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第五章定积分习题参考解答
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雅可比换元
用球坐标作，被积函数容易积出来，但是，球坐标的那个三个变量不好确定啊，也就是三个积分的上下限不好确定。这个题，如果能正确定出积分上下限（球坐标系），这个题就很容易作出来。
目测先交换一下积分次序比较好。ye^(-y^2/2)这个可以直接积出来，降低一次积分变成二重积分就很简单了。如果形状比较怪。交换顺序也不好确定上下限，用柱面坐标或者球坐标也不好求出积分上下限。你就把x看成常数。仅仅对y、z进行极坐标代换。先积出后面两个，得到关于x的函数，再积出最后的。
我试过，先把x看成常数，极坐标里的积分区域受x&0和x&0影响，也不好搞。在球坐标里如果能确定积分上下限，这个题就很容易搞定了。下面是一个老外作，他说用什么Gamma积分变换，但是，不知道是如何变的。如有高手知道，请指教
∞≥y≥z≥x≥-∞∫[-∞,∞]dx∫[x,∞]dy∫[x,y]xye^(-(x^2+y^2+z^2)/2)dz交换积分次序，先x、y，∫[-∞,∞]dx∫[x,∞]dy∫[x,y]xye^(-(x^2+y^2+z^2)/2)dz=∫[-∞,∞]dz∫[z,∞]dy∫[-∞,z]xye^(-(x^2+y^2+z^2)/2)dz这个交换次序你最好画过一下图如果你不会画图，就用最笨的分部积分法∫[-∞,∞]dx∫[x,∞]dy∫[x,y]xye^(-(x^2+y^2+z^2)/2)dz=∫[-∞,∞]de^(-x^2/2)∫[x,∞]de^(-y^2/2)∫[x,y]e^(-z^2)dz其中后面的部分用分部积分∫[x,∞][∫[x,y]e^(-z^2)dz]de^(-y^2/2)=[x,∞][∫[x,y]e^(-z^2)dz]e^(-y^2/2)-∫[x,∞]e^(-y^2/2)e^(-y^2/2)dy=0-∫[x,x]...dz-∫[x,∞]e^(-y^2)dy所以原式=-∫[-∞,∞][∫[x,∞]e^(-y^2)dy]de^(-x^2/2)然后你又可以用分部积分其实交换积分次序和分部积分是一个道理
谢谢，后面我又追问过那个老外，他是如何变换积分次序，他就是在那个连环不等式上作文章。这样就可以很快积出来。下面载图就是那个老外作的解释。他交换积分次序的原理很简单。他的方法和你作的方法类似，但原理不一样。　能作出这个积分的人，是要有相当高数的功底，所以你是高手！你提到要画个图，你能否把你交换积分次序的原理用截图贴在这里，以供分享。下面一个题目，比较难作，这个好象用交换次序的方法搞不定，球坐标中上下限不好定。你看看有没有什么好办法积出来。我问过那个老外了，他这次似乎到现在还没有招，你先看看。相信凭你的功底能作出来的。
后面那个积分的原型是下面这个样子。上面那个也是一样，因为我试图用球坐标作，所以作了一下换元。但原型是上面这个样子。你看看，有没有什么办法作出来。多谢！
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[dìng jī fēn]
定积分是的一种，是函数f(x)在区间[a,b]上的积分和的。这里应注意定积分与不定积分之间的关系：若定积分存在，则它是一个具体的数值（曲边梯形的面积），而不定积分是一个函数表达式，它们仅仅在数学上有一个计算关系（），其它一点关系都没有！一个函数，可以存在不定积分，而不存在定积分，也可以存在定积分，而不存在不定积分。一个连续函数，一定存在定积分和不定积分；若只有有限个间断点，则定积分存在；若有跳跃间断点，则原函数一定不存在，即不定积分一定不存在。
定积分积分分类
不定积分（Indefinite integral）
即已知求。若F′(x)=f(x)，那么[F(x)+C]′=f(x).(C∈R C为常数).也就是说，把f(x)，不一定能得到F(x)，因为F(x)+C的导数也是f(x)（C是任意常数）。所以f(x)积分的结果有无数个，是不确定的。我们一律用F(x)+C代替，这就称为。即如果一个导数有原函数，那么它就有无
限多个原函数。
定积分 （definite integral）
定积分就是求函数f(X)在区间[a,b]中的图像包围的面积。即由 y=0,x=a,x=b,y=f(X)所围成图形的面积。这个图形称为，特例是。
定积分定义
