牛顿当年在考取剑桥大学的时候，他有哪些学科有非常明显的缺陷和不足_百度知道
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牛顿当年在考取剑桥大学的时候，他有哪些学科有非常明显的缺陷和不足
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毕生对自然现象的研究有着浓厚兴趣的德国大诗人歌德曾经说过：“一门科学的历史就是这门科学本身。”本书不是关于数学的历史，但却通过讲述数学史上一些个性鲜明的人物，揭示了数学王国里各种奇异的珍宝、明艳的花朵和隐秘的激情。
这些伟大的数学家，有的在人文领域也有杰出贡献，如毕达哥拉斯、欧玛尔·海亚姆、笛卡尔、帕斯卡尔、莱布尼兹、庞加莱，有的则其个人经历富有传奇色彩，如费尔马、牛顿、欧拉、高斯、希尔伯特、拉曼纽扬、爱多士。他们中有些是思想家、文学家、诗人、音乐家、画家，还有的是政客、神职人员、法官、军人、职员、社会青年甚或囚犯。
通过三十年的数学理论熏陶和实践，笔者越来越清晰地意识到，在浩瀚的数学海洋里一个人是如此的渺小，尤其到了抽象化的21世纪。幸运的是，笔者曾利用各种机会，抵达了书中所写到的每个人物曾经生活过的国度，这使得我对他们的人生轨迹有了较为清晰的认识。
许多人都听说过，在古希腊，柏拉图学园的入口处写着这样一句话：“不懂几何学者请勿入内。”那时的几何学几乎就是数学的代名词。但可能很少有人知道，在这个学园的出口处，还写着一句话：“懂哲学者方能治国。”而在本书提到的近半数数学家中，他们本人就已经是很有造诣的哲学家。
遗憾的是，在当前中国社会，充斥着各种名目繁多的弄虚作假，包括学术造假，有的甚至触目惊心。但在纯粹数学领域，任何创造性的工作或发现都显露在光天化日之下，是难以通过人为的手段掩饰或虚构的，这就把那些科学骗子或混混拒之门外。
不仅如此，数学与人文主义精神有着天然的联系，温习数学先辈们的业绩和教诲，常常能给我们带来温暖。如同拜占庭哲学家普罗克洛斯所指出的：
数学是这样一种东西:她提醒你有无形的灵魂;她赋予她所发现的真理以生命;她唤起心神,澄清智慧;她给我们的内心思想添辉;
她涤尽我们有生以来的蒙昧与无知。
日，杭州彩云居
毕达哥拉斯之谜
一 提尔——数论的诞生地
斜边的平方，
如果我没有弄错，
等于其他两边的
平方之和。
两千五百多年前，希腊人毕达哥拉斯用诗歌描述了他发现并证明的第一个数学定理，史称毕达哥拉斯定理，它在中国又被叫做勾股定理。可以说，这个定理为全世界每一个中学生所熟知。作为人类历史上第一个堪称伟大的数学家和哲学家，我们有必要了解毕达哥拉斯的生平和学术思想；同时，创造了辉煌灿烂文明的古代希腊人又是如何看待数学和从事数学研究的，也是我们颇感兴趣和好奇的事情。
毕达哥拉斯出生在拥有无数传说的爱琴海东端的萨摩斯岛（Samos），此岛的面积有四百多平方公里（大约相当于东中国海的舟山岛），在数以千计的希腊诸岛中名列第八。萨摩斯岛离小亚细亚（今天的土耳其西海岸）仅仅数公里，是爱琴海所有岛屿中离土耳其最近的，只要天气不是太糟糕，总可以用肉眼相互望见。假如这两个地方在今天仍属于同一个国家（像古代相当长一段时期那样），恐怕早就用一座跨海大桥相连了。
在毕达哥拉斯时代，尚没有明确的国家概念，萨摩斯与希腊本土及其他岛屿、殖民地的联系主要通过航海、贸易和神话、语言，各地在政治、经济诸方面都保持着独立。萨摩斯岛是传说中希腊神话里主神宙斯之妻、天后赫拉的诞生地，岛上至今仍保留着赫拉神庙。在毕达哥拉斯移民到亚平宁半岛不久，波斯人入侵了小亚细亚，萨摩斯人才开始与雅典人结盟，并被并入，后来又相继被拜占庭、土耳其占领，直到1912年复归希腊。
关于毕达哥拉斯的生卒年，至今流传着两个不同的版本。依照《大不列颠百科全书》的记载，毕达哥拉斯出生在公元前580年，卒于公元前500年，这样就与传说里中国哲学家老子可能的生卒年吻合。另一个似乎流传更广的说法是，毕达哥拉斯出生在公元前569年。笔者无意对此进行考证，好在关于毕达哥拉斯一生的主要事迹和游历，后世的了解并没有太大的出入。
对毕达哥拉斯个人来说，第一个重要的因素可能是，他的父亲并非本地人，甚至也不是来自隔海相望的小亚细亚或其他大希腊领地，而是来自腓尼基（今黎巴嫩）一座叫提尔（Tyre）的城市。关于腓尼基人的来历，学者们已经无法考证，只能猜测他们是在公元前3000年左右从波斯湾一带迁移而来。也正因为如此，他们最初使用的是巴比伦人的楔形文字，但不久便创造了字母。腓尼基人用二十二个字母来表达所有的文字，这些字母也是今天包括希腊字母、罗马字母、西里尔字母在内的一切西方字母的祖先。
从公元前2000年直到罗马时代，提尔一直是腓尼基人的主要港口和三大名城之一（另外两座是西顿和贝罗特），一度独霸地中海的迦太基（今北非突尼斯）便是提尔人的殖民地。只不过贝罗特已改名贝鲁特，即今天黎巴嫩的首都；而提尔也已改名苏尔（Sur），这座城市位于黎巴嫩南部，离以色列仅有二十多公里（由于两国敌对，随时可能受到炮弹的威胁），与萨摩斯岛的距离则在一千公里以上，在古代可谓是相当遥远的异国他乡了。
2004年夏天，笔者乘在贝鲁特出席一个学术会议之际，特意乘坐大巴向南，到西顿以后，换乘招手即停的小巴士，来到提尔，发现那里已变成一座以捕渔业为主的小镇。可是，在毕达哥拉斯时代，提尔却是远近闻名的商业城市，因为账目计算的需要，算术便发展起来，甚至有数学史家认为，提尔或腓尼基是“数论”（专门研究自然数或整数性质）这门数学分支的诞生地，正如埃及是几何学的发源地、巴格达人命名了代数学一样，这正是我去提尔朝圣的一个原因。
我到提尔去的另一个原因是，将近二十年前，我在一本《法国现代诗选》里读到大诗人保罗·克洛岱尔的一首三节联韵诗，开头他就谈到提尔的商人们：
与向他们挥手作别的手帕相伴的海鸥依然展翅飞翔，而挥动手帕的手臂却已经消失。
自从15世纪以来，黎巴嫩就属于法国的势力范围，法语也是该国的通用语言，克洛岱尔想必了解提尔辉煌的过去，他抒发此类感叹，完全可以理解。
作为一名职业外交官，克洛岱尔生命中最美好的十五年是在中国度过的。至于他是否到过提尔，就不得而知了。诗人接着写道：
他们永远地离开了，却不会到达任何地方。
可是，毕达哥拉斯的父亲并非如此，他是个商人，并把生意做到了海外——萨摩斯岛。他不仅经商有术，且慷慨大方，有一年萨摩斯闹饥荒，他捐献了几船粮食，获赠“荣誉市民”的头衔。此后，他就像今日中国难以计数的外国投资者一样，把生意连同生活的重心作了战略性的转移。
这位有钱的异乡人风度翩翩、尚未婚配，不难想象，那些年轻的萨摩斯姑娘纷纷看上了他，最后他选中的是岛上最美丽的女孩。俗话说，好事多磨，可能是出于一种嫉妒心理，神庙里的祭司声称，这个女孩将成为太阳神阿波罗钟情的女人。尽管如此，异乡人经过一番犹豫以后还是娶了她，不久便生下长子毕达哥拉斯。待毕达哥拉斯懂事后，父亲经常带他一起作商务旅行，不久，又把他送回到老家提尔接受启蒙教育，学习腓尼基语。我们不妨推测，毕达哥拉斯在孩提时代，就在商业发达的故乡，接受了数论技巧的熏陶。
二 长发的萨摩斯人
毕达哥拉斯在提尔短暂生活之后，返回了萨摩斯。其时岛上的教育已正规化，男孩到了七岁，就要进文法学校，学习拼写和计算，接着要去的是诗歌学校，学习诗歌和音乐。在古希腊，写诗是颇受人尊敬的一个职业，早在毕达哥拉斯之前数个世纪，小亚细亚就诞生了荷马，他留下两部流传至今的史诗——《伊利亚特》和《奥德赛》。诗歌学校的老师通常都是诗人，如果是名诗人，则学费极贵。毕达哥拉斯从提尔回来不久，父亲便送他到大诗人克莱菲洛斯门下学习。
古希腊的诗歌是在乐器伴奏下吟唱的，一个诗人往往也是乐师和歌手。不仅如此，学习诗歌除了要学习音乐，还要随着韵律和吟唱起舞。实际上，在当时的教育家眼里，诗歌是一切教育的基础，即使像萨摩斯岛行政长官那样十足的政客，家里仍聘请了两位诗人。诗歌学校里的老师除了对学生实施诗歌和艺术教育以外，还教授他们政治、历史常识和辩论技巧，甚至还有体育和军事训练。值得一提的是，体罚在那个年代也十分盛行。
不过，毕达哥拉斯并不像后来的一些天才人物那样早慧，到了十八岁，他在任何领域都还未做出什么惊人的发现。那时候对知识的渴望在希腊已经蔚然成风，在父母的支持下，他只身来到对岸小亚细亚最繁华的都市米利都，向米利都学派的创始人泰勒斯求教。泰勒斯是人类有史以来最早留名的数学家、天文学家和哲学家，他被认为是开启了数学论证的先河，建立起五条今天仍然通用的几何公理命题，其中最重要的结果是证明了后人所称的“泰勒斯定理”：半圆上的圆周角都是直角。
在天文学和气象学上，泰勒斯有着同样出色的工作，他是第一个计算出一年有三百六十五天的人，对日蚀发生的原因做了科学的解释，可能有过一次较为准确的预报，并因此停息了一场战争。至于在埃及法老面前，利用日光的投影测量出大金字塔的高度，对他来说则是小菜一碟，只是几何学的一个简单应用而已。泰勒斯还是一位成功的商人，由于预见到某一年的橄榄将获得丰收，他提前低价租进所有的榨油机，在收获季节再高价出租，以此来向友人证实发财比做学问容易。
此外，泰勒斯还被亚里士多德认为是欧洲哲学的奠基人，因为他认为水或湿气构成了宇宙。虽然这个结论后来被证明是错误的，但他却是第一个提出单一的宇宙物质基础的人。在他之前，希腊没有哲学，只有神话。正是受泰勒斯的思想启发，毕达哥拉斯后来提出了“万物皆数”的一元论哲学。值得一提的是，泰勒斯的母亲也有腓尼基人的血统，而他本人却终生未娶。泰勒斯以自己年事已高为由，拒绝收留这位好学上进的弟子，而是建议他改投同城另一位哲人阿那克西曼德门下。
阿那克西曼德原是泰勒斯的学生，两人还沾亲带故，比泰勒斯幸运的是，他有一本残缺不全的著作《自然论》流传下来。阿那克西曼德早年曾到过巴比伦和叙利亚，他率先把日晷引进希腊，还用几何学的比例来绘制地形图和天文图。他认为最初的动物，包括人，都是从鱼演变而来，这一说法后来被毕达哥拉斯融入他自己的轮回学说。后人认为阿那克西曼德是提出进化论的第一人，也是生物学的创始人，他还提出了物质不灭的超前观念。
