一道初二数学题（关于等腰三角形）如图所示,在△ABC中,AB=AC,P为BC边上任一点且PE⊥AC于D,如图所示,在△ABC中,AB=AC,P为BC边上任一点且PE⊥AC于D,PD⊥AB于D,CF为AB边上的高.（1）求证：PD+PE=CF；（2）若点P在BC边的延长线上,PD,PE和CF存在着什么等式关系,写出你的猜想并加以证明./%CC%EC%CC%C3%B6%F1%C4%A7%CA%B9/pic/item/de52bd4a786693f.jpg我认为要作PM⊥于M,所以DF‖MP,如图所示:/%CC%EC%CC%C3%B6%F1%C4%A7%CA%B9/pic/item/192a68a35803.jpg
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1.过P做CF垂线交于G,FGPD是矩形,就是要证明CG=PE,因为角B=角C,所以角GCP=角EPC,所以CG=PE,得证2.PE+CF=PD
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扫描下载二维码如图甲所示，在△ABC中，AB=AC，在底边BC上有任意一点P，则P点到两腰的距离之和等于定长（腰上的高），即PD+PE=CF，若P点在BC的延长线上，那么请你猜想PD、PE和CF之间存在怎样的等式关系？写出你的猜想并加以证明．
苏凉︿0028E
我的猜想是：PD、PE、CF之间的关系为PD=PE+CF．理由如下：连接AP，则S△PAC+S△CAB=S△PAB，∵S△PAB=ABoPD，S△PAC=ACoPE，S△CAB=ABoCF，又∵AB=AC，∴S△PAC=ABoPE，∴ABoPD=ABoCF+ABoPE，即AB（PE+CF）=ABoPD，∴PD=PE+CF．
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猜想：PD、PE、CF之间的关系为PD=PE+CF．根据∵S△PAB=ABoPD，S△PAC=ACoPE，S△CAB=ABoCF，S△PAC=ACoPE，ABoPD=ABoCF+ACoPE，即可求证．
本题考点：
等腰三角形的性质；三角形的面积．
考点点评：
本题考查了等腰三角形的性质及三角形的面积，难度适中，关键是先猜想出PD、PE、CF之间的关系为PD=PE+CF再证明．
扫描下载二维码如图①，在等腰△ABC中，底边BC上有任意一点，过点P作PE⊥AC，PD⊥AB，垂足为D、E，再过C作CF⊥AB于点F；（1）求证：PD+PE=CF；（2）若点P在BC的延长线上，如图②，则PE、PD、CF之间存在什么样的等量关系，请写出你的猜想，并证明．
天真无邪亞
（1）证明：作PM⊥CF，∵PD⊥AB，CF⊥AB，∴∠FDP=∠DFM=∠FMP=90°，∴四边形PDFM是矩形，∴PD=FM．∵PE⊥AC，且PM⊥CF，∴∠PMC=∠CEP=90°，∵AB=AC，∴∠B=∠ACB，∵AB⊥FC，PM⊥FC，∴AB∥PM，∴∠MPC=∠B，∴∠MPC=∠ECP，在△PCM和△CPE中，∵，∴△PCM≌△CPE（AAS），∴CM=PE，∴PD+PE=FM+MC=CF；（2）PD-PE=CF；证明如下：作CM⊥PD于M，同（1）得四边形CMDF是矩形，则CF=DM，∴CM∥AB，∴∠MCP=∠B，又∠ACB=∠ECP（对顶角相等），且AB=AC得到∠B=∠ACB，∴∠MCP=∠ECP，又PE⊥AC，CM⊥PD，∴∠PMC=∠PEC=90°，在△PCM和△PCE中，∵，∴△PCM≌△PCE（AAS），∴PM=PE，∴PD-PE=PD-PM=DM=CF．
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要证明两条线段的和等于其中一条线段，需要作辅助线：延长较短线段，把两条加到一起或在较长线段上截取．（1）可以作PM⊥CF，构造了矩形和一对全等三角形；（2）类比（1）中的结论，很容易得到猜想，再进一步证明就可．
本题考点：
