名称/恒等映射
相关信息/恒等映射
&&& 集合A到A自身的I，若使得I(x)=x对于一切x∈A成立，这样的映射I被称为A上的恒等映射。& & 显然恒等映射是唯一的。如果从A到A的一个映射f是一对一的，那么f^-1存在，并且有f☉f^-1=f^-1☉f=I,即映射与其逆映射乘积可，且等于恒等。
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1.75亿学生的选择
填空1.设A、B是集合,| A |＝6,| B |＝4,则共可定义 个从A 到B的映射.2．若 是 与 间的一一映射,是 的一个元,则 .3．给出一个5-循环置换 ,那么 .4．如果循环群 中生成元 的阶是无限的,则 与 同构.5．若群 中的元素 的阶等于18,则 的阶等于 .6.如果群G的阶为28,则 a∈G,a的阶只可能是__ ____.7．一个有单位元的 交换环称为整环.8．若 是一个有单位元的交换环,是 的一个理想,那么 是一个域当且仅当 是 .9．每一个 的交换环 都是一个域Q的子环.二、判断题1．设 与 都是非空集合,则 .（ ）2．若 是 到 的同态满射,则 必有唯一的逆映射 .（ ）3．一个阶是16的群只有两个子群.（ ）4．若群 的子群 是循环群,则 也是循环群.（ ）5．整除关系是除环R的元素间的一个等价关系.（ ）6．任一个群都同一个变换群同构.（ ）7．除环的理想只有零理想和单位理想.（ ）8．如果环 的阶 ,那么 的单位元 .（ ）9．唯一分解环R上的多项式环R[x]不是唯一分解环.（ ）1．设 是整数集 上的二元运算,（即取 与 中的最小者）,那么 在 中（ ）（A）不适合交换律； （B）存在单位元；（C）每个元都有逆元； （D）适合结合律.2．在模6剩余类加群Z6中,元素［4］的阶是( ).(A) 1； (B) 2； (C) 3 (D) 6 3．设 是一个群同态映射,则下列命题中正确的是（ ）（A） 的同态核是 的不变子群； （B）群 与群 同态；（A） 的同态核是 的不变子群； （B）群 与群 同态；（C） 的子群的象是的 子群； （D）群 与群 同构.4．设R= ,R对于矩阵的加法和乘法构成环,这个矩阵环是( ).（A）有单位元的非交换环 （B）无单位元的交换环（C）无单位元的非交换环 （D）有单位元的交换环5．假定R是整数环,则：（3,11）= ( )（A）0； （B）R； （C）（2）； （D） ( 7－3).6．下列表述中正确是（ ）.（A）欧氏环一定是唯一分解环； （B）主理想环必是欧氏环；（C）唯一分解环必是主理想环； （D）唯一分解环必是欧氏环.四、问答题1．全体整数的集合对于普通减法来说是不是一个群?2．什么环称为主理想环?3．什么环称为唯一分解环?五、计算题2．假定R 是模8的剩余类环,在R[x] 里计算乘积3．在整数环Z中,求由2012,7生成的理想I =（2012,7）.
帅帅櫎泳19
按照楼上所说,这些数学题真的很难啊啊啊.我们也是心有余而力不足.
