离散数学｛2，4，6，12｝的子集{4,6}的最小上界最大下界是啥_百度知道
离散数学｛2，4，6，12｝的子集{4,6}的最小上界最大下界是啥
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浙江理工大学数学研究所介绍
研究所简介
浙江理工大学数学研究所成立于2003年，主要负责数学学科的建设与发展，下设“数学计算与软件工程实验中心”。所长为周颂平教授，石钟慈院士兼任荣誉所长。成员中现有教授11人，具有博士学位者13人。
主要研究方向有构造性分析、复分析、微分方程与动力系统、模糊数学、非线性分析、运筹与优化、软件工程等。自成立以来，获浙江省科学技术奖一等奖1项；主持973子项目1项、国家自然基金3项、省自然基金5项；发表学术论文100多篇，其中SCI收录50多篇。
网站制作成员：黄土森，梁道雷，茅志刚，邓学梅
§1.2 数集和确界原理
教学目的 ：使学生掌握确界原理，建立起实数确界的清晰概念．
教学要求： (1) 掌握邻域的概念；
(2) 理解实数确界的定义及确界原理，并在有关命题的证明中正确地加以运用．
教学重点 ：确界的概念及其有关性质（确界原理）．
教学难点 ：确界的定义及其应用．
教学方法 ：讲授为主．
教学程序 ：先通过练习形式复习上节课的内容，以检验学习效果，此后导入新课．
上节课中我们对数学分析研究的关键问题作了简要讨论；此后又让大家自学了第一章 § １实数的相关内容．下面，我们先来检验一下自学的效果如何！
1. 证明： 有
2. 证明： ．
3. 设 ，证明：若 有 ，则 ．
4. 设 满足 ，证明：存在有理数 满足 ．
[ 引申 ] ：
①由题 1 可联想到什么样的结论呢？这样思考是做科研时的经常的思路之一．而不要做完就完了！而要多想想，能否具体问题引出一般的结论：一般的方法？
②由上述几个小题可以体会出“大学数学”习题与中学的不同；理论性强，概念性强，推理有理有据，而非凭空想象；
③课后未布置作业的习题要尽可能多做，以加深理解，语言应用．提请注意这种差别，尽快掌握本门课程的术语和工具（至此，复习告一段落）．
本节主要内容 ：
1 ．先定义实数集 中的两类主要的数集 --- 区间与邻域；
2 ．讨论有界集与无界集；
3 ．由有界集的界引出确界定义及确界存在性定理（确界原理）．
一 . 区间与邻域
在中学里，我们在学习集合时已经知道集合一般有四种表示法：字母表示法、列举法、描述法与文氏图法．对于实数集 中的某些特殊的子集，为了以后用来表示变量的变化范围，往往用下面的“区间”来表示更方便
1. 区间（用来表示变量的变化范围）
设 且 ．则
联想：“邻居”．字面意思：“邻近的区域”．与 邻近的“区域”很多，到底哪一类是我们所要讲的“邻域”呢？就是“关于 的对称区间”；如何用数学语言来表达呢？
(1) 的 邻域 ：设 ， 满足不等式 的全体实数 的集合称为点 的 邻域，记作 ，即
注意：当不强调邻域的半径时，以 为中心的任意开区间都是 的邻域，且简记为 ！
(2) 点 的空心 邻域
(3) 点 的 右邻域和点 的空心 右邻域
(4) 点 的 左邻域和点 的空心 左邻域
(5) 邻域， 邻域， 邻域
设 是一个充分大的正数
二 . 有界集与无界集
什么是“界”？
定义１ （ 上、下界 ） (P5) ： 设 为 中的一个数集．
(1) 若 ，则称 为 有上界的数集 , 数 称为 的一个 上界 ；
(2) 若 ，则称 为 有下界的数集 , 数 称为 的一个 下界 ；
(3) 若数集 既有上界，又有下界，则称 为 有界集 ．
(4) 若数集 不是有界集，则称 为 无界集．
1) 上界若存在，不唯一；若 称为 的一个上界，则任何比 大的数都是 的上界，从而任意有界集必有无穷多个上界．对有下界集也有类似的结果．
2) 如何定义 无上（下）界？ (P9/2(1))
3) 数集 为有界集，由定义，数集 既有上界，又有下界，即
显然， 为有界集 ．
4) 为无界集，由定义， 或者无上界，或者无下界．
显然， 为无界集 ．
例 1 讨论数集 的有界性．
先介绍一个记号 (P6 脚注① ) ： ，用 表示不超过 的最大整数，例如 ， ， ， ．显然 成立．
分析：有界或无界 上界、下界？下界显然有，如取 ；上界似乎无，但需要证明．
解：任取 ，显然有 ，所以 有下界 ；但 无上界．证明如下：假设 有上界 , 则 ，按定义，对任意 ，都有 ，这是不可能的，如取 则 ，且 .
