应：&/p&&img src=&/equation?tex=a_i%3Dg_%7Bij%7Da%5Ej& alt=&a_i=g_{ij}a^j& eeimg=&1&&&br&&p&如果记度规张量的&b&逆&/b&为&img src=&/equation?tex=g%5E%7Bij%7D& alt=&g^{ij}& eeimg=&1&&，即满足：&img src=&/equation?tex=g_%7Bij%7Dg%5E%7Bjk%7D%3D%5Cdelta_i%5Ek& alt=&g_{ij}g^{jk}=\delta_i^k& eeimg=&1&&（这里的delta记号已经没必要区别协变与逆变了），我们也有：&/p&&img src=&/equation?tex=a%5Ei%3Dg%5E%7Bij%7Da_j& alt=&a^i=g^{ij}a_j& eeimg=&1&&&br&&p&于是，我们可以定义两个矢量之间的内积（点积）为：&/p&&img src=&/equation?tex=a%5Eib_i%3Da_ib%5Ei%3Dg%5E%7Bij%7Da_ib_j%3Dg_%7Bij%7Da%5Eib%5Ej& alt=&a^ib_i=a_ib^i=g^{ij}a_ib_j=g_{ij}a^ib^j& eeimg=&1&&&br&&p&对于三维欧式空间，度规张量不过是单位张量，一个协变矢量对应的逆变矢量就是它自己，所以我们不需要区分协变和逆变，这种时候也可以简单写成&img src=&/equation?tex=a_ib_i& alt=&a_ib_i& eeimg=&1&&，实际上表示以往记号中的&img src=&/equation?tex=%5Cbm%7Ba%7D%5Ccdot%5Cbm%7Bb%7D& alt=&\bm{a}\cdot\bm{b}& eeimg=&1&&。&/p&&p&点乘虽然很简单，但叉乘就比较麻烦一点了。对于叉乘，我们需要引入三阶反对称记号&img src=&/equation?tex=%5Cepsilon_%7Bijk%7D& alt=&\epsilon_{ijk}& eeimg=&1&&（任意指标数的情况下也叫Levi-Civita记号，严格来讲，它不是张量）。这个记号是这样定义的——如果有两个指标相同，则记号为0：&/p&&img src=&/equation?tex=%5Cepsilon_%7B111%7D%3D%5Cepsilon_%7B112%7D%3D%5Cepsilon_%7B113%7D%3D%5Cepsilon_%7B121%7D%3D%5Cepsilon_%7B211%7D%3D%5Ccdots%3D0& alt=&\epsilon_{111}=\epsilon_{112}=\epsilon_{113}=\epsilon_{121}=\epsilon_{211}=\cdots=0& eeimg=&1&&&br&&p&如果指标为123或123的对称轮换（或者说，指标间的偶数次对换），记号等于1：&/p&&img src=&/equation?tex=%5Cepsilon_%7B123%7D%3D%5Cepsilon_%7B231%7D%3D%5Cepsilon_%7B312%7D%3D1& alt=&\epsilon_{123}=\epsilon_{231}=\epsilon_{312}=1& eeimg=&1&&&br&&p&其他情况下，等于-1：&/p&&img src=&/equation?tex=%5Cepsilon_%7B132%7D%3D%5Cepsilon_%7B321%7D%3D%5Cepsilon_%7B213%7D%3D-1& alt=&\epsilon_{132}=\epsilon_{321}=\epsilon_{213}=-1& eeimg=&1&&&br&&p&把每个分量写出来不难发现，不区分协变和逆变的&img src=&/equation?tex=%5Cepsilon_%7Bijk%7Da_jb_k& alt=&\epsilon_{ijk}a_jb_k& eeimg=&1&&正是&img src=&/equation?tex=%5Cbm%7Ba%7D%5Ctimes%5Cbm%7Bb%7D& alt=&\bm{a}\times\bm{b}& eeimg=&1&&。（如果需要区分协变和逆变，请注意用度规适当地升降指标。）&br&&/p&&p&为了做与叉乘相关的运算，以下（欧式空间中的）恒等式是非常有用的：&/p&&img src=&/equation?tex=%5Cepsilon_%7Bijk%7D%5Cepsilon_%7Bilm%7D%3D%5Cdelta_%7Bjl%7D%5Cdelta_%7Bkm%7D-%5Cdelta_%7Bjm%7D%5Cdelta_%7Bkl%7D& alt=&\epsilon_{ijk}\epsilon_{ilm}=\delta_{jl}\delta_{km}-\delta_{jm}\delta_{kl}& eeimg=&1&&&br&&p&有了这个恒等式帮助我们可以轻易计算出任何矢量运算需要的公式。当然，所有这些都可以很轻易地推广到区分协变和逆变的情形（见&a href=&/?target=http%3A//en.wikipedia.org/wiki/Levi-Civita_symbol%23Properties& class=& wrap external& target=&_blank& rel=&nofollow noreferrer&&Levi-Civita symbol&i class=&icon-external&&&/i&&/a&）。&/p&&p&另外微分算子&img src=&/equation?tex=%5Cnabla& alt=&\nabla& eeimg=&1&&我们往往也当做一个矢量，在这套记号中，我们写作&img src=&/equation?tex=%5Cpartial_i%3D%5Cfrac%7B%5Cpartial%7D%7B%5Cpartial+x%5Ei%7D& alt=&\partial_i=\frac{\partial}{\partial x^i}& eeimg=&1&&，将它看做一个&b&协变矢量&/b&。比如，&img src=&/equation?tex=%5Cnabla%5Ccdot%5Cbm%7BA%7D& alt=&\nabla\cdot\bm{A}& eeimg=&1&&可以写作&img src=&/equation?tex=%5Cpartial_iA%5Ei& alt=&\partial_iA^i& eeimg=&1&&，拉普拉斯算子&img src=&/equation?tex=%5CDelta%3D%5Cpartial%5Ei%5Cpartial_i& alt=&\Delta=\partial^i\partial_i& eeimg=&1&&。