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新网络体系基础研究
　　摘要： 现有信息网络的原始设计思想基本上是一种网络支撑一种主要服务的解耦模式，难以满足网络和服务的多样性需求．本论文从现有多种信息网络存在的严重弊端出发，研究和探索新一代信息网络体系的基础理论，给出一体化网络与普适服务新体系结构模型；创造性地提出新网络体系下的网络一体化模型与理论，建立接入标识、广义交换路由标识及其映射理论；提出普适服务体系模型与理论，创建服务标识及其映射理论、连接标识及其映射理论；最后通过原型系统对上述机理、原理及理论进行验证，实验结果表明，这种新的网络体系在有效地解决现有网络安全、移动、异质异构等弊端的同时，可支持普适服务．　　关键词： 新网络体系；一体化网络；普适服务　　1引言　　随着科学技术的发展，信息已成为当今推动社会向前发展的巨大动力，信息领域竞争的焦点取决于信息网络技术的掌握和应用水平，而信息网络领域竞争的关键又取决于原创的新信息网络体系及基础理论研究水平．现有信息网络的原始设计思想基本上是一种网络支撑一种主要服务的解耦模式．例如电信网最初是为语音业务设计的，不适应高速数据和视频业务的传输；而互联网最初是为数据业务设计的，不适应语音和图像的传输．这种多种网络支持多种服务的模式，导致基础设施重复建设，造成资源等巨大浪费，也无法满足网络及服务的多样性需求．另外，互联网的原始设计思想在移动和安全等方面存在着严重弊端：互联网是以固定、有线为主的连通方式，不能满足无线和移动环境下用户的需求；在安全方面，互联网的拓扑结构是具有幂律结构的无标度网络，导致其对恶意攻击和欺骗的抵御能力十分脆弱．不难看出，现有网络已经不能很好的满足当今应用的需求，严重阻碍着信息网络的进一步发展，急需突破性、跨越式的重新构思和设计一种全新的网络体系，以解决现有信息网络存在的严重弊端．为此，近年来世界各国纷纷展开了这方面的相关研究，如2003年美国自然科学基金委启动100&100下一代网络研究项目幢；2004年英国电信提出21CN下一代网络计划b o；2005年8月，美国自然科学基金委提出着名的GENI(Global Environment for Networking Innovations)计划-4J，2005年12月针对互联网提出FIND(FutureIntemet Network Design)b J计划等．特别是GENI和HND计划，拟从根本上重新设计新一代信息网络，以解决现有网络在安全性、移动性、传感性和普适服务支持等方面存在的严重弊端．但需要指出的是，GENI等计划对新一代信息网络的研究只是停留在起步和规划阶段HJ，还没有形成清晰的理论研究方案，其他一些计划也只是从新一代信息网络的某一个或某几个方面展开研究，缺乏对新信息网络体系及关键理论与技术的全面性和系统性研究．学术界近年来也撰写论文阐述发展新一代信息网络的重要性．如因特尔研究中心的KumarRanganathan将可审计性(accountability)作为新一代信息网络设计的核心目标怕J，认为新一代信息网络的系统行为和状态应该是安全可靠的．波士顿大学Mark Crovella和Eric Ko．1aczyk认为新一代网络应该在负载均衡、错误恢复以及网络管理等几个方面做出了一些改进和探讨一J．文献[8～11]则分别从业务拓展、通信方式和质量控制等几个方向对新一代信息网络提出一些初步的设计目标．综合上述主要研究现状不难看出，国际上已经投入大量精力开展新一代信息网络的基础理论研究，但这些研究尚未形成清晰的理论体系，仅仅处于起步和战略规划阶段．因此，对新信息网络体系理论的实质性突破研究是当前迫切需要解决的重大科学问题．此外，再加上我国在信息网络基础研究和知识产权方面严重不足，如在互联网方面，IP地址我国只占3％，美国占70％；IE3F的国际标准有四千多个，而我国只占2个，并且是与汉字相关的．由此可见，我国也迫切需要进行新网络体系基础方面的研究，以形成自己的知识产权．本论文依托国家973项目一体化可信网络与普适服务体系基础研究，在总结多年信息网络基础理论研究成果和经验的基础上。