优等生强化失败强化力量任务怎么做做
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时间：2016-05-12 12:48
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如何培养优等生
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你可能喜欢后进生伺候优等生吃饭，被破坏掉的教育生态
写在前面：从2018年起，中国每年将向世界卫生组织交5000万美金，但是，在世卫组织的7000名雇员中，中国雇员只占40人左右，管理者更是寥寥无几。未来的中国势必将成为世界第一大经济体，届时，中国教育能否培养出管理世界的人才？
就目前来看，这个答案是否定的。“脑袋跟不上发展”，这是摆在中国教育面前的不争事实。对此，“教育与中国未来30人论坛”围绕中国教育与人类命运共同体，探讨了当前中国教育的弊病与创新，为未来教育的发展提供了新思路。搜狐教育独家为您呈现现场的精彩演讲。
孟繁华 首都师范大学副校长、教授、博士生导师
30年前的暑期，中央电视台直播过马赛马拉大草原角马的迁徙。在看角马迁徙时，心里期盼角马千万别让鳄鱼吃掉，希望它们快点走。但是，当真正来到马赛马拉大草原时，我觉得鳄鱼应该吃掉一部分角马。如果不吃角马，鳄鱼怎么生存、怎么发展呢？但是角马也不能让它吃多，吃多了鳄鱼就无限膨胀，角马则逐渐萎缩，所以达到一个有机的平衡是最佳状态。
在良好的生态观指导下，生物体系的自我演化是一种最佳状态。不能只发展鳄鱼，也不能单单保护角马。
在教育工作中，经常说要加强这一部分。但是，加强某一部分的同时就是在削弱另一部分。这样一来，教育这个生态系统就处在一个非常麻烦、不良的状态下。
伺候优等生吃饭，戴绿领巾，负教育在当今比比皆是
作为教育工作者，做教育无非就是做三件事，第一件事是教师要唤醒学生的生命意识，充满活力，加强生命力；第二件事是要启迪学生的精神世界，精神的力量非常伟大，不同的精神世界最后的结果完全不同；第三件事是要建构学生的生存方式，要有基本的技能。
基于这三件事，我提出了三个概念。第一个概念叫“正教育”，符合以上三条就叫正教育。第二个概念叫“零教育”，意味着即使做了这三件事情也是无效的，即没有唤醒学生的生命意识，没有启迪精神世界，也没有学到什么真本事。第三个概念叫“负教育”，所谓负教育就是与这三件事背道而驰，不但没有唤醒学生的生命意识，而且诋毁生命力和精神世界。把这三个概念作为一个分析框架，用它来反思一下现在的教育。
讲两个官方媒体报道的极端案例。《中国教育报》报道过这样一则新闻，某省一所实验学校，校长搞改革创新，孩子吃午餐的时候，后进生伺候优等生吃饭，给他们端盘子洗碗，等优等生吃完，后进生才能吃饭。另一则新闻是西部某所重点中学，成绩好的学生佩戴红领巾，成绩差的学生则戴绿领巾。
对照刚才的三条标准，可以质问一下这样的教育，唤醒学生的生命意识了吗？启迪学生的精神世界了吗？教会学生生存技能了吗？统统都没有，非但如此，还压制学生，这是典型的负教育。在今天，无论是小学、中学还是大学，这种现象比比皆是。
回归“人”的本质
这显然是发展观造成的。人的发展历史可以分为三个阶段：第一个阶段可以称为“以人为成本”的阶段，无论是员工还是教师，都是学校的成本。老师教出了成绩好的学生，成本的价值就得到了体现。第二个阶段也是现在比较流行的一个阶段，叫做“以人为资源”的阶段。这个阶段比第一个阶段有所进步，重在对人的开发、培训和培养，但根本目的不变，还是想取得更大的效益。第三个阶段就是“以人为本”。尽管国际上人文主义哲学已经流行了一个多世纪之久，但在中国还是本世纪才开始的事情。以人为本强调对人的尊重、关心和发展，公平的社会就是一个以人为本的社会，是所有人平等共享的社会。
我在《新发展观》这本书中找到了发展观变化的依据。这本书的作者是法国著名的社会学家，他在1983年就提出，世界发展是整体的、综合的和内省的。一种以满足人的需求为中心价值取向、以生态学的系统观为指导、以人的智力资源为基础、以人与自然统一的生态和谐发展为核心的“综合发展观”已悄然兴起。
我们现在的四个全面、五大发展理念便是一种综合发展观，但是在实践过程中出现了很多偏差，造成指导思想和实际做法两张皮的现象。
用高压锅煮水，教育下半场需要转换思路
过去，官方所有文件一定是加强、强化，这就相当于加强鳄鱼或者加强角马，加强的同时意味着对教育生态的变相破坏。这时，需要换一种思路解决问题。
假如我是领导，需要员工在10分钟内把一壶水加热到120度。20度、30度、40度，5分钟到了，100度沸腾了。那么，剩下的五分钟，员工应该做的是把100度的水加热到120度，但是，5分钟过去了，水依然是100度。
这其实是生活中常犯的错误。上半场的任务完成得很好，下半场一事无成。症结在于，下半场依然按照传统模式继续烧水，烧干了还是100度。下半场换成一个高压锅就可以了，一会儿就到120度。
因此，上半场广泛采取竞争的办法，因为市场经济的核心就在于竞争。下半场则要考虑到整个人类的发展，构建人类命运的共同体，需要换种思路解决问题。如果继续加强这个、加强那个，最后什么也不强。
教育除了“加强”，还要做好减法。一个减法是去掉标签化，第二个减法是去行政化，第三个减法是去工程化。
去标签化就是不要过分重视头衔，像如千人计划、万人计划、长江学者等等，据说这些人才计划加起来有80多项。国内大学重视头衔，而国外大学重视的是对社会的贡献，是看得见的。二是去行政化，其核心意义在于去大学的标准化，彰显大学的特色和多样性。再一个是去工程化，运用工程项目的管理方式方法，显然忽视了教育的本性，忽视了教育的系统性、渐进性和长效性。
人类同呼吸、共命运，希望未来教育越来越好。
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今日搜狐热点&figure&&img src=&https://pic4.zhimg.com/v2-85f0ccb2c432ac5d1ea1_b.jpg& data-rawwidth=&1800& data-rawheight=&1286& class=&origin_image zh-lightbox-thumb& width=&1800& data-original=&https://pic4.zhimg.com/v2-85f0ccb2c432ac5d1ea1_r.jpg&&&/figure&&p&今天我们就来谈一谈选择与未来(options and futures)，讨论一些宝贵的人生经验。&/p&&p&我想要达到的效果是，只要看了这一篇文章就可以深刻理解BS方程，让你在金融市场永远立于不败之地，遇神被神杀遇佛被佛杀~&/p&&figure&&img data-rawheight=&224& src=&https://pic3.zhimg.com/v2-23ff58c6_b.jpg& data-size=&normal& data-rawwidth=&225& class=&content_image& width=&225&&&/figure&&p&CERN的data今年最后一年收集完毕我也终终终终终终终于要解放了，也需要好好准备找quant的工作。感兴趣的童鞋也feel free加微信交流哇，&/p&&p&很多盆友都看过董可人几年前关于两种quant类型Q quant和P quant的回答，这也是纯洁懵懂学物理的我第一次接触到quant这个高大上的领域，看的面红耳赤小鹿乱撞心怦怦直跳。当初看完一脸憧憬外加一脸懵逼，但现在经过两三年的努力，我现在终于对这两类quant的内容都有了比较深入的理解和认识，只剩下懵逼了。&br&&/p&&figure&&img data-rawheight=&286& src=&https://pic2.zhimg.com/v2-a4c9d75eabdab6ac17f2c5_b.jpg& data-size=&normal& data-rawwidth=&328& class=&content_image& width=&328&&&/figure&&p&&br&&/p&&p&(1) Q quant是theory driven，从市场风险中性出发，做衍生品pricing或者structured product，也是一直以来比较传统的quant，主要是上世纪大家发现物理里的布朗运动和解偏微分方程可以用在金融市场上对衍生品的定价(后面理论部分会具体解释)，就招了一大批物理学家和数学家专门研究衍生品和量化风险。当然，这种结构化的产品的滥用也导致了08年的次贷危机，而且其实大部分的定价工作已经很成熟并且自动化，不太需要大量数学物理phd去贡献脑力做重复工作，市场上衍生品mispricing的套利机会也不再那么juicy，行业进入了比较稳定饱和的阶段。(一句话概括，物理不好找工作了)&br&(2) P quant是data driven，也就是现在比较流行的统计quant或者data scientist，具体是借助统计模型来做多因子，risk和portfolio management，统计套利等等内容，叠加现在的big data还有machine leanring/deep learning的东风，行业进入了迅速发展的阶段。(一句话概括，统计好找工作了)&br&&/p&&p&(更详细的描述在其推荐的这个paper里面: &a href=&http://link.zhihu.com/?target=https%3A//papers.ssrn.com/sol3/papers.cfm%3Fabstract_id%3D1717163& class=& external& target=&_blank& rel=&nofollow noreferrer&&&span class=&invisible&&https://&/span&&span class=&visible&&papers.ssrn.com/sol3/pa&/span&&span class=&invisible&&pers.cfm?abstract_id=1717163&/span&&span class=&ellipsis&&&/span&&/a&)&br&&/p&&p&我在这篇文章&a href=&https://zhuanlan.zhihu.com/p/& class=&internal&&教你Machine Learning玩转金融入门notes&/a&里面对P quant做了比较详细的介绍，这里主要介绍第一种传统的Q quant。&/p&&p&但我认为这两种quant的技能其实都应该掌握，学的越多越发现金融市场是一个很复杂的系统，特别是如果想要管理好一个portfolio是需要对每一块儿领域都有一定的理解并且为我所用。所以这也是为什么我分别写了Macro和Machine Learning之后又想写这篇文章，在建立起市场宏观的大框架之后同时利用data driven的统计模型和theory driven的衍生品来帮助自己灵活实现具体的目标，希望能帮大家对整个金融市场有一个比较全面的了解。&/p&&figure&&img data-rawheight=&740& src=&https://pic1.zhimg.com/v2-7a4caae851de21fc3328_b.jpg& data-size=&small& data-rawwidth=&1276& class=&origin_image zh-lightbox-thumb& width=&1276& data-original=&https://pic1.zhimg.com/v2-7a4caae851de21fc3328_r.jpg&&&/figure&&p&说到期权就避不开一个东西，这其实也是我想写这篇文章的主要原因，那就是波动率volatility。先上一张图感受一下:&/p&&figure&&img data-rawheight=&1242& src=&https://pic3.zhimg.com/v2-a61ffa8c57ca2c5db3e6b22_b.jpg& data-size=&normal& data-rawwidth=&2208& class=&origin_image zh-lightbox-thumb& width=&2208& data-original=&https://pic3.zhimg.com/v2-a61ffa8c57ca2c5db3e6b22_r.jpg&&&/figure&&p&大家应该依然对年初美股的大跌印象深刻，引发了全球股市包括A股的大跌。大跌的原因暂时也是众说纷纭，主要的trigger应该还是似乎一夜之间市场对通胀的预期就高涨起来，无论是原油还是美国经济数据强劲驱动，引发了长端美债利率的大涨，传导到了美国的股市引发了螺旋踩踏式的降杠杆。至于是哪些机构在降杠杆，首当其冲的自然是一直以来crowded躺着捡钱做空vix的fund和个人了。然后当天就有机构把大量资金从股市转移到债市，下图的换仓简直不要更明显(注意这里债券是利率)。这部分的机构可能是养老金也有可能是risk parity，也可能是从index fund出来的资金寻求避险(最近也有消息说97%的vanguard household在这次turmoil中并没有trade)。&/p&&figure&&img data-rawheight=&1440& src=&https://pic1.zhimg.com/v2-f1a348be99a4d44794efec_b.jpg& data-size=&small& data-rawwidth=&1080& class=&origin_image zh-lightbox-thumb& width=&1080& data-original=&https://pic1.zhimg.com/v2-f1a348be99a4d44794efec_r.jpg&&&/figure&&p&&br&&/p&&p&当天确实很有纪念意义，我学到了很重要的一课，也发了好几条状态:&/p&&p&当年次贷也只是电影里面感受过，有些东西没有经历过确实想象不出来。不管之前的A股大跌还是现在的美股大跌，或者更早之前的几次危机，说白了都是因为bank run进而踩踏导致螺旋下跌，无论经济基本面怎么样，只要是有credit这个东西的存在就会导致市场比看上去thin得多，并且越有效越会刺激加杠杆去获取那稀薄的超额收益，思考的越理性和复杂反而会离人性和情绪更远，也更不容易看到身边所发生的事情。&/p&&p&还有就是知行合一，虽然去年好几条状态都是推荐一边long大盘然后用收益去long vix的option来bet这些spike，但确实自己也不太笃信能坚持到这一刻到来，错失机会并不可惜，比如比特币涨这么多我也不会觉得可惜，毕竟之前也不了解和判断，但对于vix确实可惜的是没有坚持自己先前的判断。&/p&&p&遗憾归遗憾，错过的机会其实也是一个很好的学习机会。未来全球各国普遍进入紧缩环境，随着volatility的回归，国内金融市场也会对期权逐渐熟悉起来，以后不懂期权不仅会错过更多这样的机会，更重要的是以后金融市场的发展趋势肯定也是像美国这边一样利用衍生品(option，future，forward，swap等等)有针对性的精确控制自己portfolio的各类risk exposure，这一块儿会是每个机构和fund需要掌握的必备技能。&br&&/p&&p&所以呢，这里暂且作为一个比较intuitive的介绍和入门，更细节和理论的东西还是需要去看书(文末有推荐的书单)。&/p&&figure&&img data-rawheight=&360& src=&https://pic4.zhimg.com/v2-8aeb384dd4ffb5c44f6a5f_b.jpg& data-size=&small& data-rawwidth=&640& class=&origin_image zh-lightbox-thumb& width=&640& data-original=&https://pic4.zhimg.com/v2-8aeb384dd4ffb5c44f6a5f_r.jpg&&&/figure&&p&&br&&/p&&p&这篇文章呢分成两部分，&br&(1) 第一部分是期权各种不可描述姿势的推倒，我们熟悉的BS方程其实只是一个结果，其前面的推导过程貌似很多盆友也不是很熟悉，但我觉得前面的假设和一步步建模才是最有insight的地方，到了BS方程其实就已经只剩下求解偏微分这种苦力活。我半年前刚学这一块儿的时候没啥人指导也是学的比较零零散散，如果一开始就有一篇把整套逻辑都清晰梳理出来的文章会节省我不少精力，最近自己也确实需要认真准备quant的东西，正好试着来做这样一件事，权且当自己对这个部分的总结，也看看自己有没有理解错误的地方；&br&(2) 如果对公式不感兴趣或者已经很熟悉的盆友可以直接跳到第二部分，是我在学了BS公式之后对市场本质上的一些疑惑，欢迎开放性的讨论。&br&&/p&&p&呐，首先还是给一个FBI Warning，我是粒子物理专业，这些全都是自学的，所以如果出现了民科的地方请不要见笑，比个心~&/p&&p&&br&&/p&&p&&br&&/p&&p&&b&1.期权入门&/b&&/p&&p&1.1 Black-Scholes Model &/p&&p&1.2 Greeks&/p&&p&1.3 Implied Volatility and Volatility Surface&/p&&p&1.4 Random Walk &/p&&p&1.5 Brownian Motion&/p&&p&1.6 Stochastic Calculus&/p&&p&1.7 Markov Process and Martingale&/p&&p&&br&&/p&&p&&b&2.我们为什么能赚钱&/b&&/p&&p&&br&&/p&&h2&1.期权入门&/h2&&figure&&img data-rawheight=&1083& src=&https://pic3.zhimg.com/v2-2f5e7a18fe4e4db8492eca_b.jpg& data-size=&small& data-rawwidth=&1171& class=&origin_image zh-lightbox-thumb& width=&1171& data-original=&https://pic3.zhimg.com/v2-2f5e7a18fe4e4db8492eca_r.jpg&&&/figure&&p&&br&&/p&&p&下面开始尽量入门的介绍，我会先从比较实用的定价部分开始，然后再介绍比较理论推倒的部分。&br&其实想要真的掌握期权，特别是对期权hedging的操作，理解理论的数学公式肯定是逃不掉，我也会给出一些自学时候的理解，希望也能让同样没有相应背景的朋友理解起来更加直观一点。(就像machine learning一样，能用package只是很表面的skill，真正限制自己的是理解的深度，能从理论上融会贯通各个model什么时候应该怎么用会出现什么问题才是核心的竞争力)&br&&/p&&h2&1.1 Black-Scholes Model&/h2&&p&首先，BS公式是期权定价的核心(摘选自wiki)。&/p&&figure&&img data-rawheight=&516& src=&https://pic4.zhimg.com/v2-7d52bd580ac3cb0b3573_b.jpg& data-size=&normal& data-rawwidth=&1618& class=&origin_image zh-lightbox-thumb& width=&1618& data-original=&https://pic4.zhimg.com/v2-7d52bd580ac3cb0b3573_r.jpg&&&/figure&&p&上面这个方程就是传说中的Black-Scholes Model了，具体怎么得到的我们在理论部分会进行介绍。这个地方的V呢就是我们想要得到的call option的价格，之前提到的数学家和物理学家做的其实就是通过上面这个偏微分方程得到V的解，我们暂时先跳过这一部分的推导直接看方程的结果。&/p&&figure&&img data-rawheight=&1034& src=&https://pic1.zhimg.com/v2-2b65dbf03efb4c89dc00_b.jpg& data-size=&normal& data-rawwidth=&1616& class=&origin_image zh-lightbox-thumb& width=&1616& data-original=&https://pic1.zhimg.com/v2-2b65dbf03efb4c89dc00_r.jpg&&&/figure&&p&&br&&/p&&p&上面的第一个式子就是BS model的解了，也就是call option价格的解析解，这也是后面着重介绍的内容。&br&但期权定价其实是有两部分，除了call option之外我们还有相应的put option，第二个式子其实就是通过put-call parity的关系，再结合第一个式子得到的call的价格来对put定价。&br&&/p&&p&put-call parity的主要思路是设计两个收益相同的portfolio(一个含有call一个含有put)，自然他们定价也是一样，从而构建出call和put的等式，理解如下，&br&&/p&&figure&&img data-rawheight=&900& src=&https://pic3.zhimg.com/v2-e960e7eb5fe8d_b.jpg& data-size=&normal& data-rawwidth=&1324& class=&origin_image zh-lightbox-thumb& width=&1324& data-original=&https://pic3.zhimg.com/v2-e960e7eb5fe8d_r.jpg&&&/figure&&p&&br&&/p&&p&我们回到第一个部分Call的定价C(St, t)。&br&&/p&&p&可以看到这个式子中有5个参数。对于固定某个时间T，股票的价格是St，call option的strike price执行价格K，也知道这个call的maturity到期时间(T-t)，也知道risk free rate无风险利率r，正态分布N(·)的形式自然也都知道，剩下的一个就是传说中的volatility &img src=&http://www.zhihu.com/equation?tex=%5Csigma& alt=&\sigma& eeimg=&1&&。&/p&&p&当我们知道了call的理论价格之后呢，我们就可以利用第二个式子得到put的理论价格，同样也是受到这5个相同参数的影响。&/p&&p&这几个参数对期权价格的影响在上面的公式里可能看起来不是那么明显，下图可以帮我们有一个大概的感觉:&br&(下图拍自绿皮书 A Practical Guide to Quantitative Finance Interviews，推荐大家买来看看，无论是不是金融专业)&br&&/p&&figure&&img data-rawheight=&526& src=&https://pic4.zhimg.com/v2-1b263dc94c125ddff39b672ef98c7cd3_b.jpg& data-size=&normal& data-rawwidth=&1188& class=&origin_image zh-lightbox-thumb& width=&1188& data-original=&https://pic4.zhimg.com/v2-1b263dc94c125ddff39b672ef98c7cd3_r.jpg&&&/figure&&p&上面这个图就很清楚可以看到每个参数对期权价格的影响，但是只能告诉影响的方向(向上或者向下)，而不能告诉我们具体上上下下的幅度到底是多少(好像这么形容总觉得有点怪怪的，但身体却很诚实 ╮(╯▽╰)╭ )&br&&/p&&p&我们有从BS model得到的call option关于这5个参数的解析解，在市场中我们还可以得到这5个参数确切的值(这里暂且不讨论dividend)，就会想怎么衡量市场不断动态变化时相应这些参数的变化对option价格的影响幅度呢(比如说我预计明天股价会涨一块钱，那么期权价格会涨多少呢)。&br&从数学的角度，很自然我们就会联想到用一阶导数。因为一阶导数f'(x)代表的就是x的变化对于y值的影响大小。&br&所以我们也就想到可以把call option价格的这个解析解对每一个参数都求一阶导，这样就可以知道每个参数的变化对期权价格的影响大小。这里也就是期权hedging的核心部分了，Greeks。&/p&&p&&br&&/p&&h2&1.2 Greeks&/h2&&p&下面这个表就是每一个greek代表的一阶导和二阶导的具体形式了，下面我们来具体介绍每一个greek。&/p&&figure&&img data-rawheight=&592& src=&https://pic1.zhimg.com/v2-74594cce312fc69f8cfa77c_b.jpg& data-size=&normal& data-rawwidth=&1330& class=&origin_image zh-lightbox-thumb& width=&1330& data-original=&https://pic1.zhimg.com/v2-74594cce312fc69f8cfa77c_r.jpg&&&/figure&&p&&br&&/p&&p&&b&Delta&/b&&/p&&figure&&img data-rawheight=&126& src=&https://pic4.zhimg.com/v2-90a01c0fff_b.jpg& data-size=&normal& data-rawwidth=&1276& class=&origin_image zh-lightbox-thumb& width=&1276& data-original=&https://pic4.zhimg.com/v2-90a01c0fff_r.jpg&&&/figure&&p&首先我们要介绍的就是delta，也就是期权价格对股票价格的一阶导，或者说股票价格的变动对于期权价格的影响大小。&br&&/p&&p&但在介绍delta之前，我们需要对期权这个概念有一个大概的了解:&br&期权本质上交易的是一种未来的权利，而不是underlying asset本身。&br&每个期权都有一个特定的strike price，意思是到时候的行权价格。我们知道期权可以用来bet未来的股价涨跌，然后到期的时候是以strike price的价格来成交。&br&&/p&&figure&&img data-rawheight=&258& src=&https://pic3.zhimg.com/v2-941ebbff4ba_b.jpg& data-size=&normal& data-rawwidth=&195& class=&content_image& width=&195&&&/figure&&p&比如我买了苹果公司strike price@100块的call看涨期权，也就是未来到期的时候我可以根据实际情况选择要不要按照100块每股的价格从卖我期权的卖家那儿买一定数量苹果公司的股票。假设到期的时候股价变成了110块，那我自然愿意将这个期权行权把股票用100块买回来，因为转手在市场上卖掉每一股我就可以赚10块。但假设到期的时候股价反而跌了，变成了90块，那么我一般就会选择放弃这个期权，因为这样如果还用strike price@100块买回来就是亏的。对于put这就是反过来，因为put是看跌期权。