图甲中,弹簧测力计在空气中测量的是物体的重力;图乙中,弹簧测力计的示数等于物体的重力和人手向上托的力之差;,图丙中,弹簧测力计的示数等于物体的重力和受到的浮力之差;为进一步探究浮力大小,需要增加小桶,让从大烧杯中溢出的水流入小桶,称出溢出水的重力与浮力相比较,从而得到阿基米德原理.
解:图甲中,物重即为弹簧测力计的示数,即;图乙中,弹簧测力计的示数为,即,得;对照图甲,丙,说明水对重物产生了一定的托力,即浮力;在丙中,测力计的示数为,即,得;探究阿基米德原理,主要就是研究物体受到的浮力与排开的液体的重力的关系,因此设计实验记录表格如下:空桶的重力物体的重力物体在水中时弹簧测力计的示数物体受到的浮力桶和水总重物体排开的水重
本题主要考查的是探究浮力的探究实验,要求掌握弹簧测力计的使用及读数方法,知道物体在液体中受到的浮力等于它排开的液体受到的重力.
2900@@3@@@@探究浮力大小的实验@@@@@@193@@Physics@@Junior@@$193@@2@@@@压强和浮力@@@@@@37@@Physics@@Junior@@$37@@1@@@@运动和相互作用@@@@@@5@@Physics@@Junior@@$5@@0@@@@初中物理@@@@@@-1@@Physics@@Junior@@$2896@@3@@@@浮力产生的原因@@@@@@193@@Physics@@Junior@@$193@@2@@@@压强和浮力@@@@@@37@@Physics@@Junior@@$37@@1@@@@运动和相互作用@@@@@@5@@Physics@@Junior@@$5@@0@@@@初中物理@@@@@@-1@@Physics@@Junior@@$2897@@3@@@@阿基米德原理@@@@@@193@@Physics@@Junior@@$193@@2@@@@压强和浮力@@@@@@37@@Physics@@Junior@@$37@@1@@@@运动和相互作用@@@@@@5@@Physics@@Junior@@$5@@0@@@@初中物理@@@@@@-1@@Physics@@Junior@@
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求解答 学习搜索引擎 | 如图所示是探究浮力的实验.(1)将物体悬挂在弹簧测力计的下端,如图甲,则物重是___N.(2)当用手向上托物体时,如图乙.则手对物体的力是___N.(3)当物体完全浸入水中后,如图丙.则水对物体的浮力是___N.(4)为了进一步探究浮力大小等于什么,从而得到阿基米德原理,需要增加器材和操作步骤.请你为此探究过程设计所需的记录表格.关于阿基米德的问题_百度知道
关于阿基米德的问题
阿基米德 (Archimedes) 将欧几理得提出的趋近观念作了有效的运用，他提出圆内接多边形和相似圆外切多边形，当边数足够大时，两多边形的周长便一个由上，一个由下的趋近于圆周长。他先用六边形，以后逐次加倍边数，到了九十六边形，求π的估计值介于3.186之间。另外他算出球的表面积是其内接最大圆面积的四倍。而他最得意的杰作是导出圆柱内切球体的体积是圆柱体积的三分之二倍。这定理就刻在他的墓碑上，也成为他名垂千古的一大注记。 各位都晓得正六边形的每一个内角是120度，而正五边形的每一个内角是108度 ，在平面上 正六边形和正五边形是不可能密合的，但是正六边形和正五边形在立体结构上却完美密合。阿基米德两个特殊怪僻—涂鸦及裸奔有一次，阿基米德又在洗泡澡时沉思..... 当肚皮上涂满肥皂时， ，他就用手指头在他那[圆滚滚]的肚皮上作正六边形和正五边形，他偶然发现两个正六边形和一个正五边形可以在弯曲的表面上密合，于是他很自然又想到在正五边形周边围五个正六边形，.....至此阿基米德已掩不住抓到灵感的喜悦，这回又裸着身体冲到大街上大喊：哇~~我又有新发现啰~~....。阿基米德发现了什么？让他这么高兴？你猜猜看！
阿基米德的相关知识
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出门在外也不愁阿基米德的报复
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/ 阿基米德的报复　
阿基米德的报复“科学与人译丛”出版说明　　英国著名科学专栏作家布赖恩·阿普尔亚德在其《理解现在——科学 与现代人的灵魂》一书中有这样一段话：　　“1609 年，加利莱奥·伽利略使用一架望远镜观看月亮。这一时刻， 对世界的意义如此重大，以至人们将它与耶稣的诞生相提并论。因为，就 像在伯利恒，自这一时刻，人类生活中的不可能成为可能。”　　阿普尔亚德据此将科学划分为伽利略之前的科学，或称“智慧”，以 及从 1609 年开始的现代科学。前一科学建立在推理基础上，后一科学建立 在观察与实验基础上。经过如此划分，我们习以为常的科学，竟然只有 400 年的历史。但人类就在这 400 年内经历了飞速发展。 我们有了蒸汽机，有了轮船，有了电话、电报，有了飞机、火箭，有了电视、电脑、互联网络，我们还有重力场理论、元素周期表、量子力学、 相对论乃至被称为“自然中最基本物体”的超弦。工业革命、农业革命、 信息革命使人类的社会生活发生了前人难以想象的变化。　　人类改造了自然，也改造了人类自己。回顾这一切，人类完全有理由 感到自豪。因为，人类就像上帝，也有自己的“创世纪”。人说，要有科 学，就有了科学。科学是好的，它行之有效。然而，“创世纪”中写道“到第七日，上帝造物的工已经完毕，就在第七日歇了他一切的工，安息了”。而人类的工却没有完毕，4O0 年后的 今天仍然不能安息。就像有光必有影，人在发现、发明、创造、拥有上述一切的同时，还得到了原子弹、氢弹、核泄漏、酸雨、温室效应、臭氧层空洞乃至伴随科 学技术而来的种种风险。人类曾以为已找到了通往自由王国的必由之路，他将乘着科学的飞船，摆脱一切束缚，重新确立自己在宇宙中的位置。但在科学爆炸的二十 世纪，人类终于开始反思：科学行之有效，但它是否就是真理？　　为此，我们编辑了这套《科学与人译丛》，陆续分辑推出。其中，有 对信息崇拜的批判，有对生命起源的求索，有对技术所导致风险的分析， 有对世界最新科学动态和研究方向的展望。数学家用对策论证明，完全的 民主实际上并无可能；物理学家提出全新的超弦理论，试图统一描述所有 的力、物质的所有基本粒子和时空，继量子力学和相对论之后，成为“第 三次物理学革命的重要标志”??《译丛》汇集了物理学家、数学家、生 物学家、天文学家、哲学家、人类学家、伦理学家??自本世纪后半期、 尤其是在本世纪末打通自然科学与社会科学之间的隔膜，对科学这一决定 人类命运的工具的深刻思索。通过这套丛书，我们期望读者可以对科学的 现状、科学的未来、科学的正面与负面效应，有一个较为全面的了解，更 好地认识科学、掌握科学、利用科学。中国对外翻译出版公司1997 年 2 月前言阿基米德的头脑较之荷马有更丰富的想象力。——伏尔泰　　伊萨克·牛顿有句著名而又谦逊的格言：“我所以比别人看得更远， 是因为我站在巨人的肩膀上。”当时，他心中确实铭记着古代最伟大的一 位数学家，希腊叙拉古城的阿基米德。然而，阿基米德还是一位力学天才， 在他众多的机械发明中，有水车，又称作阿基米德螺旋泵，是一种用于抽 水进行灌溉的螺旋状泵。虽然人们对于阿基米德的生平以及他对自己的功 绩的评价知之甚少，但多数评论家猜测，他对于自己在理论数学上的发现 比实用发明更重视。例如，一个叫普卢塔克的写道：“而阿基米德具有这 样一种崇高的精神，这样一种深奥的魂灵和这样一种科学理论的财富，虽 然他的许许多多的发明为他赢得了声誉，并使他以‘超人的精明’而闻名， 但他并不愿为这些课题著书立说，流传后世，而把一个工程师的工作和有 助于生活需求的每一件艺术品都视为卑贱和和庸俗。他只潜心于研究那些 不受生活品需求影响的精妙而有魅力的学科。”其他评论家则进一步认为， 甚至当他从事杠杆、滑轮或其他机械研究时，他也是为了探索力学的普遍 原理，而不是为了实际应用。实际上，阿基米德对于理论的偏重胜于实际到什么程度可能永远不得而知。但有一点是清楚的：在他的作品中，理论和应用之间的关系是紧张 的，而这种紧张的关系一直持续渗透到以后 22 个世纪的数学之中。本书主要概述了数学所涉及的领域和范畴。我并不认为这本书包罗万象，然而它选择的主题很离奇，但它也只能如此。数学是世间每所大学都 从事研究的一门学科，它至少像生物学一样有广泛的领域，在生物界中， 某个研究人员正努力研究艾滋病毒，而另一个研究人员则在研究袋熊的社 会化问题。我对数学的探讨犹如我在研究中国莱谱，到处品尝，识别常见的配料和特殊的风味。在仅仅用过一次中餐之后，你很难成为一名中餐美食家， 但比起从未吃过中餐的人却又知之较多。数学亦如此。研究几个数学课题， 是不可能掌握数学中一切重要的内容的，但比起那些一窍不通的人来，你 对这些课题的感受却又深得多。目前已出版了许多论及数学方面的哲学基础的书籍，从某种程度上讲这是必然性的科学，因为它的结论在逻辑上是无懈可击的。还有许多作品 却狂热地详述数学无穷大的性质和高维度的美。这种带有哲学式的、富有 诗意的离题的论述却有它的市场，但却远没有涉及大多数数学家们所关切 的问题。我在本书中主要描述的是那些数学工作者在实际中所遇到的地地 道道的实用的问题。　　