等腰三角形的性质；全等三角形的判定与性质．
考点点评：
本题考查了等腰三角形的性质及全等三角形的判定与性质；解答此题的关键是辅助线的作法，把证明两条线段的和或差等于一条线段转化为证明两条线段相等的问题．
作pq垂直于cf，连接eq，易证四边形eqpc为等腰梯形，所以pe等于cq，所以pd+pe=cf，（2）按照这个思路很简单，
扫描下载二维码如图，在△ABC中，AB=AC，P底边BC上一点，PD⊥AB于D，PE⊥AC于E，CF⊥AB于F． （1）求证：PD+PE=CF；（2）若P点在BC的延长线上，那么PD、PE、CF存在什么关系？写出你的猜想并证明．
（1）证明：连接AP．∵AB=AC，∴S△ABC=S△ABP+S△ACP=AB×PD+AC×PE=×AB×（PD+PE），∵S△ABC=AB×CF，∴PD+PE=CF．（2）CF+PE=PD．P点在BC的延长线上，过P做AB⊥PD，过C作AB⊥CF，过P作PE⊥AC，交AC的延长线于E点，连接AP∵AB=AC，∴S△APB=S△ABC+S△ACP=AB×CF+AC×PE=×AB×（CF+PE），∵S△APB=AB×PD，∴CF+PE=PD．
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（1）连接AP，根据等腰三角形的性质可表示出S△ABC=S△ABP+S△ACP=×AB×（PD+PE），同时可表示出S△ABC=AB×CF，从而可得到PD+PE=CF．（2）CF+PE=PD，根据S△APB=S△ABC+S△ACP进行推理，证法同（1）．
本题考点：
等腰三角形的性质；三角形的面积．
考点点评：
此题主要考查等腰三角形的性质及三角形面积的综合运用，此题的关键是利用面积公式将所求联系在一起．
证明：连接AP并延长交BC于G，S三角形ABC=S三角形ABG+S三角形ACG
=1/2（AB*PD+AC*PE）
=1/2AB（PD+PE），S三角形ABC=1/2AB*CF，PD+PE=CF
]][p][p][p]
作条辅助线
扫描下载二维码如图①，在等腰△ABC中，底边BC上有任意一点，过点P作PE⊥AC，PD⊥AB，垂足为D、E，再过C作CF⊥AB于点F；（1）求证：PD+PE=CF；（2）若点P在BC的延长线上，如图②，则PE、PD、CF之间存在什么样的等量关系，请写出你的猜想，并证明．
（1）证明：作PM⊥CF，∵PD⊥AB，CF⊥AB，∴∠FDP=∠DFM=∠FMP=90°，∴四边形PDFM是矩形，∴PD=FM．∵PE⊥AC，且PM⊥CF，∴∠PMC=∠CEP=90°，∵AB=AC，∴∠B=∠ACB，∵AB⊥FC，PM⊥FC，∴AB∥PM，∴∠MPC=∠B，∴∠MPC=∠ECP，在△PCM和△CPE中，∵，∴△PCM≌△CPE（AAS），∴CM=PE，∴PD+PE=FM+MC=CF；（2）PD-PE=CF；证明如下：作CM⊥PD于M，同（1）得四边形CMDF是矩形，则CF=DM，∴CM∥AB，∴∠MCP=∠B，又∠ACB=∠ECP（对顶角相等），且AB=AC得到∠B=∠ACB，∴∠MCP=∠ECP，又PE⊥AC，CM⊥PD，∴∠PMC=∠PEC=90°，在△PCM和△PCE中，∵，∴△PCM≌△PCE（AAS），∴PM=PE，∴PD-PE=PD-PM=DM=CF．
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要证明两条线段的和等于其中一条线段，需要作辅助线：延长较短线段，把两条加到一起或在较长线段上截取．（1）可以作PM⊥CF，构造了矩形和一对全等三角形；（2）类比（1）中的结论，很容易得到猜想，再进一步证明就可．
本题考点：
等腰三角形的性质；全等三角形的判定与性质．
考点点评：
本题考查了等腰三角形的性质及全等三角形的判定与性质；解答此题的关键是辅助线的作法，把证明两条线段的和或差等于一条线段转化为证明两条线段相等的问题．
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