&/p&&p&我们把这个例子画成一张图，这是call的收益 VS 到期日股价spot price:&/p&&figure&&img data-rawheight=&410& src=&https://pic1.zhimg.com/v2-aa89f229a3c4c6a44aee34_b.jpg& data-size=&normal& data-rawwidth=&580& class=&origin_image zh-lightbox-thumb& width=&580& data-original=&https://pic1.zhimg.com/v2-aa89f229a3c4c6a44aee34_r.jpg&&&/figure&&p&这里图中$100是期权的strike price，到期日苹果公司股价正好等于strike price的时候叫做At The Money(ATM)，我们可以根据这个值把这张图分成两个区域。&br&对于call来说，到期日如果股价小于期权strike price的区域叫做Out of The Money(OTM)，大于的区域叫做In The Money(ITM)。&br&&/p&&p&我们也可以看到当股价大于这个strike price 100的时候我们的profit是正的，并且是随着到期的股价越高我们的profit越高，斜率为1。简单一点来说就是当股票的价格大于strike price，也就是ITM的时候，我们的call期权才有正的profit。当到期的股价如果是处于OTM的时候，这个时候我们的profit是0。&/p&&p&&br&&/p&&p&对于put来说就是反过来如下图，未来股价大于strike price的区域叫做Out of The Money(OTM)，小于strike price的区域叫做In The Money(ITM)。&/p&&figure&&img data-rawheight=&406& src=&https://pic4.zhimg.com/v2-ebbbbc6775689bea1675af_b.jpg& data-size=&normal& data-rawwidth=&574& class=&origin_image zh-lightbox-thumb& width=&574& data-original=&https://pic4.zhimg.com/v2-ebbbbc6775689bea1675af_r.jpg&&&/figure&&p&从这个例子我们就可以看到，在到期的时候，无论是call option还put option，当到期日的股价处于ITM的时候我们的收益就是正的，并且ITM的程度就决定了我们的期权收益。这个很重要的概念就是moneyness。为了简便其实很多时候大家都不太关心股价和strike price的绝对值(从BS公式里面可以看到这两者在d1和d2里从来都是成双入对出现的)，而是直接用他们的比值moneyness来表示ITM和OTM的程度。这样100%就是代表的ATM，越偏离100%就说明越deep ITM或者deep OTM。(现在moneyness的概念就清楚很多了，后面还会在volatility surface里再提到)&/p&&p&&br&&/p&&p&需要注意的是，上面为了简便并没有考虑期权的时间价值这个参数(T-t)，或者说我们把BS式子(1)里面的time to maturity (T-t)这个参数看做了0，也就是只考虑了行权日的情况。&/p&&p&现在我们把这个参数加回去就可以得到如下的图：&/p&&figure&&img data-rawheight=&714& src=&https://pic3.zhimg.com/v2-3e8ec3fa5ffaf605dcb8a_b.jpg& data-size=&normal& data-rawwidth=&1278& class=&origin_image zh-lightbox-thumb& width=&1278& data-original=&https://pic3.zhimg.com/v2-3e8ec3fa5ffaf605dcb8a_r.jpg&&&/figure&&p&这张图的x轴是股票未来的价格S，y轴是call(蓝色)和put(红色) option的价格。这里先忽略那个underlying movement，其实代表的就是put-call parity，或者说call减去put的差值就是这个股票的forward的价值，后面会进一步解释。&/p&&p&这里我们可以看到之前简单粗暴的分段函数被光滑的曲线代替，但是在ITM和OTM的时候还是会无限接近之前的分段函数，差别最大的地方就在于ATM，这个地方因为不确定性最大所以这个期权的时间价值最大，后面theta的部分会讲。&/p&&p&&br&&/p&&p&回归到delta。&/p&&p&既然我们现在有了call和put价格光滑的曲线，delta又是期权价格对股票价格的一阶导，所以call和put的delta值其实就是这蓝红这两条线的斜率大小，我们画在一张图上：&br&&/p&&figure&&img data-rawheight=&850& src=&https://pic2.zhimg.com/v2-eedf3e55b34ab68202c9_b.jpg& data-size=&normal& data-rawwidth=&1098& class=&origin_image zh-lightbox-thumb& width=&1098& data-original=&https://pic2.zhimg.com/v2-eedf3e55b34ab68202c9_r.jpg&&&/figure&&p&&br&&/p&&p&根据call和put的斜率和0的大小，大于0的delta是call，小于0的delta是put。&br&并且我们可以明显看到call的的delta减去put的delta的值为1，这个也是由于put-call parity决定的。&br&&/p&&p&我们把上图改一下，x轴换成moneyness(注意call和put的moneyness是反的)&/p&&figure&&img data-rawheight=&712& src=&https://pic3.zhimg.com/v2-99faccc4ee7b8f3213836_b.jpg& data-size=&normal& data-rawwidth=&1284& class=&origin_image zh-lightbox-thumb& width=&1284& data-original=&https://pic3.zhimg.com/v2-99faccc4ee7b8f3213836_r.jpg&&&/figure&&p&&br&&/p&&p&这个图看起来就更为直观，我们可以看到call和put的delta在根据moneyness画出来的时候是对称的。所以相对moneyness，我们可以直接把call和put看做同一种东西，只是符号相反，这样处理起来比之前相差一个常数用起来更为方便。&br&并且在deep OTM的时候，put和call的delta都是0，因为当deep OTM的时候期权其实就没有价值了，所以也就不随着underlying股价的变化而变化；而deep ITM的时候delta都是1，因为当deep ITM的时候underlying股价完全dominant期权价格，而其时间价值可以忽略不计，一比一的完全跟随underlying股价变化而变化。&br&&/p&&p&现在我们知道了call和put的delta，聪明的你可能会问，既然delta的定义是期权价格对于股价的敏感度，比如股价涨1块钱，我的call期权就会涨一个delta的价格，那我如果现在买了delta个期权的同时再short一个股票，我的整个portfolio不就不会随着股票价格的波动而波动了么？&/p&&figure&&img data-rawheight=&640& src=&https://pic3.zhimg.com/v2-30ee9d45f8df5a91b75f3e3a2f7f4c06_b.jpg& data-size=&small& data-rawwidth=&640& class=&origin_image zh-lightbox-thumb& width=&640& data-original=&https://pic3.zhimg.com/v2-30ee9d45f8df5a91b75f3e3a2f7f4c06_r.jpg&&&/figure&&p&这就是现实期权和portfolio操作里面很重要的一个部分，也是理论推导BS model里面很重要的一个insight，那就是delta hedging。&/p&&p&具体的内容就是根据自己portfolio算出来delta是多少，然后short相对应数目的股票，这样就可以使得整个portfolio的delta为0。大概的图就是这样(网上搜了半天都没找到类似的图，只有自己画了…):&/p&&figure&&img data-rawheight=&876& src=&https://pic2.zhimg.com/v2-84fb01cfd99ac1f6f8261_b.jpg& data-size=&normal& data-rawwidth=&1570& class=&origin_image zh-lightbox-thumb& width=&1570& data-original=&https://pic2.zhimg.com/v2-84fb01cfd99ac1f6f8261_r.jpg&&&/figure&&p&可以假设一开始我们拿着一个call，但是我们想要让这个call呢独立于股价S的变动，这个时候股价在S1，我们算出来这个时候的delta是delta1，然后我们short了delta1个股票，使得当下的delta变成了0，也就是现在整个portfolio(这个call-delta1个股票)已经几乎独立于股价变动了。然后过了一段时间股价变成了S2，此时我们又需要重新hedge delta使其再次变成0，算出来此时的delta是delta2，但是是负数，所以我们此时应该long delta2的股票，然后整个portfolio就变成了这个call-delta1个股票+delta2个股票，再次独立于股价的变化。&/p&&p&&br&&/p&&p&有的同学可能会有疑问，为什么我们想要整个portfolio独立于股价的变动呢？&br&那是因为这样利于我们控制整个portfolio的风险。我们可以选择性的暴露一些风险来获得收益，但又不想让整个portfolio完全裸露在市场的波动下，而期权就正好可以用来帮助我们精确地hedge掉各项风险。&br&&/p&&p&有的同学可能还会有疑问，不是说portfolio的delta为0的时候就已经独立于股价变动了么，为什么还要hedge来hedge去的？&br&这是因为我们一阶导的delta已经hedge掉了，但是由于这个加入了时间价值的曲线并不是linear的函数，而是exponential的(可以看到BS的解里面的exponential项)，所以还有更高阶的curvature我们并没有hedge掉。没有完全hedge掉风险更根本的原因我感觉其实是在运用Ito’s lemma的时候我们仅仅用了一阶展开，从而更高阶的布朗运动其实是被忽略掉了。我想如果在用Ito’s lemma的时候如果展开到higher orders，那么是不是这一块儿就会被自动考虑进hedgeing这个部分，但方程肯定会复杂的多，不知道有没有人试过。&br&&/p&&p&当下我们还是回到传统的delta hedging。那可能又有疑问了，如果是exponential的话那hedge的阶数不是子子孙孙无穷匮也了么？&br&幸运的是，这个曲线的高阶导数的变化并不是那么快，甚至delta的变化都并不是那么大(只需要隔一段时间hedge一次)。所以我们最多就需要再hedge二阶导数，也就是下面要讲的gamma了。&br&&/p&&p&当然这里需要提一下，其实像高阶的Gamma这一类的curvature也是可以hedge掉的，但是不能通过long/short股票的方式(因为underlying asset只能线性的hedge)，而是只能通过其他有相同curvature的衍生品来hedge。&/p&&p&&br&&/p&&p&&b&Gamma&/b&&/p&&figure&&img data-rawheight=&146& src=&https://pic2.zhimg.com/v2-9d6d11bd656df87e54fe4e1d560d138d_b.jpg& data-size=&normal& data-rawwidth=&1274& class=&origin_image zh-lightbox-thumb& width=&1274& data-original=&https://pic2.zhimg.com/v2-9d6d11bd656df87e54fe4e1d560d138d_r.jpg&&&/figure&&p&&br&&/p&&p&我们知道gamma是期权价格对股价的二阶导，其实也就是delta的一阶导。&/p&&p&首先我们上个图，这就是gamma和delta的对比。&br&&/p&&figure&&img data-rawheight=&698& src=&https://pic3.zhimg.com/v2-efcafa929c6_b.jpg& data-size=&normal& data-rawwidth=&1332& class=&origin_image zh-lightbox-thumb& width=&1332& data-original=&https://pic3.zhimg.com/v2-efcafa929c6_r.jpg&&&/figure&&p&还有不同time to maturity的期权的Gamma：&/p&&figure&&img data-rawheight=&300& src=&https://pic3.zhimg.com/v2-3a583edd7d61e70b38f9cfc645bb6666_b.jpg& data-size=&normal& data-rawwidth=&468& class=&origin_image zh-lightbox-thumb& width=&468& data-original=&https://pic3.zhimg.com/v2-3a583edd7d61e70b38f9cfc645bb6666_r.jpg&&&/figure&&p&由于上面我们知道call和put的delta只相差一个常数1，所以call和put的gamma是identical的，并且都是正值。&br&而且图中我们也可以看出来gamma在ATM的时候最大，也就说明了delta在ATM的时候斜率最大，即对股价的变化最敏感。&br&&/p&&p&并且从gamma的公式里面的分母可以看出来，如果time to maturity是0也就是行权日的时候，gamma就变成了“delta” function。此时的delta是step function，也就是要么0要么1。&/p&&p&&br&&/p&&p&而且在上面delta hedging的图里面，细心的童鞋也许可以发现我画的整个portfolio的return在每次股价变化的时候是越来越高的。&/p&&figure&&img data-rawheight=&876& src=&https://pic2.zhimg.com/v2-84fb01cfd99ac1f6f8261_b.jpg& data-size=&normal& data-rawwidth=&1570& class=&origin_image zh-lightbox-thumb& width=&1570& data-original=&https://pic2.zhimg.com/v2-84fb01cfd99ac1f6f8261_r.jpg&&&/figure&&p&这是因为通过对比Gamma和Vega(后面会介绍，是对波动率的一阶导)的式子我们可以发现，&/p&&figure&&img data-rawheight=&280& src=&https://pic1.zhimg.com/v2-feee80f0be4badfb80177c_b.jpg& data-size=&normal& data-rawwidth=&1318& class=&origin_image zh-lightbox-thumb& width=&1318& data-original=&https://pic1.zhimg.com/v2-feee80f0be4badfb80177c_r.jpg&&&/figure&&p&这一段是来自于Taleb的dynamic hedging这本书。&br&&/p&&p&所以我们在delta hedging过后还有long Gamma的时候，其实也是在long Vega，也就是long volatility。当股价变化的时候，无论是涨还是跌，都会贡献volatility，也就都会让我们有正向的收益。&br&所以有句话叫买期权其实就是在long Gamma，也就是在long Vega和volatility。&/p&&p&但是，怎么感觉像天上可以掉馅饼的感觉呢？整个portfolio没有了跟随股价波动的风险，当股价波动的时候还会给我们带来收益？&/p&&figure&&img data-rawheight=&292& src=&https://pic2.zhimg.com/v2-4e08b0d9fdd_b.jpg& data-size=&normal& data-rawwidth=&306& class=&content_image& width=&306&&&/figure&&p&天上自然是不会掉馅饼。&br&世上没有永动机，自然也没有高额的无风险回报(下面讲了理论部分之后会体会更深)。&br&&/p&&p&这是因为我们还有Theta这个东西，也就是接下来会讲到的另一个greek。&br&&/p&&p&&b&Theta&/b&&/p&&figure&&img data-rawheight=&144& src=&https://pic3.zhimg.com/v2-d8de089b3b513b88a245a_b.jpg& data-size=&normal& data-rawwidth=&1334& class=&origin_image zh-lightbox-thumb& width=&1334& data-original=&https://pic3.zhimg.com/v2-d8de089b3b513b88a245a_r.jpg&&&/figure&&p&Theta的定义是期权价格对时间(准确的说是time to maturity)的一阶导。&br&&/p&&p&我们可以先看看Theta的图长什么样子：&/p&&figure&&img data-rawheight=&422& src=&https://pic3.zhimg.com/v2-d140cda8ddbb740d78fa2d71b32e1d3e_b.jpg& data-size=&normal& data-rawwidth=&575& class=&origin_image zh-lightbox-thumb& width=&575& data-original=&https://pic3.zhimg.com/v2-d140cda8ddbb740d78fa2d71b32e1d3e_r.jpg&&&/figure&&p&从图里面我们可以看到Theta的值是负的(这句话其实并不严谨，因为如果考虑进来dividends，还有美欧式期权，Theta是有一些特殊情况下可能是正的，换句话说其实有时候提前行权是会更优，比如deep ITM的美式put)，也就是说当剩余的时间愈来愈少的时候，期权的时间价值会越来越小。这就是为什么上面提到的Delta hedge之后，虽然我们可以从波动率里面获得收益，但是一般来说Theta decay的损失会overwhelm从long Vega里面得到的收益。当然，如果出现了long Vega大于Theta的情况，那其实就是一个很好的套利机会。&/p&&p&&br&&/p&&p&其实从BS model里面我们可以直接从公式的角度同样看到这个Gamma和Theta之间的tradeoff。&/p&&figure&&img data-rawheight=&512& src=&https://pic1.zhimg.com/v2-bee371b5a38fb5c4b9fdab6c_b.jpg& data-size=&normal& data-rawwidth=&1602& class=&origin_image zh-lightbox-thumb& width=&1602& data-original=&https://pic1.zhimg.com/v2-bee371b5a38fb5c4b9fdab6c_r.jpg&&&/figure&&p&&br&&/p&&p&上面的BS equation其实可以转化成greeks来表示，也就是&br&Theta+1/2 * Volatility^2 * S^2 * Gamma + r * S * delta = r * Call_price&br&这里我们的delta已经被hedge，所以上式变成&br&Theta+1/2 * Volatility^2 * S^2 * Gamma
= r * Call_price&br&&/p&&p&从这个式子里面我们就可以看到，大部分情况下，Theta和Gamma都是一负一正的trade off。当接近maturity的时候，Theta是很大的负数，Gamma是很大的正数。&/p&&p&并且当我们的股价S保持不变的时候，由于Gamma也不会变化，所以上面的式子里面右边的Call_price的变化就取决于Vega的变化，但我们又知道Theta是负值，所以Call_price的价格会随着时间价值的消失而越来越低。&/p&&p&&br&&/p&&p&下图是Theta相对time to maturity的变化，我们可以把速度看得更明显：&/p&&figure&&img data-rawheight=&315& src=&https://pic3.zhimg.com/v2-11a27c390b45a3d1da0f3e3c1ba0700a_b.jpg& data-size=&normal& data-rawwidth=&459& class=&origin_image zh-lightbox-thumb& width=&459& data-original=&https://pic3.zhimg.com/v2-11a27c390b45a3d1da0f3e3c1ba0700a_r.jpg&&&/figure&&p&这个图里面我们可以看到随着越来越接近行权日，Theta是会变得越来越负，这样期权的时间价值也会损失的越来越快。&br&&/p&&p&下面我们来看一看期权时间价值损失长什么样子：&br&&/p&&figure&&img data-rawheight=&371& src=&https://pic1.zhimg.com/v2-017cd0e977d0f02fafe0c739707ccc70_b.jpg& data-size=&normal& data-rawwidth=&550& class=&origin_image zh-lightbox-thumb& width=&550& data-original=&https://pic1.zhimg.com/v2-017cd0e977d0f02fafe0c739707ccc70_r.jpg&&&/figure&&p&一切正如我们所料，我们可以看到期权的时间价值会由于Theta相对time to maturity的变化而损失的越来越多。&br&&/p&&p&不过Theta的形状其实也是可以利用的，比如大家都喜欢sell ATM的option。比如下图，&/p&&figure&&img data-rawheight=&824& src=&https://pic3.zhimg.com/v2-740f062c502ff9c1707f62_b.jpg& data-size=&normal& data-rawwidth=&1394& class=&origin_image zh-lightbox-thumb& width=&1394& data-original=&https://pic3.zhimg.com/v2-740f062c502ff9c1707f62_r.jpg&&&/figure&&p&我们可以看到Theta在ATM和接近行权日的时候最负，所以我们可以long一个远离ATM的option，然后short一个接近ATM的option，这样我们就可以吃他们中间这一段Theta。&/p&&p&当然，也只是理论上。。。&/p&&figure&&img data-rawheight=&690& src=&https://pic1.zhimg.com/v2-eae82d08b4b21e4aa81120_b.jpg& data-size=&small& data-rawwidth=&690& class=&origin_image zh-lightbox-thumb& width=&690& data-original=&https://pic1.zhimg.com/v2-eae82d08b4b21e4aa81120_r.jpg&&&/figure&&p&&br&&/p&&p&&b&Vega&/b&&/p&&p&还是先看看Vega的式子，是期权价格对于波动率volatility的一阶导：&/p&&figure&&img data-rawheight=&144& src=&https://pic2.zhimg.com/v2-beb04d60d3f5e45bda4b8c549a9cbd55_b.jpg& data-size=&normal& data-rawwidth=&1300& class=&origin_image zh-lightbox-thumb& width=&1300& data-original=&https://pic2.zhimg.com/v2-beb04d60d3f5e45bda4b8c549a9cbd55_r.jpg&&&/figure&&p&说到波动率，可以说是期权里面最重要的一个概念了。不过这里暂时只讲Vega，波动率volatility留到下一节implied volatility和volatility surface再详细介绍。&/p&&figure&&img data-rawheight=&1052& src=&https://pic4.zhimg.com/v2-260a59eec19d380624bbd40d9b9cbe63_b.jpg& data-size=&normal& data-rawwidth=&1436& class=&origin_image zh-lightbox-thumb& width=&1436& data-original=&https://pic4.zhimg.com/v2-260a59eec19d380624bbd40d9b9cbe63_r.jpg&&&/figure&&p&上面我们可以看到Vega很明显的skewness，应该就是由于之前提到的下面Vega和Gamma关系中的S^2导致&/p&&figure&&img data-rawheight=&280& src=&https://pic1.zhimg.com/v2-feee80f0be4badfb80177c_b.jpg& data-size=&normal& data-rawwidth=&1318& class=&origin_image zh-lightbox-thumb& width=&1318& data-original=&https://pic1.zhimg.com/v2-feee80f0be4badfb80177c_r.jpg&&&/figure&&p&但是和Gamma一样，在ATM的时候Vega也是最大值。