[转载]测度论简介------一个通往异世界的大门（二）
已有 1685 次阅读
|系统分类:|关键词:大门 世界|文章来源:转载
二、测度的建立 让我们暂时放下关于无穷的那些讨论，回到主题：我们通常所说的长度面积体积这些词 ，究竟是什么意思？ 为了更清楚的阐明这个主题，让我们把目光只集中在最简单的一维情形，也就是说，我 们只考虑“长度” 这个词。我们希望，取出直线上的一部分，就有一个“长度” 存在 。如果能做到这一点，那么类似的，面积和体积之类的高维词汇也可以类似的得以理解 。 我们把目前要回答的问题列在下面： ·什么是长度？ ·是不是直线上任何一部分都可以有长度？直线上的一个线段当然应该有长度，直线上 的两段分离的线段也有总长度，单点有没有长度呢？随便从直线上挖出一些点来得到的 也许是虚虚实实的一个“虚线段”有没有长度？是不是我们从直线上任意取出一个子集 合(线段啦单点啦都可以看成是直线的特殊的子集合)，都可以定义它的长度？ ——这件事无论在数学上还是应用上都是重要的，如果能够给直线的任何子集定义长度 ，那就太方便了。 ·如果上面这件事是可以的话，那么随便给一个直线上的点集，长度怎么计算？ 等等等等。 事实上，在数学中这些问题都能够得到解答，但是首先让我们把上面问题里的“长度” 这个词都换成更准确的一个术语：测度(measure)。之所以要采用这么一个新造的词， 首先是因为“长度”有时候有局限性。一个线段的长度好理解，一个复杂的点集，说长 度就会显得很奇怪；不仅如此，在二维情形下我们还要研究面积，三维还要研究体积， 四维还要研究不知道什么积……为了省去发明一个又一个新词的苦恼，我们把这些东西 统一叫做二维测度，三维测度……一了百了。 好吧，那么，我们来定义(一维)测度。 ——不，不要误会，我并不是要在此刻写出一大段难懂的话，告诉大家“测度就是什么 什么什么什么。” 或者更谦逊一点，说“我认为，测度就是什么什么什么什么。” — —也许这是一般人看来自然不过的工作方式，但不是数学家的。 这是因为，我们现在要定义的是某种特别基础的概念。也许在定义某些很复杂的高层概 念的时候这种方式很自然，可是概念越基础，这种方式带来的问题就越大。关于测度这 种层次的概念几乎必然伴随着用语言难于精确描述的种种晦涩的思考，一旦一个人试图 把他对这个词的理解宣诸笔墨，那么无论他多么小心翼翼的整理他的陈述，在别人看起 来他的定义都必然漏洞百出，有无数可以商榷的地方。——而因为这个概念在整个逻辑 体系中的位置过于基础，任何商榷又都必然说起来云山雾罩，像哲学家们通常进行的关 于基础概念的争论一样令人头昏脑胀。如果数学家们要开会用这种方法给出测度的定义 ，那一百个数学家一定会提出一百零一种定义来，最终的结果是什么有效的结论也得不 到。 数学家们采用的是完全不同的方式：我们先不要贸然去说“什么是测度”，而是先问问 自己，当我们想发明一个新的定义的时候，我们在这个定义的背后是想达到怎样一种目 的？换句话说，我们想让这个定义实现哪些事情？ 首先，测度——不管它具体怎么定义，其作用的对象按照我们的期望是直线上的任意一 个子集，而最后得到的测度应该是一个具体的数字。也就是说，所谓定义测度，就是我 们需要找到一种方法，使得随便拿来直线上的一个子集，我们都能够最终得到一个数字 作为其“长度”。 （在这里我们把无穷大也看成是测度，例如整根直线的测度就是无穷 大。） 然后，这种方法总要满足一些必要的约束。——不能随便给一个线段标上一个数字，就 说它是测度了。这些约束有哪些呢？ 