&/p&&br&&h2&2、协变写法&/h2&&p&还记得拉格朗日力学可以作为所有经典物理的框架吗？对于经典电动力学，也是一样的。我们开始使用新的记号系统。首先，为了方便我们取自然单位制：&img src=&/equation?tex=c%3D1& alt=&c=1& eeimg=&1&&（光速是1，且无量纲——意味着时间和空间是同一个单位，而速度请理解为相对于光速的比值），并将时间和空间并在一起成为有4个指标的矢量——四矢量&img src=&/equation?tex=x%5E%5Cmu%3D%28t%2Cx%2Cy%2Cz%29& alt=&x^\mu=(t,x,y,z)& eeimg=&1&&。取度规为&img src=&/equation?tex=g_%7B%5Cmu%5Cnu%7D%3D%5Cmathrm%7Bdiag%7D%281%2C-1%2C-1%2C-1%29& alt=&g_{\mu\nu}=\mathrm{diag}(1,-1,-1,-1)& eeimg=&1&&。我们如果将电磁势并在一起，写成&img src=&/equation?tex=A%5E%5Cmu%3D%28%5Cphi%2CA_x%2CA_y%2CA_z%29& alt=&A^\mu=(\phi,A_x,A_y,A_z)& eeimg=&1&&，当做逆变的四矢量。定义&b&协强张量&/b&：&/p&&img src=&/equation?tex=F_%7B%5Cmu%5Cnu%7D%3D%5Cpartial_%5Cmu+A_%5Cnu-%5Cpartial_%5Cnu+A_%5Cmu& alt=&F_{\mu\nu}=\partial_\mu A_\nu-\partial_\nu A_\mu& eeimg=&1&&&br&&p&显然，这是一个反对称的二阶张量。写成矩阵的形式，我们不难看出，它就是由电场和磁场组成的矩阵：&/p&&img src=&/equation?tex=F_%7B%5Cmu%5Cnu%7D%3D%5Cleft%28%5Cbegin%7Barray%7D%7Bcccc%7D%0A0+%26+E_x+%26+E_y+%26+E_z+%5C%5C%0A-E_x+%26+0+%26+-B_z+%26+B_y%5C%5C%0A-E_y+%26+B_z+%26+0+%26+-B_x%5C%5C%0A-E_z+%26+-B_y+%26+B_x+%26+0%5C%5C%0A%5Cend%7Barray%7D%5Cright%29& alt=&F_{\mu\nu}=\left(\begin{array}{cccc}
0 & E_x & E_y & E_z \\
-E_x & 0 & -B_z & B_y\\
-E_y & B_z & 0 & -B_x\\
-E_z & -B_y & B_x & 0\\
\end{array}\right)& eeimg=&1&&&br&&p&还记得拉格朗日量是个标量吧？那么由此可以凑出电磁场的拉格朗日密度，最简单的形式正比于：&/p&&img src=&/equation?tex=F%5E%7B%5Cmu%5Cnu%7DF_%7B%5Cmu%5Cnu%7D& alt=&F^{\mu\nu}F_{\mu\nu}& eeimg=&1&&&br&&p&其中将矢量场&img src=&/equation?tex=A%5E%5Cmu& alt=&A^\mu& eeimg=&1&&当做自变量。我们简单计算一下就会发现，这个拉格朗日密度给出的正是无源麦克斯韦方程！前面的系数取决于单位制——对于自然单位制，前面的系数是&img src=&/equation?tex=-%5Cfrac%7B1%7D%7B4%7D& alt=&-\frac{1}{4}& eeimg=&1&&。考虑到电磁场和物质的相互作用，我们把拉格朗日密度写成（&img src=&/equation?tex=J%5E%5Cmu%3D%28%5Crho%2CJ_x%2CJ_y%2CJ_z%29& alt=&J^\mu=(\rho,J_x,J_y,J_z)& eeimg=&1&&是电流四矢量）：&/p&&img src=&/equation?tex=%5Cmathcal%7BL%7D%3D-A_%5Cmu+J%5E%5Cmu-%5Cfrac%7B1%7D%7B4%7DF_%7B%5Cmu%5Cnu%7DF%5E%7B%5Cmu%5Cnu%7D& alt=&\mathcal{L}=-A_\mu J^\mu-\frac{1}{4}F_{\mu\nu}F^{\mu\nu}& eeimg=&1&&&p&于是最小作用量原理给出了麦克斯韦方程的第一和第四个：&/p&&img src=&/equation?tex=%5Cpartial_%5Cmu+F%5E%7B%5Cnu%5Cmu%7D%3DJ%5E%5Cnu& alt=&\partial_\mu F^{\nu\mu}=J^\nu& eeimg=&1&&&p&而很容易验证，另外两个方程写作：&/p&&img src=&/equation?tex=%5Cpartial_%5Cmu+F_%7B%5Cnu%5Crho%7D%2B%5Cpartial_%5Cnu+F_%7B%5Crho%5Cmu%7D%2B%5Cpartial_%5Crho+F_%7B%5Cmu%5Cnu%7D%3D0& alt=&\partial_\mu F_{\nu\rho}+\partial_\nu F_{\rho\mu}+\partial_\rho F_{\mu\nu}=0& eeimg=&1&&&p&这个形式倒是很对称。值得一提，这种记号系统下，洛伦茨规范正是简单的：&/p&&img src=&/equation?tex=%5Cpartial_%5Cmu+A%5E%5Cmu%3D0& alt=&\partial_\mu A^\mu=0& eeimg=&1&&&p&很简洁。&br&&/p&&h2&3、外微分写法&/h2&&p&其实，麦克斯韦方程还可以写得更加简洁，如果借助&b&外微分&/b&的话。首先，为了将普通积分、线积分、面积分等等各种积分的形式统一起来，我们定义一个叫做&b&微分形式&/b&的东西。它其实就是积分号后面的所有东西。