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你可能喜欢東京都發車，或者経由東京都的線路（地下鉄、電車、新幹線、單軌等）沿線站名&br&&br&&b&「後楽園」&/b&（Kohrakuen，東京都，地下鐵丸内線等）&br&&img data-rawwidth=&1280& data-rawheight=&1142& src=&/v2-406fb68cec68efb72ada558_b.jpg& class=&origin_image zh-lightbox-thumb& width=&1280& data-original=&/v2-406fb68cec68efb72ada558_r.jpg&&&b&「浮間舟渡」&/b&（Ukimafunado，東京都，埼京線）&br&&img src=&/v2-65c27ed6ec76_b.jpg& data-rawwidth=&560& data-rawheight=&352& class=&origin_image zh-lightbox-thumb& width=&560& data-original=&/v2-65c27ed6ec76_r.jpg&&&b&「天空橋」（&/b&Tenkuhbashi，東京都，京浜急行電鉄?東京單軌列車&b&）&/b&&br&&img src=&/v2-b087ecc1889456fbc586ddb2b4d42d01_b.jpg& data-rawwidth=&1010& data-rawheight=&290& class=&origin_image zh-lightbox-thumb& width=&1010& data-original=&/v2-b087ecc1889456fbc586ddb2b4d42d01_r.jpg&&&b&「夜ノ森」&/b&（Yonomori，夜之森，東京都経由，福島県双葉郡富岡町，JR東日本常磐線，因福島核電站事故休運中）&br&&img src=&/v2-234b652ef9b9d8eac74e2d_b.jpg& data-rawwidth=&240& data-rawheight=&320& class=&content_image& width=&240&&&b&「勿来」&/b&（Nacoso，東京都経由，福島県磐城市勿来町，JR東日本常磐線）&br&&img src=&/v2-9a3f0d947a9eec5d0dc6fffb3de1f63c_b.jpg& data-rawwidth=&482& data-rawheight=&283& class=&origin_image zh-lightbox-thumb& width=&482& data-original=&/v2-9a3f0d947a9eec5d0dc6fffb3de1f63c_r.jpg&&&img src=&/v2-4cd6aae1aa98cfa1bc462a_b.png& data-rawwidth=&419& data-rawheight=&425& class=&content_image& width=&419&&&b&「偕楽園」&/b&（Kairakuen，東京都経由，茨城県水戸市常磐町一丁目，JR東日本常磐線）&br&&img src=&/v2-d75da2cee74c2cb41b767_b.jpg& data-rawwidth=&560& data-rawheight=&335& class=&origin_image zh-lightbox-thumb& width=&560& data-original=&/v2-d75da2cee74c2cb41b767_r.jpg&&&b&「人形町駅」&/b&（Ningyocho，東京都，中文直譯「人偶町」，浅草線）&br&&img src=&/v2-0de0b1db4d6404ccd6231956_b.jpg& data-rawwidth=&400& data-rawheight=&273& class=&content_image& width=&400&&&b&「船橋法典」&/b&（Funabashi Hohten，東京都経由，千葉県船橋市藤原一丁目，JR東日本武蔵野線）&br&&img src=&/v2-e6cb30a1a0f5a787a60c9_b.jpg& data-rawwidth=&728& data-rawheight=&422& class=&origin_image zh-lightbox-thumb& width=&728& data-original=&/v2-e6cb30a1a0f5a787a60c9_r.jpg&&&b&「天童」&/b&（Tendoh，東京都経由，山形県天童市本町一丁目，JR東日本奥羽本線）&br&&img src=&/v2-cd5f173d98c436baa20b_b.jpg& data-rawwidth=&400& data-rawheight=&120& class=&content_image& width=&400&&&b&「大森海岸」&/b&（Ohmorikaigan，東京都，京浜急行電鉄本線）&br&&img src=&/v2-ebe6e426d80bc18ae450146_b.jpg& data-rawwidth=&686& data-rawheight=&290& class=&origin_image zh-lightbox-thumb& width=&686& data-original=&/v2-ebe6e426d80bc18ae450146_r.jpg&&&b&「末続」&/b&（Suetsugi，中文「末續」，東京都経由，福島県磐城市勿来町，JR東日本常磐線）&br&&img src=&/v2-69ac2ec5bebf8aa849a2df_b.jpg& data-rawwidth=&600& data-rawheight=&399& class=&origin_image zh-lightbox-thumb& width=&600& data-original=&/v2-69ac2ec5bebf8aa849a2df_r.jpg&&&img src=&/v2-765b135f737d0cd0cbbfc_b.jpg& data-rawwidth=&259& data-rawheight=&194& class=&content_image& width=&259&&&b&「姫路」&/b&（Himeji，東京都経由，兵庫県姫路市駅前町，JR西日本神戸線山陽本線，另外「姫」就唸ji，不唸zhen，與日文中「濱」簡化成「浜」一樣，「姫」是「姬」的簡化字（日本叫新字體）而非中文的「姫」）&br&&img src=&/v2-b9a03fdc4a84fae22b5e12b8cae81318_b.jpg& data-rawwidth=&600& data-rawheight=&272& class=&origin_image zh-lightbox-thumb& width=&600& data-original=&/v2-b9a03fdc4a84fae22b5e12b8cae81318_r.jpg&&&b&「姫宮」（&/b&Himemiya，東京都経由，埼玉県南埼玉郡宮代町川端一丁目，東武鉄道伊勢崎線&b&）&/b&&br&&img src=&/v2-6aca6f5e395c40d5e605a_b.jpg& data-rawwidth=&515& data-rawheight=&376& class=&origin_image zh-lightbox-thumb& width=&515& data-original=&/v2-6aca6f5e395c40d5e605a_r.jpg&&&br&&b&「男衾」&/b&（Obusuma，東京都経由，埼玉県大里郡寄居町大字富田，東武鉄道東上本線）&br&&img src=&/v2-8fc24b92bea_b.jpg& data-rawwidth=&259& data-rawheight=&194& class=&content_image& width=&259&&&b&「新井薬師前」&/b&（Arai-Yakushimae，東京都，西武鉄道新宿線）&br&&img src=&/v2-e2f39a9eec4d89cb9070d_b.jpg& data-rawwidth=&640& data-rawheight=&356& class=&origin_image zh-lightbox-thumb& width=&640& data-original=&/v2-e2f39a9eec4d89cb9070d_r.jpg&&&b&「鈴蘭の里」&/b&（Suzuran no Sato，東京都経由，長野県諏訪郡富士見町富士見，JR東日本中央本線）&br&&img src=&/v2-423fdd096ebd552fa628a_b.jpg& data-rawwidth=&700& data-rawheight=&416& class=&origin_image zh-lightbox-thumb& width=&700& data-original=&/v2-423fdd096ebd552fa628a_r.jpg&&&b&「お花茶屋」&/b&（Ohanadyaya，東京都，京成電鉄本線）&br&&img src=&/v2-0ed87e4ac0c53_b.jpg& data-rawwidth=&458& data-rawheight=&236& class=&origin_image zh-lightbox-thumb& width=&458& data-original=&/v2-0ed87e4ac0c53_r.jpg&&&b&「流山おおたかの森 」&/b&（Nagareyama Ohtakanomori，中文直譯「流山蒼鷹之森」，東京都経由，千葉県流山市西初石六丁目，首都圏新都市鉄道?東武鉄道）&br&&img src=&/v2-8a121e48e26e3cbfacc166_b.jpg& data-rawwidth=&500& data-rawheight=&380& class=&origin_image zh-lightbox-thumb& width=&500& data-original=&/v2-8a121e48e26e3cbfacc166_r.jpg&&&b&「曳舟」&/b&（Hikifune，東京都，東武鉄道）&br&&img src=&/v2-8dfc9404e61cefc35bfe081a2c4b9b38_b.jpg& data-rawwidth=&608& data-rawheight=&359& class=&origin_image zh-lightbox-thumb& width=&608& data-original=&/v2-8dfc9404e61cefc35bfe081a2c4b9b38_r.jpg&&&b&「月島」&/b&（Tsukishima，東京都，有楽町線）&br&&img src=&/v2-a6649fbaed5ec_b.jpg& data-rawwidth=&555& data-rawheight=&295& class=&origin_image zh-lightbox-thumb& width=&555& data-original=&/v2-a6649fbaed5ec_r.jpg&&&img src=&/v2-da506b642_b.jpg& data-rawwidth=&535& data-rawheight=&212& class=&origin_image zh-lightbox-thumb& width=&535& data-original=&/v2-da506b642_r.jpg&&&b&「恋ヶ窪」&/b&（Koi ga Kubo，東京都，西武鉄道国分寺線）&br&&img src=&/v2-a74d05e4cdf0d0bf2bad446f30e9fc1e_b.jpg& data-rawwidth=&440& data-rawheight=&237& class=&origin_image zh-lightbox-thumb& width=&440& data-original=&/v2-a74d05e4cdf0d0bf2bad446f30e9fc1e_r.jpg&&&img src=&/v2-f66a8ea237bf2c8681ed39b_b.jpg& data-rawwidth=&468& data-rawheight=&170& class=&origin_image zh-lightbox-thumb& width=&468& data-original=&/v2-f66a8ea237bf2c8681ed39b_r.jpg&&&b&「ひばりヶ丘」&/b&（Hibari ga Oka，中文直譯「雲雀之丘」，東京都西東京市，西武鉄道池袋線）&br&&img src=&/v2-7c8c112d_b.jpg& data-rawwidth=&509& data-rawheight=&370& class=&origin_image zh-lightbox-thumb& width=&509& data-original=&/v2-7c8c112d_r.jpg&&&img src=&/v2-a2b9e77f891dcf45ca4f30_b.jpg& data-rawwidth=&474& data-rawheight=&189& class=&origin_image zh-lightbox-thumb& width=&474& data-original=&/v2-a2b9e77f891dcf45ca4f30_r.jpg&&&b&「水天宮前」&/b&（Suitenguumae，東京都，東京地下鉄半蔵門線）&br&&img src=&/v2-e49c1f38ca13ceeec5a744b_b.jpg& data-rawwidth=&471& data-rawheight=&207& class=&origin_image zh-lightbox-thumb& width=&471& data-original=&/v2-e49c1f38ca13ceeec5a744b_r.jpg&&&b&「祖師ヶ谷大蔵」&/b&（Soshigaya Ohkura，東京都，小田急電鉄小田原線）&br&&img src=&/v2-6f850c75fb12e13b971adbb_b.jpg& data-rawwidth=&500& data-rawheight=&335& class=&origin_image zh-lightbox-thumb& width=&500& data-original=&/v2-6f850c75fb12e13b971adbb_r.jpg&&&b&「鬼子母神前」&/b&（Kishibojimmae，東京都，圗2中的電車爲實際該線路使用的列車ー東京都交通局都電荒川線）&br&&img src=&/v2-45dca29e4e1bdba6cc3d3206beae1c38_b.jpg& data-rawwidth=&624& data-rawheight=&374& class=&origin_image zh-lightbox-thumb& width=&624& data-original=&/v2-45dca29e4e1bdba6cc3d3206beae1c38_r.jpg&&&img src=&/v2-d19d1bc37a01_b.jpg& data-rawwidth=&800& data-rawheight=&543& class=&origin_image zh-lightbox-thumb& width=&800& data-original=&/v2-d19d1bc37a01_r.jpg&&&b&「飛鳥山」&/b&（Asca