除了泰勒斯和阿那克西曼德以外，毕达哥拉斯还到得洛斯岛（Delos）拜菲尔库德斯为师。得洛斯位于萨摩斯西南一百多公里，虽然面积仅三平方公里，却是希腊的宗教圣地，传说中太阳神和月神的出生地。菲尔库德斯是一位神话作家，与泰勒斯同属“希腊七贤”，爱神丘比特这个形象就是他描绘出来的，他把生命的创造者和长不大的少年这两个对立的东西糅合在一起，达到了和谐的境界。受此影响，毕达哥拉斯后来也注重和谐，并试图用数的相互关系来阐释宇宙的和谐。
但是，菲尔库德斯对毕达哥拉斯影响最为深远的恐怕还是灵魂不灭且能轮回转世的学说。菲尔库德斯相信，一个人死后，他的灵魂经过一段时间的旅行就会依附在另一个人的身体回到人世；同时，通过一定的训练，一个人就能回忆起他灵魂曾做过的旅行，也就是前世的经历。受此启发，毕达哥拉斯认为他自己的前身是主神的使者赫尔美斯的儿子。赫尔美斯不仅掌管畜牧和商业，还司职交通和旅行，据说把第一个女人潘多拉送到人间这项任务就是由他完成的。
毕达哥拉斯能经常到海外旅行，与萨摩斯岛以及整个希腊地区的经济实力、军事地位分不开。当时的萨摩斯拥有了全希腊最大的图书馆。由于腓尼基人是闪米特-含米特人种，而希腊人是印欧人种，毕达哥拉斯实际上是个亚欧混血儿。他结束在米利都和得洛斯岛的游学回到萨摩斯岛，留着一头披肩的长发，言谈举止不受拘束，不久以后，甚至穿上一条叫“裤子”的玩意，这与故乡人崇尚裸体的习俗格格不入。
三 游学埃及和东方
毫无疑问，毕达哥拉斯有一颗浪迹天涯的心。到了而立之年，他本应该成家立业，娶妻生子，但却无法安下心来从事商业活动。他把继承家业的使命留给两个弟弟，自己再次出游，去了远方。毕达哥拉斯离开萨摩斯岛的直接原因，是他冒犯了当地的政客和祭司。除了穿着打扮以外，他的饮食起居也与众不同。更有甚者，他宣扬阿那克西曼德的学说，企图用物理学原理来解释自然现象，结果就像20世纪某些持不同政见者一样，被驱逐出境了。
毕达哥拉斯先是重返父亲的故国，即他幼年时逗留过的腓尼基游历，走遍了今天黎巴嫩、叙利亚和以色列沿海的每一座城市，包括提尔。古代地中海一带的人认为大西洋就是世界的尽头，无人敢穿越直布罗陀海峡。可是，在毕达哥拉斯出世以前，腓尼基人就穿过这个海峡，沿大西洋航行，北抵英吉利，南达西非，并顺利返回。可以说他们喜欢冒险，也是世界上最好的水手。显然，毕达哥拉斯身上延续了腓尼基人的这一个性。
有一天，正当毕达哥拉斯在一座叫卡迈尔的山中神庙静坐，他看到海边漂来一叶帆，便决心搭乘此船去埃及。接下来的故事更为神奇，这个披着长发、举止不俗的年轻人从山上飘然而下，只说了一句“我要去埃及”，便自己上了船，没有任何言语了，甚至绝食绝水，连个盹儿都没有打。船夫们先是瞠目结舌，继而崇敬之心油然而生，认定他是一个神。果然，一路风平浪静，经过三天两夜的航行，这艘船顺利到达埃及的某个港口。
作为人类文明发祥地之一的埃及，到了毕达哥拉斯时代早就衰落，并业已受到波斯帝国的威胁，只好求助于希腊的庇护，虽然后者此时尚未达到鼎盛时期。因此，当毕达哥拉斯表明自己是来学习智慧的时候，埃及人受宠若惊，甚至连国王都亲自予以接见。只是当时最有智慧的人是神庙里的祭司，包括数学在内的所有知识都由他们掌管并口头传诵。埃及的宗教势力远比希腊的要强大（这恐怕也是国力衰败的一个原因），祭司可以把皇室成员的话当耳边风，对外国人则普遍存有戒心。
为了能够与祭司进行交流，毕达哥拉斯走访了许多城市，从地中海海滨一直到故都底比斯，最后总算找到一处偏僻的小神庙愿意接纳他。接下来，他又猛学古埃及的象形文字（据说他是第一个学会这种语言的希腊人），那时已经简化成所谓的僧侣文了。值得一提的是，这种文字在中世纪行将结束时已经失传，无人可以解读。直到1799年，占领埃及的拿破仑士兵发现一块石碑，上面刻着用希腊文、僧侣文和象形文字记述的同一篇铭文，才被后世专家破译出来。
毕达哥拉斯在埃及居住了十年，对这个国家的语言、历史、数学、神话和宗教有了透彻的了解。同时，他通过宣传和讲学把希腊的神话和哲学介绍给埃及人民，赢得了祭司阶层的尊敬和信任。毕达哥拉斯发现，埃及的祭司因为沉默寡言而神秘莫测，后来他在意大利创办学院，就把“守口如瓶”当作一条纪律，要求弟子们遵从。他们只穿麻织的衣服和纸草编的鞋，也是受埃及祭司的影响。此外，埃及人笃信灵魂不灭，也使得毕达哥拉斯坚信导师菲尔库德斯的转世说。
遗憾的是，埃及人从尼罗河水潮涨潮落的观察中提炼出来的几何学和天文学知识，并不比毕达哥拉斯从米利都智者那里学到的东西更多。事实上，那时候在数学和天文学方面领先的是巴比伦人。但毕达哥拉斯在埃及过着十分舒心和令人尊敬的生活，这与他在故乡受到的冷遇形成对照，直到强大的波斯人侵入埃及。毕达哥拉斯和埃及境内的所有希腊人一起，被俘虏到已经成为波斯人领地的巴比伦做了奴隶。没想到的是，他却因祸得福，又一次获得学习的良机。
与尼罗河两岸的埃及文明一样，底格里斯河和幼发拉底河所灌溉的美索不达米亚平原，也是人类文明最早的发祥地之一。在这片土地上生息的巴比伦人创造出了楔形文字，堪与古埃及的象形文字媲美。所不同的是，已知的考古学发现表明，巴比伦人在数学尤其是代数方面更为先进，他们创造的六十进制（包括一天分二十四小时、每小时六十分、每分钟六十秒）至今在我们日常生活中广泛使用。除此以外，诸如平方根和一元二次方程根的计算等均达到世界领先水平。
更令人吃惊的是，收藏于美国哥伦比亚大学的一块用楔形文字书写的泥板书显示，巴比伦人已经知道了若干满足毕达哥拉斯定理的整数组。这个事实说明，毕达哥拉斯有可能从巴比伦人那里学到了本文开头提到的那个定理（但巴比伦人和中国人一样并没有在毕氏以前给出证明）。他被押到两河流域以后，先是做了一位波斯军官的奴隶，后来因为治理好主人的瘙痒症而获得自由，他所用的偏方是从埃及祭司那里学来的。在此我们不能排除，毕达哥拉斯利用医学知识事先设下了圈套。
毕达哥拉斯本可以从此离开巴比伦，但他自己主动留了下来，原因是想了解和研习波斯人的拜火教。这个由伊朗先知琐罗亚斯德创立的宗教——认为世界上存在善与恶两种势力的斗争——虽然后来衰败了，但仍延续至今，是世界上历史最悠久的宗教。受其基本教义的影响，毕达哥拉斯后来把奇数看成是善的代表，是阳性的，而偶数就成为恶的代表，是阴性的。他后来利用整数的比例关系研究音乐理论，也是受到了巴比伦星相学和数字神话思想的启发。
四 克罗托内学园
在巴比伦生活了五年以后（这期间他或许还去过印度），毕达哥拉斯终于踏上回乡之路。当他乘船回到萨摩斯岛时，离出发已有十九年了，比后来法显和玄奘去印度、马可·波罗到东方都要长久。毕达哥拉斯离开故乡时可谓英姿勃发，如今回来却已经两鬓斑白。刚开始，萨摩斯人表现出难得的热情，市政长官也请他向公众发表演说，介绍东方之旅的见闻，市民们纷纷涌来，他们很想听他分析强大的波斯人会不会打过来（如前文所说，这座岛屿后来果然被波斯帝国占领了）。
可是不久，岛民的狭隘意识再次显露出来。人们的态度分成了两种，年轻人认为毕达哥拉斯是一个智者，年长的人认为他是一个狂人。终于有一个与他同名的孩子迷上了解数学题，偷偷地来跟他学习，并说服了家长，这个孩子后来成为提倡运动员注意饮食的第一人。受这个学生的鼓励，毕达哥拉斯依山办起了一座“半圆学校”，虽然当地的权贵和商人不喜欢他，不过由于他在埃及赢得的声望，青年人依然纷纷涌来。
那时候希腊已有许多小酒馆，岛民最害怕的就是孤独，萨摩斯人常常自带鱼干或橄榄，向店主买来一杯酒，在那里相互传递消息。居住在山洞里的毕达哥拉斯和他的弟子们自然而然就成为被议论的对象，经过一番添油加醋，他的提问式教育方法、内容和对当地诸如祭神方式等的批评受到了讥笑甚至怒骂，其中的一大忌讳是“数就是神”。他先是被迫把教学内容改为单纯的数学，接着便把创办不满一年的学校关闭了。
记叙基督事迹的《约翰福音》里写道：“先知在本地是不受尊敬的。”毕达哥拉斯五十岁那年，不得不再次离开萨摩斯，从此没有返回过故乡。这回他决心去意大利，不过第一站是到得洛斯看望菲尔库德斯——这并非他最后一次来到这座小岛，几年以后，恩师病危，他再次赶来守护。接着，毕达哥拉斯走访了雅典、克里特岛和斯巴达城邦，后者位于希腊本土伯罗奔尼撒半岛的东南，人民以骁勇尚武著称。那时雅典尚未兴盛，而克里特已经衰落。
在伯罗奔尼撒半岛的另一头，坐落着一个叫伊利斯的城邦，四年一度的奥林匹克运动会正在那里举行。那时候奥运会已经创办了两个半世纪，虽然只有十多个项目，比赛时间却长达五天，选手们来自欧、亚、非三大洲。从奥林匹亚乘船，向西渡过更为辽阔的伊奥尼亚海，就是意大利的南方了。赛会一结束，毕达哥拉斯便搭船出发了，他所抵达的克罗托内（Crotone）位于亚平宁半岛的最南端，以盛产奥林匹亚赛会冠军远近闻名。我们甚至可以猜测，他是跟随那些得胜回家的奥运冠军们来到了意大利。
就像重返萨摩斯岛时一样，克罗托内的市政长官也邀请毕达哥拉斯向公众发表演说，没想到，这一次竟然大获成功，甚至权贵们和年长的公民也被折服了。大希腊是个多神教的国家，意大利南方最崇拜的是酒神狄奥尼索斯，人们喜欢纵情歌舞（这一习性一直保留至今，这也是意大利南方经济落后于北方的主要原因），并无太多的嫉妒之心。与此同时，有过一番经验教训以后，毕达哥拉斯成熟了许多，谈吐也更加文雅了，举手投足都显得超凡脱俗。
很快，毕达哥拉斯便有了一大批拥戴者，其中一个是跳远的奥运冠军，他把自己的哑女狄亚诺许配给了这位异乡人，两人生下了一对儿女。这样一来，毕达哥拉斯就过上了安定的生活。他先是建议市政府为缪斯（希腊神话中的一组女神，起先只是诗人的保护人，后来掌管的范围扩大，兼及包括体育在内的一切文科乃至科学）修筑了神庙，接着在郊外办起了一所被称为“城中之城”的学校或社团。
