玩数学——小学数学三年级解决问题游戏学习法
玩　数　学
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——小学数学三年级解决问题游戏学习法
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江州镇中心小学&&&&&
教学内容：三年级上册解决问题，7号大卡片、8号大卡片及7号所有小卡片。
教学目的：
（1）培养学生根据信息提出问题，会说我根据——，提出的问题是——。
&&&（2）通过实践活动解决问题，并使学生会表达第一步解决的是——？第二步解决的是——?
&&&（3）培养学生操作能力，让学生能将算式卡和问题卡正确拼接起来，正确表达：我拼接的问题是—
—，列式是——。
教学重难点:
(1)使学生会说我根据——，提出的问题是——。
（2）会明理，第一步解决的是——，第二步解决的是——。
教具:学具卡，空白小纸片，多媒体等。
教学过程：
一、谈话导入。
师：同学们，今天我们和平时上课有什么不一样？有这么多的老师来听课你们紧张吗？上课的过程当中老师希望你们能大胆、大声回答问题，可以吗？希望你们能把三（3）班最出色的一面展示出来。我现在就想听我们班最响亮的声音。（口号：请你像我这样做）我们班的同学是最棒的！
师：上新课之前，我先考考大家。（投影出示2个数学信息：学校种有芒果树&&
棵，九层皮&&
棵）你能根据这2个数学信息提出数学问题吗？学生提出几个问题后，师生共同归纳2个信息可以提出一共、谁比谁多、谁比谁少、谁是谁的几倍等问题。
师：请同学们带着这些知识进入课堂吧！(板书：玩数学）
二、提出问题，明理汇报。
师：请把7号大卡片、8号大卡片和7号所有的小卡片拿出来，不用的卡片放到抽屉里，看谁做的最好！
师：准备好了吗？请拿出7号大卡片仔细观察购票图，图上他们在干什么？你获得什么数学信息？和同桌轻轻说一说。
师：说完了吗?谁能根据这些数学信息提出数学问题呢？先仔细想一想，等一下我们分成2个大组进行提问题比赛吧。看看哪一组今天回答得最积极、最响亮。谁最会动脑子！
师：谁愿意来说一说？开始吧。
生：根据成人40元，学生30元，买2张票后，售货员找回40元，提出的问题是：小兰付给售货员多少钱？
师：怎样列式？
生：2&30=60（元）60+40=100（元）
师：第一步解决的是什么问题？第二步呢？
&师生一起提出不同的问题，并计算明理。学生说得好的鼓励，错的集体纠正。
师：只要我们肯动脑筋，你就会发现许许多多的数学知识。（点评2组同学表现)
师：你们还敢比下去吗?(有胆量！）
三、制作小卡片。
&师：你们知道这些卡片是谁发明的吗？是李志军老师发明的，他是一个小学特级教师，中学高级老师，他上课十八年从不留家庭作业，但考试时他的学生照样顶呱呱，厉害吧?我也很希望你们也能成为顶呱呱的学生，你们有信心吗?有志气！
&师：请拿出8号大卡片“玩数学”图A，我们就来仿照李老师制作问题卡片或算式卡片吧！如果哪位同学的问题卡正好和李老师的一样，老师就把“幸运之星”送给他，如果和李老师的不一样也没关系，老师就送你“聪明之果”，看看谁能最快把老师的幸运之星、聪明之果收入囊中。
师生共同评析，展示，发奖。
师：还想玩吗？我们再进行最后一个环节吧。
四、玩游戏卡片、拼接。
4人一小组玩游戏，请小组长拿出7号大卡片和7号小卡片，其余同学的收起来。出示游戏规则。我们的游戏规则里输了干什么？现在我有另外一个决定你们想知道吗？输的不用表演节目，但是第一个赢的有奖品。开始吧。
五、总结。
现在我有个问题想问大家，你们觉得学数学难不难？怎样才能学好数学？（师生总结出：勤于思考问题，善于中介方法，要会举一反三）做到这几点你就是小小数学家。
六、课后作业。
根据今天这节课，写一篇数学日记。
&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&教学反思
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江州镇中心小学&&&
小学生平时上课更加关注“有趣、好玩、新奇”的事物，所以我这节课是根据学生的特点、生活体验和数学的趣味性而设计的。
我这节课的设计主要有六个环节，下面主要说一说以下几个主要环节。