Yama，東京都，與上方同線路，東京都北区滝野川一丁目，都電荒川線，停留場）&br&&img src=&/v2-cbeddbe4f5fee_b.jpg& data-rawwidth=&800& data-rawheight=&450& class=&origin_image zh-lightbox-thumb& width=&800& data-original=&/v2-cbeddbe4f5fee_r.jpg&&&br&&b&「洗足」&/b&（Senzoku，東京都，東京急行電鉄目黒線）&br&&img src=&/v2-60acec3c7ec_b.jpg& data-rawwidth=&448& data-rawheight=&276& class=&origin_image zh-lightbox-thumb& width=&448& data-original=&/v2-60acec3c7ec_r.jpg&&&b&「洗足池」&/b&（Senzokuike，東京都，東京急行電鉄池上線）&br&&img src=&/v2-51a03adbc9cb90cde2983fde30c83835_b.jpg& data-rawwidth=&424& data-rawheight=&284& class=&origin_image zh-lightbox-thumb& width=&424& data-original=&/v2-51a03adbc9cb90cde2983fde30c83835_r.jpg&&&img src=&/v2-18fc3a215708_b.jpg& data-rawwidth=&512& data-rawheight=&341& class=&origin_image zh-lightbox-thumb& width=&512& data-original=&/v2-18fc3a215708_r.jpg&&&b&「信濃境」&/b&（Shinanosakai，東京都経由，長野県諏訪郡富士見町境，JR東日本中央本線）&br&&img src=&/v2-2f77fb9bd7f_b.jpg& data-rawwidth=&600& data-rawheight=&395& class=&origin_image zh-lightbox-thumb& width=&600& data-original=&/v2-2f77fb9bd7f_r.jpg&&&b&「高幡不動」&/b&（Takahata Fudoh，東京都日野市高幡にある、京王電鉄?多摩都市單軌列車）&br&&img src=&/v2-2dcaca7cbcd01c0b4dedaa1_b.jpg& data-rawwidth=&400& data-rawheight=&196& class=&content_image& width=&400&&&b&「不動前」&/b&（Fudohmae，東京都，東京急行電鉄目黒線）&br&&img src=&/v2-ea0aba89e16ab7fbc97ac79b_b.jpg& data-rawwidth=&640& data-rawheight=&480& class=&origin_image zh-lightbox-thumb& width=&640& data-original=&/v2-ea0aba89e16ab7fbc97ac79b_r.jpg&&&b&「花月園前」&/b&（Kagetsuenmae，東京都経由，神奈川県横浜市鶴見区生麦五丁目，京浜急行電鉄本線）&br&&img src=&/v2-18f5743b39eaf663311fbc2b84583f1c_b.jpg& data-rawwidth=&1010& data-rawheight=&290& class=&origin_image zh-lightbox-thumb& width=&1010& data-original=&/v2-18f5743b39eaf663311fbc2b84583f1c_r.jpg&&&b&「多磨霊園」&/b&（Tamareien，東京都府中市清水が丘三丁目，京王電鉄京王線の駅であ）&br&&img src=&/v2-62af94ac6f852e5184be0aa_b.jpg& data-rawwidth=&622& data-rawheight=&262& class=&origin_image zh-lightbox-thumb& width=&622& data-original=&/v2-62af94ac6f852e5184be0aa_r.jpg&&&br&&b&「多摩境」&/b&（Tamasakai，東京都町田市小山ヶ丘三丁目，京王電鉄相模原線）&br&&img src=&/v2-d436a6e4dcaf04_b.jpg& data-rawwidth=&567& data-rawheight=&326& class=&origin_image zh-lightbox-thumb& width=&567& data-original=&/v2-d436a6e4dcaf04_r.jpg&&&b&「航空公園」&/b&（Koku Koen，東京都経由，埼玉県所沢市並木二丁目，西武鉄道新宿線）&br&&img src=&/v2-d1ff335ed9cdb9be811ed67_b.jpg& data-rawwidth=&380& data-rawheight=&270& class=&content_image& width=&380&&&b&「西武遊園地」&/b&（Seibu Yuenchi，東京都東村山市多摩湖町三丁目，西武鉄道）&br&&img src=&/v2-e0fed37a93c56af_b.jpg& data-rawwidth=&440& data-rawheight=&330& class=&origin_image zh-lightbox-thumb& width=&440& data-original=&/v2-e0fed37a93c56af_r.jpg&&&br&&b&「向ヶ丘遊園」&/b&（Mukoh ga Oka Yuen，東京都経由，神奈川県川崎市多摩区登戸にある、小田急電鉄小田原線の駅）&br&&img src=&/v2-2dbccc00d66_b.jpg& data-rawwidth=&600& data-rawheight=&328& class=&origin_image zh-lightbox-thumb& width=&600& data-original=&/v2-2dbccc00d66_r.jpg&&&img src=&/v2-2ba_b.jpg& data-rawwidth=&565& data-rawheight=&320& class=&origin_image zh-lightbox-thumb& width=&565& data-original=&/v2-2ba_r.jpg&&&b&「県」&/b&（Agata，東京都経由，栃木県足利市県町，東武鉄道伊勢崎線）&br&&img src=&/v2-77d11ec5d09df18db54b800fb820ab03_b.jpg& data-rawwidth=&640& data-rawheight=&480& class=&origin_image zh-lightbox-thumb& width=&640& data-original=&/v2-77d11ec5d09df18db54b800fb820ab03_r.jpg&&&b&「聖蹟桜ヶ丘」&/b&（Seiseki Sakura ga Oka，東京都多摩市関戸一丁目，京王電鉄京王線）&br&&img src=&/v2-7a550fd4c6b48a6dde2db881dd7edd3f_b.jpg& data-rawwidth=&691& data-rawheight=&430& class=&origin_image zh-lightbox-thumb& width=&691& data-original=&/v2-7a550fd4c6b48a6dde2db881dd7edd3f_r.jpg&&&b&「桜街道」&/b&（Sakurakaidoh，東京都東大和市上北台三丁目，多摩都市單軌列車線）&br&&img src=&/v2-665d4bd0f0e2d104b2e7e4_b.jpg& data-rawwidth=&800& data-rawheight=&320& class=&origin_image zh-lightbox-thumb& width=&800& data-original=&/v2-665d4bd0f0e2d104b2e7e4_r.jpg&&&img src=&/v2-03da025d0c1e5b5b5e5d1504edac60c5_b.jpg& data-rawwidth=&608& data-rawheight=&282& class=&origin_image zh-lightbox-thumb& width=&608& data-original=&/v2-03da025d0c1e5b5b5e5d1504edac60c5_r.jpg&&&b&「三軒茶屋」&/b&（Sangendyaya，東京都，東京急行電鉄）&br&&img src=&/v2-32ccba291b158e4ea5a29b_b.jpg& data-rawwidth=&400& data-rawheight=&182& class=&content_image& width=&400&&「千歳烏山」 （Chitose Karasuyama，東京都，京王電鉄京王線）&br&&img src=&/v2-8d9aa54afd900bdad8f38b1_b.jpg& data-rawwidth=&1536& data-rawheight=&698& class=&origin_image zh-lightbox-thumb& width=&1536& data-original=&/v2-8d9aa54afd900bdad8f38b1_r.jpg&&「千歳船橋」（Chitose Funabashi，東京都，小田急電鉄小田原線）&br&&img src=&/v2-1848efa963ec3ff00cf6b_b.jpg& data-rawwidth=&489& data-rawheight=&307& class=&origin_image zh-lightbox-thumb& width=&489& data-original=&/v2-1848efa963ec3ff00cf6b_r.jpg&&&b&「下神明」&/b&（Shimoshimmei，東京都，東京急行電鉄）&br&&img src=&/v2-3eaf2c96a5c40aa8ae48_b.jpg& data-rawwidth=&320& data-rawheight=&226& class=&content_image& width=&320&&&b&「百合ヶ丘」&/b&（Yuri ga Oka，東京都経由，神奈川県川崎市麻生区百合丘1丁目，小田急電鉄小田原線）&br&&img src=&/v2-f3b545f7f590cadf61e3_b.jpg& data-rawwidth=&480& data-rawheight=&180& class=&origin_image zh-lightbox-thumb& width=&480& data-original=&/v2-f3b545f7f590cadf61e3_r.jpg&&&br&&img src=&/v2-1b9f1e807dda1fc69bbfe_b.jpg& data-rawwidth=&320& data-rawheight=&155& class=&content_image& width=&320&&&b&「日の出」&/b&（Hinode，東京都，東京臨海新交通臨海線）&br&&img src=&/v2-2a85abd621c12f6b8ea5c3_b.jpg& data-rawwidth=&640& data-rawheight=&480& class=&origin_image zh-lightbox-thumb& width=&640& data-original=&/v2-2a85abd621c12f6b8ea5c3_r.jpg&&&b&「日ノ出町」&/b&（Hinode Choh，東京都経由，神奈川県横浜市中区日ノ出町，京浜急行電鉄本線）&br&&img src=&/v2-83157c49dfde37bd7e8b36e2b37e30bd_b.jpg& data-rawwidth=&780& data-rawheight=&401& class=&origin_image zh-lightbox-thumb& width=&780& data-original=&/v2-83157c49dfde37bd7e8b36e2b37e30bd_r.jpg&&&b&「小手指」&/b&（Cotesasy，東京都経由，埼玉県所沢市小手指町一丁目，西武鉄道池袋線）&br&&img src=&/v2-55458c9eaca287e6d1d9b30a8e111bd5_b.jpg& data-rawwidth=&700& data-rawheight=&270& class=&origin_image zh-lightbox-thumb& width=&700& data-original=&/v2-55458c9eaca287e6d1d9b30a8e111bd5_r.jpg&&&b&「平和島」&/b&（Haywa Jima，東京都，京浜急行電鉄本線）&br&&img src=&/v2-4ef0ea98b076e2b6275fe6_b.jpg& data-rawwidth=&918& data-rawheight=&290& class=&origin_image zh-lightbox-thumb& width=&918& data-original=&/v2-4ef0ea98b076e2b6275fe6_r.jpg&&&b&「五月台」&/b&（Satsugidai，東京都経由，神奈川県川崎市麻生区五力田3丁目，小田急電鉄多摩線）&br&&img src=&/v2-d62f8a1129f7ebe2ee579be2e0c2b2d4_b.jpg& data-rawwidth=&450& data-rawheight=&300& class=&origin_image zh-lightbox-thumb& width=&450& data-original=&/v2-d62f8a1129f7ebe2ee579be2e0c2b2d4_r.jpg&&&b&「六会日大前」&/b&（Mutsuainichidaimae，東京都経由，神奈川県藤沢市亀井野一丁目，小田急電鉄江ノ島線）&br&&img src=&/v2-6f72a7af6ca4f47c267d_b.jpg& data-rawwidth=&450& data-rawheight=&300& class=&origin_image zh-lightbox-thumb& width=&450& data-original=&/v2-6f72a7af6ca4f47c267d_r.jpg&&&b&「善行」&/b&（Zengyoh，東京都経由，神奈川県藤沢市善行一丁目，小田急電鉄江ノ島線）&br&&img src=&/v2-d76a01cc601d5d32b6ef8_b.jpg& data-rawwidth=&480& data-rawheight=&235& class=&origin_image