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两人轮流报数，每次只能报1或3，把两人报的所有数加起来，谁报数后和是31，谁就获胜．想一想，为了确保获胜，先报数的人应该怎样报数？
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先报数的人第1次一定要报3，和还剩31-3=28，28是4的倍数，所以，以后每次报的数始终都与另一人报的数的和是4，最后一次总是先报数的人，所以只要这样做先报数的人一定会赢．
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因为31÷（1+3）=7…3，所以，先报的一定要报3，然后每次报的数始终都与另一人的和是4，一定会赢．
本题考点：
最佳对策问题．
考点点评：
本题关键根据余数确定先先报的数，以后每次报的数始终都与另一人报的数的和是4，一定会赢．
扫描下载二维码下面一些游戏,就请你想一想,采取什么策略能获得胜利
1.抢数游戏 (1)抢30 两人轮流报数,每人每次只能报1个或2个.如第一个人可报1或1,2,第二个人就可以报2或2,3,或者3或3,4.这样继续下去,谁报到30,谁就获胜. 想一想,你用怎样的策略才能取胜
可以这样想:要报到30,必须抢到27,这样对方不论报28,或28,29,30稳在你手中.而要报到27,必须抢到24;以此类推,你必须抢到21,18,…. 想一想,你必须抢到什么数 是争取先报数还是后报数
(2)让30 根据(1)的规则,谁报到30的为输.想一想,你应采取什么策略
(3)报1～3个数,抢30 两人轮流报数,每人每次可报1～3个数,谁报到30的为胜.为了取得胜利,你又应采用什么策略
(4)抢70 两人轮流报数,每次可报1～2个数,报到70的人获胜.想一想,应采用什么策略才能取胜
(5)抢100 两人流轮报数,每次可报1～5个数,谁先报到100获胜.为获胜必须采取什么策略
(6)让100 游戏规则与抢100相同,但报到100的人是失败者.想一想,获胜的策略是怎样的
2.火柴游戏 (1)两堆火柴 两堆火柴,一堆8根,一堆15根.两人参加游戏,轮流从其中的任意一堆拿走1根或几根火柴(甚至把这堆火柴一次拿完),但每次不准一根不拿,也不准从这堆拿几根,从那堆拿几根.谁拿到最后一根或几根火柴,谁就获胜.想一想,如何拿法才能获胜
(2)三堆火柴 三堆火柴,一堆1根,一堆2根,一堆3根,其他规则同(1).怎样才能拿到最后一根(或几根)
(3)任意堆火柴 如果有任意堆火柴,每堆任意根,其他规则同(1).怎样才能拿到最后一根(或几根)
(4)拿最后一根为输 上面的游戏都是拿到最后一根(或几根)为胜.现在规定,谁拿到最后一根为输,该怎样拿
3.取,摆棋子 (1)6颗棋子 用6颗棋子分两堆放,一堆1颗,另一堆5颗.如下图. ① ②③④⑤⑥ 两人游戏,轮流取棋子,并规定:每人一次只能取1颗或者相连的2颗;相分离的2颗棋子,如图中①和②,②和④,……不能同时取出.谁取得最后1颗或相连的2颗棋子为胜. 想一想,取胜的策略是什么
(2)22颗棋子 准备22颗棋子,左边放10颗,右边放12颗,如下图: 两人轮流取棋子,并规定:可以从左边一堆或右边一堆中取出1颗,几颗直到整个一堆;如要从两堆中同时取的话,必须取出同样多的颗数.谁能取得最后一颗或数颗棋子为胜利者. 如果由你先拿,该怎样拿
(3)争放最后一颗 甲,乙两人轮流在一个长方形的棋盘(或纸)上放棋子,每次只许放1颗,每颗必须平铺在棋盘上而不准相互重叠.这样继续下去,谁放下最后一颗棋子后对方无法再放,谁就获胜. 想一想,如何才能获胜
(4)环形取棋 把一些圆形棋子放成环形,且互相紧密接触,如下图.两人轮流从中取棋,每次只能取一颗或相邻的两颗,并且所取的这一颗或相邻两颗棋子的两边,必须都有与它们相接触的棋子,这样继续下去,到不能取走时为止.这时,最后一次取得棋子的人就算是赢了. 想一想,如何才能获胜