比如说，对于普通积分，是&img src=&/equation?tex=f%28x%29dx& alt=&f(x)dx& eeimg=&1&&；对于第二型曲线积分，是&img src=&/equation?tex=%5Cbm%7Bf%7D%5Ccdot+d%5Cbm%7Bl%7D& alt=&\bm{f}\cdot d\bm{l}& eeimg=&1&&，或者写成新的记号，是&img src=&/equation?tex=f_idx%5Ei& alt=&f_idx^i& eeimg=&1&&；对于第二型曲面积分，是&img src=&/equation?tex=%5Cbm%7Bf%7D%5Ccdot+d%5Cbm%7BS%7D& alt=&\bm{f}\cdot d\bm{S}& eeimg=&1&&。要将这些形式统一起来，我们先注意到它们都可以分成2部分——一个待积分的函数和一个微分符号的乘积。而这个微分符号，总和空间坐标&img src=&/equation?tex=x& alt=&x& eeimg=&1&&的微分有关系，比如&img src=&/equation?tex=dx& alt=&dx& eeimg=&1&&、&img src=&/equation?tex=dx%5Ei& alt=&dx^i& eeimg=&1&&、&img src=&/equation?tex=dS_i%3D%5Cepsilon_%7Bijk%7Ddx%5Ejdx%5Ek& alt=&dS_i=\epsilon_{ijk}dx^jdx^k& eeimg=&1&&。于是，我们定义”数“为微分0-形式，现在定义&b&基本微分1-形式&/b&为&img src=&/equation?tex=dx%5Ei& alt=&dx^i& eeimg=&1&&。我们很想定义第二型曲线积分后面的东西为基本微分2-形式——但你可以试试，它很难直接地在新的记号中写出，因为&img src=&/equation?tex=d%5Cbm%7BS%7D& alt=&d\bm{S}& eeimg=&1&&不是单纯的坐标微分的乘积。于是我们引入&b&楔积&/b&&img src=&/equation?tex=%5Cwedge+& alt=&\wedge & eeimg=&1&&，他对于两个0-形式（数）而言，不过是单纯的乘法：&/p&&img src=&/equation?tex=f%5Cwedge+g%3Dfg& alt=&f\wedge g=fg& eeimg=&1&&&br&&p&但对于1-形式，契积是有顺序的乘法，即：&/p&&img src=&/equation?tex=dx%5Ei%5Cwedge+dx%5Ej%3D-dx%5Ej%5Cwedge+dx%5Ei& alt=&dx^i\wedge dx^j=-dx^j\wedge dx^i& eeimg=&1&&&br&&p&显然有&img src=&/equation?tex=dx%5Ei%5Cwedge+dx%5Ei%3D0& alt=&dx^i\wedge dx^i=0& eeimg=&1&&。于是借助楔积，我们可以定义任意的&b&基本微分p-形式&/b&：&/p&&img src=&/equation?tex=dx%5E%7Bi_1%7D%5Cwedge+dx%5E%7Bi_2%7D%5Cwedge+%5Ccdots%5Cwedge+dx%5E%7Bi_p%7D& alt=&dx^{i_1}\wedge dx^{i_2}\wedge \cdots\wedge dx^{i_p}& eeimg=&1&&&br&&p&之所以称它们为基本，是因为我们可以将它们看做微分形式的&b&基底&/b&，而将任意的微分形式看做是以他们为基的展开。以特定阶数的基本微分形式为基底的微分形式，我们成为p-形式。比如当我们将微分形式写作&img src=&/equation?tex=f_idx%5Ei& alt=&f_idx^i& eeimg=&1&&时，它是一个1-形式，以&img src=&/equation?tex=dx%5Ei& alt=&dx^i& eeimg=&1&&为基底，而&img src=&/equation?tex=f_i& alt=&f_i& eeimg=&1&&是相应的系数。显然，一个给定维数的空间中，积分形式的阶数不会超过空间的维数。比如三维空间中，0-形式只有一个基底（只是数嘛），1-形式有3个基底——&img src=&/equation?tex=dx%5E1%2Cdx%5E2%2Cdx%5E3& alt=&dx^1,dx^2,dx^3& eeimg=&1&&，而2-形式有3个线性无关的基底——&img src=&/equation?tex=dx%5E1%5Cwedge+dx%5E2%2Cdx%5E2%5Cwedge+dx%5E3%2Cdx%5E3%5Cwedge+dx%5E1& alt=&dx^1\wedge dx^2,dx^2\wedge dx^3,dx^3\wedge dx^1& eeimg=&1&&，3-形式只有一个基底——&img src=&/equation?tex=dx%5E1%5Cwedge+dx%5E2%5Cwedge+dx%5E3& alt=&dx^1\wedge dx^2\wedge dx^3& eeimg=&1&&，4-形式就不存在了，因为&img src=&/equation?tex=dx%5Ei%5Cwedge+dx%5Ei%3D0& alt=&dx^i\wedge dx^i=0& eeimg=&1&&。&/p&&p&这样我们可以把第二型曲面积分的积分形式&img src=&/equation?tex=%5Cbm%7Bf%7D%5Ccdot+d%5Cbm%7BS%7D& alt=&\bm{f}\cdot d\bm{S}& eeimg=&1&&写成：&img src=&/equation?tex=f_%7Bij%7Ddx%5Ei%5Cwedge+dx%5Ej& alt=&f_{ij}dx^i\wedge dx^j& eeimg=&1&&，其实在三维空间中展开写就是&/p&&img src=&/equation?tex=%28f_%7B12%7D-f_%7B21%7D%29dx%5E1%5Cwedge+dx%5E2%2B%28f_%7B23%7D-f_%7B32%7D%29dx%5E2%5Cwedge+dx%5E3%2B%28f_%7B13%7D-f_%7B31%7D%29dx%5E1%5Cwedge+dx%5E3& alt=&(f_{12}-f_{21})dx^1\wedge dx^2+(f_{23}-f_{32})dx^2\wedge dx^3+(f_{13}-f_{31})dx^1\wedge dx^3& eeimg=&1&&&br&显然，对于&img src=&/equation?tex=f_%7Bij%7D& alt=&f_{ij}& eeimg=&1&&（它其实是个张量，因为显然它是一个&img src=&/equation?tex=V%5Ctimes+V%5Cto+R& alt=&V\times V\to R& eeimg=&1&&的线性映射）只有3个独立的变量是有用的：&img src=&/equation?tex=f_%7B12%7D-f_%7B21%7D%2Cf_%7B23%7D-f_%7B32%7D%2Cf_%7B13%7D-f_%7B31%7D& alt=&f_{12}-f_{21},f_{23}-f_{32},f_{13}-f_{31}& eeimg=&1&&，它们分别对应原先记号中的&img src=&/equation?tex=f_z%2Cf_x%2Cf_y& alt=&f_z,f_x,f_y& eeimg=&1&&。