毕达哥拉斯把社团成员分成两类，分别叫毕达哥拉亚和毕达哥拉斯太：前者极具天赋，要求把财产交公，一起过公社生活；后者保留私有财产，可以和其他成员交流，相当于旁听生。稍后，又根据工作性质作了区分。例如，管理学校内部事务的叫Politikoi，这大概是后来“政治家”一词的来源，不过当时他们对政治并没有什么兴趣；专门从事几何学、天文学研究的则叫Mathematikoi，这正是“数学家”一词的希腊语原形。
作为一校之长和精神领袖的毕达哥拉斯，他的职责除了制定规章制度和管理以外，还亲自负责招募新生。凭着他的知名度和声誉，许多富商子弟或出名的人都前来投奔，其中包括连续六届奥运会摔跤冠军米隆，据说他曾在开幕式上扛着一条公牛进入会场。由此可见，古希腊人对智慧非常仰慕。大多数社团学员得经过五年的观察期，其间作为旁听生只能站在帐外，不得发言或提问，只有被称为“哲学家”后才能进入帐内。
从流传下来的雕刻或人物素描来看，古希腊的哲人大多神情严肃，毕达哥拉斯也不例外。在萨摩斯时他就要求学生们面壁思考，到了克罗内托，他又要求弟子们对授课内容和研究心得守口如瓶。有一次，一个叫希帕索斯的学生因为泄露了正十二面体的一个秘密，被逐出师门。毕达哥拉斯痛心之余，派人在海滨修筑了一处衣冠冢，他宁肯把弟子看做是已故。不过，这也成为别人攻击他的一个理由，认为这个弟子是被推下海而溺死的。
五 神秘的数与音乐
在现代西方主要语言里，“数学”一词均来源于古希腊语Mathema。在毕达哥拉斯之前，这个词的意思是“可以学到的知识”，到了毕达哥拉斯时代，这个词就成了“数学”的意思，不过仅限于“自然数的学问”，相当于算术。直到中世纪，通行于欧洲教育体制的“毕达哥拉斯四艺”中的第一艺还是算术，其他三艺依次是几何、天文学和音乐（可见“数学”一词的现代意义至少在文艺复兴以后才形成），而那时候“代数学”一词还未出现，它首次在阿拉伯语里出现已经是9世纪的事了。
毕达哥拉斯早年在诗歌学校的熏陶丰富了他的写作能力，因此他才用诗歌描述了他发明的第一个定理（见本文开头）。这个早已被巴比伦人和中国人发现的定理的第一个证明是由毕达哥拉斯给出的，据说他当时紧紧抱住哑妻狄亚诺大声喊道：“我终于发现了！”毕达哥拉斯还发现，三角形的三个内角之和等于两个直角之和（这个命题的否定导出了非欧几何学）。他同时证明了，平面可以用正三角形、正四边形或正六边形填满，用后来的镶嵌几何学可以严格证明，不可能用其他正多边形来填满平面。
关于自然数，毕达哥拉斯最有意思的发现和定义是亲和数（Amicable
Number）与完美数（Perfect
Number）。所谓完美数是这样一个数，它等于其真因子的和，例如6和28，因为6=1+2+3，28=1+2+4+7+14。后来的《圣经》也提到，上帝用六天的时间创造了世界（第七天是休息日），而相信地心说的古希腊人认为，月亮围绕地球旋转所需的时间是二十八天。必须指出的是，迄今为止，还没有人找到哪怕一个奇完美数，当然也没有人能够否定它的存在。
而亲和数是指这样一对数，其中的任意一个是另一个的真因子之和，例如，220和284。后人为亲和数添加了神秘色彩，使其在魔法术和占星术方面得到应用。《圣经》里也提到，雅各送孪生兄弟以扫220只羊，以示挚爱之情。有意思的是，直到两千多年以后，第二对亲和数（1）才由法国数论学家费尔马找到，他的同胞、数学家兼哲学家笛卡尔则找到了第三对。虽然在电子计算机出现以前，数学家们已发现了数十对亲和数，不过第二小的一对（）却是在19世纪后期才由一位十六岁的意大利男孩帕格尼尼找到的。
毕达哥拉斯一生做了两件事，从事神职工作和兴办学校。他在埃及十年，主要生活在神庙里，必然要关心神话和宗教，后来到了克罗托内，才开始传道授业。在那个年代，数学知识十分有限，因此，他不可能只做一个纯粹的数学家。在萨摩斯的时候，他就认为数乃神的语言，现在他进一步断定：万物皆数。确切地说，毕达哥拉斯认为我们生活的世界中的多数事物只是匆匆过客，随时都会消亡，唯有数和神是永恒的。这里的数是指自然数，他对10以内的数都赋予了某种特殊的意义。
1是一切数的源泉，是阳性中的至高者——阿波罗。2是众神之母。3代表了三维，后来被基督教用来表示三位一体。4象征着一年四季和人的四大能力——智性、知识、判断、感觉。5是婚姻数，它等于最小的偶数2与1（万物之泉）以外的第一个奇数3之和（香烟品牌555是否意味着一个人要结3次婚？）。6不仅完美，且是神灵的数，古希腊人认为转世的周期是216年（6的3次方）。7不能分解，是处女数。8象征和谐、友谊，正立方体有8个面。9是10以内最大的平方数，所以是公正的。10是前4个数之和，完美又神圣。
在毕达哥拉斯看来，数学的一切理念都应该是美的，不仅如此，音乐的美也建立在数的基础之上。在古希腊，音乐主要是乐器伴奏的单声部乐，如齐唱。直到毕达哥拉斯时代，音乐才成为一门独立的艺术，今天我们熟悉的术语如Music（音乐）、Melody（旋律）、Rhythm（节奏）、Harmony（和声）等都是从希腊语来的。毕达哥拉斯擅长演奏的乐器是里拉琴（Lira）。他是最早把音乐用于教育的人，学园里每天上的第一节课便是音乐。在他心中，宇宙是一个庞大的乐队，每颗星都是一个富于智慧的灵魂、一个神、一个数、一把乐器。
自文艺复兴以来，毕达哥拉斯的观点如黄金分割、和谐比例均被应用于美学，他的数学和哲学思想得到广泛传播，很多人文主义者认为他是（包括数学在内的）“精密科学之父”。他从数学的角度出发去解释世界，这在总体上确立了自然科学的发展方向，影响了后世的科学家。16世纪初期，波兰天文学家哥白尼自认为他的“日心说”属于毕达哥拉斯的哲学体系。此后，发现自由落体定律的意大利物理学家伽利略也被称作是毕达哥拉斯主义者，而17世纪创建微积分学的德国数学家莱布尼茨则自认为是毕达哥拉斯主义的最后一位传人。
由于毕达哥拉斯学派发现了根号2的无理性，使数学遇到了第一次危机。从毕达哥拉斯定理提炼出的整数方程（其解答被称为毕达哥拉斯三元数组）引申出了费尔马大定理，在过去的三个多世纪里使得全世界最有智慧的人一筹莫展，而这个定理的最终证明在20世纪末曾轰动一时。毕达哥拉斯留下的不朽之谜尚有：因为至今无人破译古希腊的乐理，我们无法知道毕达哥拉斯时代的音乐是什么样的；究竟是否存在无穷多个完美数或亲和数这类问题，仍将在未来相当长的时间里，困惑着人类的头脑。
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2007年12月， 杭州
欧玛尔·海亚姆的世界
一 身体的世界
要了解波斯数学家、诗人欧玛尔·海亚姆的生活轨迹，我们必须先来谈谈他的故乡霍拉桑（Khorasan）这个历史地名，它的另一个中文译名是呼罗珊。这个词在波斯语里的含义是“太阳之地”，意即东方。虽然霍拉桑如今只是伊朗东北部的一个省份（其省会城市马什哈德是什叶派穆斯林的朝圣之地），以制作图案精美的手织地毯闻名。但在从前，它所包含的地域却要宽广许多，除了霍拉桑省以外，还包括土库曼斯坦南部和阿富汗北部的广大地区；确切地说，北面从里海到阿姆河，南面从伊朗中部沙漠的边缘到阿富汗的兴都库什山脉。有些阿拉伯地理学家甚至认为，该地区一直延伸至印度边界。
说到阿姆河（Amudarya)这支中亚流量最大的河流，它蜿蜒于阿富汗、塔吉克斯坦、乌兹别克斯坦、伊朗之间，最后注入了咸海。传说9世纪的阿拉伯数学家花拉子密就出生在此河下游炎热的古城希瓦（Khiva，今属乌兹别克斯坦），他是代数学的命名人。而兴都库什山区则是当年玄奘西天取经路过的地方，《西域记》里称之为大雪山，后来成为前布什政府悬赏缉拿的本·拉登可能的藏身之地。欧玛尔·海亚姆的足迹超出了霍拉桑的地域范围，他向北到达了乌兹别克斯坦的中心城市撒马尔罕，向南直抵伊朗高原上的伊斯法罕，甚至到了阿拉伯半岛的西端——麦加。
作为一个数学家，海亚姆生活过的国家之多（依照今天的行政划分是四个，不含朝圣地沙特）恐怕只有古希腊的毕达哥拉斯可以超出，后者居留过的地方包括希腊、黎巴嫩、埃及、伊拉克和意大利。而综观古代世界的诗人，尽管职业需要他们浪迹天涯，却似乎无人有此等幸运。大概正因为如此，荷马在他的史诗《奥德赛》里让主人公历尽十年的海上迷途才返回故乡，而但丁则在他的《神曲》里亲身经历了地狱和天堂。海亚姆之所以能云游四方，恐怕与他出身于手工艺人家庭有关，也得益于伊斯兰的势力范围之广。
日，海亚姆出生在古丝绸之路上的内沙布尔，如今它是一座只有十几万人的小城，离马什哈德仅七十多公里，以制陶艺术闻名。他先在家乡，后在阿富汗北部小镇巴尔赫接受教育。巴尔赫位于喀布尔西北约三百公里处，离他的故乡有千里之遥。正如“海亚姆”这个名字的含义“帐篷制作者”那样，欧玛尔的父亲是一位手工艺人，他经常率领全家从一座城市迁移到另一座城市。可是，由于时局动乱，如同海亚姆在《代数学》的序言中所写的：“我不能集中精力去学习代数学，时局的变乱阻碍着我。”尽管如此，他写出了颇有价值的《算术问题》和一本关于音乐的小册子。
大约在1070年前后，二十岁出头的海亚姆独自离家远行，他向北来到中亚最古老城市之一的撒马尔罕。曾被亚历山大大帝征服的撒马尔罕那会儿正处于（土耳其）突厥人的统治之下，其时“一代枭雄”成吉思汗和意大利旅行者马可·波罗均未出世，他们后来从不同的方向以不同的方式踏上这块土地。海亚姆来此是应当地一位有政治地位的大学者的邀请，他在主人的庇护下，安心从事数学研究，完成了代数学的重要发现，包括三次方程的几何解法，这在当时算最深奥、最前沿的数学了。依据这些成就，海亚姆完成了一部代数著作《还原与对消问题的论证》，后人简称为《代数学》，他也因此成名。
不久，海亚姆应塞尔柱王朝第三代苏丹马利克沙的邀请，西行至都城伊斯法罕，在那里主持天文观测并进行历法改革，他并受命在该城修建一座天文台。塞尔柱人本是乌古思部落的统治家族，这个部落是居住在中亚和蒙古草原上突厥诸族的联盟，其中的一支定居在中亚最长的河流锡尔河下游，即今天哈萨克斯坦境内靠近咸海的地方，并加入了伊斯兰教逊尼派。11世纪时他们突然离开故土向南，尔后向西，成为一个控制了从阿姆河到波斯湾、从印度