zh-lightbox-thumb& width=&480& data-original=&/v2-d76a01cc601d5d32b6ef8_r.jpg&&&b&「辰巳」&/b&（Tatsumi，東京都，東京地下鉄有楽町線）&br&&img src=&/v2-d8de83b151d8b7cd537a31a_b.jpg& data-rawwidth=&960& data-rawheight=&349& class=&origin_image zh-lightbox-thumb& width=&960& data-original=&/v2-d8de83b151d8b7cd537a31a_r.jpg&&&b&「相生」&/b&（Aioi，東京都経由，兵庫県相生市本郷町山陽本線）&br&&img src=&/v2-60b302f1cb9ce3d8d4badd_b.jpg& data-rawwidth=&1024& data-rawheight=&595& class=&origin_image zh-lightbox-thumb& width=&1024& data-original=&/v2-60b302f1cb9ce3d8d4badd_r.jpg&&&b&「百草園」&/b&（Mogusaen，東京都日野市百草，京王電鉄京王線）&br&&img src=&/v2-bbb39c277d_b.jpg& data-rawwidth=&624& data-rawheight=&327& class=&origin_image zh-lightbox-thumb& width=&624& data-original=&/v2-bbb39c277d_r.jpg&&&b&「麻布十番」&/b&（Azab No.10，東京都，都営地下鉄大江戸線）&br&&img src=&/v2-03b21cf6e2ead02f8a04c4ed99f45301_b.jpg& data-rawwidth=&650& data-rawheight=&488& class=&origin_image zh-lightbox-thumb& width=&650& data-original=&/v2-03b21cf6e2ead02f8a04c4ed99f45301_r.jpg&&&b&「本所吾妻橋」&/b&（Honjo Adzumabashi，東京都，東京都営地下鉄浅草線，圗2中臙脂紅的就是吾妻橋）&br&&img src=&/v2-149cfd8dce71cfbaafffb519d2da5f1e_b.jpg& data-rawwidth=&300& data-rawheight=&324& class=&content_image& width=&300&&&img src=&/v2-ddbbe295424_b.jpg& data-rawwidth=&800& data-rawheight=&535& class=&origin_image zh-lightbox-thumb& width=&800& data-original=&/v2-ddbbe295424_r.jpg&&&b&「東あずま」&/b&（Higashi Azuma，漢字-&b&「東吾嬬」&/b&，東京都，東武鉄道亀戸線）&br&&img src=&/v2-9e07d93da15d6aeb86c5a_b.jpg& data-rawwidth=&450& data-rawheight=&334& class=&origin_image zh-lightbox-thumb& width=&450& data-original=&/v2-9e07d93da15d6aeb86c5a_r.jpg&&&b&「&/b&&b&王子」&/b&（Orge，東京都，東京地下鐵南北線）&br&&img src=&/v2-86907dbc478b35d525b1d9ce88c918da_b.jpg& data-rawwidth=&480& data-rawheight=&177& class=&origin_image zh-lightbox-thumb& width=&480& data-original=&/v2-86907dbc478b35d525b1d9ce88c918da_r.jpg&&&b&「八王子」&/b&（Hach Orge，東京都八王子市旭町，相模線）&br&&img src=&/v2-9e1c0d2387337fff8e75ae_b.jpg& data-rawwidth=&787& data-rawheight=&406& class=&origin_image zh-lightbox-thumb& width=&787& data-original=&/v2-9e1c0d2387337fff8e75ae_r.jpg&&&br&&b&「海神」&/b&（Kaijin，東京都経由，千葉県船橋市海神五丁目にある、京成電鉄本線）&br&&img src=&/v2-1bf2e7eeaabb6e_b.jpg& data-rawwidth=&360& data-rawheight=&227& class=&content_image& width=&360&&&b&「鬼越」&/b&（Onigoe，東京都経由，千葉県市川市鬼越一丁目，京成電鉄本線）&br&&img src=&/v2-6d72b007afcc5_b.jpg& data-rawwidth=&510& data-rawheight=&383& class=&origin_image zh-lightbox-thumb& width=&510& data-original=&/v2-6d72b007afcc5_r.jpg&&&b&「東雲」&/b&（Shinonome，東京都，東京臨海高速鉄道臨海線）&br&&img src=&/v2-920bec171a1db542a8b99ccd_b.jpg& data-rawwidth=&510& data-rawheight=&220& class=&origin_image zh-lightbox-thumb& width=&510& data-original=&/v2-920bec171a1db542a8b99ccd_r.jpg&&&b&「高崎問屋町」&/b&（Tacasaki Tonyamachi，東京都経由，群馬県高崎市貝沢町，JR東日本上越線）&br&&img src=&/v2-e4eb236ec1a0f67feb8ef_b.jpg& data-rawwidth=&570& data-rawheight=&280& class=&origin_image zh-lightbox-thumb& width=&570& data-original=&/v2-e4eb236ec1a0f67feb8ef_r.jpg&&&b&「馬喰横山」&/b&（Baclo Yocoyama，東京都，東京都営地下鉄新宿線）&br&&img src=&/v2-3a392bd67f1ca45a0efabc_b.jpg& data-rawwidth=&320& data-rawheight=&240& class=&content_image& width=&320&&&b&「桜上水」&/b&（Sakura Johsui，東京都，京王電鉄京王線）&br&&img src=&/v2-cc95dd1fbfb_b.jpg& data-rawwidth=&750& data-rawheight=&522& class=&origin_image zh-lightbox-thumb& width=&750& data-original=&/v2-cc95dd1fbfb_r.jpg&&&b&「我孫子」&/b&（Abico，東京都経由，你們愛的我孫子站，千葉県我孫子市本町二丁目，JR東日本成田線）&br&&img src=&/v2-edd210d4eede_b.jpg& data-rawwidth=&600& data-rawheight=&450& class=&origin_image zh-lightbox-thumb& width=&600& data-original=&/v2-edd210d4eede_r.jpg&&&br&&br&其他一些還有：&br&海老名&br&衣笠&br&伊達&br&清滝&br&荒川車庫前&br&実籾&br&京成酒々井&br&屏風ヶ浦&br&都電雑司ヶ谷&br&等々力&br&舎人&br&舎人公園&br&有楽町&br&天王台&br&紫波中央&br&糀谷&br&青物横丁&br&京王八王子&br&取手&br&指扇&br&清澄白河&br&本八幡&br&牛込神楽坂&br&馬喰町&br&面影橋&br&鈴懸台&br&つくし野&br&森林公園&br&堀切菖蒲園&br&有明テニスの森&br&拝島&br&昭島&br&河辺&br&雑色&br&京急鶴見&br&京成高砂&br&武蔵五日市&br&武蔵溝ノ口&br&鐘ヶ淵&br&一ノ割&br&都立家政&br&祐天寺&br&妙蓮寺&br&溜池山王&br&白楽&br&東白楽&br&反町&br&扇大橋&br&落合&br&信濃町&br&昭和島&br&下丸子&br&自由が丘&br&溜池山王&br&大師前&br&万願寺&br&谷在家&br&金沢文庫&br&船の科学館&br&有明&br&追浜&br&逸見&br&汐入&br&汐留&br&大鳥居&br&護国寺&br&太子堂&br&陸中折居&br&麹町&br&勝鬨&br&逗子&br&仏子&br&六本木&br&本蓮沼&br&熱海&br&神泉&br&吉祥寺&br&大門&br&大手町&br&京王多摩川&br&武蔵嵐山&br&練馬&br&馬車道&br&小伝馬町&br&海浜幕張&br&黒部宇奈月温泉駅&br&白石蔵王
東京都發車，或者経由東京都的線路（地下鉄、電車、新幹線、單軌等）沿線站名 「後楽園」（Kohrakuen，東京都，地下鐵丸内線等） 「浮間舟渡」（Ukimafunado，東京都，埼京線） 「天空橋」（Tenkuhbashi，東京都，京浜急行電鉄?東京單軌列車） 「夜ノ森」…
1.虽然题主可能本来就知道，但就第一句话而言，我觉得有必要强调，单纯在理性上作要求并不蕴含纳什均衡，这里有关系的是可理性化策略和epistemic conditions for NE。而在extensive form game，关于理性的定义并不清晰和容易。一个重要的问题是，当Ann发现她最开始关于Bob的策略的信念是错的，她应该怎么办？她应该忘掉过去，只关注此时面对的子博弈，还是给Bob剩下的所有的可能的策略按理性的程度来更新自己的信念？另外一个本质的问题是当我们不对理性设置上限，要求完备的信念系统时，会出现类似说谎者悖论的麻烦，Brandenburger-Keisler悖论。&br&&br&所以，理性，某种程度上来说，至少目前来讲，并不是“绝对”的。很多时候，人们说现实世界中人不是理性的同时并没有意识到他们过度简化了问题：比如实验经济学中经常讲蜈蚣博弈现实中SPNE不发生，但问题是他们的实验并没有达到NE的epistemic conditon：双方都知道对方的策略。事实上，他们的结果甚至和rationality and common belief of rationality是一致的。&br&&br&当然，并不是说人，在任何时候，都是理性的，而是说，要证明不是,并不容易。所以才会有Robert Aumann如下的抱怨：&br&&blockquote&It is sometimes asserted that game theory is not “descriptive” of the “real world”, that people don’t behave according to game-theoretic prescriptions. To back up such assertions, some workers have conducted experiments using poorly motivated subjects, subjects who do not understand what they are about and are paid off by pittance, as if such experiments represents the real world.&/blockquote&&br&2.第二个问题的答案是当然。如果你不知道什么是理性，如何搞明白有限理性。所以在有限理性领域做出过卓越贡献的Ariel Rubinstein曾经说过（搜索了下，这句话已经在知乎被 &a data-hash=&edc& href=&///people/edc& class=&member_mention& data-editable=&true& data-title=&@SlowMover& data-hovercard=&p$b$edc&&@SlowMover&/a& 在一个相关问题引用过 &a href=&/question//answer/& class=&internal&&如何理解经济学中的「理性人」假设？ - 知乎用户的回答&/a&）：&br&&blockquote&It is meaningful to talk about the concept of “being good” even in a society where similarly, it is meaningful to talk about the concept of a “rational man” and about the interactions between rational economic agents even if all people systematically behave&br&in a nonrational manner.&/blockquote&3.存在。事实上有个名字专门描述这种情况：the tyranny of the stupid。比如Gilboa&Samet（1989）就描述了无限理性的参与者如何被有限理性的参与者“敲竹杠”。&br&&br&&b&References：&/b&&br&[1] Aumann, Robert, and Adam Brandenburger. &Epistemic Conditions for Nash Equilibrium.& &i&Econometrica&/i& 63.5 (1995): 1161-80.&br&[2] Battigalli, Pierpaolo. &Strategic rationality orderings and the best rationalization principle.& &i&Games and Economic Behavior&/i& 13.2 (1996): 178-200.&br&[3] Brandenburger, Adam, and H. Jerome Keisler. &An impossibility theorem on beliefs in games.& &i&Studia Logica&/i& 84.2 (2006): 211-240.&br&[4] Gilboa, Itzhak, and Dov Samet. &Bounded versus unbounded rationality: The tyranny of the weak.& &i&Games and Economic Behavior&/i& 1.3 (1989): 213-221.&br&[5] Pearce, David G. &Rationalizable strategic behavior and the problem of perfection.& &i&Econometrica: Journal of the Econometric Society&/i& (1984): .