我还想批驳一个错误观点：仅仅肯花力气进行足够的运算，就可得到 数学的任何结果，换句话说，如果你想解一道数学题，只需做足够量的运 算就行了。即使你我缺乏解数学难题的能力，但我们也怀疑内行人士—— 这些理解数学符号的人——是否都能够对他们选择的任何一个问题经过潜 心研究后找到答案。毕竟，我们的知识使我们相信数学是属于演绎推理， 推断一个数学结果要像推论“所有人都必定要死的”和“苏格拉底是人”，　　因此“苏格拉底必定要死的”一样简单就好了！ 我写作本书的目的之一是要说明一种数学知识的局限性。在我们所考查的每个数学领域中，我要指出什么是已知的和什么是未知的。有时我们 的知识是有局限的，因为某些领域刚刚开发，还没有多少数学家投身于对 它的研究。知之甚少是这一问题的主要困难。此外，数学家的知识的局限 性也是比较重要的因素。它表明，这些问题要从数学方面获得快速解简直 是不可能的。　　数字中充满了新奇。数字和形状是人文料学中最早关心的课题，但有 关的许多问题仍然令人费解。比一个素数的概念更简单的能是什么——一 个大于 1 的整数，像 3，5，17，或 31 等不能被 1 和本身之外的其他整数 整除的数？早在古希腊人的时代就知道素数是无穷尽的，但是没有一个人 知道孪生素数——成对的素数，如 3 和 5，相差 2，它们是否也是无穷尽的。 没有人知道是否存在无限多的完全数，像 6 一样等于它所有因子（当然除 去它本身外，即 3，2 和 1）之和的整数。而且没有人知道一个完全数是否 是奇数。匈牙利伟大的数论家保罗·厄尔多斯是一个证明素数基本定理的 大师——他在 18 岁的时候，就提出了著名的论证：在每个大于 1 的整数和 它的倍数之间一定有一个素数——他认为，数学家们还远远没有理解整 数，更何况其他类型的数。他说：“至少还得再过 100 万年，我们才可能 理解素数。”在数学上，对形状的理解也远远不够。在二维方面，关于什么形状可以在一定条件下用砖瓦贴盖表面的问题还有许多疑难未解之处。在三维的 砖瓦贴面模拟中，形状的填充要尽可能使给定的空间密集，这对于许多基 本形状来说仍悬而未决。但是，缺乏理论知识未必总是实用主义者的拦路 虎，设计师罗纳德·雷施制造出三层半的复活节彩蛋就是明证。由于有关数字和形状的基本问题仍未解决，因此对计算机——一种复杂的数字工具——能做什么和不能做什么常常众说纷纭，并出现一些混乱 状态，这不足为怪。我尽量避开那些关于人和机器的本质的含糊不清的形 而上学问题，便于向人们展示人们所不了解的关于计算的理论局限性方面 的问题。我要讲述图灵通用计算机的惊人之处——分成若干单元的一条 纸。我要考查一种可能出现的局限性：计算机科学家认为，他们将能够证 明某些仅仅在探索阶段的计算问题——包括旅行推销员在一连串的城市之 间要选择的最短路线的问题——从来没有被计算机（或数学家）有效地解 决。从理论转移到实践，我特意检验了汉斯·伯林纳和丹尼·希尔设计的 对弈机和通用计算机，使“三个臭皮匠，顶过诸葛亮”的构想走向极端。 要知道这些努力的整个结局如何还为时过早，但这两种机器的性能在某些 领域，已经超过了传统计算机。　　从根本上说，旅行推销员问题无疑是数学问题，可是实际上已证明， 用传统的数学方法解答它是无效的。在这本书里，我将介绍一种出现在设 计选举系统或分配代表的问题中的类似的解决办法。从绝对意义上说，数 学对这些问题是毫无帮助的。的确，数学证明了，它对开创一个完善的民 主选举制在理论上无益，尽管缺乏完善的民主体制，但数学为公正的选举 制和国会的公正分配方法指出了道路。　　传说阿基米德是在一时的愤怒之中设计出一个关于牧牛的极其困难的 数字问题。他的报复一直持续了 22 个世纪，直到 1981 年，使用刚诞生的　　一台巨型计算机才彻底解决了这一问题。牧牛的问题多少有些编造的味 道。但是，面对阿基米德的报复，一代代数学家所感受到的挫折常常类似 于那些比较自然地出现的较简单的数学问题所造成的报复。这种数学本身 造成的报复看来还没有迹象会消退。一个令人惊奇的宗教学生， 解出了无穷大的平方根， 这使他对计数烦躁不宁， 他终于放弃了数学又继续学神。——无名氏第一篇 数 字　　在古希腊，没有社会保险号码，没有电话号码，没有人口调查统计数 字。没有选举后的投票数字，没有统计数据，也没有 1099 个表格要填。当 时，世界还没有数字化，但数字在希腊知识分子的头脑中至关重要。确实， 在公元前 6 世纪，萨摩斯的毕达哥拉斯通过研究数字创立了一种宗教，因 为，他不仅把数字看成记数的工具，而且看成神圣、完善、友好、幸运及 邪恶的符号。数学的一个分支称作数论，研究的是整数的性质，就是由古 希腊人开创而且至今不衰的。　　以下 3 章专谈数论。在这几章里，我强调指出，某些最古老并且听起 来是最为基础的问题仍然悬而未决。虽说其原因尚不清楚，但至今悬而未 决这一事实本身却赫然耸立，从而排除了认为数字不过是某种刻板活动的 看法。数论曾被视为数学最纯的分支；似乎对现实世界毫无实用价值。然 而近年来，数论已变成密码学的一个强有力的工具。不过，正如我在第四 章“比尔密码之谜”中所探讨的，至今还存在着数学分析无法破译的传奇 密码。　　第一章 邪恶的数和友好的数　　现为麻省理工学院大学生的米歇尔·弗里德曼，1985 年在布鲁克林高 中毕业班就读时春风得意，获得了当年的威斯汀豪斯科学天才奖的第三 名。为了他这一获奖项目，他不想用海虾、果蝇或扁虫来弄脏自己的手， 也不想处理随便任何一个多年遗留下的理论上的问题。不，他只是挑选了 堪称数学上最古老而未决的问题来对付。那是困扰着古希腊人和自那以后 的每个人的一个问题：即存在奇数完全数吗？　　毕达哥拉斯及其好友认为，整数的完满性，即完全数是任何其所有除 数之和（该除数本身外）等于该数本身的整数。第一个完全数是 6。它可被 1、2 和 3 整除并且是 1、2 和 3 之和。第二个完全数是 28。它的除数是1、2、4、7 和 14，这些数加起来为 28。希腊人所知道的就是这些，尽管 他们做过尝试，但没有发现奇数完全数。　　圣经评论家注意到，完全数 6 和 28 反映在宇宙的结构中：上帝在 6 天内创造了世界，月亮每 28 天绕地球一周。然而，使这些数字成为完全数 的是其本身，而不是凭经验所了解的世界的任何联系。圣·奥古斯丁是这 样表述的：“6 本身是一个完全数，并不是因为上帝在 6 天内创造了万物 才如此；倒不如反过来说才对：因为 6 是完全数，所以上帝在 6 天内创造 了万物。即使不存在 6 天工作一说，6 依然会是个完全数。”“数学的整个领域都极其散漫，”坦普尔大学数学教授小彼得·哈及斯说，“我研究完全数是出于闲散的好奇心，因为它可能是最古老的未决 问题。研究它也许意义不大，然而这一问题如此古老，没有人认为对之进 行研究完全是浪费时间。如果这一问题是 5 年前第一次提出来的，那它是 决不会令人感兴趣的。”无论在哪一领域，达到完善总是很难的，偶数完全数也不例外。但是，人们至少知道它们是存在的。我们已发现了 30 个偶数完全数，最大的是一 个由 13 万位阿拉伯数字组成的庞然大物：16,090-1）。也许第三十一个完全数不会出现了，因为早在 2300 多年前数学家就已知道有无穷多的素数（即只能被 1 和它本身整除的数），但在同一时期，他们却不能 决定完全数是不是无限的。要是在俄国茶室或“四季”咖啡馆里喝着可乐会见米歇尔·弗里德曼我会很高兴的，但他宁可让我们在斯替韦桑特中学他的校长办公室中见 面，而该校是曼哈顿数学家和科学家的中心。传说，爱因斯坦不能做加减 运算，但可在睡梦中研究高深的数学。米歇尔的情况也可以这么说。在选 择我们会见时间这种简单的事情中就体现了出来，因为这位杰出的小伙子 不适于将中学时间——“第三节”和“第五节”——转换成我们常人所遵 照的小时和分钟。然而一旦我们真聚到了一起，这位腼腆的天才就口若悬 河地谈论起来，一下成了使人兴趣盎然的人了。　　米歇尔告诉我：“去年我为一位数学老师写一篇论文，我知道关于奇 数完全数的问题。这问题使我感兴趣，因为它很简单，可还没人找到答案。” 接着，米歇尔首先回顾了完全数的历史。　　古人只知道 4 个完全数，它们是：6，28，496 和 8，128。欧几里得认 识到——大概只有古希腊的神祗才晓得他是如何知道的　　完全数 位数1 ． 21 （ 22-1 ）=6 12 ． 22 （ 23-1 ）=28 23 ． 24 （ 25-1 ）=496 34 ． 26 （ 27-1 ）=8 ， 128 45 ． 212 （ 213-1 ）=33 ， 550 ， 336 86 ． 216 （ 217-1 ）=8 ， 589 ， 869 ， 056 107 ． 218 （ 219-1 ）=137 ， 438 ， 691 ， 328 128 ． 230 （ 231-1 ）= 199 ． 260 （ 261-1 ）= 3710 ． 288 （ 289-1 ）= 5411.2106 （ 2107-1 ）= 6512. 2126 （ 2127-1 ）= 7713.2520 （ 2521-1 ）= 31414. 2606 （ 2607-1 ）= 36615.21 ， 278 （ 21 ， 279-1 ）= 77016.22 ， 202 （ 22 ， 203-1 ）= 1 ， 32717.22 ， 280 （ 22 ． 281-1 ）= 1 ， 37318. 