河到地中海的大帝国。一个世纪以后蒙古人的远征无疑是受此鼓舞，他们和突厥人本是同宗，不同的是，蒙古人只有一部分皈依了伊斯兰教。
由于塞尔柱人没有自己的文化传统，他们接受了辖内波斯经师们的语言，波斯文学广为流传，波斯的学者和艺术家也得到了尊重，这一点与马其顿人对希腊的征服如出一辙。正因为如此，海亚姆才有机会去首都。现在我们必须要说说伊斯法罕这座城市，它是今天伊朗仅次于首都德黑兰的第二大城市，有一百多万人口，以宏伟的清真寺、大广场、水渠、林荫道和桥梁闻名（这一景象在我于公元2004年夏末抵达时依稀可辨）。除了塞尔柱王朝以外，波斯帝国的国王阿拔斯一世也曾定都此城，使其成为17世纪世界上最美丽动人的城市。有一句波斯谚语流传至今：“伊斯法罕：世界的一半。”
马利克沙是塞尔柱王朝最著名的苏丹，1072年，年仅十七岁的他便继承了王位，得到了老丞相穆尔克的鼎力辅助。马利克沙在位期间，继承了父亲的事业，征服了上美索不达米亚和阿塞拜疆的藩主，吞并了叙利亚和巴勒斯坦的土地，并控制了麦加、麦地那、也门和波斯湾地区。据说他的一支军队抵达并控制了君士坦丁堡对岸的尼西亚，拜占庭帝国遂遣使向西方求救，于是才有了几年以后十字军的首次东征。与此同时，国内的人民安居乐业，苏丹本人对文学、艺术和科学均表现出了极大的兴趣，他广邀并善待学者和艺术家，兴办教育，发展科学和文化事业。
在历史学家看来，马利克沙统治下的伊斯法罕以金光灿烂的清真寺、欧玛尔·海亚姆的诗篇和对历法的改革闻名，其中后两项与海亚姆直接有关。无疑这是海亚姆一生最安谧的时期，他仅担任伊斯法罕天文台台长就达十八年之久。遗憾的是，到了1092年，马利克沙的兄弟霍拉桑总督发动了叛乱，派人谋杀了穆尔克，苏丹随后也突然去世（在巴格达），塞尔柱王朝急剧衰退了。马利克沙的第二任妻子接收了政权，她对海亚姆很不友善，撤销了对天文台的资助，历法改革难以继续，研究工作也被迫停止。可是，海亚姆仍留了下来，他试图说服和等待统治者回心转意。
大约在1096年，马利克沙的第三个儿子桑贾尔成为塞尔柱王朝的苏丹，此时末代帝国的疆土早已经收缩，他更像是霍拉桑的君主了。尽管成年以后，桑贾尔也曾征服阿姆河和锡尔河之间的河间地带，并到达印度边境，但最后仍兵败撒马尔罕。1118年，他不得不迁都至北方的梅尔夫，那是中亚细亚的一座古城，其遗址位于今天土库曼斯坦的省会城市马雷。海亚姆也随同前往，在那里他与他的弟子们合写了一部著作《智慧的天平》，用数学方法探讨如何利用金属比重确定合金的成分，这个问题起源于阿基米得。
晚年的海亚姆独自一人返回了故乡内沙布尔，招收了几个弟子，并间或为宫廷预测未来事件（梅尔夫离内沙布尔不远）。海亚姆终生未娶，既没有子女，也没有遗产，他死后，他的学生将其安葬在郊外的桃树和梨树下面。海亚姆的四行诗在19世纪中叶被译成英文以后，他作为诗人的名声传遍了世界，至今他的《鲁拜集》已有几十个国家的一百多种版本问世。为了纪念海亚姆，1934年，由多国集资，在他的故乡修建了一座高大的陵墓。海亚姆纪念碑是一座结构复杂的几何体建筑，四周围绕着八块尖尖的棱形，棱形上镶嵌着伊斯兰的美丽花纹。
二 智力的世界
海亚姆早期的数学著作已经散失，仅《算术问题》的封面和几片残页保存在荷兰的莱顿大学。幸运的是，他最重要的一部著作《代数学》流传下来了。1851年，此书被F.韦普克从阿拉伯文翻译成了法文，书名叫《欧玛尔·海亚姆代数学》，虽然没赶上12世纪的翻译时代，但比他的诗集《鲁拜集》的英文版还是早了八年。1931年，在海亚姆诞辰八百周年之际，由D.S.卡西尔英译的校订本《欧玛尔
·海亚姆代数学》也由美国哥伦比亚大学出版了。我们今天对海亚姆数学工作的了解，主要是基于这部书的译本。
在《代数学》的开头，海亚姆首先提到了《算术问题》里的一些结果：“印度人有他们自己开平方、开立方的方法……我写过一本书，证明他们的方法是正确的。我并加以推广，可以求平方的平方、平方的立方、立方的立方等高次方根。这些代数的证明仅仅以《原本》里的代数部分为依据。”这里海亚姆提到他写的书应该是指《算术问题》，而《原本》即欧几里得的《几何原本》，这部希腊数学名著在9世纪就被译成阿拉伯文，意大利传教士利玛窦和徐光启合作把它部分译成中文已经是17世纪的事情了。
海亚姆所了解的“印度算法”主要来源于两部早期的阿拉伯著作《印度计算原理》和《印度计算必备》，不过，由于他早年生活在连接中亚和中国的古丝绸之路上，很可能也受到了中国数学的影响和启发。至迟于公元前1世纪就已问世的中国古代数学名著《九章算术》，给出了开平方和开立方的一整套法则。在现存的阿拉伯文献中，最早系统地给出自然数开高次方一般法则的是13世纪纳西尔丁编撰的《算板与沙盘算术方法集成》。书中没有说明这个方法的出处，但由于作者熟悉海亚姆的工作，所以数学史家推测，极有可能出自海亚姆。可是，由于《算术问题》失传，这一点已无法得到证实。
海亚姆在数学上最大的成就是用圆锥曲线解三次方程，这也是中世纪阿拉伯数学家最值得称道的工作。所谓圆锥曲线就是我们中学里学到过的椭圆（包括圆）、双曲线和抛物线，可以通过圆锥与平面相交而得。说起解三次方程，最早可追溯到古希腊的倍立方体问题，即求作一立方体，使其体积等于已知立方体的两倍，转化成方程就成了x3=2a3。公元前4世纪，柏拉图学派的门内赫莫斯发现了圆锥曲线，将上述解方程问题转化为求两条抛物线的交点，或一条抛物线与一条双曲线的交点。这类问题引起了伊斯兰数学家极大的兴趣，海亚姆的功劳在于，他考虑了三次方程的所有形式，并一一予以解答。
具体来说，海亚姆把三次方程分成十四类，其中缺一、二次项的一类，只缺一次项或二次项的各三类，不缺项的七类，然后通过两条圆锥曲线的交点来确定它们的根。以方程x3+ax=b为例，它可以改写成x3+c2x=c2h，在海亚姆看来，这个方程恰好是抛物线x2=cy和半圆周y2=x(h-x)交点C（如下页图）的横坐标x，因为从后两式消去y，就得到了前面的方程。不过，海亚姆在叙述这个解法时全部采用文字，没用方程的形式，让读者理解起来非常不易，这也是阿拉伯数学后来难以进一步发展的原因之一。
海亚姆也尝试过三次方程的算术（代数）解法，却没有成功。但他在《代数学》中预见：“对于那些不含常数项、一次项或二次项的方程，或许后人能够给出算术解法。”五个世纪以后，三次和四次方程的一般代数解法才由意大利数学家给出。而五次或五次以上方程的一般解法，则在19世纪被挪威数学家阿贝尔证明是不存在的。值得一提的是，解方程在欧洲的进展并不顺利。意大利几位数学家因为抢夺三次和四次方程的发明权闹得不可开交，甚至到了反目成仇的地步，而阿贝尔的工作至死都没有被同时代的数学家认可。
在几何学领域，海亚姆也有两项贡献，其一是在比和比例问题上提出新的见解，其二便是对平行公理的批判性论述和论证。自从欧几里得的《几何原本》传入伊斯兰国家以后，第五公设就引起数学家们的注意。所谓第五公设是这样一条公理：“如果一直线和两直线相交，所构成的两个内角之和小于两直角，那么，把这两条直线延长，它们一定在那两内角的一侧相交。”这条公理无论在叙述和内容方面都比欧氏提出的其他四条公设复杂，而且也不是那么显而易见，人们自然要产生
证明它或用其他形式替代的欲望。需要指出的是，18世纪的苏格兰数学家普莱菲尔将其简化为如今的形式，即过直线外一点能且只能作一条平行线与此直线平行，但仍然不那么自明。
1077年，海亚姆在伊斯法罕撰写了一部新书，书名就叫《辩明欧几里得几何公理中的难点》，他试图用前四条公设推出第五公设。海亚姆考察了四边形ABCD，如上图所示，假设角A和角B均为直角，线段CA和DB长度相等，海亚姆意识到，要推出第五公设，只需证明角C和角D均为直角。为此，他先后假设这两个角为钝角、锐角和直角，前两种情况均导出矛盾。有意思的是，这种处理问题的方式与19世纪才诞生的非欧几何学有着密切的联系。事实上，假设前两种情况为真，就可以直接导出非欧几何学，后者是现代数学最重要的发现之一。
遗憾的是，海亚姆并没有意识到这一点，他的论证注定也是有缺陷的。他所证明的是，平行公设可以用下述假设来替换：如果两条直线越来越接近，那么它们必定在这个方向上相交。值得一提的是，非欧几何学发明人之一的俄国人罗巴切夫斯基也生活在远离西方文明的喀山。喀山是少数民族聚集的鞑靼自治共和国的首府，与伊斯法罕同处于东经50度附近，只不过喀山在里海的北面，而伊斯法罕在里海的南面。尽管海亚姆没有能够证明平行公设，但他的方法通过纳西尔丁的著作影响了后来的西方数学家，其中包括17世纪的英国人、牛顿的直接前辈——沃利斯。
除了数学研究以外，海亚姆在伊斯法罕还领导一批天文学家编制了天文表，并以庇护人的名字命名，即《马利克沙天文表》，现在只有一小部分流传下来，其中包括黄道坐标表和一百颗最亮的星辰。比制作天文表更重要的是历法改革。自公元前1世纪以来，波斯人便使用琐罗亚斯德教（创立于公元前7世纪）的阳历，将1年分成12月365天。阿拉伯人征服以后，波斯人被迫改用回历，即和中国的阴历一样：大月30天，小月29天，全年354天。不同的是，阴历有闰月，因而与寒暑保持一致；而回历主要为宗教服务，每30年才加11个闰日，对农业极为不利，盛夏有时在6月，有时在1月。
马利克沙执政时，波斯人已经重新启用阳历，他在伊斯法罕设立天文台，并要求进行历法改革。海亚姆提出，在平年365天的基础上，33年闰8日。如此一来，1年就成了365又8/33天，与实际的回归年（地球绕太阳自转一圈所用时间）误差不到20秒，即每4460天才相差1天，比国际上现行普遍使用的公历（又称格里历，400年闰97日，1582年由罗马教皇格里高利颁布，但非天主教国家如英、美、俄、中等国迟至18、19甚或20世纪才开始实行）还要精确，后者每3333年相差1天。特别值得注意的是，如果把回归年的小数部分按数学的连分数展开，其渐近分数分别为：
1/4，7/29，8/33，31/128，132/545……