(5)成一直线 画一个3×3格的正方形棋盘.参加游戏的双方各拿三颗棋子(用不同的颜色区分),并轮流把棋子一颗一颗地放到棋盘上.待全部棋子都放完后,双方可以依次把自己的棋子移到相邻的空格中去,但不能斜着走.谁先把自己的棋子摆成一直线(一行,一列或一对角线),谁就得胜. 试一试,怎样才能取胜
4.计数斗智 (1)和为15 准备分别写有数1～9的卡片图9张,摊在桌上,两人轮流取1张卡片.先取得双方卡片上各数之和为15的获胜. 获胜的策略是什么
(2)和为27 准备分别写有数1,2,3,4的卡片各7张,摊在桌上.两人参加游戏,轮流各取1张卡片.当两人所取的卡片上数的和是27时,最后取得卡片的一方获胜. 为了获胜,该怎么取卡片. (3)两人写数 两人轮流写一个不超过12的自然数,但是已写过数的约数和倍数都不能再写.哪一方写出最后一个数,对方已无法再写数即为胜. 你怎样写可以保证获胜
(4)从21开始 从数21开始,两人轮流减去一个一位数.但这个一位数必须在右图中选,而且是对方刚减过的数的邻数才可以.如对方减4,你接下去只能减1或5或7,不能减其他的数.这样轮流地减,谁先出现不能减时(即答数出现负数)谁就是失败者. 下面是一个例子. 操作 答 数 甲 21-1 20 乙 20-4 16 甲 16-5 11 乙 11-8 3 甲 要出现负数,甲失败了. 如果请你先减,应减去哪个数
(5)奇数和偶数 这游戏是在3×3的方格(下图)上玩的.游戏规则如下: ① 准备分别写有1,2,3,4,5,6,7,8,9的小卡片9张.两个游戏者,一个只能用奇数,一个只能用偶数.他们交替地把卡片放在方格内. ② 哪个先使一横排或一竖行或一对角线上的三个数之和是15为胜. ③ 从\奇数\游戏者开始. 5.棋类斗智 (1)牛角棋 画牛角棋盘如下图.准备白子一颗,黑子两颗,两人游戏分别执黑,白棋子.开始时黑,白棋子放置如图.双方交替沿棋盘中的线走一步,不能不走,也不能走到有子的地方.如黑方将白方逼入牛角(即O点),则黑方为胜;如白方逃到A点则白方胜. 白方先走.如你执黑子,怎样才能获胜
(2)侦探和间谍 画棋盘如下,两人参加游戏.游戏规则如下: ① 一方拿三个标有\侦探\的棋子,另一方拿一个标有\间谍\的棋子. ② 开始时,\侦探\放在①,②和④的位置上,\间谍\的棋子可以放在除③以外的任何没有被棋子占领的圆圈内. ③ 从\侦探\开始游戏,每次只能按直线移动一格,可以到任一个被直线联结的空圆上,但不允许返回移动. ④\间谍\可以向左,向右,向前或向后移动,每次也只能移动一格. ⑤ 假如\侦探\能把\间谍\追赶到(11)的圆圈内,而三个\侦探\又分别占领⑧,⑨,⑩三个圆圈的位置,这时\间谍\陷入了陷阱,\侦探\胜利.如\间谍\逃过了\侦探\的包围网(因侦探不能返回移动),\侦探\就失败了. (3)象棋残局 下图是一盘象棋残局.请仔细观察,如果你执红棋,采用什么策略可以必胜
(4)翻转棋 准备两面分别为黑,白的棋子共64颗.两人游戏,每人各认定一种颜色的棋子32颗,棋盘为8×8共64格个小格.开始时在正中央4个小方格中各放两黑两白4颗棋子,如下左图. 两人轮流下棋,每次放一颗棋子.如果一方的棋子与另一方棋子处在同一直线(横,直,斜线都可以)上,而且把对方的棋子(一颗或几颗)夹在中间时,就可以把对方的棋子翻转过来,变成己方的棋子.如上右图中,当第二颗黑棋放好后,即可把白棋翻过来成为黑棋. 需要注意的是,翻对方棋时必须体现\对称\的原则.如一边两颗黑棋,中间一颗白子,另一边再放一颗黑子(下左图),由于两边黑棋数目不等,即不对称,就不能翻转这颗白棋子.另外,如凑巧出现如下右图的棋式,在\×\处放一颗黑棋,即可将8颗白棋全部翻转. 最后棋盘上哪一方的棋子多,那方就赢. (5)悖论①骰子 美国斯坦福大学的概率统计学家埃夫伦设计出一种悖论骰子.骰子共4颗,外形与一般的骰子完全相同,只是6个面上的点数不是1～6.下面用展开图画出A,B,C,D4颗骰子6个面上的数.玩时每人挑选一颗骰子,各掷一次,以掷得数较大的为胜利. ① 有关\悖论\的介绍,请参阅\十四,数学名题\中的\?尴尬的理发师\现在要考虑的是,为了使获胜的可能性大一些,你选择哪一颗骰子