23 ， 216 （ 22.317-1 ）= 1 ， 93719. 24 ， 252 （ 24 ， 253-1 ）= 2 ， 56120.24 ， 422 （ 24 ， 423-1 ）= 2 ， 66321.29 ， 688 （ 29 ， 689-1 ）= 5 ， 83422. 29 ， 940 （ 29 ， 941-1 ）= 5 ， 98523.211 ， 212 （ 211 ， 213-1 ）= 6 ， 75124.219 ， 936 （ 219 ， 937-1 ）= 12 ， 00325.221 ， 700 （ 221 ， 701-1 ）= 13 ， 06626. 223 ， 208 （ 223 ， 209-1 ）= 13 ， 97327.244 ， 496 （ 244 ， 497-1 ）= 26 ， 79028. 286 ， 242 （ 286 ， 243-1 ）= 51 ， 92429. （ 2132 ， 049-1 ）= 79 ， 50230. 2216 ， 090 （ 2216 ， 091-1 ）= 130 ， 10030 个完全数 　　这 4 个数是由公式 2n-1（2n-1）当 n=2，3，5 和 7 时推出来的。算式 如下：n＝2，21（22-1）=2（3）=6 n=3，22（23-1）＝4（7）＝28 n＝5，24（25-1）＝16（31）＝496n＝7，26（27-1）＝64（127）＝8，128　　欧几里得看出，在全部的 4 个算式中，2n-1 是素数（3，7，31 和 127）。 这种发现促使他证明一个重要的定理：当 2n-1 为素数时，那么公式 2n-1（2n-1）则得出偶数完全数。 欧几里得的证明使得完全数理论有了一个兴旺的开端。但由于其他数学家的短视，这一理论进展缓慢。许多思想精微的人自以为他们看出了数 字模式，其实这些数字并不存在。如果他们看得更远一点，他们就会发现 这种模式是虚幻的。　　古人观察到，前 4 个完全数都是以 6 和 8 结尾的。进一步说，最后一 个阿拉伯数字似乎是 6，8，6，8 地交替出现。所以有人推测，完全数最后 一个阿拉伯数总会是 6 或 8，并且它们会继续交替出现。第五个完全数——古代人并不知道——的确是以 6 结尾的。但第六个完全数也是以 6 结尾 的，这就打破了交替出现的模式。然而，关于最后一个阿拉伯数字总是 6或 8 这一点，古人还是正确的。今天，数学家可以研究 30 个完全数——比 古人多出 7 倍以上——但他们还必须找出尾数为 6 和 8 的模式。　　古人还观察到，第一个完全数有一位数字，第二位完全数有 2 位数字， 第三个有 3 位数，第四个有 4 位数。所以他们推测，第五个完全数会有 5 位数。在欧几里得故去 17 个世纪后发现了第五个完全数，它赫然具有 8 位数：33，550，336。并且位数继续迅速增多，以下 3 个完全数分别为 8，589，869，056；137，438，691，328；和 2，305，843，008，139，952，128。　　欧几里得证明了一旦 2n-1 是素数，那么 2n-1（2n-1）就会得出一个完 全数，但他并没有说 n 的哪一个整数值会使 2n-1 成为素数。由于使 2n-1 为素数的前 4 个 n 值为前 4 个素数（2，3，5，7），可能有人推测：如 n 为素数，2n-1 也会是素数。那么，让我们来试试看第五个素数：11。如 n=11，2n-1 则为 2，047，而 2，047 并非素数（它是 23 和 89 的积）。真实情况 是：要使 2n-1 为素数，n 必须是素数，而 n 为素数并不就意味着 2n-1 是素 数。事实上，对于 n 的大多数素数值来说，2n-1 并不是素数。　　由 2n-1 一式得出的数列现在称作默塞纳数列，马林·默塞纳是 17 世 纪的巴黎僧侣，他在尽僧职之余抽空进行数论的研究。根据欧几里得的公 式，每发现一个新的默塞纳素数，就会自动出现一个完全数。 1644 年，默塞纳自己说，213-1，217-1 和 219-1 这 3 个默塞纳数是素数（8，191；131，071 和 524，287）。这位僧侣还声称 267-1 这个巨大的默塞纳数会是位素 数。在 250 多年的时间里，没有人对这一大胆的声言提出疑问。1903 年，在美国数学协会的一次会议上，哥伦比亚大学教授弗兰克·纳尔逊·科尔提交了一篇慎重的论文，题为：论大数的分解因子。数学史家 埃里克·坦普·贝尔记下这一时刻所发生的事：“一向沉默寡言的科尔走上台去，不言不语地开始在黑板上计算 267。然后小心地减去 1，得出 21 位的庞大数字：147，573，952，589，676，412，927。 他仍一语不发地移到黑板上的空白处，一步步做起了乘法运算：193，707，721×761，838，257，287 两次计算结果相同。默塞纳的猜想——假如确曾如此的话——就此消失在数学神话的废物堆里了。据记载，这是第一次也是惟一的一次，美国 数学协会的一位听众在宣读论文之前向其作者热烈欢呼。科尔一声不吱在 他座位上坐下。没人向他提任何问题。”在欧几里得证明他的公式总是得出偶数完全数的大约 2，000 年之后，18 世纪的瑞士数学家伦纳德·尤勒证明，该公式将得出全部的偶数完全数。这样，我们就可以用另一种方式提出奇数完全数问题：是否存在不是 由欧几里得公式得出的完全数呢？为弄清最近取得的进展，年轻的米歇尔·弗里德曼埋头翻阅过期杂志：《计算数学》、《数论杂志》、《数学学报》及一堆决不会在咖啡桌上看 到的其他期刊。他甚至参阅理查德·盖伊的艰深的经典著作《数论中的未 决问题》，该书不仅讨论完全数，而且还探讨十几个其他神秘专题：“近 超完全数”、“友谊图表”、“优雅图”、“贪婪规则系统”、“纽环游 戏”、“达文波特-施尼茨尔系列”、“半友善数”、“友善数”和“不可 接触数”。　　米歇尔知道，困于这一棘手问题的数论学家们验明：如果真有奇数完 全数存在的话，所必须具备的各类特征有：它必须被至少 8 个不同的素数 整除，其中最大的一定要大于 300，000，次大的也要大于 1，000。如果奇 数完全数不能被 3 除，它至少应被 11 个不同的素数整除。此外，当一个奇 数完全数除以 12 时，它应有余数 1；当它除以 36 时，它的余数应该是 9。 我们从这些验证中能得出什么结论呢？对奇数完全数的限制越多，奇 数完全数存在的可能性就越小。1973 年，彼得·哈吉斯运用这样的限制条件并借助于计算机肯定地证明了 1050 以下没有奇数完全数。米歇尔从盖伊 的书中看到，自 1973 年以来，其他数论家“渐渐地把奇数完全数不可能存在的上限推到 10100，尽管有人对后面这一证明表示怀疑”。 既然与盖伊一样有权威的人对这些证明提出质疑，米歇尔决定重新研究更低限问题。他运用 IBM PC 机及一组限制因素，包括一些文献中极少提到的来自印度的限制因素，证明在 1079 之下不存在奇数完全数，1079 有8 个素数因数——这是一个奇数完全数所能有的最少的素数因数的数目。 米歇尔说：“我在论文中只是引用了盖伊的话：以前（关于奇数完全 数低限很高）的证明是可疑的。当我参加威斯汀豪斯决赛时，我决定检查 其他一些证明，但没有发现它们可疑的原因。因此，我给盖伊打了电话， 他告诉我，数学家不喜欢由计算机做出的证明，因为你没法知道：编程序的人出继漏了吗？计算机出故障了吗？”　　即使该计算机的计算错误（比如说在别的计算机上）被检查出来，但 由于那些证明本身常常很长并且很复杂，因而除了原作者没人对它们一步 步地仔细加以审查。只有哈吉斯的证明（整整长达 83 页！）曾由其他数学 家全面地审查过，并宣布为有充分根据。米歇尔哧哧地笑了，他不无骄傲地说：“我的证明也是可疑的。威斯汀豪斯的人们不是没有理解就是满不在乎。就我所知，没人真正审阅过我 的论文。”　　根据他的论文及其他辅助材料，米歇尔成了从多达 1，100 名参赛者中 选出的 40 名威斯汀豪斯决赛选手之一。他们 40 人被召到华盛顿，在那儿 决出 10 位优胜者。米歇尔解释说：“一旦你来到华盛顿，那几乎就不是根 据你的论文来看了。一组科学家对你进行面试，他们会问：‘你如何测出 太阳与地球间的距离？你如何测出华盛顿纪念碑的高度？’有一女孩说：‘用卷尺测量。’有位科学家领带上面附有半张元素周期表，他就元素周 期表问题向每个人提问。有些人注意到了领带并径直读出答案。我不这样， 因此我不得不记住氧的质子数及电子层数。”米歇尔补充说：“向我们提问的还有一位精神病医生。”我吃了一惊。“当我谈到精神病医生时，人们都感到吃惊。他向人们询问他们的家庭生 活。威斯汀豪斯想发现未来的诺贝尔奖获得者。那才是他们的大事。他们 希望在前 10 名中有未来的诺贝尔奖获得者。”米歇尔解释说，过去有 5 名威斯汀豪斯决赛选手（一年有 40 个，并且这种竞赛一直进行了 44 年） 获得诺贝尔奖，但这 5 人之中，只有 1 人是前 10 名的。米歇尔耐心地向我 解释，威斯汀豪斯这种做法还不如随意选择呢。（每年从 40 名中随意选择10 名会在前 10 名中产生出 1．25 名诺贝尔奖金获得者。至于怎么会有 0．25 个科学家到斯德哥尔摩去领奖就只能留给数学家去想象了。）那些精神病 专家显然是被请来从参赛者中发现获诺贝尔奖人物的苗子，以便提高他们 的比例的。　　米歇尔接着说：“我的指导人在我的申请中写道，我不会放过一个问 题，我是非常固执的。