第一，空集（注意是说空集而不是说单点集）本身也是直线的子集，也应该有个测度。 我们应当保证空集的测度是零。这是很显然的，否则这个测度就毫无实际意义了。 第二，既然每个子集都有一个测度，那么把两个彼此本身不相交的子集并在一起得到的 新的子集也应该有个测度，并且这个测度应该等于两者之和。——这也是很直观的要求 。两个线段如果不相交，那么他们的总长度应该等于两者长度之和。更高维的情况也一 样，两个二维图形如果不相交，那么总面积应当等于各自面积之和，诸如此类。 更进一步，三个不相交子集的测度之和也应该等于这三个子集并起来的集合的测度，四 个也对，五个也对，依此类推，无穷个不相交子集的测度之和也应该等于把它们并起来 得到的集合的测度。——注意，是可数无穷个！ (为什么呢？直接说任意无穷个不好么？干嘛只限定是可数无穷个？) 数学家是很谨慎的。上面这个性质被称为可数无穷个集合的测度的“可加性” ，承认可 数无穷个集合有可加性是不得不为之，因为在实际应用中我们确实常常会遇到对可数无 穷个子集求总测度的问题，可是任意无穷个子集的测度也能相加，这个陈述就太强大了 ，我们一时还说不好测度有没有这么强的性质，还是先只承认可加性对可数无穷个集合 成立好了。 第三…… “且慢” ，数学家说，“先别找太多的约束，看看这两条约束本身能够在多大程度上给 出测度的定义好了。” (什么嘛，这两条约束根本什么都没说。第一条是废话，第二条也是很显然的性质，要是 只满足这两条就可以叫做测度，那测度的定义也太宽松了，我随随便便就能构造出好多 种不同的测度出来。) 也许是这样，可是到时候再添上新的约束也不迟。这也是数学家们常用的办法，先定义 尽量宽松的概念，然后再一点一点的附加条件，得到更细致和特殊的子概念。就目前的 情况来说，看起来这两条约束确实是宽松了点…… 不幸的是，——也许出乎你的意料，——这两条约束不是太宽松，而是已经太严苛了。 我们可以证明，给直线的每个子集都标上数字作为测度，保证空集的测度是零，并且测 度满足可数无穷个集合的可加性，这件事情在逻辑上并无内在的矛盾，但是这样的测度 必然具有一些数学上非常古怪的性质。也就是说，这样的测度根本不能用来作为对长度 的定义！ （关于这件事的证明其实很简单，但是需要一点数学基础才能读懂，详情可以参考文献 [1]。关于什么是“古怪的性质”，后面还会提及。） 在这种情形下，我们只好退而求其次，减少对测度这个概念的期望。——可是前面提到 的两条性质都再基本不过了，如果连它们都不能满足，我们定义出来测度又有什么用呢 ？——于是数学家们另辟蹊径，不是放松这两条限制，而是放松它们的适用范围：我们 不去强求测度能对直线的每个子集都有定义，也就是说，我们只挑出直线的一些子集来 定义测度，看看能不能避免逻辑上的困境。 需要挑出那些子集呢？很显然，我们希望对于平时人们能接触到的各种常见的子集都能 定义测度，所以单点集是需要的，线段也是需要的，而若干线段的交集或并集（这里若 干还是指至多可数个）也是需要的，对它们的交集或并集再作交集或者并集也是需要的 …… 在数学中，我们把所有线段反复做交集或并集生成的这一大类集合称为可测集（当然它 有更严格的定义，不过大概就是这个意思）。不要小看这种生成方式，事实上，你能想 象得到的直线的子集其实都是可测集，——要找出一个非可测集的集合反倒是有点困难 的事情。虽然可测集不包括直线的全体子集，但是如果我们能对所有可测集定义合理的 测度，那这个测度也足以应付人们的需要了。 所幸的是这确实是可以做到的。