4，创造性地提出了一种全新的网络体系，即一体化网络与普适服务的两层新体系结构模型；创建了一体化网络体系模型与理论，提出接入标识、交换路由标识及其映射理论，建立广义交换路由的概念与机制，在支持安全和移动的基础上实现网络一体化；提出了普适服务体系模型与理论，创建服务标识、连接标识及其映射理论，实现对普适服务地支持，并解决移动、安全等问题．2新信息网络体系结构与模型传统信息网络的分层结构，如国际OSI的七层体系结构，互联网的四层体系结构等，在信息网络的发展过程中曾经发挥过重要的作用，但也日益暴露出越来越多的缺陷和原始设计模式的不足，如过于复杂，难以适应新型移动互联网络、传感网络以及普适服务的需求等．因此，新一代信息网络在体系结构模型上必须相对已有网络做出重大的创新．通过对传统信息网络分层体系结构理论的长期研究，并对互联?和电信网等机理、原理进行深入剖析，发现各种网络体系结构，都可以划分为两个基本层面：
　　一个是服务层面，一个是网络层面．由此本论文创新性地提出一种全新的两层体系结构模型，即在新网络体系的模型中，网通层完成网络一体化，服务层实现服务普适化，这两层模型结合在一起，构成了一体化网络与普适服务体系的基础理论框架．图2对一体化网络与普适服务新型体系结构模型做了进一步的描述．网通层的作用是在一个一体化的网络平台上提供多元化的网络接人，为数据、语音、视频等业务提供一个一体化的网络通信平台，从而达到有效支持普适服务(即多种服务)的目的．在图2中，网通层创造性地引入虚拟接入模块和虚拟骨干模块及接人标识与交换路由标识的分离聚合映射(简称接入标识解析映射)．虚拟接入模块通过引入接入标识实现多元化接入．虚拟骨干模块为各种接人提供交换路由标识，用于核心网络上的广义交换路由．接人标识解析映射理论则是将多个交换路由标识映射到多个接入标识，实现交换路由标识与接人标识的分离聚合．网通层的工作机理为：虚拟接入模块将各种接入网络和终端等映射为接入标识，然后接入标识通过接入标识解析映射理论映射到虚拟骨干模块的交换路由标识；虚拟骨干模块通过广义交换路由算法选路传输；到达对端的广义交换路由器后，数据包的交换路由标识被置换回原来的接入标识．这样用户的隐私性、网络的安全性、可控可管性和移动性在网通层都得以很好的实现．服务层创建了虚拟服务模块与虚拟连接模块，和服务标识解析映射与连接标识解析映射，以实现对各种业务的统一控制和管理等．虚拟服务模块引入服务标识来描述和表示多种业务的服务；虚拟连接模块为每个业务提供多种连接．服务标识解析映射将服务对象映射到多个服务连接，以支持多种业务；连接标识解析映射将服务连接映射到网通层的多个连接，体现了一次服务可对应多个连接、多种路径选择的思想，从而使服务的实现更加可靠．服务层的工作机理为：首先，各种不同的业务映射成服务标识符，然后根据服务标识解析映射将服务标识符映射为连接标识，最后连接标识根据连接标识解析映射理论映射到网通层，实现广义交换选路．安全和移动问题是新网络体系的重要支撑理论与技术，在设计之初就必须考虑．在对互联网等机理深入研究的基础上，发现安全和移动性差的主要原因是IP地址的定义既包含位置信息也包含身份信息，易被冒充和欺骗且不利于移动．为此，在新网络体系中的网通层提出了接人标识与交换路由标识的分离聚合映射理论，服务层提出了连接标识解析映射理论，以解决新体系下的安全和移动问题．总之，这种全新的网络体系有效地解决了现有信息网络存在的严重弊端，实现了在一种网络上支持普适服务，同时提供了对安全性、移动性等的支持．　　3一体化网络模型与理论一体化网络模型与理论集中研究网通层的机理、原理与模型，探索一体化网络中的广义交换路由理论，其目标是在一个统一的网络平台上提供多元化的网络和终端接入，保证信息交互的安全性、移动性和传感性，并有提供普适服务的能力．根据图2中的新网络体系总体模型，创造性地提出一体化网络体系结构模型，如图3所示．在一体化网络模型中原创性地提出了接入标识与交换路由标识分离聚合映射理论，创建并引入了虚拟接入模块和虚拟骨干模块．在图3中，虚拟接入模块引入接入标识ID的概念和机制，实现各种固定、移动、传感网络等的统一接入；虚拟骨干模块为各种接入网络提供交换路由标识ID，用于核心网络上的广义交换路由；接入标识解析映射将多个交换路由标识Ⅲ映射到多个接入标识ID．