也就是说在ATM的时候，期权价格对于volatility的变化最敏感。同样也非常make sense， 因为在ATM的时候股价或者volatility变动一点就变成了OTM，导致期权的价格会变化非常大。&/p&&p&&br&&/p&&h2&1.3 Implied Volatility and Volatility Surface &/h2&&p&(这一段节选自上一篇文章machine learning的利用PCA来模拟volatility surface，正好当时挖的坑现在填掉~)&/p&&figure&&img data-rawheight=&300& src=&https://pic4.zhimg.com/v2-1ab8d5cab74e5d64ae97_b.jpg& data-size=&normal& data-rawwidth=&300& class=&content_image& width=&300&&&/figure&&p&volatility是一个什么东西呢？volatility是波动率，也就是期权underlying的标的价格的标准差。你如果问我标准差怎么算，我只能说去Google一下，计算讲的太细节估计都看睡着了...&/p&&p&所以假如我们知道volatility呢，我们就可以知道这个Call的理论价格，也就可以衡量当市场上Call的实际价格是高还是低，高了呢我们就可以卖，低了呢我们就可以买。&br&可惜天上不会掉馅饼，因为我们不知道volatility...&br&&/p&&p&接下来还得知道BS公式的假设前提:&/p&&figure&&img data-rawheight=&740& src=&https://pic2.zhimg.com/v2-d416eac960c1fd_b.jpg& data-size=&normal& data-rawwidth=&2100& class=&origin_image zh-lightbox-thumb& width=&2100& data-original=&https://pic2.zhimg.com/v2-d416eac960c1fd_r.jpg&&&/figure&&p&我们就可以看出BS模型的一个弊病了，那就是它假设underlying标的价格的波动率volatility是一个常数，跟strike price还有maturity没有半毛钱关系。&br&这明显是不符合实际情况的，因为市场会对对于不同的strike price和maturity有不同的预期和偏好，导致市场对于未来波动率的预期也会不一样。&br&&/p&&p&&br&&/p&&p&但是！&br&我们虽然不能用波动率来算出来期权的理论价格，可是我们可以反过来呀~&br&我们有期权的市场价格，还有BS公式里面其他一系列的变量，比如strike price K，期权的maturity(T-t)，也知道risk free rate r等等，就可以反过来求出来理论上的波动率。这样我们就可以知道市场对于未来的underlying标的的波动率预期了。&br&具体怎么算出来的，简单一点说就是当其他变量已知也就是固定的时候，期权的价格和波动率是一个单调递增的关系(如果对Greek有了解的，其实就是因为期权价格对波动率求一阶导的Vega是正值)，所以不断试 的值就可以最终match到当下的期权价格上面，自然也就是对应的波动率的解了。&/p&&p&看到这儿，很多人心里是不是在想，“尼玛，这货说了这么多，implied volatility到底有啥用？”&/p&&p&首先呢，implied volatility对于期权玩家的重要性不言而喻。&br&假设市场的每个参与者都使用BS模型定价，由于模型所需的其他输入值比如执行价格、所剩期限、标的价格还有无风险利率都是相对固定的，人跟人对于期权价格的看法就是取决于他们对于未来这个资产的波动率了。假设有一个人巴菲特附体如有神助，对于未来资产波动率的预测百发百中如入无人之境，那么他(她)就可以根据自己预测的期权的价格跟实际的期权价格作对比来低买高卖，赚的就是别人对波动率的预测都很弱鸡。&br&但是可惜的是，这种外星人是不可能存在的，不然早就是世界首富了。当然如果有个人弄出来一个模型可以准确预测资产未来的波动率，那也超神了。&br&&/p&&p&所以对于我们一般战斗力只有5的地球人怎么办呢？&br&我们可以反其道而行之，利用将已经是事实的市场的期权价格代入BS公式中算出来大家对于未来波动率的预期，也就是隐含波动率。因为期权价格是市场上供求关系平衡下的产物，是买卖双方博弈后的结果，所以隐含波动率反映的是未来市场对标的产品波动率的看法。&br&但是，算出来有什么用呢？&br&我们除了隐含波动率，还有一个波动率叫做历史波动率。这个东西其实算出来也挺简单的，只要我们有underlying标的的价格变化历史数据，就可以用统计的公式算出来标准差，也就是波动率。而且我们发现一件什么事情呢，那就是历史的年化波动率是处于一个区间，会有回归均值的一个特性(做swing交易的同学应该最熟悉了)，并且离开越远回归的速度就越快。比如说有一个股票，历史波动率都是在10%到30%之间，这样我们就可以知道从现在期权市场价格算出来的隐含波动率在历史上是处于高还是低的位置，同样可以做到低隐含波动率的时候买期权高隐含波动率的时候卖期权。但这里有一个问题就是历史波动率的区间，不代表就真的不会飞出区间去，当发生重大事件或者传说中的黑天鹅的时候隐含波动率也会变很极端，比如Black Monday的时候飞到了150，08年金融危机的时候也飞到了80。&/p&&figure&&img data-rawheight=&1002& src=&https://pic1.zhimg.com/v2-4be489d35f77bf27aac1a93d1604046c_b.jpg& data-size=&normal& data-rawwidth=&1404& class=&origin_image zh-lightbox-thumb& width=&1404& data-original=&https://pic1.zhimg.com/v2-4be489d35f77bf27aac1a93d1604046c_r.jpg&&&/figure&&p&&br&&/p&&p&当然，做均值回归有点投机的感觉。有的同学可能觉得太low，我可是做价值投资的，只是想利用期权对冲一下风险。&br&同样，隐含波动率也很有用的！因为当确认了自己想投资的标的方向之后，可以把隐含波动率跟历史波动率作对比，权衡一下此时买入期权是不是划得来。也可以对不同strike price和maturity的期权进行横向比较，毕竟都是针对同一个资产，自然希望在满足了自己的需求买(卖)的情况下期权的价格越低(高)越好咯。&br&期权是一个非线性的工具，但是市场参与者使用这个工具的方法不同，还有对于这个工具的效果值不值多少钱也有不同的判断。借路哥的说法，“有可能是在合适的价位去“赌”不符的收益，有可能是对标的的未来走势有一定的看法，希望通过期权来表达意愿，有可能是对冲掉某些风险，有可能是和历史数据有偏离所以进场希望当前是misprice等着回归赚钱，等等”。&/p&&p&&br&&/p&&p&好了，对于基本的期权概念应该有一个大概的sense了，接下来我们就来详细解释一下之前那张volatility surface的图。&/p&&figure&&img data-rawheight=&830& src=&https://pic2.zhimg.com/v2-bcae3c7f3c2bd322ede41_b.jpg& data-size=&normal& data-rawwidth=&2172& class=&origin_image zh-lightbox-thumb& width=&2172& data-original=&https://pic2.zhimg.com/v2-bcae3c7f3c2bd322ede41_r.jpg&&&/figure&&p&(此图是在之前读伽玛交易员的一篇文章存下来的，感谢之~)&/p&&p&来两个动图感受一下：&/p&&a class=&video-box& href=&http://link.zhihu.com/?target=https%3A//www.zhihu.com/video/287680& target=&_blank& data-video-id=&& data-video-playable=&true& data-name=&& data-poster=&https://pic4.zhimg.com/v2-de0e0cbad080d84cb19d.jpg& data-lens-id=&287680&&
&img class=&thumbnail& src=&https://pic4.zhimg.com/v2-de0e0cbad080d84cb19d.jpg&&&span class=&content&&
&span class=&title&&&span class=&z-ico-extern-gray&&&/span&&span class=&z-ico-extern-blue&&&/span&&/span&
&span class=&url&&&span class=&z-ico-video&&&/span&https://www.zhihu.com/video/287680&/span&
&p&&br&&/p&&a class=&video-box& href=&http://link.zhihu.com/?target=https%3A//www.zhihu.com/video/856128& target=&_blank& data-video-id=&& data-video-playable=&true& data-name=&& data-poster=&https://pic2.zhimg.com/80/v2-1ae4d788d1d63ae285e51_b.jpg& data-lens-id=&856128&&
&img class=&thumbnail& src=&https://pic2.zhimg.com/80/v2-1ae4d788d1d63ae285e51_b.jpg&&&span class=&content&&
&span class=&title&&&span class=&z-ico-extern-gray&&&/span&&span class=&z-ico-extern-blue&&&/span&&/span&
&span class=&url&&&span class=&z-ico-video&&&/span&https://www.zhihu.com/video/856128&/span&
&p&期权交易员对volatility surface都会非常熟悉，因为这一定程度上就是自己根据市场情况做trade和进行风险对冲的基础。&br&&/p&&p&volatility surface呢，是一个三维图，Z轴是隐含波动率，X和Y轴分别是moneyness和term(也许不同的软件会有不同的名字，这里借鉴Bloomberg的表示)。moneyness的意思就是期权strike price和underlying标的的价格的ratio，这里以call为例，分为in-the-money(strike price小于underlying标的的价格，ratio小于100%的区间)，at-the-money(strike price等于underlying标的的价格，也就是图中的ratio等于100%的位置)还有out-of-the-money(strike price大于underlying标的的价格，ratio大于100%的区间)这三种状态。如果是put的话strike price和underlying标的价格的关系则是反过来。term的意思呢，就是不同的到期日。&br&&/p&&p&所以呢，我们可以把未来每一个到期日的每一个strike price和其算出来的隐含波动率画在一张3D的图上，这个就是volatility surface了。上图中右上角的是volatility VS term的二维横截面曲线，右下角是volatility VS moneyness的二维横截面曲线。可以说volatility surface包含了绝大部分我们需要了解的volatility的信息，而上面也介绍了volatility又是期权的核心，自然volatility surface的重要性也就不言而喻了。&/p&&p&Derman的报告《regimes of volatility》里面描述vol surface也说过一句话，作为一个合格的市场参与者，如果有人跟你说volatility涨起来了，你应该问一句“哪一个volatility？” 果然也是高能物理出身的，这个逼我觉得应该给满分。&/p&&p&既然volatility surface这么重要，那么如果我们可以预测未来的volatility surface是不是就相当于我们可以预测implied volatility进行交易了呢？&/p&&figure&&img data-rawheight=&219& src=&https://pic2.zhimg.com/v2-540c80f24d35a_b.jpg& data-size=&normal& data-rawwidth=&230& class=&content_image& width=&230&&&/figure&&p&因为如果仅仅根据历史波动率进行交易，很明显我们丢掉了其他的很多有用的东西，仅仅只留下了波动率大小这一个信息。但如果根据整个volatility surface的历史数据进行分析，对我们的预判的帮助会更大。在知乎上面看到说成功的期权交易，是做整个曲面的变化，这涉及的是曲面的smile/skew(下面会介绍)，和曲面的整体高低位置，前者贡献利润的10%，后者贡献利润的90%。这也是为什么建模拟合vol surface是非常重要的一件事情，特别是对于大投行需要准确对冲风险的情需求下。&/p&&p&&br&&/p&&p&好了，铺垫了这么多，接下来介绍利用PCA来分析volatility surface的信息。&br&这里选择的underlying标的是USDJPY(美元兑日元)，至于为什么选这个，我感觉可能是想了解美日间carry trade的情况，而且日元是外汇市场非常重要的组成部分。&br&&/p&&p&接着我们看看具体怎么将PCA应用在USDJPY的volatility surface上面。&br&volatility surface是一个三维的图像，Z轴是隐含波动率implied volatility，X和Y轴分别是moneyness和term。&br&对于PCA我们知道它做的事情是线性旋转变量高位空间，将所有的变量Xi线性组合成几个大的因子(主成分)Zi，所以问题就来了，我们的Xi到底哪些。&br&这里我们有的是implied volatility，moneyness还有term的信息。但我们并不能将他们全部作为Xi，因为虽然volatility是连续的数值，但term和moneyness的信息是固定的点。&br&所以我感觉这里有一个trick就是将每天的volatility的变化值作为Xi的值，而moneyness还有term的信息作为Xi的位置。&br&估计这么讲会有点混乱，画一张图就清楚了。&/p&&figure&&img data-rawheight=&3024& src=&https://pic4.zhimg.com/v2-7d263fb6c10b9ec3a6e7f6b_b.jpg& data-size=&normal& data-rawwidth=&4032& class=&origin_image zh-lightbox-thumb& width=&4032& data-original=&https://pic4.zhimg.com/v2-7d263fb6c10b9ec3a6e7f6b_r.jpg&&&/figure&&p&&br&&/p&&p&我们这里可以将所有的点都拉成一条线作为Xi，然后每天都有一列数据Xi。这样处理我们就将整个volatility surface变为了一列变量Xi，因为每天都有一个volatility surface，所以每天可以作为一个observation。&br&这样就将volatility surface的问题转化成了PCA的问题，我们想要找若干个由Xi线性组合成的大因子Zi，使得这些个Zi的方向最大程度的代表所有的点的信息(每天可以看做是这个Xi维空间上的一个点)。换做实际问题的解释，这些Xi的信息其实就是每天的整个volatility surface的信息，然后找到的由Xi线性组合成的大因子Zi的volatility surface可以最大的程度代表历史上所有天数的volatility surface的信息。&br&&/p&&p&报告里面呢，选取了前三个主成分Z1，Z2和Z3，分别的图如下:&/p&&figure&&img data-rawheight=&1142& src=&https://pic1.zhimg.com/v2-41bfadad751da4a4612fbdff85313fd8_b.jpg& data-size=&normal& data-rawwidth=&1824& class=&origin_image zh-lightbox-thumb& width=&1824& data-original=&https://pic1.zhimg.com/v2-41bfadad751da4a4612fbdff85313fd8_r.jpg&&&/figure&&p&然后PCA还有一个好处呢，就是可以算出来每一个合成的大因子(主成分)对于所有点的解释程度(上图右下)，也就是包含了数据中多少比例的信息。具体的方法叫做“proportion of variance explained(PVE)”，做法就是算出来这个大因子的variance和数据整体的variance之间的比例。&br&所以这里我们就找到了前三个大因子的贡献率分别是88%，4.8%和3.66%，&br&&/p&&p&下图就是这三个主成分大因子在历史上不同时间的解释能力。可以看到第一个主成分的解释能力保持恒定，并且几乎都在80%以上。&/p&&figure&&img data-rawheight=&738& src=&https://pic3.zhimg.com/v2-05fef1abdaffd96c89d9ba_b.jpg& data-size=&normal& data-rawwidth=&1698& class=&origin_image zh-lightbox-thumb& width=&1698& data-original=&https://pic3.zhimg.com/v2-05fef1abdaffd96c89d9ba_r.jpg&&&/figure&&p&知道了能代表所有历史上volatility surface的这3个主成分之后我们自然能做的事情就很多了。&br&比如依据第一个主成分来判断delta hedge ratio(这里delta是期权价格对于underlying标的价格的一阶导，可以当做期权的价格对underlying价格变化的灵敏程度)，也就是hedge delta使得整个portfolio独立于underlying标的价格变化(但实际上delta hedge只能解决一阶的hedge，二阶gamma的hedge因为是非线性所以只能依靠另外的期权来进行hedge)。还可以把前几个主成分单独拿出来，对剩下的residual做均值0的回归。&br&(上面只是用PCA来重建vol surface，其他的方法比如spline其实也经常用来做这件事，并且也有一些smoothing曲面上那些spike的方法。)&/p&&p&并且从这三个主成分大因子得到的volatility surface图中我们就可以看出来一些信息，对于固定maturity的情况下当moneyness是in-the-money的时候，implied volatility是很高的，说明了随着in-the-money的程度市场对于USDJPY的看跌程度是越来越大的。如果对于外汇市场了解的盆友可能就知道了，这就是因为日元往往被当做避险货币。&/p&&p&&br&&/p&&p&为了避免观众对外汇市场不熟悉，这里讲点日元这个特殊货币的背景，那就是日元具有避险功能。我大概总结了一下，仅作参考。&br&(1) 日本的常年低息政策，我们都知道在经济不好的情况下就会降息，如果已经是低息的话降息的空间就有限，利率降的越多货币越弱势，所以日元贬值的空间有限&br&(2) 同时也是由于日本低息的环境，所以国际环境好的时候很多人是借入日元然后买入其他高息的货币进行carry trader套利(就像美元QE的时候美国利息低大家会借入美元买入人民币投资中国市场)，但是一旦国际环境恶化，买入的货币国家会实行降息然后贬值，投资的风险喜好也变为保守，这样套利就没有办法继续维持，大家就会卖出买入的其他国家货币然后买回日元还掉以前介入日元的债务，这样就进一步推高日元和日本的汇率，同时也压低其他国家的货币。&br&(3) 日本的不管政府或者民间的资本在国际环境好的时候喜欢投资海外的资产，譬如政府的养老金基金，当外部环境变差的时候，这部分资金也会卖出资产回流日本换成日元，即使不换回日元也会买入看多日元的衍生品(期权或者期货等)来对冲风险，都会进一步推高日元。&br&(4) 日元的池子大，流通性好，外部环境变好之后随时可以再卖掉&br&(5) 大家只要一出事就做多日元已经是习惯了。。。所以形成了一个自我实现的循环。&br&&/p&&p&其实上述对于固定maturity的情况下volatility随着moneyness变化的现象就是有名的“volatility smile(skew)”。具体这里不详细说，因为模型假设的是underlying标的的收益率并符合标准的正态分布，但实际上市场上由于不同的风险偏好产生了期权的尖峰肥尾现象，肥尾的方向也就代表了implied volatility的smile(skew)方向。产生的原因也有很多paper探讨，暂时没有一个固定的说法。&/p&&p&对于期权有一点需要注意或者可以利用，因为涨和跌并不是对称的，涨的时候总是缓慢的波动率低的，跌的时候总是摧枯拉朽波动率高的，期权价格呢又跟波动率有关，所以呢我们可以利用这一点。譬如说买put，一方面如果资产真的下跌，put本身由于moneyness和intrinsic value会增值；另一方面资产下跌的时候会引起恐慌增加波动率，也会使得期权增值，所以其实两方面的动力会一起做贡献让put的价格飞起来很快。还记得前段时间的50 cent先生么？大家一开始都嘲笑这哥们脑子有病每天给市场送钱，现在才发现这哥们真牛逼。其实吧，他就是利用了期权波动率不对称这一点，疯狂在波动率低的时候扫货买便宜的put，一旦市场有点风吹草动导致哪怕一天的恐慌，向下的利润是非常丰厚的，远远超过前期裸买put的成本投入。当然，别人是建立在对当时整个市场情绪非常敏感的正确判断前提下才敢这么单边做期权，还冒着成为各国基金经理永远嘲笑的二逼的风险，这种勇气我还是很佩服的，实至名归。对于不了解资本市场的同学呢，不要看了之后脑门一热以为股神附体就all in了，成功了是big short不成功就变big idiot，老婆本都亏光了不要怪我，我代表华夏三千万单身汉同志欢迎你的加入~&/p&&figure&&img data-rawheight=&722& src=&https://pic2.zhimg.com/v2-5b3d9a9af12c0aa5ea4d175bfe2922c9_b.jpg& data-size=&normal& data-rawwidth=&1770& class=&origin_image zh-lightbox-thumb& width=&1770& data-original=&https://pic2.zhimg.com/v2-5b3d9a9af12c0aa5ea4d175bfe2922c9_r.jpg&&&/figure&&p&&br&&/p&&p&还有一个关于vol的小tips也介绍一下。&/p&&p&我们其实还可以根据VIX的值来倒推回去期权市场对市场未来波动大小的预期，但有一个隐含的假设前提是市场收益在每个时间段都符合正态分布(这其实也是布朗运动的假设，下面我们会提到)，然后算出来一个sigma的大小，得到波动的范围。&br&&/p&&p&下面我就举个例子会清晰很多，&br&首先稍微介绍一下臭名昭著的vix这个index是个什么东西，&br&vix其实是从未来30天期权市场还有BS方程算出来的市场预期的年化波动率，也就是implied volatility。&br&(代表vol的VIX的计算公式可以参考CBOE的官方文件，&a href=&http://link.zhihu.com/?target=http%3A//www.cboe.com/micro/vix/vixwhite.pdf& class=& external& target=&_blank& rel=&nofollow noreferrer&&&span class=&invisible&&http://www.&/span&&span class=&visible&&cboe.com/micro/vix/vixw&/span&&span class=&invisible&&hite.pdf&/span&&span class=&ellipsis&&&/span&&/a&)&br&&/p&&p&假如vix是17的时候，这样根据CBOE的vix的算法，vix=sigma*100，&br&所以一年收益的正态分布的一个标准差sigma的值就是 sigma=0.17，或者说是17%。&br&假如现在大盘spy在$265的地方，那么一年的波动大小就是17% * $265 = $45&br&&/p&&p&同样我们可以从vix算出来市场预期的每个月和每天的的波动大小，&/p&&p&每月的sigma = 0.17/sqrt(12) = 0.049 = 4.9%，波动大小是4.9% * $265 = $13&/p&&p&每天的sigma = 0.17/sqrt(255) = 0.01 = 1%，波动大小是1% * $265 = $2.6&br&&/p&&p&这个粗略的算法可以帮助我们判断现在的波动率是否合理，毕竟单纯看波动率的绝对值其实还不是那么直观。&/p&&p&有可能有童鞋会产生疑问，为什么这里有一个sqrt(N)呢？&/p&&p&这个就是刚刚提到的隐含的假设了，也就是正态分布。&br&我们这里是把比如每个月的收益当做独立的正态分布然后加起来就变成年化的收益分布。如果学过统计的话就会知道两个正态分布加在一起的结果还是一个正态分布，并且标准差是平方相加再开方的关系。自然这里就是12个月的sigma^2加在一起再开方，就出来了这样一个sqrt(12)这一项。&/p&&figure&&img data-rawheight=&212& src=&https://pic4.zhimg.com/v2-d04a4ec341bfa7f99653_b.jpg& data-size=&normal& data-rawwidth=&1024& class=&origin_image zh-lightbox-thumb& width=&1024& data-original=&https://pic4.zhimg.com/v2-d04a4ec341bfa7f99653_r.jpg&&&/figure&&p&比如下面CBOE的vix的公式里面我们也可以看到这样一项，sqrt(N365/N30) = sqrt(12)。&br&同理粗略计算sharpe ratio的时候也会出现sqrt(n)这一项也是这个原因，因为都是对于n个单位时间的波动率的处理。