1.虽然题主可能本来就知道，但就第一句话而言，我觉得有必要强调，单纯在理性上作要求并不蕴含纳什均衡，这里有关系的是可理性化策略和epistemic conditions for NE。而在extensive form game，关于理性的定义并不清晰和容易。一个重要的问题是，当Ann发现…
直接从另一个答案转了。&br&&a href=&/question//answer/& class=&internal&&数学里的 e 为什么叫做自然底数？是不是自然界里什么东西恰好是 e？ - SaBoLi MONTAGE 的回答&/a&&br&作者：SaBoLi MONTAGE&br&链接：&a href=&/question//answer/& class=&internal&&数学里的 e 为什么叫做自然底数？是不是自然界里什么东西恰好是 e？ - SaBoLi MONTAGE 的回答&/a&&br&来源：知乎&br&著作权归作者所有，转载请联系作者获得授权。&br&&br&e的故事 上&br&第一章 神秘的自然&br&1&br&可以说，数学整个学科都是人为创造出来，被用来了解自然和了解人类本身的。&br&由于人类有可数的十根手指，于是我们用了十进制。不过如果有一个外星人有四根手指呢？他们是不是就使用四进制呢？&br&如果外星人是有无法数清的触手的触手怪呢？&br&所以数学的很多分支都是为了了解人类本身被研究的，它不自然。&br&自然的事物中，其中的一种是世界上正在发生的一切。&br&2&br&为了研究世界上正在发生的一切，人类在数学之外又创造了物理、化学、生物等等学科，它们被称作“自然科学”。显然在这些课本中，数字到底是十进制还是四进制并无大碍，人类正在脱离了解人类本身这一范畴，开始了解自然。&br&尽管人类对自然的了解不是一帆风顺的，但人类自诞生起就开始思索自然的终极奥义。&br&一直研究到现在。&br&人类对世界的最深层次的疑惑，在诞生之日就一直是是：&br&&b&在下一个时刻会发生什么？&/b&&br&&b&自然，有没有什么规律可循？&br&&/b&3”&br&这一疑惑贯穿了人类的全部历史，引发了各种哲学的思索，在此不深入研究。&br&然而和这个问题相伴相生的情况下，人类发现：&br&尽管自己能够对一些东西做出改变，但是对另一些东西却无能为力。&br&如果你推一个东西，这个东西就会动。如果愚公愿意，他可以和他的子子孙孙无数代一起把太行山和王屋山搬走。&br&但是愚公会死，他的子子孙孙都会死。&br&时间，事物的变化，或许真的如同某些神谕一样，是上天安排的。&br&4&br&在人类对这两种变化感到深深地迷茫的时候，人类的数学却在纠结着十进制和四进制的事情，把毕达哥拉斯以后的近两千年的时间让位给了宗教。&br&然而人类不可能彻底把对自然的理解交给神。数学将以一种最新的形态回到我们对自然的理解中。&br&跟着新的数学而来的，还有物理，化学，生物等等自然科学。&br&是的，不管你如何讨厌它，没有它，或许现在的世界依然没有走出教会的中世纪，我们对世界的了解，依然是所谓的神谕。&br&5&br&了解世界的过程中，我们倾向于研究可测量的量。&br&然而在神学统治世界的两千年中，变化的特别要素，时间，只能以日晷上的小时来测量。&br&或许是哪位在封建主的领地里放羊的小孩，在路过潺潺的山泉的时候的发现吧。&br&那些一滴一滴，时间间隔相同的缓缓滴落的水滴，敲响了万能神的丧钟。&br&人类通过这些等时滴落的水滴，意识到：&br&身边一直正在发生的 所谓变化，是可以测量的。&br&6&br&铅球从比萨斜塔的五楼落下，用了六滴水的时间。&br&而从二楼落下，也要用三滴水的时间。&br&这是人类对那一种“自己能够掌握”的变化的初步研究。&br&也正是在这一次研究中，人类知道了：&br&&b&我们身边的一切事物的特征，除以无时无刻不在流逝的时间，不就是他们的变化吗。&/b&&br&7&br&在自然数、几何之后，数学跑偏两千年之久。&br&而在这个我们开始把时间称作“滴答滴答地流逝”的文艺复兴的时代，自然数学盛装归来。&br&和很多人的认识不同，这门新的数学是比代数自然得多的学科。&br&因为它研究的，就是两千年来被神掌握的“变化的规律”。&br&这一自然规律，由于时间的测量技术变得可测量。&br&也正是这门科学，打破了人类对自然认识的最后一道，也是最难被逾越的一道障碍。&br&相信不用我说，大家都知道，所谓自然数学有一个更响亮的名字，叫做&b&微积分&/b&。&br&8&br&人们知道，时间是无时无刻不在流逝的，相应的变化也无时无刻不在发生。&br&对于变化的研究，先从最容易测量的物体的位置开始。&br&因为我们已经通过对变化的理解，定义了速度和加速度。&br&就在水滴旁的男孩将铅球一次又一次从比萨斜塔上扔下去的时候，他惊讶地找到了一个不变量：&br&地球给铁球的加速度。&br&9&br&后来，人们发现了所有的位置变化速度的变化，都是人类可以通过自己的力量施加给自然的东西。&br&此时，人类对自己能够改变的未来，已经有了初步的理解。&br&不过人类并不甘心，因为为什么还有不可掌握的未来存在？&br&&br&第二章 物理学家和生物学家&br&10&br&一杯热水什么时候冷掉？&br&大火什么时候熄灭？&br&植物什么时候长成？&br&动物什么时候繁衍？&br&很多问题，人类最多只能改变进程，不能改变结果。&br&后来，人们发现：&br&热水&b&自然&/b&会冷掉。&br&大火&b&自然&/b&会熄灭。&br&植物&b&自然&/b&会长成。&br&动物&b&自然&/b&会繁衍。&br&这里的“&b&自然&/b&”，&br&就是自然本身赋予事物的有关变化属性。&br&11&br&力，称为人类改变外界的媒介的东西，是事物随着外界环境变化的一种属性。&br&我们可以表示为：&br&A物体速度的变化=外界的力&br&而外界的力和A物体速度无关。&br&然而热水的冷却不一样。&br&经过测量，我们发现：&br&热水冷却的速度只和热水与环境的温度差正比例相关。&br&于是我们得到了：&br&热水温度的变化=确定数量×（热水温度-环境温度）&br&这是&b&自然本身赋予热水的变化属性&/b&。&br&与外界无关。&br&12&br&于是通过上面热水的例子，我们把自然本身赋予事物的有关变化属性抽象一下，总能得到一个等式。&br&那就是：&br&A的变化=A本身的某种性质&br&当然，最简单的情况当然是：&br&A的变化=A的数量×确定数量。&br&为了研究这个简单的问题，人类又把目光放在了自然界。&br&13&br&这时自然研究者已经分成了两队，一队前往大自然寻求这个问题答案，只因为他们知道：&br&自然界很多生物的性质，决定了他们的生活、习性，当然包括了变化。&br&一堆前往实验室寻求这个问题的答案，只因为他们已经在实验室中找到了几个符合这个问题描述的变化。&br&我们叫第一种人生物学家，第二种人物理学家。&br&不过，他们的目标是一样的。&br&那是因为，他们都知道：&br&热水&b&自然&/b&会冷掉。&br&大火&b&自然&/b&会熄灭。&br&植物&b&自然&/b&会长成。&br&动物&b&自然&/b&会繁衍。&br&14&br&怀着对自然的敬畏，他们上路了。&br&我们先讲生物学家的故事，因为他们很久以前就发现了一些规律。&br&一对兔子一年生一窝，一年10对兔子存活，t年后一共有多少兔子？&br&这是一个连小学五年级的学生都会得算数，答案是10的t次方。生物学家在看到&br&&b&A的变化=A的数量×确定数量&/b&&br&的时候，一下就想到了这个题目。&br&可以看到，t这个数字，在计算的结果中跑到了10的指数的位置上。&br&一声叹息。生物学家知道，这个老掉牙的题目在几千年前，人类就已经知道答案了。&br&如果人类在当时就有所思考，也就没有所谓的黑暗的中世纪了吧。&br&但是生物学家知道这并不是问题的答案。&br&因为，兔子的数量是每年变化一次的，而自然，则要求时间&b&无时无刻不在流逝&/b&。&br&思忖良久，生物学家将“指数”两个字记在本子上，开始寻找更多的证据。&br&15.&br&此时物理学家正在对着自己误差巨大的数据发愁。&br&尽管已经能精确地测出距离和时间，但对于温度的测量还是一筹莫展。&br&虽然知道最终的正确数值是一条弧线，但他还要用已知的变化关系去和这一关系对照。&br&如果能够得到热水冷却的这一条弧线，一切的问题都能迎刃而解吧。&br&此时，物理学家脑中蹦出一种想法。&br&推动冷却的会不会是一种力呢？&br&可不可以用变化率、变化率的变化率等等来表示呢？&br&即使它不是一种变化率的叠加，那可不可以用这种变化率来近似呢？&br&16.&br&生物学家找到了更多比兔子繁衍更快的物种。&br&蘑菇、酵母、细菌……&br&到了最后，甚至找到了几秒就能复制一次的病毒。&br&他的笔记中，底数在不断地改变，但是t在指数的位置却没有改变。&br&有一天，在睡梦中，他突然梦见了什么。&br&他猛然惊醒，打开床头柜，开始计算了起来。&br&A病毒的性质如果是1分钟分裂成2倍，那它5秒钟分裂成多少倍？&br&1秒钟呢？&br&那么它到底具有怎样的分裂性质呢？&br&算到最后，他列出了一个算式。&br&如果它有1分钟分裂成2倍的性质，&br&那么当它分裂成1.10倍的时候，过1分钟应该分裂成2.20倍。&br&分裂成1.20倍的时候，过1分钟又应该分裂成2.40倍。&br&所以最后的结果，和2倍肯定会有很大的偏差。&br&经过计算之后，生物学家困意已消，他抹去了头上的汗水。&br&天空泛起了鱼肚白，而这个世界已然没有睡意。&br&他的草稿本的最后一行是：&br&自然的底数：limx→+∞ (1+1/x)^x&br&17&br&物理学家研制了越来越精确的仪器和设备。&br&他知道，所谓推动上一层的“力”，也就是变化率是常数罢了，而表现在公式中，则是要多乘上一个时间和时间的系数。&br&最终的结果，自然是一堆有关时间t的幂的集合。&br&有一次物理学家突发奇想，于是控制变量之后，物理学家把确定数量值变为了1，把环境变为了0度。也就是说现在热水温度的变化率变成了它自己。他坚信这样可以更方便地测出真正的规律。&br&此时物理学家突然意识到了什么。&br&我们都知道，如果位置变化是t的2次方，那么它的变化率也就是速度就是2t，变化率的变化率就是2。&br&那么如果位置变化是t的7次方呢？&br&那位置的7重变化率就是1×2×3×4×5×6×7。&br&那么由于这一变化由无数的“变化率的变化率”组成，显然这些“力的推动力”的变化率，是“被这些力推动的力”的整数倍。&br&而又由于热水温度的变化率是它自己，所以每个力都和被它推动的力有确定的倍数关系！&br&物理学家飞速地列出了最终唯一的关系式，并且当他做完实验的时候，结果竟然和关系式完全符合！&br&他笑了，因为他的努力终究有了成果。&br&他的之上留下了一行算式：&br&自然公式取1的值T(1)=1+1+1/2+1/(2×3)+1/(2×3×4)+1/(2×3×4×5)……&br&18&br&物理学家和生物学家相聚了。&br&“我已经找到将不可掌握的未来，用自然的公式表达出来了。”&br&“我也是。”&br&“自然的公式是指数。”&br&“不，自然的公式是幂的和。”&br&物理学家的黑板上写着Σx=0 +∞(t^x)/x!&br&而生物学家的黑板上则写着limx→+∞ (1+1/x)^xt&br&两人相视而笑。&br&是的，自然的公式只有一个，两个公式事实上完全等同。&br&19&br&给它命个名吧，&br&“我建议用e^x，因为这是一个显然的指数函数。”生物学家说。&br&“听我说，我建议用exp(x)，来表示它的自然和连续性。”物理学家说。&br&两人离开，留下了两块被拼在一起的黑板。&br&物理学家那边，写着：&br&exp(1)=Σx=0 +∞1/x!≈2.71828&br&生物学家那边，写着：&br&e=limx→+∞ (1+1/x)^x≈2.71828&br&而拼起来的黑板，则组成了：&br&dy/dx=y的方程。&br&20 尾声&br&上面的内容，对科学史有点了解的人都应该知道，全都是我杜撰的。&br&e的存在和数值，数学家早已在物理学家和生物学家之前给出了答案。&br&不过无论如何，人类终于迈出了认识未知自然的一步。&br&从此，即便是自然本身的规律，也已经被人类了然于心。&br&不过，正当人类自认为已经穷尽自然的真理的时候，发生了另一件大事。&br&这又是一个观星人和一个工匠的故事了。&br&&br&e的故事 下&br&&br&第三章 路径和车轮&br&21&br&上面我们说的是一个少数人的故事。