因此，精神病专家就固执一事整整问了我 15 分钟，‘你怎么个固执法？你考虑过固执会给你今后的生活造成损害吗？你是否 会就是因为你曾经反对过某些建议而根本拒绝接受呢？’”　　既然米歇尔成功地进入了前 10 名，那也许可以说固执是荣获诺贝尔奖 桂冠者的部分品性。对威斯汀豪斯（以及米歇尔）来说，不幸的是：没有 数学或计算机科学方面的诺贝尔奖。如果他一心要获得这方面的诺贝尔 奖，恐怕最终只好去摆弄海虾了。其实，米歇尔如果放弃完全数会更有利于他的健康。其他研究完全数时间太长的人结果都不可避免地陷入到古人的数字神秘主义中去。文艺复 兴时的数学家米歇尔·施蒂费尔和彼得·邦格斯没能解开完全数之谜；施 蒂费尔错误地宣称，除 6 以外的所有完全数可被 4 整除，邦格斯也就尾数 做出错误的判断。他们在摆弄过数字的完满性之后转向了相反的性质—— 罪恶，他们是在那个臭名昭著的凶数——666——上发现罪恶的。华莱士·约翰·斯坦霍普——保罗·内森的科幻小说《牛顿的天赋》中的物理学家——为这一想法所困扰，即牛顿和往日其他科学巨子一定在 乏味的数学计算上费了很多的时间。试想一下可怜的牛顿由于算术上的简 单错误而无休止地拖延了重力的发现的情形吧！当斯坦霍普发明了一种背 囊大小的时间机器时，他决定到 1666 年的英格兰去——当时牛顿正处在他 的黄金年华，恰巧，那年还是那场世纪性瘟疫的最后一年——送给牛顿一 个袖珍计算器。斯坦霍普的动机无疑是要把牛顿的非凡的大脑从乏味的计 算中解脱出来。可是，牛顿害怕这个计算器，尤其是它通红的数字显示：“上帝是我的救主，它是魔王的发明吗？它的眼睛闪耀着魔鬼王国的颜色呢。” “你不能不相信你自己的眼睛，”斯坦霍普回答说，“让我演示给你看它是如何工作的。我只要按几个钮就可以给你除两个数。”斯坦霍普随 便地按了几个数：81，918 除以 123。当得数亮出来时，牛顿立刻双膝跪倒 在地并开始祈祷。然后，他站起来，猛地从火炉中抓起一把烫手的拨火铁 棍向斯坦霍普掷去，斯坦霍普这才慌忙逃回到今日的时空坐标中来。　　牛顿粗暴的反应可由斯坦霍普不幸选择的数来解释：81，918 除以 123 正巧是 666：凶数。信仰宗教的牛顿在可怕的红灯中惊恐地看到倒下的大 天使在他面前悸动的指纹。据说，正是这次与魔鬼的遭遇才促使牛顿写神 学著作。虽然这个精妙的故事是虚构的，但它在精神上与牛顿迷恋于玄奥和超自然是一致的。牛顿就宗教和神学问题写下了 130 多万字的著作。他写了 多方面的文字来解释先知的语言，他无疑对《圣经》关于凶数 666 的预测 很熟悉。由于其他研究科学和数学的人都陷于 666 的神秘性中，因此有必 要探求一下该数是如何得此恶名的。　　在中世纪，一群以希伯来神秘主义哲学家闻名的犹太学者就异教徒指 出《圣经》中明显的矛盾、琐屑和谬误做出了睿智的回答。这些哲学家声 称，《旧约》中的许多内容是用密码写成的。这是《圣经》显得紊乱的原 因。然而，一旦破译出密码，一切都会豁然开朗，神的真谛也就被揭示出 来了。破译的主要方法是隐语解法：通过对所有字母进行处理，将一个词 或短语转换成数，以预定数值代替每个字母，并算出这些数字之和。他们 认为该字母或短语与其他具有相等的和的词或短语有关。　　例如，《创世纪》第十八章第二节：亚伯拉罕举目观看，“瞧！有 3 个人在对面站着”，但没有指明这 3 个人是谁。神秘主义哲学家们运用隐 语解法发现这 3 个人是大天使米歇尔、加百列和拉斐尔。如果把希伯来原 文的字母“瞧！3 个人”代之以相应的数，它们的和为 701，与“这些是米 歇尔、加百列和拉斐尔”字母相应数之和相等。神秘主义哲学家们通过类 似的数学破译密码法回答了《申命记》第三十章第十二节中提出的问题： “谁替我们上天去？”这些词的希伯来文所有字母合在一起得出的和与“割 礼和耶和华”和希伯来语所有字母之和相等，这意味着上帝认为割礼是去 向天国的通行证。这种以数学解《圣经》的方法激发了犹太学者对数学的 兴趣。基督教神学家们很快采用了神秘主义哲学家们的神秘分析方法。《新约》本身实际上推动了在姓名与数字之间寻求对应关系的应用，正是在那 儿第一次出现了 666 这个数。《启示录》第十三章第十一节警告邪恶力量： “我又看见另有一个兽从地中上来。有两个角如同羊羔，说话好像龙。”7 行后，我们知道了这只兽是与 666 这个数相关的一个人：“在这里有智慧， 凡有理解力的人可以计算兽的数字：因为这是人的数字，他的数字是六百 六十六。”但这人是谁呢？上文所述诱使我们对人名使用隐语解法来确认 这头兽。这头兽是敌基督或假基督。在《圣经》里所记的时代，假基督被认为是罗马皇帝。他通过创立一种异教而对上帝的统治进行挑战，这种异教崇 拜皇帝并有自己的教士。《圣经》评论家怀疑这头兽是罗马皇帝尼禄，但 要从他的名字中得出 666 来需要经过多次处理。如果把尼禄的名字用希腊 语写成尼罗恩，再加上独裁者的称号，然后将独裁者尼禄合译为希伯来文， 再将字母转为相应的数字，总数相加之和就是 666。　　不管怎样，神奇地把该兽描绘成名数为 666 的人使得一代又一代的占 数家绞尽脑汁。在 16 世纪，数学家们也参与其中。德国修道士米歇尔·施 蒂费尔研究过代数和数论。他是首先使用加号+和减号-的人之一。他偷偷 地把对该兽之数的奇特解释写入一本论代数的经典著作中去。施蒂费尔决 心指摘教皇利奥十世的品性，他要对宗座之名进行曲解。　　他把十拼成 DECIMUS（拉丁语“第十”），然后按罗马人的习惯把 U 改为 V 而得 DECIMVS。他从 LEO DECIMVS 中挑选出为罗马数字的字母——L， D，C，I，M 和 V，作为额外增添而从 LEOX 中加进 X。这样，施蒂费尔通过 以数代替这些罗马数字而计算出该名字的数值：L（50）＋D（500）＋C（100）　　+I（1）＋M（1，000）＋V（S）＋X（10）=1，666。啊！多了 1，000。施蒂费尔想，数值为 1，000 的 M 一定是代表 mysterium（神秘）。他从这组字母中除去神秘正好得出了 666。他做出这一发现后 背弃了出家人的誓言而成为马丁·路德的追随者。　　如果施蒂费尔把注意力集中到该教皇拉丁语尊号之一的罗马数字上， 他就会更为令人信服地获得同样的结果，该尊号为 Vicar－ius Filii Dei，其计算结果为：V（5）＋I（1）＋C（100）＋I（1）＋U（5）+I（1）＋L（50）+I（1）＋I（1）＋D（500）＋I（1）=666。 尽管如此，施蒂费尔还是努力获得了他想要的东西。罗马天主教徒为这种叛逆的发现所激怒，威胁要杀死他。1522 年，他避难到路德自己的家 中。路德很高兴有一个新的皈依者，但要他忘记占数那玩意儿。施蒂费尔 没有理会这一劝告而开始从《圣经》中搜寻世界末日到来的线索。他深信 世界末日是 1553 年 10 月 18 日，并到处传播这一消息，结果被捕。随着这 一天的临近，他教区的教民倾其积蓄大肆吃喝。而当他们 10 月 19 日一早 醒来看到世界依旧平静时，他们想杀死这个骗子，由于路德的干预，施蒂 费尔才免于一死。对施蒂费尔来说，一生中面临两次死亡威胁已经够受的 了，因此他放弃了预言而全身心地投入到数学中去。结果他成了 16 世纪德 国一位杰出的代数学家。我要补充的是，施蒂费尔对那头野兽的数字的解释并非没有引起争议。他的同时代人、长达 700 页《数的奥秘》一书的作者彼得·邦格斯试 图悄悄把该数应用于路德本人。选取马丁·路德的名字 Martin Luther， 姓用拉丁语则成 MARTINLUTERA。然后，让 A 至 I 的字母代表 1—9 的数字（I 和 J 按当时的习惯可以互换），K 到 S 的字母代表 10—90（均乘以 10），T 到 Z 代表 100 至 700 的数（均乘以 100）。邦格斯根据字母和数之间的这 种联系看出 M（30）＋A（1）＋R（80）＋T（100）+I（9）＋N（40）＋L（20）＋U（200）＋T（100）＋E（5）＋R（80）＋A（1）=666。想想看嘛！　　除 666 外，《圣经》为趣味数学提供了许多启示。如果《圣经》中运 用的某个数不是像 100 或 1，000 这样的大整数，古人就认为该数有神秘的 意义。一般来说，如果一个数被发现有某些别致而简单的算术特征——往 往与一连串整数的和或积有关，那么这个特别的数则具有了神秘的意义。 例如，在约翰福音的第二十一章第十一节中，耶稣和他的门徒在太巴列海 成功地进行了一次捕鱼行动。当他们把那网鱼拖上来时发现有 153 条鱼： “西门·彼得就去把网拉到岸上，那网盛满了大鱼，共 153 条，鱼虽然很 多，网却没有破。”153 在数学上有何特殊之处呢？想一想，然后我再透 露实情。首先，153=1＋2＋3＋4＋5＋6＋7＋8＋9＋10＋11＋12＋13＋14＋15＋16＋17。换句话说，它等于 1 至 17 间所有整数之和。但 153 的魔力还不止这些。它可用另一种重要方式来表示：153=1＋（1×2）＋（1×2 ×3）＋（1×2× 3× 4）＋（1×2×3 ×4×5）。现代数 学家会更简练地写出这一等式：153=1！+2！+3！+4！+5！如果一个数后面 跟着一个感叹号，你就可以得到从 1 到该数本身所有整数的乘积。这种运 算被称作求阶乘。一位学者大致按照这种方法发现如果把 153 中各位数的 3 次方相加也可得出 153。可简单地表示为，153=13＋53+33。