因此，我们规定张量&img src=&/equation?tex=f_%7Bij%7D& alt=&f_{ij}& eeimg=&1&&必须是&b&反对称张量&/b&，即满足&img src=&/equation?tex=f_%7Bij%7D%3D-f_%7Bji%7D& alt=&f_{ij}=-f_{ji}& eeimg=&1&&，这样的张量正好只有3个独立的分量，既简化了问题又没有损失。于是这样一来，我们也常常省去微分形式的基底，而称&b&反对称的协变张量&img src=&/equation?tex=T_%7Bi_1i_2%5Ccdots+i_p%7D& alt=&T_{i_1i_2\cdots i_p}& eeimg=&1&&称为p-形式&/b&。于是，协变矢量就是1-形式（Carroll的Spacetime and Geometry就是这么写的），二阶反对称张量就是2-形式，等等。但要注意，这些张量只是微分形式的分量，微分形式的基底还是&img src=&/equation?tex=dx%5Ei& alt=&dx^i& eeimg=&1&&与它们的楔积。需要注意的是，反对称张量表示的p-形式，它的基底已经不再是任意顺序的了，我们约定，作为基底的契积的指标永远是&b&递增&/b&的，比如&img src=&/equation?tex=dx%5E1%5Cwedge+dx%5E2& alt=&dx^1\wedge dx^2& eeimg=&1&&是一个基底，但&img src=&/equation?tex=dx%5E2%5Cwedge+dx%5E1& alt=&dx^2\wedge dx^1& eeimg=&1&&不是，所以如不特别指明，按爱因斯坦求和约定求和微分形式&img src=&/equation?tex=T_%7Bij%7Ddx%5Ei%5Cwedge+dx%5Ej& alt=&T_{ij}dx^i\wedge dx^j& eeimg=&1&&时，我们总假定&img src=&/equation?tex=i%3Cj& alt=&i&j& eeimg=&1&&。&br&&p&于是楔积的定义可以稍微推广一下，使其不止适用于基本微分形式。其实就是：&/p&&img src=&/equation?tex=%28f_%7Bi_1i_2%5Ccdots+i_k%7Ddx%5E%7Bi_1%7D%5Cwedge+dx%5E%7Bi_1%7D%5Cwedge%5Ccdots%5Cwedge+dx%5E%7Bi_k%7D%29%5Cwedge%28g_%7Bj_1j_2%5Ccdots+j_k%7Ddx%5E%7Bj_1%7D%5Cwedge+dx%5E%7Bj_1%7D%5Cwedge%5Ccdots%5Cwedge+dx%5E%7Bj_k%7D%29%3Df_%7Bi_1i_2%5Ccdots+i_k%7Dg_%7Bj_1j_2%5Ccdots+j_k%7Ddx%5E%7Bi_1%7D%5Cwedge+dx%5E%7Bi_1%7D%5Cwedge%5Ccdots%5Cwedge+dx%5E%7Bi_k%7D%5Cwedge+dx%5E%7Bj_1%7D%5Cwedge+dx%5E%7Bj_1%7D%5Cwedge%5Ccdots%5Cwedge+dx%5E%7Bj_k%7D& alt=&(f_{i_1i_2\cdots i_k}dx^{i_1}\wedge dx^{i_1}\wedge\cdots\wedge dx^{i_k})\wedge(g_{j_1j_2\cdots j_k}dx^{j_1}\wedge dx^{j_1}\wedge\cdots\wedge dx^{j_k})=f_{i_1i_2\cdots i_k}g_{j_1j_2\cdots j_k}dx^{i_1}\wedge dx^{i_1}\wedge\cdots\wedge dx^{i_k}\wedge dx^{j_1}\wedge dx^{j_1}\wedge\cdots\wedge dx^{j_k}& eeimg=&1&&&p&但使用前需要注意的是，因为后面那些部分求和之后，很多项只是指标的顺序不同，实际上是同一个分量计算了很多次。所以，一般情况下我们把楔积写作：&/p&&img src=&/equation?tex=f_%7Bi_1%5Ccdots+i_k%7D%5Cwedge+g_%7Bj_1%5Ccdots+j_l%7D%3D%5Cfrac%7B%28k%2Bl%29%21%7D%7Bk%21l%21%7Df_%7B%5Bi_1%5Ccdots+i_k%7Dg_%7Bj_1%5Ccdots+j_k%5D%7D& alt=&f_{i_1\cdots i_k}\wedge g_{j_1\cdots j_l}=\frac{(k+l)!}{k!l!}f_{[i_1\cdots i_k}g_{j_1\cdots j_k]}& eeimg=&1&&&br&&p&即对乘积的指标轮换后给予适当的符号再求和，做一个反对称化，使乘积成为一个反对称矩阵。比如&img src=&/equation?tex=T_%7B%5Bij%5D%7D%3DT_%7Bij%7D-T_%7Bji%7D& alt=&T_{[ij]}=T_{ij}-T_{ji}& eeimg=&1&&。这样对于一般的微分形式&img src=&/equation?tex=f& alt=&f& eeimg=&1&&和&img src=&/equation?tex=g& alt=&g& eeimg=&1&&，如果它们分别是k-形式与l-形式，那么有：&/p&&img src=&/equation?tex=f%5Cwedge+g%3D%28-1%29%5E%7Bkl%7Dg%5Cwedge+f& alt=&f\wedge g=(-1)^{kl}g\wedge f& eeimg=&1&&&p&且&/p&&img src=&/equation?tex=f%5Cwedge%28g%2Bl%29%3Df%5Cwedge+g%2Bf%5Cwedge+l& alt=&f\wedge(g+l)=f\wedge g+f\wedge l& eeimg=&1&&&p&对于一个微分形式，一个有用的运算是算符*，对于一个n维空间中的p-形式，算符*给出同一空间中的(n-p)-形式：&/p&&img src=&/equation?tex=%28%2Af%29_%7Bi_%7Bp%2B1%7D%2C%5Ccdots+i_n%7D%3D%5Cfrac%7B1%7D%7Bp%21%7D%5Csqrt%7B%7C%5Cdet%28g_%7Bij%7D%29%7C%7D%5Cepsilon_%7Bi_1%5Ccdots+i_n%7Df%5E%7Bi_1%5Ccdots+i_p%7D& alt=&(*f)_{i_{p+1},\cdots i_n}=\frac{1}{p!