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托福阅读词汇题怎么解 实例来解答
摘要：托福阅读词汇题应该怎么解？小马名师老师通过实例给大家做个详细解答，感兴趣的同学千万不要错过了！
　　网友&愤怒的小鸟&问：阅读总共有十大题型，那么词汇题部分应该如何解题?
　　陈思静：你好，词汇题应该如何解(Vocabulary
questions)?在每篇托福阅读考试中会考察3到5题。本题属于简单题，并且占分多，只要同学们词汇量够了，就一定能轻松得分。
　　1. 首先，让我们先来认识词汇题。词汇题到出题形式比较固定，例如：
　　The word X in the passage is closest in meaning to &
　　The phrase X in the passage is closest in meaning to&
　　根据OG上对我们的提示说，&The question is asking for the meaning as it is used in the
passage.&也就是说本题考察的单词都是在原文语境中的意思。但是，通过我们大范围研究TPO和对题目全面的分析，本题基本是在考察单词的最常用意思。所以做好这道题的关键还是在于是否将单词常用意记得牢，背得好。
　　2 托福阅读词汇题怎么解?词汇题根据做题方式，可以分为两种：1 Choosing the answer2
Choosing the answer according to the context。
　　第一种就是当你看到这个单词，不用回头看文章就已经知道这个词的意思。那这时候直接选出答案就可以了。第二种就是你并不认识这个词，这时候可以根据上下文语境来推测出来。下面将分别举关于这两种做题方法的例子，具体说明。
　　3例题：
　　例子1:可以直接看出意思，不用看文章的词汇题：
　　Paragraph 2: The researchers Peter Ucko and Andree Rosenfeld identified
three principal locations of paintings in the caves of western Europe: (1) in
obviously inhabited rock shelter (2) in galleries
immediately off the inha and (3) in the inner reaches of
caves, whose difficulty of access has been interpreted by some as a sign that
magical-religious activities were performed there.
　　The word &principal& in the passage is closest in meaning to
　　○major
　　○likely
　　○well protected
　　○distinct
　　解析：&principal&是个简单词汇，可能很多高中生都知道，这个词除了&准则&这个名词含义之外，还有形容词性的&重要，主要&之意，所以就直接选到A选项的major，也就是&主要，重要&的意思。(其他选项的意思：likely,可能的，有希望的;well
protected，被很好得保护的;distinct，截然不同的，完全分开的。)
　　例子二：根据前后文语境选出正确答案。
　　Paragraph 3: The subjects of the paintings are mostly animals. The
paintings rest on bare walls, with no backdrops or environmental trappings.
　　The word &trappings& in the passage is closest in meaning to
　　○conditions
　　○problems
　　○influences
　　○decorations
　　解析：我们都知道trapping是陷阱的意思，但是trappings是什么意思，还不得而知。这时候我们就要回到原文，根据上下文太推测。原文说：&The
subjects of the paintings are mostly animals. The paintings rest on bare walls,
with no backdrops or environmental
trappings&。原文翻译为：绘画的主题大部分是动物。这些画被放置在光秃秃的墙上，没有背景和环境的trappings。看到这里可以知道的是trappings和backdrops(背景)是一种并列的关系，所以也应该是一种具象事物，是可以摸得着看得到的。知道这一点后，我们来对照选项。A
选项conditions：条件;B选项problems:问题;C选项influences:影响，这些明显都是抽象名词，所以可以全部排除。D选项decorations是装饰的意思，刚好和背景相对应。将其带入原文验证，说的是这些画被放置在光秃秃的墙上，没有背景和环境上的装饰。符合逻辑并且读起来也很通顺，所以正确选项就是D。
　　托福阅读词汇题怎么解，通过今天陈思静老师给大家讲解的案例，应该多多少少都有点了解了!
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京ICP备号-3一件事情，明明知道那样做是错的，但是控制不了自己，就要去做，在做的同时就知道错了，但是还是那样去做，做完后又后悔，类似的情况，已经持续了一年多了，请问我该怎么办？到那里能就医呢？有谁能帮助我呢？
你这是强迫症，有一个简单的方法，早睡早起，每天多做运动，在手腕套一根皮筋，当想犯错误时，用皮筋弹自己或者放松自己听听音乐，直到意念去除，最好别用药物。你自己太闲了，把时排的充分一点，找点事做。坚持一下吧。如若效果不好，可以看中医，扎扎针灸，祝你早日康复
其他答案（共4个回答）
这个人与你是什么关系呢?恋人?老公?妻子?朋友?
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你好，你应该找专业的心理咨询师谈谈，他可以帮助你。如果你是学生，可以看看学校里有没有心理咨询室，南开大学里有。别怕，咨询师会为你保密的，他们要遵守职业道德的。
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这个不是我熟悉的地区小学数学列方程解应用题综合练习题（每道都用方程解，每天三道，不懂就问）
思路：等量关系：已装的网球个数+剩下的3个=总个数
解：设装了X筒，则已装了5X个：
&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&
&&5X+3=1428
&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&
&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&
&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&
答：一个装了285筒。
思路：等量关系：天安门广场面积的2倍-16万平方米=故宫面积
解：天安门广场面积是X万平方米，则：
2X-16=72&&&&&&&&&&&&
&&&&&&&&&&
&&&&&&&&&&&&
2X=72+16&&&&&&&&&&
&&&&&&&&&&&
&&X=44&&&&&&&&&&&
&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&
32325mm8109mm
4110km230km
132.5/3/22
24.一个通讯员骑自行车要在规定的时间内把信件送到某地。若每小时走15千米可以早到24分钟，若每小时走12千米，就要迟到15分钟。原来规定的时间是多少？他去某地的路程是多少？
25.妈妈买回一筐苹果，按计划天数，如果每天吃4个，则多出48个苹果，如果每天吃6个，则又少8个苹果。妈妈买回苹果多少个？计划吃多少天？
26.某小学部分学生外出参观，如果每辆车坐55人，就会余下30个座位；如果每辆车坐50人，就可以多坐10人。有多少辆车？有多少学生？
27.王叔叔买回一批酒精，放在甲乙两个桶里，两个桶都未装满。如果把甲桶酒精倒入乙桶，乙桶装满后，甲桶还剩10升；如果把乙桶酒精全部倒进甲桶，甲桶还能再装20升。已知甲桶的容量是乙桶的3倍。王叔叔一共买回多少升酒精？
28.有一批酒精，放在甲乙两个桶里，两个桶都未装满。如果把甲桶的酒精放入乙桶乙桶还能再盛10升；如果把乙桶的酒精放入甲桶，乙桶里还剩20升。已知乙桶的容量是甲桶的2.5倍。这批酒精一共有多少升？
29.有甲乙两个仓库，甲仓库存储的大米等于乙仓库的4倍。如果从甲仓运600袋到乙仓，则乙仓的大米等于甲仓的4倍。甲乙两仓原来各有大米多少袋？
30.某车间的工人生产一批零件，如果没人生产7个，还剩12个，如果每人生产8个，最后一人只生产4个。这个车间有工人多少人？这批零件有多少个？
31.学校体育室里的足球只数是排球的3倍。体育活动课上，每班借6只足球，5只排球，排球借完时，还有足球72只。体育室里原有足球和排球各多少只？
32.一枝钢笔的价钱是一枝圆珠笔的4倍，李老师买了一枝钢笔和5枝圆珠笔，一共用了12.6元。钢笔和圆珠笔的单价
33.小红比妈妈少80元，妈妈的钱是小红的3倍，她俩各多少钱？
34.爸爸的年龄是小明的3.7倍，小明比爸爸小27岁。爸爸和小明各多少岁？
35.小明买5本日记本比买1本故事书多用5.8元，已知一本故事书的价钱正好是一本日记本价钱的3倍。一本日记本的价钱是多少元？
36.长方形的周长是19.4米。长比宽的2倍少0.8米，这个长方形的长、宽各是多少米？
37.两地相距660千米，甲车每小时行32千米，乙车每小时行34千米，两车分别从两地同时出发相向而行，经过几小时相遇？
38.小东、小英同时从某地相背而行，小东每分钟走50米，小英每分钟走45米，经过多少分钟两人相距285米？
39.两列火车同时从甲、乙两城相对开出，慢车每小时行60千米，快车每小时行80千米，两城相距770千米，两车开出几小时后还相距210千米？
40.甲、乙两地相距480千米，客车、货车分别从甲、乙两地同时出发相向而行，客车每小时行70千米，货车每小时行50千米，相遇时，两车各行了多少千米？
41.一辆轿车和一辆摩托车分别从甲、乙两地相向而行，两地相距500千米，摩托车上午8点出发，每小时行40千米，轿车上午10点出发，每小时行60千米，问几点两车可以相遇？
42.一列快车和一列慢车同时分别从相距630千米的两地相对开出，4.5小时相遇，快车每小时行78千米，慢车每小时行多少千米？
43.甲乙两辆汽车同时从同一地点向相反的方向行驶，4小时后两车相距300千米，已知甲车每小时行40千米，乙车每小时行多少千米？
44.两地相距480千米，甲乙两列火车同时从某地相对开出。经过4小时相遇。已知甲火车每小时比乙火车慢8千米，求甲乙两列火车的速度各是多少千米？
45.学校买了18个篮球和20个足球，共付了490元，每个篮球14元，每个足球多少元？
46.师徒两人在15天中共完成465个零件。师傅每天制造18个，师傅每天完成的件数比徒弟多多少个？
47.两地相距400米，两人从两地同时出发向相反的方向而行，5分钟后两人相距960米，甲每分钟走50米，乙每分钟走多少米？
48.甲、乙两车同时从两地相向开出，甲车每小时行50千米，经过3小时已驶过中点30千米，此时甲车与乙车还相距6千米，求乙车每小时行多少千米？
49.甲、乙两个工程队共同开凿一具隧道。15天共开凿了2070米，甲队每天开凿65米，乙队每天开凿多少米？
50.甲、乙两个工程队共同开凿一个隧道。开凿了15天，甲队比乙队少开凿了120米，甲队每天开凿65米，乙队每天开凿多少米？
51.甲、乙两个工程队共同开凿一个隧道。甲队每天开凿65米，乙队每天开凿73米，铺了多少天后，甲队比乙队少铺120米？
52.粮站有大米64吨，要求一次运往某地，大卡车每辆装5吨，小卡车每辆装3吨，现有大卡车8辆，还需要小卡车几辆？
53.甲、乙两地相距420千米，一辆汽车从甲地开往乙地，每小时行60千米，行了240千米后遇到从乙地开来的另一辆汽车。如果从乙地开往甲地的汽车每小时行40千米，算一算，这两辆汽车是不是同时开出的？
54.甲乙两队合修一条63.2千米的路，两队共同修7天后，剩下的由乙按原来每天3.4千米的速度完成，又修了5天，甲队每天修多少千米？
55.华村现有106户装了电话，比原来装电话户数的13倍多2户，原来有多少户装了电话？
56.用长120厘米的铁丝围成一个长方形，长是宽的1.5倍，求它的宽是多少厘米？
57.展览馆门前的圆形水池周长是78.5米，它的直径是多少米？半径是多少米？
58.一台压路机前轮半径是0.4米，如果前轮每分钟转动6周，十分钟可以从路的一端转到另一端，这条路约长多少米？
59.用一条长20米的绳子围绕一棵树干绕了6圈，还余下1.16米，这可树干上的直径大约是多少米？