在式(1)中，磊(i)肋表示一体化网络中的交换路由标识，其中i代表终端类型，t表示某次选路，RID是交换路由标识ID；戈w(i)&表示端系统的接入标识，P标识不同的终端，q表示接入位置，AID表示接入标识ID；式(1)中n()为解析映射变换，完成交换路由标识ID到接入标识Ⅲ的映射；其逆映射Q。()将不同的接人标识Ⅲ映射回交换路由标识Ⅲ．接入标识解析映射理论具备如下主要功能：
　　1．使得网通层实现了多元化接入网络与终端(如互联网中的固定网络、移动网络和传感网络等，电信网中的各种接入网络和终端等)的统一接入，拓展了网络服务的范围．2．保证用户的安全性和隐私性．各种接入网络的接入标识代表它们的身份，而交换路由标识仅仅用于核心网络进行交换路由．接人标识和交换路由标识分离后，代表用户身份的接人标识不会在核心网络上传播，使得其他用户不可能通过用户的身份来截获他们的信息进行欺骗和攻击，有效地保证了用户信息的安全性；也不可能通过截获核心网络的信息分析用户的身份，保证了用户的隐私性．　　3．保证了网络的可控可管性．各种接入网络在申请接入标识时，网络管理者根据用户的签约信息，对各种接入网络进行接入控制和鉴权，鉴权的结果决定是否接受用户连接请求，同时决定为用户提供的服务质量水平．　　4．保证了各种接入网络及用户的移动性．各种接入网络在移动到其它位置之后，仅其交换路由标识?要发生变化，代表用户身份的接入标识不需要发生变化，只需要改变交换路由标识和接人标识的映射关系．这样，用户的连接不需要中断就可以保证用户继续接受各种服务．在网通层的一个重要理论就是广义交换路由理论．现有的电信网实际上是由多个交换机连接而成，互联网由多个路由器连接而成．本文在归纳总结、长期深入分析传统各种信息网络交换路由理论的基础上，发现各种信息网络的交换路由的工作机理与原理非常类似，都是完成各种数据的交换与转发，区别只是数据的格式和所支持的服务不同．基于这种共性机理，本文引入了广义交换路由的理论，以普适的解决承载不同服务内涵的数据报文的交换路由问题，同时解决多元化接入网络与终端的移动性、隐私性、安全性和可控可管性问题．4普适服务模型与理论随着信息技术的飞速发展，人们对网络需求的日益增长，网络新服务不断涌现．纵观各种服务(业务)类型，可以看出如下特点：服务实现方式不同(主要有电信业务和互联网数据业务等)；服务类型不同(数据、语音、视频等)；服务面向的终端不同(普通的计算机终端和手机终端等)．由于上述原因，在现有信息网络上很难实现多种服务的普适化．解决这些问题的根本出发点是找出不同网络下服务模式的共性机理．通过长期深入研究和分析，发现目前各种网络完成服务的机理和原理非常类似：所有服务首先需要建立连接，然后这个连接再基于交换路由进行选路，实现数据传输．如电信网打电话是先建立电路连接，进行交换，传输语音；再如互联网中的浏览是先建立TCP或UDP的连接，进行路由转发，传输数据．在这种共性机理的基础上，根据图2中的新网络体系总体模型，本文提出了能够解决普适服务问题的服务标识和连接标识解析映射理论，并以此机理为核心构思和创建了普适服务的服务层模型，最终实现数据、语音、视频等服务内容的一体化传输．在新网络的体系中，服务层创新性地引入虚拟服务模块和虚拟连接模块；服务标识解析映射和连接标识解析映射．虚拟服务模块是实现普适服务的基础，用于解决各种服务的统一描述和表示，提供服务的可控可管等．在该模块中引入服务标识的概念．服务标识用于对多样化的服务进行统一的分类标识和描述，从而体现普适服务的思想．服务标识解析映射将虚拟服务模块和虚拟连接模块的工作联系起来，完成服务标识到连接标识的映射，从而为多种服务建立连接．在式(3)中(石墨(h)表示客户终端h与服务器终端i之间对应于服务Ⅳ的连接m的标识对，其中Ⅳ代表从虚拟服务模块传递过来的某次服务?m代表某次连接，CID是连接标识；彳荔(h)脚表示客户终端^上连接m的交换选路Z，其中z表示某次选路，RID是交换路由标识；式(3)中9()是解析映射变换，完成从服务层的连接标识到网通层选路的映射；其逆映射90()将来自网通层的交换路由信息映射回服务层的某次连接．由上述服务层的描述可以看出，新网络体系下一结果在的严重弊端，实现了在一种网络上支持多种服务．