}\sqrt{|\det(g_{ij})|}\epsilon_{i_1\cdots i_n}f^{i_1\cdots i_p}& eeimg=&1&&&br&&p&（其实，因为可以演算，Levi-Civita符号乘以&img src=&/equation?tex=%5Csqrt%7B%7C%5Cdet%28g_%7Bij%7D%29%7C%7D& alt=&\sqrt{|\det(g_{ij})|}& eeimg=&1&&后是一个张量，所以我们常常也用这个叫做&b&Levi-Civita张量&/b&的张量代替这两项。）&/p&&p&简单计算会发现：&/p&&img src=&/equation?tex=%2A%28%2Af%29%3D%28-1%29%5E%7Bp%28n-p%29%7D%5Cmathrm%7Bsgn%7D%28%5Cdet%28g_%7Bij%7D%29%29f& alt=&*(*f)=(-1)^{p(n-p)}\mathrm{sgn}(\det(g_{ij}))f& eeimg=&1&&&br&&p&即连续做两次算符*会得到微分形式本身，只是可能会相差一个符号。算符*的物理含义……我其实并不太理解，这个好像是在微分形式中引入某种对偶关系，但这个算符对于我们表述麦克斯韦方程是有用的。&/p&&p&下面我们要定义微分形式的微分，即&b&外微分运算&img src=&/equation?tex=d& alt=&d& eeimg=&1&&&/b&。对于一个p-形式&img src=&/equation?tex=f%3Df_%7Bi_1%5Ccdots+i_p%7Ddx%5E%7Bi_1%7D%5Cwedge%5Ccdots%5Cwedge+dx%5E%7Bi_p%7D& alt=&f=f_{i_1\cdots i_p}dx^{i_1}\wedge\cdots\wedge dx^{i_p}& eeimg=&1&&，我们定义它的外微分是一个(p+1)-形式：&/p&&img src=&/equation?tex=df%3D%5Csum_%7B%5Cbegin%7Barray%7D%7Bc%7D+_%7Bi_%7Bp%2B1%7D%7D+%5C%5C+_%7Bi_1%3C%5Ccdots%3Ci_p%7D%5Cend%7Barray%7D%7D%5Cfrac%7B%5Cpartial+f_%7Bi_1%5Ccdots+i_p%7D%7D%7B%5Cpartial+x%5E%7Bi_%7Bp%2B1%7D%7D%7Ddx%5E%7Bi_%7Bp%2B1%7D%7D%5Cwedge+dx%5E%7Bi_1%7D%5Cwedge%5Ccdots%5Cwedge+dx%5E%7Bi_p%7D& alt=&df=\sum_{\begin{array}{c} _{i_{p+1}} \\ _{i_1&\cdots&i_p}\end{array}}\frac{\partial f_{i_1\cdots i_p}}{\partial x^{i_{p+1}}}dx^{i_{p+1}}\wedge dx^{i_1}\wedge\cdots\wedge dx^{i_p}& eeimg=&1&&&p&这其实就是对张量函数求各分量的偏导数，这个定义还没有将同样基底的项合并，于是前面的也不是一个反对称张量，所以通常我们将项合并后的结果写成：&/p&&img src=&/equation?tex=%28df%29_%7Bi_1%5Ccdots+i_%7Bp%2B1%7D%7D%3D%28p%2B1%29%5Cpartial_%7B%5Bi_1%7Df_%7Bi_2%5Ccdots+i_%7Bp%2B1%7D%5D%7D& alt=&(df)_{i_1\cdots i_{p+1}}=(p+1)\partial_{[i_1}f_{i_2\cdots i_{p+1}]}& eeimg=&1&&&br&&p&这个定义最犀利的地方是，我们终于可以将牛顿-莱布尼茨公式、格林公式、高斯公式、斯托克斯公式等等等等微积分中五花八门的公式统一成一个定理：&br&&/p&&img src=&/equation?tex=%5Cint_V+df%3D%5Cint_%7B%5Cpartial+V%7Df& alt=&\int_V df=\int_{\partial V}f& eeimg=&1&&&p&翻译成人类的语言就是：一个东西的外微分在一个区域上的积分，等于这个东西在区域边界上的积分。当积分区域是数轴上的一个区间时，这就是牛顿-莱布尼茨公式。取不同的积分区域和不同阶数的微分形式，我们就得到了所有的广义斯托克斯公式！&/p&&p&关于外微分，还有两个性质很重要。首先，显然对于n维空间的n-形式，因为(n+1)-形式不存在，所以所有n-形式的外微分等于零。另外容易验证：&/p&&img src=&/equation?tex=d%28df%29%3D0& alt=&d(df)=0& eeimg=&1&&&p&这样，我们回到麦克斯韦方程。现在我们注意到电磁势的协变形式&img src=&/equation?tex=A_%5Cmu+dx%5E%5Cmu& alt=&A_\mu dx^\mu& eeimg=&1&&是一个四维时空中的1-形式，定义协强张量（2-形式）：&/p&&img src=&/equation?tex=F%3DdA%3D%5Csum_%7B%5Cmu%3C%5Cnu%7D%5Cpartial_%5Cmu+A_%5Cnu+dx%5E%5Cmu%5Cwedge+dx%5E%5Cnu%2B%5Csum_%7B%5Cmu%3C%5Cnu%7D%5Cpartial_%5Cnu+A_%5Cmu+dx%5E%5Cnu%5Cwedge+dx%5E%5Cmu%3D%5Csum_%7B%5Cmu%3C%5Cnu%7D%28%5Cpartial_%5Cmu+A_%5Cnu-%5Cpartial_%5Cnu+A_%5Cmu%29dx%5E%5Cmu%5Cwedge+dx%5E%5Cnu& alt=&F=dA=\sum_{\mu&\nu}\partial_\mu A_\nu dx^\mu\wedge dx^\nu+\sum_{\mu&\nu}\partial_\nu A_\mu dx^\nu\wedge dx^\mu=\sum_{\mu&\nu}(\partial_\mu A_\nu-\partial_\nu A_\mu)dx^\mu\wedge dx^\nu& eeimg=&1&&&br&&p&即&img src=&/equation?tex=F_%7B%5Cmu%5Cnu%7D%3D%5Cpartial_%5Cmu+A_%5Cnu-%5Cpartial_%5Cnu+A_%5Cmu& alt=&F_{\mu\nu}=\partial_\mu A_\nu-\partial_\nu A_\mu& eeimg=&1&&和刚才的定义完全一样。