60.一条甬路长47.1米，小明在用路上滚铁环，铁环直径为30厘米，从用路的一端滚到另一端，铁环要转多少圈？
61.公园里自动旋转喷灌装置半径是10米，它的最大喷灌面积是多少平方米？
62.一块圆形草坪周长是50.24米，这块草坪占地多少平方米？
63.一个圆形养鱼池周长是100.48米，中间有一个圆形小岛，半径是6米，这个养鱼池的水域面积是多少平方米？
64.降落伞以每秒10米的速度从18000米高空下落，与此同时有一热汽球从地面升起，20分钟后伞球在空中相遇，热汽球每秒上升多少米？
65.甲、乙两个进水管往一个可装8吨水的池里注水，甲管每分钟注水400千克，要想在8分钟注满水池，乙管每分钟注水多少千克？
66.两城相距600千米，客货两车同时从两地相向而行，客车每小时行70千米，货车每小时行80千米，几小时两车相遇？
67.两地相距249千米，一列火车从甲地开往乙地，每小时行55。5千米，行了多少小时还离乙地有27千米？
68.买5个本子和3支铅笔一共用去10.4元，已知铅笔每支0.9元，每本子多少元？
69.服装厂要做984套衣服，已经做了120套，剩下的要在12天内完成平均每天做多少套？
70.某生产小组9个工人要生产1926个零件，每人每小时可生产20个，工作5.5小时后，要求剩下的任务必须在4小时内完成，每人每小时必须生产多少？
71.电机厂计划生产1980台电动机，已经生产了4天，每天生产45台，由于改进了技术，以后每天比原来增产15台，实际完成任务需几天？
72.学校买来乒乓球和蓝球一共135个，买来的乒乓球是蓝球的8倍，两种球各多少个？
73.有一个上下两层的书架一共放了240书，上层放的书是下层的2倍，两层书架各放书多少本？
74.图书馆买来文艺科技书共235本，文艺书的本数比科技书的2倍多25本，两种书各买了多少本？
75.甲、乙、丙三人为灾区捐款共270元，甲捐的是乙捐的3倍，乙是丙的两倍，三人各捐多少元？
76.A、B两个码头相距379.4千米，甲船比乙船每小时快3.6千米，两船同时在这两个码头相向而行，出发后经过三小时两船还相距48.2千米，求两船的速度各是多少？
77.90681100
78.一篮苹果比一篮梨子重30千克，苹果的千克数是梨子的2.5倍，求苹果和梨子各多少千克？
79.两块正方形的地，第一块地的边长比第二块地的边长的2倍多2米，而它们的周长相差56厘米，两块地边长是多少？
80.小亮购买每支0.5元和每支1.2元的笔共20支，付20元找回404元，两种笔各买了多少支？
81.甲、乙两数之差为100，甲数比乙数的3倍还多4，求甲、乙两数？
82.两个水池共贮水60吨，甲池用去6吨，乙池又注入8吨水后，乙池的水比甲池的水少4吨，原来两池各贮水多少吨？
83.师徒两人共同加工一批零件，徒弟每天做30个，师傅因有事只做了6天，比徒弟少做了3天还比徒弟多做12个零件，师傅每天做几个？
84.食堂买的白菜比萝卜的3倍少20千克，萝卜比白菜少70千克，白菜、萝卜食堂各买了多少千克？
85.甲厂有钢材148吨，乙厂有112吨，如果甲厂每天用18吨，乙厂每天用12吨，多少天后两厂剩下的钢材相等？
86.一个两层的书架，上层放的书是下层的3倍，如果把上层的书放90本到下层，则两层的书相等，原来上下层各有书多少本？
87.甲车间有54人，乙车间有48人，在式作时，为了使两车间人数相等，甲车间应调多少人去乙车间？
88.超市存有大米的袋数是面粉的3倍，大米买掉180袋，面粉买掉50袋后，大米、面粉剩下的袋数相等，大米、面粉原各多少袋？
89.某校有苦于人住校。若每一间宿舍住6人，则多出34人；若每一间宿舍住7人，则多出4间宿舍。问有多少人住校？有几间宿舍？
90.甲仓所存的面粉是乙仓的3倍，如果从甲仓运走900千克，从乙仓运出80千克，则两仓所存的面粉相等，两仓原有面粉各多少千克？
91.有箱桔子，甲箱的重量是乙箱的1.8倍，如果从甲箱中取出1.2千克放篱乙箱，那么两箱的重量相等了，原来甲乙两箱各多少千克？
92.一个通讯员骑自行车要在规定的时间内把信件送到某地，他每小时15千米查以早到24分钟，每小时骑12千米要迟到15分钟，规定时间是多少？他去某地的路程有多远？
94.16.608.808014.00
95.修一条水渠计划需70人挖土，50人运土，而实际上挖土人数是运土人数的3倍，问从运土的人中调多少人去挖土？
96.电力公司现有职工1240人，比五年前的6倍不多40人，五年前电力公司有多少人？
97.有两堆煤，甲堆有32吨，乙堆有57吨，以后甲堆每天增加4吨，乙堆每天增加9吨，几天后乙堆的煤是甲堆的2倍？
98.甲乙两厂用同样的原料生产同样的产品，甲厂有720吨，乙厂有540吨，两厂同时生产并每天都用去20吨，多少天后甲厂所剩的原料是乙厂所剩原料的2倍？
99.甲乙两个工程队，甲队原有240人，乙队原有168人，因工作需要将甲队的人数调整到乙队的2倍，应由乙队抽调多少人到甲队？
100.兄妹两人各有钱若干，如果兄给妹20元两人钱数就相等，如果妹给兄25元，则兄的钱是妹的2倍，问兄妹两人各有多少钱？
101.兄妹有相等的存款，如果兄给妹160
元，那么妹的存款是兄的3倍，求兄妹两人存款之和？
102.弟弟今年5岁，哥哥今年18岁，几年后哥哥的年龄是弟弟的2倍？
103.父亲今年45岁，儿子今年15岁，几年前父亲的年龄是儿子的11倍？
104.甲原有的钱是乙的4倍，若甲给乙40元则甲的钱是乙的3倍，甲、乙现有钱各多少？
105.地球绕太阳一周要用365天，比水星绕太阳一周要用的时间的4倍多13天，水星绕太阳一周要用多少天？
106.某厂计划今年生产机器480台，比去年的2倍少30台，去年生产机器多少台？
107.世界上最小的鸟是蜂鸟，一只蜂鸟重2.1克，一只麻雀的体重比蜂鸟的50倍多1克，一只麻雀衙多少克？
108.我国发射的第一颗人造地球卫星重173千克，比美国发射的第一颗人造地球卫星的2倍还重0.38千克。美国发射的第一颗人造地球卫星重多少千克？
109.3004532
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）。家长签字：（&&&
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《现代班组管理百例》简介：　　碎片化的微学习已经成为班组学习的主要方式，班组管理百例正是契合了这样的学习需求。班组管理百例都是来自班组管理的一线，是“身边的人，身边的事”，贴近班组长实际管理工作，短小精悍，易于阅读。《现代班组管理百例》包括了工作管理、人员管理、员工培养、安全管理等模块，涵盖了班组长在工作中可能遇到的各种老大难问题。
暂缺《现代班组管理百例》作者简介
《现代班组管理百例》目录：第一章 班组建设一、全员参与共建和谐班组二、积分加油站：让班组在友好竞赛中提升三、新上任班长小王的成长经历四、建立班组“服务之星”评选制度形成“以强拉弱”机制五、将关爱进行到底六、轻松工作，快乐生活七、“集优卡”八、竭尽全力无怨无悔九、努力学习共创和谐第二章 员工激励十、用爱心和信任共度危机十一、新上任班长的烦恼十二、奖罚分明暖人心十三、奖勤罚懒十四、我信!我能!十五、如何让员工成为班组的动力桨十六、批评还是沟通第三章 人员管理十七、100元的特别嘉奖十八、后进职工的积极性如何调动十九、即时激励二十、提高员工的工作积极性二十一、80后、90后员工如何管理二十二、迟到的坏毛病怎么改二十三、班组长是怎样让他积极起来的二十四、对于班组中的“老油条”如何管二十五、每个人都有多面性二十六、员工加班有情绪二十七、让新职工安心岗位二十八、变问题员工为优秀员工二十九、不良习惯是怎么被改变的三十、临时工的难题怎么解三十一、成功是发挥每个人的长处三十二、如何面对休眠火山型的员工第四章 班组沟通三十三、让员工换位思考三十四、怎样让自卑的员工积极起来三十五、奖金分配带来的问题三十六、沟通要考虑心理感受三十七、沟通使我获得团队的力量三十八、管理要以人为本第五章 激励三十九、绩效面谈的神效四十、沟通要到位四十一、缺乏沟通，引起纷争四十二、沉默的员工四十三、辛苦的新上任班长小黄第六章 问题管理四十四、公平可以改变落后四十五、“问题职工”怎么办四十六、员工的小毛病怎么改正四十七、老员工问题是管理难题吗四十八、思想教育也要讲技巧四十九、自我情绪控制五十、压力有时适得其反五十一、要完善请假制度五十二、公平处理班组矛盾五十三、因情废法要不得五十四、留人还是放人五十五、习惯性违章 如何避免五十六、嚣张的员工五十七、为谁工作第七章 员工培训五十八、职工培训为了谁五十九、“五个一对一”辅导计划六十、教育因人而异六十一、人员巧搭配，技术共提高六十二、轮岗操作带来的益处六十三、班长如何当好教练六十四、机会和信心都重要六十五、班组考试成绩不理想的原因六十六、实践是最好的老师六十七、培训工作是大家的六十八、一岗多能缓解缺人隐忧六十九、一次消极的季考七十、让预案更完善七十一、培养新人要注重从日常行为开始七十二、快速转岗七十三、以考代培，提升技能水平七十四、要培训，先要了解七十五、岗少人多，如何培训新员工七十六、开心农场一学习娱乐化第八章 习惯培养七十七、问题为什么会再次发生七十八、习惯性违章如何规避七十九、安全管理怎么抓八十、挂牌作业对安全事故防范的作用八十一、班组长要有执行意识八十二、班组卫生间日常管理八十三、安全无小事八十四、卫生区清扫八十五、清扫机床卫生八十六、如何解决设备划分时产生的矛盾八十七、公约与制度八十八、麻痹大意造成事故伤害某班组八十九、巡检员离岗怎么处理九十、设备分工与消缺九十一、整顿值班纪律，杜绝空岗现象九十二、一颗螺丝与防范意识九十三、机器上的尘土为什么没人管九十四、安全意识淡漠不得九十五、如何解决问题九十六、他交班的时间为何总比别人早九十七、工具哪去了九十八、未落实到位的安排九十九、被遗忘的计划一○○、快走丝线切割水箱的更换
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第七章 动 态 规 划第一讲 概念及最短路问题动态规划（Dynamic Programming）是 20 世纪 50 年代由美国数学家贝尔曼（Richard Bellman）及他的学生们一同建立和发展起来的一种解多阶段决策问题的优化方法。 所谓多阶段决策问题是指一类活动过程。 它可按时间或空间把问题分为若干个相互联系 的阶段。在每一阶段都要作出选择（决策） ，这个决策不仅仅决定这一阶段的效益，而且决 定下一阶段的初始状态，从而决定整个过程的走向（从而称为动态规划） 。每当一阶段的决 策一一确定之后，就得到一个决策序列，称为策略。所谓多阶段决策问题就是求一个策略， 使各个阶段的效益总和达到最优。 先声明： 下面研究的解决多阶段的决策问题的最优化的称之为动态规划的数学方法， 仅 仅是一种解决问题的思路， 而不是一种算法。 这一点与线性规划不同。 线性规划是一种算法。 下面从一典型的例子去说明动态规划的基本思想与原理： 某地要从 A 向 F 地铺设一条输油管道，各点间连线上的数字表示距离。问应选择什么 路线，可是总距离最短？ C12 3 4 8 5D15 5 3 3B14 6C2 D2E16 2 14A58 7 B2 7C34 8F3E23D34C4第一阶段第二阶段第三阶段 图 7-1第四阶段第五阶段先引入几个符号与概念： （1） 阶段与阶段变量：先把问题从中间站 B，C，D，E 用空间位置分成 5 个阶段， 阶段用阶段变量 k 来描述，k=1,表示第一阶段，k=2 表示第二阶段，? （2） 状态与状态变量：每一阶段的左端点（初始条件）集合称为本阶段的状态（即 开始的客观条件，或称阶段初态） 。如第三阶段有四个状态 S3 =｛C1 ,C2，C3，C4｝, 第四阶 段有三个状态 S4=｛D1, D2 , D3｝, ? 描述过程状态的变量称为状态变量：用小写 s1 ,s2 ,s3 ?表示第一，第二，第三?阶段的 状态变量。当处在状态 C2 时，我们可记 s3= C2 正像离散型 R.V“X=2”代表一事件一样。1(3) 决策与决策变量：如当处于 C2 状态时，下一步怎么走？如何选择路线？即如何决 策。 是走向 D1， 还是走向 D2？当过程处于某一阶段的某一状态时， 可以作出不同的决策 （或 选择） ，从而确定下一阶段的状态，这种决定（或选择）叫决策。如选择 D2，记 u3（C2）= D2 说，当处于 C2 状态时，下一步的决策为 D2。 其中 u k ( s k ) 表示第 k 阶段当状态处于 sk 时的决策变量。 一般地，用 Dk (sk ) 表示第 k 阶段从状态 sk 出发的允许决策集合。如D3 (C2 ) =｛D1 ，D2｝显然， u k ( s k ) ∈ Dk (sk ) 。 （4）策略与最优策略：每一阶段产生一个决策，5 个阶段的决策就构成一个决策序列：u1 (s1 ) ， u 2 ( s 2 ) ， u3 (s3 ) ， u 4 ( s 4 ) ， u5 (s5 )称为一策略。所谓策略是指按一定的顺序排列的决策组成的集合，也称决策序列。 这里的最短路径成为最优策略。 动态规划就是在允许策略集中选最优策略。 （5）状态转移方程：是描述由第 k 阶段到第 k+1 阶段状态转移规律的关系式。