　　外，服务标识的引人可实现服务的可控可管等，连接标识的引入提供了新网络体系下的移动性和安全性支持．　　5新网络体系下原型系统研制与验证为了对新网络体系的机理与原理等进行验证，我们研制了如图5所示的原型系统．该原型系统的总体设计思路是图2所示的新网络体系总体模型．具体设计与实现时则是按照以下关键理论与机理：中描述的一体化网络(即网通层)体系结构模型，网通层中的接入标识、交换路由标识，式(1)所定义的接入标识解析映射理论；中描述的普适服务(即服务层)体系结构模型，服务层中的服务标识、连接标识，式(2)和式(3)所定义的服务标识解析映射与连接标识解析映射机理等．整个原型系统包括核心网、接入网和终端三部分．核心网由一体化广义交换路由器构建，是新网(3) 络的主体部分．一体化广义交换路由器支持网通层　　的设计原理，选路的标记使用交换路由标识，根据广义交换路由协议理论和算法完成选路．接入网功能由一体化接入交换路由器实现．一体化接入交换路由器引入接入标识解析映射理论，完成接入标识到交换路由标识的转换．终端包括各类服务器、终端计算机、移动终端、专用电话终端以及用于支持普通电话接入一体化网络的标识转换器等．对于一些不能完全支持网通层和服务层设计的终端(如普通的电话终端)，使用标识转换器为其分配接人标识或交换路由标识完成交换路由的选择．利用图5中的原型系统，我们在新网络上同时运行语音业务、数据业务和视频业务，得到的验证结果分别如图6、图7和图8所示，可以看出新网络体系能够同时提供对语音、数据和视频等多种不同业务的支持，并且效果良好．这些实验结果验证了新网络体系模型与理论(如网通层体系结构模型及接人标识、交换路由标识、接入标识解析映射理论，服务层体系结构模型及服务标识、连接标识、服务标识解析映射与连接标识解析映射理论等)的正确性、可行性和有效性．　　6结论本文针对现有信息网络存在的严重弊端，创造性地提出了全新一体化网络与普适服务的体系理论与总体框架；创建了一体化网络体系模型与理论，提出接入标识、交换路由标识及@映射理论，在支持移动和安全的基础上实现网络一体化；建立了普适服务体系模型与理论，创建服务标识、连接标识及其映射理论，实现对普适服务的支持，并解决移动、安全等问题．需要指出的是，虽然本文的工作已取得了一些可喜的成果，但仅仅是初步的设计和构思，对新网络体系理论与关键技术的深入细致研究、完善及推广应用还有待于进一步的工作．--博才网
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求教S3600端口映射问题
S3600交换机可以做端口映射么？我的结构是这样的，
一个路由器（接在最外层，做外网路由），给路由器陪的外网地址是111.222.1.1，路由器的局域网地址是10.36.40.1。
然后需要把局域网内的一台服务器端口映射到外网。问题在在于这个服务器的地址是10.36.10.1，和路由器不在同一个网段，原来是靠S3600做网间路由连接起来的，现在直接用这个路由器做端口映射因为在不同网段无法实现，请问可以通过S3600的设置来实现么？
精彩评论 5
3600是交换机呀。
3600是交换机i&&端口映射还是要在路由器上做。只要你服务器到路由器有路由 可以通& &什么网段没关系
直接做映射就行了，只要你的服务器能访问外网
我用的是家庭型的小8口路由器，我在做端口映射的时候，路由器提示必须在同一个网段。我电话TP-link客服，他们解释说只有企业级的路由器才支持不同网段的端口映射，家庭型的不支持。
难道只能重新买个路由器么，有没有代替的方法
luzhoukai 发表于
我用的是家庭型的小8口路由器，我在做端口映射的时候，路由器提示必须在同一个网段。我电话TP-link客服，他 ...