于是，因为&img src=&/equation?tex=F%3DdA%2CdF%3Dd%28dA%29& alt=&F=dA,dF=d(dA)& eeimg=&1&&，协变形式的第二个方程正是恒等式：&/p&&img src=&/equation?tex=dF%3D0& alt=&dF=0& eeimg=&1&&&br&&p&而第一个方程，容易验证，是：&/p&&img src=&/equation?tex=d%28%2AF%29%3D%2AJ& alt=&d(*F)=*J& eeimg=&1&&&br&&p&是不是特别简单？&/p&&br&&h2&三、狭义相对论&/h2&&p&历史上，狭义相对论出现的一大动因，是为了解决麦克斯韦方程和牛顿力学的不兼容性。一方面，麦克斯韦方程组中出现了与速度有关的量——电流&img src=&/equation?tex=%5Cbm%7BJ%7D& alt=&\bm{J}& eeimg=&1&&，这意味着变换参考系会对电磁场有影响。但这还不是最直接的动因。更直接的动因是电磁波波速的问题。由麦克斯韦方程组的波动形式我们看出，电磁波的波速为&img src=&/equation?tex=c& alt=&c& eeimg=&1&&，我们现在称为光速。而麦克斯韦方程本身并没有表明这个波速是在哪个参考系之中的波速。&/p&&p&历史上有很多人试图解释这个问题。有人提出以太参考系，就是为了解释光速是在哪个参考系的速度。但是随着一系列MM实验（这个实验现在任何一个物理系的实验室都有条件做了——它甚至是学生实验训练的一部分了），光速并不属于特定的参考系。洛伦茨提出洛伦茨变换，来解释不同参考系中光速不变的问题。但是他并没有将洛伦茨变换中的时间和位置当做物理真实的时间和位置。爱因斯坦首先提出了这些参量的物理真实，并将其规范在一个更统一的框架中。这个被称为狭义相对论的理论随后被一系列实验所验证。&/p&&p&前面我们已经将时间和空间并在一起进行处理，但没有说明这样做的理由。现在我们从光速不变出发，考虑到时空中的两个&b&事件&/b&：&img src=&/equation?tex=%28t_1%2Cx_1%2Cy_1%2Cz_1%29& alt=&(t_1,x_1,y_1,z_1)& eeimg=&1&&和&img src=&/equation?tex=%28t_2%2Cx_2%2Cy_2%2Cz_2%29& alt=&(t_2,x_2,y_2,z_2)& eeimg=&1&&，如果它们之间由一个光信号相联系，则显然有路程=速度x时间：&/p&&img src=&/equation?tex=%28x_1-x_2%29%5E2%2B%28y_1-y_2%29%5E2%2B%28z_1-z_2%29%5E2%3Dc%5E2%28t_1-t_2%29%5E2& alt=&(x_1-x_2)^2+(y_1-y_2)^2+(z_1-z_2)^2=c^2(t_1-t_2)^2& eeimg=&1&&&br&&p&如果在另一个参考系，它们的坐标是&img src=&/equation?tex=%28t%27_1%2Cx%27_1%2Cy%27_1%2Cz%27_1%29& alt=&(t'_1,x'_1,y'_1,z'_1)& eeimg=&1&&和&img src=&/equation?tex=%28t%27_2%2Cx%27_2%2Cy%27_2%2Cz%27_2%29& alt=&(t'_2,x'_2,y'_2,z'_2)& eeimg=&1&&，那么由于光速不变，必须有：&/p&&img src=&/equation?tex=%28x%27_1-x%27_2%29%5E2%2B%28y%27_1-y%27_2%29%5E2%2B%28z%27_1-z%27_2%29%5E2%3Dc%5E2%28t%27_1-t%27_2%29%5E2& alt=&(x'_1-x'_2)^2+(y'_1-y'_2)^2+(z'_1-z'_2)^2=c^2(t'_1-t'_2)^2& eeimg=&1&&&br&&p&这必须对任意参考系都成立，这暗示着，我们可以对任何两个事件之间定义&b&时空间隔&/b&：&/p&&img src=&/equation?tex=%5CDelta+s%5E2%3Dc%5E2%28t_1-t_2%29%5E2-%28x_1-x_2%29%5E2-%28y_1-y_2%29%5E2-%28z_1-z_2%29%5E2& alt=&\Delta s^2=c^2(t_1-t_2)^2-(x_1-x_2)^2-(y_1-y_2)^2-(z_1-z_2)^2& eeimg=&1&&&br&&p&如果我们假设坐标变换是一个线性变换，那么它是一个不随参考系变化而变化的不变量，这样能之前两个等式总是可以成立的。而对于无穷小间隔，这意味着：&/p&&img src=&/equation?tex=ds%5E2%3Dc%5E2dt%5E2-dx%5E2-dy%5E2-dz%5E2& alt=&ds^2=c^2dt^2-dx^2-dy^2-dz^2& eeimg=&1&&&br&&p&这个无穷小间隔不随参考系而变，也满足三角不等式，虽然可正可负是个麻烦，但我们依然将它当做是一种距离。而它的度规正是&img src=&/equation?tex=g_%7B%5Cmu%5Cnu%7D%3D%5Cmathrm%7Bdiag%7D%281%2C-1%2C-1%2C-1%29& alt=&g_{\mu\nu}=\mathrm{diag}(1,-1,-1,-1)& eeimg=&1&&。有了这个度规，我们将时间和空间正式合并在一起，成为一个配备了度规的4维度量空间——&b&闵可夫斯基空间&/b&，它是一个&b&伪欧几里得空间&/b&。