第一个分数1/4相当于4年闰1日，对应于古罗马独裁者恺撒颁布的儒略年，每128年就有1天误差。海亚姆的历法对应的是第三个分数，即8/33。由此可见，海亚姆制订的历法包含了最精确的数学内涵，如果限定周期少于128年，则33年闰8日是最好可能的选择。他以日为起点，取名“马利克纪年”，可惜随着庇护人的去世，历法工作半途夭折了，而那个时候世界各国使用的阳历误差已多达十几天了。海亚姆感到无奈，他在一首四行诗中发出了这样的叹息（《鲁拜集》第五十七首）：
啊，人们说我的推算高明
纠正了时间，把年份算准
可谁知道那只是从旧历中消去
未卜的明天和已逝的昨日
三 精神的世界
如果海亚姆仅仅是个数学家和天文学家（据说他还精通医术，兼任苏丹的太医），那他很可能不会
终身独居，虽然他的后辈同行笛卡尔、帕斯卡尔、斯宾诺莎、牛顿和莱布尼茨等也不曾结婚。这几位西方智者在从事科学研究之余，均把自己的精神献给宗教或哲学。海亚姆在潜心科学王国的同时，也悄悄地把自己的思想记录下来，但却以诗歌的形式。不同的是，他的作品因为不合时宜，很有可能在初次展示以后便收了起来。或者，由于他的身份是数学家和天文学家，被人们忽略了。事实上，尽管对海亚姆创作的诗歌数量意见不一，后世学者们一致认定，他并不囿于伊斯兰宣扬的真主创造世界这一观点，因此，他不讨正统的穆斯林喜欢。
要谈论海亚姆的诗歌，必须要先了解波斯的文学传统。公元651年，阿拉伯人摧毁了古伊朗最后一个王朝——萨珊，把波斯置于政教合一的哈里发的版图内，伊斯兰教取代了琐罗亚斯德教，阿拉伯语成了官方语言。但波斯民间却产生了新的语言——现代波斯语，它是古波斯语即巴列维语的变体，经过演变，用阿拉伯字母书写并引进了阿拉伯语词汇。运用现代波斯语进行创作的文学，就是波斯文学。波斯文学崛起的地方正好是海亚姆的故乡——霍拉桑，之后，在地中海东岸、中亚细亚、高加索地区、阿富汗和北印度也相继出现了著名的波斯语诗人和作家。
不仅如此，在被阿拉伯人占领几个世纪以后，在远离阿拉伯半岛的地方又出现了一个波斯人的王朝——萨曼，其疆域包括霍拉桑和河间地带。在塞尔柱人到来之前，已经有将近两百年的自由发展和工商业的繁荣，主要城市撒马尔罕成为学术、诗歌和艺术的中心，另一处诗歌中心则是阿富汗北部的巴尔赫，这两个地方恰好是海亚姆年轻时逗留过的地方。9世纪中叶，被誉为“波斯诗歌之父”的鲁达基出生在撒马尔罕郊外，他年轻时四处游历，晚年贫穷潦倒且双目失明，可仍活到了九十高龄，并奠定了被称作霍拉桑体的诗歌风格。
在鲁达基去世前六年，霍拉桑又诞生了一位重要诗人菲尔多西，他也被波斯人认为是他们民族最伟大的诗人，其代表作是叙事诗《王书》（完成于1010年，中译本叫《列王纪选》），讲述了从神话时代到萨珊王朝历代皇帝的故事。将近一千年来，这部诗集被世世代代的波斯人吟咏或聆听。它具有霍拉桑诗歌的特点，即叙述简明，用词朴实，描述人物和环境不过多铺垫，并绝少使用阿拉伯语汇。不过，有些西方学者们批评菲尔多西这部浩瀚的诗篇中韵律单调枯燥，内容陈旧且不断重复。这些人恐怕无法理解现代的伊朗人，这部书对他们就像《圣经》对说英语的基督教徒那样通俗易懂。
在菲尔多西逝世二十多年以后，海亚姆降生在霍拉桑。不过，此时他的故乡已经在塞尔柱王朝的统治之下。如果不是在内沙布尔开始他的诗人生涯，那么至少他也应该在巴尔赫或撒马尔罕这两处诗歌中心萌发灵感。由于海亚姆死后半个世纪才有人提到他的诗人身份，我们对他生前的写作状况就无从了解了，只知道海亚姆写的是无题的四行诗，这是一种由鲁达基开创的诗歌形式，第一、二、四行的尾部要求押韵，类似于中国的绝句。虽然每行诗的字数并无严格的要求，却也有着“语不惊人死不休”的气概，正如海亚姆诗中所写的（《鲁拜集》第七十一首）：
那挥动的手臂弹指间已完成
继续吟哦，并非用虔诚或智慧
去引诱返回删除那半行诗句
谁的眼泪都无法将单词清洗
1859年，即达尔文出版《物种起源》那年，一个叫爱德华·菲茨杰拉德的英国人把海亚姆的一百零一首诗汇编成一本朴素的小册子，取名《鲁拜集》（Rubaiyat，阿拉伯语里意即四行诗），匿名发表了。那年他已经五十岁，在文坛籍籍无名。此前，他曾尝试将其翻译成拉丁文，最后才决定用自己的母语。菲茨杰拉德早年就读于剑桥大学最负盛名的三一学院，与《名利场》的作者萨克雷结下终生的友谊，毕业后过着乡绅生活，与丁尼生、卡莱
尔等大文豪过从甚密，对自己的写作却缺乏信心。中年后他才开始学习波斯语并把兴趣转向东方，译《鲁拜集》时他采用不拘泥于原文的意译，常用自己的比喻来传达诗人思想的实质。
从第二年开始，英国的文学同行纷纷称赞这部译作。诗人兼批评家斯温伯格写道：“菲茨杰拉德给了欧玛尔·海亚姆在英国最伟大诗人中间一席永久的地位。”诗人切斯特顿察觉到这本“无与伦比的”集子的浪漫主义和经典特色，“既有飘逸的旋律又有持久的铭刻”。更有甚者，有些批评家认为这个译本实际上是一些有着波斯形象的英国诗，这未免夸大其词。《大不列颠百科全书》在菲茨杰拉德的条目里冠之以“作家”而非“翻译家”的头衔，其实，菲茨杰拉德的所有文学创作表明，他作为一个作家十分平庸，不足以收入《百科全书》的条目。
1924年，郭沫若率先从英文翻译出版了《鲁拜集》，依据的正是菲茨杰拉德的版本。从那以后，已有十多位中国诗人和学者从英文或波斯文尝试翻译。郭沫若把海亚姆比作波斯的李白，这是由于他们两人都嗜酒如命。有意思的是，将近半个世纪以后，郭沫若又第一个考证出李白出生在中亚的碎叶（今吉尔吉斯斯坦伊塞克湖西岸的托克马克城附近），似乎有意要让李白与海亚姆成为乡邻。无论如何，郭沫若的《李白与杜甫》（1971）是“文革”期间中国知识分子可以阅读的少数几部诗学论著之一。这里随意录下海亚姆的一首吟酒之诗：
来吧，且饮下这杯醇酒
趁命运未把我们逼向绝路
这乖戾的苍天一旦下手
连口清水都不容你下喉
古人云，仁者见仁，智者见智。阿根廷诗人博尔赫斯对《鲁拜集》的印象是，它每每“以黎明、玫瑰、夜莺的形象开始，以夜晚和坟墓的形象结尾”。这是因为，海亚姆与博尔赫斯一样，也是一个耽于沉思的人。海亚姆苦于不能摆脱人间天上的究竟、生命之短促无常以及人与神的关系这些问题。他怀疑是否有来世和地狱天堂的存在，嘲笑宗教的自以为是和学者们的迂腐，叹息人的脆弱和社会环境的恶劣。既然得不到对这些问题满意的回答，他便寄情于声色犬马的世俗享受。尽管如此，他仍不能回避那些难以捉摸的根本问题。
谈到“及时行乐”，原本它就是“欧洲文学最伟大的传统之一”（英国诗人T.S.艾略特语），这一主题的内涵并非只是一般意义上的消极处世态度，同时还是积极的人生哲理的探究。事实上，醇酒和美色在海亚姆的诗中出现的频率比放浪不羁的李白的还要高，而伊斯兰教是明令禁酒的，这大概是他的诗被同代学者斥为“色彩斑斓的吞噬教义的毒蛇”的原因之一，在虔诚的伊斯兰信徒眼里，他的诗都是些荒诞不经的呓语（迫于教会的压力，他在晚年长途跋涉，远行至伊斯兰的圣地麦加朝圣）。海亚姆之所以逆水行舟，其目的无非是想从无生命的物体中，探讨生命之谜和存在的价值：
我把唇俯向这可怜的陶樽，
向把握生命的奥秘探询；
樽口对我低语道：“生时饮吧！
一旦死去你将永无回程。”
上个世纪初，十四岁的美国圣路易斯男孩艾略特偶然读到爱德华·菲茨杰拉德的英译本《鲁拜集》，立刻就被迷住了。这位20世纪难得一见的大诗人后来回忆说，当他进入到这光辉灿烂的诗歌之中，那情形“简直美极了”，自从读了这些充满“璀璨、甜蜜、痛苦色彩”的诗行以后，便明白了自己要成为一名诗人。同样值得一提的是，在金庸的一部冠名《倚天屠龙记》的武侠小说里，女主人公小昭反复吟唱着这样一支小曲：“来如流水兮逝如风，不知何处来兮何所终。”该曲原出海亚姆的《鲁拜集》，作者添加了两个“兮”字，便有了中国古诗的味道。而在这部中国小说的结尾，小昭被意味深长地发配去了波斯。
2006年12月，杭州
莱布尼茨：难以企及的人物
一 初出茅庐的年轻人
英国哲学家怀特海早年在剑桥大学攻读数学，后来留校做了一名讲师，历时三十载；之后，他到伦敦大学帝国学院担任了为时十年的应用数学教授。期间，怀特海对包括哲学在内的诸多领域广泛涉猎，收获颇丰，以至于退休后立刻被哈佛大学聘为哲学教授，开始了另一段辉煌的学术生涯，直到七十六岁高龄才离职。十年以后，他在波士顿辞世。怀特海早年写下三卷本的巨著《数学原理》（，与弟子罗素合作）。而《科学和现代世界》（1925）则是他晚期的代表作。在这部几乎无所不包的自然哲学论著中，怀特海把17世纪称为“天才的世纪”，并以此来为其中的第三章命名。
大概正是因为“天才的世纪”这个词的诱惑力，驱使我在过去五年多的时间里写下了三篇科学随笔，即《费尔马最后的定理》（载《南方周末》，日）、《牛顿在他的“非典”时期》（载《书城》，2003年第六期）和《隐居的法国人：笛卡尔与帕斯卡尔》（载《读书》，2006年第五期）。也就是说，我已经谈论了17世纪的四位科学天才——三个法国人和一个英国人，现在我必须要说到的是哥特弗里德·威廉·莱布尼茨——那个世纪里最为博学的人，“一个千古绝伦的大智者”（罗素语，《西方哲学史》），一个地地道道的德国人。
日，莱布尼茨出生在德意志东部名城莱比锡，他的父亲是莱比锡大学的伦理学教授，身为教授千金的母亲是他父亲的第三个妻子。他出世时，父亲已经年近半百了，比起同时代的其他天才人物来，这个家庭更像书香门第。老莱布尼茨亲自培养幼子，以至于八岁那年，他便如饥似渴地阅读已故父亲留下的各种拉丁文著作了。不到十五岁，莱布尼茨便上了莱比锡大学攻读法律。他在二十岁那年递交了一篇出色的博士论文，因为年纪太轻（黑格尔认为是学识过于渊博）被拒，加上此前母亲已去世，他永远离开了故乡。第二年年初，纽伦堡的一所大学授予他博士学位，但他为了更好地了解世界，并没有接受该校教授职位的聘书。那以后，莱布尼茨也没有接受任何一所大学的正式聘请，但这不等于说，他对政治的兴趣胜于学术。