据数学作家马丁·加德纳说，1961 年，菲尔·科恩（以色列约纳姆人）告诉英国反传统周刊《新科 学家》说，153 潜藏在每个含有因数 3 的数中。我要留给读者自己去推算 科恩在《新科学家》中谈及的内容。不过这里有一个提示：选取 3 的任何 倍数，计算出其各位数字 3 次方之和。再计算出得数的各位数字 3 次方之 和。就这样不断地算下去。　　我们再来看看《圣经》中的另一个数：220。《创世纪》第三十二章第 十四节记载，雅各布给以扫 220 只山羊（母山羊 200，公山羊 20）以示友 好。但为何是 220 呢？毕达哥拉斯的信徒们探求出作为“友好”的特别数 字，而 220 则是这些数字中的第一个。友好数的概念是基于人的朋友是一 种变相自我这一看法而来。毕达哥拉斯曾说：“一个朋友是另一个我，如同 220 与 284 一样。”这两个数在数学上有何特别突出之处呢？　　原来，220 和 284 相互等于对方真除数之和（真除数是能被一个数整 除的所有除数[ 包括 1，但不包括该数本身] 。）220 的真除数为 1，2，4，5，10，11，20，22，44，55 和 110。果然，1＋2+4＋5＋10＋11+20+22+44＋55＋110=284。而 284 的真除数为 1，2，4，71 和 142，它们之和为 220。 虽然古人对友好数很感兴趣，但第二对友好数（17，196 和 18，416）直到 1636 年才由皮埃尔·弗马特发现。到 19 世纪中期，许多有才能的数 学家为发现一对对的友好数做了长期而艰苦的努力，结果发现了 60 对友好 数。而直到 1866 年，才发现次最小的一对友好数：1，184 和 1，210，它 是由一位 16 岁的男孩发现的。现代数学家将友好数的概念从一组 2 个扩展到一组 3 个。在一组友好的 3 个数中，任何一个数的真除数之和都等于其他两个数之和。103，340，640；123，228，768 和 124，015，008 就是如此。另一组友好的三个数为1，945，330，728，960；2，324，196，638，720 和 2，615，631，953，920。但对我来说，这种数看起来不像友好数。诚 18 然，如伟大的创造性 数学家约瑟夫·马达奇所说，3 个一组的友好数并不易发现，在上面这一 组数字中 3 个数分别有 959，959 和 479 个除数。数学家们虽然注意到了“保障来自反复”这一古老谚语，他们可不是见好就收的人。有人想看看如果选一个数，算出其真除数之和，然后再算 出该和的真除数之和，如此往复无穷，会出现什么样的情形。在大部分时 间里，计算总是索然无味，但如果你一直这么做下去，就会难得地在某处 回到了原来数上。以 12，496 为例，其真除数为 1，2，4，8，11，16，22，44，71，88，142，176，284，568，781，1，136，1，562，3，124 和 6，248。这些数相加，得 14，288。再把 14，288 的真除数相加，得数为 15，472（如果你不相信可以自己试一试！）。再做两次这样的运算，会先后得出 14，536 和 14，264。现在看 14，264 的真除数，它们分别为 1，2，4，8，1，783，3，566 和 7，132。将这 7 个除数相加，噢，你看，是 12，496。 如果你不怕浪费时间的话，就从 14，316 这个数开始做同样的运算。你会在 28 轮后重新得出这个数！第二章 阿基米德的报复　　当那位伟大的印度数学家斯里尼瓦萨罗摩奴阇得了结核病住在伦敦医 院时，他的同事 G．H．哈迪去看望他。这位哈迪从来就不善于激起谈兴， 他对罗摩奴阇说：“我是乘坐出租车来的，车的牌号为 1729。对我来说， 这个数字似乎很枯燥，我希望它不是个凶兆。”　　“胡说，”罗摩奴阇回答说，“这个数字一点也不枯燥，相反它非常 有趣。它是可以用两种不同方式表示的作为两个 3 次方之和的最小数。”（罗摩奴阇不知怎么立即就辨别出 3 和 93＋103。） 罗摩奴阇死于 1920 年，年仅 32 岁。他是一位数论学家，是研究整数属性的数学奇才。数论是数学中最古老的领域之一，在一定程度上说也是 最简单的领域。数当然是数学最普遍的基础材料，然而，关于它们仍然还 有许多根本问题没有解答。　　公元前 3 世纪，当波加的阿波罗尼奥斯天真地继续研究阿基米德的大 数时，可能不知晓等待他以及数代数学家的将是什么。“我要让你们看一 看谁懂得大数，”阿基米德想。据说，他出于报复之心而虚构出关于牧牛 的计算问题，解决这一问题所需的数字是如此庞大，以致直到最近才得以 解决。而且，解决这一问题的并不是人而是机器：世界上最快的电脑。提出类似牧牛这类极其困难的问题只不过是阿基米德许多令人难以置信的功绩之一，这些功绩使他在他那个时代就成了一个传奇式人物。公元前 212 年，罗马将军马塞卢斯围困了西西里的叙拉古港，该城之王希伦请 求王亲阿基米德驱逐 60 艘敌舰。阿基米德不久前发明了杠杆（他因此说了 这句名言：“给我一个支点，我会搬动整个地球。”），他将杠杆和滑轮 结合在一起制成巨大的吊车，这些吊车将那些入侵的战船吊出了港口。在 战斗中，吊车还得到弩石弹射器和凸面镜的协助，凸面镜把阳光聚焦到船 上使船着火。结果，罗马舰队遭到了毁灭。马塞卢斯说：“我们不要和这 个几何怪物进行战斗了，他拿我们的船当杯子，从海中舀水。”阿基米德使敌人 3 年不敢接近。后来，有一个晚上，当叙拉古人忙于宗教庆典时，罗马士兵攀上城墙并打开城门。当马塞卢斯的军队蜂拥而入 时，他告诉部下说：“任何人都不得斗胆对阿基米德妄动一个手指头，这 人是我们的座上宾。”马塞卢斯的一个士兵在庭院中找到阿基米德，其时，阿基米德正在沙地上画几何图形，这位士兵违抗指令而拔出了剑。阿基米德请求说：“我 的朋友，在你杀死我之前，请让我把我的圆画好。”这位士兵没有等待就 把剑刺向阿基米德，阿基米德躺倒在地，喃喃地说：“他们夺走了我的躯 体，但我将取走我的灵魂。”说完安然死去。　　按照阿基米德的愿望，人们在他的墓碑上刻了一个圆柱体，柱体里面 是一个球体——象征着他的骄傲的发现：球的体积是装下该球的最小的圆 柱体体积的三分之二。　　这个传说有多少是真的呢？阿基米德无疑是位机械天才。有充分证据 表明他设计出能将 50 磅弩石抛出 300 英尺远的弩石弹射器。但近来对技术 史的研究排除了他建造了能从海中吊起敌船的吊车的可能性。这种神话的 根据可能是他发明过一种将他自己（不动的）的船吊到岸上来的吊车式的 装置。　　　　许多科学巨匠包括加利莱奥·伽利略和法国博物学家布丰伯爵，乔治- 路易斯·莱克勒都对阿基米德用镜子焚烧敌船感兴趣，它与儿童用放大镜 点燃纸片非常相似。理论上说这种镜子是可以制造的，但它要有一个保持 太阳光线聚焦于移动目标上的可变焦距，普通镜子是做不到这一点的。（1747 年，布丰声称用一个复杂的镜子使 150 英尺远的木头着了火，并熔 化了 140 英尺远的铅。）不管怎样，阿基米德不会费力去制造一个特别镜 子的，因为那时已经出现了一种简单而高效的燃烧武器：将石脑油与一种 同水接触即自动燃烧的化学物质相混合装入罐中，人们把这种罐子掷向敌 船。　　对阿基米德之死的生动描述可能相当真实，尽管人们会对他所说的话 表示怀疑。公元前 75 年，伟大的罗马演说家西塞罗来到阿基米德的墓旁， 发现墓碑上刻有外切一个球的圆柱体。　　牛群的问题是怎么回事呢？它真是首先由阿基米德提出来的吗？别管 阿基米德是否真是出于一时赌气而凭空想出这个问题的，人们知道他确曾 推算过这个问题，因此至少有 2，200 年的历史了。　　这个问题开始是这样的：“啊！朋友，如果你智慧过人，那就专心致 志算出那天那群公牛的数目吧。它们曾在西西里岛的大平原上吃草，按毛 色它们被分成 4 组：乳白牛、黑牛、黄牛和花斑牛。每组中的公牛数占大 多数，它们之间的关系为：1 11．白公牛＝黄公牛＋（ ＋ ）黑公牛。2 31 12．黑公牛＝黄公牛＋（ ＋ ）花斑公牛。4 53．花斑公牛＝黄公牛＋（ 1 ＋ 1 ）白公牛。6 71 14．白奶牛＝（ ＋ ）黑牛。3 41 15．黑奶牛＝（ ＋ ）花斑牛。4 56．花斑奶牛＝（ 1 ＋ 1 ）黄牛。5 67 ．黄奶牛＝（ 1 ＋ 1 ）白牛。”6 7　　该问题继续说：“啊！朋友，如果你能算出每群中公牛和母牛的数目， 你还是称不上无所不知或精通数字，也不能被列入智者之列。”于是该问 题涉及到其数学的本质部分：解 7 个带有 8 个未知数的等式（4 组不同颜 色的公牛和 4 组相应颜色的奶牛）。原来，这些等式并不难解。事实上， 它们有无限多的答案，而牛群总头数的最小数值为 50，389，082，这些牛 可以在西西里 6，358，400 公顷的大平原上自由自在地吃草。　　然而，阿基米德并未就此停止。他对公牛数目另外又提出了两项限制 条件，从而使这问题变得难多了：8．白公牛＋黑公牛＝一个平方数。9．花斑公牛＋黄公牛＝一个三角数。 问题最后说：“如果你已算出这群牛的总数，噢！朋友，你俨然就是一个征服者了，不消说，你就是数字科学方面的专家了。” 阿基米德的牛群问题由于采用了三角数和平方数的概念而与华达哥拉斯的工作有关。公元前 6 世纪，毕达哥拉斯及其追随者用圆点布置成三角、 四方或其他几何图形来表示数。如 3、6 和 10 这些数被称为三角数，因为 它们可由构成三角的圆点来表示：西门从海中拽出的鱼的数目 153 也是一个三角数。