&br&&/p&&p&保证距离&img src=&/equation?tex=ds%5E2%3Dc%5E2dt%5E2-dx%5E2-dy%5E2-dz%5E2& alt=&ds^2=c^2dt^2-dx^2-dy^2-dz^2& eeimg=&1&&不变的坐标系变换，显得尤其重要。因为这样的变换后，时空的性质不会有人们可以观测到的改变，这正是伽利略等效原理的体现。数学中我们可以用一个矩阵&img src=&/equation?tex=%5CLambda_%7B%5C+j%7D%5Ei& alt=&\Lambda_{\ j}^i& eeimg=&1&&来表示坐标变换，这样一来对于空间中的任意矢量&img src=&/equation?tex=a%5Ei& alt=&a^i& eeimg=&1&&，变换后的矢量是&img src=&/equation?tex=%5CLambda%5Ei_%7B%5C+j%7Da%5Ej& alt=&\Lambda^i_{\ j}a^j& eeimg=&1&&。我们将保证度规&img src=&/equation?tex=g_%7B%5Cmu%5Cnu%7D%3D%5Cmathrm%7Bdiag%7D%281%2C-1%2C-1%2C-1%29& alt=&g_{\mu\nu}=\mathrm{diag}(1,-1,-1,-1)& eeimg=&1&&不变的变换所组成的集合，称为&b&庞加莱群&/b&。简单地说，庞加莱群的任一元素可以由几种基本的变换“生成”，它们是：&/p&&p&1、沿时间/空间平移；&/p&&p&2、在任意两个轴构成的平面上旋转（或者boost）。&/p&&p&第一种无非是重新选定坐标原点所在的时间和位置，没什么特别的。第二种中，相对坐标平面的旋转也是三维情况下就很常见的，也没什么可说的。但剩下一种在时间和坐标平面的“旋转”（boost），就很有意思了。这里考虑最简单的，比如tx平面的&旋转&。保证度规&img src=&/equation?tex=ds%5E2%3Dc%5E2dt%5E2-dx%5E2& alt=&ds^2=c^2dt^2-dx^2& eeimg=&1&&不变的变换方程，和普通的旋转类似但又有点不同，可以用双曲函数（而不是三角函数）表示：&/p&&img src=&/equation?tex=x%3Dx%27%5Ccosh%5Ctheta%2Bct%27%5Csinh%5Ctheta%2C%5C+%5C+ct%3Dx%27%5Csinh%5Ctheta%2Bct%27%5Ccosh%5Ctheta& alt=&x=x'\cosh\theta+ct'\sinh\theta,\ \ ct=x'\sinh\theta+ct'\cosh\theta& eeimg=&1&&&br&&p&其中&img src=&/equation?tex=%5Ctheta& alt=&\theta& eeimg=&1&&是“旋转”的角度。观察其中一个参考系的坐标原点，即取&img src=&/equation?tex=x%27%3D0& alt=&x'=0& eeimg=&1&&，再将两式相除，有：&/p&&img src=&/equation?tex=%5Cfrac%7Bx%7D%7Bct%7D%3D%5Cfrac%7Bv%7D%7Bc%7D%3D%5Ctanh%5Ctheta& alt=&\frac{x}{ct}=\frac{v}{c}=\tanh\theta& eeimg=&1&&&br&&p&但我们知道：&/p&&img src=&/equation?tex=%5Csinh%5Ctheta%3D%5Cfrac%7B%5Ctanh%5Ctheta%7D%7B%5Csqrt%7B1-%5Ctanh%5E2%5Ctheta%7D%7D& alt=&\sinh\theta=\frac{\tanh\theta}{\sqrt{1-\tanh^2\theta}}& eeimg=&1&&&br&&img src=&/equation?tex=%5Ccosh%5Ctheta%3D%5Cfrac%7B1%7D%7B%5Csqrt%7B1-%5Ctanh%5E2%5Ctheta%7D%7D& alt=&\cosh\theta=\frac{1}{\sqrt{1-\tanh^2\theta}}& eeimg=&1&&&br&&p&代入后我们得到了世人通称为&b&洛伦茨变换&/b&的坐标变换：&/p&&img src=&/equation?tex=x%3D%5Cfrac%7Bx%27%2Bvt%27%7D%7B%5Csqrt%7B1-v%5E2%2Fc%5E2%7D%7D%2C%5C+%5C+%5C+t%3D%5Cfrac%7Bt%27%2Bvx%27%2Fc%5E2%7D%7B%5Csqrt%7B1-v%5E2%2Fc%5E2%7D%7D& alt=&x=\frac{x'+vt'}{\sqrt{1-v^2/c^2}},\ \ \ t=\frac{t'+vx'/c^2}{\sqrt{1-v^2/c^2}}& eeimg=&1&&&br&&p&更一般情况下洛伦茨变换的变换矩阵，也可以轻易写出来。这样一来，我们将麦克斯韦写成协变形式的意义就很明显了——这样写出的方程，我们可以将洛伦茨变换乘在方程中，直接得到方程在新的坐标系中的形式，并且新的形式会和原来的完全一样。换句话说，如果方程中每一个矢量、张量都是四维时空中的矢量、张量，那么它自然地满足洛伦茨不变性。&/p&&p&遗憾的是，通常我们定义的速度&img src=&/equation?tex=v%3D%5Cfrac%7Bdx%7D%7Bdt%7D%3D%5Cfrac%7Bdx%5Ei%7D%7Bdx%5E0%7D& alt=&v=\frac{dx}{dt}=\frac{dx^i}{dx^0}& eeimg=&1&&不再是四维时空中的矢量——因为时间不再是常量，它是一个矢量的两个分量的比值，也就不会再满足线性关系了。但是，我们记得四维时空还是有一个不变量可用：&img src=&/equation?tex=ds& alt=&ds& eeimg=&1&&。如果&img src=&/equation?tex=ds%3E0& alt=&ds&0& eeimg=&1&&，这个间隔更类似于时间的流逝，我们可以定义本征时：&img src=&/equation?tex=d%5Ctau%3Dds%2Fc& alt=&d\tau=ds/c& eeimg=&1&&，然后用本征时来除一个矢量，我们自然地能够得到其他矢量。