没有办法& &。要做端口映射&&必须有可以支持地址转换的设备。交换机是肯定做不到的&&。
扫描二维码，关注H3C微社区映射：；设M和M'是两个非空集合，如果对M中的每；T：M→M'；称M为T的定义域；T（α）=β（α∈M）；集合M到自身的映射称为M上的变换；如果对于M'中的每一个元素β，都有α∈M；映射T下所有象所成的集合称为T的值域（或象集合）；R(T)={T（α）α∈M}；显然R(T)?M'，一个集合M到M&#3；E（α）=α（α∈M）
设M和M'是两个非空集合，如果对M中的每个元素，按照某种法则T都有M'中的一个确定的元素与之对应，则称T是从M到M'中的一个映射，记作
T：M→M'
称M为T的定义域。如果映射T使α∈M与β∈M'相对应，则称β是α在映射T下的象，而称α为β的一个原象，记作
T（α）=β（α∈M）
集合M到自身的映射称为M上的变换。设T和S都是集合M到M'的映射。如果对任一元素α∈M都有T（α）=S（α），则称T和S相等，记作T=S
如果对于M'中的每一个元素β，都有α∈M使T（α）=β，则称T是一个满射。如果对于任意α1，α2∈M，当α1≠α2时，都有T（α1）≠T（α2），则称T是单射。如果映射T既是满射又是单射，则称之为一一映射（或一一对应）
映射T下所有象所成的集合称为T的值域（或象集合），记作R（T），即
R(T)={ T（α）α∈M}
显然R(T)? M'，一个集合M到M'的映射T是满射的充分必要条件是R（T）= M'；而T是单射的充分必要条件是，对任意α1，α2∈M，由T（α1）= T（α2）可以推出α1=α2 设M是一个非空集合，定义
E（α）=α（α∈M）
则E是M上的变换，称为M的单位映射（或恒等映射）,记作IM。E是一一映射。 对于映射，定义它的乘积如下
（ST）（α）S（T（α））（α∈M）
所确定的从M到M''的映射ST称为S与T的乘积。映射的乘积是复合函数的推广，但不是任意两个影射都可以求他们的乘积。由映射T和S得到乘积ST的充分必要条件是T的值域含与S的定义域。
设M=Kn×n.定义
T1（A）=det A （A∈K）则T是Kn×n到K的一个映射，它是满射，但不是单射。
设M=K，定义
T2（a）=a En
（a∈M）则T2是K到Kn×n的一个映射。它是单射，但不是满射。
（T1 T2）（A）= T1（T2（A））= T2（det A）=（det A）E
（T1 T2）（a）= T1（T2（a））= T2（aEn）=an（a∈K）
对于f(x) ∈K[x]（数域K上全体多项式的集合），定义
D(f(x))?f'(x)，
J(f(x))=?x
则D和J都是K[x]到自身的一个映射，即是K[x]上的变换。D是慢射，但不是单射，而J是单射，但不是满射。
(JD)(f(x))?J(D(f(x)))?J(f'(x)??f'(t)dt?f(x)?f(0) 0x
(DJ)(f(x))?D(J(f(x)))?D(?f(t)dt)?f(x) 0x
可见，显然DJ与JD都是K[x]的变换，但DJ?JD
一般的，映射的乘积不满足交换律，即ST≠TS。容易证明，映射的乘积满足结合律 ，即若T是集合M到M'的映射，S是集合M'到M''的映射，U是集合M''到M'''的映射，
（US）T=U（ST）
设T是从集合M到M'的映射，如果存在集合M'到M的映射S，使
TS＝E M' ，
其中E M'和EM是集合M'与M上的的单位映射，则称T是可逆映射，并且S是T的逆映
－１射，记作T。
－１由定义可知，如果T是可逆映射，则S也是可逆映射，且S＝T。容易证明，如果T
是可逆映射，则其逆映射S是唯一的。
判断一个映射是否可逆，有如下的方法：
设T是从集合M到M'的映射，则T可你的充分必要条件是T为一一映射。
如果T是一一映射，则对任意β∈M'，存在唯一的α∈M，使T（α）=β。定义从M'到M的映射S，使得对任意β∈M'，有S（β)= α，于是
（ST）（α）=S（T（α））=S（β）=α， （TS）（β）=T（S（β））=T（α）=β 即 ST=EM，TS=E M'
，故T是可逆映射。反之，可设T是可逆映射，则存在从M'到M 的映射S，使得ST=EM，TS=E M' ，于是对任意β∈M'，有
β=E M' （β）=（TS）（β）=T（S（β）），
但S（β）∈M，表明T是一个满射，又对任意α1，α2∈M，如果T（α1）=T（α2），则有
α1= EM（α1）=（ST）（α1）=S（T（α1））=S（T（α2））=（ST）（α2）= EM（α2），从而T是单射。故T是一一映射。