由于同样的原因，像 4，9 和 16 这些数被称为平方数，因为它们可以用圆点布置成正方形来 表示：　　不要以为古人为断定某个特定的数是否可以由特定的几何圆点图形表 示而耗费长时间去胡写乱画，要知道，解决这一问题存在一种纯数的方法。 所有三角数都可由连续的整数（从 1 开始）相加得出；如 3＝1＋2，6＝1＋2＋3，以及 10＝1＋2＋3＋4。所有的平方数都可由整数的平方得出：4＝2×2，9＝3×3，及 16＝4×4。 由于用三角数和平方数对公牛进行限制，牛问题变得非常棘手，两千年里没有取得真正的进展。1880 年，一位德国研究者在经过枯燥计算之后 表明：符合所有 8 项条件的最小的牛头数为一个有 206，545 位数的数，该 数是以 776 开头的。阿基米德可能是一个有魔力之人，但他决不是个现实 主义者：西西里小岛上决不会容下这样一群牛。正如一位数理论家所说： “即使它们是最小的微生物——不，即使它们是电子，一个以从地球到银 河的距离为半径的圆也只能包含这种动物的很小一部分。”但没人认为缺乏现实感会妨碍数学研究。20 年后的 1899 年，伊利诺斯希尔斯伯勒的一位土木工程师和他的几位朋友组成希尔斯伯勒数学俱乐 部，致力于发现余下的 206，542 位数。经过 4 年运算后，他们最后宣布， 他们发现了 12 位最右边的数，又另外发现了 28 位最左边的数，但后来证 明他们算的数都弄错了。60 年后，3 位加拿大人运用计算机首次发现了全 部的答案，但他们从未予以公开发表。1981 年，当出自劳伦斯·利弗莫尔 国家实验室的克雷 1 号巨型计算机的 47 页硬拷贝缩印在《趣味数学》杂志 上时，全部的 206，545 位数才最终公布于世。当时，克雷 1 号是世界上运算最快的计算机。克雷巨型计算机是昂贵的——最新型号值 2，000 万美元，实验室和公司不会买它来解决古老的数 论问题。购买它是用于配制新的药物，勘探石油，破译苏联密码，在好莱 坞电影中造成辉煌的特别效果以及模拟太空武器。　　然而，人们常常让巨型计算机解决数论史上棘手的计算问题，以便证 明它们是否运转正常。计算这种问题的好处是可以轻易地对其答案——即 使以前不知道这些答案——进行检验：将它们还原到其等式中去。阿基米 德的牛群问题正是在劳伦斯·利弗莫尔实验室检验克雷 1 号时得以解决 的。这台巨型计算机仅用 10 分钟就发现了 206，545 位数的答案，并两次 检验了这一问题的运算。　　让我们以一个阿基米德曾处理过而我们也许能解决的问题来结束本节 吧。希伦给金匠一定量的金子（设其重量为 W）制造皇冠。当希伦收到那 顶皇冠时，他请阿基米德鉴定它是否含有全部的金子，或金匠是否偷走了 一些而代之以较廉价的金属。公元前 1 世纪著名的罗马建筑师维特鲁威是　　这样记载的：“阿基米德反复琢磨这一问题，一天他偶然来到洗澡间，在 那儿，他注意到，当他坐进浴缸里，漫出浴缸的水的数量等于他浸在浴缸 中的身体所排出的水量。这一点向他暗示了解决这一问题的方法，于是他 立即欣喜地跳出浴缸，光着身子向家奔去，并大声喊着他已发现了他寻找 的东西。因为当他跑的时候，他反复大声地用希腊语叫道，我找着啦！我 找着啦！”　　他找到了什么？阿基米德领悟到：既然金是密度最大的金属，那么， 重量为 W 的纯金皇冠的体积会比同样重量搀假的金皇冠的体积要小些。他 让一个容器装满水并投进重量为 W 的金子。然后他将溢出来的水收集起 来，这些水的体积与该金子的体积相等。下一步他让另一个容器装满水， 皇冠在监督之下被放入水中。果然，它排出的水体积较大，证明那位卑劣 的金匠偷去了希伦国王的金子。　　第三章 素数的滥用　　原子说——相信事物不可分割——不仅指导着古希腊人研究物质而且 指导着他们对数的研究。欧几里得及其同时代人认识到，某些整数如 2，3，5，7 及 11 是根本不能被除尽的。这些只能被它们自身和 1 整除的数被称 为素数。那些不是素数的数——如 4，6，8，9，10 等等——有另外的除数。 这些数被称作合成数（非素数），因为它们每个数都各自由某些素数“合 成”。例如，4＝2×2，6＝2×3，8＝2×2×2，9＝3×3，及 10＝2×5。　　1985 年 9 月，当休斯敦的谢夫隆地球科学公司对被称为克雷 X－MP 型 的新式巨型计算机进行使用检验时，它在以每秒做 4 亿次运算的速度工作了 3 个多小时后发现了人（或机器）所知的最大素数。　　大约在 2300 年前，欧几里得就证明存在无限多的素数。但迄今还没有 人发现素数的模型或产生素数的有效公式。由于没有模型可参照，发现新 的最大已知素数没有任何窍门，这一发现的新闻不仅迅速地传遍了数学界 而且传遍了整个世界。美国哥伦比亚广播公司《晚间新闻》节目的主持人 瓦尔特·克伦凯特专门在电视上插播了一个素数的轻松故事，而全国公共 广播电台仍然有这样一个栏目。谢夫隆计算机求得的创纪录的素数多达 65，050 位数。这个有 65，050位数的庞大数字是一个梅森数，它等于 2 的 216，091 次幂减 1，要把这个 数全部列出来要占去本书 30 页纸。“我们只是偶然地运算了足够的数而得 出这一新素数的，”谢夫隆的一位副总裁告诉新闻界说，“让该机器开动 并进行运转，证明它健全无损是我的职责，其结果是令人感兴趣的??但 这些结果肯定无助于发现石油。”寻找更大的素数并探求其性质与寻求奇数完全数一样都是数论的一部分。数论表面上简单。其主要定理可以表述得人人都可理解，但证明起来——如果是已知的话——却需要艰深而复杂的数学运算。例如 1742 年，生 于普鲁士的数学家克里斯琴·哥德巴赫猜想每个比 2 大的偶数都是两个素 数之和。根据这一分析，4＝2＋2，6＝3＋3，8＝3＋5，10＝5＋5 等等。 数理论家借助于计算机将 1 亿以下的所有偶数都分成为两个素数之和，然 而他们却没能证明哥德巴赫的简单猜想是普遍正确的。而这并不是因为缺 乏尝试之故。过去两个半世纪以来，许多最有才能的数学家都曾思考过这 一问题。在数学的所有分支之中，数论传统上一直是最远离物理现实的。数学其他深奥领域的抽象结果似乎已有效地用于物理、化学和经济之中。而对 数论中的多数结果来说却并非如此。如果哥德巴赫猜想明天得以证明，数 学家会欣喜异常，而物理学家和化学家将不知道如何应用这一成果——如 果它确有应用价值的话。因此，研究素数被认为是最纯的数学，与应用无 关的数学。几个世纪前，数论的这种纯性为它赢得了“数学皇后”的美称。 然而在今天，这座宫殿里却出了问题。那最纯的论题——素数正在以 国家安全的名义滥用自己。据报道我们政府所用的某些最好的密码是依靠 素数创制的。在这些密码中，字母被转换成数字，其根据纯然是数学的： 某些计算程序较易创制但极难破译。例如，计算机计算两个 100 位数的素 数的积极其容易。但已知那个 200 位数的积去恢复那些素数除数却极其困 难（当然，除非有人告诉你）。将这一点应用于密码使人茫无头绪。将电文译成电码的人必不能破解密码。将电文译成电码，他只需知道 200 位数 的积。但要破译这段电文他得知道两个素数除数；而只知道其积是远远不 够的。　　这种密码被称为公钥密码，因为它可以用一种很公开的方式来使用。 如果我想收到秘密信件，我只需公布 200 位数的数字（并对如何用于编密 进行解释）即可。然后，任何人只要他愿意就可以给我寄编成密码的信。 因为只有我一人知道那两个素数除数，因此也只有我才能轻易地破译那些 信件。然而，这种密码系统起作用的惟一原因是数论学家迄今依然不知如 何将巨大的合成数化成构成它们的素数。　　佐治亚大学著名的素数学家卡尔·波梅兰斯说：“这种密码系统是对 无知的利用。由于这种密码，更多的人卷入了对数论的研究。而致力于研 究分解因子问题（寻找素数除数）而未获成功的数学家愈多，这种密码就 愈可靠。”因此，这种密码系统的成功又以另一种方式仰赖于数论：要确 认那相乘的 100 位数的素数必须运用尖端的数学方法。　　既然素数处于密码学的显要位置，我想考察一下关于素数何为已知 的，以及何为未知的。很久以前，欧几里得就证明素数是无限多的。他 2，300 年前的证明依然是数学简明而别致的范例。 欧几里得说，我们假设素数是有限的，那么其中之一——我们称之为P——就会是最大的。现设有一个比 P 大的数 Q，Q 等于 1 加上从 1 到 P 所有整数的积。换句话说，Q＝1＋1×2×3??×P。对于 Q 来说，很明显，从 2 到 P 的所有整数都不能整除它；每次除都会得出余数 1。如果 Q 不是 素数，它就会被某个比 P 大的素数整除。相反，如果 Q 是素数的话，Q 本 身就是一个比 P 大的素数。两种可能性都意味着比最大素数还要大的素数 的存在。这当然就意味着，“最大的素数”这概念是虚设的。但如果没有 这样一个怪数，素数就一定是无限的。长期以来，数学家们一直梦想着发现一种公式，运用这个公式代入从0 到无穷大的 n 的整数值就可以得出所有素数。18 世纪的大数学家列奥纳 德·欧拉反复考虑用那个诱人的简单公式 n2＋n＋41。如 n＝0，该公式则得出素数 41；如 n＝1，得素数 43；n＝2 得素数 47。的确，当 n 为 0 至 39中连续的整数值时，欧拉公式得出的全是素数。但如 n＝40 时，这一公式 突然不灵了。其得数 1，681 是 41 的平方。n n2+n+41 结果 n n2+n+41 结果0
41
素数
