这个不定积分怎么求?
=∫lnxd(2x^(1/2)=2√xlnx-∫2√xd(lnx)=2√xlnx-∫2/√xdx=2√xlnx-4√x+C
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MATLAB中这个不定积分好像算不出来？
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新手, 积分 7, 距离下一级还需 43 积分
代码如下，语法应该没错啊，我用的是Matlab R2013a：int( sym('sqrt(1+x+sqrt(x))') )复制代码
_203235.png (4.55 KB, 下载次数: 0)
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语法没错，解析解不存在求不出符号积分是正常的。
如果你求数值定积分，是没问题的
&& double(int( sym('sqrt(1+x+sqrt(x))') ,'x', 0, 1))
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winner245 发表于
语法没错，解析解不存在求不出符号积分是正常的。
如果你求数值定积分，是没问题的
但这个确实存在解析解的
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user0309 发表于
但这个确实存在解析解的
解析解是什么样子的？Matlab求不出解析解通常有两类情形：
1. 问题本身无解析解，那么用任何软件（mathematica、maple）都求不出解
2. 问题本身有解析解，但matlab符号引擎不够智能，没有求出来。
如果你说这个问题有解析解的话，那可能是第2种情况，你不妨贴出解析解来看看
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本帖最后由 user0309 于
00:19 编辑
winner245 发表于
解析解是什么样子的？Matlab求不出解析解通常有两类情形：
1. 问题本身无解析解，那么用任何软件（mathe ...
MSPah022fach328h7a05gie3.png (133.99 KB, 下载次数: 0)
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user0309 发表于
很遗憾，matlab 的符号引擎没有智能到这一步，自动完成这么多有规律的变量代换。不过，你的第一步变量替换得到的积分式子，matlab就可以计算了：syms x
I = 2*int(x*sqrt(x^2+x+1))复制代码I =
((8*x^2 + 2*x + 5)*(x^2 + x + 1)^(1/2))/12 - (3*log(x + (x^2 + x + 1)^(1/2) + 1/2))/8
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user0309 发表于
对你截图的文献比较感兴趣，能否告知文献名？
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winner245 发表于
对你截图的文献比较感兴趣，能否告知文献名？
这个不是文献，是WolframAlpha生成的图片。链接打开后点击Step-by-step solution就出来了(好像需要登录)
/input/?i=int+sqrt%28x%2Bsqrt%28x%29%2B1%29+
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user0309 发表于
这个不是文献，是WolframAlpha生成的图片。链接打开后点击Step-by-step solution就出来了(好像需要登录)
这也说明 Mathematica 计算这个积分是完全没问题的。
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这也说明 Mathematica 计算这个积分是完全没问题的。
求解一个积分
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你可能喜欢是怎么求的？用三角换元能做吗？
用双曲换元好做 三角换元肯定能做就是繁