据说莱布尼茨是在大学学习欧几里得《几何原本》时，对数学产生浓厚兴趣的。不过，和前面谈到的那三位法国人一样，莱布尼茨也是在业余时间从事研究工作的。究其原因，17世纪的大学仅是教会的附庸，而哲学仍是神学的奴婢。与此同时，“大多数数学家处在亚里士多德的经院哲学阴影的笼罩之下，数学发展的动力来自于与学院相对抗的文艺复兴时期的人文学者”。我们可以用笛卡尔来与莱布尼茨作一比较：两人都喜欢旅行，只不过前者以军人的身份，后者则作为政客的幕僚；前者在驻扎异国时萌生了解析几何的思想，后者是在肩负外交使命时完成了微积分学的发明，而他们取得这两项举世瞩目的成就时都不到而立之年。
必须指出的是，在莱布尼茨二十岁那年，他还递交过另一篇论文《组合的艺术》，帮助他获得了在莱比锡大学讲授哲学的资格，同时使他成为近代逻辑学的先驱和创始人。这篇论文的主要内容是在命题中使用组合的理论，这一理论成为构成一切命题的一种基本方法。更重要的是，这一方法后来被应用到人类思想的表达和真理的阐释中。莱布尼茨首先确认，所有命题都是主词-谓词形式，如“树叶是绿色的”，他毕生都坚持这一假定，并把它不断发展，我们在后面谈论逻辑学时也会提到。也就是说，牛顿只是发明了“连续”的微积分学，而莱布尼茨不仅用自己的方法独立做到了这一点，同时还开启了另一个方向的数学分支——“离散”的组合分析，尽管后一个思想直到19乃至20世纪才变得真正重要起来。
二 巴黎时期的数学家
如同其他跨越多个领域的天才一样，莱布尼茨也把他的青年
时代奉献给了数学。不过，我们今天很难相信，这样一位天才人物对数学最初的热情，竟然来自于一种政治野心。在莱布尼茨出世之前，欧洲刚刚经历了宗教冲突和民族运动勃发的“三十年战争”时期，虽然这场战争起始于波西米亚，损失最惨重的却是西班牙和德意志，尤其是后者，在备受邻国的蹂躏之后，丧失了大部分人口和土地。不过，存活下来的众多地方诸侯的力量反而得到了加强，他们基本上摆脱了神圣罗马帝国皇帝的统治，取得了实际上的主权。那时候的德意志就像两千多年前中国的春秋战国时期那样，每个诸侯下面都有首相、大臣和一批谋士。
大约在莱布尼茨取得博士学位的第二年夏天，他在一次旅途中遇到了美因茨选帝侯（有权选举罗马皇帝的诸侯，美因茨因为谷登堡在那里发明活字印刷术闻名遐迩）的前任首相。这位睿智而开明的首相尽管已经卸职，仍有着巨大的影响力，他对这位学识渊博、谈吐幽默的年轻人印象深刻。在他的诱导下，莱布尼茨随同前往美因河畔的法兰克福，那儿当时属于美因茨的郊外（如今这两处地方的关系刚好颠倒了过来）。其时，法国已成为欧洲的主要力量，太阳王路易十四的势力如日中天，随时可能进犯北方邻国。有鉴于此，身为选帝侯法律顾问助手的莱布尼茨除了帮助庇护人编撰一部民法以外，还不失时机地献上一条锦囊妙计。
这条妙计是：用一个让法国征服埃及的诱人计划去分散路易十四对北方的注意力。随后，二十六岁的莱布尼茨便被派往巴黎，在那里度过了四个年头。虽然那时候笛卡尔、帕斯卡尔和费尔马均已过世，但莱布尼茨却幸运地遇到了荷兰来的数学家惠更斯（他的父亲碰巧也是外交官），后者也是钟摆理论和光的波动学说的创立者，当时是拿了路易十四的年俸来到巴黎。莱布尼茨很快意识到自己在科技落后的德国所受教育的局限性，因此虚心地学习，其中对数学的兴趣尤甚，并得到了惠更斯的悉心指导。由于莱布尼茨的勤奋和天赋，也由于那个时代的数学基础十分有限，当他离开巴黎的时候，莱布尼茨已经完成了主要的数学发现（原先的计划则被搁置脑后）。
莱布尼茨第一个重要的数学发现是二进位制，他用数0表示空位，数1表示实位。这样一来，所有的自然数都可以用这两个数来表示了，例如，3=11，5=101。他本人后来确认，中国人在三千年前的《易经》六十四卦里就藏匿了这个奥妙。与此同时，莱布尼茨也研制成了机械计算机，他改进了帕斯卡尔的加法器，以便用来计算乘法、除法和开方，而当时一般人都还不大会乘法运算。其中一台被他带到伦敦，另一台被汉诺威图书馆收藏，还有一台被用作俄罗斯的彼得大帝送给中国皇帝的礼物（这件礼物似乎下落不明）。值得一提的是，莱布尼茨并没有把自己创立的二进位制用于他研制的计算机。
莱布尼茨在数学上的最大贡献无疑是在无穷小的计算方面，即微积分学的发明。这是科学史上划时代的贡献，正是由于这一发明，使得数学开始在自然科学和社会生活中扮演极其重要的角色，同时也给后来喜欢数学的人提供了成千上万的工作岗位，就如同20世纪电子计算机的出现一样。不幸的是，莱布尼茨不得不与英吉利海峡对岸的牛顿分享这一荣誉。事实上，他们两人是独立完成发明的（牛顿或许更早发明，但莱布尼茨发表在先），并且所用的方法也不同。牛顿使用的“流数法”有着运动学的背景，其推导更多是属于几何学的；而莱布尼茨则受到帕斯卡尔的特征三角形的启发，他的论证更多地用到了代数学的技巧。
正是由于代数学方法的使用，加上莱布尼茨本人对数学形式有着超人的直觉（这种直觉对他的哲学研究也大有裨益，而牛顿的后半生尽管沉湎于神学研究，却一事无成），使得我们今天熟知的微积分学教程基本上采用了他的表述方式和符号体系。除此以外，莱布尼茨还创立了形式优美的行列式
理论，并把有着对称之美的二项式理论推广到任意一个变数上。当然，最让我们感到愉悦的可能要数他从巴黎来到伦敦旅行期间所发现的圆周率的无穷级数表达式，即：
■=1-■+■-■+……
有了这类公式，自古以来对圆周率的精确计算的人为竞争（祖冲之曾领先西方十一个世纪）便永远结束了。
三 逻辑学和形而上学
在巴黎逗留时期，莱布尼茨除了潜心数学王国之外，不忘学习和研究新哲学。他设法接触到两位法国前辈帕斯卡尔和笛卡尔未曾发表的著作，并亲自动手把它们抄下来。据说，笛卡尔的《指导我们心智的规则》在作者身后半个世纪才得以在阿姆斯特丹出版，依据的正是莱布尼茨当年的手抄本。可是莱布尼茨并非笛卡尔的追随者，相反，他是反笛卡尔主义的，尤其在物理学方面。更有甚者，虽然他成名于巴黎，但出于对本民族的热爱（在他的一生里，法兰西一直构成对德意志的威胁），他始终是反法的。除了试图向路易十四献上远征埃及的诡计以外，他还曾提出用由西印度群岛（比如古巴）的糖做成的廉价朗姆酒去切断法国白兰地的销售，以此削弱法国的经济实力。
另一方面，虽然由于“优先权之争”莱布尼茨与英国学术界闹得很不愉快，但他始终对英国人怀有好感。莱布尼茨十分赞赏一度旅居巴黎的英国哲学家霍布斯的论断——所有推理都是计算，这或许是他发明计算机的一个动力。同样，这一论断也推动了他在逻辑学方面的大部分工作。逻辑学是研究人类思想的符号系统的，它融会了数学家和哲学家的智慧。亚里士多德创立了三段论和换位理论等古代逻辑学基本原理，但那是直接的而非推理的形式。莱布尼茨则重视建立在思想字母表上的普遍语言、一般的推理演算和一般方法论，同时成功地用数学方法解释了亚里士多德的三段论。
莱布尼茨意识到命题的内涵和外延之间的不同，并认同内涵的独立性，这意味着，即使没有独角兽，“所有独角兽都有角”这类命题仍是正确的。更重要的是，莱布尼茨建立了纯形式的逻辑演绎系统。在一篇名为《真实加法的计算法研究》的论文中，他给出了二十四个命题，包括今天我们熟知的一些逻辑学结果。例如，A在B中，B在C中，则A在C中；A=B且B≠C，那么A≠C；A?B≠A+B，等等。除此以外，他还指出代数的某些内容有着非算术的解释。这一逻辑数学化的设想在两个世纪以后由英国逻辑学家布尔实现了，他建立起了逻辑代数，即今天所说的布尔代数，这重又和莱布尼茨发明的二进位制发生了联系。而在20世纪，也有一位英国逻辑学家图灵被誉为“电子计算机之父”。
在逻辑学之后，莱布尼茨致力的研究目标是形而上学，康德称其为所有科学和哲学的女王。下面两种说法是被普遍认可的：形而上学是对存在物的探求，形而上学是对世界整体的研究。从词源学上讲，形而上学（Metaphysics）意即“物理学之后”，这是亚里士多德的一位弟子在编辑老师遗留下来的著作时命名的。值得一提的是，这个字的形容词置于“绘画”和“诗人”两词前面时分别译成“形而上”和“玄学派”。在莱布尼茨四十岁的时候，他的哲学思想突然变得清晰起来，不仅区分了必然真理和偶然真理，还给出了真理的充分理由原则和实体的同一性原则。他的形而上学思想体系除了逻辑学以外，还包括语言学、物理学、生物学和生理学诸方面的观点，以及它们之间的相互联系。
由于美因茨选帝侯及其前任首相的先后过世，莱布尼茨失去了经济来源，不得不离开了巴黎。他应下萨克森的腓特烈公爵之邀，北上到汉诺威担任法律顾问兼图书馆馆长，同时为公爵撰写家史。那一年，他批评了笛卡尔关于运动规律即力学的描述，成为新的表述方式的创始人，这种新的表述被称为动力学。加上对原子论和牛顿时空理论等的批驳，他堪称那个时代走在前沿的理论物理
学家。几年以后，他改进了自己的二进位制理论，提出了位置分析这一拓扑学的基本原理，成为后来非欧几何学的一个重要工具。在语言学方面，如同前文所提到的，莱布尼茨确认，所有命题都是主词-谓词形式；除此以外，他还给出了世人所称的“莱布尼茨法则”，即相同的表达能够相互替换。当然，这又要返回到他的逻辑学命题。
莱布尼茨声称，宇宙是由无数不同程度上与灵魂相像的单子组成的，这种单子是终极的、单纯的、不能扩展的精神实体，是万物的基础，这就是他著名的单子论。这意味着人类与动物的区别只是程度上的不同而已，生物与非生命存在物的区别也是如此。笛卡尔认为，人与动物的最大区别在于，只有人类拥有意识和理性。对此莱布尼茨并不反对，但他却指出，引发我们行为的因素通常是潜意识，这就意味着我们比自己所想象的更接近于动物。他还相信存在着一种潜意识的精神状态，任何知觉都是由许多人们无法意识到的微知觉组成的。莱布尼茨认为，所有事物都是相互联系的，“任何单一实体都与其他实体相联系”；同时他又指出，“每个实体都自成一个世界，除了上帝以外不依赖其他任何东西”。