23
593
素数
1
43
素数
24
641
素数
2
47
素数
25
691
素数
3
53
素数
26
743
素数
4
61
素数
27
797
素数
5
71
素数
28
853
素数
6
83
素数
29
911
素数
7
97
素数
30
971
素数
8
113
素数
31
1033
素数
9
131
素数
32
1097
素数
10
151
素数
33
1163
素数
11
173
素数
34
1231
素数
12
197
素数
35
1301
素数
13
223
素数
36
1373
素数
l4
251
素数
37
1447
素数
15
281
素数
38
1523
素数
16
313
素数
39
1601
素数
17
347
素数
40
1681
复合数
18
383
素数
41
1763
复合数
19
121
素数
42
1847
素数
20
461
素数
43
1933
素数
21
503
素数
44
2021
复合数
22
547
素数
45
2111
素数
n n2+n+41 结果 n n2+n+41 结果46
2203
素数
74
5591
素数
47
2297
素数
75
5741
素数
48
2393
素数
76
5893
复合数
49
2491
复合数
77
6047
素数
50
2591
素数
78
6203
素数
51
2693
素数
79
6361
素数
52
2797
素数
80
6521
素数
53
2903
素数
81
6683
复合数
54
3011
素数
82
6847
复合数
55
3121
素数
83
7013
素数
56
3233
复合数
84
7181
复合数
57
3347
素数
85
7351
素数
58
3463
素数
86
7523
素数
59
3581
素数
87
7697
复合数
60
3701
素数
88
7873
素数
61
3823
素数
89
8051
复合数
62
3947
素数
90
8231
素数
63
4073
素数
91
8413
复合数
64
4201
素数
92
8597
素数
65
4331
复合数
93
8783
素数
66
4463
素数
94
8971
素数
67
4507
素数
95
9161
素数
68
4733
素数
96
9353
复合数
69
4871
素数
97
9547
素数
70
5011
素数
98
9743
素数
71
5153
素数
99
9941
素数
72
5297
素数
100
10141
素数
73
5443
素数
欧拉公式　　1963 年，曾在洛斯阿拉莫斯从事早期原子弹研制性工作的卓越数学家 斯坦尼斯劳·乌拉姆在一片纸上随意写出一串数字，它们是连续的整数，从 1 开始呈方形螺旋地向外扩展：
乌拉姆的小草笺 使他震惊的是，草笺中的素数——我已用线标了出来——都落在了对角纸上。乌拉姆受到这种偶然发现的鼓舞便与两个助手马克·韦尔斯和迈伦·斯坦一起研究从除了 1 之外的整数开始的方形螺线。从 41 到 44 的整 数也构成了一个螺线。同样，素数也常常落在对角线上。从 421 至 383 这 条长对角线与由欧拉的 n2＋n＋41 的公式所得出的素数是相对应的。421 420 419 418 417 416 415 414 413 412 411 410 409 408 407 406 405 404 403 402422 347 346 345 344 343 342 341 340 339 338 337 336 335 334 333 332 331 330 401423 348 281 280 279 278 277 276 275 274 273 272 271 270 269 268 267 266 329 400424 349 282 223 222 221 220 219 218 217 216 215 214 213 212 211 210 265 328 399425 350 283 224 173 172 171 170 169 168 167 166 165 164 163 162 209 264 327 398426 351 284 225 174 131 130 129 128 127 126 125 124 123 122 161 208 263 326 397427 352 285 226 175 132 97 96
95
94
93
92
91
90
121 160 207 262 325 396
428 353 286 227 176 133 98 71
70
69
68
67
66
89
120 159 206 261 324 395
429 354 287 228 177 134 99 72
53
52
51
50
65
88
119 158 205 260 323 394
430 355 288 229 178 135 100 73
54
43
42
49
64
87
118 157 204 259 322 393
431 356 289 230 179 136 101 74
55
44
41
48
63
86
117 156 203 258 321 392
432 357 290 231 180 137 102 75
56
45
46
47
62
85
116 155 202 257 320 391
433 358 291 232 181 138 103 76
57
58
59
60
61
84
115 154 201 256 319 390
434 359 292 233 182 139 104 77
78
79
80
81
82
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114 153 200 255 318 389
435 360 293 234 183 140 105 106 107 108 109 110 111 112 113 152 199 254 317 388436 361 294 235 184 141 142 143 144 145 146 147 148 149 150 151 198 253 316 387437 362 295 236 185 186 187 188 189 190 191 192 193 192 193 196 197 252 315 386438 363 296 237 238 239 240 241 242 243 244 245 246 247 248 249 250 251 314 385439 364 297 298 299 300 301 302 303 304 305 306 307 308 309 310 311 312 313 384440 365 366 367 368 369 370 371 372 373 374 375 376 377 378 379 380 381 382 383 乌拉姆的大草笺　　1963 年，洛斯阿拉莫斯的马尼艾克二型主机储存了前 9，000 万个素 数。“在洛斯阿拉莫斯我们也有一台第一流的图解计算设备，”韦尔斯回 忆说，“因此我们对用计算机绘出素数图式感到异常激动。”马尼艾克二 型为 1，000 万以下的所有素数都绘出方形螺线图。果然，许多数都神奇地 出现在对角线上。　　欧拉公式 n2＋n＋41 在 n 为大数值时证明有令人震惊之效。马尼艾克 二型计算出，在 1，00O 万以下的所有素数中，该公式可得出占总素数的47．5％。而当 n 值较低时，该公式工作得更有成效。当 n 值小于 2，398时，得素数的机会一半对一半。而当 n 值小于 100 时，该公式得出 86 个素 数，合成数只有 14 个。马尼艾克的图解 乌拉姆和助手们还发现了其他几乎与欧拉公式同样有效的生成素数的公式。公式 4n2＋170n＋1，847 计算 1，000 万以下素数的成功率为 46．6％，并得出 760 个欧拉公式所不能推出的素数。公式 4n2＋4n＋59 的成功 率为 43．7％，同时得出大约 1，500 个不能由其他两个公式推出的素数。 最奇怪的是，虽然这些公式都有很高的成功率，虽然在方形螺线中存 在明显的对角线规则，但数理论家已证明与欧拉公式相仿的公式无一能生成全部的素数，或除素数外别无他物。但这一证明并未阻止浪漫主义者寻 找素数的模式。在 100 以内的数字中有 25 个素数：2，3，5，7，11，13，17，19，23，29，31，37，41，43，47，53，59，61，67，71，73，79，83，89 和 97。 这些连续的素数（以及随后无限多的素数）之间的间隔并无明显的范式可 循。由于 2 是惟一的偶数素数，2 与 3 也是惟一一对只相差 1 个的素数。相差2的素数——被称为孪生素数——又如何呢？在前25个素数中有8 对孪生素数：（3，5），（5，7），（11，13），（17，19），（29，31），（41，43），（59，61）和（71，73）。大约 150 年来，数字理论 家就推测过，孪生素数就像素数本身一样是无限多的，但还没有人能证明 这一点。在 1966 年，研究取得进展，那时，中国数学家陈景润证明：在只 相隔两个的无穷对数字中：第一个数为素数，第二个数也是素数或是两个 素数的积。