在测度论中有很大的一部分篇幅是用来论述测度是怎么 对可测集得以建立的，这部分内容一般被表述为一个称为Caratheodory’s theorem的理 论。言简意赅地说：是的，只针对可测集定义的，满足前面那两条假设的“合理”测度 总是能够建立得起来的。这里所谓的“合理”，就是说它能够用来作为我们心目中那个 “长度”而存在。为了说明这一点，让我们想想我们离我们的目的地还差多远：直到现 在为止，我们还是完全不知道一个测度究竟是什么样子。举例来说，按照我们的想法， 一个单点集的测度应当是零（对应于点没有长度的直观），而实数轴上从0点到1点的线 段的测度应当是1，更一般地，从a点到b点的线段的测度应当是b-a，——可是这一切我 们统统还不知道呢！ 这一切确实还未曾得到说明，而且更关键的是，仅仅有前面给出的那两条假设，我们也 确实无法推理得出上面那些结论。这也是数学家们的通常做法：先有一个一般的概念， 然后通过给它添上一些新的独立约束来构造出更细致的概念。我们现在已经有了一个一 般的测度的概念，把它总结一下，就是说： 对于直线的一大类子集（也就是可测集，谢天谢地，我们在应用中真正关心的集合都属 于可测集），我们能够在不伤害逻辑的自洽性的前提下，给他们中的每个都标上一个数 字，称为测度，并且这些数字满足下面两条性质： ·空集对应的数字（空集的测度）是零。 ·若干个（但是至多可数无穷个）彼此不相交的子集，它们并在一起得到的子集的测度 ，刚好等于这些子集各自测度之和。 我们只知道这样的测度是存在的，但是很显然并不唯一，因为我们未曾对这些具体的数 值作过任何限定。为了使测度能够符合我们心目中的那个“长度”的概念，我们需要进 一步添上一条需要满足的性质： ·如果把直线看作实数轴，那么从数轴上a点到b点的线段（这是直线的一个子集）对应 的测度应当等于b-a，例如，数轴上从2到3的这一段线段的测度应该等于1。 乍一看这好像只是个不完全的限定，我们只规定了最简单的线段的测度，却没有规定剩 下那许多奇奇怪怪的集合的测度，可是好在有数学推理来替我们包办剩下的一切：只要 添上这条约束，那么所有的可测集的测度的具体大小就会以唯一不导致逻辑上的矛盾的 方式被确定下来。也就是说，对于任何一个可测集，我们都有办法算出它所对应的那个 唯一可能的测度来。（怎么算的？如果你不想看到数学式子的话就别问了……） 需要说明的是，同样也是根据这三条，我们就能够发现单点的测度必须是零（否则就会 导致计算上的矛盾）。注意：这里的逻辑完全是数学的而不是哲学的，也就是说，我们 是可以“推导”出单点的测度是零这样的结论的。 各位看到这里可能会很疑惑，我究竟在干什么？我并没有回答事先许诺要回答的任何一 个问题（为什么点的长度是零而线段就不是，诸如此类），而是蛮横无理的把它们作为 规定和规定的推论强制性的摆在这里，作为测度的定义的一部分。这算什么回答？ 请允许我把对此的解释（以及对前面所有那些哲学性问题的解释）放在后面，先暂且回 到测度的定义本身上来。 前面说了，只要能满足头两条性质，我们就称定义出来的那个东西为测度，加上第三条 只是为了让这个测度符合我们对长度的具体数值的要求。也就是说，加上第三条性质后 ，我们定义出的应当只是测度中的具体某一种，一般把它称为勒贝格测度（Lebesgue m easure）。再强调一遍，正如前面所说的那样，勒贝格测度并不能定义在直线的所有子 集上而只能定义在其中的可测集上。但是我们在数学中和应用中能够遇到的集合差不多 全是可测集。 （那就总还有几个不可测集了？