那么怎样来比较各颗骰子间输赢可能性的大小呢
例如两人玩这个游戏,你挑选A,对方挑选B,我们列出右表来比较一下.表中A赢的画\√\输的画\×\从表中可看出,在36种可能情况下,A胜的有24种,B胜的只有12种.因此A胜的可能性大于B. 现在请你把A对C,A对D,B对C,B对D,C对D按上面那样列成表,看一看,在所有的对局中,A,B,C,D输赢的可能性各是怎样的 如果你参加这一游戏,首先选择哪颗骰子. 可以告诉你的是,这4颗骰子是A比B强,B比C强,C比D强,而D又比A强.它们就是这样循环往复着,由此而得名:\悖论骰子\6.生活,生产中的对策 (1)打乒乓的策略 小明爱好打乒乓,球艺也不差.他刚转到了一所新的学校.这所学校中小军,小青是两个乒乓尖子,而且球艺小军高于小青.为了要推荐一人去参加区里的乒乓赛,学校组织他们三人举行一次选拔赛.比赛进行三场,由小明分别对小军和小青;并规定如小明能连胜两场,就作为校代表参加区的比赛;至于对手的安排,可从军―青―军,或青―军―青两个方案中由小明挑选.为了取得这次选拔赛的胜利,小明应挑选哪一个方案比赛比较有获胜的把握
(2)排队打水 居民楼的自来水管坏了,有10位居民带着各自的容器到临时接装的水龙头前来打水.根据容器的大小,他们注满容器的时间,分别要1分,2分,3分,……10分.请问工作人员应怎样安排他们的先后次序,使所花打水,等候的总时间最少 10个人总共要花多少时间
(3)车站设置 在一条公路的某段路上,每隔约500米有一个居民新村,共有五个新村.每个新村所住的居民数如下图所示.现在要在这段路上某一新村处设一个公交车站,要求使所有居民到车站的路程总和越小越好.问车站应设在哪里. (4)巧排水管 在热电厂的一侧有10家工厂,各厂间的距离如下图所示(单位:千米).为了节约能源,由热电厂直接供应热水.热水管有粗,细两种与各工厂相连接.粗水管足够供应所有各厂用热水,细管只能供一个厂用水.安装热水管的材料与安装费,每千米粗管要12000元,细管要3000元.为了尽量节约费用,又能充分供应各厂热水的需要,应怎样接装管子总费用最少 费用是多少
答 案 1.(1)每轮结束抢报3的倍数;让对方先报数. (2)让30就是抢报29,迫使对方报30.所以每轮结束应抢报29,26,23,20,…,即抢报\除以3余数为2\的数;同时争取先报数. (3)根据新的规则,总可使每轮报的数相加是4,而30除以4余数为2,所以应抢报2,6,10,14,18,22,26;同时争取先报数. (4)为报70,必须抢67,64,61,….70除以3余1,所以每次须抢报\被3除余1\的数;同时要争取先报数1. (5)每轮报的数相加总可以使5+1=6,而100除以6余数是4,所以每次要抢报\除以6余数是4\的数,即4,10,16,22,…82,88,94;同时要争取先报数. (6)让100就是要抢报99.99除以6除3,所以要争取报除以6余数为3的数:3,9,15,21,…81,87,93,99;同时要争取先报数. 通过以上游戏,可以归纳抢数游戏的获胜策略是: ① 先求出规则中每次报数的最少个数与最多个数的和. ② 寻找这个和与所要抢的数之间的倍数关系.(是整数倍,还是整数倍多几.) ③ 决定每次报数时应\占领\什么数,是\占领\②中的倍数,或是\占领\倍数多几的数. ④ 根据所要\占领\的数,以确定是争取先报数,还是后报数. 2.(1)争取先拿.