综上所述知： 是有下界无上界的数集，因而是无界集．
例 1' 证明：
(1) 任何有限区间都是有界数集；
(2) 无限区间都是无界数集；
(3) 由有限个数组成的数集是有界数集．
1. 证明数集 是有界数集；
证明 因为 ， ，所以 数集 是有界数集
2. 证明数集 是无界数集；
证明 因为 ，要使 且 ，只要 且 即可．
于是 ， ， ，故 数集 是无界数集．
由上面的注意 1) 可知， 上界若存在，不唯一；若 称为 的一个上界，则任何比 大的数都是 的上界，从而任意有界集必有无穷多个上界，而所有上界中最小的那个常常具有特别重要的意义，并称之为上确界；同样地，有下界数集的所有下界中最大的那个称之为下确界．
这些就是下面要介绍的
三 . 确界与确界原理
定义 2( 上确界 )(P6) 　设 是 中的一个数集．若数 满足：
(i) ，即 是 的一个上界；
(ii) ，即任何比 小的数都不是 的上界，换句话说， 是 的最小的上界．
则称数 为数集 的 上确界 (Supremum) ，记作 ．
定义 3( 下确界 )(P6) 　设 是 中的一个数集．若数 满足：
(i) ，即 是 的一个下界；
(ii) ，即任何比 大的数都不是 的下界，换句话说， 是 的最大的下界．
则称数 为数集 的 下确界 (Infimum) ，记作 ．
上确界与下确界统称为 确界 ．
例 2 (P6) 设 ．试按上、下确界的定义验证 ， ．
证明 先验证 ：
(i) ，显然有 ，即 是 的上界；
(ii) ，若 ，则任取 都有 ；若 ，从而 ，则由有理数集中的稠密性，在 中必有有理数 ，即 ， ．
由 (i) 与 (ii) 知， ．
(i) ，显然有 ，即 是 的下界；
(ii) ，若 ，则任取 都有 ；若 ，从而 ，则由有理数集中的稠密性，在 中必有有理数 ，即 ， ．
由 (i) 与 (ii) 知， ．
同理可证：
(1) 设 ，则 ， ；
(2) 设 ，则 ， ；
(3) 对于正整数集 ，则 ，而没有上确界．
1) 由上（下）确界的定义可知，若数集 存在上（下）确界，则一定是唯一的；
2) 由上、下确界的定义可知，则 ；
3) 数集 的上、下确界可能属于 ，也可能不属于 ．
4) 与上、下确界相对应的，我们比较熟悉的有最大、小数的概念
定义 设 是 中的一个数集．
(1) 若 ， ，则称 为 的最大数 (maximun number) ，记为 ；
(2) 若 ， ，则称 为 的最小数 (minimun number) ，记为 ．
例 3 设数集 有上确界．证明
证明 ) 设 ，则 ，而 ，故 是数集 中最大的数，即 ；
) 设 ，则 ；下面验证 ：
(i) ，显然有 ，即 是 的上界；
(ii) ， ， ．
同理 （ P9/5 ）
上面的例子告诉我们，有的数集未必有上确界或下确界．问何时一个数集肯定有上、下确界呢？
2. 确界原理
定理 1.1( 确界原理 )(P7) 设 是非空数集．
(1) 若 有上界，则必有上确界；
(2) 若 有下界，则必有下确界；
证明 仅证明 (1) ．若 有上界，则
(i) 先设 中含有非负数．因为 有上界，所以 使得
对于左闭右开区间 作十等分，则分点分别为 ， 从而 使得
再对左闭右开区间 作十等分，则分点分别为 ， 从而
一般地对于左闭右开区间 作十等分，则分点分别为
， 从而 ， 使得
将上述步骤无限地进行下去，得到实数 ．下面证明 ．
i) 有 ；实际上，倘若不然， ， ，则由命题 2 ，存在 的 位不足近似值 和 的 位过剩近似值 使得 ，从而
，导致矛盾．所以 有 ．
ii) ， ， ．实际上，因为 ，则由命题 2 ，存在 的 位不足近似值 和 的 位过剩近似值 使得 ，即 ．由 的构造， 有 ，所以只须取 即可．
(ii) 若 中不含有非负数，即 有 ，则 使得
对于左开右闭区间 作十等分，则分点分别为 ， 从而 使得
再对左开右闭区间 作十等分，则分点分别为 ， 从而
一般地对于左开右闭区间 作十等分，则分点分别为
， 从而 ， 使得
将上述步骤无限地进行下去，得到实数 ．下面证明 ．
i) 有 ；实际上，倘若不然， ， ，则由命题 2 ，存在 的 位不足近似值 和 的 位过剩近似值 使得 ，从而
，导致矛盾．所以 有 ．
ii) ， ， ．实际上，因为 ，则由命题 2 ，存在 的 位不足近似值 和 的 位过剩近似值 使得 ，即 ．由 的构造， 有 ，所以只须取 即可．
例 4 (P8) 设 、 为非空数集，满足 和 有 ．证明：数集 有上确界，数集 有下确界，且 ．
证明 由假设， ， 都是 的上界，由确界原理， 存在；同理 也存在．