s k ?1 = Tk (sk , uk )上例中状态转移方程为：s k ?1 = u k ( s k )（6）指标函数与最优指标函数：用于衡量所选定策略优劣的数量指标称为指标函数。 相当于动态的目标函数， 最后一个阶段的目标函数就是总的目标函数。 它分阶段指标函数和 过程指标函数。阶段指标函数是指第 k 阶段，从状态 sk 出发，采用决策 u k 时的效益，用d k (sk , u k ) 表示。最优指标函数是指从第 k 阶段状态 sk 采用最优策略到过程终止时的最佳效益值，用 f k ( s k ) 表示。 例如：d（C2, D1）是指由 C2 出发，下一阶段的决策是 D1 的两点间的距离。即 d（C2, D1）=4。 f 2 ( B1 ) 表示从 B1 到 F 的最短距离。 整个问题即为 f 1 ( A) =？ 1． 逆序递推法： 倒退着从 F 向 A 走，每倒退一步，思想上问自己： “从现在出发，退向何处？到 F 的距 离最短？”我们分 5 步来解决问题： （1） k=5 时 下求 f 5 ( s5 ) =？此时状态集 S5=｛E1，E2｝ ，故分情况讨论，先说 f 5 ( E1 ) =？若最佳路径2从 A 出发通过 E1 的话，由 E1 到终点 F 的最短距离为f 5 ( E1 ) =5? ? 同理， f 5 ( E2 ) =3。 （只有唯一的选择）故最优决策为： u5 ( E1 ) =F， u5 (E2 ) =F（2） k=4 时下求 f 4 ( s 4 ) =？由于 S4=｛D1, D2 , D3｝ ，下分四种情况进行讨论：? u4 ( D1 ) = E1.?3 ? 4? ? d ( D , E ) ? f 5 ( E1 ) ? f 4 ( D1 ) =min ? 4 1 1 ? =7, ? = min ? 5 ? 3 d ( D , E ) ? f ( E ) ? ? 5 2 ? ? 4 1 2? d 4 ( D2 , E1 ) ? f 5 ( E1 ) ? ?6 ? 4? f 4 ( D2 ) =min ? ? = min ? ? =5, ?d 4 ( D 2 , E 2 ) ? f 5 ( E 2 ) ? ?2 ? 3? ? d 4 ( D3 , E1 ) ? f 5 ( E1 ) ? ?1 ? 4 ? f 4 (D3 ) =min ? ? = min ? ? =5, ?d 4 ( D3 , E 2 ) ? f 5 ( E 2 )? ?3 ? 3?(3) k=3 时 S3 =｛C1 ,C2，C3，C4｝,? u4 ( D2 ) = E2.? u4 (D3 ) = E1.? d 3 (C1 , D1 ) ? f 4 ( D1 ) ? ?5 ? 7? f 3 (C1 ) =min ? ? = min ? ? =12, 8 ? 5 ?d 3 (C1 , D2 ) ? f 4 ( D2 )? ? ?同理， f 3 (C 2 ) =10，? u3 (C2 ) = D2. ? u3 (C3 ) = D2. ? u3 (C4 ) = D3.? u3 (C1 ) = D1.f 3 (C3 ) =8， f 3 (C 4 ) =9，（4）k=2 时S2=｛B1, B2｝? d 2 ( B1 , C1 ) ? f 3 (C1 ) ? ? ? f 2 ( B1 ) =min ?d 2 ( B1 , C 2 ) ? f 3 (C 2 )? = min ? d ( B , C ) ? f (C ) ? 3 3 ? ? 2 1 3同理， f 2 ( B2 ) =15， （5）k=1 时，? u2 ( B2 ) = C3.?2 ? 12? ? ? ?3 ? 10? =13, ?6?8? ? ?? u2 ( B1 ) = C2.S1=｛A｝? u1 ( A) = B1.? d ( A, B1 ) ? f 2 ( B1 ) ? ?4 ? 13? f1 ( A) =min ? 1 ? =17, ? = min ? ?5 ? 15? ?d1 ( A, B2 ) ? f 2 ( B2 )?再按计算顺序的反推可得最优策略：? ? ( B1 ) = C2. u1 ( A) = B1. u 2? u3 (C2 ) = D2.? u4 ( D2 ) = E2.? u5 (E2 ) = F.从而得最优路径： A―B1 ―C2 ― D2―E2 ―F 最短距离为f1 ( A) =17。3由上面的过程可以看出，在求解的各个阶段利用了第 k 段和第 k+1 段的如下关系：? f k ( s k ) ? min?d k ( s k , u k ) ? f k ?1 ( s k ?1 )} k ? 5,4,3,2,1 (7.3a) uk ? f ( s ) ? 0 (7.3b) ? 6 6这种递推关系称为动态规划的基本方程。 （7.3b）式称为边界条件。 2． 逆向标号法 每退到一站，看终点 F，找最短路径及最短路径的距离，标号。画路径。（12）C12 （13） 4 8 3 6 （8） 5 （10） 45 （7）D15 5 3 （5）3（4）B1（17）C2 D2E16 2 1 （3）4A 8（15）7C34 （5）F3E23B2 7（9） 8D34C4图 7-2 此时的（？）？=最优指标函数值 f. 得最优路径： A―B1 ―C2 ― D2―E2 ―F 总距离为 17. 3． 顺序递推法： 此法类似于逆序递推法。从起点 A 向终点 F 倒退。 （1）k=1 时， f 0 ( A) =0，此为初始条件。退向允许决策集 S1=｛B1, B2 ｝此时退向 B1 时看 起点 A，最短距离为 f1 ( B1 ) =4，此时路径（或最优决策）是唯一的： u1 ( B1 ) =A；记?? f 1 ( B2 ) ? 5 ? f 1 ( B1 ) ? 4 ，同理， ? ? ? ? ?u1 ( B2 ) ? A ?u1 ( B1 ) ? A（2）k=2 时，直接用递推式：? f 2 (C1 ) ? d ( B1 , C1 ) ? f1 ( B1 ) ? 2 ? 4 ? 6 ? ? u2 (C1 ) ? B1 ?? ? f 2 (C 2 ) ? ? ?u ? (C ) ? B 1 ? 2 2 ? d ( B1 , C 2 ) ? f1 ( B1 ) ? ?3 ? 4? min? ? ? min? ??7 ?8 ? 5? ?d ( B2 , C 2 ) ? f1 ( B2 )?4? ? f 2 (C3 ) ? ? ?u ? (C ) ? B 1 ? 2 3? d ( B1 , C3 ) ? f1 ( B1 ) ? ?6 ? 4? min? ? ? min? ? ? 10 ?7 ? 5? ?d ( B2 , C3 ) ? f1 ( B2 )?? f 2 (C 4 ) ? d ( B2 , C 4 ) ? f1 ( B2 ) ? 7 ? 5 ? 12 ? ? u2 (C 4 ) ? B2 ?（3）k=3 时。? ? d (C1 , D1 ) ? f 2 (C1 ) ? ?5 ? 6 ? min? ? f 3 ( D1 ) ? ? ? min? ? ? 11 ? ?4 ? 7? ?d (C 2 , D1 ) ? f 2 (C 2 )? ? ?u ? ( D ) ? C , u3 ( D1 ) ? C 2 1 ? 3 1类似的? f 3 ( D 2 ) ? 12 ， ? ? ?u 3 ( D 2 ) ? C 2同理，? f 3 ( D3 ) ? 14 ? ? ?u 3 ( D3 ) ? C 3 ? f 4 ( E 2 ) ? 14 ? ? ?u 4 ( E 2 ) ? D 2? f 4 ( E1 ) ? 14 ， ? ? ?u 4 ( E1 ) ? D1最后? f 5 ( F ) ? 17 ? ? ?u 5 ( F ) ? E 2逆推最优策略：A―B1 ―C2 ― D2―E2 ―F。 与前相同。 全部计算情况如图 7-3（6）C12 （4 ） 3 4 （7） 4 85 （11）D15 5 （12）3（14）B16C2（10）E16 2 1 （14）4 （17）A58（5 ）3D27C34F3B2 7（14）E23（12） 8D34C4 图 7-3 递推关系式：5? f k ( s k ?1 ) ? min?d k ( s k ?1 , u k ) ? f k ?1 ( s k )} k ? 1,2,3,4,5 (7.5a) uk ? (7.5b) ? f 0 ( s1 ) ? 0此与逆序法无本质的区别。一般来说，当初始状态给定时，用逆序解法，当终止状态给 定时，用顺序解法。若既给定了初始状态又给定了终止状态，则两种方法均可使用。如习题 7.2/P237，终点有三个，用逆序解法较好。 7.2/P237 一艘货轮在 A 港装货后驶往 F 港，中途须靠港加油、淡水三次，从 A 港到 F 港全部可能的航行路线及两港之间距离如图 7-7，F 港有三个码头 ， ， ，实秋最合理的停靠的 码头及航线，使总路程最短。C120 60 4050 30B150 30 60F1D120A45C240 25 30 40F2FB230D25030F2C3 图 7-7解：顺序解法 此法类似于逆序递推法。从起点 A 向终点 F 倒退。 （1）k=1 时， f 0 ( A) =0，此为初始条件。退向允许决策集 S1=｛B1, B2 ｝ ，此时退向 B1 时看? 起点 A，最短距离为 f1 ( B1 ) =50，此时路径（或最优决策）是唯一的： u1 ( B1 ) =A；记? f 1 ( B2 ) ? 45 ? f1 ( B1 ) ? 50 ，同理， ? ? ? ? ? u1 ( B 2 ) ? A ? u1 ( B1 ) ? A（2）k=2 时，直接用递推式：? f 2 (C1 ) ? d ( B1 , C1 ) ? f1 ( B1 ) ? 20 ? 50 ? 70 ? ? u2 (C1 ) ? B1 ?? ? f 2 (C 2 ) ? ? ?u ? (C ) ? B 1 ? 2 2 ? ? f 2 (C3 ) ? ? ?u ? (C ) ? B 2 ? 2 3（3）k=3 时。? d ( B1 , C 2 ) ? f1 ( B1 ) ? ?30 ? 50? min? ? ? min? ? ? 80 ?40 ? 45? ?d ( B2 , C 2 ) ? f1 ( B2 )? ? d ( B1 , C3 ) ? f1 ( B1 ) ? ?60 ? 50? min? ? ? min? ? ? 75 ?30 ? 45? ?d ( B2 , C3 ) ? f1 ( B2 )?6? ?d (C1 ? D1 ) ? f 2 (C1 )? ?50 ? 70? ? ? ? ? ? min? d (C 2 , D1 ) ? f 2 (C 2 ) ? ? min?40 ? 80? ? 100 ? f 3 ( D1 ) ? ? ? d (C , D ) ? f (C ) ? ?25 ? 75? 3 1 2 3 ? ? ? ? ? ? ? ?u 3 ( D1 ) ? C 3 ,类似的? f 3 ( D2 ) ? 110 。 ? ? ? u 3 ( D2 ) ? C 2（4）k=4 时? f 4 ( F1 ) ? d ( D1 , F1 ) ? f 3 ( D1 ) ? 30 ? 100 ? 130 ? ? u4 ( F1 ) ? D1 ?? ? f 4 ( F2 ) ? ? ?u ? ( F ) ? D 1 ? 2 2 ? d ( D1 , F2 ) ? f 3 ( D1 ) ? ?20 ? 100? min? ? ? min? ? ? 120 ?40 ? 110? ?d ( D2 , F2 ) ? f 3 ( D2 )?? f 4 ( F3 ) ? d ( D2 , F3 ) ? f 3 ( D2 ) ? 30 ? 110 ? 140 ? ? u4 ( F3 ) ? D2 ?由此看来，A 到 F 距离最短的是 120，故最优路线为 A― B2 ―C3 ― D1―F2 §7.2 资源分配问题（离散型） 例： 设有 6 万元资金用于 4 个工厂的扩建， 已知每个工厂的利润增长额同投资额的大小 有关，见下表。问应如何确定对这四个工厂的投资额，使总利润增长额最大？ 表内数据是利润额 g i ( x j ) 投资额 (j) 工厂(i) 1 2 3 4 0 100 200 300 400 500 6000 0 0 020 25 18 2842 45 39 4760 57 61 6575 65 78 7485 70 90 8090 73 95 85解： 把对四个工厂的投资依次看成 4 个阶段的决策过程， 确定对第 k 个工厂的投资额看 成第 k 个阶段的决策，k=1,2,3,4。图示如下：s1=600投资 x1(万元)工厂 1状态 s2 s2= s1-x1投资 x2(万元)工厂 2状态 s3 S3= s2-x2投资 x3(万元)工厂 3状态 s4 S4= s3-x3投资 x4(万元)S5工厂 4g1 ( x1 )g 2 ( x2 )g 3 ( x3 )g 4 ( x4 )7状态变量 sk ：可用于第 k, k+1,?n 个工厂的投资额。 决策变量 xk ：第 k 阶段对第 k 个工厂的投资额。 允许决策集： Dk =｛0，100，? sk ｝ 状态转移方程： s k ?1 = sk - xk k=1,2,3,4 其中 x1 =600。阶段指标函数 g i ( x j ) ：第 i 阶段投资 x j 元时所产生的利润。 （见上表） 最优指标函数 f k ( s k ) ：第 k 阶段状态为 sk 且对第 k 个工厂投资为 xk 时，第 k 个工厂以及以 后的总利润。 基本递推方程：? f k (sk ) ? ? ? f 5 ( s5 ) ? 00 ? xk ? s kmax ?g k ( x k ) ? f k ( s k ?1 )? k ? 4,3,2,1初始条件已知： s1 =600，逆序法求解。 （1） k=4 时， 考虑：若到最后一个，第 4 个工厂投资时，还有资金 s4 ，若投资于第 4 个工厂的资金为 x4 ， 则最大利润为f 4 ( s 4 ) ? max {g 4 ( x 4 ) ? f 5 ( s5 )}0 ? x4 ? s 4（注意到此时 f 5 ( s5 ) =0） （1）= max {g 4 ( x 4 )}0 ? x4 ? s 4自然问：现在还有多少钱？即 s4 =？ s4 =0，100，200，300，400，500，600 都有可能。下 分情况讨论：1 ○s4 =0 时， x4 只能=0。从表上看（4，1）位置是第 4 个工厂 x4 =0 时的利润其值为g 4 ( x 4 ) =0，由 x4 =0 的唯一性知 f 4 ( s 4 ) =0。2 s =100，此时 x =0 或 100。产生的利润 g ( x ) =0 或 28。 ○ 4 4 4 40 ? x4 ? s 4max {g 4 ( x 4 )} =｛0，28｝=28，? 对应的 x4 =100，即此种情况的最优决策 x4 =100。其他种情况类似讨论，我们把所有的结果汇总成一个表 1。 （2）k=3 时 到第三个工厂投资时，可利用的资金还有 s 3 ，若向第三个工厂投资 x3 （万元） ，则自此即以后最大利润为：8f 3 ( s3 ) ? max {g 3 ( x3 ) ? f 4 ( s 4 )} = max {g 3 ( x3 ) ? f 4 ( s3 ? x3 )}0? x3 ? s3 0? x3 ? s3表1x4g 4 ( x4 )f 4 (s4 )s40 100 200 300 400 500 600 0 100 200 300 400 500 600 0 0 0 0 0 0 0 0 28 47 65 74 80 85? x428 28 47 28 47 28 47 28 47 28 4765 65 74 65 74 65 7480 80850 100 200 300 400 500 600同样问： s 3 =？，即现在还有多少钱？分情况讨论汇总成下表：x30 0 100 200 300 400 500 600 0+0 0+28 0+47 0+65 0+74 0+80 0+85 100 200g 3 ( x3 ) + f 4 (s3 ? x3 )f 3 ( s3 )s3300 400 500 600 0 28 47 67 89 108 126? x318+0 18+28 39+0 18+47 39+28 18+65 39+47 18+74 39+65 18+80 39+7461+0 61+28 78+0 61+74 78+28 90+0 61+65 78+47 90+28 95+00 0 0 200 300 300 300我们举一个例子来说明。若 s 3 =300， x3 得所有可能取值为{0，100，200，300}，此为第三 阶段允许决策集。在 D3 ={0，100，200，300}中选取最优的 x3 ，使 g 3 ( x3 ) ? f 4 (300? x3 ) 最大，即f 3 (300 ) ? max {g 3 ( x3 ) ? f 4 (300 ? x3 )}0? x3 ?300=max{ g 3 (0) ? f 4 (300? 0) , g 3 (100) ? f 4 (300 ? 100) , g 3 (200) ? f 4 (300 ? 200) ,g 3 (300) ? f 4 (300 ? 300) ｝=max{0+65,18+47,39+28,61+0}=67,? 此 67 对应的是 x3 =200 时所得，即 x3 =200；9（3）k=2 时f 2 ( s 2 ) ? max {g 2 ( x 2 ) ? f 3 ( s 2 ? x 2 )}0? x2 ? s 2此时， s2 的所有可能取值｛0，100，200，300，400，500，600｝ ， s2 每个定一个值， x2 在 ≤ s2 的 范 围 内 变 动 ， 由 f 2 ( s 2 ) ? max {g 2 ( x 2 ) ? f 3 ( s 2 ? x 2 )} ， 求 出 f 2 (0) = ？0? x2 ? s 2f 2 (100) =？? f 2 (600) =？下面举一个例子来说明。f 2 (600 ) ? max {g 2 ( x 2 ) ? f 3 (600 ? x 2 )}0? x2 ? 600=max｛ g 2 (0) ? f 3 (600? 0) , g 2 (100) ? f 3 (600 ? 100) , g 2 (200) ? f 3 (600 ? 200) ,g 2 (300) ? f 3 (600 ? 300) ,g 2 (400) ? f 3 (600 ? 400) ,g 2 (500) ? f 3 (600 ? 500) ,g 2 (600) ? f 3 (600 ? 600) }=｛0+126，25+108，45+89，57+67，65+47，70+28，73+0｝=max｛126，133，134，124，112，98，73｝=134。? 对应最大值的 x2 =200，所以 x2 =200。关于 s2 的其他取值情况及相应的最有决策列于下表x20 0 100 200 300 400 500 600 0+0 0+28 0+47 0+67 0+89 0+108 0+126 100g 2 ( x 2 ) + f 3 ( s 2 ? x2 )f 2 (s2 )s2200 300 400 500 600 0 28 53 73 92 114 134? x225+0 25+28 25+47 25+67 25+89 25+10845+0 45+28 45+47 45+67 45+8957+0 57+28 65+0 57+47 65+28 57+67 65+4770+0 70+2873+00 0 100 200 100 或 200 100 200（5）k=1 时，此时 s1 =600。f 1 ( s1 ) ? f1 (600 ) ? max {g1 ( x1 ) ? f 2 ( s1 ? x1 )} = max {g1 ( x1 ) ? f 2 (600 ? x1 )}0? x1 ? s1 0? x1 ? 600=max｛ g1 (0) ? f 2 (600 ? 0) , g1 (100) ? f 2 (600 ? 100) , g1 (200) ? f 2 (600 ? 200) ,g1 (300) ? f 2 (600 ? 300) , g1 (400) ? f 2 (600 ? 400) , g1 (600) ? f 2 (600 ? 600) ｝=max｛0+134,20+114,42+92,60+73,75+53,85+28，90+0｝ =max｛134,134,134,133,128,113,90｝=134.10x1 s1600 0 100g1 ( x1 ) ? f 2 (s1 ? x1 ) f1 (s1 )200 300 400 500 600 134 0+134 20+114 42+92 60+73 75+53 85+28 90+0? x10 或 100 或 200? 此时对应最大值 134 的有三个值： x1 =0，100，200。所对应的最优策略分别为： ? ? ? =0，由 s2 = s1 - x1 =600-0=600 对应的 x2 =200， x1? ? 再由 s 3 = s2 - x2 =600-200=400 对应的 x3 =300 ? ? 再由 s4 = s 3 - x3 =400-300=100 对应的 x4 =100从而得一最优策略? ? ? ? =0， x2 =200， x3 =300， x4 =100 x1同理还有另外三个最优策略? ? ? ? =200， x2 =100， x3 =200， x4 =100 x1 ? ? ? ? =100， x2 =100， x3 =300， x4 =100 x1 ? ? ? ? =200， x2 =200， x3 =0， x4 =200 x1总的最大利润 f1 ( s1 ) = f1 (600) =134（万元） 第三讲：资源分配问题（连续型） 设备负荷分配问题。 例（何坚勇/P-256）某公司有 1000 辆运输卡车，在超负荷运输（即每天满载行驶 500km 以 上）情况下，年利润为 25 万元/辆，这时卡车的年损坏率为 0.3；在低负荷下运输（即每天 行驶 300km 以下）情况下，年利润为 16 万元/辆。年损坏率为 0.1。现要制定一个 5 年计划， 问每年年初应如何分配完好车辆， 在两种不同的负荷下运输的卡车数量， 使在 5 年内的总利 润最大？ 解：这是一个以时间为特征的多阶段决策问题。投 x1 辆超负荷车 s1=1000 状态 s 投 x2 辆超负荷 车 投 x3 辆超负车 状态 s3 S3= s2-x2第1年2g1 ( x1 )状态 s4 s4=0.9 s3-0.2x3s2=0.9 s1-0.2x1 投 x4 辆超负车第2年第3年g 2 ( x2 )S5 s5=0.9s4-0.2x4g 3 ( x3 )s6投 x5 辆超负车第四年第五年g 4 ( x4 )g 5 ( x5 )11阶段：将 5 年运输计划看成 5 个阶段的决策问题。k=1,2,3,4,5 状态变量 sk ：第 k 阶段初完好卡车数量。 s1 =1000， s6 =500。 决策变量 xk ：表示第 k 阶段用于分配给超负荷运输的卡车数量。 显然，分配给低负荷的卡车数为 sk - xk 。 注：这里视 sk ， xk 为连续变量。若 sk =0.6 表示还有一辆卡车在第 k 年度有 60G的时间处 于完好状态。 xk =0.7 表示有一辆卡车在第 k 年度有 70G的时间超负荷运输等等。 状态转移方程： （ sk - xk ） s k ?1 =（1-0.3） xk +（1-0.1） =0.9 sk -0.2 xk k=1,2,3,4,5阶段指标函数 g k ( x k ) ：表示第 k 年度利润。g k ( xk ) =25 xk +16（ sk - xk ）=16 sk +9 xk k=1,2,3,4,5最优指标函数 f k ( s k ) ：第 k 年度初完好车辆数为 sk 时，采用最优策略到第 5 年末所产生 的最大利润。 递推式为：? f k (sk ) ? ? ? f 6 (s6 ) ? 0下用逆序递推法求解： 1） k=5 时0 ? xk ? s kmax ?g k ( x k ) ? f k ?1 ( s k ?1 )? k ? 5,4,3,2,1h5（注意到此时 f 6 ( s6 ) =0）f 5 ( s5 ) ? max {g 5 ( x5 ) ? f 6 ( s 6 )}0? x5 ? s5= max {g 5 ( x 5 )}0 ? x5 ? s 5= max {16 s 5 ? 9 x5 }0 ? x5 ? s 516 s5=16 s5 +9 s5 =25 s5 2) k=4 时? = s5 x5Oskx5f 4 ( s 4 ) ? max {g 4 ( x 4 ) ? f 5 ( s5 )}0 ? x4 ? s 4= max {16 s 4 ? 9 x 4 ? 25 s5 }0 ? x4 ? s 412= max {16 s 4 ? 9 x 4 ? 25(0.9s 4 ? 0.2 x 4 )}0? x4 ? s 4= max {38.5s 4 ? 4 x 4 }0 ? x4 ? s 4? =38.5 s4 +4 s4 =42.4 s4 。此时， x4 = s43） k=3 时f 3 ( s3 ) ? max {g 3 ( x3 ) ? f 4 ( s 4 )}0? x3 ? s3= max {16 s 3 ? 9 x3 ? 42 .5s 4 }0 ? x3 ? s 3= max {16 s3 ? 9 x3 ? 42.5(0.9s3 ? 0.2 x3 )}0? x3 ? s3= max {54 .25 s 3 ? 0.5 x3 }0 ? x3 ? s 3=54.25 s 3 +0.5 s 3 =54.75 s 3 4） k=2 时? 此时， x3 = s3f 2 ( s 2 ) ? max {g 2 ( x 2 ) ? f 3 ( s 2 ? x 2 )}0? x2 ? s 2= max {16 s 2 ? 9 x 2 ? 54.75(0.9s 2 ? 0.2 x 2 )}0 ? x2 ? s 2= max {65.275 s 2 ? 1.95 x 2 }0? x2 ? s 2=65.275 s2 5） k=1 时? 此时 x2 =0f1 ( s1 ) ? f 1 (1000 ) ? max {g1 ( x1 ) ? f 2 ( s 2 )}0? x1 ? s1= max {16 s1 ? 9 x1 ? 