设函数f(x) 在区间[a,b]上，将区间[a,b]分成n个子区间[x0,x1], (x1,x2], (x2,x3], …, (xn-1,xn]，其中x0=a，xn=b。可知各区间的长度依次是：△x1=x1-x0，在每个子区间(xi-1,xi]中任取一点ξi（1,2,...,n），作和式
。该和式叫做积分和，设λ=max{△x1, △x2, …, △xn}（即λ是最大的区间长度），如果当λ→0时，积分和的极限存在，则这个极限叫做函数f(x) 在区间[a,b]的定积分，记为
，并称函数f(x)在区间[a,b]上可积。[1]
其中：a叫做积分下限，b叫做积分上限，区间[a, b]叫做积分区间，函数f(x)叫做被积函数，x叫做积分变量，f(x)dx 叫做被积表达式，∫ 叫做积分号。
之所以称其为定积分，是因为它积分后得出的值是确定的，是一个常数， 而不是一个。
根据上述定义，若函数f(x)在区间[a,b]上可积分，则有n等分的特殊分法：
特别注意，根据上述表达式有，当[a,b]区间恰好为[0,1]区间时，则[0,1]区间积分表达式为：
定积分性质
1、当a=b时，
2、当a&b时，
3、常数可以提到积分号前。
4、代数和的积分等于积分的代数和。
5、定积分的可加性：如果积分区间[a,b]被c分为两个子区间[a,c]与[c,b]则有
又由于性质2，若f(x)在区间D上可积，区间D中任意c（可以不在区间[a,b]上）满足条件。[2]
6、如果在区间[a,b]上，f(x)≥0,则
7、积分中值定理：设f(x)在[a,b]上连续，则至少存在一点 t 在（a，b)内使
（见参考资料1）
定积分常用积分法
定积分换元积分法
（2）x=ψ(t)在[α,β]上单值、可导;
（3）当α≤t≤β时，a≤ψ(t)≤b,且ψ（α）=a,ψ(β)=b,
定积分分部积分法
设u=u(x),v=v（x)均在区间[a,b]上可导，且u′，v′∈R（[a,b]),则有分部积分公式：
（见参考资料1）
定积分分点问题
定积分是把函数在某个区间上的图象[a,b]分成n份，用平行于y轴的直线把其分割成无数个矩形，再求当n→+∞时所有这些矩形面积的和。习惯上，我们用等差级数分点，即相邻两端点的间距Δx是相等的。但是必须指出，即使Δx不相等，积分值仍然相同。我们假设这些“矩形面积和”S=f(x1)Δx1+f(x2)Δx2+……f[x(n-1)]Δx(n-1)，那么当n→+∞时，Δx的最大值趋于0，所以所有的Δx趋于0，所以S仍然趋于积分值.
利用这个规律，在我们了解之前，我们便可以对某些函数进行积分。例如我们可以证明对于函数
我们选择等比级数来分点，令公比
那么“矩形面积和”
利用等比级数公式，得到
令n增加，则s,q都趋于1，因而N的极限为（u+v)/v=u/v+1=k+1.
定积分黎曼积分
定积分的正式名称是。用自己的话来说，就是把上的函数的图象用平行于y轴的直线把其分割成无数个矩形，然后把某个[a,b]上的矩形累加起来，所得到的就是这个函数的图象在区间[a,b]的面积。实际上，定积分的上下限就是区间的两个端点a,b.
我们可以看到，定积分的本质是把图象无限细分，再累加起来，而积分的本质是求一个导函数的原函数。它们看起来没有任何的联系，那么为什么定积分要写成积分的形式呢？
定积分定理
定积分一般定理
定理1：设f(x)在区间[a,b]上连续，则f(x)在[a,b]上可积。
定理2：设f(x)区间[a,b]上有界，且只有有限个间断点，则f(x)在[a,b]上可积。
定理3：设f(x)在区间[a,b]上单调，则f(x)在[a,b]上可积。
定积分牛顿-莱布尼茨公式
定积分与不定积分看起来风马牛不相及，但是由于一个数学上重要的理论的支撑，使得它们有了本质的密切关系。把一个图形无限细分再累加，这似乎是不可能的事情，但是由于这个理论，可以转化为计算积分。这个重要理论就是大名鼎鼎的牛顿-莱布尼兹公式，它的内容是：
如果f(x)是[a,b]上的连续函数，并且有F′(x)=f(x)，那么
用文字表述为：一个定积分式的值，就是原函数在上限的值与原函数在下限的值的差。
正因为这个理论，揭示了积分与黎曼积分本质的联系，可见其在微积分学以至更高等的数学上的重要地位，因此，牛顿-莱布尼兹公式也被称作微积分基本定理。
定积分应用
1，解决求曲边图形的面积问题
面图形D的面积S.
2，求变速直线运动的路程
做的物体经过的路程s，等于其速度函数v=v(t) (v(t)≥0)在时间区间[a,b]上的定积分。
某物体在变力F=F(x)的作用下，在位移区间[a,b]上做的功等于F=F(x)在[a,b]上的定积分。（见图册“应用”）
同济大学数学系．高等数学第六版上册．北京：高等教育出版社，2007年
．数学城[引用日期]}