因为 ， 是 的一个上界，而由上确界的定义， 的上确界是 的最小上界，故有 ．而上式表明 是数集 的一个下界，故由下确界的定义， 的上确界是 的最小上界，故 成立．
例 5 (P8) 设 、 为非空有界数集， ．证明：
证明 由于 显然也是非空有界数集，所以 与 均存在．
一方面， 有 或者 或者 ，从而 ，故得到 ；
另一方面， 有 ；同理又有 ．所以有
一方面， 有 或者 或者 ，从而 ，故得到 ；
另一方面， 有 ；同理又有 ．所以有
例 4' 设 、 为非空有界数集，且有 ．证明 ， ．
3. 广义的确界定义与确界原理 (P9)
在确界原理中，要求非空数集 是有上界或有下界的．若没有这个大前提，则确界原理未必成立 ( 如 就没有上确界！ ) ．为了使得对任一非空数集都有确界，必须把数集的定义进行拓广，即需要把非正常数 与 补充到实数集合中去，得到广义实数集合
并规定： ，成立 ， ， ．
定义 ( 广义上、下确界 ) (P9) 设 是 中的一个数集．
(i) 若 是一个无上界的数集，则规定 并把 称为 的广义上确界；
(ii) 若 是一个无下界的数集，则规定 并把 称为 的广义下确界；
相应地，前面定义 2 和定义 3 中所定义的确界分别称为正常上、下确界．
定理 ( 广义确界原理 ) (P9) 任一非空数集必有上、下确界 ( 正常的或广义的 ) ．
例如，对于正整数集 ，有 ， ；
对于数集 ，则 ， ．
［作业］： P9/1(1,2) ； 2 ； 4(2,4) ； 7*(2) ； 8* ； P21/1 ．
1 、确界的定义
例 1 讨论数集 的确界．
分析：通过数轴看有无上、下界，进一步讨论上、下确界．
提示：利用有理数集在实数集中的稠密性． ， ．
（ 1 ）　设 ，证明 ， ．
（ 2 ）设 ，证明 ， ．
（ 3 ）设 ，证明 不存在， ．
2 、确界的性质
•& 唯一性：若数集 存在上（下）确界，则一定是唯一的；
•& 若数集 存在上、下确界，则有 ；
•& 数集 的确界可能属于 ，也可能不属于 ；
•& 存在性：
定理 1.1 （确界原理） 设 为非空数集，若 有上界，则 必有上确界；若 有下界，则 必有下确界．
例 3 　设数集 有上界，证明： ．
分析：由确界原理， 意义，按确界定义证明．
例 4 ．设 、 为非空数集，满足：对一切 和 有 ．证明：数集 有上确界，数集 有下确界，且 ．
分析：首先，证明 与 有意义，用确界原理．其次，证明 ．
例 5 　设 、 为非空有界数集， ，证明：
（ 1 ） ；
（ 2 ） ．
分析：首先，由 及 、 的性质知， 也是非空有界集．其次，证明（ 1 ）、（ 2 ）．
小结、布置作业： P9/5 ； 6 ； 8 ； P21/1 ．
习题讲解： P4/1(1) ； 3 ； P9/2 ．离散数学模拟试题一 - 百度文库
离散数学模拟试题一
西安电子科技大学
期末考试试题
课程名称：__离散数学
考试形式：
学习中心：_________
考试时间：
名：_____________
一 填空题（每空2分，合计20分）
1.如果有限集合A有n个元素，则|2A|= 。
2.设P：它占据空间，Q：它有质量，R：它不断运动，S：它叫做物质。命题“占据空间的，有质量的而且不断运动的叫做物质”的符号化为
3.某人有三个儿子，组成集合A={S1,S2,S3}，在A上的兄弟关系具有
4.公式?(P∨Q)∧(P∨?(Q∧?S))的对偶公式为
5. 设K[N]= ??6.设X={a,b,c}，X上的关系R的关系矩阵是MR=?110?，则
?11?MRoR=1
7.若f:A→B是函数，则当f是A→B的
，f是f的逆函数。 c ，则K[N×(0,1)]=
=v,E=e8.若连通平面图G=&V,E&共有r个面，其中，则它满
足的Euler公式为
9.命题公式AP∨(?P→(Q∧(?Q→R)))的主合取范式为
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贡献者：ershuai7设A={1,2,3,4,5},A上的偏序关系.R={,,,,,}∨IA (1)作出偏序关系R的哈斯图 (2)令B={1,2,3,4,5}求B的最大最小元,极大极小远,上界,上确界,下界,下确界.第二问是｛1,2,3,5｝.打错
meTS67GN23
从R的关系图里面去掉环,破坏传递性,得到的哈斯图是&&B={1,2,3,5}的最小元是4,最大元不存在,极小元是4,极大元是2,5,上界不存在,上确界不存在,下界是4,下确界是4.
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