定义：设V是数域P上线性空间，W是V的非空子集，如果W关于V的加法和数量乘法也构成P上的线性空间，则称W是V的线性子空间，简称子空间。
因为W是V的子集，它所具有的线性运算与V的线性运算一致，所以要判定W是V的子空间，不必重复验证线性空间的八条运算规律，而只需W满足：
1）??，?∈W，?+?∈W（称W对加法封闭）
2）?k∈P, ??∈W，k?∈W（称W对数乘封闭）
定理：数域P上线性空间V的非空子集W是子空间的充分必要条件是W对V的加法和数量乘法封闭。
证明：必要性显然，现证充分性。因为W是V的非空子集，所以线性空间定义中的运算律
（1），（2），（5）～（8）均成立。只需验证0∈W，以及当?∈W时，-?∈W。因为W是V的非空子集，且W对两种运算都封闭，若有?∈W，就有-?=（-1）?∈W，0=?-?∈W。
推论1：线性空间V的非空子集W是子空间的充分必要条件是
?k，l∈P，??，?∈W，有k?+l?∈W
对于线性空间V，仅有V的零元素构成的集合｛0｝和V本身都是V的子空间，称这两个子空间为V的平凡子空间，或假子空间，V的其他子空间称为非平凡子空间或者真子空间。
得到子空间方法：
设V是数域P上的线性空间，在V中任意取m个元素，?1，?2，…?m，构造子集
W=｛k1?1+k2?2+…+km?mk1 ，k2 ，km…∈P｝
则W是V的子空间，称之为由?1，?2，…?m生成的子空间，记作L（?1，
?2，…?m）
例如：在几何空间R3中，设π是过原点O的一个平面，则以O为起点，而终点在π上的所有向量构成R3的一个二维子空间。又设L是过原点O的一条直线，则以O为起点，终点在L 上的所有向量构成R3的一个一维子空间。
定理：设W1，W2为P上先行空间V的两个子空间，则W1与W2 的交W1∩W2，和W1+W2=｛?1+?2?1∈W1，?2∈W2｝也是V的子空间。如果W1∩W2=｛0｝，称W1+W2为W1与W2的直和，记作W1W2
由0∈W1∩W2知，W1∩W2非空。设?，?∈W1∩W2，k，l∈P。因为W1，W2都是子空间，所以k?+l
W2是子空间。
其次，由于0∈W1，0∈W2，所以0=0+0∈W1+W2，因此，W1+W2不空。设?，?∈W1+W2，则?=?1+?2，?=?1+?2，其中?i∈W i，i=1，2.因为W1，W2都是子空间，所以，?k，l∈P，k?i+l
k?+l?∈W1，k?+l?∈W2，因此k?+l?∈ W1∩W2。所以，W1∩?i∈W i，i=1，2。因此 ?=k（?1+?2）+l（?1+?2）
?1）+（k?2+l?2）∈W1+W2.
因而，W1+W2是V的子空间。
设W1是线性空间Vn的一个子空间，则必存在Vn的子空间W2，使
维数公式：设V是数域P上的线性空间，W1，W2是V的两个子空间，则
dimW1+dimW2=dim（W1+W2）+dim（W1∩W2）
维数公式表明，和空间的维数一般比空间维数的和小。
线性空间的同构：
设V和V′都是数域P上的线性空间。如果V到V′的一个一一映射f保持加法和数量乘法两种运算，即满足以下两种条件：
1） f（ ?+?）= f（ ?）+f（ ?）
2） f（k?）=k f（?） ?k∈P, ?∈V
则称f为V到V′同构映射，称V和V′同构。当V= V′时，f称为V的自同构。(映射) 定理：数域P上两个有限维线性空间同构的充分必要条件是它们的维数相同。
线性变换：
定义：设是数域P上的线性空间，σ是V内的一个变换，（即V到V内的映射），且满足以下条件：
（1）：σ（α+β）=σ（α）+σ（β）?α，β∈V
（2）：σ（kα）=kσ（α), ?α∈V，k∈P
称σ是V的一个线性变换。条件（1），（2）可等价表述为：?α，β∈V和
?k，l∈P，都有：σ（kα+lβ）=kσ（α)+ lσ（β）并说σ保持V中的线性运算。 线性变换的性质：
1：σ把零向量变成零向量。
σ（0）=σ（0α）=0σ（α）=0
2：σ把α的负元-α变成α的像α′的负元-α′。
σ（-α）=σ[（-1）α]=（-1）σ（α）=-α′
3：σ保持线性组合，即?α1,α2,αs∈V，有
σ（k1α1+k2α2+…k2αs）= k1σ(α1)+ k2σ(α2 )+…ksσ(αs)
4：σ把线性相关的向量组变成线性相关的向量组 。
5：σ的像集σ（V）（或Imσ）是V的子空间（称为像空间），dimσ(V)叫做σ的秩，记作R(σ)或rankσ。
6：V的零元素0在σ下的完全原像（即零的所有原像的集合）
σ-1（0）=｛α∈Vσ(α)=0｝
也是V的子空间。σ-1（0）称为σ的核，记作kerσ。
?x??x?????例1：设σxy=?y?=?y?是R3中到xOy平面的投影变换。则σ
?z??0?????