（为两个素数之积的数被称为“殆素数”，这一叫法既表明了 数学家们不可抑制的乐观主义，又证明了真正素数的发现之难。）　　乐观主义的另一表现是：陈先生证明了哥德巴赫猜想的较无力那一面 的说法：每个“充分大”的偶数是一个素数和一个殆素数之和。“充分大” 是素数文献中对“我知道我的证明对比某数 Q 大的所有数都有效，但我不 知道 Q 是多少”的婉语。虽然短语“充分大”一词模糊不清，数学家们仍 然认为陈的证明是过去 30 年来对素数理论意义最为重大的发现。人们对素数之间离得多开比素数如何相互靠近知道得更多一些。的确，很容易证明存在任意长的非素数的连续数列。让 n！表示 1 到 n 的所 有整数的乘积。这样，n！就可以被从 2 到 n 的每个整数整除。试想一下 n!＋2，n！＋3，n！＋4??n！＋n 的连续数列。这时，数列中的第一项 n！＋2 则可被 2 整除；第二项 n！＋3 可被 3 整除；第三项 n！+4 可被 4 整除；等等。在这个数列中有 n—1 个数，没有一个是素数。通过任意选择 n 的大 小，你可以得出你想要的无素数的连续整数数列。但也有大量的长串素数数列。事实上，数理论家认为素数可以形成漫长的等差级数（由同样差分开的素数数列）。较短的等差级数是容易发现 的。例如，素数 3，5 和 7 构成 3 项差额同为 2 的等差级数。（1944 年， 有人证明有无限组等差级数的 3 个素数。）素数 199，409，619，829，1039，9，1，669，1，879 和 2，089 构成一个 10 项共同差额为 210的等差级数。至于更长的级数，由于初始的素数和共同差额急剧上升，因 而难于发现它们。然而，1983 年，保罗·普里查德在康奈尔发现了 19 个 呈等差级数的素数；初始素数为 8，297，644，387，共同差额为 4，180，566，390。 一些数学家甚至推测存在任意长连续素数的等差级数。例如，连续素数 1，741，1，747，1，753 和 1，759 构成 4 项差为 6 的等差级数。然而， 现在还没人能证明这一猜想，更不必说素数不必是连续的等差级数这一根 据相对不足的猜想了。　　对于素数，我们知道什么又不知道什么？对此可写一篇长篇论文。再 举一个简单例子就足已。有人已证明在比 1 大的任何数和其倍数之间至少 有一个素数。（这个证明的一个令人震惊的后果是：在 n 位数中至少有 3 个素数——n 可为任何正整数。）但无人知道在任何比 1 大的数的平方和 其相邻数平方之间是否有一个素数。　　　　既然素数本身没有已知的模式可循，那么数学家在努力证明它们时明 显显示出杂乱无章也许是惟一合适的做法。某些基本定理——如有无限多 的素数，它们之间有任意长的间隔——已简单明了地得以证明。其他定理， 如哥德巴赫猜想依然有待证明。虽然没有一个自重的数学家对其正确性表 示怀疑。为取得进展，数理论家采用了证明关于“殆素数”和“足够大的 数”的办法。这一领域需要出现另一个欧几里得或欧拉。在那之前，我们 可能依然处于这种奇妙的状态：依赖于秘密通讯的政府和工业继续从数学 家的无知中获利。　　对数理论有兴趣的读者不妨对这些未被证明的猜想动动手和计算器。 如果猜想是正确的，证明工作可能会采用技术数学的成果，这是门外汉所 做不到的。但如果与所期望的相反，它们碰巧是错的，全部所需要的则是 一个反例。据历史记载，那些最具数学头脑的人也会出错。欧拉声称，1个 5 次方的数决不会等于两个 5 次方的数、3 个 5 次方的数或 4 个 5 次方的数之和。（换句话说，不存在满足等式 x5=y5＋z5 条件的整数 x、y 和 z； 不存在满足等式 a5=b5＋c5+d5 条件的整数 a，b，c 和 d；也没有满足等式 m5=n5+o5+p5＋q5 条件的整数 m，n，o，p 和 q。）两个世纪后的 1966 年， 这一断言受到驳斥，因为发现了一个反例：144 的 5 次方正是另外 4 个 5 次方的数——即 27，84，110 和 133——之和。　　如果推断未获证明的猜想不是你的事，考虑考虑某些数也许是。但不 要再犯哈迪的错误：早早地就把出租车号斥为无趣的。前不久我乘机远行。 当我为一本小说所吸引住时，邻座那位坐卧不安的同伴笨嘴拙舌地试图激 起谈兴：“我们乘坐的是 407 号飞机。对我来说，这个数似乎很枯燥，我 希望它不是个凶兆。”“胡说，”我从书中抬起头来答道，“这个数字一点也不枯燥，相反，它非常有趣。它是等于其各位数 3 次方之和的最大的 3 位数。”那人直盯 着我，好像我是个疯子，但他拿出一张便条开始不停地草算起来。他做了 一路的计算，而我却可以不受打扰地读完我的小说。第四章 比尔密码之谜　　密码学——编制和破译密码的科学——日益成为那些能够获得最新计 算机技术的数学家所从事的量性学科。今天在军队和私人企业中所使用的 密码与昨日的密码截然不同，总的来说是变得更为难以破译了。然而，尽 管取得了这些进步，这种新型的数学密码在许多场合也不管用，而对一些 古老的密码，最先进的破译技术仍然无法解开。　　密码学一定有很长的历史，因为早在公元前 1 世纪，据说凯撒大帝就 曾用过极简单的代换式密码，在这种密码中，每个字母都由其后的第三个 字母（按字母顺序）所代替。当凯撒说：“Hw we，Eu-xwh！”而不是“Et tu，Brute！”（“你这畜生！”）时，他的心腹会懂得他的意思的。值得 注意的是，大约 2，000 年后，联邦将军 A．S．约翰逊和皮埃尔·博雷加 德在希洛战斗中再次使用过这种简易密码。　　《旧约》中发现的一个密码与这同样简单。在《耶利米书》第二十五 章第二十六节和第五十一章第四十一节中，先知为通天塔写了 Sheshach。 希伯来文第二个字母（b）被倒数第二个字母（sh）所取代。第十二个字母（l）被倒数第十二个字母（ch）代替。（这些元音次序错乱，但在希伯来 文中，元音不大重要。）这种密码被称为 Ath-bash——一个由希伯来文第 一个字母（a）、最后一个字母（th）、第二个字母（b）和倒数第二个字 母（sh）组成的单词。最初代换式密码的缺点是可以通过分析每个符号出现的频率而轻易地被破译。在每种语言中，冗长的文章中的字母表现出一种可对之进行分辨 的频率。例如，e 是英语中最常用的字母，其出现频率为八分之一。最好 假定长长的密文中最常用的符号代表 e。如果密码分析者根据频率数能破 译出 9 个最常用的字母 e，t，a，o，n，i，r，s 和 h，一般来说他就可破译 70％的密码。最现代的译密技术也是以古老的频率分析法为根据的。　　频率分析法还可以用来对单词中的字母的位置及其组合进行分析。例 如，全部英语单词中有一半以上是似 t，a，o，s 或 w 开头的。仅 10 个单 词（the，of，and，to，a，in，that，it，is 和 I）就构成标准英语文章 四分之一以上的篇幅。编成密码的词汇量越大，用频率分析法译密就越容易。在激战方酣时，电文接连不断地从战场和司令部之间来回发送，其中少不了密电。第一次 世界大战时，德国人每月用无线电播送 200 万编成密码的文字。在第二次 世界大战时，盟军最高统帅部常常一天就播发 200 万字的编密文字。　　在凯撒密码（即 Athbash）那种系统中，与明文相对应的密码符号都 是按照某种模式编制的，而这些模式又不难发现，所以人们不用费多少气 力就可以发现这种模式。例如，如果对凯撒密码文进行频率分析后表明：h 代表 e，w 代表 t 及 d 代表 a，那么，密码分析者就会怀疑，每个密码字母 代表着按 a，b，c 字母顺序的前 3 个字母。然后他会核实他的怀疑是否正 确。预感与猜测无疑是译密的关键，因为易于使用这些方法并检验它们是 否有效。　　如果不是因为使用了频率分析的话，苏格兰的玛丽皇后是不会掉脑袋 的。她那时常常用简单的代换式密码写不忠实的信件，并以此卖弄自己比 凯撒和耶利米更高明。她任意选用密码符号，并用毫无意义的符号写信。　　■a b c d e f g h ijk l m n o p q r s t u v w x y z■nulls　　　　　　　　　　　无意义的符号 然而，英国特工处的奠基人弗朗西斯·沃尔辛厄姆极力排除了那些无意义的符号，并计算剩下符号的频率。结果，他破译出玛丽阴谋暗杀伊丽 莎白女王并继承她的皇位。正是根据这种密码分析法，玛丽被宣判犯了叛 国罪而被处决。　　如果玛丽知道 15 世纪意大利建筑师莱昂·巴蒂斯塔·阿尔贝蒂的做法 的话，她也许会免遭杀头。阿尔贝蒂为破坏频率推算法而提出了一个他称 之为“群王”的令人惊讶的方案。在这种方案中，明文中每一个字母都可 由每个密码符号来表示。实质上，它是用一个以上的密码字母来对某个特 定的密码单位进行编密。这种密码叫做多字母体系密码；阿尔贝蒂的思想 是现代密码学的基础。　　阿尔贝蒂系统采用了下列表格。表的上面是大写字母，即众所周知的 密钥字母，它们是用于发现表中的密码字母的。表的左边是明文字母，也 是大写的。在发出信息之前，通讯各方必须就一种被称为密钥词的口令取得一致。要为某一段信息编密，就得在明文上面重复地写密钥词。例如，密钥 词是 LOVE（爱），明文信息为 SEND MORE MON－EY（送更多的钱来）。 发送信息者则写：密钥：LOVE LOVE LOVEL明文： SEND MORE MONEY
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