更直观一点感受一下10的sharpe，比如历史平均年化sharpe是10，每天的sharpe就是10/sqrt(255)=0.6，假如vix像上面举例是17也就是换算成daily的volatility是1%的时候，那么每天的收益率就需要至少是0.6%，波动还不能比市场大，整体而言确实还是挺难做到的。这也是为什么现在基本都是strategy pool整体来平衡收益和风险而不是单独一个很强的strategy，因为单独的高sharpe因子在有效市场太稀有了，内幕消息倒算是一个。&/p&&figure&&img data-rawheight=&206& src=&https://pic3.zhimg.com/v2-ba0f294a5e76a5b0be0e_b.jpg& data-size=&normal& data-rawwidth=&1030& class=&origin_image zh-lightbox-thumb& width=&1030& data-original=&https://pic3.zhimg.com/v2-ba0f294a5e76a5b0be0e_r.jpg&&&/figure&&p&除了正态分布还有一种理解方式，下面的理论推导里面会提到random walk的variance会是sqrt(t)，t就是这里的单位时间的数目。(其实本质上也就是正态分布...whatever)。&br&&/p&&p&并且有一点需要澄清，那就是比如Vix=17，SPY=265的时候算出来的每天波动$3其实并不是说每天一定会涨或者跌这么多，而是说一个sigma标准差的几率(68%)是会落在+-$3这个范围内，不是说就一定会碰到这个+-$3这个boundary，这只是概率的一个区间作为参考，而不是某一个一定会到达的值。&br&&/p&&p&好了，volatility的部分也讲完了，整个应用部分就结束了。&/p&&p&我们现在开始进入理论的部分。&/p&&figure&&img data-rawheight=&225& src=&https://pic2.zhimg.com/v2-819783ecdaecd6bc5e90d85b3a09bb05_b.jpg& data-size=&normal& data-rawwidth=&225& class=&content_image& width=&225&&&/figure&&h2&1.4 Random Walk &/h2&&p&首先呢，我们来看一下苹果公司的股票，前阵子跟着美股大盘大跌了一阵子，还好最近美国经济和通胀起来之后大家似乎又对股市重拾信心了呢。&/p&&figure&&img data-rawheight=&1076& src=&https://pic3.zhimg.com/v2-e2b6aacfdceb8e7ae939aa_b.jpg& data-size=&normal& data-rawwidth=&1280& class=&origin_image zh-lightbox-thumb& width=&1280& data-original=&https://pic3.zhimg.com/v2-e2b6aacfdceb8e7ae939aa_r.jpg&&&/figure&&p&摸着自己的良心自问，有多少朋友一眼就看出来这是假的了？&/p&&figure&&img data-rawheight=&179& src=&https://pic2.zhimg.com/v2-c2cc2c4ed6d18facd6cb1_b.jpg& data-size=&normal& data-rawwidth=&179& class=&content_image& width=&179&&&/figure&&p&这是我用Python模拟出来的(不要小看这一段程序，你知道我为了一样模拟了多少次嘛!)，感兴趣的话程序如下，&/p&&div class=&highlight&&&pre&&code class=&language-python3&&&span&&/span&&span class=&kn&&import&/span& &span class=&nn&&matplotlib.pyplot&/span& &span class=&k&&as&/span& &span class=&nn&&plt&/span&
&span class=&kn&&import&/span& &span class=&nn&&numpy&/span& &span class=&k&&as&/span& &span class=&nn&&np&/span&
&span class=&n&&T&/span& &span class=&o&&=&/span& &span class=&mi&&2&/span&
&span class=&n&&mu&/span& &span class=&o&&=&/span& &span class=&mf&&0.01&/span&
&span class=&n&&sigma&/span& &span class=&o&&=&/span& &span class=&mf&&0.01&/span&
&span class=&n&&S0&/span& &span class=&o&&=&/span& &span class=&mi&&172&/span&
&span class=&n&&dt&/span& &span class=&o&&=&/span& &span class=&mf&&0.01&/span&
&span class=&n&&N&/span& &span class=&o&&=&/span& &span class=&mi&&200&/span&
&span class=&n&&t&/span& &span class=&o&&=&/span& &span class=&n&&np&/span&&span class=&o&&.&/span&&span class=&n&&linspace&/span&&span class=&p&&(&/span&&span class=&mi&&0&/span&&span class=&p&&,&/span& &span class=&n&&T&/span&&span class=&p&&,&/span& &span class=&n&&N&/span&&span class=&p&&)&/span&
&span class=&n&&W&/span& &span class=&o&&=&/span& &span class=&n&&np&/span&&span class=&o&&.&/span&&span class=&n&&random&/span&&span class=&o&&.&/span&&span class=&n&&standard_normal&/span&&span class=&p&&(&/span&&span class=&n&&size&/span& &span class=&o&&=&/span& &span class=&n&&N&/span&&span class=&p&&)&/span&
&span class=&n&&W&/span& &span class=&o&&=&/span& &span class=&n&&np&/span&&span class=&o&&.&/span&&span class=&n&&cumsum&/span&&span class=&p&&(&/span&&span class=&n&&W&/span&&span class=&p&&)&/span&&span class=&o&&*&/span&&span class=&n&&np&/span&&span class=&o&&.&/span&&span class=&n&&sqrt&/span&&span class=&p&&(&/span&&span class=&n&&dt&/span&&span class=&p&&)&/span& &span class=&c1&&### standard brownian motion ###&/span&
&span class=&n&&X&/span& &span class=&o&&=&/span& &span class=&p&&(&/span&&span class=&n&&mu&/span&&span class=&o&&-&/span&&span class=&mf&&0.5&/span&&span class=&o&&*&/span&&span class=&n&&sigma&/span&&span class=&o&&**&/span&&span class=&mi&&2&/span&&span class=&p&&)&/span&&span class=&o&&*&/span&&span class=&n&&t&/span& &span class=&o&&+&/span& &span class=&n&&sigma&/span&&span class=&o&&*&/span&&span class=&n&&W&/span&
&span class=&n&&S&/span& &span class=&o&&=&/span& &span class=&n&&S0&/span&&span class=&o&&*&/span&&span class=&n&&np&/span&&span class=&o&&.&/span&&span class=&n&&exp&/span&&span class=&p&&(&/span&&span class=&n&&X&/span&&span class=&p&&)&/span& &span class=&c1&&### geometric brownian motion ###&/span&
&span class=&n&&plt&/span&&span class=&o&&.&/span&&span class=&n&&plot&/span&&span class=&p&&(&/span&&span class=&n&&t&/span&&span class=&p&&,&/span& &span class=&n&&S&/span&&span class=&p&&)&/span&
&span class=&n&&plt&/span&&span class=&o&&.&/span&&span class=&n&&show&/span&&span class=&p&&()&/span&
&/code&&/pre&&/div&&figure&&img data-rawheight=&190& src=&https://pic2.zhimg.com/v2-ca1a2d8d69b3f3333999_b.jpg& data-size=&normal& data-rawwidth=&265& class=&content_image& width=&265&&&/figure&&p&呐，其实真正的股价图在这里&/p&&figure&&img data-rawheight=&1242& src=&https://pic1.zhimg.com/v2-67deaa9fd544_b.jpg& data-size=&normal& data-rawwidth=&2208& class=&origin_image zh-lightbox-thumb& width=&2208& data-original=&https://pic1.zhimg.com/v2-67deaa9fd544_r.jpg&&&/figure&&p&这就说明了一个问题，我们无法区分股价和random walk。&/p&&p&&br&&/p&&p&这下面隐藏着一个更为本质的问题，也就是期权理论的基础：股票价格和布朗运动。&/p&&p&布朗运动其实是爱因斯坦在1905年发的paper，在论文里面给出了扩散方程的解(对，其实上面的BS model的偏微分方程本质上就是一种特殊情况下的扩散或者热传导方程)。布朗运动其实说的是花粉颗粒在不计其数的水分子(10^23个，天文数字)作用力下的运动，这个花粉的运动轨迹决定于这千千万万个水分子的运动和他们对这个花粉施加的力。那么假设我们可以知道每一个水分子未来的运动方程，我们其实就可以知道他们以后在每一个时刻会怎样来影响花粉的运动，我们也就拥有了预测花粉轨迹的超能力。但是，很可惜，由于参与的水分子太多，我们不可能完全掌握这部分信息，自然也就无从得到花粉未来的运动轨迹，所谓随机过程。其实和热力学也是一样，这学期修了一门热力学统计物理，发现这个就是我一直以来缺少的一块儿拼图，连接了物理的宏观和微观世界。物理里面由于微观粒子太多和不确定原理导致掌握每个粒子的信息来精准描述整个系统完全不可能，热力学加上统计概率分布就正好成为连接量子力学微观粒子和牛顿力学宏观世界的桥梁。(其实还有一点可以改进，统计物理里更深入的Ising model是考虑了粒子与相邻粒子之间的local自旋相互作用来进行一阶修正，在金融市场里面参与者和参与者之间没准也可以考虑这种修正使得BS model更加精确呢，当然这已经算是凝聚态物理比较前沿的研究方向了，局限在local的条件也不一定适应金融市场)&/p&&figure&&img data-rawheight=&457& src=&https://pic1.zhimg.com/v2-ef70eab0f941c6f61c718c0ff88ddda8_b.jpg& data-size=&normal& data-rawwidth=&684& class=&origin_image zh-lightbox-thumb& width=&684& data-original=&https://pic1.zhimg.com/v2-ef70eab0f941c6f61c718c0ff88ddda8_r.jpg&&&/figure&&p&作为类比，金融市场也可以分成宏观系统和微观个体，通过类似物理的热力学统计这一套东西把金融里面微观宏观统一起来描述整个系统，其实就是布朗运动。在金融市场里面我们可以想象成股票价格在不计其数的人的合力影响下的运动。即使市场参与者的数目相对水分子少很多，但是数量依然非常庞大，而且还加入了人是否理性行为的不确定性(可以想象成测不准原理)，我们也不可能完全掌握这个市场上每个参与者的信息，也就不能准确预测股票未来的价格。&br&&/p&&p&通过这个对比我们可以感觉到这两个过程确实很类似，并且可以利用物理上的这个过程和其解来描述市场的运动还很有效，确实是一个非常神奇的事情。其实我一直在试图将自己对物理的理解和金融的理解结合起来，发现除了热力学系统的布朗运动和相变应用在金融市场，这样fundamentally类似的真是不多。似乎物理在机器学习和深度学习上面倒可以看到很多类似的东西，比如Restricted Boltzmann Machine(RBM)就参考了玻尔兹曼分布的partition function，神经网络hidden layer有效的理论证明也参考了统计物理里面描述spin系统相互作用的Ising Model和量子场论里的重整化群(&a href=&http://link.zhihu.com/?target=https%3A//arxiv.org/abs/& class=& external& target=&_blank& rel=&nofollow noreferrer&&&span class=&invisible&&https://&/span&&span class=&visible&&arxiv.org/abs/&/span&&span class=&invisible&&&/span&&/a&)。物理更本质的是量子力学量子场论群论粒子物理，也许借鉴一下未来会搞出来更底层的金融版本也说不准，但是也可能这种联系本来就不存在，不可强求。&br&&/p&&p&这里我们可以看到布朗运动来描述市场这个系统是可行的，所以就有了下面这个方程：&/p&&figure&&img data-rawheight=&450& src=&https://pic4.zhimg.com/v2-af7f449c1d3_b.jpg& data-size=&normal& data-rawwidth=&1504& class=&origin_image zh-lightbox-thumb& width=&1504& data-original=&https://pic4.zhimg.com/v2-af7f449c1d3_r.jpg&&&/figure&&p&这里方程左边的S是股价。右边呢，第二项W就是布朗运动，或者也叫做Wiener process。这个W前面还有两个因子，一个是sigma，也就是波动率；另一个是S，也就是股价。&/p&&p&先来介绍一下为什么有S，&br&因为这里并不是假设价格直接是布朗运动，而是价格S的log函数是布朗运动(换句话说就是股价服从的是lognormal分布)。&br&我们把方程两边都除以S就可以看到左边的dS变成了d(logS)，右边变成了mu*dt+sigma*dW，所以可以看到是logS服从布朗运动。&br&(其实这个地方很不严谨，因为S包含了布朗运动的信息其实是一个不可导的函数，我们不能直接把S当除数，但这个有一个比较intuitive的sense，下面讲到Ito’s lemma的时候会再介绍)&br&&/p&&p&那可能又会有同学问，为什么是log函数呢？&br&因为我们假设的其实并不是股价本身的涨跌绝对值是布朗分布，而是相对前一天的涨跌百分比。对于log函数来说，如果现在股价是X1，明天估计是X2，那么涨跌的百分比 logX2-logX1 = log(X2/X1)，一阶展开之后其实也就约等于X2/X1。所以其实平时我们简单用log来看收益率其实是也隐含用了这样一个近似的假设。另一个更数学的理解的办法其实就是从离散过程通过无穷小量转换成连续过程，比如让T/n，再让n趋于无穷大求极限也同样可以得到这个log函数(这一点其实很重要，因为后面我们会遇到riskless rate的discount因子，说白了其实就是无穷小的时间间距来算复利)。&br&&/p&&p&再来介绍一下为什么会有波动率这一项，这里就需要介绍一下random walk和布朗运动了。&/p&&figure&&img data-rawheight=&862& src=&https://pic2.zhimg.com/v2-b78b4db653cdcf1_b.jpg& data-size=&normal& data-rawwidth=&1214& class=&origin_image zh-lightbox-thumb& width=&1214& data-original=&https://pic2.zhimg.com/v2-b78b4db653cdcf1_r.jpg&&&/figure&&p&random walk的内容简单来说其实就是每秒掷一次硬币。正面赢1块，反面输1块，然后比如扔一天看最后自己赢了多少钱。&br&因为这是整个期权定价的基础(说白了可以把股票每秒涨跌当做扔正反..)，所以这也是为什么quant面试的时候经常喜欢把各种各样的硬币翻来覆去扔来扔去，你们这些人有考虑过硬币的感受么！&br&&/p&&p&当然啦，random walk并不能帮我们预测涨跌，我们更看重的是random walk的数学性质。&br&上面列出来有3个性质，&br&第一个是每次扔硬币收益的期望为0，这其实也就不小心暗示了从random walk推导出来的期权其实是建立在扔硬币的假设上，也就是传说中的市场有效假设，或者risk neutral measure。&br&第二个是每次扔硬币是independent，也就是扔了10次反也不一定就代表下一次可以扔出一个正(但每次炒股一直亏的时候却总想着能一次翻本? )，每次正负的概率都还是0.5，不以人的意志为转移。&br&最后一个是stationary，也就是我先扔10次的过程，跟第二轮投10次过程的概率分布没有任何区别。&br&&/p&&p&从这个地方我们也可以看出来每一次扔硬币其实是类似一个Bernoulli过程(Bernoulli的outcome是1和0，我这里为了跟市场做直观的对比所以用的1和-1，牺牲了严谨性需要注意)，要么正要么反，要么赢要么输。根据统计知识我们就可以知道，玩这个游戏赚的钱总数的分布呢是类似Binomial的。&/p&&figure&&img data-rawheight=&709& src=&https://pic3.zhimg.com/v2-fc74676affd09d47b3bff38df4d858ea_b.jpg& data-size=&normal& data-rawwidth=&1052& class=&origin_image zh-lightbox-thumb& width=&1052& data-original=&https://pic3.zhimg.com/v2-fc74676affd09d47b3bff38df4d858ea_r.jpg&&&/figure&&p&从Binomial的名字就可以看出来，这是一个离散的过程，而且我们可以引入二叉树的方式来推导期权定价公式。但是作为一个物理直男我还是对连续光滑柔软的东西比较感兴趣，所以这里只推荐一下书，想真正弄懂的同学可以去看看Steven E.Shreve的Stochastic Calculus for Finance 1:The Binomial Asset Pricing Model，算是很经典的教材了。(对，所以我也没看，而且我也知道你们肯定也会mark再看，然后想必也就是永别了...)&/p&&p&也附上我自己稍微写的推导过程，&/p&&figure&&img data-rawheight=&4032& src=&https://pic2.zhimg.com/v2-cc50a728e3633ebadccd0e5_b.jpg& data-size=&normal& data-rawwidth=&3024& class=&origin_image zh-lightbox-thumb& width=&3024& data-original=&https://pic2.zhimg.com/v2-cc50a728e3633ebadccd0e5_r.jpg&&&/figure&&p&&br&&/p&&p&&br&&/p&&h2&1.5 Brownian Motion&/h2&&p&&br&&/p&&p&好了，我们继续。&br&上面介绍完了离散的Random Walk，同样统计告诉我们Binomial分布有一个性质，那就是当n非常大的时候，也就是当我们玩的次数足够多玩到天崩地裂地老天荒的时候(这硬币可以玩一年)，我们赚的钱的分布就变成了一个normal distribution。&br&(这也是为什么我们经常默认把收益率当做一个normal distribution，因为本质上是近似成了布朗运动，这一点是平时非常容易忽略的。但实际上大家也知道市场并非真的normal distribution，而是有各种skew和inefficiency，第二部分会详细讨论)&br&&/p&&p&这其实就是从离散过程到连续过程，也就是把上一节中的二叉树定价延伸到无数subtree就收敛到了接下来布朗运动推导的BS方程。&/p&&figure&&img data-rawheight=&718& src=&https://pic1.zhimg.com/v2-773ad9dd61ba1711583c_b.jpg& data-size=&normal& data-rawwidth=&1264& class=&origin_image zh-lightbox-thumb& width=&1264& data-original=&https://pic1.zhimg.com/v2-773ad9dd61ba1711583c_r.jpg&&&/figure&&p&布朗运动就厉害了，random walk是离散的每秒扔一次，而连续时间的布朗运动可以当做每秒扔一千次一万次一亿次一直到无穷大，然后扔一天看自己赢了多少钱，没准就完成了一堆小目标，亏掉几个亿。&/p&&p&&br&&/p&&p&这里我们也同样可以得到类似random walk的布朗运动的3条性质(上图中Theorem 2.1)，&br&第一项跟random walk一样，期望还是0，说明市场有效理论的假设依然保留。&br&但第三项的independent就有点不一样了，这里限制似乎更强了，还需要在时间上不overlap。&br&再看第二项的stationary，这里给的信息也更多了，不再是单纯的说相同时间间隔的分布一样，还告诉我们说这个分布的具体形式就是正态分布，这其实也是中心极限定理的推论。&br&有了正态分布其实也就具备了数学上的操作性，有了期望有了方差，从此我们就可以用实实在在的公式来model期权的价格了。&br&&/p&&p&至于为什么布朗运动是正态分布，我们可以看看爱因斯坦老人家是怎么通过热力学解出来的:&/p&&figure&&img data-rawheight=&1228& src=&https://pic4.zhimg.com/v2-403b2eef6b526caef3e77eb_b.jpg& data-size=&normal& data-rawwidth=&2122& class=&origin_image zh-lightbox-thumb& width=&2122& data-original=&https://pic4.zhimg.com/v2-403b2eef6b526caef3e77eb_r.jpg&&&/figure&&figure&&img data-rawheight=&1350& src=&https://pic2.zhimg.com/v2-fc717e8ebfeb6d_b.jpg& data-size=&normal& data-rawwidth=&2106& class=&origin_image zh-lightbox-thumb& width=&2106& data-original=&https://pic2.zhimg.com/v2-fc717e8ebfeb6d_r.jpg&&&/figure&&p&&br&&/p&&p&其实爱因斯坦已经转化成热力学的扩散方程把期权的价格给解出来了...&/p&&p&这个正态分布呢有一个很特别的地方，那就是它的variance是t，也就是这段扔硬币的时间间隔。其实也非常make sense，当扔硬币频率一定的时候，扔的时间越长自然我们得到收益的方差就越大。具体为什么是t，也可以参考上面爱因斯坦的结果里算出来的方差。&/p&&p&&br&&/p&&p&回到刚刚的式子，希望你们还没有忘却我们在干什么。&/p&&figure&&img data-rawheight=&450& src=&https://pic4.zhimg.com/v2-af7f449c1d3_b.jpg& data-size=&normal& data-rawwidth=&1504& class=&origin_image zh-lightbox-thumb& width=&1504& data-original=&https://pic4.zhimg.com/v2-af7f449c1d3_r.jpg&&&/figure&&p&这里应该就可以理解为什么上面写了standard deviation是sqrt(t)了。&/p&&p&&br&&/p&&p&我们讲完了布朗运动，可以看到W前面有一个波动率sigma的系数。比较直观的理解就是布朗运动或者random walk是每次赌1块钱，但是我们股价可以每次赌2块呀，这样我们就需要在前面乘上2这个系数，也就是这里的波动率了(毕竟波动率是用来描述单位时间内股价的变化方差)。&/p&&p&这就是整体这个式子的第二项了。&br&那第一项又是什么呢？第一项是正的drift。&br&&/p&&p&为了易于理解，我}