在15根一堆里拿去7根,使留下的两堆火柴每堆都是8根,记作(8,8).以后对方在某一堆里拿去几根,你就在另一堆里拿去同样的根数.这样进行下去,就一定能拿到最后一根(或几根). (2) 让对方先拿.己方第一次应这样拿,使得留下的火柴只有两堆,且每堆的根数相同.例如,对方拿去1根的一堆,你就在3根的一堆中拿去1根,留下(2,2)给对方;然后按照(1)的方法拿. (3)这一类火柴游戏,有一个必定取胜的一般方法. 把每一堆火柴的数目写成二进数①.如果这些二进数同一位上数字的和(用十进数表示不要进位)都是偶数,称为偶式形势.当是偶式形势时,后拿的可获胜,因此要让对方先拿.例如,三堆火柴(2,5,7),就是: 这是偶式形势,让对方先拿.反之,所有二进制数同一数位上数的和只要有一个不是偶数,称为奇式形势.当是奇式形势时,就争取己方先拿.以后每次总是把偶式形势留给对方.例如,对于奇式形势(3,5,7,9),己方拿法如下: 这样每次都把偶式形势留给对方,一直进行下去,己方一定能拿到最后一根(或几根)火柴而获胜. 如果对方不愿意先拿(或者由于火柴较多,一时看不清偶式形势),那么应在双方轮流拿火柴的过程中,尽早把偶式形势留给对方. (4)把偶式形势留给对方这一点不变,只是在最后的拿法上稍微有些变化.例如把(2,2)留给对方,如果对方从一堆中拿去1 ① 请参阅\十四,数学名题\中的\八卦与二进制\根,那么你就把另一堆全部拿光;如果对方拿走一堆,那么你就从另一堆中拿去一根.这样就把最后一根火柴留给了对方. 3.(1)争取先取.先在②～⑥中取走一颗.若先取走②号,剩下的如果对方取①,你就取④,⑤;如果对方取③,你也取④,⑤;如果对方取③,④,你就取⑤.这样,取后胜利一定是属于你的.总之,最后要剩下不相邻的两颗给对方,你就胜利了. (2)首先从右边一堆中取出6颗,成为右边一堆6颗,左边一堆10颗,即(10,6)以后在拿取过程中,留给对方的应是(7,4),(5,3),(2,1)的形式.当最后(2,1)留给对方时,你就是胜利者了. (3)争取先放.把第一颗棋子放在棋盘的中心O处(下图).以后采取关于中心对称放棋的策略.即如对方在A处放棋子,你就在A点关于中心O对称的B点放棋子,一直这样放,最后必然是你放最后一颗棋子后对方无法再放而取胜. (4)争取后取.在对方取出一颗或相邻的两颗棋子后,这个环就有了缺口.这时,如果余下是单数颗棋子,你就取出正中的一颗;如果余下是偶数颗棋子,你就取出正中的两颗,使留下的棋子成为对称的两列.以后,对方在一列中取出一颗或相邻的两颗棋子时,你就在另一列对称的位置上取出相同的颗数.这样继续下去,就一定能获胜. (5)争取先走.先占领下图中的中间一格e.如果对方占领a,那么你可占领h,迫使对方占领b;你再占领c,迫使对方占领q.这时,你只要再把h上的棋子移到i,e上的棋子移到f,就可获胜. 如果你占领了e后,对方占领b,那你可先后占领c,i,迫使对方占领q,a.这时,你只要再把e上的棋子移到f,就可获胜. 这一游戏并不存在一个可以必胜的策略,你应按取胜把握最大的策略进行竞赛. 4.(1)争取先拿.首先取中间数5,以后不论对方取几,你总可以取1张卡片,使这一数与对方所取卡片上的数相加和为10,也就是总数为15. (2)原理与抢数游戏相同.27除以5(1+4=5)余数是2,所以每次所取的卡片,要使两人卡片上的数的和是\除以5余数为2\的数,即7,12,17,22,27.争取先拿,第1张拿2.如对方取3,你就再取2,2+3+2=7;如对方接着取1,你就取4,使和为12.……最后27必为你所得. (3)争取先写.第一个写3,于是剩下的数只有2,4,5,7,8,10,11.如果对方写2,剩下三个数5,7,11,你就胜了.如对方写4,也剩下5,7,11,你也胜了.