7反常积分――反常积分的概念和计算_百度文库
两大类热门资源免费畅读
续费一年阅读会员，立省24元！
评价文档：
7反常积分――反常积分的概念和计算
上传于||暂无简介
大小：757.00KB
登录百度文库，专享文档复制特权，财富值每天免费拿！
你可能喜欢你看不到我~
看不到我……
：32 反常积分.
操作失败, 请稍后再试
分享给好友
麻省理工开放课程：单变量积分 32 反常积分.
下载至电脑
扫码用手机看
用或微信扫码在手机上继续观看
二维码2小时内有效
把视频贴到Blog或BBS&&
<input id="link4" type="text" class="form_input form_input_s" value=''>
flash地址:
<input type="text" class="form_input form_input_s" id="link3" value=''>
手机扫码分享视频
二维码2小时内有效
麻省理工开放课程：单变量积分 32 反常积分.
扫码用手机继续看
用或微信扫码在手机上继续观看
二维码2小时内有效，扫码后可分享给好友
没有优酷APP？立即下载
请根据您的设备选择下载版本
万万表情系列（VIP会员专享）
泡芙表情系列（VIP会员专享）
暴漫表情系列（VIP会员专享）
<mendVideo();
节目制作经营许可证京字670号
药品服务许可证(京)-经营-第十一章&& 反常积分
§1& 反常积分概念
&&&&&&&&&&&&&&&&
&&&&&&&&&&&&
&&&&&&& §2& 无穷积分的性质与收敛判别
2及其推论1
&解 （1）定理112（比较法则）
&设定义在[a,u]上可积，且满足：
&则当收敛时，必收敛.
（或当发散时，
&证 由定理11.1，对
即无穷积分.
（2）推论1：若和都在任何[a,u]上可积，
（）当0&c&+时，由
（ii）当c=0时，由收敛可推知
(iii) 当c=+时，由发散可推知
证 当oc&+时及时，知
的极限存在，为某一常数c.
则有极限的定义知，对,对有
由定理112的结论知与同敛
&态.即（i）与（ii）成立。
又当时，由
&又由定理112知，当发散时，
2．设与是定义在[a,上的函数，对任何
它们都在上可积。
证明& 若与收敛，
及收敛，可知
&收敛，故也收敛。
，，均收敛。
& &&故收敛。
3．设、、是定义在上的三个连续函
数，且成立不等式.
证明 （1）若与都收敛，
则也收敛；
（2）又若==A
证 由已知有
对于任给由积分性质，有
（i）若及收敛，
由夹逼定理有
也存在，即收敛
（ii）又若==A
则由夹逼定理有
4．讨论下列无穷积分的收敛性：
&由柯西判别法知，收敛
由柯西判别法的推论知，收敛
由柯西判别法推论2，有
由柯西判别法推论3，知
当时，发散
先考虑积分，
故当且仅当时，
再考虑积分，
故当且仅当时，积分收敛
综上所述，当时，
积分收敛，否则发散
5.讨论下列无穷积分为绝对收敛还是条件收敛：
&& （1）；
时而当，单调趋于0。
故由狄利克雷判别法知收敛
而其中是发散的，
在是条件收敛。
绝对收敛。
由于在[0，+上单调且当
时趋于0，由狄利克雷判别法知积分收敛。
而发散，收敛，
故积分条件收敛。
上单调递减且
当时趋于0，
由狄利克雷判别法知积分收敛
故积分条件收敛
6．举例说明：收敛时不一定收敛；绝对收敛时也不一定收敛.
则，收敛，
7．证明：若绝对收敛，且，则必定收敛.
证& 因，故存在，当时，，于是.由比较判别法，知收敛.
8．证明：若是上的单调函数，且收敛，则，且，
证& 设在上单调无界（不妨设无上界），即对任何，存在，使得当时，. 于是
这与收敛相矛盾， 从而在上单调有界，故存在极限. 由P.269习题5，知
下面证明：，，即.
不妨设在上，且单调减少. 因收敛，由无穷积分的柯西准则，，，使得当时，有，于是
9．证明：若在上一致连续，且收敛，则.
证& 因在上一致连续，，（不妨设），使得当且时，有.
又因收敛，由无穷积分的柯西准则，对上述，，使得当.
现在对任何，取，且，于是
从而，所以.
的瑕积点为在a,b的任一内闭区间
上可积，则当收敛时， 也必定收敛，
证 &瑕积分在瑕点处收敛，则由柯西
又在的任一内闭区间上可积，
再利用顶积分的绝对不等式又有
再由柯西准则（充分性）知收敛
&&&&&&&&&&
2写出定理116及推论1的证明
&& 定理116（比较法则）设定义在上的两个函数，瑕点同为，在任何上都可积，且满足
则当收敛（或者当
发散时，亦必发散）
推论1& 又若，且则有
（i）当时，与同收敛；
（ii）当时，由收敛可推知也
（iii）当时，由发散可推知也发散
&& 证& 定理116
&& 若（瑕点为）收敛，由定理115瑕积分收敛的充要
条件；对只要
由不等式有
再由定理115知必定收敛（同理可证发散）
当 时，知的极限存在，为某一常数
则由极限定义知，对，当时，
由定理116结论，当时，与
同态收敛，当时由的收敛可知
由定理116结论，当发散可知，
3．讨论下列瑕积分的收敛性；
解 &是瑕点，
由定理116的推论3，有
而故积分发散
解 为瑕点，
&& 由于&& ；
故积分收敛
解 &是瑕点，
则，由定理116推论3知，积分发散，
&从而积分发散
& （4），&
故不是瑕点，因而只有为瑕点，又
由定理116推论3知积分收敛
解& 是瑕点
其中， 瑕积分发散
其中故当时，积分收敛；时积分发散
解 此瑕积分的瑕点为。&&&&
由定理11推论2知
当时，绝对收敛，
由推论2的（ii）知积分发散
当时，由狄利克雷判别法知
为条件收敛
由=0知， 收敛
又由=0知，收敛
由以上两个结果知，收敛
4．举例说明：收敛且在上连续时，不一定有
在连续，且
但在无界且不存在.
5．证明：若收敛，且存在极限，则.
证& 反证法. 假设，不妨设. 由保号性，存在，当时，，于是
这与收敛相矛盾，所以.
6．证明：若在上可导，且与都收敛，则
证& 因为收敛，所以极限存在，从而由第5题知，
证& （1） 令，
&&&&&&&&&&&&
&&&&&&&&&&&&&&&&
&&&&&&&&&&& &&&&&=
&&&&&&&& （2）由于从而可知等式两边的两个积分都收敛
&&&&&&&&& 故 =+
&&&&&&&&& 由（1）式结论有：=
&&&&&&&&& 对右端第二个积分，令，则有
&&&&&&&&& =
&&&&&&&&&&&&&&&&&&&
&&&&&&&&&&&&&&&&&&&
&&&&&&&&&& &=+
&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&
证 （1），
&&&&&&&&&& =，
&&&&&&&&&&
&&&& &&&&&&&&&&&&&&&&=，
&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&}