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如何培养优等生
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你可能喜欢后进生伺候优等生吃饭，被破坏掉的教育生态
写在前面：从2018年起，中国每年将向世界卫生组织交5000万美金，但是，在世卫组织的7000名雇员中，中国雇员只占40人左右，管理者更是寥寥无几。未来的中国势必将成为世界第一大经济体，届时，中国教育能否培养出管理世界的人才？
就目前来看，这个答案是否定的。“脑袋跟不上发展”，这是摆在中国教育面前的不争事实。对此，“教育与中国未来30人论坛”围绕中国教育与人类命运共同体，探讨了当前中国教育的弊病与创新，为未来教育的发展提供了新思路。搜狐教育独家为您呈现现场的精彩演讲。
孟繁华 首都师范大学副校长、教授、博士生导师
30年前的暑期，中央电视台直播过马赛马拉大草原角马的迁徙。在看角马迁徙时，心里期盼角马千万别让鳄鱼吃掉，希望它们快点走。但是，当真正来到马赛马拉大草原时，我觉得鳄鱼应该吃掉一部分角马。如果不吃角马，鳄鱼怎么生存、怎么发展呢？但是角马也不能让它吃多，吃多了鳄鱼就无限膨胀，角马则逐渐萎缩，所以达到一个有机的平衡是最佳状态。
在良好的生态观指导下，生物体系的自我演化是一种最佳状态。不能只发展鳄鱼，也不能单单保护角马。
在教育工作中，经常说要加强这一部分。但是，加强某一部分的同时就是在削弱另一部分。这样一来，教育这个生态系统就处在一个非常麻烦、不良的状态下。
伺候优等生吃饭，戴绿领巾，负教育在当今比比皆是
作为教育工作者，做教育无非就是做三件事，第一件事是教师要唤醒学生的生命意识，充满活力，加强生命力；第二件事是要启迪学生的精神世界，精神的力量非常伟大，不同的精神世界最后的结果完全不同；第三件事是要建构学生的生存方式，要有基本的技能。
基于这三件事，我提出了三个概念。第一个概念叫“正教育”，符合以上三条就叫正教育。第二个概念叫“零教育”，意味着即使做了这三件事情也是无效的，即没有唤醒学生的生命意识，没有启迪精神世界，也没有学到什么真本事。第三个概念叫“负教育”，所谓负教育就是与这三件事背道而驰，不但没有唤醒学生的生命意识，而且诋毁生命力和精神世界。把这三个概念作为一个分析框架，用它来反思一下现在的教育。
讲两个官方媒体报道的极端案例。《中国教育报》报道过这样一则新闻，某省一所实验学校，校长搞改革创新，孩子吃午餐的时候，后进生伺候优等生吃饭，给他们端盘子洗碗，等优等生吃完，后进生才能吃饭。另一则新闻是西部某所重点中学，成绩好的学生佩戴红领巾，成绩差的学生则戴绿领巾。
对照刚才的三条标准，可以质问一下这样的教育，唤醒学生的生命意识了吗？启迪学生的精神世界了吗？教会学生生存技能了吗？统统都没有，非但如此，还压制学生，这是典型的负教育。在今天，无论是小学、中学还是大学，这种现象比比皆是。
回归“人”的本质
这显然是发展观造成的。人的发展历史可以分为三个阶段：第一个阶段可以称为“以人为成本”的阶段，无论是员工还是教师，都是学校的成本。老师教出了成绩好的学生，成本的价值就得到了体现。第二个阶段也是现在比较流行的一个阶段，叫做“以人为资源”的阶段。这个阶段比第一个阶段有所进步，重在对人的开发、培训和培养，但根本目的不变，还是想取得更大的效益。第三个阶段就是“以人为本”。尽管国际上人文主义哲学已经流行了一个多世纪之久，但在中国还是本世纪才开始的事情。以人为本强调对人的尊重、关心和发展，公平的社会就是一个以人为本的社会，是所有人平等共享的社会。
我在《新发展观》这本书中找到了发展观变化的依据。这本书的作者是法国著名的社会学家，他在1983年就提出，世界发展是整体的、综合的和内省的。一种以满足人的需求为中心价值取向、以生态学的系统观为指导、以人的智力资源为基础、以人与自然统一的生态和谐发展为核心的“综合发展观”已悄然兴起。
我们现在的四个全面、五大发展理念便是一种综合发展观，但是在实践过程中出现了很多偏差，造成指导思想和实际做法两张皮的现象。
用高压锅煮水，教育下半场需要转换思路
过去，官方所有文件一定是加强、强化，这就相当于加强鳄鱼或者加强角马，加强的同时意味着对教育生态的变相破坏。这时，需要换一种思路解决问题。
假如我是领导，需要员工在10分钟内把一壶水加热到120度。20度、30度、40度，5分钟到了，100度沸腾了。那么，剩下的五分钟，员工应该做的是把100度的水加热到120度，但是，5分钟过去了，水依然是100度。
这其实是生活中常犯的错误。上半场的任务完成得很好，下半场一事无成。症结在于，下半场依然按照传统模式继续烧水，烧干了还是100度。下半场换成一个高压锅就可以了，一会儿就到120度。
因此，上半场广泛采取竞争的办法，因为市场经济的核心就在于竞争。下半场则要考虑到整个人类的发展，构建人类命运的共同体，需要换种思路解决问题。如果继续加强这个、加强那个，最后什么也不强。
教育除了“加强”，还要做好减法。一个减法是去掉标签化，第二个减法是去行政化，第三个减法是去工程化。
去标签化就是不要过分重视头衔，像如千人计划、万人计划、长江学者等等，据说这些人才计划加起来有80多项。国内大学重视头衔，而国外大学重视的是对社会的贡献，是看得见的。二是去行政化，其核心意义在于去大学的标准化，彰显大学的特色和多样性。再一个是去工程化，运用工程项目的管理方式方法，显然忽视了教育的本性，忽视了教育的系统性、渐进性和长效性。
人类同呼吸、共命运，希望未来教育越来越好。
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今日搜狐热点&figure&&img src=&https://pic4.zhimg.com/v2-85f0ccb2c432ac5d1ea1_b.jpg& data-rawwidth=&1800& data-rawheight=&1286& class=&origin_image zh-lightbox-thumb& width=&1800& data-original=&https://pic4.zhimg.com/v2-85f0ccb2c432ac5d1ea1_r.jpg&&&/figure&&p&今天我们就来谈一谈选择与未来(options and futures)，讨论一些宝贵的人生经验。&/p&&p&我想要达到的效果是，只要看了这一篇文章就可以深刻理解BS方程，让你在金融市场永远立于不败之地，遇神被神杀遇佛被佛杀~&/p&&figure&&img data-rawheight=&224& src=&https://pic3.zhimg.com/v2-23ff58c6_b.jpg& data-size=&normal& data-rawwidth=&225& class=&content_image& width=&225&&&/figure&&p&CERN的data今年最后一年收集完毕我也终终终终终终终于要解放了，也需要好好准备找quant的工作。感兴趣的童鞋也feel free加微信交流哇，&/p&&p&很多盆友都看过董可人几年前关于两种quant类型Q quant和P quant的回答，这也是纯洁懵懂学物理的我第一次接触到quant这个高大上的领域，看的面红耳赤小鹿乱撞心怦怦直跳。当初看完一脸憧憬外加一脸懵逼，但现在经过两三年的努力，我现在终于对这两类quant的内容都有了比较深入的理解和认识，只剩下懵逼了。&br&&/p&&figure&&img data-rawheight=&286& src=&https://pic2.zhimg.com/v2-a4c9d75eabdab6ac17f2c5_b.jpg& data-size=&normal& data-rawwidth=&328& class=&content_image& width=&328&&&/figure&&p&&br&&/p&&p&(1) Q quant是theory driven，从市场风险中性出发，做衍生品pricing或者structured product，也是一直以来比较传统的quant，主要是上世纪大家发现物理里的布朗运动和解偏微分方程可以用在金融市场上对衍生品的定价(后面理论部分会具体解释)，就招了一大批物理学家和数学家专门研究衍生品和量化风险。当然，这种结构化的产品的滥用也导致了08年的次贷危机，而且其实大部分的定价工作已经很成熟并且自动化，不太需要大量数学物理phd去贡献脑力做重复工作，市场上衍生品mispricing的套利机会也不再那么juicy，行业进入了比较稳定饱和的阶段。(一句话概括，物理不好找工作了)&br&(2) P quant是data driven，也就是现在比较流行的统计quant或者data scientist，具体是借助统计模型来做多因子，risk和portfolio management，统计套利等等内容，叠加现在的big data还有machine leanring/deep learning的东风，行业进入了迅速发展的阶段。(一句话概括，统计好找工作了)&br&&/p&&p&(更详细的描述在其推荐的这个paper里面: &a href=&http://link.zhihu.com/?target=https%3A//papers.ssrn.com/sol3/papers.cfm%3Fabstract_id%3D1717163& class=& external& target=&_blank& rel=&nofollow noreferrer&&&span class=&invisible&&https://&/span&&span class=&visible&&papers.ssrn.com/sol3/pa&/span&&span class=&invisible&&pers.cfm?abstract_id=1717163&/span&&span class=&ellipsis&&&/span&&/a&)&br&&/p&&p&我在这篇文章&a href=&https://zhuanlan.zhihu.com/p/& class=&internal&&教你Machine Learning玩转金融入门notes&/a&里面对P quant做了比较详细的介绍，这里主要介绍第一种传统的Q quant。&/p&&p&但我认为这两种quant的技能其实都应该掌握，学的越多越发现金融市场是一个很复杂的系统，特别是如果想要管理好一个portfolio是需要对每一块儿领域都有一定的理解并且为我所用。所以这也是为什么我分别写了Macro和Machine Learning之后又想写这篇文章，在建立起市场宏观的大框架之后同时利用data driven的统计模型和theory driven的衍生品来帮助自己灵活实现具体的目标，希望能帮大家对整个金融市场有一个比较全面的了解。&/p&&figure&&img data-rawheight=&740& src=&https://pic1.zhimg.com/v2-7a4caae851de21fc3328_b.jpg& data-size=&small& data-rawwidth=&1276& class=&origin_image zh-lightbox-thumb& width=&1276& data-original=&https://pic1.zhimg.com/v2-7a4caae851de21fc3328_r.jpg&&&/figure&&p&说到期权就避不开一个东西，这其实也是我想写这篇文章的主要原因，那就是波动率volatility。先上一张图感受一下:&/p&&figure&&img data-rawheight=&1242& src=&https://pic3.zhimg.com/v2-a61ffa8c57ca2c5db3e6b22_b.jpg& data-size=&normal& data-rawwidth=&2208& class=&origin_image zh-lightbox-thumb& width=&2208& data-original=&https://pic3.zhimg.com/v2-a61ffa8c57ca2c5db3e6b22_r.jpg&&&/figure&&p&大家应该依然对年初美股的大跌印象深刻，引发了全球股市包括A股的大跌。大跌的原因暂时也是众说纷纭，主要的trigger应该还是似乎一夜之间市场对通胀的预期就高涨起来，无论是原油还是美国经济数据强劲驱动，引发了长端美债利率的大涨，传导到了美国的股市引发了螺旋踩踏式的降杠杆。至于是哪些机构在降杠杆，首当其冲的自然是一直以来crowded躺着捡钱做空vix的fund和个人了。然后当天就有机构把大量资金从股市转移到债市，下图的换仓简直不要更明显(注意这里债券是利率)。这部分的机构可能是养老金也有可能是risk parity，也可能是从index fund出来的资金寻求避险(最近也有消息说97%的vanguard household在这次turmoil中并没有trade)。&/p&&figure&&img data-rawheight=&1440& src=&https://pic1.zhimg.com/v2-f1a348be99a4d44794efec_b.jpg& data-size=&small& data-rawwidth=&1080& class=&origin_image zh-lightbox-thumb& width=&1080& data-original=&https://pic1.zhimg.com/v2-f1a348be99a4d44794efec_r.jpg&&&/figure&&p&&br&&/p&&p&当天确实很有纪念意义，我学到了很重要的一课，也发了好几条状态:&/p&&p&当年次贷也只是电影里面感受过，有些东西没有经历过确实想象不出来。不管之前的A股大跌还是现在的美股大跌，或者更早之前的几次危机，说白了都是因为bank run进而踩踏导致螺旋下跌，无论经济基本面怎么样，只要是有credit这个东西的存在就会导致市场比看上去thin得多，并且越有效越会刺激加杠杆去获取那稀薄的超额收益，思考的越理性和复杂反而会离人性和情绪更远，也更不容易看到身边所发生的事情。&/p&&p&还有就是知行合一，虽然去年好几条状态都是推荐一边long大盘然后用收益去long vix的option来bet这些spike，但确实自己也不太笃信能坚持到这一刻到来，错失机会并不可惜，比如比特币涨这么多我也不会觉得可惜，毕竟之前也不了解和判断，但对于vix确实可惜的是没有坚持自己先前的判断。&/p&&p&遗憾归遗憾，错过的机会其实也是一个很好的学习机会。未来全球各国普遍进入紧缩环境，随着volatility的回归，国内金融市场也会对期权逐渐熟悉起来，以后不懂期权不仅会错过更多这样的机会，更重要的是以后金融市场的发展趋势肯定也是像美国这边一样利用衍生品(option，future，forward，swap等等)有针对性的精确控制自己portfolio的各类risk exposure，这一块儿会是每个机构和fund需要掌握的必备技能。&br&&/p&&p&所以呢，这里暂且作为一个比较intuitive的介绍和入门，更细节和理论的东西还是需要去看书(文末有推荐的书单)。&/p&&figure&&img data-rawheight=&360& src=&https://pic4.zhimg.com/v2-8aeb384dd4ffb5c44f6a5f_b.jpg& data-size=&small& data-rawwidth=&640& class=&origin_image zh-lightbox-thumb& width=&640& data-original=&https://pic4.zhimg.com/v2-8aeb384dd4ffb5c44f6a5f_r.jpg&&&/figure&&p&&br&&/p&&p&这篇文章呢分成两部分，&br&(1) 第一部分是期权各种不可描述姿势的推倒，我们熟悉的BS方程其实只是一个结果，其前面的推导过程貌似很多盆友也不是很熟悉，但我觉得前面的假设和一步步建模才是最有insight的地方，到了BS方程其实就已经只剩下求解偏微分这种苦力活。我半年前刚学这一块儿的时候没啥人指导也是学的比较零零散散，如果一开始就有一篇把整套逻辑都清晰梳理出来的文章会节省我不少精力，最近自己也确实需要认真准备quant的东西，正好试着来做这样一件事，权且当自己对这个部分的总结，也看看自己有没有理解错误的地方；&br&(2) 如果对公式不感兴趣或者已经很熟悉的盆友可以直接跳到第二部分，是我在学了BS公式之后对市场本质上的一些疑惑，欢迎开放性的讨论。&br&&/p&&p&呐，首先还是给一个FBI Warning，我是粒子物理专业，这些全都是自学的，所以如果出现了民科的地方请不要见笑，比个心~&/p&&p&&br&&/p&&p&&br&&/p&&p&&b&1.期权入门&/b&&/p&&p&1.1 Black-Scholes Model &/p&&p&1.2 Greeks&/p&&p&1.3 Implied Volatility and Volatility Surface&/p&&p&1.4 Random Walk &/p&&p&1.5 Brownian Motion&/p&&p&1.6 Stochastic Calculus&/p&&p&1.7 Markov Process and Martingale&/p&&p&&br&&/p&&p&&b&2.我们为什么能赚钱&/b&&/p&&p&&br&&/p&&h2&1.期权入门&/h2&&figure&&img data-rawheight=&1083& src=&https://pic3.zhimg.com/v2-2f5e7a18fe4e4db8492eca_b.jpg& data-size=&small& data-rawwidth=&1171& class=&origin_image zh-lightbox-thumb& width=&1171& data-original=&https://pic3.zhimg.com/v2-2f5e7a18fe4e4db8492eca_r.jpg&&&/figure&&p&&br&&/p&&p&下面开始尽量入门的介绍，我会先从比较实用的定价部分开始，然后再介绍比较理论推倒的部分。&br&其实想要真的掌握期权，特别是对期权hedging的操作，理解理论的数学公式肯定是逃不掉，我也会给出一些自学时候的理解，希望也能让同样没有相应背景的朋友理解起来更加直观一点。(就像machine learning一样，能用package只是很表面的skill，真正限制自己的是理解的深度，能从理论上融会贯通各个model什么时候应该怎么用会出现什么问题才是核心的竞争力)&br&&/p&&h2&1.1 Black-Scholes Model&/h2&&p&首先，BS公式是期权定价的核心(摘选自wiki)。&/p&&figure&&img data-rawheight=&516& src=&https://pic4.zhimg.com/v2-7d52bd580ac3cb0b3573_b.jpg& data-size=&normal& data-rawwidth=&1618& class=&origin_image zh-lightbox-thumb& width=&1618& data-original=&https://pic4.zhimg.com/v2-7d52bd580ac3cb0b3573_r.jpg&&&/figure&&p&上面这个方程就是传说中的Black-Scholes Model了，具体怎么得到的我们在理论部分会进行介绍。这个地方的V呢就是我们想要得到的call option的价格，之前提到的数学家和物理学家做的其实就是通过上面这个偏微分方程得到V的解，我们暂时先跳过这一部分的推导直接看方程的结果。&/p&&figure&&img data-rawheight=&1034& src=&https://pic1.zhimg.com/v2-2b65dbf03efb4c89dc00_b.jpg& data-size=&normal& data-rawwidth=&1616& class=&origin_image zh-lightbox-thumb& width=&1616& data-original=&https://pic1.zhimg.com/v2-2b65dbf03efb4c89dc00_r.jpg&&&/figure&&p&&br&&/p&&p&上面的第一个式子就是BS model的解了，也就是call option价格的解析解，这也是后面着重介绍的内容。&br&但期权定价其实是有两部分，除了call option之外我们还有相应的put option，第二个式子其实就是通过put-call parity的关系，再结合第一个式子得到的call的价格来对put定价。&br&&/p&&p&put-call parity的主要思路是设计两个收益相同的portfolio(一个含有call一个含有put)，自然他们定价也是一样，从而构建出call和put的等式，理解如下，&br&&/p&&figure&&img data-rawheight=&900& src=&https://pic3.zhimg.com/v2-e960e7eb5fe8d_b.jpg& data-size=&normal& data-rawwidth=&1324& class=&origin_image zh-lightbox-thumb& width=&1324& data-original=&https://pic3.zhimg.com/v2-e960e7eb5fe8d_r.jpg&&&/figure&&p&&br&&/p&&p&我们回到第一个部分Call的定价C(St, t)。&br&&/p&&p&可以看到这个式子中有5个参数。对于固定某个时间T，股票的价格是St，call option的strike price执行价格K，也知道这个call的maturity到期时间(T-t)，也知道risk free rate无风险利率r，正态分布N(·)的形式自然也都知道，剩下的一个就是传说中的volatility &img src=&http://www.zhihu.com/equation?tex=%5Csigma& alt=&\sigma& eeimg=&1&&。&/p&&p&当我们知道了call的理论价格之后呢，我们就可以利用第二个式子得到put的理论价格，同样也是受到这5个相同参数的影响。&/p&&p&这几个参数对期权价格的影响在上面的公式里可能看起来不是那么明显，下图可以帮我们有一个大概的感觉:&br&(下图拍自绿皮书 A Practical Guide to Quantitative Finance Interviews，推荐大家买来看看，无论是不是金融专业)&br&&/p&&figure&&img data-rawheight=&526& src=&https://pic4.zhimg.com/v2-1b263dc94c125ddff39b672ef98c7cd3_b.jpg& data-size=&normal& data-rawwidth=&1188& class=&origin_image zh-lightbox-thumb& width=&1188& data-original=&https://pic4.zhimg.com/v2-1b263dc94c125ddff39b672ef98c7cd3_r.jpg&&&/figure&&p&上面这个图就很清楚可以看到每个参数对期权价格的影响，但是只能告诉影响的方向(向上或者向下)，而不能告诉我们具体上上下下的幅度到底是多少(好像这么形容总觉得有点怪怪的，但身体却很诚实 ╮(╯▽╰)╭ )&br&&/p&&p&我们有从BS model得到的call option关于这5个参数的解析解，在市场中我们还可以得到这5个参数确切的值(这里暂且不讨论dividend)，就会想怎么衡量市场不断动态变化时相应这些参数的变化对option价格的影响幅度呢(比如说我预计明天股价会涨一块钱，那么期权价格会涨多少呢)。&br&从数学的角度，很自然我们就会联想到用一阶导数。因为一阶导数f'(x)代表的就是x的变化对于y值的影响大小。&br&所以我们也就想到可以把call option价格的这个解析解对每一个参数都求一阶导，这样就可以知道每个参数的变化对期权价格的影响大小。这里也就是期权hedging的核心部分了，Greeks。&/p&&p&&br&&/p&&h2&1.2 Greeks&/h2&&p&下面这个表就是每一个greek代表的一阶导和二阶导的具体形式了，下面我们来具体介绍每一个greek。&/p&&figure&&img data-rawheight=&592& src=&https://pic1.zhimg.com/v2-74594cce312fc69f8cfa77c_b.jpg& data-size=&normal& data-rawwidth=&1330& class=&origin_image zh-lightbox-thumb& width=&1330& data-original=&https://pic1.zhimg.com/v2-74594cce312fc69f8cfa77c_r.jpg&&&/figure&&p&&br&&/p&&p&&b&Delta&/b&&/p&&figure&&img data-rawheight=&126& src=&https://pic4.zhimg.com/v2-90a01c0fff_b.jpg& data-size=&normal& data-rawwidth=&1276& class=&origin_image zh-lightbox-thumb& width=&1276& data-original=&https://pic4.zhimg.com/v2-90a01c0fff_r.jpg&&&/figure&&p&首先我们要介绍的就是delta，也就是期权价格对股票价格的一阶导，或者说股票价格的变动对于期权价格的影响大小。&br&&/p&&p&但在介绍delta之前，我们需要对期权这个概念有一个大概的了解:&br&期权本质上交易的是一种未来的权利，而不是underlying asset本身。&br&每个期权都有一个特定的strike price，意思是到时候的行权价格。我们知道期权可以用来bet未来的股价涨跌，然后到期的时候是以strike price的价格来成交。&br&&/p&&figure&&img data-rawheight=&258& src=&https://pic3.zhimg.com/v2-941ebbff4ba_b.jpg& data-size=&normal& data-rawwidth=&195& class=&content_image& width=&195&&&/figure&&p&比如我买了苹果公司strike price@100块的call看涨期权，也就是未来到期的时候我可以根据实际情况选择要不要按照100块每股的价格从卖我期权的卖家那儿买一定数量苹果公司的股票。假设到期的时候股价变成了110块，那我自然愿意将这个期权行权把股票用100块买回来，因为转手在市场上卖掉每一股我就可以赚10块。但假设到期的时候股价反而跌了，变成了90块，那么我一般就会选择放弃这个期权，因为这样如果还用strike price@100块买回来就是亏的。对于put这就是反过来，因为put是看跌期权。