【蒟蒻求助】以X为底的拓扑锥与几何锥同胚，为什么要求X紧致？【数学吧】_百度贴吧
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【蒟蒻求助】以X为底的拓扑锥与几何锥同胚，为什么要求X紧致？收藏
“CX=X×I/X×{1}称为拓扑锥当X⊆E^n,a∈E^n+1\E^n时，aX={ta+(1-t)x|t∈I}称为几何锥当X是E^n的紧致子集时，CX≌aX”我感觉没有必要加上紧致这个条件啊（而且我感觉好像证出来了）......能否给出在X非紧时的反例，谢谢
边界都不一样。。
蒟蒻不懂，帮顶一个
我遇到了和楼主一样的问题，楼主现在明白了吗？求楼主赐教！
不紧的集合，基本上都不同胚，先选一个集合X。大概可以这样证明，你考虑一下细节。1，如果同胚，映射叫g。那边界一定要射去边界。所以X乘{1}只能射去那个顶点。2，对任意几何锥的包含顶点的开集，g圆圈f的原象包含小圆柱，X乘一个半开半闭的区间。3，再证你想要的结论。如果你不想证明，也可以直接看出不同胚。几何锥是第一可数的，因为是欧几里得空间的子集。左边的拓扑明显不是第一可数。两个同胚的东西不允许出现这种情况。
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拓扑同胚和微分同胚的联系和区别？
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研究微分流形在微分同胚映射下不变的性质的数学分支。研究的基本对象是微分流形或带边的微分流形以及这样的流形之间的可微映射。m维微分流形 Mm是局部欧几里得空间，即每点x∈M存在邻域u及同胚j：u→v，其中v是Rm的一个开集，(u，j)为Mm在点x的局部坐标且一点的两个局部坐标之间的坐标变换是C&光滑的。两微分流形之间的可微映射f:
Mm→Nn是指它们在每点x∈Mm的局部表示ψof oj1-1：Rm→Rn是C&光滑的且f连续，此处(u1，j1) (w1，ψ1)分别是x及f(x)的局部坐标。若f：Mm→Nn是可微映射且其逆f--1:Nn→Mm也是可微映射，则称f是微分同胚。微分拓扑学主要研究以下几个方面的问题：①研究微分流形的拓扑结构、组合结构与微分结构的关系，证明了拓扑流形（把微分流形中局部坐标光滑改为连续）与微分流形之间有着本质区别，拓扑流形不一定是微分流形。一个拓扑流形可以存在不同的微分结构（局部坐标系）。例如7维怪球与S7同胚，存在多个相异的微分结构，使其与S7不微分同胚。②嵌入问题：给定两个微分流形Mm和Nn，m≤n，M是否可光滑地嵌入N，即是否存在光滑映射f:M→N，使f:M→f(M)是同胚，且局部表示ψof oj-1的秩等于m，其中j，ψ定义如上。H.惠特尼在20世纪30年代证明了n维紧微分流形可光滑地嵌入于R2n。③配边问题：对给定的一个紧微分流形，判断它是否为一个有边微分流形的边界。④微分动力体系：关于单参数微分同胚群的研究。⑤奇点理论：关于可微映射局部结构的研究及其等价分类；⑥突变论。
从历史上看，微分流形概念的提出及拓扑结构的研究起源于H.庞加莱，他提出了著名的庞加莱猜想。但由于数学工具的限制，相当长一段时间微分流形的拓扑研究一直未取得突破性进展。直到1936年惠特尼的嵌入定理，S.S.凯恩斯证明了微分流形的可剖分性，以及莫尔斯理论的产生，奇点理论这一分支的诞生，伴随着代数拓扑纤维丛、示性类以及同伦群的研究的进展使配边理论及嵌入问题研究进一步发展，从而逐渐形成了“微分拓扑”这一新学科，并进入20世纪数学发展的主流。一类重要的拓扑空间。它除了具有通常的拓扑结构外，还添上了微分结构。微分几何学的研究是建立在微分流形上的。三维欧氏空间R3中的曲面是二维的微分流形，但微分流形的概念远比这广泛得多，非但维数不限于二维,而且流形也不必作为n维欧氏空间Rn中的曲面来定义。此外，一般微分流形也不一定有距离的概念。