是的，确实存在一些特别诡异的集合是不可测集。关于 不可测集的构造和性质一直是数学上一个有趣的话题，——虽然并不重要，因为事实上 在真实世界里我们遇不到它，它们只是作为抽象的数学构造出现的。我们后面还会再次 谈及这个问题。） 既然勒贝格测度只是测度的一种，那就是说，数学上是承认不同于勒贝格测度的更一般 的测度存在的。这些测度只满足三条性质的前两条，而未必满足第三条，也就是说，这 些“测度”并不保证从0点到1点的线段的测度是1，甚至也未必保证单点集的测度是零。 它们的性质可能和通常人们对长度的理解很不相同。 （为什么呢？既然明显和常识相悖，为什么还要保留这些人造的概念呢？） 这是因为，尽管数学家发明测度的概念的初衷确实只是想把“长度”的概念精确化和逻 辑化，（事实上也确实做到了，就是勒贝格测度），但是人们很快发现，那些更一般的 测度虽然未必还符合人们对“长度”这个词的理解，但是它们作为一种数学概念却能在 大量的学科里得到应用，甚至成为很多理论的基础语言。一个最简单的例子是概率论， 这门古老的学科在测度论建立之后就完全被测度的语言所改写，以至于今天一个不懂一 般测度的人完全没办法研究概率论；另一个例子是著名的狄拉克测度（Dirac measure） ，这个曾经令数学家也有点头痛的非正常测度在物理学和信号处理等领域里扮演了非常 关键的角色。 ——不过，这是后话了。
转载本文请联系原作者获取授权，同时请注明本文来自戴申科学网博客。链接地址：
上一篇：下一篇：
当前推荐数：0
评论 ( 个评论)
扫一扫，分享此博文
作者的精选博文
作者的其他最新博文
热门博文导读
Powered by
Copyright &　　安游DNF交流群，一群（已满）：或者点击二群：或者点击申请加群吧！
[][1762次]
[][1567次]
[][1321次]
[][1238次]
Copyright ©
All Rights Reserved 安游在线 版权所有
经营许可证：皖ICP备号-1关注超级玩家
查看: 1200|回复: 26
Re：从零开始的异世界生活测试妮的cp是谁！！！。。。
, 积分 27415, 距离下一级还需 22585 积分
主题帖子积分
雷霆崖上喜多村,英梨酋长赛凯恩。血蹄踏遍花开处男女皆是牛头人
, 积分 27415, 距离下一级还需 22585 积分
金币15751 枚
荣誉22459 点
本帖子中包含更多资源
才可以下载或查看，没有帐号？
卧槽我是卖苹果的大叔&
[]: ai100ruan 茫然中听到：你知道易厚木么，醒来发现口袋少了 4 枚 金币.
强气ee&弱受伪科学1st强气ee&弱受伪科学2nd
, 积分 12621, 距离下一级还需 2379 积分
主题帖子积分
, 积分 12621, 距离下一级还需 2379 积分
金币557 枚
荣誉16201 点
垃圾日漫痴
, 积分 8065, 距离下一级还需 935 积分
主题帖子积分
没有颜色的一天
, 积分 8065, 距离下一级还需 935 积分
金币7651 枚
荣誉11737 点
, 积分 3608, 距离下一级还需 392 积分
主题帖子积分
, 积分 3608, 距离下一级还需 392 积分
金币7394 枚
荣誉4103 点
, 积分 2039, 距离下一级还需 761 积分
主题帖子积分
, 积分 2039, 距离下一级还需 761 积分
金币4090 枚
荣誉2735 点
垃圾日漫痴
[]: chaojidabaichi 残血跑进河道吃符致死，损失 1 枚 金币.