&br&然而，不可能所有的人类都去思考什么是自然，因为在工业革命之前，大多数人类是一种和其他动物一样，在死亡和温饱线上挣扎的动物。&br&尽管这些人可能已经不包括我们，不过当我们还没有抛弃我们的形状的时候，我们还是要问自己一句：&br&&b&下一顿饭从哪来？&/b&&br&22&br&形状，位置，距离，大小。&br&或许在开创数学这门学科以来，我们的本能中就已经有了几何的元素了。&br&或许在你受到数学教育之前，就能指出平行和垂直两种关系是比其他所有关系都特殊的；&br&或许在没有识字的婴儿时代，高度对称的图形就能吸引到你更多的关注。&br&或许和人类的诞生同时，我们已经把一条直线和一个圆刻在了脑子里。&br&23&br&所以尽管我们已经脱离了温饱线，但对于很少站在高处思考自然的人而言，我们是在生活中拼搏挣扎的人。&br&在这个方面，我们和以前那些在温饱线上的人没有什么区别。&br&直线，被人类绘制成路径，代表着最短的距离；&br&而圆，被人类加工成车轮，则代表着最节省的人力。&br&显然这才是人类对自然的第一认知。&br&那么人类有关的第一个问题就来了。&br&&b&车轮要滚一圈能在道路上滚多远？&/b&&br&24&br&这根本就不是一个需要计算的问题，碾过去就是了。&br&不过，当人类发现轮子在滚完之后不一定能回到原来的状态的时候，事情好像在起变化。&br&我们的祖先数着自己的手指，把轮子的高度分成十份，&br&发现依然有偏差的时候把有偏差的那部分高度又分成了十份。&br&然后一对比，记下了三倍又十分之一倍又百分之四倍这一个数据。&br&于是我们把它称作圆周率。&br&25&br&如果你指望着我把故事讲下去，那你就错了。&br&因为车轮和道路的故事已经结束了。&br&一直到“时间滴答滴答地流逝”的那个时代，这个故事只有几个进展：&br&A.阿某某某觉得这个数据不准，又用手指分成10份，多加了一位比率。&br&B.刘某还是觉得这个数据不准，又用手指，并且借助各种仪器分成10份，多加了一位比率。&br&B.祖某某觉得这个数据不准，又用手指和各种更花式的仪器分成1000份，多加了三位比率。&br&C.卡某觉得这个数据不准……&br&26&br&并不是那些寻找自然的人不忘这个看起来自然到爆表的比率上寻找答案。&br&因为无论对如何用直线和圆进行组合，计算任何由圆和直线组成的图形和物体的数据，这个比率永远存在于圆弧之上。&br&或许这个值是3.14，3.142还是3.1415927，对于人类了解自然并不那么重要。&br&与其说这个比率如同梦魇一般永远留在圆弧中，倒不如说它像是一个被封印的魔鬼，所有人都知道它的存在，也绝对明白它目前看来不可能踏出圆弧半步。&br&包括物理学家和生物学家在内的人，都倾向于把这个数据，永久地在人类踏出了解自然的第一步的纪念碑上。&br&27&br&然而此时，他们不知道的是，和他们不同，底层的人根本并没有迈出了解自然的第二步。&br&他们和两千年前一样，奔波在生死之间。&br&和他们相伴的，只有直线和圆。&br&圆周率对于平民的意义，不用说，大家也明白。&br&直到现在，我们的主流世界观里，依然存留着这个人类几千年艰辛走来的痕迹：&br&完美、无瑕、对称，这是我们对圆至高无上的崇拜。&br&28&br&或许如同黑暗的中世纪那样，低贱的平民永远都无法跨过贵族的门槛吧。&br&圆周率右面的车轮，看似封闭，却一直在旋转。&br&历史的车轮滚滚碾过，碾过的是无数为了生计而挣扎的人的心酸。&br&不过这个时候，一门盛装归来的数学走到了低贱的平民身边。&br&它号称能够揭开两千年来被神掌握的“变化的规律”。&br&不用我说，大家都知道，它的名字叫做&b&微积分&/b&。&br&29&br&微积分解决了平民的疑惑吗？&br&看着物理学家和生物学家留下的黑板，即使是最聪明的平民也会一脸茫然吧。&br&而最粗鄙的平民，一定会骂道：&br&“XXX，这XX的道理，值几个X钱？”&br&不过他们不知道：&br&&b&历史的车轮在碾过这个世界的一切的时候，却无时无刻不被自然碾过。&/b&&br&&br&&b&抱歉，昨天沉迷学习了。。。&/b&&br&&b&第四章 观星人和工匠&/b&&br&30&br&和主动去找自然规律的那些上层人士不同。&br&观星人和工匠，是被迫去寻找自然规律的。&br&对于观星人来说，天空中的星辰在运动一年之后回到原来的位置，月亮则要一个月，而太阳只要一天。&br&这一职业，只会比最早的立法更加古老。&br&他们的工作，就是在地平线上，寻找圆形的轨迹。&br&而工匠更不必说——只要有前面提及的圆和直线，就会有工匠的身影。&br&&br&31&br&在这个变革的年代，观星人找到了几千年来自己画出的星图。&br&星星，月亮，太阳。&br&那一道道漂亮的圆弧，貌似在诉说着什么故事。&br&或许自然就是这样吧。&br&观星人此时惊讶地发现了一件事情。&br&或许圆弧里的秘密，已经在&b&第一章第8节&/b&给出了提示：&br&“&b&就在水滴旁的男孩将铅球一次又一次从比萨斜塔上扔下去的时候，他惊讶地找到了一个不变量：&/b&&br&&b&地球给铁球的加速度。&/b&”&br&&br&32&br&在这个变革的时代，工匠找来了几千年来自己做的物件。&br&其中有一个小小的物件，引起了他的注意。&br&这个物件很简单，仅仅是一条由牛筋粗加工制成的条状物而已。&br&原因无他，弹性而已。&br&被压缩时重新伸长，被伸长时再次压缩。&br&有了这个，才有了动物体的柔韧。&br&或许自然就是这样的吧。&br&工匠此时惊讶地发现了一件事情。&br&将重物挂在牛筋下段，牛筋会不停上下振动，直至停止。&br&&br&33&br&在星空中，观星人发现了转动。&br&而在牛筋里，工匠则看到了振动。&br&一个是循环不息，一个是摇摆不止。&br&一个是周而复始，一个是去而复回。&br&一个是圆，一个是直线。&br&在工匠和观星人再一次见面的时候，他们隐约意识到：&br&这两种运动的联系，&br&&b&或许就是圆和直线超越圆周率的一种联系？&/b&&br&&b&又或许，是人类和自然的一种联系？&/b&&br&&br&34&br&问题的解决一帆风顺，因为根本不需要去解决。&br&尽管在过去的两千年内，上层的社会沉浸在神学中， 不过挣扎在死亡线上的平民，却能够制作出很多他们自己也不理解但是却非常管用的东西。&br&通过水磨，他们知道转圈是一种向心的运动，速度不变，离心的趋向就不变；&br&通过弹簧，他们知道所有的弹性都和弹性物体变化的幅度相关。&br&工匠笑了，他在观星人的星图中画了一条线。观星人发现，在这条线的视角看，星辰的旋转和振动一模一样。&br&于是观星人也笑了，他抄起皮筋甩了起来。工匠发现，在观星人旋转速度不变的时候，皮筋的长度是完全没有变化的。&br&&br&35&br&于是，下一个关系简直是一瞬间得到的：&br&皮筋，不管在旋转还是在振动，它对物体的力和它偏离原长的距离方向相反，但是大小正相关。&br&工匠点了点头，在星图上写下了F=-kx&br&观星人也点了点头，在星图上写下了x''=-kx&br&&br&36&br&在彻底解决这个问题之前，两人决定还是先研究一下这个图形。&br&根据前面对振动的讨论，两人觉得是时候把“圆周率”这个值赶下神坛了。&br&观星人决定把星辰旋转的弧度在皮筋上对应的坐标标记下来。显然地由于所有的圆长相都一样，所以旋转弧度和皮筋坐标的比是完全一样的。&br&“就叫这个比cos(x)吧。”观星人说。&br&“等一下！”工匠惊呼。&br&他惊讶地发现，当x是圆周率的整数倍的时候，cos(x)居然是一些特殊的有理值。&br&特别地，当x除以圆周率的小数部分是0.5的时候，cos(x)是0。&br&当x是奇数倍圆周率的时候，cos(x)是-1。&br&当x是偶数数倍圆周率的时候，cos(x)则是0。&br&“没错，这个弧度，就是你们常用的角度的一种说法。&br&而cos这个函数，就是你们常用的余弦的表达方式罢了。”&br&&br&37&br&不过弧度对于角度而言，特殊性已经不言而喻。&br&力和偏离距离方向相反，大小正比，这就意味着：&br&&b&偏离距离的变化率的变化率=-（确定数值×偏离距离）&/b&&br&而当我们把确定数值调成1的时候，如果物体在偏离距离为1的位置从静止释放，物体的偏离距离就永远是时间的cos值。&br&是不是觉得这个公式很眼熟？&br&自然的身影，在人类并未去寻找的时候，在人类仅为了自己而奔波的时候。&br&已经来到了人类的身边。&br&&br&38&br&直到这时，圆周率这个数，已经如同梦魇一般，刻在了cos这个关系里。&br&虽然两人不关心什么自然，但是他们非常，非常想知道，困扰自己几千年的圆周率到底是个什么东西。&br&他们先知道了这个答案的解，却不知道这个解从何而来。&br&“是时候解决这个问题了。”&br&&br&e的故事 终章 幻想中的自然&br&&br&39&br&cos这个函数的关系式使我们顺利地把圆周率这一数值从无可辩驳的位置拉到了一个函数关系中。&br&而这一函数关系，又是一个很简单的方程：&br&&b&A变化率的变化率=-A&/b&&br&&b&然而cos是什么？&/b&&br&&b&对于圆周率的最终研究，将由物理学家和生物学家共同完成。&/b&&br&&b&因为他们敏锐地发现，而在这一项研究中，真正的自然，正在向他们招手。&/b&&br&40&br&物理学家仍然坚信cos是幂函数的和。&br&和上次一样，这次他准备继续通过测量来证明这一点。&br&他向观星人借了望远镜，每夜，他的之上都多了一个点。&br&每过去一年，他的幂函数就会多一项。&br&终于有一天，他笑了。他觉得，他已经掌握了自然的规律。&br&纸上出现了一个算式：&br&cos(x)=1-x^2/*(1×2)+x^4/(1×2×3×4)-……&br&他非常欣慰地看着自己的算式。&br&公式里的每一项，经过两次的求变化率计算，都会成为它的前一项，而第一项则自动消失。&br&而由于这个和无限延伸没有最后一项，所以总能达成：&br&&b&A变化率的变化率=-A&/b&&br&41&br&生物学家这里的进展就有点麻烦了。&br&因为他根据上次的经验，依然断定cos是一种指数函数。&br&换句话说，他坚信所有的变化率仅本身相关的函数，都是自然的指数函数。&br&上次他知道，如果变化率是本身的k倍，那么它在t时刻的值就应该是e^kt。&br&那么如果变化率的变化率是本身的k^2倍呢？那么如果在开始并没有变化，它在t时刻的值就应该是e^kt。&br&不过，在这个项目里，变化率的变化率，却是本身的-1倍。&br&-1，是不能等于k^2的。&br&42&br&这天，生物学家来到了一个桃花源般的农村。&br&或许环境看起来很落后吧，村里最气派的建筑是学校的三层教学楼。&br&生物学家从教室走过。&br&“老师，为什么负数不能开平方呢？”&br&“因为不管正数还是负数，它乘上自己都是一个正数，而0乘自己是零。”&br&“那有没有不是正数也不是负数也不是零的数呢？”&br&教室里开始骚动，已经有人嘲笑这个同学了。&br&而此时，生物学家停下了脚步。&br&“没有这样的数。”&br&“老师，这样的数肯定有的，我们没发现而已。”&br&教室里哄堂大笑。&br&43.&br&&b&“这样的数肯定有的，我们没发现而已。”&/b&&br&在之前那块黑板上，面对着物理学家的质疑，生物学家斩钉截铁地说。&br&相比于物理学家的那一长串，生物学家只有一个分式：&br&cos(x)=(e^ix+e^-ix)/2&br&还有一个解释：&br&i^2=-1&br&“朋友，我们应该用科学的方式来解决这个问题，而不是幻想的方式。”物理学家不满地说。&br&“没错。”生物学家说，“但是如果你把这个值带入你求到的exp和cos的公式试试看呢？”&br&物理学家耸了耸肩。&br&计算完毕之后，他的表情惊讶地无以复加。&br&所有虚拟的i在计算完毕之后全部消失，也就是说，只要知道cos和exp的任何一个，通过这个虚拟的i，都可以得到另一个中不含i的关系式！&br&“朋友，i他虽然不真实。”&br&&b&“但它很自然。”&/b&&br&&br&&br&44 故事的结尾&br&在这块叫做数学的黑板上。&br&无数潦草的、工整的字迹，一步一步地将人类和自然拉进。&br&终于，最后一个算式，彻底毁灭了所谓超自然的神，对人类的最后一点控制。&br&那是一个幼稚的字迹，甚至有一种爬虫的感觉。&br&他的未来，可能是一名头戴礼帽，举止优雅的绅士，也可能是一位面朝黄土，为自己的未来耕耘的农民。&br&就和算式里的那个平方为负数一样的值充满着想象力，又和算式里其他的那些值一样富含着人类伟大的智慧和自然对我们的教诲。&br&所有看到这个算式的人，无不匍匐在自然的足下。&br&世界自此走向光明。&br&是时候揭示这个算式是什么了。&br&这时黑板最醒目的地方，赫然写着：&br&&b&e^iπ+1=0&/b&