65.275 s 2 }0? x1 ?1000= max {16 s1 ? 9 x1 ? 65.275 (0.9s1 ? 0.2 x1 )}0? x1 ?1000= max {74.7475 s1 ? 4.055 x1 }0? x1 ?1000=74.. =74747.5（万元） 下用倒推法求出最优策略。? =0， x1 ? =0.9××0=900 辆 s2 =0.9 s1 -0.2 x1 ? 此时 x1 =013? =0 x2? = s 3 =810 x3? =0.9×900-0.2×0=810 辆 s 3 =0.9 s2 -0.2 x2? =0.9×810-0.2×810=567 辆 s4 =0.9 s 3 -0.2 x3? = s4 =567 x4? = s5 =396.9 x5? =0.7×567=396.9 辆 s5 =0.9 s4 -0.2 x4? =0.7×396.9=277.83 辆 s6 =0.9 s5 -0.2 x5答：第一年初：1000 辆车全部用于低负荷运输。 第二年初：还有 900 辆完好的车，也全部用于低负荷运输。 第三年初：还有 810 辆完好的车，全部用于超负荷运输。 第四年初：还有 567 辆完好的车，全部用于超负荷运输。 第五年初：还有 396.9 辆完好的车，全部用于超负荷运输。 到第五年末，即第六年初，还剩余 277.83 辆完好的车。) =74747.5 万元 所创最大利润 f1 ( s1 ) = f1 (1000某种机器可在高低两种不同的负荷下进行生产。 设机器在高负荷下生产的产量为 h=8u， 其中 u 为投入生产的机器数量，年终机器的完好率为 a=0.7；在低负荷下生产的产量函数为 l =5v,其中 v 为投入生产的机器数量， 年终机器的完好率为 b=0.9。 假定开始生产时完好的机 器数量为 s1 =1000 台，试问企业每年年初应如何安排机器在高、低两种负荷下的生产，使在 第 5 年年末完好的机器数量 s6 =500 台，并且 5 年内生产的产品总产量最高。投 x1 辆超负荷车 s1=1000 状态 s 投 x2 辆超负荷 状态 s3 S3= s2-x2 投 x3 辆超负车第1年车 s2=0.9 s1-0.2x1 第 2 年2第3年g1 ( x1 )状态 s4 s4=0.9 s3-0.2x3投 x4 辆超负车g 2 ( x2 )S5 s5=0.9s4-0.2x4投 x5 辆超负车第四年第五年g 3 ( x3 ) s6 =500g 4 ( x4 )g 5 ( x5 )解：阶段指标函数 g k ( x k ) ：第 k 年的产量g k ( xk ) =8 xk +5（ sk - xk ）=5 sk +3 xk? f k (sk ) ? ? ? f 6 (s6 ) ? 0下用逆序递推法求解： 1） k=5 时0 ? xk ? s kk=1,2,3,4,5max ?g k ( x k ) ? f k ?1 ( s k ?1 )? k ? 5,4,3,2,1s6 =0.9 s5 -0.2 x5 =50014可得? =4.5 s5 -2500 x5f 5 ( s5 ) ? max {g 5 ( x5 ) ? f 6 ( s 6 )} ?0? x5 ? s5x5 ? 4.5 s5 ? 2500max{3x5 ? 5s 5 }=3（4.5 s5 -2500）+5 s5 =18.5 s5 -7500 2） k=4 时f 4 ( s 4 ) ? max {g 4 ( x 4 ) ? f 5 ( s5 )}0 ? x4 ? s 4= max {5s 4 ? 3x 4 ? 18.5s5 ? 7500}0? x4 ? s 4= max {5s 4 ? 3x 4 ? 18.5(0.9s 4 ? 0.2 x 4 ) ? 7500}0 ? x4 ? s 4= max {21.65 s 4 ? 0.7 x 4 ? 7500}0 ? x4 ? s 4=21.65 s4 -7500 3） k=3 时? 此时 x4 =0f 3 ( s3 ) ? max {g 3 ( x3 ) ? f 4 ( s 4 )}0? x3 ? s3= max {5s3 ? 3x3 ? 21.65 s 4 ? 7500}0? x3 ? s3= max {24.48 s 3 ? 1.33 x3 ? 7500}0? x3 ? s3=24.48 s 3 -7500 4） k=2 时? 此时 x3 =0f 2 ( s 2 ) ? max {g 2 ( x 2 ) ? f 3 ( s 2 ? x 2 )}0? x2 ? s 2= max {5s 2 ? 3x 2 ? 24.48(0.9s 2 ? 0.2 x 2 ) ? 7500}0 ? x2 ? s 2= max {27.0365 s 2 ? 1.897 x 2 ? 7500}0? x2 ? s 2=27.00 5） k=1 时? 此时 x2 =0f1 ( s1 ) ? f 1 (1000 ) ? max {g1 ( x1 ) ? f 2 ( s 2 )}0? x1 ? s1= max {5s1 ? 3x1 ? 27.0365 s 2 ? 7500}0? x1 ?1000= max {29.33285 s1 ? 2.407 x1 ? 7500}0? x1 ?1000=29.30015=29.3-.85 最优策略为：? =0， x1? =0， x2? =0， x3? 此时 x1 =0? =0.9×100=900 辆 s2 =0.9 s1 -0.2 x1? =0.9×900-0.2×0=810 辆 s 3 =0.9 s2 -0.2 x2? =0.9×810-0.2×0=729 辆 s4 =0.9 s 3 -0.2 x3? =0， x4? =0.9×729=656.1 辆 s5 =0.9 s4 -0.2 x44 ? =4.5 s5 -×0.9 s1 - x5? =0.9×656.1-0.2×452.45=500 辆 s6 =0.9 s5 -0.2 x5其中 s5 =0.9 s4 =0.9×0.9 s 3 =?=0.9×0.9×0.9×0.9 s1 =656.1 答：第一年初：1000 辆车全部用于低负荷运输。 第二年初：还有 900 辆完好的车，也全部用于低负荷运输。 第三年初：还有 810 辆完好的车，全部用于低负荷运输。 第四年初：还有 729 辆完好的车，全部用于低负荷运输。 第五年初：还有 656.1 辆完好的车，其中 452 台用于高负荷运输，204 台在低负荷 下运输。 到第五年末，即第六年初，还剩余 500 辆完好的车。) =21833 万元 所创最大利润 f1 ( s1 ) = f1 (1000第四讲 资源分配问题（一维连续） 例 5 某公司有资金 10 万元，若投资于项目 i (i=1,2,3)的投资额为 x i 时，其收益分别为2 ，问应如何分配资金额才能使 g i ( xi ) 。其中 g1 ( x1 ) =4 x1 ， g 2 ( x 2 ) =9 x2 ， g 3 ( x3 ) =2 x3总收益最大？ 解：maxz = ? g i ( xi )i ?13? 3 xi ? 10 ? s.t ? ? i ?1 ? ? x1 , x 2 , x3 ? 0(一) 逆序解x1x2x316s1 =10项目 1s2 =10- x1项目 1s 3 = s 2 - x2项目 12 g 3 ( x3 ) =2 x3s4 = s 3 - x3g1 ( x1 ) =4 x1状态转移方程： 基本方程：g 2 ( x 2 ) =9 x2sk ?1 ? sk ? xkk=1,2,3x2? f k (sk ) ? ? ? f 4 (s4 ) ? 00? xk ? s kmax ?g k ( x k ) ? f k ?1 ( s k ?1 )? k ? 3,2,1对这种初始状态 s1 =10（万元）已知的资金分配问题，我们采用逆序法。 K=3 时2 2 f 3 ( s3 ) ? max {g 3 ( x3 ) ? f 4 ( s 4 )} = max{2 x3 } =2 s3 ；0? x3 ? s30? x3 ? s3此 时，? = s3 x3 2 g 3 ? 2 x3K=2 时f 2 ( s 2 ) ? max {g 2 ( x 2 ) ? f 3 ( s 2 ? x 2 )}0? x2 ? s 2= max {9 x 2 ? 2s 3 }2 0 ? x2 ? s 2= max {9 x 2 ? 2( s 2 ? x 2 ) }2 0 ? x2 ? s 2Os3x3问h2 ( x 2 ) = 9 x2 ? 2(s2 ? x2 ) 2x2 ∈[0， s2 ]当 x2 =？时， h2 ( x 2 ) 最大。且最大值=？1 ○ x2 ∈（0， s2 ）时。?h2 =9+4（ s2 - x2 ） （-1）=0， ?x2且x2 = s2 -9/4? 2 h2 =4&0。 故 h2 ( x 2 ) 在 x2 = s2 -9/4 处取得极小值。 2 ?x 22 依题意 h ( x ) 在[0， s ]上有极大值，故极大值只能在端点处取得，为此考察： ○ 2 2 2h2 (0) =2 s2 ；现在问：谁大谁小？2h2 ( s 2 ) =9 s2h2 ( s 2 )=9 s2h2 (0) =2 s22这是以 s2 为自变量的两个函数的大小比较问题。 从右图上可看出 O 9/2h2 ( s 2 ) =9 s2s2179s 2 f 2 ( s 2 ) = max? ?2 ?2s 20 ? s2 ? 9 / 2 s2 ? 9 / 2* x2 ? s2 * x2 ? 0最后看 k=1 时f1 ( s1 ) ? f1 (10) ? max {g1 ( x1 ) ? f 2 ( s 2 )}0? x1 ? s1现在的问题是 f 2 ( s 2 ) =？9s 2 f 2 ( s 2 ) = max? ? 0 ? s2 ? 9 / 2 s2 ? 9 / 2* x2 ? s2 * x2 ?02 ?2s 2200 902 (10 ? x1 ) 2O = f 2 (s1 ? x1 ) = f 2 (10 ? x1 ) =? 9(10 ? x1 ) max? 2 ?2(10 ? x1 )9/210(1) (2)x10 ? 10 ? x1 ? 9 / 2 10 ? x1 ? 9 / 2? 90 ? 9 x1 f1 ( s1 ) ? f1 (10) ? max{4 x1 ? max? 2 0? x1 ?10 ?2(10 ? x1 )= max?9 / 2 ? x1 ? 10 } 0 ? x1 ? 9 / 290 ? 5 x1 ? 2 ?4 x1 ? 2(10 ? x1 )9 / 2 ? x1 ? 10 0 ? x1 ? 9 / 2= max? 逆追最优解：? =0， x1? 90 ? 5 ? 9 / 2 2 ?4 ? 0 ? 2(10 ? 0)9 / 2 ? x1 ? 10 0 ? x1 ? 9 / 2? =0 x2=200? 此时， x1 =0。? =10≥9/2 s2 =10- x1? =10 s 3 = s2 - x2? = s 3 =10 x3且最大利润f1 (s1 ) ? f1 (10) =200（万元）（二） 顺序解：x1x2 s 2 = s 3 - x2项目 2x3s 3 = s4 - x3项目 32 g 3 ( x3 ) =2 x3s 1 = s 2 - x1s4 =10项目 1g1 ( x1 ) =4 x1状态转移方程：g 2 ( x 2 ) =9 x2sk = s k ?1 - xkk=1,2,318最优指标函数 f k (s k ?1 ) ：第 k 阶段，当投资额为 s k ?1 时，从第 1 到第 k 阶段所获得的最 大收益。 基本方程： 总的收益 f 3 ( s 4 ) = f 3 (10) =？? f k ( s k ?1 ) ? ? ? f 0 ( s1 ) ? 0k=1 时:0 ? x k ? s k ?1max ?g k ( x k ) ? f k ?1 ( s k )? k ? 1,2,3f 1 ( s 2 ) ? max {g1 ( x1 ) ? f 0 ( s1 )} = max {4 x1 } =4 s10? x1 ? s 2 0? x3 ? s3? 此时， x1 = s2k=2 时：f 2 ( s3 ) ? max {g 2 ( x 2 ) ? f1 ( s 2 )} = max {9 x 2 ? 4s 2 }0 ? x 2 ? s3 0 ? x 2 ? s3? = max {9 x 2 ? 4( s3 ? x 2 )} = max {5 x 2 ? 4s 3 } =9 s 3 ，此时， x2 = s30 ? x 2 ? s30 ? x 2 ? s3k=3 时：2 f 3 ( s 4 ) ? f 3 (10) ? max {g 3 ( x3 ) ? f 2 ( s3 )} = max{2 x3 ? 9(10 ? x3 )}0? x3 ? s40? x3 ?10令2 ? 9(10 ? x3 ) h3 ( x3 ) = 2x3x3 ∈[0，10]下求它的极大值：? = 4 x3 ―9 h3令其为 0，得x3 =9/4且 h3 = 4≥0?故此函数在（0，10）内只有一个极小值点。 极大值点只能在端点处取的。 