&/p&&p&我们把这个例子画成一张图，这是call的收益 VS 到期日股价spot price:&/p&&figure&&img data-rawheight=&410& src=&https://pic1.zhimg.com/v2-aa89f229a3c4c6a44aee34_b.jpg& data-size=&normal& data-rawwidth=&580& class=&origin_image zh-lightbox-thumb& width=&580& data-original=&https://pic1.zhimg.com/v2-aa89f229a3c4c6a44aee34_r.jpg&&&/figure&&p&这里图中$100是期权的strike price，到期日苹果公司股价正好等于strike price的时候叫做At The Money(ATM)，我们可以根据这个值把这张图分成两个区域。&br&对于call来说，到期日如果股价小于期权strike price的区域叫做Out of The Money(OTM)，大于的区域叫做In The Money(ITM)。&br&&/p&&p&我们也可以看到当股价大于这个strike price 100的时候我们的profit是正的，并且是随着到期的股价越高我们的profit越高，斜率为1。简单一点来说就是当股票的价格大于strike price，也就是ITM的时候，我们的call期权才有正的profit。当到期的股价如果是处于OTM的时候，这个时候我们的profit是0。&/p&&p&&br&&/p&&p&对于put来说就是反过来如下图，未来股价大于strike price的区域叫做Out of The Money(OTM)，小于strike price的区域叫做In The Money(ITM)。&/p&&figure&&img data-rawheight=&406& src=&https://pic4.zhimg.com/v2-ebbbbc6775689bea1675af_b.jpg& data-size=&normal& data-rawwidth=&574& class=&origin_image zh-lightbox-thumb& width=&574& data-original=&https://pic4.zhimg.com/v2-ebbbbc6775689bea1675af_r.jpg&&&/figure&&p&从这个例子我们就可以看到，在到期的时候，无论是call option还put option，当到期日的股价处于ITM的时候我们的收益就是正的，并且ITM的程度就决定了我们的期权收益。这个很重要的概念就是moneyness。为了简便其实很多时候大家都不太关心股价和strike price的绝对值(从BS公式里面可以看到这两者在d1和d2里从来都是成双入对出现的)，而是直接用他们的比值moneyness来表示ITM和OTM的程度。这样100%就是代表的ATM，越偏离100%就说明越deep ITM或者deep OTM。(现在moneyness的概念就清楚很多了，后面还会在volatility surface里再提到)&/p&&p&&br&&/p&&p&需要注意的是，上面为了简便并没有考虑期权的时间价值这个参数(T-t)，或者说我们把BS式子(1)里面的time to maturity (T-t)这个参数看做了0，也就是只考虑了行权日的情况。&/p&&p&现在我们把这个参数加回去就可以得到如下的图：&/p&&figure&&img data-rawheight=&714& src=&https://pic3.zhimg.com/v2-3e8ec3fa5ffaf605dcb8a_b.jpg& data-size=&normal& data-rawwidth=&1278& class=&origin_image zh-lightbox-thumb& width=&1278& data-original=&https://pic3.zhimg.com/v2-3e8ec3fa5ffaf605dcb8a_r.jpg&&&/figure&&p&这张图的x轴是股票未来的价格S，y轴是call(蓝色)和put(红色) option的价格。这里先忽略那个underlying movement，其实代表的就是put-call parity，或者说call减去put的差值就是这个股票的forward的价值，后面会进一步解释。&/p&&p&这里我们可以看到之前简单粗暴的分段函数被光滑的曲线代替，但是在ITM和OTM的时候还是会无限接近之前的分段函数，差别最大的地方就在于ATM，这个地方因为不确定性最大所以这个期权的时间价值最大，后面theta的部分会讲。&/p&&p&&br&&/p&&p&回归到delta。&/p&&p&既然我们现在有了call和put价格光滑的曲线，delta又是期权价格对股票价格的一阶导，所以call和put的delta值其实就是这蓝红这两条线的斜率大小，我们画在一张图上：&br&&/p&&figure&&img data-rawheight=&850& src=&https://pic2.zhimg.com/v2-eedf3e55b34ab68202c9_b.jpg& data-size=&normal& data-rawwidth=&1098& class=&origin_image zh-lightbox-thumb& width=&1098& data-original=&https://pic2.zhimg.com/v2-eedf3e55b34ab68202c9_r.jpg&&&/figure&&p&&br&&/p&&p&根据call和put的斜率和0的大小，大于0的delta是call，小于0的delta是put。&br&并且我们可以明显看到call的的delta减去put的delta的值为1，这个也是由于put-call parity决定的。&br&&/p&&p&我们把上图改一下，x轴换成moneyness(注意call和put的moneyness是反的)&/p&&figure&&img data-rawheight=&712& src=&https://pic3.zhimg.com/v2-99faccc4ee7b8f3213836_b.jpg& data-size=&normal& data-rawwidth=&1284& class=&origin_image zh-lightbox-thumb& width=&1284& data-original=&https://pic3.zhimg.com/v2-99faccc4ee7b8f3213836_r.jpg&&&/figure&&p&&br&&/p&&p&这个图看起来就更为直观，我们可以看到call和put的delta在根据moneyness画出来的时候是对称的。所以相对moneyness，我们可以直接把call和put看做同一种东西，只是符号相反，这样处理起来比之前相差一个常数用起来更为方便。&br&并且在deep OTM的时候，put和call的delta都是0，因为当deep OTM的时候期权其实就没有价值了，所以也就不随着underlying股价的变化而变化；而deep ITM的时候delta都是1，因为当deep ITM的时候underlying股价完全dominant期权价格，而其时间价值可以忽略不计，一比一的完全跟随underlying股价变化而变化。&br&&/p&&p&现在我们知道了call和put的delta，聪明的你可能会问，既然delta的定义是期权价格对于股价的敏感度，比如股价涨1块钱，我的call期权就会涨一个delta的价格，那我如果现在买了delta个期权的同时再short一个股票，我的整个portfolio不就不会随着股票价格的波动而波动了么？&/p&&figure&&img data-rawheight=&640& src=&https://pic3.zhimg.com/v2-30ee9d45f8df5a91b75f3e3a2f7f4c06_b.jpg& data-size=&small& data-rawwidth=&640& class=&origin_image zh-lightbox-thumb& width=&640& data-original=&https://pic3.zhimg.com/v2-30ee9d45f8df5a91b75f3e3a2f7f4c06_r.jpg&&&/figure&&p&这就是现实期权和portfolio操作里面很重要的一个部分，也是理论推导BS model里面很重要的一个insight，那就是delta hedging。&/p&&p&具体的内容就是根据自己portfolio算出来delta是多少，然后short相对应数目的股票，这样就可以使得整个portfolio的delta为0。大概的图就是这样(网上搜了半天都没找到类似的图，只有自己画了…):&/p&&figure&&img data-rawheight=&876& src=&https://pic2.zhimg.com/v2-84fb01cfd99ac1f6f8261_b.jpg& data-size=&normal& data-rawwidth=&1570& class=&origin_image zh-lightbox-thumb& width=&1570& data-original=&https://pic2.zhimg.com/v2-84fb01cfd99ac1f6f8261_r.jpg&&&/figure&&p&可以假设一开始我们拿着一个call，但是我们想要让这个call呢独立于股价S的变动，这个时候股价在S1，我们算出来这个时候的delta是delta1，然后我们short了delta1个股票，使得当下的delta变成了0，也就是现在整个portfolio(这个call-delta1个股票)已经几乎独立于股价变动了。然后过了一段时间股价变成了S2，此时我们又需要重新hedge delta使其再次变成0，算出来此时的delta是delta2，但是是负数，所以我们此时应该long delta2的股票，然后整个portfolio就变成了这个call-delta1个股票+delta2个股票，再次独立于股价的变化。&/p&&p&&br&&/p&&p&有的同学可能会有疑问，为什么我们想要整个portfolio独立于股价的变动呢？&br&那是因为这样利于我们控制整个portfolio的风险。我们可以选择性的暴露一些风险来获得收益，但又不想让整个portfolio完全裸露在市场的波动下，而期权就正好可以用来帮助我们精确地hedge掉各项风险。&br&&/p&&p&有的同学可能还会有疑问，不是说portfolio的delta为0的时候就已经独立于股价变动了么，为什么还要hedge来hedge去的？&br&这是因为我们一阶导的delta已经hedge掉了，但是由于这个加入了时间价值的曲线并不是linear的函数，而是exponential的(可以看到BS的解里面的exponential项)，所以还有更高阶的curvature我们并没有hedge掉。没有完全hedge掉风险更根本的原因我感觉其实是在运用Ito’s lemma的时候我们仅仅用了一阶展开，从而更高阶的布朗运动其实是被忽略掉了。我想如果在用Ito’s lemma的时候如果展开到higher orders，那么是不是这一块儿就会被自动考虑进hedgeing这个部分，但方程肯定会复杂的多，不知道有没有人试过。&br&&/p&&p&当下我们还是回到传统的delta hedging。那可能又有疑问了，如果是exponential的话那hedge的阶数不是子子孙孙无穷匮也了么？&br&幸运的是，这个曲线的高阶导数的变化并不是那么快，甚至delta的变化都并不是那么大(只需要隔一段时间hedge一次)。所以我们最多就需要再hedge二阶导数，也就是下面要讲的gamma了。&br&&/p&&p&当然这里需要提一下，其实像高阶的Gamma这一类的curvature也是可以hedge掉的，但是不能通过long/short股票的方式(因为underlying asset只能线性的hedge)，而是只能通过其他有相同curvature的衍生品来hedge。&/p&&p&&br&&/p&&p&&b&Gamma&/b&&/p&&figure&&img data-rawheight=&146& src=&https://pic2.zhimg.com/v2-9d6d11bd656df87e54fe4e1d560d138d_b.jpg& data-size=&normal& data-rawwidth=&1274& class=&origin_image zh-lightbox-thumb& width=&1274& data-original=&https://pic2.zhimg.com/v2-9d6d11bd656df87e54fe4e1d560d138d_r.jpg&&&/figure&&p&&br&&/p&&p&我们知道gamma是期权价格对股价的二阶导，其实也就是delta的一阶导。&/p&&p&首先我们上个图，这就是gamma和delta的对比。&br&&/p&&figure&&img data-rawheight=&698& src=&https://pic3.zhimg.com/v2-efcafa929c6_b.jpg& data-size=&normal& data-rawwidth=&1332& class=&origin_image zh-lightbox-thumb& width=&1332& data-original=&https://pic3.zhimg.com/v2-efcafa929c6_r.jpg&&&/figure&&p&还有不同time to maturity的期权的Gamma：&/p&&figure&&img data-rawheight=&300& src=&https://pic3.zhimg.com/v2-3a583edd7d61e70b38f9cfc645bb6666_b.jpg& data-size=&normal& data-rawwidth=&468& class=&origin_image zh-lightbox-thumb& width=&468& data-original=&https://pic3.zhimg.com/v2-3a583edd7d61e70b38f9cfc645bb6666_r.jpg&&&/figure&&p&由于上面我们知道call和put的delta只相差一个常数1，所以call和put的gamma是identical的，并且都是正值。&br&而且图中我们也可以看出来gamma在ATM的时候最大，也就说明了delta在ATM的时候斜率最大，即对股价的变化最敏感。&br&&/p&&p&并且从gamma的公式里面的分母可以看出来，如果time to maturity是0也就是行权日的时候，gamma就变成了“delta” function。此时的delta是step function，也就是要么0要么1。&/p&&p&&br&&/p&&p&而且在上面delta hedging的图里面，细心的童鞋也许可以发现我画的整个portfolio的return在每次股价变化的时候是越来越高的。&/p&&figure&&img data-rawheight=&876& src=&https://pic2.zhimg.com/v2-84fb01cfd99ac1f6f8261_b.jpg& data-size=&normal& data-rawwidth=&1570& class=&origin_image zh-lightbox-thumb& width=&1570& data-original=&https://pic2.zhimg.com/v2-84fb01cfd99ac1f6f8261_r.jpg&&&/figure&&p&这是因为通过对比Gamma和Vega(后面会介绍，是对波动率的一阶导)的式子我们可以发现，&/p&&figure&&img data-rawheight=&280& src=&https://pic1.zhimg.com/v2-feee80f0be4badfb80177c_b.jpg& data-size=&normal& data-rawwidth=&1318& class=&origin_image zh-lightbox-thumb& width=&1318& data-original=&https://pic1.zhimg.com/v2-feee80f0be4badfb80177c_r.jpg&&&/figure&&p&这一段是来自于Taleb的dynamic hedging这本书。&br&&/p&&p&所以我们在delta hedging过后还有long Gamma的时候，其实也是在long Vega，也就是long volatility。当股价变化的时候，无论是涨还是跌，都会贡献volatility，也就都会让我们有正向的收益。&br&所以有句话叫买期权其实就是在long Gamma，也就是在long Vega和volatility。&/p&&p&但是，怎么感觉像天上可以掉馅饼的感觉呢？整个portfolio没有了跟随股价波动的风险，当股价波动的时候还会给我们带来收益？&/p&&figure&&img data-rawheight=&292& src=&https://pic2.zhimg.com/v2-4e08b0d9fdd_b.jpg& data-size=&normal& data-rawwidth=&306& class=&content_image& width=&306&&&/figure&&p&天上自然是不会掉馅饼。&br&世上没有永动机，自然也没有高额的无风险回报(下面讲了理论部分之后会体会更深)。&br&&/p&&p&这是因为我们还有Theta这个东西，也就是接下来会讲到的另一个greek。&br&&/p&&p&&b&Theta&/b&&/p&&figure&&img data-rawheight=&144& src=&https://pic3.zhimg.com/v2-d8de089b3b513b88a245a_b.jpg& data-size=&normal& data-rawwidth=&1334& class=&origin_image zh-lightbox-thumb& width=&1334& data-original=&https://pic3.zhimg.com/v2-d8de089b3b513b88a245a_r.jpg&&&/figure&&p&Theta的定义是期权价格对时间(准确的说是time to maturity)的一阶导。&br&&/p&&p&我们可以先看看Theta的图长什么样子：&/p&&figure&&img data-rawheight=&422& src=&https://pic3.zhimg.com/v2-d140cda8ddbb740d78fa2d71b32e1d3e_b.jpg& data-size=&normal& data-rawwidth=&575& class=&origin_image zh-lightbox-thumb& width=&575& data-original=&https://pic3.zhimg.com/v2-d140cda8ddbb740d78fa2d71b32e1d3e_r.jpg&&&/figure&&p&从图里面我们可以看到Theta的值是负的(这句话其实并不严谨，因为如果考虑进来dividends，还有美欧式期权，Theta是有一些特殊情况下可能是正的，换句话说其实有时候提前行权是会更优，比如deep ITM的美式put)，也就是说当剩余的时间愈来愈少的时候，期权的时间价值会越来越小。这就是为什么上面提到的Delta hedge之后，虽然我们可以从波动率里面获得收益，但是一般来说Theta decay的损失会overwhelm从long Vega里面得到的收益。当然，如果出现了long Vega大于Theta的情况，那其实就是一个很好的套利机会。&/p&&p&&br&&/p&&p&其实从BS model里面我们可以直接从公式的角度同样看到这个Gamma和Theta之间的tradeoff。&/p&&figure&&img data-rawheight=&512& src=&https://pic1.zhimg.com/v2-bee371b5a38fb5c4b9fdab6c_b.jpg& data-size=&normal& data-rawwidth=&1602& class=&origin_image zh-lightbox-thumb& width=&1602& data-original=&https://pic1.zhimg.com/v2-bee371b5a38fb5c4b9fdab6c_r.jpg&&&/figure&&p&&br&&/p&&p&上面的BS equation其实可以转化成greeks来表示，也就是&br&Theta+1/2 * Volatility^2 * S^2 * Gamma + r * S * delta = r * Call_price&br&这里我们的delta已经被hedge，所以上式变成&br&Theta+1/2 * Volatility^2 * S^2 * Gamma
= r * Call_price&br&&/p&&p&从这个式子里面我们就可以看到，大部分情况下，Theta和Gamma都是一负一正的trade off。当接近maturity的时候，Theta是很大的负数，Gamma是很大的正数。&/p&&p&并且当我们的股价S保持不变的时候，由于Gamma也不会变化，所以上面的式子里面右边的Call_price的变化就取决于Vega的变化，但我们又知道Theta是负值，所以Call_price的价格会随着时间价值的消失而越来越低。&/p&&p&&br&&/p&&p&下图是Theta相对time to maturity的变化，我们可以把速度看得更明显：&/p&&figure&&img data-rawheight=&315& src=&https://pic3.zhimg.com/v2-11a27c390b45a3d1da0f3e3c1ba0700a_b.jpg& data-size=&normal& data-rawwidth=&459& class=&origin_image zh-lightbox-thumb& width=&459& data-original=&https://pic3.zhimg.com/v2-11a27c390b45a3d1da0f3e3c1ba0700a_r.jpg&&&/figure&&p&这个图里面我们可以看到随着越来越接近行权日，Theta是会变得越来越负，这样期权的时间价值也会损失的越来越快。&br&&/p&&p&下面我们来看一看期权时间价值损失长什么样子：&br&&/p&&figure&&img data-rawheight=&371& src=&https://pic1.zhimg.com/v2-017cd0e977d0f02fafe0c739707ccc70_b.jpg& data-size=&normal& data-rawwidth=&550& class=&origin_image zh-lightbox-thumb& width=&550& data-original=&https://pic1.zhimg.com/v2-017cd0e977d0f02fafe0c739707ccc70_r.jpg&&&/figure&&p&一切正如我们所料，我们可以看到期权的时间价值会由于Theta相对time to maturity的变化而损失的越来越多。&br&&/p&&p&不过Theta的形状其实也是可以利用的，比如大家都喜欢sell ATM的option。比如下图，&/p&&figure&&img data-rawheight=&824& src=&https://pic3.zhimg.com/v2-740f062c502ff9c1707f62_b.jpg& data-size=&normal& data-rawwidth=&1394& class=&origin_image zh-lightbox-thumb& width=&1394& data-original=&https://pic3.zhimg.com/v2-740f062c502ff9c1707f62_r.jpg&&&/figure&&p&我们可以看到Theta在ATM和接近行权日的时候最负，所以我们可以long一个远离ATM的option，然后short一个接近ATM的option，这样我们就可以吃他们中间这一段Theta。&/p&&p&当然，也只是理论上。。。&/p&&figure&&img data-rawheight=&690& src=&https://pic1.zhimg.com/v2-eae82d08b4b21e4aa81120_b.jpg& data-size=&small& data-rawwidth=&690& class=&origin_image zh-lightbox-thumb& width=&690& data-original=&https://pic1.zhimg.com/v2-eae82d08b4b21e4aa81120_r.jpg&&&/figure&&p&&br&&/p&&p&&b&Vega&/b&&/p&&p&还是先看看Vega的式子，是期权价格对于波动率volatility的一阶导：&/p&&figure&&img data-rawheight=&144& src=&https://pic2.zhimg.com/v2-beb04d60d3f5e45bda4b8c549a9cbd55_b.jpg& data-size=&normal& data-rawwidth=&1300& class=&origin_image zh-lightbox-thumb& width=&1300& data-original=&https://pic2.zhimg.com/v2-beb04d60d3f5e45bda4b8c549a9cbd55_r.jpg&&&/figure&&p&说到波动率，可以说是期权里面最重要的一个概念了。不过这里暂时只讲Vega，波动率volatility留到下一节implied volatility和volatility surface再详细介绍。&/p&&figure&&img data-rawheight=&1052& src=&https://pic4.zhimg.com/v2-260a59eec19d380624bbd40d9b9cbe63_b.jpg& data-size=&normal& data-rawwidth=&1436& class=&origin_image zh-lightbox-thumb& width=&1436& data-original=&https://pic4.zhimg.com/v2-260a59eec19d380624bbd40d9b9cbe63_r.jpg&&&/figure&&p&上面我们可以看到Vega很明显的skewness，应该就是由于之前提到的下面Vega和Gamma关系中的S^2导致&/p&&figure&&img data-rawheight=&280& src=&https://pic1.zhimg.com/v2-feee80f0be4badfb80177c_b.jpg& data-size=&normal& data-rawwidth=&1318& class=&origin_image zh-lightbox-thumb& width=&1318& data-original=&https://pic1.zhimg.com/v2-feee80f0be4badfb80177c_r.jpg&&&/figure&&p&但是和Gamma一样，在ATM的时候Vega也是最大值。