于是我们定义了各种四矢量：&/p&&p&四速度：&img src=&/equation?tex=%5Cnu%5E%5Cmu%3D%5Cfrac%7Bdx%5E%5Cmu%7D%7Bd%5Ctau%7D& alt=&\nu^\mu=\frac{dx^\mu}{d\tau}& eeimg=&1&&&br&&/p&&p&四加速度：&img src=&/equation?tex=%5Calpha%5E%5Cmu%3D%5Cfrac%7Bd%5Cnu%5E%5Cmu%7D%7Bd%5Ctau%7D& alt=&\alpha^\mu=\frac{d\nu^\mu}{d\tau}& eeimg=&1&&&/p&&p&四动量：&img src=&/equation?tex=p%5E%5Cmu%3Dmc%5Cnu%5E%5Cmu& alt=&p^\mu=mc\nu^\mu& eeimg=&1&&&/p&&p&而在狭义相对论中，自由粒子的运动方程依然和牛顿第二定律形式类似：&/p&&img src=&/equation?tex=%5Cfrac%7Bdp%5E%5Cmu%7D%7Bd%5Ctau%7D%3D0& alt=&\frac{dp^\mu}{d\tau}=0& eeimg=&1&&&br&&p&值得一提的是，四矢量的“长度”——自身与自身的内积也都是不变量，这与三维空间的情形是一样的。对于四速度而言，&img src=&/equation?tex=%5Cnu_%5Cmu%5Cnu%5E%5Cmu%3D1& alt=&\nu_\mu\nu^\mu=1& eeimg=&1&&，对于四动量而言，&img src=&/equation?tex=p_%5Cmu+p%5E%5Cmu%3Dm%5E2c%5E2& alt=&p_\mu p^\mu=m^2c^2& eeimg=&1&&。&/p&&p&狭义相对论的动力学、对称性、能量、动量，都可以通过拉格朗日力学或哈密顿力学来分析，请参考：&/p&&p&&a href=&/everytingisphysics/& class=&internal&&理论力学——拉格朗日力学 - Everything is Physics 万物皆理 - 知乎专栏&/a&&br&&/p&&p&&a href=&/everytingisphysics/& class=&internal&&理论力学——对称性与守恒量 - Everything is Physics 万物皆理 - 知乎专栏&/a&&br&&/p&&p&&a href=&/everytingisphysics/& class=&internal&&理论力学——哈密顿力学 - Everything is Physics 万物皆理 - 知乎专栏&/a&&br&&/p&&p&这里不再赘述了。只是有一个结论值得一提，很容易发现四动量的时间分量就是能量（除以光速），而&img src=&/equation?tex=p_%5Cmu+p%5E%5Cmu%3Dm%5E2c%5E2& alt=&p_\mu p^\mu=m^2c^2& eeimg=&1&&给出的正是相对论的能量与动量之间的关系。&/p&
我也不理解这篇文章为何会突然爆发出这么多赞，与此而来的是一大堆的“看不懂”和“这是数学不是物理”的回复。对于前者，请你们不用再回复了，这篇文章对你们毫无意义。对于后者，我觉得有必要强调一下电动力学是什么样的。电动力学（Electrodynamics）在…
t然而，我还是认为，政府本来想找到新的经济增长点，维持现在的房价不升即贬，让居民收入增长到可以承受高房价的地步，让这个泡沫慢慢萎缩，这样经济就软着陆，搞不好还是个U字型增长&br&&br&&br&后来这几年忙了很久政府还是短时间找不到经济新增长点的可能性，经济太难看，加之换汇和资本外流疯狂（低油价原材料价格使中国贸易顺差每年数千亿美元，2015年数据是顺差5950亿美元，这也是央行放水干预汇率的底气，可是外汇储备仍然一度失速暴减，2015年下降5130亿美元，人民币还是下跌8%，可以估计资本外流速度规模，刨除服务业逆差和海外直接投资额，约净流出保守估计在&a href=&tel:&&&/a&亿美元，中国外储还有31663亿美元，按央行估算保守估计15000亿是安全底线，刨除短期不可变现的部分，如果按照2015年那个速度规模，外汇最多还能支持两年半，可这只是美元第一个加息周期后，可能还有四到五个周期呦，央行喊话，人民币没有大规模贬值基础，我给翻译一下哈，就是“哎，老乡们别跑啊，哎，说的就是你，别跑，再跑就开枪了”），政府想先找一个资本蓄水池，让人民币稳定下来，股市不行那只好找房地产这个老法子，让热钱流回来沉淀在房子上面，可能是可笑的阴谋论，但实际上这两个月房价大涨，外汇储备真的减少速度大为缓解，在我看来，大多数游走的资本也还是投进了房地产&br&&br&至于以后，用空间换时间，未必就等到像互联网一类的新经济增长点了呢？科技日新月异不可预测，你看工业4.0不就是一个好概念吗？所以房子是可以适度上涨的，如果新经济真的起来了，现在房价是可以支撑的，苟且几年，人均GDP早就过万美金，人民更富有，经济抗风险能力会加强，政策余地更大&br&&br&&br&某一天真的玩不下去了，房地产走到头，无非两条路，一是政策日本化，二是人民币日元化，我觉得第一种可能性比较大因为中国经济模式不像俄罗斯，可以通过外汇大幅贬值维护经济，因为中国是加工成品出口型国家，严重依赖外贸，而且经济盘子太大，不像俄罗斯资源出口型那么没出息，（如果人民币大幅贬值，一定会带来主要贸易伙伴报复性关税，那中国外贸就完了）人民币还是得国际化的，还是要有点信誉，不可以那么臭不要脸的，遇到危机就大幅贬值，像俄罗斯那样普京表面强硬，可一遇到危机就摆出闭关锁国，摆出那种视死如归，其实是损害贸易伙伴的不要脸的样子，卢布本就没什么信誉，中国学他那样人民币国际化就完了，一带一路，亚投行就都完了，所以只能学习日本主动刺破房地产泡沫&br&&br&既然政府认命经济是L型，而不是U型，那么不如让全民持有多套物业，再征收二三套房产税，继承税，提高交易税让居民不能卖房子，这样房子甩都甩不掉，变成政府稳定的税收来源，居民变成给国家打工的，国家提高福利保证居民生活，日本不就是这么干的吗？日本利用广场协议，日元大幅度升值，并购了多少国外优质低价的海外资产，又吸引国际多少热钱卖给了他们本国高溢价劣质资产，房地产泡沫破烂因为广场协议？那日本政府那样玩命一般的加息做什么？房地产破灭一举坑杀了多少国际热钱投资？他失落都二十年了，怎么国民还TM那么有钱，那么安定，怎么没有变成拉美？这个前提是，国家得底子厚，科技领先，社会失去活力，但一切变的更稳定，更有序，现在人均GDP8000美金，你觉得可以吗？所以政府必须维持房地产市场，吸引更多刚需为国接盘，不过也不完全是接盘，你本来就得要有房子住，租房子不也得给房租吗？就当国家是包租公呗，比原房东肯定友善多了，想买了房子就是自己的？笑话，忘记国家性质了吗？忘记党旗颜色了？况且，即使国家爱民如子，不愿意苛加重税，50年或70年产权（其实加上施工销售一般到手只有45或65年产权，到期自动延续而非免费延续，危言耸}