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Ledpc vs x6tence bo3 西班牙ESL Pro SeriesVI决赛
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你好，groove，第一个问题就是你们为何会输给Ledpc？ 我们做CT的时候丢掉了很多个关键局，譬如第一局和第四局，所以在7：8落后的情况下结束了上半场比赛，而做T时我们的战术也并不成功，这就是我们输掉这场比赛的原因。赛前我们认为Ledpc的实力很一般而已，我们知道他们在de_inferno这张地图上非常擅长打防守，而de_train又是我们最擅长的地图之一，所以赛前我们并没有想到Ledpc在比赛当中的表现会如此出色。
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第三章 Linear Methods for Regression
3.2 线性回归和最小二乘
对于一个输入向量XT=(X1,X2,...Xp),需要一个实值的预测输出Y。线性回归模型有以下的形式
f(X)=β0+∑j=1pXjβj变量Xj可以有以下几个来源：
数值输入；
数值输入的转换，例如对数，平方根或平方
基本的扩展，例如X2=X21,X3=X31，产生一个多项式
对于非量化输入的等级编码
结合多种变量，例如X3=X1?X2
对于线性回归模型，最流行的参数估计算法是最小二乘法。我们使用最小化以下残差平方和的方法来产生系数向量β=(β0,β1,...,βp)T RSS(β)=∑i=1N(yi-f(xi))2
如何最小化？
记X为N×(p+1)矩阵，其中每一行是一个输入向量，相似地让y是一个训练集的N维输出向量。我们将平方残差和写成一下的形式
RSS(β)=(y-Xβ)T(y-Xβ)这是一个有p+1个参数的平方函数，对β求导我们得到
?RSS?β=-2XT(y-Xβ)?2RSS?β?βT=2XTX假设X是列满秩矩阵，并且因为XTX是正定的，我们设定一阶导数等于零
XT(y-Xβ)=0来得到一个唯一解β^=(XTX)-1XTy(3.6)对于训练输入的拟合值如下y^=Xβ^=X(XTX)-1XTy
对于筛选特征的一些处理
我们现在对数据的真实分布做一个最小化假设。为了固定β^的样本属性，我们现在假设观测值yi是不相关的，并且有一个常数的方差σ2，并且xi是固定的。最小二乘参数估计的方差-协方差矩阵(variance-covariance matrix)可以简单地从(3.6)中得出，并且由以下等式给出
Var(β^)=(XTX-1σ2)
典型地，通过下式对方差σ2进行估计
σ^2=1N-p-1∑i=1N(yi-y^i)2
σ^2给出了一个σ2的一个无偏估计
我们现在假设Y对于X1,...,Xp的条件期望是线性的。我们再假设Y的偏差是围绕在它的期望周围的并且是可加的和高斯分布的。因此Y=E(Y|X1,...,Xp)+?=β0+∑j=1pXjβj+?(3.9)其中?期望为零，方差为σ2的高斯随机变量，记为?~N(0,σ2)
在(3.9)之下，很容易得出以下等式β~N(β,(XTX)-1σ2)这是一个多维正态分布。并且(N-p-1)σ^2~σ2χ2N-p-1是一个自由度为N-p-1的卡方分布。而且β^和σ^2是统计独立的。我们使用分布的特性来对参数βj的假设和置信区间进行测试。
为了测试一个特定的系数βj=0这样的假设，我们建立一个系数标准化或称为Z-score
zj=β^jσ^vj--√
其中vj是矩阵(XTX)-1对角线上的第j个元素.在空假设βj=0下，zj服从分度tN-p-1,因此zj的一个非常大的值会拒绝这个空假设。
通常我们需要同时测试一组系数的意义。这里我们使用F统计，F=(RSS0-RSS1)/(p1-p0)RSS1/(N-p1-1)其中RSS1是带有p1+1个参数的较大模型的最小二乘拟合的残差平方和，RSS0是同源的带有p0+1个参数的较小模型的残差平方和。设定p1-p0参数被约束为零。F统计度量了较大模型中的每一个额外参数的平方残差和的变化，并且通过σ2的一个估计归一化。在高斯假设下，弱一个空假设正确，F统计将会有一个Fp1-p0,N-p1-1分布。当N是一个很大的数时，Fp1-p0,N-p1-1的分位数接近χ2p1-p0/(p1-p0)的分位数