第一环节先从生活入手，激发学习兴趣。为了让学生感受到生活中的数学无处不在，我特意去数了学校的树木。课的伊始，我先根据实际情况出2个简单的数学信息：江州镇中心小学种了18棵扁桃树，15棵九层皮。接着，让学生根据这两个简单的数学信息提出几个不同的问题，学生兴致高涨，一会就能提出问题了。然后告诉学生：生活处处有数学，生活处处有学问。最后，师生共同总结提问题的方法，带着方法自然而然进入课堂。
第二环节是：提出问题，明理汇报。这个环节，我的主要目的是第一个学生提出一共是多少的问题之后，另外的学生能不能举一反三提出谁比谁多、谁比谁少、谁是谁的几倍的问题。学生在这方面也是表现的比较好的，学生的思维也很活跃。
第三环节，在制作游戏问题卡中，学生很积极，学习主动性很高，当“幸运之星、聪明之果”贴在学生额头时，学生雄赳赳，气昂昂地走回座位，像一个凯旋归来的勇士，学生充分体验到了学习的乐趣，成功的喜悦。
第四环节是玩游戏。在4人小组玩游戏中，学生的知识得到了巩固，平时在这个环节中哪位学生输了，就由他表演节目，在这里我做了一点点的改变，输的同学不用表演节目，第一个胜出的同学却可以得到一枚“幸运之星”，这样小小的改变，游戏的氛围、效果都非常好，学生玩得开心、尽兴，有些学生走出多媒体时还特意跑到我面前来对我说：“老师我们组玩了两遍！”，还有一个学困生跑来对我说：“老师，这次我赢了！”看见学生能有这样的表现，我也有一种成功的喜悦，觉得一切努力、辛苦都没有白费。
但是一节课下来还是有很多遗憾。
1、在根据数学信息提问题环节当中，我没有照顾到学困生，全部都是找举手的会的学生发言。假如下次上这个环节，我一定要记住要提问不会说或者说错的学生，请个别的学生或者是集体探讨纠正。这样效果肯定会更好。
2、学生制作小卡片当中，我也是让会的学生展示作品。因为停电，学生作品没法展示。我帮学生读出作品的内容，我应该让学生自己读出来才是。下次我得多多关注学生汇报环节，让学生有更多展示自己的机会，提高他们的学习兴趣。
&&&&3、玩游戏环节当中，我完全“放”学生出去玩了，这点是很好的，但我又忘记“收”了。如果先让小组汇报：你们小组碰到了哪些问题？你们解决了什么问题？是怎样解决？之后再做课后总结效果应该就更好。
总之，这节课中充分培养了学生的分析，综合、比较、概括、表达的能力，学生的迁移类推能力也得到了发展。同时，在“完美”的背后还有许多“不完美”，在“成功”的背后还有很多“不成功”。真的很感谢我亲爱的同行们，能对我的课进行评课指正，让我及时发现我的不足和缺憾，让我下次的课能离“完美”更近一步。
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你可能喜欢对于一个初学者来说，三维空间的几何似乎有点让人望而生畏。在纸上可以画出来的二维空间几何就已经足够难以理解了，但是现在我们竟然要使用和掌握三维空间的几何？好消息是在图形学中直接使用三角形是非常罕见的并且有很多方法可以用来避免这么做。我们有其他更好理解和使用的工具来代替。你可能在下图中已经认出我们的老朋友-向量（vector）。
这篇文章将向你介绍三维空间的向量，并将用几个实际使用方面的例子来带你熟悉三维空间的向量。虽然这些例子的内容是侧重三维空间的，但是里面说明的大部分内容和原理也同样适用于二维空间。这篇文章会假设读者具有代码和几何方面的知识，以及具有编程方面的经验和对面向对象编程(OOP)的基本了解。游戏中的向量数学概念在数学中，一个向量是指一个既有方向（direction）又有大小(magnitue)的结构。在游戏开发中它经常用来描述位置的变化，并且可以与其他向量相加或者相减来得到新的位置变化（一个向量代表一个位置的变化，两个这样的向量相加得到的是这两段位置变化的总效果）。通常情况下，你会发现向量是数学库或者物理库的一部分。它们通常包含一个或多个组件，比如x、y和z。向量可以是一维向量(只包含x分量)、二维向量(包含x、y分量)、三维向量(包含x、y、z分量)甚至是四维向量（一般是x、y、z、w分量）。四维向量可以用来描述其他一些东西，比如一个带额外alpha值的颜色。对于初学者来说最困难的事情之一就是他们在刚接触向量的时候如何去理解看上去就是空间的一个点的东西为什么可以用来描述一个方向。让我们用二维向量（3，3）来举例说明这个事情。要理解为什么向量能够代表一个方向你只需要看下面这张图。我们都知道需要两个点才能形成一条线。所以第二个点在哪里呢？缺失的那个点就是位于（0，0）的原点（origin）。我们画一条从原点（0，0）到（3，3）的线段，我们就得到下图这么一个效果：