考虑：x3 =0 时， h3 (0) =9 s4 =902 =200 x3 =10 时， h3 (10) =2 s4所以有? = s4 =10 x3此时， f 3 (s 4 ) ? f 3 (10) ? 200。 再用状态转移方程逆推得最优解：? ? ? ? =10， s 3 = s4 - x3 =10-10=0， x2 = s 3 =0， s2 = s 3 - x2 =0-0=0， x1 = s2 =0。 x3此解与逆序相同。 （三）连续变量的离散化解法： 例 6 用连续变量的离散化求解：2 Max z =4 x1 +9 x2 +2 x319s.t? x1 ? x2 ? x3 ? 10 ? xi ? 0 (i ? 1,2,3) ?解：因为这里的 0≤ xk ≤10，k=1，2，3.可在区间[0，10]内选有限个点，比如分割成 0，2，4，6，8，10。将来决策变量 xk 、状态变量均取值集合｛0，2，4，6，8，10｝中的 点。尽管这样做可能出现丢失最优解，但作为近似解求解简单。 此时的动态规划基本方程：? f k (sk ) ? ? ? f 4 (s4 ) ? 0当 k=3 时，0? xk ? s k?g k ( x k ) ? f k ?1 ( s k ?1 )? k ? 3,2,1 max2 } f 3 (s3 ) = max{2 x3 0? x3 ? s3式中的 s 3 ， x3 均取值于｛0，2，4，6，8，10｝ ，计算结果见下表s30 0 02 8 20? x2 ? s 24 32 46 72 68 128 810 200 10f 3 ( s3 )? x3当 k=2 时， f 2 ( s 2 ) ? max {g 2 ( x 2 ) ? f 3 ( s 2 ? x 2 )} = max {9 x 2 ? f 3 ( s 2 ? x 2 )} ，计算结果见下表0? x2 ? s 2x20 0 2 4 6 8 10 0+0 0+8 0+32 0+72 0+128 0+200 29 x 2 + f 3 ( s 2 ? x2 )f 2 (s2 )s24 6 8 10 0 18 36 72 128 2000? x1 ?10? x218+0 18+8 18+32 18+72 18+12836+0 36+8 54+0 36+32 54+8 72+0 36+72 54+32 72+8 90+00? x1 ? s10 2 4 0 0 0k=1 时， f 1 ( s1 ) ? f 1 (10) ? max {g1 ( x1 ) ? f 2 ( s 2 )} ? max {4 x1 ? f 2 ( s1 ? x1 )} ， 计算结果见下表x1 s10 24 x1 ? f 2 (10 ? x1 ) f1 (s1 )4 6 8 10? x120100+200 8+128 16+7224+36 32+18 40+02000? ? ? 计算结果表明， 最有决策为： x1 =0，x2 =0，x3 =10。 最大收益为 f1 (s1 ) ? f1 (10) =200。与上例完全相同。 第五讲：背包问题 一般的提法为：以旅行者携带背包去登山。已知他所能承受的背包重量的极限为 a (千 克)，现有 n 种物品可供他选择装入背包。第 i 种物品的单位重量为 a i (千克)其价值（可以是 表明本物品对登山者的重要性指标）是携带数量 x i 的函数 g i ( xi ) （i=1，2，?n）.问旅行 者应如何选择携带物品的件数，以使总价值最大？ 其数学模型为： max z =? g (x )i ?1 i ins. t? n ?? a i x i ? a ? i ?1 ? ? xi ? 0(i=1,2,?n.且 x i 为整数)此模型解决的是运输工具包括卫星的最优装载问题。 下面从一个例子来分析动态规划建模。 例 7 有一辆最大货运量为 10t 的卡车， 用以装载 3 种货物， 每种货物的单位重量及相 应单位价值如表 7-4 所示。应如何装载可使总价值最大？ 货物编号 i 单位重量（t） 单位价值 ci 1 3 4 2 4 5 3 5 6设第 i 种货物的件数为 x i （i=1,2,3） ，则问题可表述为： max z = 4 x1 ＋5 x2 ＋6 x3?3x1 ? 4 x2 ? 5 x3 ? 10 ? xi ? 0 ?(i=1,2,?n.且 x i 为整数)下用动态规划顺序解法建模求解： 阶段 k: 将可装入物品按 1，2，3 的顺序排序，每段装入一种物品，共划分 3 个阶段， 即 k=1,2,3. 状态变量 s k ?1 ：在第 k 段开始时，背包中允许装入前 k 种物品的总重量。 决策变量 xk ：装入第 k 种物品的件数。 状态转移方程：s k ?1 ? s k ? ak xk21最优指标函数 f k (s k ?1 ) ：在背包中允许装入物品的总重量不超过 s k ?1 kg， 采取最优策略 只装前 k 种物品时的最大使用价值。 由此可得动态规划的顺序递推方程为：? f k ( s k ?1 ) ? ? ? f 0 ( s1 ) ? 00 ? a k x k ? s k ?1max?g k ( xk ) ?f k ?1 ( s k ?1 ? a k x k )? k ? 1,2,3s1 = s2 -3 x13 x1 货物 14 x25 x3s2 = s 3 -4 x2货物 1s 3 = s4 -5 x3货物 3s4 =10g1 ( x1 ) =4 x1g 2 ( x 2 ) =5 x2g 3 ( x3 ) =6 x3由于 xk 取整数，故 xk ， sk ∈｛0，1，2，?10｝ ，下用顺序法求解。 K=1 时f1 ( s 2 ) ? max {g1 ( x1 ) ? f 0 ( s1 )} = max {4 x1 }0?3 x1 ? s2 0?3 x3 ? s3计算结果见下表：x14 x1f1 (s 2 )s20 ○ 1 ○ 2 ○ 3 4 5 ○ 6 ○ 7 8 9 10 ○? x10123 0 0 0 0 2 4 0 0 1 24×0 4×0 4×0 ? ? 4×0 4×1 4×0 4×14×24 84×0 4×14×24×3123K=2 时f 2 ( s3 ) ? max {g 2 ( x 2 ) ? f1 ( s 2 )} = max {5 x 2 ? f 1 ( s 3 ? 4 x 2 )}0 ? 4 x 2 ? s3 0 ? 4 x 2 ? s3具体的计算结果见下表x2s30 ○ 15 x 2 ? f 1 ( s3 ? 4 x 2 )f 2 ( s3 )0 5×0＋0 ? 1 2 0? x20222 3 4 5 ○ 6 7 8 9 10 ○? ? ? 5×0＋4 ?5×1＋0515×0＋12 5×1＋85×2＋0131k=3 时：f 3 ( s 4 ) ? f 3 (10) ? max {g 3 ( x3 ) ? f 2 ( s3 )} = max {6 x3 ? f 2 (10 ? 5 x3 )}0?5 x3 ? s40?5 x3 ?10= max ｛0＋ f 2 (10) , 6＋ f 2 (5) , 12＋ f 2 (0) ｝ = max｛0＋13,6＋5,12＋0｝=13 下逆推得最优解：? =0， s 3 = s4 -5 x3 =10-0=10 x3 ? 此时， x3 =0? ?? =1 x2 ? =2 x1s2 = s 3 -4 x2 =10-4=6最大装载价值为 f 3 (10) =13。 故今后解背包问题应先从 k=3 入手： k=3 时：f 3 ( s 4 ) ? f 3 (10) ? max {g 3 ( x3 ) ? f 2 ( s3 )} = max {6 x3 ? f 2 (10 ? 5 x3 )}0?5 x3 ? s4 0?5 x3 ?10= max ｛0＋ f 2 (10) , 6＋ f 2 (5) , 12＋ f 2 (0) ｝ 下有重点地从 k=2 中求解三个最优函数值： f 2 (10) ， f 2 (5) ， f 2 (0) 。 K=2 时f 2 ( s3 ) ? max {g 2 ( x 2 ) ? f1 ( s 2 )} = max {5 x 2 ? f 1 ( s 3 ? 4 x 2 )}0 ? 4 x 2 ? s3 0 ? 4 x 2 ? s3f 2 (10) = max {5 x 2 ? f 1 ( s 3 ? 4 x 2 )} = max {5 x 2 ? f 1 (10 ? 4 x 2 )}0 ? 4 x 2 ? s3 0 ? 4 x2 ?10= max {5 x 2 ? f 1 ( s 3 ? 4 x 2 )}x2 ? 0 ,1, 2= max｛0＋ f1 (10) , 5＋ f 1 (6) , 10＋ f 1 ( 2) ｝f 2 (5) = max {5 x 2 ? f1 (5 ? 4 x 2 )}0 ? 4 x2 ? 523= max {5 x 2 ? f 1 (5 ? 4 x 2 )}x2 ? 0 ,1= max｛0＋ f 1 (5) , 5＋ f 1 (1) ｝f 2 (0) = max {5 x 2 ? f1 (0 ? 4 x 2 )} = max {5 x 2 ? f 1 (0)} = f 1 (0)0 ? 4 x2 ? 0 x2 ? 0下从第一阶段有重点地求四个函数： f 1 (0) ， f 1 (1) ， f 1 (5) ， f 1 (0) K=1 时f1 ( s 2 ) ? max {g1 ( x1 ) ? f 0 ( s1 )} = max {4 x1 }0?3 x1 ? s2 0?3 x3 ? s3f 1 (0) = max {4 x1 } =0，0?3 x3 ? 0? 此时 x1 =0 ? 此时 x1 =0 ? 此时 x1 =1 ? 此时 x1 =3f1 (1) = max {4 x1 } = max {4 x1 } =00 ? 3 x3 ?1 x3 ? 0 0?3 x3 ?5 x3 ? 0 ,1f 1 (5) = max {4 x1 } = max {4 x1 } = max｛0，4｝= 4, f1 (10) = max {4 x1 } =0?3 x3 ?10 x3 ? 0 ,1, 2 , 3max {4 x1 } = max｛o,4,8,12｝=12,由此逆推回去：f 2 (0) = f 1 (0) =0，? ? 此时 x1 =0， x2 =0? ? =0， x2 =1 f 2 (5) = max｛0＋ f 1 (5) , 5＋ f1 (1) ｝= max｛0＋4, 5＋0｝=5，此时 x1f 2 (10) = max｛0＋ f1 (10) , 5＋ f 1 (6) , 10＋ f 1 ( 2) ｝= max｛0＋12, 5＋8, 10＋0｝=13, 最后：? ? 此时 x2 =1, x1 =2f 3 (10) = max ｛0＋ f 2 (10) , 6＋ f 2 (5) , 12＋ f 2 (0) ｝= max｛0＋13, 6＋5, 12＋0｝=13,? ? ? 对应最大值 13， x3 =0，且 f 2 (10) ，故对应 x2 =2, x1 =1最大运输价值 f 3 (10) =13。7.9/P-239用动态规划方法求解：2 （3） max F = 4 x1 ＋ 9 x 2 ＋ 2 x3?2 x1 ? 4 x2 ? 3x3 ? xi ? 0 ?? 10 (i ? 1,2,3)24解：我们用背包问题顺序解的思路： 人为的划分三个阶段：k=1,2,3 阶段指标函数及其他分配情况如下图：2 x14 x23 x3s1 = s2 -2 x11s2 = s 3 -4 x22s 3 =10-3 x332 g 3 ( x3 ) = 2 x3s4 =10g1 ( x1 ) =4 x1g 2 ( x 2 ) =9 x2f1 ( s 2 ) ? max {g1 ( x1 ) ? f 0 ( s1 )}0? 2 x1 ? s2f 2 ( s3 ) ? max {g 2 ( x 2 ) ? f1 ( s 2 )}0 ? 4 x 2 ? s3f 3 ( s 4 ) ? f 3 (10) ? max {g 3 ( x3 ) ? f 2 ( s3 )}0?3 x3 ? s 4基本方程式：? f k ( s k ?1 ) ? ? ? f 0 ( s1 ) ? 00 ? a k x k ? s k ?1max?g k ( xk ) ?f k ?1 ( s k ?1 ? a k x k )? k ? 1,2,3下用顺序法求解：f 3 ( s 4 ) ? f 3 (10) ? max {g 3 ( x3 ) ? f 2 ( s3 )}0?5 x3 ? s4= max {2 x3 ? f 2 (10 ? 3x3 )}2 0?3 x3 ?10=? 10 ? x3 ?0,1,?? ? ?3?2 max {2 x3 ? f 2 (10 ? 3x3 )}=max｛0+ f 2 (10) ,2+ f 2 (7) ,8+ f 2 (4) ,18+ f 2 (1) ｝f 2 ( s3 ) ? max {g 2 ( x 2 ) ? f1 ( s 2 )} = max {g 2 ( x 2 ) ? f 1 ( s3 ? 4 x 2 )}0 ? 4 x 2 ? s3 0 ? 4 x 2 ? s3f 2 (10) = max {9 x 2 ? f 1 (10 ? 4 x 2 )} = max 10 {9 x 2 ? f 1 (10 ? 