具体说来,设M是一个豪斯多夫拓扑空间。U是M的开集,h是U到n维欧氏空间Rn的开集(常取为单位球内部或立方体内部等等)上的一个同胚映射,则(U，h)称为一个坐标图,U称为其中点的一个坐标邻域。设M为开集系{Uα}所覆盖,即,则(Uα,hα)的集合称为M的一个坐标图册。如果M的坐标图册中任何两个坐标图都是Ck相关的,则称M有Ck微分结构,又称M为n维的Ck微分流形。Ck相关是指流形M上同一点的不同坐标之间的变换关系是Ck可微分的(k=0,1,…,∞或ω)，依通常记号Cw表示解析函数。具体来说, 如p∈Uα∩Uβ,(x),(x)(i=1,…,n)分别是p在两个坐标图(Uα,hα)，(Uβ,hβ)下的(局部)坐标,即那么它们之间的关系式可表为 而ƒ关于x（j＝1,2，…，n）具有直到k次的连续导数。k=0时,M是拓扑流形；k&0时,就是微分流形；k=ω时，是解析流形。C∞流形又常称为光滑流形。
如果微分流形M是一个仿紧或紧致拓扑空间，则称M为仿紧或紧致微分流形。如果可选取坐标图册使微分流形M中各个坐标邻域之间的坐标变换的雅可比行列式都大于零，则称这个流形是可定向的。球面是可定向的，麦比乌斯带是不可定向的。
同一拓扑流形可以具有本质上不同的C∞微分结构。J.W.米尔诺对七维球面S7首先发现这个事实, 他证明七维球上可有多种微分结构。近年来，M.弗里得曼等得出如下的重要结果:四维欧氏空间中也有多种微分结构,这与 n(n≠4)维欧氏空间只有惟一的微分结构有着重大区别。
微分流形上可以定义可微函数、切向量、切向量场、各种张量场等对象并建立其上的分析学。以下的叙述对于Ck流形（k任意）也成立，但是，为了简单起见,仅就M为C∞流形来叙述。
设p∈U,ƒ是M上点p的邻域中定义的实值函数，(U，h)是C∞坐标图。如果函数ƒ。h-1：h(U)嶅Rn→R在h(p)点是r次连续可微的,则称ƒ在点p是Cr函数。这个定义与C∞坐标图的取法无关。如果在M上所定义的实值函数ƒ在M的各个点都是Cr的,则称ƒ为M上的Cr函数。M上的C∞函数全体组成一个实线性空间，记为F(M)。
设p∈M,M在点p处的一个切向量是指从F（M）到R的一个线性映射x，使得对于任意的ƒ，g∈F(M)，满足： 对于在p点的切向量x1,x2和实数λ1,λ2,定义λ1x1+λ2x2如下： 那么,点p处的切向量全体构成一个n维的实线性空间TP，TP称为在p处M的切空间或切向量空间(也记为TP(M))。如果（x1，x2，…，xn）为点p处的局部坐标系，则由定义的n个独立的切向量，构成TP的一组基，称为自然标架（或坐标标架）。M的切向量全体构成以M为底空间的向量丛（见纤维丛），称为M的切向量丛，简称切丛。M的切丛的一个截面称为M上的一个向量场。在局部坐标系中，向量场可表成 的形式，式中ξi(x)是坐标(x)i的C∞函数。
TP的对偶空间称为M在点p处的余切空间，记为T坝。T坝中的元素称为余切向量,也称协变向量。M的余切向量全体构成M的余切向量丛，简称余切丛，它的截面称为M上的一次微分形式。
由TP和T坝通过张量积的运算可以得到M在点p处的各种(r,s)型张量,M的(r,s)型的张量全体构成张量丛，它的截面就是M上的一个(r,s)型张量场（见多重线性代数、张量）。