莱布尼茨是个多才多艺的人，除了前面谈到的数学、逻辑学、物理学、语言学以外，他广博的才能还影响到地质学、植物学、法学、历史学、神学等各个领域，甚至对古代中国的历史和宗教也有着深刻的研究，可以说他是第一个（先于伏尔泰）对中国文化真正感兴趣的西方大思想家。莱布尼茨认为古代中国的“礼”“道”“太极”等因素构成了支配宇宙的一种精神力量，他对意大利传教士利玛窦提出的中国传统形而上学可以与基督教相统一的观点十分欣赏，并亲自撰文予以捍卫（可惜他并未指出这一传统的形而上学和儒家学说缺乏严密的逻辑体系）。巧合的是，在逻辑学和形而上学之后，让莱布尼茨毕生倾力而为的第三个目标，是他所信奉的路德新教和天主教这两种对立宗教的统一，可惜这一努力注定是徒劳的。
四 德意志民族的崛起
直到17世纪下半叶，英国的科学和德国一样仍比较落后，有一件事可以说明这一点。1673年，莱布尼茨因为带了一篇论文和一台自制的计算机到伦敦作了不到三个月的旅行，便被英国皇家学会招募为外籍会员；而尽管莱布尼茨在巴黎居留了四年，并在那里完成了主要的数学发现，但是直到1700年，巴黎科学院才选举他为外籍院士（这并非他敌视法国的后果，牛顿也是在那一年才当选）。也正因为落后，才发生了莱布尼茨与牛顿之间所谓发明微积分学的“优先权”之争。由于在这场争论中，法国人始终站在莱布尼茨一边，使他在英伦备受责难的同时（英国数学界此后中断了一个多世纪的对外学术交流），在欧陆名声大振。
在莱布尼茨之前，已有过四个伟大的德国人，他们是15世纪的活字印刷术发明人谷登堡、版画家丢勒、宗教领袖路德和16世纪的天文学家开普勒。前三位分别是技术革新家、艺术家和宗教改革家，开普勒虽然从事科学研究，并没有在人文和思想领域产生多大的影响。事实上，由于开普勒长期旅居国外，加上缺乏个人魅力，生前和死后的影响力都非常有限。不仅如此，他的个人生活也极为不幸，第一个妻子和最喜爱的儿子分别死于精神病和天花，他的第二次婚姻更为悲惨。据说他本人去世的时候，正在前往领取雇主拖欠的薪水途中。我们可以说，是莱布尼茨开启了近代德国的科学和哲学，他所取得的伟大成就和难以估量的影响力赋予了大器晚成的德意志民族智力上的自信。
写到这里，我不禁想停下来插上几句。远在莱布尼茨降临人世之前，中国已有过不止四位世界级的伟人，比如孔子、老子（他们作为思想家和哲学家获得了最广泛的敬仰）、秦始皇（德意志民族因为缺少此类人物迟迟未能统一）、忽必烈（如果说他的祖父成吉思汗是蒙古人
的骄傲的话，那么作为定都北京的元朝皇帝的他理应属于中国，就如同希腊人心目中的马其顿英雄亚历山大一样）、蔡伦（造纸术的重要性甚于印刷术或行星运动定律）、李白（其酒神气质和艺术成就均在丢勒之上）。虽然作为个人他们中有的历史地位或知名度超过了莱布尼茨，可是较为单一的成就只能在某个方向树立起一座丰碑，无法引导一个民族向上的智慧。对任何民族来说，无论过去、现在还是将来，莱布尼茨都是难以企及的一个人物。
在世界主要文明中，唯有日耳曼民族的起源不详，他们确切的史料起始于纪元前半个世纪罗马人的征讨。即便到了16世纪以后，日耳曼人仍是一盘散沙，整个民族处于分裂和混乱之中。虽然罗马皇帝中有几位流淌着日耳曼人的血液，但并非纯粹意义上的德意志人，且出于通婚和趣味爱好等原因，在精神上趋同于外族。例如查理五世，他一度拥有欧洲最大君主的气派，可是内心里却把自己看成法兰西人或西班牙人。路德的宗教改革之后，北方人大多有了新的信仰，而南方人则在新教和天主教之间摇摆不定。大约在莱布尼茨步入中年后，北部的普鲁士邦才开始崭露头角。1701年，腓特烈一世就任普鲁士国王并定都柏林（四十年后他的孙子腓特烈大帝继位，大大拓展了疆域），日耳曼民族才逐渐变得强大起来（尽管离德意志的统一仍然十分遥远）。
作为一名全才的科学家、哲学家、外交家和社会活动家，莱布尼茨理所当然地成为柏林科学院的创立者和首任院长，彼得堡科学院和维也纳科学院也是在他的倡导下成立的，据说他还通过传教士给中国的康熙皇帝写信，建议成立北京科学院。虽说康熙被认为是最有数学头脑的中国皇帝，可惜他却未予采纳。莱布尼茨充分认识到，学者们各自独立从事研究既浪费了人力又收效甚微，因此他竭力提倡集中各方面的人才。据说为了建立柏林科学院，他通过自己的学生、奥古斯都公爵的女儿对她的丈夫——未来的腓特烈一世施加了影响。很快，柏林科学院便成了欧洲最有影响的四个研究机构之一，它先后吸引了18世纪最杰出的两位数学家——欧拉和拉格朗日。在此以前，莱布尼茨还领衔创办了近代科学史上影响深远的拉丁文杂志——《学术纪事》。
诚然，德意志的崛起依赖于普鲁士王国的强盛。但在莱布尼茨逝世后的七十二年间，德国接连诞生了康德、费希特、黑格尔（与贝多芬同年出生，那年歌德因为没能在莱比锡大学取得法学学位转入斯特拉斯堡大学）、谢林、叔本华等大哲学家，德意志思想界可谓群星璀璨。康德被誉为近代哲学之父，他是一个纯粹的哲学家，把整个生命奉献给了心爱的事业。但康德的哲学在很多方面受到了同胞哲学家沃尔夫的影响，后者是莱布尼茨的得意弟子，师徒俩的思想构成了一个完整的哲学体系。相比之下，德意志在科学方面的兴盛略迟一些，可是，在比黑格尔晚七年出生的数学王子高斯（他承认莱布尼茨在数学上拥有最高的智力）成年之后，世界数学中心也从法国转移到了德国，从巴黎转移到了哥廷根。从那时起直到现在，除了两次世界大战中断以外，德国一直是走在世界文明前列的强国。
五 忙忙碌碌的异乡人
在莱布尼茨生活的年代，他被公众看成是一个典型的文艺复兴晚期的人文学者。而他本人则是一个乐观主义者，相信所处的世界是所有世界中最好的。尽管如此，莱布尼茨并非全知全能，例如，他一直渴望在文学上取得成功，在整个一生中，他都为自己创作的诗歌（大多用拉丁文写就）感到骄傲，但这只能是一厢情愿。更有甚者，莱布尼茨并没有（像笛卡尔、帕斯卡尔或牛顿那样）完成一部特别为人称道的学术专著，而只是通过笔记、信件和文章留下一些片言只语的思想。这一方面因为他是个业余的学者，仅仅利用闲暇时间钻研学问；另一方面在于（如同罗素分析的那样）其哲学的二重性，即经常用形而上
学和逻辑学来表达同一思辨，尽管逻辑学的著作要到他身后两个世纪才出版。
作为一个尚且落后的民族蓦然出现的一位科学和哲学明星，莱布尼茨身上难免沾上一些不大容易被人原谅的陋习，其中最突出的一点是爱慕虚荣。晚年他一度被五个王室——汉诺威-不伦瑞克、纽伦堡、柏林、维也纳和彼得堡同时雇佣，而他本人也不断提出一些远超出其社会地位的惊人计划。例如，他认为通过引进丝织品的生产，德意志的经济就可能振兴，为此亲自在院子里栽下意大利的桑树种子；他建议在柏林建立一个公共卫生体系、一个火警服务系统；同时，他还指导王宫的花园设计，提议在维也纳修建路灯、国家银行、瘟疫患者隔离病房，以及制订多瑙河河流管理计划；他倡导的研究项目包括在俄国和美洲之间地峡的存在性、斯拉夫人的起源和他们的语言，等等。
或许是因为莱布尼茨被形而上学左右了头脑，同时又把许多时间和精力花在讨好权贵等世俗事务上，包括乘坐破旧的四轮马车在欧洲崎岖的山路上奔波，他终生未婚（尽管他与许多皇室女性有密切的关系，并为各国王子和公主穿针引线，同时自称为王位继承人问题专家），就像他所景仰的古代先贤——泰勒斯、赫拉克利特、柏拉图、海亚姆，他的同代人或智力对手——笛卡尔、帕斯卡尔、斯宾诺莎、牛顿，他的后世同胞——康德、叔本华、尼采那样。虽说对莱布尼茨那样的智者而言，独身生活或许更为快乐，不过我可以推测，他那颗高傲的心必定受到过某一位公主或夫人的伤害。在莱布尼茨年近五十岁时，他把自己的生活描述成充满困惑的。传记作者则把他写成是认准了目标以后就不放弃的人。和他通信的对象数以百计，这些信件显示，“他是一位性情急躁但却尽可能快地表达自己思想观点的知识分子”。
日，一个毫无特殊意味的日子，莱布尼茨在因痛风和胆结石引发的腹绞痛卧床一周后，逝世在他的秘书和马车夫面前。此时他的第二任雇主腓特烈公爵及弟弟奥古斯都（其夫人苏菲是莱布尼茨的崇拜者）已先后过世，奥古斯都的长子乔治·路德维希也因联姻而于两年前继承英国的王位移驾伦敦。而莱布尼茨因为与牛顿之间的“优先权之争”，更由于自己的年迈老朽，并没有能够随邀前往（像当年美因茨选帝侯访问伦敦那样），他的孤独感日益加深。与此同时，因为莱布尼茨的异乡人身份、时髦而雅致的打扮、频繁而引人嫉妒的国际旅行，他也被那些留在汉诺威的元老和议员同事们憎恨，以至于拒绝出席他的葬礼。莱布尼茨最后下葬在一座极为普通的墓地，如同E.T.贝尔所描绘的，只有他的秘书和挥舞铁铲的工人听到泥土落在棺木上发出的声音。
将近一个世纪以后，拿破仑的军队侵入了德国，在汉诺威皇家图书馆里，法国人发现了大量莱布尼茨遗留下来的手稿，其中就有预备呈献给路易十四的那条征服埃及的锦囊妙计。其时，这项宏伟的计划已在几年前被拿破仑实施，据说他获悉莱布尼茨早就有此想法时非常懊恼。果然不出后者所料，这项意在威胁通往印度的道路、切断大不列颠财路的军事行动在取得短暂胜利之后即以失败告终。不仅如此，埃及的军事失利还直接导致了法军在亚平宁半岛的全线溃败。另一方面，倒是拿破仑手下的几位士兵在亚历山大港附近的罗赛塔偶然发现了一块刻有三种文字的石碑，帮助后来的考古学家破解了古埃及象形文字之谜，进而揭示出了包含几何学在内的古埃及文明。
2007年1月，杭州
庞加莱：第四维、立体主义与相对论
19世纪前半叶是从古典进入到现代的关键时期，走在最前列的依然是生性敏感的诗人和数学家，爱伦·坡和波德莱尔的相继出现，非欧几何学和非交换代数的接连问世，标志着以亚里士多德的《诗学》和欧几里得的《原本》为准则的延续了两千多年的古典时代的终结。进入到那
个世纪的后半叶以后，更加速了产生天才人物的步伐，在1880年前后不到两年的时间里，科学巨匠爱因斯坦和艺术大师毕加索分别在德国南方和西班牙南方两个偏远的小镇乌尔姆和马拉加出世，这两个生命的诞生为技术主义泛滥的20世纪增添了迷人的光彩。
毫无疑问，爱因斯坦和毕加索这两位激励了好几代科学家和艺术家的天才人物，是我们这个时代遥不可及的偶像。阿瑟·I·米勒博士——《爱因斯坦·毕加索》（上海科技教育出版社，2003）一书的作者——甚至断言，现代科学就是爱因斯坦，现代艺术就是毕加索。在这部奇特的著作里，作者分析了上述两位天才的案例，他们各自的生活经验、工作经历和创造性中的相似性，尤其是在上个世纪的头一个十五年，也即他们二十岁到三十五岁（最具创造力的）那段时期，不仅为我们揭示了他们思考方式的共同点，也让我们窥见了艺术创造和科学发现的本质。