也就是说在ATM的时候，期权价格对于volatility的变化最敏感。同样也非常make sense， 因为在ATM的时候股价或者volatility变动一点就变成了OTM，导致期权的价格会变化非常大。&/p&&p&&br&&/p&&h2&1.3 Implied Volatility and Volatility Surface &/h2&&p&(这一段节选自上一篇文章machine learning的利用PCA来模拟volatility surface，正好当时挖的坑现在填掉~)&/p&&figure&&img data-rawheight=&300& src=&https://pic4.zhimg.com/v2-1ab8d5cab74e5d64ae97_b.jpg& data-size=&normal& data-rawwidth=&300& class=&content_image& width=&300&&&/figure&&p&volatility是一个什么东西呢？volatility是波动率，也就是期权underlying的标的价格的标准差。你如果问我标准差怎么算，我只能说去Google一下，计算讲的太细节估计都看睡着了...&/p&&p&所以假如我们知道volatility呢，我们就可以知道这个Call的理论价格，也就可以衡量当市场上Call的实际价格是高还是低，高了呢我们就可以卖，低了呢我们就可以买。&br&可惜天上不会掉馅饼，因为我们不知道volatility...&br&&/p&&p&接下来还得知道BS公式的假设前提:&/p&&figure&&img data-rawheight=&740& src=&https://pic2.zhimg.com/v2-d416eac960c1fd_b.jpg& data-size=&normal& data-rawwidth=&2100& class=&origin_image zh-lightbox-thumb& width=&2100& data-original=&https://pic2.zhimg.com/v2-d416eac960c1fd_r.jpg&&&/figure&&p&我们就可以看出BS模型的一个弊病了，那就是它假设underlying标的价格的波动率volatility是一个常数，跟strike price还有maturity没有半毛钱关系。&br&这明显是不符合实际情况的，因为市场会对对于不同的strike price和maturity有不同的预期和偏好，导致市场对于未来波动率的预期也会不一样。&br&&/p&&p&&br&&/p&&p&但是！&br&我们虽然不能用波动率来算出来期权的理论价格，可是我们可以反过来呀~&br&我们有期权的市场价格，还有BS公式里面其他一系列的变量，比如strike price K，期权的maturity(T-t)，也知道risk free rate r等等，就可以反过来求出来理论上的波动率。这样我们就可以知道市场对于未来的underlying标的的波动率预期了。&br&具体怎么算出来的，简单一点说就是当其他变量已知也就是固定的时候，期权的价格和波动率是一个单调递增的关系(如果对Greek有了解的，其实就是因为期权价格对波动率求一阶导的Vega是正值)，所以不断试 的值就可以最终match到当下的期权价格上面，自然也就是对应的波动率的解了。&/p&&p&看到这儿，很多人心里是不是在想，“尼玛，这货说了这么多，implied volatility到底有啥用？”&/p&&p&首先呢，implied volatility对于期权玩家的重要性不言而喻。&br&假设市场的每个参与者都使用BS模型定价，由于模型所需的其他输入值比如执行价格、所剩期限、标的价格还有无风险利率都是相对固定的，人跟人对于期权价格的看法就是取决于他们对于未来这个资产的波动率了。假设有一个人巴菲特附体如有神助，对于未来资产波动率的预测百发百中如入无人之境，那么他(她)就可以根据自己预测的期权的价格跟实际的期权价格作对比来低买高卖，赚的就是别人对波动率的预测都很弱鸡。&br&但是可惜的是，这种外星人是不可能存在的，不然早就是世界首富了。当然如果有个人弄出来一个模型可以准确预测资产未来的波动率，那也超神了。&br&&/p&&p&所以对于我们一般战斗力只有5的地球人怎么办呢？&br&我们可以反其道而行之，利用将已经是事实的市场的期权价格代入BS公式中算出来大家对于未来波动率的预期，也就是隐含波动率。因为期权价格是市场上供求关系平衡下的产物，是买卖双方博弈后的结果，所以隐含波动率反映的是未来市场对标的产品波动率的看法。&br&但是，算出来有什么用呢？&br&我们除了隐含波动率，还有一个波动率叫做历史波动率。这个东西其实算出来也挺简单的，只要我们有underlying标的的价格变化历史数据，就可以用统计的公式算出来标准差，也就是波动率。而且我们发现一件什么事情呢，那就是历史的年化波动率是处于一个区间，会有回归均值的一个特性(做swing交易的同学应该最熟悉了)，并且离开越远回归的速度就越快。比如说有一个股票，历史波动率都是在10%到30%之间，这样我们就可以知道从现在期权市场价格算出来的隐含波动率在历史上是处于高还是低的位置，同样可以做到低隐含波动率的时候买期权高隐含波动率的时候卖期权。但这里有一个问题就是历史波动率的区间，不代表就真的不会飞出区间去，当发生重大事件或者传说中的黑天鹅的时候隐含波动率也会变很极端，比如Black Monday的时候飞到了150，08年金融危机的时候也飞到了80。&/p&&figure&&img data-rawheight=&1002& src=&https://pic1.zhimg.com/v2-4be489d35f77bf27aac1a93d1604046c_b.jpg& data-size=&normal& data-rawwidth=&1404& class=&origin_image zh-lightbox-thumb& width=&1404& data-original=&https://pic1.zhimg.com/v2-4be489d35f77bf27aac1a93d1604046c_r.jpg&&&/figure&&p&&br&&/p&&p&当然，做均值回归有点投机的感觉。有的同学可能觉得太low，我可是做价值投资的，只是想利用期权对冲一下风险。&br&同样，隐含波动率也很有用的！因为当确认了自己想投资的标的方向之后，可以把隐含波动率跟历史波动率作对比，权衡一下此时买入期权是不是划得来。也可以对不同strike price和maturity的期权进行横向比较，毕竟都是针对同一个资产，自然希望在满足了自己的需求买(卖)的情况下期权的价格越低(高)越好咯。&br&期权是一个非线性的工具，但是市场参与者使用这个工具的方法不同，还有对于这个工具的效果值不值多少钱也有不同的判断。借路哥的说法，“有可能是在合适的价位去“赌”不符的收益，有可能是对标的的未来走势有一定的看法，希望通过期权来表达意愿，有可能是对冲掉某些风险，有可能是和历史数据有偏离所以进场希望当前是misprice等着回归赚钱，等等”。&/p&&p&&br&&/p&&p&好了，对于基本的期权概念应该有一个大概的sense了，接下来我们就来详细解释一下之前那张volatility surface的图。&/p&&figure&&img data-rawheight=&830& src=&https://pic2.zhimg.com/v2-bcae3c7f3c2bd322ede41_b.jpg& data-size=&normal& data-rawwidth=&2172& class=&origin_image zh-lightbox-thumb& width=&2172& data-original=&https://pic2.zhimg.com/v2-bcae3c7f3c2bd322ede41_r.jpg&&&/figure&&p&(此图是在之前读伽玛交易员的一篇文章存下来的，感谢之~)&/p&&p&来两个动图感受一下：&/p&&a class=&video-box& href=&http://link.zhihu.com/?target=https%3A//www.zhihu.com/video/287680& target=&_blank& data-video-id=&& data-video-playable=&true& data-name=&& data-poster=&https://pic4.zhimg.com/v2-de0e0cbad080d84cb19d.jpg& data-lens-id=&287680&&
&img class=&thumbnail& src=&https://pic4.zhimg.com/v2-de0e0cbad080d84cb19d.jpg&&&span class=&content&&
&span class=&title&&&span class=&z-ico-extern-gray&&&/span&&span class=&z-ico-extern-blue&&&/span&&/span&
&span class=&url&&&span class=&z-ico-video&&&/span&https://www.zhihu.com/video/287680&/span&
&p&&br&&/p&&a class=&video-box& href=&http://link.zhihu.com/?target=https%3A//www.zhihu.com/video/856128& target=&_blank& data-video-id=&& data-video-playable=&true& data-name=&& data-poster=&https://pic2.zhimg.com/80/v2-1ae4d788d1d63ae285e51_b.jpg& data-lens-id=&856128&&
&img class=&thumbnail& src=&https://pic2.zhimg.com/80/v2-1ae4d788d1d63ae285e51_b.jpg&&&span class=&content&&
&span class=&title&&&span class=&z-ico-extern-gray&&&/span&&span class=&z-ico-extern-blue&&&/span&&/span&
&span class=&url&&&span class=&z-ico-video&&&/span&https://www.zhihu.com/video/856128&/span&
&p&期权交易员对volatility surface都会非常熟悉，因为这一定程度上就是自己根据市场情况做trade和进行风险对冲的基础。&br&&/p&&p&volatility surface呢，是一个三维图，Z轴是隐含波动率，X和Y轴分别是moneyness和term(也许不同的软件会有不同的名字，这里借鉴Bloomberg的表示)。moneyness的意思就是期权strike price和underlying标的的价格的ratio，这里以call为例，分为in-the-money(strike price小于underlying标的的价格，ratio小于100%的区间)，at-the-money(strike price等于underlying标的的价格，也就是图中的ratio等于100%的位置)还有out-of-the-money(strike price大于underlying标的的价格，ratio大于100%的区间)这三种状态。如果是put的话strike price和underlying标的价格的关系则是反过来。term的意思呢，就是不同的到期日。&br&&/p&&p&所以呢，我们可以把未来每一个到期日的每一个strike price和其算出来的隐含波动率画在一张3D的图上，这个就是volatility surface了。上图中右上角的是volatility VS term的二维横截面曲线，右下角是volatility VS moneyness的二维横截面曲线。可以说volatility surface包含了绝大部分我们需要了解的volatility的信息，而上面也介绍了volatility又是期权的核心，自然volatility surface的重要性也就不言而喻了。&/p&&p&Derman的报告《regimes of volatility》里面描述vol surface也说过一句话，作为一个合格的市场参与者，如果有人跟你说volatility涨起来了，你应该问一句“哪一个volatility？” 果然也是高能物理出身的，这个逼我觉得应该给满分。&/p&&p&既然volatility surface这么重要，那么如果我们可以预测未来的volatility surface是不是就相当于我们可以预测implied volatility进行交易了呢？&/p&&figure&&img data-rawheight=&219& src=&https://pic2.zhimg.com/v2-540c80f24d35a_b.jpg& data-size=&normal& data-rawwidth=&230& class=&content_image& width=&230&&&/figure&&p&因为如果仅仅根据历史波动率进行交易，很明显我们丢掉了其他的很多有用的东西，仅仅只留下了波动率大小这一个信息。但如果根据整个volatility surface的历史数据进行分析，对我们的预判的帮助会更大。在知乎上面看到说成功的期权交易，是做整个曲面的变化，这涉及的是曲面的smile/skew(下面会介绍)，和曲面的整体高低位置，前者贡献利润的10%，后者贡献利润的90%。这也是为什么建模拟合vol surface是非常重要的一件事情，特别是对于大投行需要准确对冲风险的情需求下。&/p&&p&&br&&/p&&p&好了，铺垫了这么多，接下来介绍利用PCA来分析volatility surface的信息。&br&这里选择的underlying标的是USDJPY(美元兑日元)，至于为什么选这个，我感觉可能是想了解美日间carry trade的情况，而且日元是外汇市场非常重要的组成部分。&br&&/p&&p&接着我们看看具体怎么将PCA应用在USDJPY的volatility surface上面。&br&volatility surface是一个三维的图像，Z轴是隐含波动率implied volatility，X和Y轴分别是moneyness和term。&br&对于PCA我们知道它做的事情是线性旋转变量高位空间，将所有的变量Xi线性组合成几个大的因子(主成分)Zi，所以问题就来了，我们的Xi到底哪些。&br&这里我们有的是implied volatility，moneyness还有term的信息。但我们并不能将他们全部作为Xi，因为虽然volatility是连续的数值，但term和moneyness的信息是固定的点。&br&所以我感觉这里有一个trick就是将每天的volatility的变化值作为Xi的值，而moneyness还有term的信息作为Xi的位置。&br&估计这么讲会有点混乱，画一张图就清楚了。&/p&&figure&&img data-rawheight=&3024& src=&https://pic4.zhimg.com/v2-7d263fb6c10b9ec3a6e7f6b_b.jpg& data-size=&normal& data-rawwidth=&4032& class=&origin_image zh-lightbox-thumb& width=&4032& data-original=&https://pic4.zhimg.com/v2-7d263fb6c10b9ec3a6e7f6b_r.jpg&&&/figure&&p&&br&&/p&&p&我们这里可以将所有的点都拉成一条线作为Xi，然后每天都有一列数据Xi。这样处理我们就将整个volatility surface变为了一列变量Xi，因为每天都有一个volatility surface，所以每天可以作为一个observation。&br&这样就将volatility surface的问题转化成了PCA的问题，我们想要找若干个由Xi线性组合成的大因子Zi，使得这些个Zi的方向最大程度的代表所有的点的信息(每天可以看做是这个Xi维空间上的一个点)。换做实际问题的解释，这些Xi的信息其实就是每天的整个volatility surface的信息，然后找到的由Xi线性组合成的大因子Zi的volatility surface可以最大的程度代表历史上所有天数的volatility surface的信息。&br&&/p&&p&报告里面呢，选取了前三个主成分Z1，Z2和Z3，分别的图如下:&/p&&figure&&img data-rawheight=&1142& src=&https://pic1.zhimg.com/v2-41bfadad751da4a4612fbdff85313fd8_b.jpg& data-size=&normal& data-rawwidth=&1824& class=&origin_image zh-lightbox-thumb& width=&1824& data-original=&https://pic1.zhimg.com/v2-41bfadad751da4a4612fbdff85313fd8_r.jpg&&&/figure&&p&然后PCA还有一个好处呢，就是可以算出来每一个合成的大因子(主成分)对于所有点的解释程度(上图右下)，也就是包含了数据中多少比例的信息。具体的方法叫做“proportion of variance explained(PVE)”，做法就是算出来这个大因子的variance和数据整体的variance之间的比例。&br&所以这里我们就找到了前三个大因子的贡献率分别是88%，4.8%和3.66%，&br&&/p&&p&下图就是这三个主成分大因子在历史上不同时间的解释能力。可以看到第一个主成分的解释能力保持恒定，并且几乎都在80%以上。&/p&&figure&&img data-rawheight=&738& src=&https://pic3.zhimg.com/v2-05fef1abdaffd96c89d9ba_b.jpg& data-size=&normal& data-rawwidth=&1698& class=&origin_image zh-lightbox-thumb& width=&1698& data-original=&https://pic3.zhimg.com/v2-05fef1abdaffd96c89d9ba_r.jpg&&&/figure&&p&知道了能代表所有历史上volatility surface的这3个主成分之后我们自然能做的事情就很多了。&br&比如依据第一个主成分来判断delta hedge ratio(这里delta是期权价格对于underlying标的价格的一阶导，可以当做期权的价格对underlying价格变化的灵敏程度)，也就是hedge delta使得整个portfolio独立于underlying标的价格变化(但实际上delta hedge只能解决一阶的hedge，二阶gamma的hedge因为是非线性所以只能依靠另外的期权来进行hedge)。还可以把前几个主成分单独拿出来，对剩下的residual做均值0的回归。&br&(上面只是用PCA来重建vol surface，其他的方法比如spline其实也经常用来做这件事，并且也有一些smoothing曲面上那些spike的方法。)&/p&&p&并且从这三个主成分大因子得到的volatility surface图中我们就可以看出来一些信息，对于固定maturity的情况下当moneyness是in-the-money的时候，implied volatility是很高的，说明了随着in-the-money的程度市场对于USDJPY的看跌程度是越来越大的。如果对于外汇市场了解的盆友可能就知道了，这就是因为日元往往被当做避险货币。&/p&&p&&br&&/p&&p&为了避免观众对外汇市场不熟悉，这里讲点日元这个特殊货币的背景，那就是日元具有避险功能。我大概总结了一下，仅作参考。&br&(1) 日本的常年低息政策，我们都知道在经济不好的情况下就会降息，如果已经是低息的话降息的空间就有限，利率降的越多货币越弱势，所以日元贬值的空间有限&br&(2) 同时也是由于日本低息的环境，所以国际环境好的时候很多人是借入日元然后买入其他高息的货币进行carry trader套利(就像美元QE的时候美国利息低大家会借入美元买入人民币投资中国市场)，但是一旦国际环境恶化，买入的货币国家会实行降息然后贬值，投资的风险喜好也变为保守，这样套利就没有办法继续维持，大家就会卖出买入的其他国家货币然后买回日元还掉以前介入日元的债务，这样就进一步推高日元和日本的汇率，同时也压低其他国家的货币。&br&(3) 日本的不管政府或者民间的资本在国际环境好的时候喜欢投资海外的资产，譬如政府的养老金基金，当外部环境变差的时候，这部分资金也会卖出资产回流日本换成日元，即使不换回日元也会买入看多日元的衍生品(期权或者期货等)来对冲风险，都会进一步推高日元。&br&(4) 日元的池子大，流通性好，外部环境变好之后随时可以再卖掉&br&(5) 大家只要一出事就做多日元已经是习惯了。。。所以形成了一个自我实现的循环。&br&&/p&&p&其实上述对于固定maturity的情况下volatility随着moneyness变化的现象就是有名的“volatility smile(skew)”。具体这里不详细说，因为模型假设的是underlying标的的收益率并符合标准的正态分布，但实际上市场上由于不同的风险偏好产生了期权的尖峰肥尾现象，肥尾的方向也就代表了implied volatility的smile(skew)方向。产生的原因也有很多paper探讨，暂时没有一个固定的说法。&/p&&p&对于期权有一点需要注意或者可以利用，因为涨和跌并不是对称的，涨的时候总是缓慢的波动率低的，跌的时候总是摧枯拉朽波动率高的，期权价格呢又跟波动率有关，所以呢我们可以利用这一点。譬如说买put，一方面如果资产真的下跌，put本身由于moneyness和intrinsic value会增值；另一方面资产下跌的时候会引起恐慌增加波动率，也会使得期权增值，所以其实两方面的动力会一起做贡献让put的价格飞起来很快。还记得前段时间的50 cent先生么？大家一开始都嘲笑这哥们脑子有病每天给市场送钱，现在才发现这哥们真牛逼。其实吧，他就是利用了期权波动率不对称这一点，疯狂在波动率低的时候扫货买便宜的put，一旦市场有点风吹草动导致哪怕一天的恐慌，向下的利润是非常丰厚的，远远超过前期裸买put的成本投入。当然，别人是建立在对当时整个市场情绪非常敏感的正确判断前提下才敢这么单边做期权，还冒着成为各国基金经理永远嘲笑的二逼的风险，这种勇气我还是很佩服的，实至名归。对于不了解资本市场的同学呢，不要看了之后脑门一热以为股神附体就all in了，成功了是big short不成功就变big idiot，老婆本都亏光了不要怪我，我代表华夏三千万单身汉同志欢迎你的加入~&/p&&figure&&img data-rawheight=&722& src=&https://pic2.zhimg.com/v2-5b3d9a9af12c0aa5ea4d175bfe2922c9_b.jpg& data-size=&normal& data-rawwidth=&1770& class=&origin_image zh-lightbox-thumb& width=&1770& data-original=&https://pic2.zhimg.com/v2-5b3d9a9af12c0aa5ea4d175bfe2922c9_r.jpg&&&/figure&&p&&br&&/p&&p&还有一个关于vol的小tips也介绍一下。&/p&&p&我们其实还可以根据VIX的值来倒推回去期权市场对市场未来波动大小的预期，但有一个隐含的假设前提是市场收益在每个时间段都符合正态分布(这其实也是布朗运动的假设，下面我们会提到)，然后算出来一个sigma的大小，得到波动的范围。&br&&/p&&p&下面我就举个例子会清晰很多，&br&首先稍微介绍一下臭名昭著的vix这个index是个什么东西，&br&vix其实是从未来30天期权市场还有BS方程算出来的市场预期的年化波动率，也就是implied volatility。&br&(代表vol的VIX的计算公式可以参考CBOE的官方文件，&a href=&http://link.zhihu.com/?target=http%3A//www.cboe.com/micro/vix/vixwhite.pdf& class=& external& target=&_blank& rel=&nofollow noreferrer&&&span class=&invisible&&http://www.&/span&&span class=&visible&&cboe.com/micro/vix/vixw&/span&&span class=&invisible&&hite.pdf&/span&&span class=&ellipsis&&&/span&&/a&)&br&&/p&&p&假如vix是17的时候，这样根据CBOE的vix的算法，vix=sigma*100，&br&所以一年收益的正态分布的一个标准差sigma的值就是 sigma=0.17，或者说是17%。&br&假如现在大盘spy在$265的地方，那么一年的波动大小就是17% * $265 = $45&br&&/p&&p&同样我们可以从vix算出来市场预期的每个月和每天的的波动大小，&/p&&p&每月的sigma = 0.17/sqrt(12) = 0.049 = 4.9%，波动大小是4.9% * $265 = $13&/p&&p&每天的sigma = 0.17/sqrt(255) = 0.01 = 1%，波动大小是1% * $265 = $2.6&br&&/p&&p&这个粗略的算法可以帮助我们判断现在的波动率是否合理，毕竟单纯看波动率的绝对值其实还不是那么直观。&/p&&p&有可能有童鞋会产生疑问，为什么这里有一个sqrt(N)呢？&/p&&p&这个就是刚刚提到的隐含的假设了，也就是正态分布。&br&我们这里是把比如每个月的收益当做独立的正态分布然后加起来就变成年化的收益分布。如果学过统计的话就会知道两个正态分布加在一起的结果还是一个正态分布，并且标准差是平方相加再开方的关系。自然这里就是12个月的sigma^2加在一起再开方，就出来了这样一个sqrt(12)这一项。&/p&&figure&&img data-rawheight=&212& src=&https://pic4.zhimg.com/v2-d04a4ec341bfa7f99653_b.jpg& data-size=&normal& data-rawwidth=&1024& class=&origin_image zh-lightbox-thumb& width=&1024& data-original=&https://pic4.zhimg.com/v2-d04a4ec341bfa7f99653_r.jpg&&&/figure&&p&比如下面CBOE的vix的公式里面我们也可以看到这样一项，sqrt(N365/N30) = sqrt(12)。&br&同理粗略计算sharpe ratio的时候也会出现sqrt(n)这一项也是这个原因，因为都是对于n个单位时间的波动率的处理。更直观一点感受一下10的sharpe，比如历史平均年化sharpe是10，每天的sharpe就是10/sqrt(255)=0.6，假如vix像上面举例是17也就是换算成daily的volatility是1%的时候，那么每天的收益率就需要至少是0.6%，波动还不能比市场大，整体而言确实还是挺难做到的。这也是为什么现在基本都是strategy pool整体来平衡收益和风险而不是单独一个很强的strategy，因为单独的高sharpe因子在有效市场太稀有了，内幕消息倒算是一个。&/p&&figure&&img data-rawheight=&206& src=&https://pic3.zhimg.com/v2-ba0f294a5e76a5b0be0e_b.jpg& data-size=&normal& data-rawwidth=&1030& class=&origin_image zh-lightbox-thumb& width=&1030& data-original=&https://pic3.zhimg.com/v2-ba0f294a5e76a5b0be0e_r.jpg&&&/figure&&p&除了正态分布还有一种理解方式，下面的理论推导里面会提到random walk的variance会是sqrt(t)，t就是这里的单位时间的数目。(其实本质上也就是正态分布...whatever)。&br&&/p&&p&并且有一点需要澄清，那就是比如Vix=17，SPY=265的时候算出来的每天波动$3其实并不是说每天一定会涨或者跌这么多，而是说一个sigma标准差的几率(68%)是会落在+-$3这个范围内，不是说就一定会碰到这个+-$3这个boundary，这只是概率的一个区间作为参考，而不是某一个一定会到达的值。&br&&/p&&p&好了，volatility的部分也讲完了，整个应用部分就结束了。&/p&&p&我们现在开始进入理论的部分。&/p&&figure&&img data-rawheight=&225& src=&https://pic2.zhimg.com/v2-819783ecdaecd6bc5e90d85b3a09bb05_b.jpg& data-size=&normal& data-rawwidth=&225& class=&content_image& width=&225&&&/figure&&h2&1.4 Random Walk &/h2&&p&首先呢，我们来看一下苹果公司的股票，前阵子跟着美股大盘大跌了一阵子，还好最近美国经济和通胀起来之后大家似乎又对股市重拾信心了呢。&/p&&figure&&img data-rawheight=&1076& src=&https://pic3.zhimg.com/v2-e2b6aacfdceb8e7ae939aa_b.jpg& data-size=&normal& data-rawwidth=&1280& class=&origin_image zh-lightbox-thumb& width=&1280& data-original=&https://pic3.zhimg.com/v2-e2b6aacfdceb8e7ae939aa_r.jpg&&&/figure&&p&摸着自己的良心自问，有多少朋友一眼就看出来这是假的了？&/p&&figure&&img data-rawheight=&179& src=&https://pic2.zhimg.com/v2-c2cc2c4ed6d18facd6cb1_b.jpg& data-size=&normal& data-rawwidth=&179& class=&content_image& width=&179&&&/figure&&p&这是我用Python模拟出来的(不要小看这一段程序，你知道我为了一样模拟了多少次嘛!)，感兴趣的话程序如下，&/p&&div class=&highlight&&&pre&&code class=&language-python3&&&span&&/span&&span class=&kn&&import&/span& &span class=&nn&&matplotlib.pyplot&/span& &span class=&k&&as&/span& &span class=&nn&&plt&/span&