Imσxy=｛[x,y,0] x,y∈R｝，dimσxy=2σ
Dim kerσxy=1
×nxy的像集是整个xOy平面： xy的核是z轴：kerσxy={(0,0,z)z∈R}
nT例2：设V=Pn，A∈Pnn,定义P的线性变换σ（X）=AX，?X∈P，证明：
n1） 矩阵A的列空间是σ的像空间σ（Pn）且dimσ(P)=R(σ)；
n2） 齐次方程组AX=0的解空间W是σ的核kerσ，且dimσ(P)=n-R(A)；
3） 若非齐次方程组AX=β有解，则其解集是β∈σ（V）的完全原像σ-1（β）（即
β的所有原像的集合），且?X0∈σ-1（β），
σ-1（β）= X0+kerσ={ X0+η∈Pnη∈kerσ}
证:1）在Pn中取常用基ε1，ε2，…εn,设 A的列向量为α1，α2，…αn
σ（V）=L（σ（ε1），σ（ε2），…σ（εn））
=L(Aε1，Aε2，…Aεn)
=L(α1，α2，…αn)
因此，σ的像空间就是A的列空间，且dimσ(P)=R(A)
2)因为X∈W ?AX=O ?σ（X）=O ?X∈kerσsuoyi
所以，W=kerσ，因而dim kerσ=n-R(A)
3)若AX=β有解，则其全部解为Xo+η,其中X0为AX=β的任意一个特解，η为AX=O的通
n解。故σ-1（β）={α∈Pσ(α)= β}非空。所以①式成立 。
线性变换的运算：
设V是数域P上的线性空间，L（Ｖ）为Ｖ的所有线性变换的集合。在Ｌ（Ｖ）中引入运算。
规定：σ，τ∈Ｌ（Ｖ）是相等的，并记作σ＝τ，是指?α∈Ｖ，恒有。 σ（α）＝τ（α）
设σ，τ∈Ｌ（Ｖ），σ和τ的和定义为一个变换
（σ＋τ）（α）＝σ（α）＋τ（α），?α∈Ｖ
２：数量乘法
σ∈Ｌ（Ｖ），ｋ∈Ｐ定义ｋ与σ的数量乘积为V的一个变换
（kσ）(α)=k(σ(α))
设σ，τ∈Ｌ（Ｖ），定义σ与τ的乘积为一个变换
（στ）（α）=σ（τ（α）），?α∈Ｖ
定理：设V是数域P上的线性空间，L（Ｖ）为Ｖ的所有线性变换的集合。则
1） L（V）对于加法和数量乘法为P上的线性空间
2） L（V）中的乘法满足结合律
σ（τρ）＝（στ）ρ
3） Ｌ（Ｖ）中的乘法和加法适合分配律
ρ（σ＋τ）＝ρσ＋ρτ，（σ＋τ）ρ＝σρ＋τρ ?σ，τ，ρ∈Ｌ（Ｖ）
4） Ｌ（V）中的乘法和数量乘法满足
k（στ）=（kσ）τ=σ(kτ）?k∈P
σ，τ∈Ｌ（Ｖ）
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