4 x 2 )}0 ? 4 x2 ?10x2 ? 0 ,1,?[ 4 ]=max｛0+ f1 (10) ,9+ f 1 (6) ,18+ f 1 ( 2) ｝f 2 (7) = max {9 x 2 ? f 1 (7 ? 4 x 2 )} = max{9 x 2 ? f 1 (7 ? 4 x 2 )}0 ? 4 x2 ? 7 x2 ? 0 ,1= max｛0+ f 1 (7) ,9+ f 1 (3) ｝25f 2 (4) = max {9 x 2 ? f 1 (4 ? 4 x 2 )} = max{9 x 2 ? f 1 (4 ? 4 x 2 )}0 ? 4 x2 ? 4 x2 ? 0 ,1= max｛0+ f 1 ( 4) ，9+ f 1 (0) ｝f 2 (1) = max {9 x 2 ? f 1 (1 ? 4 x 2 )} = max{9 x 2 ? f 1 (1 ? 4 x 2 )} = f1 (1)0? 4 x2 ?1 x2 ? 0f1 ( s 2 ) ? max {g1 ( x1 ) ? f 0 ( s1 )} = max {4 x1 }0? 2 x1 ? s2 0? 2 x3 ? s3f1 (10) = max {4 x1 } =0? 2 x3 ?10 0? 2 x3 ? 6x3 ? 0 ,1, 2 , 3, 4 , 5? max {4 x1 } =max｛0,4,8,12,16,20｝=20. 此时 x1 =5 ? 此时 x1 =3 ? 此时 x1 =1 ? 此时 x1 =3 ? 此时 x1 =1 ? 此时 x1 =2 ? 此时 x1 =0 ? 此时 x1 =0f 1 (6) = max {4 x1 } = max {4 x1 } = max ｛0,4,8,12｝=12.x3 ? 0 ,1, 2 , 3f 1 ( 2) = max {4 x1 } = max {4 x1 } =4.0? 2 x3 ? 2 x3 ? 0 ,1f 1 (7) = max {4 x1 } = max {4 x1 } = max｛0,4,8,12｝=12.0? 2 x3 ? 7 x3 ? 0 ,1, 2 , 3f 1 (3) = max {4 x1 } = max {4 x1 } =max｛0,4｝=4.0? 2 x3 ?3 x3 ? 0 ,1f 1 ( 4) = max {4 x1 } = max {4 x1 } = max｛0,4,8｝=8.0? 2 x3 ? 4 x3 ? 0 ,1, 2f 1 (0) = max {4 x1 } = max {4 x1 } =00? 2 x3 ? 0 x3 ? 0f1 (1) = max {4 x1 } = max {4 x1 } =00? 2 x3 ?1 x3 ? 0再将这些值代回：f 2 (10) =max｛0+ f1 (10) ,9+ f 1 (6) ,18+ f 1 ( 2) ｝= max｛20, 9+12, 18+4｝=22.? 此时 x2 =2f 2 (7) = max｛0+ f 1 (7) ,9+ f 1 (3) ｝= max｛0+12, 9+4｝=13.? 此时 x2 =1f 2 (4) = max｛0+ f 1 ( 4) ，9+ f 1 (0) ｝= max｛0+8, 9+0｝=9.? 此时 x2 =1 ? 此时 x2 =0f 2 (1) = f1 (1) =0.再将这些值代回：f 3 (s4 ) ? f 3 (10) =max｛0+ f 2 (10) ,2+ f 2 (7) ,8+ f 2 (4) ,18+ f 2 (1) ｝= max｛0+22, 2+13, 8+9, 18+0｝=22? 此时 x3 =026? ? ? =0, ? s 3 =10-3 x3 =10, ? x2 =2, ? s2 = s 3 -4 x2 =10-8=2, ? x1 =0 x3最优解所对应的 max z = f 3 (s4 ) ? f 3 (10) =18 第六讲：二维背包及背包问题的应用 习题 7.9/P-239 （1） 用动态规划求解：2 max F= x1 x2 x3? x1 ? x2 ? x3 ? ? xi ? 0x1 s 1 = s 2 - x11? 10 (i ? 1,2,3)x2x3解：把三个决策变量的赋值过程作为三个阶段 k=1,2,3s 2 = s 3 - x22s 3 =4- x33s4 =4g1 ( x1 ) = x12 g 2 ( x 2 ) = x2g 3 ( x3 ) = x3f1 ( s 2 ) ? max {g1 ( x1 ) f 0 ( s1 )}0? x1 ? s2f 2 ( s3 ) ? max {g 2 ( x 2 ) f1 ( s 2 )}0 ? x 2 ? s3f 3 ( s 4 ) ? f 3 (4) ? max {g 3 ( x3 ) f 2 ( s3 )}0? x3 ? s4基本方程式：? f k ( s k ?1 ) ? ? ? f 0 ( s1 ) ? 10 ? a k x k ? s k ?1max?g k ( xk ) f k ?1 ( s k ?1 ? a k xk )?k ? 1,2,3注意在加法运算中的 0 元在乘法运算中是 1。 下用顺序法求解，先从第三阶段入手：f 3 ( s 4 ) ? f 3 (4) ? max {g 3 ( x3 ) f 2 ( s3 )} = max {x3 ? f 2 (4 ? x3 )}0? x3 ? s4 0? x3 ? 4=max ｛0, f 2 (3) , 2 f 2 (2) , 3 f 2 (1) ,4 f 2 (0) ｝2 f 2 ( s3 ) ? max {g 2 ( x 2 ) f1 ( s 2 )} = max{x 2 f1 ( s3 ? x 2 )}0 ? x 2 ? s30 ? x 2 ? s32 f 1 (3 ? x 2 )}= max｛0, f1 ( 2) , 4 f1 (1) , 9 f 1 (0) ｝ f 2 (3) = max{x 2 0 ? x2 ?3 2 f 1 (2 ? x 2 )}= max｛0, f1 (1) , 4 f 1 (0) ｝ f 2 (2) = max{x 2 0? x2 ? 2272 f1 (1 ? x 2 )} = max｛0, f 1 (0) ｝ f 2 (1) = max{x 2 0? x2 ?1 2 f1 (0 ? x 2 )} =0 f 2 (0) = max{x 2 0 ? x2 0以下求这些第一阶段的值：f1 ( s 2 ) ? max {g1 ( x1 ) f 0 ( s1 )} = max {x1 }0? x1 ? s2 0? x1 ? s2f1 ( 2) = max { x1 } = max {x1 } =max｛0,1,2｝=20 ? x1 ? 2 x1 ? 0 ,1, 2? 此时 x1 =2 ? 此时 x1 =1 ? 此时 x1 =0f1 (1) = max {x1 } =max｛0,1｝=10 ? x1 ?1f 1 (0) = max { x1 } = max｛0｝=00 ? x1 ? 0代回到第二阶段：f 2 (3) = max｛0, f1 ( 2) , 4 f1 (1) , 9 f 1 (0) ｝=max｛0,2,4｝=4. f 2 (2) = max｛0, f1 (1) , 4 f 1 (0) ｝= max｛0,1｝=1 f 2 (1) = max｛0, f 1 (0) ｝= max｛0,0｝=0 f 2 (0) =0在代回第三阶段：? 此时 x2 =2 ? 此时 x2 =1 ? 此时 x2 =0,1 ? 此时 x2 =0f 3 (s4 ) ? f 3 (4) =max ｛0, f 2 (3) , 2 f 2 (2) , 3 f 2 (1) ,4 f 2 (0) ｝= max｛0,4,2,0｝=4. 逆追最优策略：? ? =1， s 3 =4- x3 =3。从 f 2 (3) = f 2 ( s3 ) =4 得 x2 =2， s2 = s 3 - x2 =3-2=1，由 f 1 (1) =1 得 x3? 此时 x3 =1? =1 且 maxF=4 x1(2)2 2 2 minF= x1 ＋2 x2 ＋ x3 -2 x1 -4 x2 -2 x3? x1 ? x2 ? x3 ? 3 ? xi ? 0 (i ? 1,2,3) ?2 2 2 解：F= x1 ＋2 x 2 ＋ x3 －2 x1 －4 x2 －2 x3 = ( x1 ? 2) 2 ＋2 ( x2 ? 2) 2 ＋ ( x3 ? 2) 2 －16= g1 ( x1 ) ＋ g 2 ( x 2 ) ＋ g 3 ( x3 ) －16s 1 = s 2 - x1=3- x3 3x11s 2 = s 3 - x2x33x21x3 s 3 =3- x33283s4 =3g1 ( x1 ) = ( x1 ? 2) 2g 2 ( x 2 ) =2 ( x2 ? 2) 2g 3 ( x3 ) = ( x3 ? 2) 2注意到满足要求的 min F ? = g1 ( x1 ) ＋ g 2 ( x 2 ) ＋ g 3 ( x3 ) 的解与原问题同解，故从 基本方程式：? f k ( s k ?1 ) ? ? ? f 0 ( s1 ) ? 00 ? x k ? s k ?1min ?g k ( x k ) ? f k ?1 ( s k ?1 ? x k )? k ? 1,2,3下用顺序法求解，先从第三阶段入手：f 3 ( s 4 ) ? f 3 (3) ? min {g 3 ( x3 ) ? f 2 ( s3 )} = min {( x3 ? 2) 2 ? f 2 (3 ? x3 )}0? x3 ? s4x3 ? 0 ,1, 2, 3=min ｛4+ f 2 (3) , 1+ f 2 (2) , 0+ f 2 (1) , 1+ f 2 (0) ｝f 2 ( s3 ) ? min {g 2 ( x 2 ) ? f1 ( s 2 )} = min {2( x 2 ? 2) 2 ? f1 ( s3 ? x 2 )}0 ? x 2 ? s30 ? x 2 ? s3f 2 (3) = min{2( x 2 ? 2) 2 ? f1 (3 ? x 2 )} = min｛8+ f 1 (3) , 2+ f1 ( 2) , 0+ f1 (1) , 2+ f 1 (0) ｝0? x2 ?3f 2 (2) = min {2( x 2 ? 2) 2 ? f1 (2 ? x 2 )}= min｛8+ f1 ( 2) , 2+ f1 (1) , 0+ f 1 (0) ｝0 ? x2 ? 2f 2 (1) = min{2( x 2 ? 2) 2 ? f1 (1 ? x 2 )} = min｛8+ f1 (1) , 2+ f 1 (0) ｝0? x2 ?1f 2 (0) = min {2( x 2 ? 2) 2 ? f1 (0 ? x 2 )} =min｛8+ f 1 (0) ｝0 ? x2 ? 0以下求这些第一阶段的值：f 1 ( s 2 ) ? min {g1 ( x1 ) ? f 0 ( s1 )} = min {( x1 ? 2) 2 }0? x1 ? s20? x1 ? s2f 1 (3) = min{( x1 ? 2) 2 } = min {( x1 ? 2) 2 } =min｛4,1,0,1｝=00? x1 ?3 x1 ? 0 ,1, 2 , 3? 此时 x1 =2? 此时 x1 =2f1 ( 2) = min{( x1 ? 2) 2 } = min {( x1 ? 2) 2 } =min｛4,1,0｝=00? x1 ? 2x1 ?0,1, 2f1 (1) = min{( x1 ? 2) 2 } =min｛4,1｝=10? x1 ?1? 此时 x1 =1 ? 此时 x1 =0f 1 (0) = min{( x1 ? 2) 2 } = min｛4｝=40? x1 ? 0代回 k=2f 2 (3) = min｛8+ f 1 (3) , 2+ f1 ( 2) , 0+ f1 (1) , 2+ f 1 (0) ｝= min｛8+0, 2+0, 0+1, 2+4｝=1? 此时 x2 =2f 2 (2) = min｛8+ f1 ( 2) , 2+ f1 (1) , 0+ f 1 (0) ｝= min｛8+0, 2+1, 0+4｝=3? 此时 x2 =129f 2 (1) = min｛8+ f1 (1) , 2+ f 1 (0) ｝= min｛8+1, 2+4｝=6 f 2 (0) =min｛8+ f 1 (0) ｝=min｛8＋4｝=12最后代回 k=3? 此时 x2 =0? 此时 x2 =1f 3 ( s 4 ) ? f 3 (3) ? min {g 3 ( x3 ) ? f 2 ( s3 )} = min {( x3 ? 2) 2 ? f 2 (3 ? x3 )}0? x3 ? s4x3 ? 0 ,1, 2, 3=min ｛4+ f 2 (3) , 1+ f 2 (2) , 0+ f 2 (1) , 1+ f 2 (0) ｝ =min ｛4+1, 1+3, 0+6, 1+12｝=4 逆追最优策略：? ? =1， s 3 =3- x3 =2。从 f 2 (2) = f 2 ( s3 ) =3 得 x2 =1， s2 = s 3 - x2 =2-1=1，由 f 1 (1) =1 得 x3? 