正如你在上图中看到的那样，原点作为第二个点引入以后就与第一个点一起赋予了我们的向量一个方向。但是你也会看到，第一个点（3，3）可以被移动（或者说位移）来接近或者远离原点。第一个点到原点的距离就被称为大小，可以用二次方程a^2 + b^2 = c^2计算得到。在我们举得例子中，就是3^2 + 3^2 =c^2， c = sqrt(18) ~= 4.24。如果我们把向量的每个分量除以4.24那么我们就把向量放缩成了大小正好为1（也就是到原点的距离为1）的向量。在接下来的例子中我们将看到为什么这个被称为向量归一化的过程非常有用，向量的归一化保留了向量的方向，但是提供了通过对数字（也就是标量)值进行乘法来放缩大小的能力。在接下来的例子中，我将假设你的数学库用Vector2 代指二维向量，用Vector3代指三维向量。它们在不同的库和编程语言中有各种不同的名字，举个例子来说，vector、vector3、 Vector3f、 vec3、 point、 point3f等等都是向量的名字。你的数学库中关于向量部分肯定有很多文档和例子。注意：向量类型在编程语言的世界里面通常有两种含义，既可以用来指传统的数学/物理场景中的向量，也可以用来表示自行控制的n维单位。这里仅仅是做一个小提醒。像其他变量一样，你代码中的向量到底代表着什么含义完全取决于你的控制：它可以是一个位置、方向或者速度。下面是游戏中常见的一些向量用法位置 - 向量代表着真实位置与你的世界坐标原点(0, 0, 0)的一个偏移量。方向 - 向量看起来非常像是一个箭头指着某个方向。它确实是可以这么用。举个例子来说，如果你有一个指向南的向量，那么你可以把这个向量赋予你的所有单位作为它们的新方向，那么它们都将面向南。方向向量的一个特例是长度为1的向量。它也被称为归一化的向量或者简称为标准向量。一个速度（velocity ）向量可以描述一个运动。在这种情况下，它描述的是特定时间内的位置的变化。
记住最基本的内容-向量加法和减法
向量加法是用来累加两个向量所描述的不同，并写入最后的向量中。比如说，一个物体移动了A向量这么大的位移，然后又移动了Ｂ向量这么大的位移，那么结果就仿佛是它一共移动了Ｃ向量这么大的位移（其中C = A + B）。
对于向量减法来说，就相当于把第二个向量反转，然后把反转的向量加到第一个向量身上。注意：坐标系解向量加减法：在直角坐标系里面,定义原点为向量的起点.两个向量和与差的坐标分别等于这两个向量相应坐标的和与差若向量的表示为(x,y)形式,A(X1,Y1) B(X2,Y2)，则A+B=（X1+X2，Y1+Y2），A-B=（X1-X2，Y1-Y2）简单地讲：向量的加减就是向量对应分量的加减。类似于物理的正交分解。
例子: 物体之间的距离如果在这个例子中，向量代表的分别是物体A和B的位置，那么 B – A将是代表着A和B物体位置差的向量。 B – A所得到的结果将表示A位置移动到B位置所需的方向和距离。举个例子来说，要得到人到树的距离向量你必须用树的位置减去人的位置，如下图所示：
我用了伪代码（pseudo-code ）来保持代码的简洁方便阅读。在括号内的三个数字（x,y,z）代表着一个向量。：注意：伪代码是一种算法描述语言。使用伪码的目的是使被描述的算法可以容易地以任何一种编程语言（Pascal，C，Java等）实现。因此，伪代码必须结构清晰、代码简单、可读性好，并且类似自然语言。介于自然语言与编程语言之间。以编程语言的书写形式指明算法职能。使用伪代码， 不用拘泥于具体实现。相比程序语言（例如Java,C++,C, Dephi 等等）它更类似自然语言：tree_position = (10, 10, 0)my_position = (3, 3, 0)# distance anddirection you would need to move# to getexactly where the tree isvector_to_tree = tree_position - my_position例子: 速度除了位置向量以外，对象可能还有一个向量用来表示速度。