不是三角换元，但是类似，使用一种叫做双曲正弦/余弦的函数，一般记作sinh，cosh，公式是：&br&&img src=&///equation?tex=sinh%28x%29%3D%5Cfrac%7Be%5Ex-e%5E%7B-x%7D%7D%7B2%7D& alt=&sinh(x)=\frac{e^x-e^{-x}}{2}& eeimg=&1&&&br&&img src=&///equation?tex=cosh%28x%29%3D%5Cfrac%7Be%5Ex%2Be%5E%7B-x%7D%7D%7B2%7D& alt=&cosh(x)=\frac{e^x+e^{-x}}{2}& eeimg=&1&&&br&它有很多类似三角函数的性质，比如说：&br&&img src=&///equation?tex=cosh%5E2%28x%29-sinh%5E2%28x%29%3D1& alt=&cosh^2(x)-sinh^2(x)=1& eeimg=&1&&&br&注意是减而不是加。&br&另外&br&&img src=&///equation?tex=sinh%27%28x%29%3Dcosh%28x%29& alt=&sinh'(x)=cosh(x)& eeimg=&1&&&br&&img src=&///equation?tex=cosh%27%28x%29%3Dsinh%28x%29& alt=&cosh'(x)=sinh(x)& eeimg=&1&&&br&即互为导数。&br&这里就是使用双曲函数进行换元，对于&img src=&///equation?tex=x%5E2%2B1& alt=&x^2+1& eeimg=&1&&，令&img src=&///equation?tex=x%3Dsinh%28t%29& alt=&x=sinh(t)& eeimg=&1&&；对于&img src=&///equation?tex=x%5E2-1& alt=&x^2-1& eeimg=&1&&，令&img src=&///equation?tex=x%3Dcosh%28t%29& alt=&x=cosh(t)& eeimg=&1&&&br&所以&br&&img src=&///equation?tex=%5Cint%7B%5Cfrac%7Bdx%7D%7B%5Csqrt%7Bx%5E2%2B1%7D%7D%7D%3D%5Cint%7B%5Cfrac%7Bdsinh%28t%29%7D%7Bcosh%28t%29%7D%7D%3D%5Cint%7B%5Cfrac%7Bcosh%28t%29%7D%7Bcosh%28t%29%7Ddt%7D%3Dt%2BC%3Darcsinh%28x%29%2BC& alt=&\int{\frac{dx}{\sqrt{x^2+1}}}=\int{\frac{dsinh(t)}{cosh(t)}}=\int{\frac{cosh(t)}{cosh(t)}dt}=t+C=arcsinh(x)+C& eeimg=&1&&&br&&img src=&///equation?tex=%5Cint%7B%5Cfrac%7Bdx%7D%7B%5Csqrt%7Bx%5E2-1%7D%7D%7D%3D%5Cint%7B%5Cfrac%7Bdcosh%28t%29%7D%7Bsinh%28t%29%7D%7D%3D%5Cint%7B%5Cfrac%7Bsinh%28t%29%7D%7Bsinh%28t%29%7Ddt%7D%3Dt%2BC%3Darccosh%28x%29%2BC& alt=&\int{\frac{dx}{\sqrt{x^2-1}}}=\int{\frac{dcosh(t)}{sinh(t)}}=\int{\frac{sinh(t)}{sinh(t)}dt}=t+C=arccosh(x)+C& eeimg=&1&&&br&而&img src=&///equation?tex=arcsinh%28x%29& alt=&arcsinh(x)& eeimg=&1&&是有解析表达式的，由于&br&&img src=&///equation?tex=e%5Ex%3Dsinh%28x%29%2Bcosh%28x%29%3Dsinh%28x%29%2B%5Csqrt%7B1%2Bsinh%5E2%28x%29%7D%3Dcosh%28x%29%2B%5Csqrt%7Bcosh%5E2%28x%29-1%7D& alt=&e^x=sinh(x)+cosh(x)=sinh(x)+\sqrt{1+sinh^2(x)}=cosh(x)+\sqrt{cosh^2(x)-1}& eeimg=&1&&&br&所以&br&&img src=&///equation?tex=arcsinh%28x%29%3Dln%28x%2B%5Csqrt%7Bx%5E2%2B1%7D%29& alt=&arcsinh(x)=ln(x+\sqrt{x^2+1})& eeimg=&1&&&br&&img src=&///equation?tex=arccosh%28x%29%3Dln%28x%2B%5Csqrt%7Bx%5E2-1%7D%29& alt=&arccosh(x)=ln(x+\sqrt{x^2-1})& eeimg=&1&&&br&（cosh是偶函数，所以反函数的定义域是x&=1，值域是[0, +∞)）&br&所以&br&&img src=&///equation?tex=%5Cint%7B%5Cfrac%7Bdx%7D%7B%5Csqrt%7Bx%5E2+%5Cpm+1%7D%7D%7D%3Dln%28x%2B%5Csqrt%7Bx%5E2+%5Cpm+1%7D%29%2BC& alt=&\int{\frac{dx}{\sqrt{x^2 \pm 1}}}=ln(x+\sqrt{x^2 \pm 