&span class=&kn&&import&/span& &span class=&nn&&numpy&/span& &span class=&k&&as&/span& &span class=&nn&&np&/span&
&span class=&n&&T&/span& &span class=&o&&=&/span& &span class=&mi&&2&/span&
&span class=&n&&mu&/span& &span class=&o&&=&/span& &span class=&mf&&0.01&/span&
&span class=&n&&sigma&/span& &span class=&o&&=&/span& &span class=&mf&&0.01&/span&
&span class=&n&&S0&/span& &span class=&o&&=&/span& &span class=&mi&&172&/span&
&span class=&n&&dt&/span& &span class=&o&&=&/span& &span class=&mf&&0.01&/span&
&span class=&n&&N&/span& &span class=&o&&=&/span& &span class=&mi&&200&/span&
&span class=&n&&t&/span& &span class=&o&&=&/span& &span class=&n&&np&/span&&span class=&o&&.&/span&&span class=&n&&linspace&/span&&span class=&p&&(&/span&&span class=&mi&&0&/span&&span class=&p&&,&/span& &span class=&n&&T&/span&&span class=&p&&,&/span& &span class=&n&&N&/span&&span class=&p&&)&/span&
&span class=&n&&W&/span& &span class=&o&&=&/span& &span class=&n&&np&/span&&span class=&o&&.&/span&&span class=&n&&random&/span&&span class=&o&&.&/span&&span class=&n&&standard_normal&/span&&span class=&p&&(&/span&&span class=&n&&size&/span& &span class=&o&&=&/span& &span class=&n&&N&/span&&span class=&p&&)&/span&
&span class=&n&&W&/span& &span class=&o&&=&/span& &span class=&n&&np&/span&&span class=&o&&.&/span&&span class=&n&&cumsum&/span&&span class=&p&&(&/span&&span class=&n&&W&/span&&span class=&p&&)&/span&&span class=&o&&*&/span&&span class=&n&&np&/span&&span class=&o&&.&/span&&span class=&n&&sqrt&/span&&span class=&p&&(&/span&&span class=&n&&dt&/span&&span class=&p&&)&/span& &span class=&c1&&### standard brownian motion ###&/span&
&span class=&n&&X&/span& &span class=&o&&=&/span& &span class=&p&&(&/span&&span class=&n&&mu&/span&&span class=&o&&-&/span&&span class=&mf&&0.5&/span&&span class=&o&&*&/span&&span class=&n&&sigma&/span&&span class=&o&&**&/span&&span class=&mi&&2&/span&&span class=&p&&)&/span&&span class=&o&&*&/span&&span class=&n&&t&/span& &span class=&o&&+&/span& &span class=&n&&sigma&/span&&span class=&o&&*&/span&&span class=&n&&W&/span&
&span class=&n&&S&/span& &span class=&o&&=&/span& &span class=&n&&S0&/span&&span class=&o&&*&/span&&span class=&n&&np&/span&&span class=&o&&.&/span&&span class=&n&&exp&/span&&span class=&p&&(&/span&&span class=&n&&X&/span&&span class=&p&&)&/span& &span class=&c1&&### geometric brownian motion ###&/span&
&span class=&n&&plt&/span&&span class=&o&&.&/span&&span class=&n&&plot&/span&&span class=&p&&(&/span&&span class=&n&&t&/span&&span class=&p&&,&/span& &span class=&n&&S&/span&&span class=&p&&)&/span&
&span class=&n&&plt&/span&&span class=&o&&.&/span&&span class=&n&&show&/span&&span class=&p&&()&/span&
&/code&&/pre&&/div&&figure&&img data-rawheight=&190& src=&https://pic2.zhimg.com/v2-ca1a2d8d69b3f3333999_b.jpg& data-size=&normal& data-rawwidth=&265& class=&content_image& width=&265&&&/figure&&p&呐，其实真正的股价图在这里&/p&&figure&&img data-rawheight=&1242& src=&https://pic1.zhimg.com/v2-67deaa9fd544_b.jpg& data-size=&normal& data-rawwidth=&2208& class=&origin_image zh-lightbox-thumb& width=&2208& data-original=&https://pic1.zhimg.com/v2-67deaa9fd544_r.jpg&&&/figure&&p&这就说明了一个问题，我们无法区分股价和random walk。&/p&&p&&br&&/p&&p&这下面隐藏着一个更为本质的问题，也就是期权理论的基础：股票价格和布朗运动。&/p&&p&布朗运动其实是爱因斯坦在1905年发的paper，在论文里面给出了扩散方程的解(对，其实上面的BS model的偏微分方程本质上就是一种特殊情况下的扩散或者热传导方程)。布朗运动其实说的是花粉颗粒在不计其数的水分子(10^23个，天文数字)作用力下的运动，这个花粉的运动轨迹决定于这千千万万个水分子的运动和他们对这个花粉施加的力。那么假设我们可以知道每一个水分子未来的运动方程，我们其实就可以知道他们以后在每一个时刻会怎样来影响花粉的运动，我们也就拥有了预测花粉轨迹的超能力。但是，很可惜，由于参与的水分子太多，我们不可能完全掌握这部分信息，自然也就无从得到花粉未来的运动轨迹，所谓随机过程。其实和热力学也是一样，这学期修了一门热力学统计物理，发现这个就是我一直以来缺少的一块儿拼图，连接了物理的宏观和微观世界。物理里面由于微观粒子太多和不确定原理导致掌握每个粒子的信息来精准描述整个系统完全不可能，热力学加上统计概率分布就正好成为连接量子力学微观粒子和牛顿力学宏观世界的桥梁。(其实还有一点可以改进，统计物理里更深入的Ising model是考虑了粒子与相邻粒子之间的local自旋相互作用来进行一阶修正，在金融市场里面参与者和参与者之间没准也可以考虑这种修正使得BS model更加精确呢，当然这已经算是凝聚态物理比较前沿的研究方向了，局限在local的条件也不一定适应金融市场)&/p&&figure&&img data-rawheight=&457& src=&https://pic1.zhimg.com/v2-ef70eab0f941c6f61c718c0ff88ddda8_b.jpg& data-size=&normal& data-rawwidth=&684& class=&origin_image zh-lightbox-thumb& width=&684& data-original=&https://pic1.zhimg.com/v2-ef70eab0f941c6f61c718c0ff88ddda8_r.jpg&&&/figure&&p&作为类比，金融市场也可以分成宏观系统和微观个体，通过类似物理的热力学统计这一套东西把金融里面微观宏观统一起来描述整个系统，其实就是布朗运动。在金融市场里面我们可以想象成股票价格在不计其数的人的合力影响下的运动。即使市场参与者的数目相对水分子少很多，但是数量依然非常庞大，而且还加入了人是否理性行为的不确定性(可以想象成测不准原理)，我们也不可能完全掌握这个市场上每个参与者的信息，也就不能准确预测股票未来的价格。&br&&/p&&p&通过这个对比我们可以感觉到这两个过程确实很类似，并且可以利用物理上的这个过程和其解来描述市场的运动还很有效，确实是一个非常神奇的事情。其实我一直在试图将自己对物理的理解和金融的理解结合起来，发现除了热力学系统的布朗运动和相变应用在金融市场，这样fundamentally类似的真是不多。似乎物理在机器学习和深度学习上面倒可以看到很多类似的东西，比如Restricted Boltzmann Machine(RBM)就参考了玻尔兹曼分布的partition function，神经网络hidden layer有效的理论证明也参考了统计物理里面描述spin系统相互作用的Ising Model和量子场论里的重整化群(&a href=&http://link.zhihu.com/?target=https%3A//arxiv.org/abs/& class=& external& target=&_blank& rel=&nofollow noreferrer&&&span class=&invisible&&https://&/span&&span class=&visible&&arxiv.org/abs/&/span&&span class=&invisible&&&/span&&/a&)。物理更本质的是量子力学量子场论群论粒子物理，也许借鉴一下未来会搞出来更底层的金融版本也说不准，但是也可能这种联系本来就不存在，不可强求。&br&&/p&&p&这里我们可以看到布朗运动来描述市场这个系统是可行的，所以就有了下面这个方程：&/p&&figure&&img data-rawheight=&450& src=&https://pic4.zhimg.com/v2-af7f449c1d3_b.jpg& data-size=&normal& data-rawwidth=&1504& class=&origin_image zh-lightbox-thumb& width=&1504& data-original=&https://pic4.zhimg.com/v2-af7f449c1d3_r.jpg&&&/figure&&p&这里方程左边的S是股价。右边呢，第二项W就是布朗运动，或者也叫做Wiener process。这个W前面还有两个因子，一个是sigma，也就是波动率；另一个是S，也就是股价。&/p&&p&先来介绍一下为什么有S，&br&因为这里并不是假设价格直接是布朗运动，而是价格S的log函数是布朗运动(换句话说就是股价服从的是lognormal分布)。&br&我们把方程两边都除以S就可以看到左边的dS变成了d(logS)，右边变成了mu*dt+sigma*dW，所以可以看到是logS服从布朗运动。&br&(其实这个地方很不严谨，因为S包含了布朗运动的信息其实是一个不可导的函数，我们不能直接把S当除数，但这个有一个比较intuitive的sense，下面讲到Ito’s lemma的时候会再介绍)&br&&/p&&p&那可能又会有同学问，为什么是log函数呢？&br&因为我们假设的其实并不是股价本身的涨跌绝对值是布朗分布，而是相对前一天的涨跌百分比。对于log函数来说，如果现在股价是X1，明天估计是X2，那么涨跌的百分比 logX2-logX1 = log(X2/X1)，一阶展开之后其实也就约等于X2/X1。所以其实平时我们简单用log来看收益率其实是也隐含用了这样一个近似的假设。另一个更数学的理解的办法其实就是从离散过程通过无穷小量转换成连续过程，比如让T/n，再让n趋于无穷大求极限也同样可以得到这个log函数(这一点其实很重要，因为后面我们会遇到riskless rate的discount因子，说白了其实就是无穷小的时间间距来算复利)。&br&&/p&&p&再来介绍一下为什么会有波动率这一项，这里就需要介绍一下random walk和布朗运动了。&/p&&figure&&img data-rawheight=&862& src=&https://pic2.zhimg.com/v2-b78b4db653cdcf1_b.jpg& data-size=&normal& data-rawwidth=&1214& class=&origin_image zh-lightbox-thumb& width=&1214& data-original=&https://pic2.zhimg.com/v2-b78b4db653cdcf1_r.jpg&&&/figure&&p&random walk的内容简单来说其实就是每秒掷一次硬币。正面赢1块，反面输1块，然后比如扔一天看最后自己赢了多少钱。&br&因为这是整个期权定价的基础(说白了可以把股票每秒涨跌当做扔正反..)，所以这也是为什么quant面试的时候经常喜欢把各种各样的硬币翻来覆去扔来扔去，你们这些人有考虑过硬币的感受么！&br&&/p&&p&当然啦，random walk并不能帮我们预测涨跌，我们更看重的是random walk的数学性质。&br&上面列出来有3个性质，&br&第一个是每次扔硬币收益的期望为0，这其实也就不小心暗示了从random walk推导出来的期权其实是建立在扔硬币的假设上，也就是传说中的市场有效假设，或者risk neutral measure。&br&第二个是每次扔硬币是independent，也就是扔了10次反也不一定就代表下一次可以扔出一个正(但每次炒股一直亏的时候却总想着能一次翻本? )，每次正负的概率都还是0.5，不以人的意志为转移。&br&最后一个是stationary，也就是我先扔10次的过程，跟第二轮投10次过程的概率分布没有任何区别。&br&&/p&&p&从这个地方我们也可以看出来每一次扔硬币其实是类似一个Bernoulli过程(Bernoulli的outcome是1和0，我这里为了跟市场做直观的对比所以用的1和-1，牺牲了严谨性需要注意)，要么正要么反，要么赢要么输。根据统计知识我们就可以知道，玩这个游戏赚的钱总数的分布呢是类似Binomial的。&/p&&figure&&img data-rawheight=&709& src=&https://pic3.zhimg.com/v2-fc74676affd09d47b3bff38df4d858ea_b.jpg& data-size=&normal& data-rawwidth=&1052& class=&origin_image zh-lightbox-thumb& width=&1052& data-original=&https://pic3.zhimg.com/v2-fc74676affd09d47b3bff38df4d858ea_r.jpg&&&/figure&&p&从Binomial的名字就可以看出来，这是一个离散的过程，而且我们可以引入二叉树的方式来推导期权定价公式。但是作为一个物理直男我还是对连续光滑柔软的东西比较感兴趣，所以这里只推荐一下书，想真正弄懂的同学可以去看看Steven E.Shreve的Stochastic Calculus for Finance 1:The Binomial Asset Pricing Model，算是很经典的教材了。(对，所以我也没看，而且我也知道你们肯定也会mark再看，然后想必也就是永别了...)&/p&&p&也附上我自己稍微写的推导过程，&/p&&figure&&img data-rawheight=&4032& src=&https://pic2.zhimg.com/v2-cc50a728e3633ebadccd0e5_b.jpg& data-size=&normal& data-rawwidth=&3024& class=&origin_image zh-lightbox-thumb& width=&3024& data-original=&https://pic2.zhimg.com/v2-cc50a728e3633ebadccd0e5_r.jpg&&&/figure&&p&&br&&/p&&p&&br&&/p&&h2&1.5 Brownian Motion&/h2&&p&&br&&/p&&p&好了，我们继续。&br&上面介绍完了离散的Random Walk，同样统计告诉我们Binomial分布有一个性质，那就是当n非常大的时候，也就是当我们玩的次数足够多玩到天崩地裂地老天荒的时候(这硬币可以玩一年)，我们赚的钱的分布就变成了一个normal distribution。&br&(这也是为什么我们经常默认把收益率当做一个normal distribution，因为本质上是近似成了布朗运动，这一点是平时非常容易忽略的。但实际上大家也知道市场并非真的normal distribution，而是有各种skew和inefficiency，第二部分会详细讨论)&br&&/p&&p&这其实就是从离散过程到连续过程，也就是把上一节中的二叉树定价延伸到无数subtree就收敛到了接下来布朗运动推导的BS方程。&/p&&figure&&img data-rawheight=&718& src=&https://pic1.zhimg.com/v2-773ad9dd61ba1711583c_b.jpg& data-size=&normal& data-rawwidth=&1264& class=&origin_image zh-lightbox-thumb& width=&1264& data-original=&https://pic1.zhimg.com/v2-773ad9dd61ba1711583c_r.jpg&&&/figure&&p&布朗运动就厉害了，random walk是离散的每秒扔一次，而连续时间的布朗运动可以当做每秒扔一千次一万次一亿次一直到无穷大，然后扔一天看自己赢了多少钱，没准就完成了一堆小目标，亏掉几个亿。&/p&&p&&br&&/p&&p&这里我们也同样可以得到类似random walk的布朗运动的3条性质(上图中Theorem 2.1)，&br&第一项跟random walk一样，期望还是0，说明市场有效理论的假设依然保留。&br&但第三项的independent就有点不一样了，这里限制似乎更强了，还需要在时间上不overlap。&br&再看第二项的stationary，这里给的信息也更多了，不再是单纯的说相同时间间隔的分布一样，还告诉我们说这个分布的具体形式就是正态分布，这其实也是中心极限定理的推论。&br&有了正态分布其实也就具备了数学上的操作性，有了期望有了方差，从此我们就可以用实实在在的公式来model期权的价格了。&br&&/p&&p&至于为什么布朗运动是正态分布，我们可以看看爱因斯坦老人家是怎么通过热力学解出来的:&/p&&figure&&img data-rawheight=&1228& src=&https://pic4.zhimg.com/v2-403b2eef6b526caef3e77eb_b.jpg& data-size=&normal& data-rawwidth=&2122& class=&origin_image zh-lightbox-thumb& width=&2122& data-original=&https://pic4.zhimg.com/v2-403b2eef6b526caef3e77eb_r.jpg&&&/figure&&figure&&img data-rawheight=&1350& src=&https://pic2.zhimg.com/v2-fc717e8ebfeb6d_b.jpg& data-size=&normal& data-rawwidth=&2106& class=&origin_image zh-lightbox-thumb& width=&2106& data-original=&https://pic2.zhimg.com/v2-fc717e8ebfeb6d_r.jpg&&&/figure&&p&&br&&/p&&p&其实爱因斯坦已经转化成热力学的扩散方程把期权的价格给解出来了...&/p&&p&这个正态分布呢有一个很特别的地方，那就是它的variance是t，也就是这段扔硬币的时间间隔。其实也非常make sense，当扔硬币频率一定的时候，扔的时间越长自然我们得到收益的方差就越大。具体为什么是t，也可以参考上面爱因斯坦的结果里算出来的方差。&/p&&p&&br&&/p&&p&回到刚刚的式子，希望你们还没有忘却我们在干什么。&/p&&figure&&img data-rawheight=&450& src=&https://pic4.zhimg.com/v2-af7f449c1d3_b.jpg& data-size=&normal& data-rawwidth=&1504& class=&origin_image zh-lightbox-thumb& width=&1504& data-original=&https://pic4.zhimg.com/v2-af7f449c1d3_r.jpg&&&/figure&&p&这里应该就可以理解为什么上面写了standard deviation是sqrt(t)了。&/p&&p&&br&&/p&&p&我们讲完了布朗运动，可以看到W前面有一个波动率sigma的系数。比较直观的理解就是布朗运动或者random walk是每次赌1块钱，但是我们股价可以每次赌2块呀，这样我们就需要在前面乘上2这个系数，也就是这里的波动率了(毕竟波动率是用来描述单位时间内股价的变化方差)。&/p&&p&这就是整体这个式子的第二项了。&br&那第一项又是什么呢？第一项是正的drift。&br&&/p&&p&为了易于理解，我}
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