直接从另一个答案转了。
作者：SaBoLi MONTAGE 链接： 来源：知乎 …
第一种：直接武力征服&br&第二种：生化改造&br&第三种：基础物理封锁&br&第四种：维度打击：二向箔&br&第五种：数学规律打击：直接改变宇宙运行规律
第一种：直接武力征服 第二种：生化改造 第三种：基础物理封锁 第四种：维度打击：二向箔 第五种：数学规律打击：直接改变宇宙运行规律
好问题，让我尝试不用公式，用跨越7000年人类文明的方式，来解读e的自然之美，争取有中学基础的人就能看懂。&br&&br&e有时被称为自然常数（Natural constant），是一个约等于2.……的无理数。&br&&br&以e为底的对数称为&a href=&///?target=http%3A//zh.wikipedia.org/wiki/%25E8%2587%25AA%25E7%%25E5%25B0%258D%25E6%& class=& wrap external& target=&_blank& rel=&nofollow noreferrer&&自然对数&i class=&icon-external&&&/i&&/a&（Natural logarithm），数学中使用自然（Natural）这个词的还有&a href=&///?target=http%3A//zh.wikipedia.org/wiki/%25E8%2587%25AA%25E7%%25E6%& class=& wrap external& target=&_blank& rel=&nofollow noreferrer&&自然数&i class=&icon-external&&&/i&&/a&（Natural number）。这里的“自然”并不是现代人所习惯的“大自然”，而是有点儿“天然存在，非人为”的意思。就像我们把食品分为天然食品和加工食品，天然食品就是未经人为处理的食品。&br&&br&但这样解读“自然”这个词太浅薄了！为了还原全貌，必须穿越到2500多年前的古希腊时代。&br&&br&（你也知道，穿越剧都很长(&﹏&)，不喜欢长篇大论的，可直接跳到后面看结论。）&br&&br&&br&&b&“自然”的发明&/b&&br&我们知道，人类历史上曾出现过很多辉煌的文明，例如大家熟知的四大文明：古巴比伦、古埃及、古印度河以及古代中国。&br&&br&但是要说谁对现代文明的影响最大？对不起，四大文明谁都排不上！真正对现代文明影响最大的是古希腊文明，特别是古希腊的哲学、科学思想，是整个现代文明的源头和基石。这里并不是要贬低四大文明，现代文明也从各文明继承了大量的文化遗产，只是相比古希腊要少很多。&br&&br&现代人的基础教育，无论是什么国家、什么社会制度、什么民族，在教科书里除了介绍自己的古代成就外（如四大发明），还会大篇幅的介绍古希腊的科学、哲学思想，来启蒙学生的心智，这是跨越国界的共同做法。&br&&br&大家都这样做的原因，就是因为古希腊哲学家发明了科学的思维方法和“自然”（Natural）这个词，在理论中用&b&自然&/b&来取代具体的神灵，这是人类文明史上划时代的发明。如果没有这个发明，现代文明可能还会晚出现数千年，所以这是至关重要的进步。&br&&br&在古希腊文明之外的古文明里，人们解释世间万物的运行时，总是要引入神灵等超自然、拟人化的因素。例如，得病了就认为鬼神附体，洪水泛滥就认为天神发怒，石人一出天下就可以造反了，总有一个超自然的神灵在操纵万物的运行。人们偏爱形象而戏剧化的解释，拟人化的神灵恰恰具有形象、戏剧化的特点，最易于接受和传播。现代喜欢希腊神话的人数，也远多于喜欢希腊哲学的。电视里最流行各种奇幻故事，例如狼人、吸血鬼什么的。古代人也一样，不同的是我们知道这是假的，古人则认为是真的，这成为他们理解世界运行的思维定势。&br&&br&直到公元前624年，&a href=&///?target=http%3A//zh.wikipedia.org/wiki/%25E6%25B3%25B0%25E5%258B%%2596%25AF& class=& wrap external& target=&_blank& rel=&nofollow noreferrer&&泰勒斯&i class=&icon-external&&&/i&&/a&的出现，才第一次用自然取代神灵的位置。&br&&img src=&/bef0c63ce9c856ca89f0dc80e347924c_b.jpg& data-rawwidth=&240& data-rawheight=&365& class=&content_image& width=&240&&泰勒斯被称为“科学和哲学之祖”、“科学之父”、“哲学史上第一人”！（还有比这更牛的称号吗？）&br&&br&其实泰勒斯是个多神论者，他认为神是存在的，是神让万物有了自己内在的规律。但解释万物的运行，不能靠凭空的制造故事，要靠坚实的证据来发现这些规律，并用理性的方法解读。这就是泰勒斯的最大贡献，开创了一套认识世界的全新思维方法，他关注的是证据、规律、理性，而不是神。&br&&br&尽管泰勒斯提出的理论现在看起来很粗糙。但是人们不再需要像宗教一样，把旧理论看成是不可否定的权威结论。只要有坚实的新证据和理性的推理，旧理论可以被修改或推翻，更好的理论就可以建立起来。这是一种可靠的、&b&可进化&/b&的理论体系。相反，宗教是停止进化的、只能膨胀的理论体系，例如你只能解读圣经，但不能否定圣经。&br&&br&后来的希腊哲学家不断借鉴和发展泰勒斯的理论，建立了“自然”(φ?σι?)的概念，“自然”代表万物因为本源而发生自然而然的变化。赫拉克利特还引入了&a href=&///?target=http%3A//zh.wikipedia.org/wiki/%25E9%E5%E6%2596%25AF& class=& wrap external& target=&_blank& rel=&nofollow noreferrer&&逻各斯&i class=&icon-external&&&/i&&/a&（希腊语：λ?γο?，英语：Logos）的观点，用以说明万物变化的规律性。逻各斯原来是指语言、演说、交谈、故事、原则等，这里的逻各斯则主要指一种尺度、大小、分寸，即数量上的比例关系。后来对数的发明人纳皮尔就用Logos和arithmos（算法）创造了单词Logarithm 来命名对数法，经过后人简化变成了对数符号log。&br&&br&几乎和古希腊同一时代，春秋战国时代的诸子百家也提出过一些相似的思想，例如老子的道。但很可惜，这种蓬勃发展的思想爆炸因为诸多原因戛然而止，只是昙花一现。但是限于篇幅，这里不再展开，请到最后的推荐阅读中了解。&br&&br&&br&&b&“自然”&/b&与美&br&古希腊的学者还给“自然”赋予美的含义，他们认为规律性就是一种和谐感，数学的比例是种超越肉体感官、只能靠心智才能领悟到的美。&a href=&///?target=http%3A//zh.wikipedia.org/wiki/%25E6%25AF%%25BE%25BE%25E5%%25E6%258B%%2596%25AF& class=& wrap external& target=&_blank& rel=&nofollow noreferrer&&毕达哥拉斯&i class=&icon-external&&&/i&&/a&就是其中最极端的代表，他对数学美的狂热追求超过了偏执的程度，美像神一样不可冒犯，&a href=&///?target=http%3A//zh.wikipedia.org/wiki/%25E6%25AF%%25BE%25BE%25E5%%25E6%258B%%2596%25AF%25E4%25B8%25BB%25E4%25B9%2589& class=& wrap external& target=&_blank& rel=&nofollow noreferrer&&毕达哥拉斯主义&i class=&icon-external&&&/i&&/a&走向了科学的反面，成了宗教。&br&&img src=&/54a54e5fddb6d8b43bde_b.jpg& data-rawwidth=&350& data-rawheight=&215& class=&content_image& width=&350&&毕达哥拉斯主义者庆祝日出&br&&br&这种宗教的狂热驱动他和信徒们不断的去挖掘“自然”之美，并在数学之外的音乐、建筑、雕刻、绘画等领域发现了大量的比例关系，最有名的是毕达哥拉斯定理（中国叫勾股定理）。毕达哥拉斯认为所有图形中，圆是最对称的，所以圆是最完美的图形。参见&a href=&///?target=http%3A///show_hdr.php%3Fxname%3DPPDDMV0%26dname%3DSAS1L41%26xpos%3D30& class=& wrap external& target=&_blank& rel=&nofollow noreferrer&&毕达哥拉斯学派美学思想（朱光潜）&i class=&icon-external&&&/i&&/a&&br&&br&&br&&b&“自然”思想的意义&/b&&br&雷军说得好，“在风口上，猪都会飞”！就像乔布斯开启了移动互联网时代，泰勒斯则开启了古希腊哲学时代。&br&&br&古希腊时代是一个科学、哲学大爆炸的时代，原本黑暗的天空中突然爆发出无数的新星：赫拉克利特、毕达哥拉斯、德谟克利特、苏格拉底、柏拉图、亚里士多德、阿基米德、欧几里得、希波克拉底等等，都因为得益于这套思维方法，发现了大量的自然规律，成为各学科领域里开天辟地的先贤。&br&&br&古希腊人还把自然的概念引入社会领域，来分析社会中的现象和规律。例如亚里士多德就曾经激烈的抨击借贷，认为在所有赚钱方法中，利息是最&b&不自然&/b&的。&br&&br&以自然作为基础，会比人为强制规定作为基础更稳定和可靠。&br&例如：&br&英尺(foot)的长度就是根据人的脚长来人为规定，人的脚长差异太大，历史上英尺发生过很多次变化，不稳定，这是不自然的。&br&而&a href=&///?target=http%3A//zh.wikipedia.org/wiki/%25E6%25B5%25B7%25E9%C& class=& wrap external& target=&_blank& rel=&nofollow noreferrer&&海里&i class=&icon-external&&&/i&&/a&的长度则接近自然，如下图，海里是根据地球周长计算的，是1角分的长度，变化就极小。&br&&img src=&/a8fc15fd76e2f5f0f85f2b_b.jpg& data-rawwidth=&272& data-rawheight=&267& class=&content_image& width=&272&&&br&对比之下，宗教等理论体系的基石并不是自然的，靠的是强制手段来确立的权威，这是不稳定的。当强制手段不再有效时，就会使宗教分裂成各种教派。&br&&br&自然思想不同于宗教，靠的是坚实的观察证据和理性思维，任何人都可以反复验证，具有可证伪性。这样打下的基础就非常的稳固。正是这种稳定性和可靠性，古希腊思想被越来越多的人所接受，对后人产生了巨大的影响，几乎奠定了现代所有科学领域的基础。&br&&br&经过2500多年的不懈努力，终于在&b&古希腊文明所铺就的最稳固基石&/b&上，人类建立起了现代文明的宏伟大厦。&br&&br&&br&&b&自然数中的“自然”&/b&&br&古希腊认为像1、2、3这样的数，是事物本身就有的属性，可以用来描述日常事物的数量和顺序，无需过多解释，就是3岁小孩也能快速理解，所以这些数被称为自然数（Natural number）。&br&&br&但这种朴素的自然观限制了数的范围，无法解释0，负数、分数、小数等数。古希腊人认为这些数并不自然，是人为了计算而&b&发明&/b&出来的，不是自然的数。&br&&br&毕达哥拉斯就非常厌恶无理数，无理数的不规律破坏了和谐美。