1})+C& eeimg=&1&&&br&注意到我们前面换元的时候令&img src=&///equation?tex=x%3Dcosh%28t%29& alt=&x=cosh(t)& eeimg=&1&&，这个不一定能成立，因为这个不定积分还有(-∞,-1]这一段有效的区间，在这个区间上，我们应该令&img src=&///equation?tex=x%3D-cosh%28t%29& alt=&x=-cosh(t)& eeimg=&1&&，积分结果应该是&br&&img src=&///equation?tex=%5Cint%7B%5Cfrac%7Bdx%7D%7B%5Csqrt%7Bx%5E2-1%7D%7D%7D%3D%5Cint%7B%5Cfrac%7Bd%28-cosh%28t%29%29%7D%7Bsinh%28t%29%7D%7D%3D-%5Cint%7B%5Cfrac%7Bsinh%28t%29%7D%7Bsinh%28t%29%7Ddt%7D%3D-t%2BC%3D-arccosh%28-x%29%2BC& alt=&\int{\frac{dx}{\sqrt{x^2-1}}}=\int{\frac{d(-cosh(t))}{sinh(t)}}=-\int{\frac{sinh(t)}{sinh(t)}dt}=-t+C=-arccosh(-x)+C& eeimg=&1&&&br&而当x&0时，有&br&&img src=&///equation?tex=-arccosh%28-x%29%3D-ln%28-x%2B%5Csqrt%7Bx%5E2-1%7D%29%3Dln%5Cleft%28%7B%5Cfrac%7B1%7D%7B-x%2B%5Csqrt%7Bx%5E2-1%7D%7D%7D%5Cright%29%3Dln%28-x-%5Csqrt%7Bx%5E2-1%7D%29& alt=&-arccosh(-x)=-ln(-x+\sqrt{x^2-1})=ln\left({\frac{1}{-x+\sqrt{x^2-1}}}\right)=ln(-x-\sqrt{x^2-1})& eeimg=&1&&&br&所以可以用绝对值的形式统一写成&br&&img src=&///equation?tex=%5Cint%7B%5Cfrac%7Bdx%7D%7B%5Csqrt%7Bx%5E2+%5Cpm+1%7D%7D%7D%3Dln%7Cx%2B%5Csqrt%7Bx%5E2+%5Cpm+1%7D%7C%2BC& alt=&\int{\frac{dx}{\sqrt{x^2 \pm 1}}}=ln|x+\sqrt{x^2 \pm 1}|+C& eeimg=&1&&&br&&br&顺便说一下cosh(x)和sinh(x)与真正的三角函数，在复数域上是有联系的：&br&&img src=&///equation?tex=cosh%28iz%29%3Dcos%28z%29& alt=&cosh(iz)=cos(z)& eeimg=&1&&&br&&img src=&///equation?tex=sinh%28iz%29%3Dsin%28z%29& alt=&sinh(iz)=sin(z)& eeimg=&1&&&br&他们实际上是三角函数在虚轴上的模样。从复数域上就很容易看出来前面几条性质为什么成立了：它们只是复数情况下的三角函数性质。
不是三角换元，但是类似，使用一种叫做双曲正弦/余弦的函数，一般记作sinh，cosh，公式是：sinh(x)=\frac{e^x-e^{-x}}{2}cosh(x)=\frac{e^x+e^{-x}}{2}它有很多类似三角函数的性质，比如说：cosh^2(x)-sinh^2(x)=1注意是减而不是加。另外sinh'(x)=cosh(x)co…
方法前面已经说的很清楚了。。。&br&推荐个软件吧 wolfram alpha&br&&img data-rawwidth=&1536& data-rawheight=&2048& src=&/91bea6fcd765b4a7ca474_b.png& class=&origin_image zh-lightbox-thumb& width=&1536& data-original=&/91bea6fcd765b4a7ca474_r.png&&&br&&br&就是右上角那个 App Store18块钱貌似。。。&br&打开 欢迎界面&br&&img data-rawwidth=&1536& data-rawheight=&2048& src=&/652ce1af4b6_b.png& class=&origin_image zh-lightbox-thumb& width=&1536& data-original=&/652ce1af4b6_r.png&&&br&&br&直接输入你的问题就可以了&img data-rawwidth=&1536& data-rawheight=&2048& src=&/0fcf37deeb1_b.png& class=&origin_image zh-lightbox-thumb& width=&1536& data-original=&/0fcf37deeb1_r.png&&&br&比方说你这题&img