3.2.2 高斯-马尔科夫理论
我们聚焦于参数θ=aTβ的任意线性结合的估计，预测结果f(x0)=xT0β是这个形式。aTβ^的最小二乘估计如下θ^=aTβ^=aT(XTX)-1XTy考虑到X是固定的，这是输出向量y的一个线性函数cT0y。如果我们假设线性模型是正确的，aTβ^就是无偏的。因为E(aTβ^)=E(aT(XTX)-1XTy)=aTβ高斯-马尔科夫理论陈述了如果我们有一个对于aTβ的线性无偏估计θ~=cTy，即E(cTy)=aTβ,那么Var(aTβ)≤Var(cTy)考虑一个估计θ~的均方误差MSE(θ~)=E[θ~-θ]2=Var(θ~)-[E(θ~)-θ]2
高斯-马尔科夫理论暗示了最小二乘估计在所有的线性无偏估计中产生最小的均方误差。
3.2.3 从简单一元回归到多元回归
带有p&1个输入的线性模型称作多维线性回归模型
首先假设我们有一个不带有截矩的一元模型Y=Xβ+?其中，y=(y1,...,yN)T,x=(x1,...,xN)T并且定义
然后，我们可以记β^=?x,y??x,x?r=y-xβ^假设输入x1,x2,...,xp之间是正交的；之后可以很简单地得到多维最小二乘估计β^j为?xj,y?/?xj,xj?
假设我们有一个截矩和一个单独输入x。那么x的最小二乘系数有这样的形式β^1=?x-x?1,y??x-x?1,x-x?1?其中x?=∑ixi/N，并且1=x0,是由N个1组成的向量。我们将估计看成是两个简单回归应用的结果。
这个步骤如下：
回归x到1上来产生一个残余z=x-x?1;
回归y到残差z上来给出系数β^1\
第一步正交化x使得x0=1。第二步只是一个简单的一元回归，使用正交的输入1和z
算法 3.1 Regression by Successive Orthogonalization
1.初始化z0=x0=1
2.对于j=1,2,...,p
回归xj到z0,z1,...,zj-1来产生系数γ^lj=?zl,xj?,l=0,...,j-1并且残差向量zj=xj-∑j-1k=0γ^kjzk
3.回归y到残余zp上来给出估计β^p
算法3.1的结果是β^p=?zp,y??zp,zp?如果xp与一些其他的xk's是高度相关的，那么残余向量zp会接近于零，并且系数β^p会非常地不稳定。我们也获得了一个对于方差估计的有些区别的公式Var(β^p)=σ2?zp,zp?=σ2∥zp∥2换句话说，我们的估计β^p的精确度依赖于残差向量zp的长度；这代表了xp与其他的xk's的无关性。
我们可以用一个矩阵的形式来代表算法3.1中的第二步X=ZΓ其中Z有列zj,并且Γ是一个上三角矩阵纪录有γ^kj。这里我们介绍一个对角矩阵D，其中对角线上的第j个元素纪录为Djj=∥zj∥,我们得到X=ZD-1DΓ=QR即所谓的对X的QR分解。这里Q是一个N×(p+1)的正交矩阵，QTQ=I，并且R是一个(p+1)×(p+1)的上三角矩阵。
QR分解代表了X列空间的一个方便的正交基。最小二乘解通过下式给出β^=R-1QTy y^=QQTy
3.2.4 多输出
假设我们有多个输出Y1,Y2,...,YK使用X0,X1,X2,...,Xp进行预测。我们假设对于每个输出的线性模型为Yk=β0k+∑j=1pXjβjk+?k=fk(X)+?k我们将上述模型写为矩阵形式Y=XB+E这里Y是N×K的响应矩阵，X是N×(p+1)输入矩阵，B是(p+1)×K的参数矩阵，E是N×K的误差矩阵。对于一元损失函数的一个直接概括是RSS(B)=∑k=1K∑i=1N(yik-fk(xi))2=tr[(Y-XB)T(Y-XB)]最小二乘估计有和之前相同的形式B^=(XTX)-1XTY假设Cov(?)=Σ,多元加权准则自然地服从多元高斯理论RSS(B;Σ)=∑i=1N(yi-f(xi))TΣ-1(yi-f(xi))这里f(x)是函数向量(f1(x),...,fK(x)),并且yi是输出i的K个响应的向量
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