然而，这部著作最让我感兴趣的部分是，连接爱因斯坦相对论和毕加索立体主义的纽带竟然是数学中的第四维，也即黎曼几何学的一种特殊形式。当人们仍在激烈地辩论非欧几何学以及违反欧几里得哲学的后果时，法国数学家亨利·庞加莱是这样教我们想象四维世界的：“外在物体的形象被描绘在视网膜上，这个视网膜是一个二维画；这些形象是一幅透视图……”按照他的解释，既然二维面的一个景象是从三维面而来的投影，那么三维面上的一个形象也可以看成是从四维而来的投影。庞加莱建议，可以将第四维描述成画布上接连出现的不同透视图。依照毕加索的视觉天赋，他认为这不同的透视图应该在时间同时性里展示出来，于是就有了立体主义的开山之作——《阿维尼翁少女》（阿维尼翁是法国南方靠近马赛的一座小镇，离凡·高的圣地阿尔只有几公里远）。
庞加莱被认为是通晓全部数学与应用数学知识的最后一个人，他涉足的研究领域惊人地广泛，并不断使之丰富。他还是数学的天才普及者，其平装本的通俗读物被人们争相抢购，并被译成多种文字，在不同的国度和阶层广泛传播，就如同后来的理论物理学家、《时间简史》的作者斯蒂芬·霍金那样。按照米勒博士的说法，在庞加莱的名作《科学与假设》（1902）的众多读者里头，有一位叫普兰斯的巴黎保险精算师，在立体主义诞生前夕，他和比他年轻六岁的毕加索共同拥有一位情妇，正是这位水性杨花的女人把普兰斯介绍给了毕加索，于是毕加索和他的“洗衣舫”艺术家圈子才有机会聆听非正式的几何学讲座。
《阿维尼翁少女》的命名人、诗人安德烈·萨尔蒙后来在《巴黎日报》的专栏文章里称赞普兰斯是“立体主义的数学家”，并在1907年夏天（《阿维尼翁少女》的创作期）这个关键时刻做出了特殊的贡献。他写道：“在蒙马尔特的那间旧画室里进行了激烈的辩论和探讨，立体主义就是在那里诞生的。”这些相互启发的讨论的参与者里既有画家，也有诗人。诗人们“只不过提供了一些有意味的语汇，这对理解新生事物十分必要”，“还有一个神秘的数学家，他给朋友们提供了经过推理的准确性”。不管毕加索本人是否承认，几何学成为他“充满热情地探索着”的新艺术语言。
其实，萨尔蒙的描述多少有些夸张。在毕加索的艺术家圈子里，最重要的要数诗人阿波利奈尔，他同时也是小说家、演出经纪人、美食品尝家、藏书家、色情文学的支持者，并被后人尊称为立体主义绘画的解释人。在巴黎的一次秋季沙龙开幕式上，阿波利奈尔发表了关于第四维和现代艺术的演讲。在他眼里，第四维并不是一个数学概念（他恐怕理解不了欧氏几何和非欧几何的区别），而是一个隐喻，它包含着新美学的种子。阿波利奈尔把立体主义与科学革命相提并论，将其描述成一种第四维的艺术，认为“立体主义用一个无限的宇宙取代了一个以人为中心的有限宇宙”，
“几何图形是绘画必不可少的，几何学对于造型艺术就如同语法对写作艺术一样重要”。必须指出，普兰斯也是那次沙龙的组委会成员，显而易见，阿波利奈尔把他引进的几何学加以发挥了。
至于第四维与爱因斯坦相对论的关系，那是有目共睹的。庞加莱于1898年发表的一篇论文探讨了如何“在一个以时间为第四维的四维空间里建立一种数学表述”，其重要性立刻被爱因斯坦在瑞士联邦工业大学的数学老师闵可夫斯基捕捉到了，并适时传递给了学生，尽管数学家本人对这个经常逃学的留小胡子的青年毫无印象。1904年，即发现狭义相对论的前一年，爱因斯坦读到《科学与假设》的德文译本，立刻被书中席卷数学、科学和哲学的气势所感动，从中了解了几何学的基础。可是，直到1912年（庞加莱去世的那年，此时闵可夫斯基已经过世三年），爱因斯坦才恍然领悟到，狭义相对论只有在高度几何化后才能完全广义化。而在广义相对论发表后的第二年，即1916年，德国数学家希尔伯特发出了这样的感叹：“物理学家必须要首先成为几何学家。”
虽然爱因斯坦的相对论诞生已经快一个世纪了，人们对它的理解仍十分肤浅，只知道根据这一理论：时间是相对的，空间是弯曲的，光并不是沿着直线传播的；物质和能量的分布决定着时空的弯曲，这种时空弯曲等同于万有引力。这里我想引用一位物理学家举的例子：“让我们设想有两只飞船。飞船X以每秒10万公里的速度飞离地球。飞船上的观测者和地球上的观测者同时对这一速度进行测量，他们得到的结果是一致的。而飞船Y以与飞船X相同的方向运行，地球上的观测者测量它的速度是每秒18万公里。可是，爱因斯坦预言，如果两只飞船上的观测者来测量它们之间分离的速度时，却是每秒10万公里而不是8万公里。”
这个结果表面上看起来十分荒谬，但可以用爱因斯坦发现的质能转换公式来推导，也即一个质量为M的物质的能量E等于该质量M和光速c（每秒18.6万公里）的平方的乘积。这个公式为爱因斯坦赢得了持久的声誉，“政治是暂时的，而方程式是永恒的”。同时，c平方这个庞大的数字也可以解释投放在广岛和长崎的那两颗原子弹的威力。不过，那两次爆炸使得爱因斯坦痛心不已。正是他在1939年致函美国总统罗斯福，指出研制原子能的必要性，并强调美国抢在德国之前发展这一武器的重要性。这封信促进了直接导致第一颗原子弹出现的“曼哈顿计划”的展开。
如果上述例子仍不足以解释相对论，还有一种办法可以帮助我们理解，那就是试图理解更难的非欧几何学。直到18世纪末19世纪初，几何领域仍然是欧几里得一统天下，笛卡尔的解析几何只是改变了几何研究的方法，并使牛顿和莱布尼茨发明的微积分学表述得更加清晰，却没有从本质上改变欧氏几何本身的内容。欧氏几何赖以存在的前提中有这么一条不那么自明的假设，即“过直线外一点能且只能作一条直线与已知直线平行”，也就是所谓的“第五公设”。这个暧昧的假设引起了数学家的广泛关注，其中大多数人试图证明它，也有的沿着不同的方向，即试图给出相反的假设。
俄国人罗巴切夫斯基就是一个叛逆性的人物。1826年，他在偏远的喀山（那里离哈萨克斯坦比莫斯科更近一些）大学发表了非欧几何学的第一篇论文，正是建立在假定“过直线外一点可以引至少两条直线与已知直线平行”的基础上。可是，由于语言的隔膜和交通的不便，这项成果将近十年以后才传递到西欧，几乎就被匈牙利数学家鲍耶抢了先。1854年，德国数学家黎曼发展了罗氏理论而建立起更广泛的非欧几何学。他引进了流形曲率的概念，在三维常曲率空间里有三种情况，即曲率为正常数、零或负常数。后面两种情形分别对应于欧氏几何和罗巴切夫斯基几何，而第一种几何是黎曼本人的创造
，它意味着“过直线外一点不能引任何直线与已知直线平行”。
至此，有关非欧几何学的含义就变得比较明晰了。多年以后，庞加莱等人又先后在欧氏空间中给出非欧几何的直观模型，从而揭示出非欧几何的现实意义。无论是欧氏几何还是非欧几何，都存在任意有限维的甚至无限维的空间。庞加莱为物理学家提供了那个以时间为第四维的四维空间，可以看作是非欧几何学的一个特例。闵可夫斯基进一步指出，在这个四维度量空间的长度计算公式里，第四维时间t的平方前面需要加一个负号。这个公式是如此美妙，爱因斯坦的一位同事、物理学家马克斯·玻恩这样感叹：“从那以后，所有的理论物理学家每天都在使用它。”总之，在广义相对论里，空间和时间变成了一种四维结构，只不过这个四维结构的形状被其中的大质量物体扭曲了。这样一来，宇宙就由一块刚性的铁板变成了一个弹性的垫子。
1854年，即黎曼拓展非欧几何学的那一年，庞加莱出生在法国东北部名城南锡的一个显赫家族。他的父亲是一位著名的医生，他的一位堂弟在第一次世界大战期间曾出任法兰西第三共和国总统，另一位堂弟曾任大众教育和美术部部长。庞加莱的超常智力不仅使他接受知识极为迅速，同时拥有一副流利的口才，并从小得到才华出众的母亲的教导。他不幸在五岁时患上白喉症，从此变得体弱多病，不能顺利地用口语表达思想。但他依然喜欢各种游戏，尤其是跳舞。他读书的速度也十分惊人，且能准确持久地记住读过的内容。小庞加莱擅长的科目包括文学、历史、地理、自然史和博物学，他对数学的兴趣来得比较晚，大约开始于十五岁，不过很快显露出非凡的才华。
十九岁那年，庞加莱第二次赢得全法国中学生数学竞赛一等奖，被保送到巴黎的综合工科学校，从此离开了自己的故乡。虽然庞加莱从未在南锡念过大学，但那里的最高学府（建于1572年）却以他的名字命名。我国数学家华罗庚获得的第一个学位便是这所大学授予的荣誉博士学位，那是在上个世纪70年代末期。2002年春天，我有幸在亨利·庞加莱大学的卡当研究所访问了三个月，了解到庞加莱的父亲曾是这所大学医学院的教授，也对南锡这座绿草如茵的小城留下了美好的记忆——12世纪以来它就是洛林王朝的都城。庞加莱从综合工科学校毕业后进入高等矿冶学院，几年后获得采矿工程师的资格，可是他却醉心于数学，继续攻读科学博士学位。再后来，他成了巴黎大学数学和天文学的终身教授，并在母校综合工科学校拥有类似的职位。
庞加莱从未在一个研究领域作过久的逗留，一位同僚戏称他是“征服者，而不是殖民者”。即使在数学和相对论以外，他的贡献也难以胜数：光学、电学、电报、弹性力学、热力学、量子论、势论、毛细现象、宇宙起源，等等。从某种意义上讲，整个数学都是庞加莱的领域，但他对拓扑学的贡献无疑最为重要。以他名字命名的猜想提出已经整整一百年了，并被悬赏一百万美元，可是至今仍无人认领。这个猜想说的是，任意三维的单连通闭流形必与三维球面同胚（有意思的是，这个猜想的推广，即四维和四维以上的情形倒是被两位美国数学家分别证实，并先后获得菲尔兹奖）。由于庞加莱猜想理解起来不如哥德巴赫猜想或费尔马大定理来得容易，所以虽然它的价值非常之高，却少有业余爱好者问津。1
庞加莱的哲学著作除了《科学与假设》以外，具有重大影响的还有《科学的价值》与《科学方法论》。他是唯心主义的约定论哲学的代表人物，认为公理可以在一切可能的约定中进行选择，但需以实验事实为依据，避开一切矛盾。同时，他反对无穷集合的概念，反对把自}