举个例子来说，大炮炮弹的速度向量描述的是它下一秒将要移动的距离。当第一次被发射的时候，大炮炮弹可能具有如下这些属性：position = (0, 10, 10) # position: 10units in Y and Z directionvelocity = (500, 0, 0) # initialmovement is 500 units in X direction over the next second每秒钟要基于速度向量来更新一次炮弹的位置：position += velocity # add velocityto position and update position概念: 仿真等等！我们不希望每一秒才更新一次物体。事实上，我们希望尽可能的频繁更新物体的信息。但是我们不能指望两次更新之间的时间总是固定的。所以我们使用了delta时间，这是上一次更新到这一次更新的时间差。因为delta时间代表的是逝去时间的一个时间差。所以我们可以用它来得到这次更新到上一次更新之间的这段时间内物体的移动速度所导致的位置差。position += velocity * delta这是一个非常基本的仿真。为了实现一个仿真，我们在自己的世界里面建模了我们的对象该具有怎样的行为（比如说大炮炮弹永远具有不变的速度）。然后我们加载最初的游戏状态（大炮炮弹开始的时候具有初始位置和速度）。最后一块拼图是要把所有的东西融合在一起，这就是update循环，它会定期执行，我们用delta时间(也就是时间间隔)来记录上一次更新到这次更新的时间间隔。在每次update调用的时候，它会根据我们预先定义好的规则（比如说用炮弹的速度来更新炮弹的位置）来对每个仿真物体进行更新。例子:重力、空气阻力和风我们的炮弹移动是很无聊的：它永远是向一个方向移动并且移动的速度永远是不变的。我们需要它对周围的世界做出反应。举个例子来说，我们希望重力能让炮弹下落，希望空气阻力会让炮弹的速度变慢，至于风呢，仅仅是加进来为了好玩。在一个游戏中重力实际上意味着什么呢?嗯，它会产生一个副作用，在物体向下的方向增加物体的速度。因为在我们的例子中Y轴是向上的，所以我们的重力向量将是下面这样的：# increasevelocity of every object -2 down per secondgravity_vector = (0, -2, 0)所以，在每次进行update调用之前，我们可以修改速度变量，如下面代码所示：velocity += gravity_vector * delta # applygravity effectposition += velocity * delta # updateposition让我们假设空气很厚，所以空气会每半秒就降低一次炮弹的速度。velocity += gravity_vector * delta # applygravity effectvelocity *= 0.5 * delta # apply 0.5slowdown per secondposition += velocity * delta # updateposition速度会受到空气阻力的影响因为炮弹总是在空气中行进。空气会阻挡它的前进进而减少它的动能。所以我们需要调整下炮弹在空气中前进的速度。
但是，还有一个恒定的力会改变炮弹的运动，就像风一样。# modifykinetic energy / velocityvelocity += gravity_vector * delta # applygravity effectvelocity *= 0.5 * delta # apply 0.5slowdown per second# add all forcesfinal_change_per_second = velocity + wind_force_per_second# updatepositionposition += final_change_per_second * delta
这个例子的着眼点在于说明用简单的向量数学构建如此复杂的一个行为是多么的容易。
概念: 方向