如对方写5,你写2,剩下7,11两数;如对方写7,你写2,余下5,11;如对方写8,你写5,剩下7,11;如对方写10,你写4,剩下7,11;如对方写11,你写2,剩下5,7,你都能取胜. (4)首先减去5,如果对方减去8,你就减去7;这样,对方再减,答数就会出现负数.如果对方减去4,你就减去7;对方再减,答数又要出现负数.如果对方减去2,你就减去1;对方再减去4,你再减去7,你可以胜利了.如果对方减去6,你减去9;你又可以胜利了. (5)本游戏可参考3×3纵横图中数的排法,\奇数\的一方先把5放在中间一格较为有利. 5.(1)黑棋有必胜的策略.如白棋移到D,那么黑1到C,逼白棋向左移;如白棋到E,那么黑2到C,这时如白棋回到D,那么黑1移到B.这样一步步把白棋逼向O. (2)\侦探\应齐头并进,一步步把\间谍\逼到(11),游戏时应根据双方移动情况,灵活掌握. (3)这副棋只有边兵和炮可以走动.中路两炮空4格,边上两炮空6格,两边兵中空2格,实际上只能走1格.用类似拿火柴的二进制数来分析;形势如①: 这是个奇式形势,先走必胜.例如红棋边炮前进1格,成②式,即偶式形势.如黑棋卒进1格成③式,那么红棋边炮再进1格,成④式;接下来如黑棋边炮进2格,成⑤式,那么红棋将中炮进2格,成⑥式;以后红棋应依照黑棋的步数走,最后黑方将无法移动棋子而告失败. (4)应根据双方放棋情况,灵活掌握. (5)列表得结果是C胜A,20:16;D胜A,24:12;B胜c,24:12;B平D,18:18;C胜D,24:12.于是,A是1胜2输,得24+16+12=52;B1胜1平1输,得24+18+12=54;C2胜1输,得24+20+12=56;D1胜1平1输,得24+18+12=54.由此,选C骰子取胜的可能性较大. 6.(1)由条件可知,小军的实力是较强的,小明如选择青―军―青方案,那么,小明只与小军赛一场,这场一输,选拔就毫无希望了.如选择军―青―军方案,小明与小军赛两场,只要赢一场,那么连胜两场的可能性就很大. (2)注满容器所要时间少的人应排在前面,即应按需要1分,2分,…10分时间的次序来排队,这样所花的总时间最少.10个人总共花时间: 1+(1+2)+(1+2+3)+…+(1+2+3+…+10) =1×10+2×9+…+9×2+10=220(分). (3)我们不妨假设把车站分别设在A,B,C,D,E五处,计算一下:所有居民到车站所走的总路程是多少 从中挑选出路程最少的一处. 如车站设在A处: 1.5×500+1×500×2+0.5×500×3+1.5×500×4=5500(米). 如车站设在B处: 2×500+1×500+0.5×500×2+1.5×500×3=4250(米). 如车站设在C处: 2×500×2+1.5×500+0.5×500+1.5×500×2=4500(米). 从这里可以判断出,如车站设在D,E处,总路程将逐渐增大.由上可知,车站设在B处,全体居民到车站所走路程的总和最少. 像这类选择最佳地点的问题(包括麦场,仓库设置等等),有这么一条规律:在每一处间隔距离相等的情况下,一般是两边向中间靠,当某一处连同边上的几处的人数(或货物吨数等等)相加超过一半时,就把场地设在这一处上. (4)如果每一个工厂都用细管分别与热电厂相连,那么,从热电厂到第一个工厂要用10根细管,到第二个工厂要用9根细管,…….下图中括号中的数,表示到每个工厂要安装细管的根数.显然,这是不合算的. 由于粗管的安装成本是细管的4倍,因此,在同一段距离上安装了4根或4根以上的细管,可以改装为一根粗管,这样就节省了费用.于是可把从热电厂到前七个工厂的全部细管换成一根粗管,再从这个粗管中接出三根细管,分别接到最后三个工厂.总费用是: (1+0.5+0.5+0.3+0.2+0.8+1)×1×3+0.5×2+0.9×1)×(元).这是最省的方案.抢数游戏_百度文库
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