他的门生希帕索斯Hippasus就是因为发现了√2并公布出去，居然被毕达哥拉斯以渎神的罪名被淹死了，这被称为数学史上的&a href=&///?target=http%3A//zh.wikipedia.org/wiki/%25E7%25AC%25AC%25E4%25B8%%25AC%25A1%25E6%%25E5%25AD%25B8%25E5%258D%25B1%25E6%25A9%259F& class=& wrap external& target=&_blank& rel=&nofollow noreferrer&&第一次數學危機&i class=&icon-external&&&/i&&/a&。后人认为毕达哥拉斯也发现了&a href=&///?target=http%3A//zh.wikipedia.org/wiki/%25E9%25BB%%E5%E5%%25E6%25AF%2594& class=& wrap external& target=&_blank& rel=&nofollow noreferrer&&黄金分割率&i class=&icon-external&&&/i&&/a&，但因为也是无理数，所以一直秘而不宣。&br&&br&现代我们知道，没有受过基础数学教育的人要想理解这些数，不仅需要了解更复杂的概念模型，还要熟悉加、减、乘、除等运算方法，只有这样才能完全明白。而更复杂的数，例如无理数、&a href=&///?target=http%3A//zh.wikipedia.org/wiki/%25E4%25BB%25A3%25E6%%25E6%& class=& wrap external& target=&_blank& rel=&nofollow noreferrer&&代數數&i class=&icon-external&&&/i&&/a&和&a href=&///?target=http%3A//zh.wikipedia.org/wiki/%25E8%25B6%%25B6%258A%25E6%& class=& wrap external& target=&_blank& rel=&nofollow noreferrer&&超越數&i class=&icon-external&&&/i&&/a&，也需要了解更复杂的运算。&br&&br&我们的主角e，就是超越数，既然理解e的含义需要理解相关的运算，而这些运算最早都和利息有关，所以我们继续穿越。从古希腊再往回穿越4000年，穿越到7000年前的苏美尔文明时代。&br&&br&&br&&b&利息的发明&/b&&br&7000年前，美索不达米亚的苏美尔人因为发达的农业和贸易，建立起人类最早的文明和城市，参见问题《&a href=&/question//answer/& class=&internal&&为什么会有国家？&/a&》。&br&&br&苏美尔人也第一个发明了利息，一起通过一个虚构的小故事来理解利息的起源：&br&&ul&&li&农民张三经常去城市卖粮食、换日常用品，他发现城里人很喜欢羊奶，这是一个商机！&br&&/li&&li&但是他自己没有母羊，也买不起，于是他找到牧羊人王二小，想租借他的母羊。&br&&/li&&li&张三想用大麦作为每年母羊的租金，但王二小想了想，不想把母羊租给他。&br&&/li&&li&因为母羊每年都生羊羔，把母羊给张三，虽然有租金，但羊羔的收益就没了。&br&&/li&&li&张三明白了王二小的顾虑，就承诺他只用母羊产奶，如果母羊生下羊羔，羊羔还是归王二小。&br&&/li&&li&王二小认为这样才比较划算，于是就答应了租借母羊。&br&&/li&&li&张三和王二小到神庙，要在神的见证下订立合同。&br&&/li&&li&公证人用楔形文字把债务合同刻在了泥板上，并明确了租金和羊羔的归属。&br&&/li&&/ul&&br&羊羔收益成为租借者的应得利润，&b&这很公平，也很自然&/b&。&br&&br&后来人们发现借钱也应该给羊羔收益，因为这笔钱如果用来买母羊，每年都会有羊羔收益。所以钱借给贷款者，他除了要归还本金，还要归还这笔钱本应获得的羊羔收益。&br&&br&这个羊羔收益就成为了后来我们熟知的利息，在苏美尔文字中，利息的单词mas原本是牲畜幼崽的意思，随着时间的推移，利息的含义逐渐和牲畜没有了关系。这和我们汉字中货币、宝贝、财产等词中都含“贝”字是一样，因为海贝就是3000多年前夏商时代流通的货币。&br&&br&历史上每次新能源的普及都会引发人类社会革命性的进步，利息就是一种革命性的新能源发明，只是这次驱动的不是机器，而是人。&br&&br&&b&利息的价值就在于其巨大的激励作用&/b&，驱动人们把自己的资源拿出来，分享给其他人使用。利息的激励模式也迅速在实物、粮食、金银等资产借贷上得到普及。金融领域的第二大创新（第一是货币）就这样诞生了。&br&&br&4000多年前的《埃什嫩那法典》（The Law of Eshnunna）中就有了对利息的规定：&br&每1谢克尔&白银&（180粒大麦）的利息是36粒大麦（即利率为20%）；&br&每300塞拉（sila）&谷物&的利息是100塞拉（即利率为33.33%）。&br&&img src=&/7a4a2a60e88f3e4d56129a_b.jpg& data-rawwidth=&580& data-rawheight=&535& class=&origin_image zh-lightbox-thumb& width=&580& data-original=&/7a4a2a60e88f3e4d56129a_r.jpg&&来源：&a href=&///?target=http%3A//iraq.iraq.ir/museum/fi/.htm& class=& wrap external& target=&_blank& rel=&nofollow noreferrer&&Iraq National Museum&i class=&icon-external&&&/i&&/a&&br&&br&激励机制设计在经济、管理、教育等领域有着核心动力的关键作用，设计好了就可以把人的自身潜能释放出来，这一点，喜欢玩游戏的都有切身体会。正是知乎的激励机制设计的好，我这篇超长文才写得出来。XX问答类网站无法让用户做到，是因为他们激励的方向是数量，而不是质量。&br&&br&尽管利息能激励交换，但人们对利息还是有着爱恨交加的复杂感情：当急需钱时，人们焦急的不惜一切代价筹钱；等到终于借到钱，需要还利息时，人们又开始愤愤不平。&br&&br&柏拉图就曾经主张，人们应该只还本金，不要归还利息。参见&a href=&///?target=http%3A///ReadNews.asp%3FNewsID%3D27306& class=& wrap external& target=&_blank& rel=&nofollow noreferrer&&古希腊的债务危机&i class=&icon-external&&&/i&&/a&&br&他的学生亚里士多德在《政治论》一书中也激烈的抨击利息，认为在所有赚钱方法中，&b&利息是最不自然的&/b&。&br&&blockquote&And this term interest, which means the birth of money from money, is appliedto the breeding of money because the offspring resembles the parent. Wherefore of an modes of getting wealth this is &b&the most unnatural&/b&.&/blockquote&来源：&a href=&///?target=http%3A//classics.mit.edu/Aristotle/politics.1.one.html& class=& external& target=&_blank& rel=&nofollow noreferrer&&&span class=&invisible&&http://&/span&&span class=&visible&&classics.mit.edu/Aristo&/span&&span class=&invisible&&tle/politics.1.one.html&/span&&span class=&ellipsis&&&/span&&i class=&icon-external&&&/i&&/a&&br&&br&每个时代的人们都有他们思想的天花板，亚里士多德的天花板就是不能接受金钱可以像生命一样增殖。他认为这是荒诞的、不是钱原来的属性、是不自然的。但如果他知道利息的起源，明白利息在经济系统中的推动作用，他可能会改变观点，整个人类经济和政治史都会彻底改写了。&br&&br&柏拉图和亚里士多德并不是第一个站出来抨击利息的人，但是他们在历代学者和政治精英中的巨大影响力，这些观点后来成为了社会的主旋律，后世的社会现象，例如中世纪教会禁止收息放贷、犹太人被歧视迫害，以及马克思的共产主义思想，都和柏拉图、亚里士多德有着一脉相承的关系。&br&&br&好了，先从历史里出来一会儿，让我们来看一下利息和e的关系。&br&&br&&br&&b&利息中的e&/b&&br&e和圆周率π都是超越数，π的含义可以通过下图的&a href=&///?target=http%3A//zh.wikipedia.org/wiki/%25E5%%25E5%259C%%259C%25AF_%28%25E5%E5%25BE%25BD%29& class=& wrap external& target=&_blank& rel=&nofollow noreferrer&&割圆术&i class=&icon-external&&&/i&&/a&来很形象的理解。&br&假设等边形的对角线长为1，只要等边形的边足够多，算出来的周长就可以越来越接近圆周率π。&br&&img src=&/93faab14be951b226ad155debe04dacf_b.jpg& data-rawwidth=&300& data-rawheight=&300& class=&content_image& width=&300&&&br&但是解释e的含义却很难找到这样直观的例子，阮一峰翻译的文章《&a href=&///?target=http%3A///article/50264/& class=& wrap external& target=&_blank& rel=&nofollow noreferrer&&数学常数e的含义&i class=&icon-external&&&/i&&/a&》说的很好，只是公式太多，并不直观。&br&幸好我在原文《&a href=&///?target=http%3A///articles/an-intuitive-guide-to-exponential-functions-e/& class=& wrap external& target=&_blank& rel=&nofollow noreferrer&&An Intuitive Guide To Exponential Functions & e&i class=&icon-external&&&/i&&/a&》中找到了很直观的图，只要理解了这个例子，e的含义就明白了。&br&&br&假设你在银行存了1元钱（下图蓝圆），很不幸同时又发生了严重的通货膨胀，银行存款利率达到了逆天的100%！&br&银行一般1年才付一次利息，根据下图，满1年后银行付给你1元利息（绿圆），存款余额=2元&br&&img src=&/c76ffeb8fe55e54c7faf98c53ca4371c_b.jpg& data-rawwidth=&400& data-rawheight=&226& class=&content_image& width=&400&&&br&银行发善心，每半年付利息，你可以把利息提前存入，利息生利息(红圆)，1年存款余额=2.25元&br&&img src=&/d632afd3df06a857ecb93b_b.jpg& data-rawwidth=&414& data-rawheight=&226& class=&content_image& width=&414&&&br&&br&假设银行超级实在，每4个月就付利息，利息生利息(下图红圆、紫圆)，年底的余额≈2.37元&br&&img src=&/ae3bed44da1118ecf76b_b.jpg& data-rawwidth=&414& data-rawheight=&226& class=&content_image& width=&414&&&br&假设银行人品爆发，一年365天，愿意天天付利息，这样利滚利的余额≈2.