, 积分 1755, 距离下一级还需 1045 积分
主题帖子积分
, 积分 1755, 距离下一级还需 1045 积分
金币13930 枚
荣誉1841 点
谎报军情&&
, 积分 7973, 距离下一级还需 1027 积分
主题帖子积分
拳打日漫痴，脚踢萝莉控
, 积分 7973, 距离下一级还需 1027 积分
金币17182 枚
荣誉11491 点
中出日漫痴
, 积分 1755, 距离下一级还需 1045 积分
主题帖子积分
, 积分 1755, 距离下一级还需 1045 积分
金币13930 枚
荣誉1841 点
不懂日语啊
, 积分 11848, 距离下一级还需 3152 积分
主题帖子积分
, 积分 11848, 距离下一级还需 3152 积分
金币5144 枚
荣誉15145 点
垃圾日漫痴
, 积分 2145, 距离下一级还需 655 积分
主题帖子积分
, 积分 2145, 距离下一级还需 655 积分
金币3184 枚
荣誉1758 点
, 积分 5212, 距离下一级还需 788 积分
主题帖子积分
, 积分 5212, 距离下一级还需 788 积分
金币1925 枚
荣誉6522 点
垃圾日漫痴
, 积分 4601, 距离下一级还需 1399 积分
主题帖子积分
热爱DOTA的路人啊
, 积分 4601, 距离下一级还需 1399 积分
金币10198 枚
荣誉4984 点
不是很懂你们日漫痴
, 积分 1758, 距离下一级还需 1042 积分
主题帖子积分
, 积分 1758, 距离下一级还需 1042 积分
金币3848 枚
荣誉2132 点
垃圾日漫痴
, 积分 3210, 距离下一级还需 790 积分
主题帖子积分
, 积分 3210, 距离下一级还需 790 积分
金币5018 枚
荣誉4497 点
垃圾日漫痴
, 积分 2231, 距离下一级还需 569 积分
主题帖子积分
, 积分 2231, 距离下一级还需 569 积分
金币3390 枚
荣誉2586 点
为什么给我的是个男的
最爱选手HAO,B,DDC
, 积分 22985, 距离下一级还需 2015 积分
主题帖子积分
毒品、器官、核弹。
, 积分 22985, 距离下一级还需 2015 积分
金币35988 枚
荣誉33038 点
垃圾日漫痴
, 积分 1153, 距离下一级还需 547 积分
主题帖子积分
, 积分 1153, 距离下一级还需 547 积分
金币2158 枚
荣誉1101 点
垃圾日漫痴 ~鳖～
, 积分 18885, 距离下一级还需 6115 积分
主题帖子积分
?当然选择原谅她
, 积分 18885, 距离下一级还需 6115 积分
金币2784 枚
荣誉26047 点
, 积分 24435, 距离下一级还需 565 积分
主题帖子积分
?Richy Baratheon?跟风无脑黑
, 积分 24435, 距离下一级还需 565 积分
金币44089 枚
荣誉35035 点
垃圾日漫痴
, 积分 15209, 距离下一级还需 9791 积分
主题帖子积分
, 积分 15209, 距离下一级还需 9791 积分
金币12768 枚
荣誉22185 点
垃圾日漫痴
2014世界杯
2014世界杯
小木曾雪菜
2015世萌萌王
2015世萌萌王
Powered by大家有没有试过一句话终结re0？_re从零开始异世界生活吧_百度贴吧
&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&签到排名：今日本吧第个签到，本吧因你更精彩，明天继续来努力！
本吧签到人数：0可签7级以上的吧50个
本月漏签0次！成为超级会员，赠送8张补签卡连续签到：天&&累计签到：天超级会员单次开通12个月以上，赠送连续签到卡3张
关注：236,625贴子：
大家有没有试过一句话终结re0？
我先来，486：可是我喜欢艾米利亚。蕾姆：没关系486：但我也不能抛下你，别去救人了我们找个小宾馆♂住下然后交配吧。几小时后诚哥：“小伙子你也是来陪我的？”
嘤嘤嘤哼，人家拿小拳拳...
一个春节从“胖”变成了“...
金鸡报晓贺新春，月吧团...
8大招快速KO奇葩相亲男
机智应对亲戚发问，过个...
若看完还没收到红包，请...
2017春晚趣味表情包来袭
你有一个新年礼包等待领取
等了好久终于等到除夕，...
年宵花开喜迎春,鸡年吉...
这年头，没有对象都不好...
用年终奖买年货
缺牙要及时修复，揭秘种植牙如何做到几十年不掉？
艾米莉亚：其实，我是男的蕾姆：那么巧，我也是
想写小说吗？长月：不想re0
语死早，你这特喵是一句话？！
等下486不会陪因为他会死亡回……（心脏莫名一阵剧痛）
呀，原来是场梦啊
莎提拉：你的复活币已用完，请及时充值楼主神特么的一句话
从零开始：归零……归零……归零
贴吧热议榜
使用签名档&&
保存至快速回贴}