通常情况下，你不会需要从A到B的距离，而是需要从A指向B的方向。向量Ａ到向量B的距离当然可以用来表示方向，但是如果你需要从Ａ向B移动“很小一点点”，但是要精确的按照你希望的速度该怎样做呢？在这种情况下向量长度应该无关紧要的，如果我们把方向向量的长度缩减为1，就可以用于这个目的以及其他一些情况。我们把这个缩减称为归一化（normalization ），得到的向量称为标准向量（normalvector）。
所以，一个标准向量它的长度应该总是1，否则它就不是一个标准向量。。一个标准向量代表的是一个角度，而没有实际位置移动相关的其他任何信息。如果我们用一个标量数字乘以一个标准向量，我们就得到了一个方向向量，同时它的长度就是标量数字的大小。在你的数学库里面应该有一个normalize函数，来从任意的向量中得到一个标准向量。所以如果要朝B精确的移动3个单位长度，代码如下：final_change = (B - A).normalize() * 3概念：平面一个标准向量也可以用来描述一个平面所朝向的方向。你可以把平面想象成从一个特定点P出发的无限大的片，对这个片的旋转可以通过法向量Ｎ来精确描述出来。
要旋转这个片／平面，你应该改变它的法向量。注意：法向量是空间解析几何的一个概念，垂直于平面的直线所表示的向量为该平面的法向量。由于空间内有无数个直线垂直于已知平面，因此一个平面都存在无数个法向量（包括两个单位法向量）。如果一个非零向量n与平面a垂直，则称向量n为平面a的法向量。垂直于平面的直线所表示的向量为该平面的法向量。每一个平面存在无数个法向量。
概念: 点积(Dot Product)点积是对两个向量进行操作然后返回一个数字。你可以把返回的这个数字看作是两个向量比较的一个方法。注意：在数学中，点积（ scalar product，也称为数量积）是接受在实数R上的两个向量并返回一个实数值标量的二元运算。它是欧几里得空间的标准内积。通常写为：result = A dot B两个法向量之间的这种比较是特别有用的，因为这个数字会代表着他们在旋转上的不同。如果点积返回的结果为1，说明这两个法向量指向同一个方向。如果点积返回的结果为0，说明这两个法向量互相垂直。如果点积返回的结果为-1，说明这两个法向量指向完全相反的方向。下面这张图说明的是点积返回的结果与两个向量之间夹角的关系：
请注意上图中从1到0以及从0到-1的变化不是线性的，而是遵循余弦曲线进行变化的。所以，要从点积的结果中得到一个角度，你需要对返回的结果调用反余弦，如下面代码所示:angle = acos(A dot B)例子: 光照试想一下我们正在写一个光照着色器并且我们需要计算一个特定表面点的像素明亮度。我们有如下这些信息：一个法向量用来表示这个点上的表面的方向光源的位置这个表面点的位置我们可以得到计算特定点到光源的距离向量:distance_vec = light_pos - point_pos以及把这个特定点上的光照方向变为一个标准向量：light_direction = distance_vec.normalize()然后基于我们已有的关于角度和点积（dot product）之间关系的知识，我们可以使用表面法向量和光照方向之间的点积来计算这个点的明亮度。在最简单的情况下，它就完全等于点积得到的结果!brightness = surface_normaldot light_direction
不管你是否相信，这就是一个简单的光照着色器的基本框架。OpenGL中的实际片段着色器代码就是这样的（如果你没有着色器的相关知识也不用担心，这只是一个用来说明点积实际应用的例子，我们不会在着色器方面展开太多）:注意：Shader(着色器)是用来实现图像渲染的用来替代固定渲染管线的可编辑程序。Shader分为Vertex Shader（顶点着色器）和Pixel Shader（像素着色器两种（（注：两种着色器在不同的实现中略有不同）。其中Vertex Shader主要负责顶点的几何关系等的运算，Pixel Shader主要负责片源颜色等的计算。着色器替代了传统的固定渲染管线，可以实现3D图形学计算中的相关计算，由于其可编辑性，可以实现各种各样的图像效果而不用受显卡的固定渲染管线限制。这极大的提高了图像的画质。varying vec3surface_varying vec3vertex_to_light_
void main(void)
vec4diffuse_color = vec3(1.0, 1.0, 1.0); // the color of surface - white