元&br&&br&假设银行丧心病狂的每秒付利息，你也丧心病狂的每秒都再存入，1年共秒，利滚利的余额≈2.元&br&&br&这个数越来越接近于e了！&br&哎呀！费了半天劲也没多挣几个钱啊！&br&对！&b&1元存1年，在年利率100%下，无论怎么利滚利，其余额总有一个无法突破的天花板，这个天花板就是e，&/b&有兴趣可以用这个&a href=&///?target=http%3A///%3Fd%3DUGx1ZyBpbiBkaWZmZXJlbnQgdmFsdWVzIG9mIG4gdG8gYXBwcm94aW1hdGUgZS4%26c%3DbiA9IDEwMHxlID0gKDEgKyAxL24pXm58fHx8fA%26s%3Dsssssss%26v%3D0.9& class=& wrap external& target=&_blank& rel=&nofollow noreferrer&&网上计算器&i class=&icon-external&&&/i&&/a&算一下。&br&&br&我们和圆周率再做个对比：&ul&&li&多边形的边数和利滚利的次数是相似的。&/li&&li&对角线为1的n边等边形，n趋于无穷，周长就无限接近于π，即π是周长的最大值。&br&&/li&&li&年利率为1（100%）的1元存款，利滚利的次数n趋于无穷，存款就无限接近e，即e是存款的最大值。&/li&&/ul&&br&换种表述方法：&br&&ul&&li&每个完美的圆，其周长都是π的倍数；&br&&/li&&li&每个理想的存款，其余额都是e的倍数。&br&&/li&&/ul&这里停一停，你好好体会一下。&br&&br&按照自然的观点，如果圆是最美的，那最赚钱也是最理想的。&br&&br&有人问了：为啥银行不每秒返利息呢？这样就不是100%回报率，而是171.8%了，还我的71.8%！&br&银行哭到：臣妾做不到啊！！！&br&&br&以上是意淫，银行不会这样发利息，洗洗睡吧，下面这个案例才比较现实。&br&&br&&br&&b&利息的逆运算&/b&&br&还是从一个虚构的故事开始：&br&&ul&&li&有一土豪要去银行存入大额存款，比如存1元。&br&&/li&&li&银行经理推荐他投资理财产品，因为年利率高达100%，按照指数运算，bla bla bla……&br&&/li&&li&但土豪的数学只有小学水平，听不懂有点烦，就问投资多长时间才能到10倍，100倍，1000倍？&br&&/li&&li&经理有点懵，土豪不按常理出牌啊！&br&&/li&&li&一般人都是根据存款时间问收益，例如收益第1年多少、第2年多少、第3年多少……&br&&/li&&li&土豪居然逆向思维，根据收益问时间，多少年2倍，多少年5倍，多少年10倍！&br&&/li&&li&不愧是老板，不问过程，只问结果！&br&&/li&&li&于是经理就从第1年开始算，把10年内每年的收益都算出来，列成一个收益列表，如下图：&/li&&img src=&/b99ea4cab8c2d7ee6fae76c6b9ca75d8_b.jpg& data-rawwidth=&196& data-rawheight=&325& class=&content_image& width=&196&&&li&然后再找出收益最接近10倍，100倍，1000倍的年份指给土豪&br&&/li&&li&土豪一看第4年、第7年、第10年就肯定超过预期收益，非常高兴！&br&&/li&&/ul&&br&经理用这张表查找收益，再找到最接近收益的大体年份的过程，就是利息的逆运算，是最简单的对数运算，这个表就是对数表的雏形。&br&&br&其实这和我们根据加法表进行减法运算、根据乘法表进行除法运算是同一个道理。&br&例如知道了&img src=&///equation?tex=3%5Ctimes+7%3D21& alt=&3\times 7=21& eeimg=&1&&，就可以很快知道&img src=&///equation?tex=21%5Cdiv+3& alt=&21\div 3& eeimg=&1&&的除法逆运算结果了。&br&&br&好了，放松一下大脑，继续回来穿越历史。&br&&br&&br&&b&对数发明的历史&/b&&br&据说4000多年前，古巴比伦时代的人们就发明对数和对数表了，但因为我没找到资料证实，只能从近代开始。&br&&br&16、17世纪，英、法加入了大航海的行列，开始了美洲殖民地的开拓，远洋贸易变得日益频繁。那时的人们已经知道地球是球形，大海上船只的位置靠经纬度来确定。&br&&br&纬度测定很容易，几千年前人们就知道，通过测量北极星的仰角，可以估算出船已经在南北方向航行了多远。但是经度的测量不是一般的困难。在茫茫的大洋上，如果无法准确测定船只的经度，代价会极为高昂。&br&&br&1707年，四艘英国战舰击败法国地中海舰队回航，10多天的浓雾让舰队完全迷失，因为算错经度，舰队触礁，两千名士兵死亡。1714年英国悬赏2万英镑（相当于现代的2000多万人民币），寻求精确测得经度的方法。&br&&br&对于商人来说，与市场上的同类对手竞争，谁的航海定位越准确，意味着风险越低、利润越高。&br&对海军也是，同样的战舰，定位越准确，航行的时间越短，在战争中速度往往是决胜的关键。&br&&br&经度的精确测量问题直到18世纪才得到有效解决，这归功于&a href=&///?target=http%3A//zh.wikipedia.org/wiki/%25E7%25BA%25A6%25E7%25BF%25B0%25C2%25B7%25E5%E9%E6%25A3%25AE& class=& wrap external& target=&_blank& rel=&nofollow noreferrer&&约翰·哈里森&i class=&icon-external&&&/i&&/a&发明了高精度机械钟表。这段历史还被拍成了电影和记录片，推荐一本精彩的书《&a href=&///?target=http%3A///subject/2221395/& class=& wrap external& target=&_blank& rel=&nofollow noreferrer&&经度：一个孤独的天才解决他所处时代最大难题的真实故事》&i class=&icon-external&&&/i&&/a&和罗辑思维的节目《&a href=&///?target=http%3A///v_show/id_XNTU3ODc1MzYw.html& class=& wrap external& target=&_blank& rel=&nofollow noreferrer&&击溃牛顿的钟表匠&i class=&icon-external&&&/i&&/a&》。&br&&a class=&video-box& href=&///?target=http%3A///v_show/id_XNTU3ODc1MzYw.html& target=&_blank& data-video-id=&& data-video-playable=&& data-name=&击溃牛顿的钟表匠[罗辑思维]No.23& data-poster=&/1A71947E1ADE255-D19-FD0ED587CDF9& data-lens-id=&&&
&img class=&thumbnail& src=&/1A71947E1ADE255-D19-FD0ED587CDF9&&&span class=&content&&
&span class=&title&&击溃牛顿的钟表匠[罗辑思维]No.23&span class=&z-ico-extern-gray&&&/span&&span class=&z-ico-extern-blue&&&/span&&/span&
&span class=&url&&&span class=&z-ico-video&&&/span&/v_show/id_XNTU3ODc1MzYw.html&/span&
&/a&&br&但是在哈里森之前的数百年里，人们只能求助于天文学家来解决，因为天空就是人们最早、最精确的钟表，太阳、月亮、星星等天体就是上面的表针，读懂这个钟表，就可以知道时间和经度了。&br&&br&天文学家观测天体，计算出运行的轨道，来预测未来几年每个时间点上天体所在的精确位置，英国天文学家以格林尼治天文台的时间为基准，再把时间和天体位置整理成详细的表格，公开出版发行。这套星表可不便宜，星表加上六分仪售价约20英镑，相当于现在2万人民币，即便这样也经常脱销。海上的人用六分仪测量天体，再去查那本高价天文表格，求得当地时间和格林尼治时间，知道两地的时间差，就知道现在的经度了。&br&&br&16世纪和17世纪之交，天文学家&a href=&///?target=http%3A//zh.wikipedia.org/wiki/%25E7%25AC%25AC%25E8%25B0%25B7& class=& wrap external& target=&_blank& rel=&nofollow noreferrer&&第谷&i class=&icon-external&&&/i&&/a&和&a href=&///?target=http%3A//zh.wikipedia.org/wiki/%25E5%E5%258D%259C%25E5%258B%2592& class=& wrap external& target=&_blank& rel=&nofollow noreferrer&&开普勒&i class=&icon-external&&&/i&&/a&通过大量的观测，绘制了当时最精确的星图，解决了天文学家天文数据精度不足的难题。有了高精度的星图，全欧洲的数学家开始了天体轨道的计算竞赛，很多科学家也因此获得了商业和学术上的丰厚回报。那时的天文学家、数学家可不是像现代这么冷门，更像当今那些IT、金融等热门行业里的精英一样，享受着人人羡慕的不菲高薪。&br&&br&顺便说一下，日心说之所以能取代地心说，也是因为日心说模型更简洁，不仅计算起来更简单，而且预测非常准确，可以很好的解释行星逆行等现象，这是地心说完全做不到的。&br&&br&即使这样，要想预测天体的运行，其计算也是极其繁琐和浩瀚的，在解决计算问题时，数学家们发明了大量崭新的数学理论和计算工具，包括对数、解析几何、微积分和牛顿力学等伟大的创新。可以说天文学是当时科学界最闪亮的宝石，是当时的高科技热门产业。&br&&br&其中，对数的发明人就是&a href=&///?target=http%3A//zh.wikipedia.org/wiki/%25E7%25B4%%25BF%25B0%25C2%25B7%25E7%25B4%258D%25E7%259A%25AE%25E7%2588%25BE& class=& wrap external& target=&_blank& rel=&nofollow noreferrer&&約翰·納皮爾&i class=&icon-external&&&/i&&/a&。&br&&img src=&/95dd249a344ced0b3bfa6_b.jpg& data-rawwidth=&317& data-rawheight=&400& class=&content_image& width=&317&&&br&纳皮尔是天文学家、数学家，在计算轨道数据时，也被浩瀚的计算量所折磨。&br&&blockquote&&看起来在数学实践中，最麻烦的莫过于大数字的乘法、除法、开平方和开立方，计算起来特别费事又伤脑筋，于是我开始构思有什么巧妙好用的方法可以解决这些问题。&&br&--约翰·纳皮尔，《奇妙的对数表的描述》（1614）&/blockquote&《&a href=&///?target=http%3A///subject/4605553/& class=& wrap external& target=&_blank& rel=&nofollow noreferrer&&e的故事：一个常数的传奇 &i class=&icon-external&&&/i&&/a&》&br&&br&但纳皮尔不是一般人，不想像IT民工一样苦逼的重复劳动，于是用了20年的时间，进行了数百万次的计算，发明了对数和对数表，堪称学霸中的战斗机。&br&&br&为了理解对数计算的优势，我们通过案例来说明，下面的表格里有两个数列：&br&&img src=&/f5278eaceecad_b.jpg& data-rawwid}