设φ是从C∞流形M到C∞流形N 的连续映射,如果对于N上的任意Cr函数ƒ,M上的函数ƒ。φ总是Cr的,则称φ是Cr可微映射，或简称Cr映射。如果φ是从M到N上的同胚，而且φ和φ-1都是C∞的，则称φ为微分同胚，此时也称M与N是微分同胚的微分流形。
映射的微分
设φ是从M到N的C∞映射。对M上点p的切向量x可以如下地定义N在点φ(p)处的切向量x┡： 这个对应x→x┡用dφP表示,称为φ在点p处的微分。微分dφP是从切空间TP(M)到(N)的线性映射,有时也称为φ在切空间的诱导映射, 常用φ*P或φ*表示。利用对偶性，φ也自然地诱导了从余切空间T到T坝的线性映射，常记为(dφP)*或φ坝或φ*。由张量积运算，φ还可以诱导对应点之间某些张量空间之间的线性映射。
设M和N是两个C∞流形，φ：M→N是C∞映射。如果微分dφP在M的每一点都是单射,则称φ是浸入，而φ(M)称为N 的浸入子流形。如果浸入φ还是单射,则称为嵌入，此时φ(M)称为N的嵌入子流形。
在微分流形上还可以定义外微分形式（见外微分形式）。p次外微分形式(2)是一些微分的外积的线性组合，这些微分的外积是反对称的,即是p阶反对称协变张量,M上p次外微分形式的全体构成一个实数域上的无限维向量空间Ep。对外微分形式可以进行加法运算（同次外微分形式可以相加）,外积运算（p次外微分形式与q次外微分形式的外积是一个(p+q)次外微分形式），还可以进行外微分运算及积分运算。在局部坐标下，外微分运算为
设ω∈Ep且dω =0,则称ω为闭形式。M上p次闭形式的全体构成Ep的一个子空间记为Zp。设ω∈Ep,且ω=dσ(σ∈Ep-1，则称ω为正合形式。正合形式一定是闭形式。M上p次正合形式的全体也构成Ep的一个子空间记为Bp，Bp嶅Zp。商空间
(4)称为p次德·拉姆上同调群(或p次上同调空间)。德·拉姆建立了微分结构与拓扑结构的一个重要关系：设M是紧致流形,则Hp(M)是有限维的,且其维数等于M的第p个贝蒂数bp。
仿紧微分流形均可赋予适当的黎曼度量（见黎曼几何学），且不是惟一的。有了黎曼度量，微分流形就有了丰富的几何内容，这时称为黎曼流形。黎曼流形是微分几何的主要的研究对象。
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1、假如(0,1)和[0,1)同胚的话,那么自然有一个同胚映射f:[0,1) ----> (0,1) （为了方便,我把[0,1)放左边了）,于是f:[0,1) - {0} -----> (0,1) - {f(0)} 也是同胚.[0,1)中去掉0,仍然是连通的；但是(0,1)去掉f(0),自然分成两段.所以就矛盾了.总之就是说,[0,1)中去掉0仍然连通,但是(0,1)去掉一个点就不连通了,而连通是拓扑性质.类似,[0,1]去掉0和1,仍然连通,但[0,1)或者(0,1）,去掉两个点,就不连通了.所以这三个互不同胚.2、只说一下情形.A= (0,1) * [0,1)是个矩形,带一条边；而B=[0,1]*[0,1)是个矩形,带三条边.想要构造一个同胚,基本就是要把那一条边给折断,成为三条边.为了省事,先把这两个矩形都映成单位圆盘,映的方法就是把矩形边界上的点x映成x/|x|,其余点按比例向中心靠拢.这样A就变成一个圆盘,它的边界是个圆周,这个圆周上有一个周长是整个圆周1/4的弧,这个弧上的点在A里,圆周上其余的点不在A里.B也成为这样的一个圆盘,只不过圆周上3/4的点在B里.现在只要把A的那 1/4弧“拉长”,成为B的那3/4弧就行了.解析式写起来大概非常麻烦,容我偷懒好了.
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