float diffuse_term = dot(surface_normal, normalize(vertex_to_light_vector));
gl_FragColor = diffuse_color * diffuse_
注意dot函数和normalize函数的使用用法是与前一个例子唯一有区别的地方。例子:点到一个平面的距离如果要得到某个点到一个平面的最短距离，首先计算出这个点到平面上任意一点的距离向量，不要对这个向量进行归一化，然后将其与平面的法向量相乘，得到的就是这个点到这个平面的最短距离。distance_to_a_plane = (point - plane_point) dotplane_例子：这个点是否在这个平面上？利用上一个例子的内容，计算这个点到这个平面的最短距离，如果等于0，那么这个点就在这个平面上。例子：一个向量是否与一个平面平行？如果这个向量与平面的法向量垂直的话，那么这个向量就是与这个平面平行的。我们已经知道，如果两个向量的点积等于0的时候这两个向量是垂直的。所以当向量与平面法向量的点积等于0的时候，那么这个向量就是与这个平面平行的。例子：线段是否与一个平面相交让我们假设下，线段从P1点开始到P2点结束。在平面上的一个特定点是SP而平面的法向量是SN。如果我们假想一个平面穿过线段的第一个点P1，那么要解决这个问题就可以转换为计算哪个点（P2还是SP）既更接近P1又与SN更加平行。这个值可以通过点积计算得到，如下所示：
dot1 = SN dot (SP - P1)dot2 = SN dot (P2 - P1)你可以计算它与平面相交的”程度“，也就是将这两个值相比较（相除）。u = (SN dot (SP - P1)) / (SN dot (P2 - P1))如果 u == 0，那么线段是与平面平行的。如果 u &= 1 并且 u & 0， 那么线段与平面相交。如果u & 1，那么线段与平面不相交。可以将线段的向量与u相乘得到精确的相交点：intersectionpoint = (P2 - P1) * u概念: 向量积（Cross Product）向量积也是对两个向量的一个操作。结果是一个新的向量，它与前两个向量垂直，并且它长度是前两个向量长度的均值。注意：向量积，数学中又称外积、叉积，物理中称矢积、叉乘，是一种在向量空间中向量的二元运算。与点积不同，它的运算结果是一个向量而不是一个标量。并且两个向量的叉积与这两个向量的和垂直。两个向量a和b的叉积写作a×b（有时也被写成a∧b，避免和字母x混淆）。
向量积可以被定义为：|向量a×向量b|=|a||b|sinθ在这里θ表示两向量之间的夹角(共起点的前提下)（0° ≤ θ ≤ 180°），它位于这两个矢量所定义的平面上。
需要注意的是对于向量积操作来说，参数的顺序是有影响的，如果调换了参数的顺序，生成的结果向量长度不变，但是方向将会完全相反。例子: 碰撞假设物体以某个角度往墙那里移动。但是墙是无摩擦的，所以物体应该沿着墙的表面移动而不是停下来。在这种情况下，如何计算物体的新位置？
首先，我们用一个向量来表示如果没有墙的情况下物体应该移动的距离。我们将称它为“变化向量“。然后，我们将假设物体触碰到了墙。并且我们还需要墙表面的法向量。我们将使用向量积来得到一个新的向量，它与”变化向量“和平面法向量相垂直：temp_vector = change crossplane_normal然后，最后的方向是与新的向量以及之前的平面法向量相垂直的：new_direction = temp_vectorcross plane_normal所以，就如下面代码这样得到最后的结果：new_direction = (change crossplane_normal) cross plane_normal现在该怎么办?
通过这篇文章，我希望能弥补向量数学的理论和在游戏开发中实际应用之间的鸿沟。但是，这也意味着我在讲解的过程中跳过了大量的东西。但是我希望在阅读完这篇文章以后，你对向量数学的整体框架更加清楚一点。文中对向量数学的遍历可以视为游戏开发中使用向量数学的一个概述。
文章出自微信公众号
:GameRes_youziwang
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