data-rawwidth=&1536& data-rawheight=&2048& src=&/c40ed9dc8ee6ee5b4bcf1fb5_b.png& class=&origin_image zh-lightbox-thumb& width=&1536& data-original=&/c40ed9dc8ee6ee5b4bcf1fb5_r.png&&&br&得出结果后上面有个step-by-step solution 点开就可以有过程了&img data-rawwidth=&1536& data-rawheight=&2048& src=&/24b3b6b22cd3c3b2ca1c0_b.png& class=&origin_image zh-lightbox-thumb& width=&1536& data-original=&/24b3b6b22cd3c3b2ca1c0_r.png&&&img data-rawwidth=&1536& data-rawheight=&2048& src=&/f3dcf5ec1c38e0c47d6b9bc_b.png& class=&origin_image zh-lightbox-thumb& width=&1536& data-original=&/f3dcf5ec1c38e0c47d6b9bc_r.png&&&br&试个难点的&img data-rawwidth=&1536& data-rawheight=&2048& src=&/2f6ef2aac7e8f0cfbf500ca064f1ae4b_b.png& class=&origin_image zh-lightbox-thumb& width=&1536& data-original=&/2f6ef2aac7e8f0cfbf500ca064f1ae4b_r.png&&&br&可以直接保存答案的图像的&img data-rawwidth=&500& data-rawheight=&2067& src=&/25a65bf60e849dd9_b.jpg& class=&origin_image zh-lightbox-thumb& width=&500& data-original=&/25a65bf60e849dd9_r.jpg&&&br&这个软件非常非常强大其实。输入你想要的问题就可以有答案&br&比方说这个毛爷爷曲线&img data-rawwidth=&1536& data-rawheight=&2048& src=&/afdd46f115d3ce99b8bf_b.png& class=&origin_image zh-lightbox-thumb& width=&1536& data-original=&/afdd46f115d3ce99b8bf_r.png&&&br&嗯 我知道你想要什么 没有他&img data-rawwidth=&1536& data-rawheight=&2048& src=&/02ce5dead8cc1fd9d864fe1_b.png& class=&origin_image zh-lightbox-thumb& width=&1536& data-original=&/02ce5dead8cc1fd9d864fe1_r.png&&&br&也很吼其实。。&br&&br&&br&&br&补充点其它用途&img data-rawwidth=&1536& data-rawheight=&2048& src=&/9ad8db03fb1a_b.png& class=&origin_image zh-lightbox-thumb& width=&1536& data-original=&/9ad8db03fb1a_r.png&&&img data-rawwidth=&1536& data-rawheight=&2048& src=&/7323cee7f798009cdb895e_b.png& class=&origin_image zh-lightbox-thumb& width=&1536& data-original=&/7323cee7f798009cdb895e_r.png&&&img data-rawwidth=&1536& data-rawheight=&2048& src=&/7f27b0eb9fc9_b.png& class=&origin_image zh-lightbox-thumb& width=&1536& data-original=&/7f27b0eb9fc9_r.png&&&br&还有很多很多功能。。。以后在补吧
方法前面已经说的很清楚了。。。推荐个软件吧 wolfram alpha就是右上角那个 App Store18块钱貌似。。。打开 欢迎界面直接输入你的问题就可以了比方说你这题得出结果后上面有个step-by-step solution 点开就可以有过程了试个难点的可以直接保存答案的图像的…
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