此时 x3 =1? =1 且 minF=4-16=-12 x1例（二维背包） 有一辆最大货运量为 13t、最大容量为 10 件的卡车，用以装载 3 种货 物，每种货物的单位重量及相应单位价值如表 7-4 所示。应如何装载可使总价值最大？ 货物编号 i 单位重量（t） 单位价值 ci 1 1 4 2 3 5 3 6 8解：设第 i 种货物的件数为 x i （i=1,2,3） ，则问题可表述为： max z = 4 x1 ＋5 x2 ＋8 x3? x1 ? x 2 ? x3 ? 10 ? ? x1 ? 3 x 2 ? 6 x3 ? 13 ? xi ? 0 ?(i=1,2，3.且 x i 为整数)此问题与一维背包完全类似，只是状态变量是两个： 关于件数的约束 s4 =10， s 3 =10- x3 ， s2 = s 3 - x2 ， s1 = s2 - x1 关于重量的约束 u 4 =13， u3 =13-6 x3 ， u 2 = u3 -3 x2 ， u 1 = u 2 - x1 基本方程式：f (s , u ) ? ? ? k k ?1 k ?1 ? ? ? f 0 (s1 , u1 ) ? 0其中0? xk ? sk ?1 0? ak xk ?uk ?1max?g k ( xk ) ? f k ?1 (sk ?1 ? xk , u k ?1 ? ak xk )?k ? 1,2,3g1 ( x1 ) =4 x1 ， g 2 ( x 2 ) =5 x2 ， g 3 ( x3 ) =8 x3问题就是求：30f 3 ( s 4 , u 4 ) ? f 3 (10,13) ? max {g 3 ( x3 ) ? f 2 (10 ? x3 ,13 ? 6 x3 )}0? x3 ?10 0? 6 x3 ?13=maxx3 ? 0 ,1,? min{10 ,[13 ]} 6{g 3 ( x3 ) ? f 2 (10 ? x3 ,13 ? 6 x3 )}= max {g 3 ( x3 ) ? f 2 (10 ? x3 ,13 ? 6 x3 )}x3 ? 0 ,1, 2=max｛0+ f 2 (10,13) , 8+ f 2 (9,7) , 16+ f 2 (8,1) ｝ 由此看到，要计算 f 3 (10,13) ，必须先计算 f 2 (10,13) ， f 2 (9,7) ， f 2 (8,1) 。f 2 ( s3 , u 3 ) ? max {g 2 ( x 2 ) ? f 1 ( s 2 , u 2 )}0 ? x 2 ? s3 0?3 x2 ?u3=maxx2 ? 0 ,1,? min{s3 ,[u3 ]} 3{g 2 ( x 2 ) ? f 1 ( s 3 ? x 2 , u 3 ? 3x 2 )}f 2 (10,13) =maxx2 ? 0 ,1,? min{10 ,[13 ]} 3{5 x 2 ? f 1 (10 ? x 2 ,13 ? 3x 2 )}=max｛ f1 (10,13) ,5+ f1 (9,10) ,10+ f1 (8,7) ,15+ f1 (7,4) ,20+ f1 (6,1) ｝f 2 (9,7) =7 x2 ? 0 ,1,? min{9 ,[ ]} 3max{5 x 2 ? f 1 (9 ? x 2 ,7 ? 3 x 2 )}=max｛0+ f1 (9,7) ,5+ f1 (8,4) ,10+ f1 (7,1) ｝f 2 (8,1) =1 x2 ? 0 ,1,? min{8,[ ]} 3max{5 x 2 ? f 1 (8 ? x 2 ,1 ? 3x 2 )}=max｛0+ f1 (8,1) ｝ 由 此 看 到 ， 要 计 算 f 2 (10,13) , f 2 (9,7) ,f 2 (8,1) ， 必 须 先 计 算f1 (10,13) , f1 (9,10) , f1 (8,7) , f1 (7,4) , f1 (6,1) , f1 (9,7) , f1 (8,4) , f1 (7,1) , f1 (8,1) 。f1 (s 2 , u 2 ) ?0? x1 ? min{s2 ,u 2 }max{g1 ( x1 ) ? f 0 ( s1 , u1 )} =0? x1 ? min{s2 ,u 2 }max{4 x1 }? 此时 x1 =10f1 (10,13) =0 ? x1 ? min{10 ,13}max{4 x1 } =max｛0,4,8,12,16,20,?40｝=40,? 此时 x1 =9同理可求得： f1 (9,10) =4×9=3631f1 (8,7) =4×7=28 f1 (7,4) =4×4=16 f1 (6,1) =4×1=4 f1 (9,7) =4×7=28 f1 (8,4) =4×4=16 f1 (7,1) =4×1=4 f1 (8,1) =4×1从而? 此时 x1 =7 ? 此时 x1 =4 ? 此时 x1 =1 ? 此时 x1 =7 ? 此时 x1 =4 ? 此时 x1 =1 ? 此时 x1 =1f 2 (10,13) =max｛ f1 (10,13) ,5+ f1 (9,10) ,10+ f1 (8,7) ,15+ f1 (7,4) ,20+ f1 (6,1) ｝=max｛40,5+36,10+28,15+16,20+4｝=41? 此时 x2 =1f 2 (9,7) =max｛0+ f1 (9,7) ,5+ f1 (8,4) ,10+ f1 (7,1) ｝=max｛28,5+16,10+4｝=28? 此时 x2 =0 ? 此时 x2 =0f 2 (8,1) =max｛0+ f1 (8,1) ｝=max｛4｝=4f 3 (s4 , u4 ) ? f 3 (10,13) =max｛0+ f 2 (10,13) , 8+ f 2 (9,7) , 16+ f 2 (8,1) ｝=max｛41,8+28,16+4｝=41? 此时 x3 =0? ? ? 所以最优方案为 x3 =0， x2 =1， x1 =9；maxZ=41例 8/P-199 i（月）第七讲 生产与库存问题 某公司根据市场调查，今后四个月产品的需求量预测如下表 1 2 2 3 3 2 4 4g i （需求）在满足市场需求条件下，公司需定出一个 4 个月的生产计划， 目标：总费用（=生产+库存）最小 1 生产费用 C 跟产量 k （件）(最大生产能力为 6 件)的关系为 已知：○? 0 C k ? C (k ) ? ? ?3 ? kk ?0 （单位：千元） k ? 1,2,3,4,5,62 若产品销不掉，则库存费为 Ek=E（k）=0.5k（千元）且最大库存容量为 3，计划初与 ○32期末库存量为 0。 解：先把有关概念作一叙述： 阶段：每一个月为一个阶段, k=1,2,3,4 状态变量 sk ：第 k 个月初的库存量。 s1 = s5 =0，0≤ sk ≤3。 决策变量 xk ：第 k 个月初的生产量。0≤ xk ≤6, xk 为整数。 状态转移方程： s k ?1 = sk + xk - g k 阶段指标函数 g k ( x k ) ：第 k 个月的费用。0.5s k ? g k ( x k ) = E(sk ) + C ( xk ) = ? ?0.5s k ? (3 ? xk )xk ? 0 xk ? 1,2,3,4,5,6（1）最优指标函数 f k ( s k ) ：第 k 个月初状态为 sk 时，采用最佳策略生产，从本月初到计划 结束（第四个月末）的生产与库存最低费用。 下用逆序法建立动态规划基本方程：f (s ) ? ? ? k k ? ? ? f 5 ( s5 ) ? 0x1s1 =0Ⅰ x2 20? xk ? 6 s k ? xk ? g km i n?g k ( xk ) ? f k ?1 (s k ?1 )? k ? 4,3,2,1（2）x2 s2 = x1 -2Ⅱ x3 3x3s 3 = s2 + x2 -3Ⅲ s4 = s 3 + x3 -2 2x4Ⅳ x3 4s5 =0x3g1 ( x1 )g 2 ( x2 )g 3 ( x3 )g 4 ( x4 )g 3 ( x3 )g 3 -4=0 ( x3 )。且 0≤ s + x g－ g 2 ( x2 ) x2 ) 2 (g 从递推式可看出： s5 = s4 + x 4 k ≤ g k ?1 k k下用逆序法求解： K=4 由于 s5 = s4 + x4 -4=0。有 x4 =4- s4 且g 3 ( x3 )g 2 ( x2 )g 3 ( x3 )x4 = 4－ s4 ? 0.5s 4 x4 ? 0 f 4 ( s 4 ) ? min {g 4 ( x 4 ) ? f 5 ( s 5 )} ========== ? x4 ? 4 ? s 4 ?0.5s 4 ? (3 ? x 4 ) x 4 ? 1,2,3,4 0? s4 ? 4状态变量（库存量） s4 =0，1，2，3 且f 4 (0) = 3＋4=7此时 x4 =4 此时 x4 =333f 4 (1) =0.5×1＋（3+3）=6.5f 4 (2) =0.5×2＋（3+2）=6 f 4 (3) =0.5×3＋（3+1）=5.5最大库存量为 3，故 s4 ≠4。此时 x4 =2 此时 x4 =10.5s 4 x4 ? 0 x4 ? ? ?0.5s 4 ? (3 ? x 4 ) x 4 ? 1,2,3,4s40 1 2 3 0 7 6.5 6 5.5 K=3 1 2 3 4f 4 (s4 )* x47 6.5 6 5.54 3 2 1先看 x3 的限制：它与库存能力、生产能力、需求量均有关系。1 由最大库存量知 s =｛0，1，2，3｝ ○ 3 2 在分析决策变量 x 的允许决策集： ○ 31）满足需求： s 3 ＋ x3 ≥2，即 x3 ≥2－ s 3 ； 2）非负限制： x3 ≥0。 综合 1）2）知， x3 ≥max｛0,2－ s 3 ｝. 3）期末存货为零： s4 ≤4，即 s 3 ＋ x3 －2≤4，即 x3 ≤6－ s 3 。 4）最大库存量得限制： s4 = s 3 ＋ x3 －2≤3，即 x3 ≤5－ s 3 。 5）最大生产能力的限制： x3 ≤6 综合 3）4）5）知 x3 ≤min｛6，5－ s 3 ，6－ s 3 ｝ 总之有： U3：Max｛0,2－ s 3 ｝≤ x3 ≤min｛6,5－ s 3 ,6－ s 3 ｝的整数U3U3（3）f 3 ( s3 ) = min{g 3 ( x3 ) ? f 4 ( s 4 )} = min{E ( s3 ) ? C ( x3 ) ? f 4 ( s3 ? x3 ? 2)}34下对 s 3 =0，1，2，3 分别求出 f 3 ( s3 ) 的值。f 3 (0) = min {E (0) ? C ( x3 ) ? f 4 ( x3 ? 2)} （由（3）式知：2≤ x3 ≤5）2? x3 ?5=min｛ E(0) ? C(2) ? f 4 (0) , E (0) ? C (3) ? f 4 (1) , E(0) ? C(4) ? f 4 (2) ,E (0) ? C (5) ? f 4 (3) ｝=min｛5+7,6+6.5,7+6,8+5.5｝=12(由（1）式计算费用)? =2 x3这就是说，若第三个月初库存为零，则三、四两个月最低费用为 12（千元）,第三个月 最优产量为 2 单位。f 3 (1) = min {E (1) ? C ( x3 ) ? f 4 ( x3 ? 1)} （由（3）式知 1≤ x2 ≤4）1? x3 ? 4=min｛ E(1) ? C (1) ? f 4 (0) , E (1) ? C (2) ? f 4 (1) , E (1) ? C (3) ? f 4 (2)E (1) ? C (4) ? f 4 (3) ｝=min｛11.5,12,12.5,13｝=11.5(由（1）式计算费用)? =1 x3f 3 (2) = min {E (2) ? C ( x3 ) ? f 4 ( x3 )}0? x3 ?3（由（3）式知 0≤ x3 ≤3）=min｛ E(2) ? C(0) ? f 4 (0) , E(2) ? C (1) ? f 4 (1) , E(2) ? C(2) ? f 4 (2)E (2) ? C (3) ? f 4 (3) ｝=min｛1+7,11.5,12,12.5｝=8(由（1）式计算费用)? =0 x3f 3 (3) = min {E (3) ? C ( x3 ) ? f 4 ( x3 ? 1)}0? x3 ? 2（由（3）式知 0≤ x3 ≤2）=min ｛ E (3) ? C (0) ? f 4 (1) , E (3) ? C (1) ? f 4 (2) , E (3) ? C (2) ? f 4 (3) ｝ (由（1）式计算费用) =min｛8,11.5,12｝=8 所有情况汇成下表：? =0 x3x3 ?0.5s3 x3 ? 0 ? ?0.5s3 ? (3 ? x3 ) x3 ? 1,2,3,41 12 2 12.5 12 3 4 13 12.5f 3 ( s3 )? x3s30 1 20 5.511.512 11.5 82 1 035313 8 88 11.5 11.5 12 12 12.50当 k=2 时，有f 2 ( s 2 ) = min{E ( s 2 ) ? C ( x2 ) ? f 3 ( s 2 ? x 2 ? 3)}x2 ?U 2其中状态变量 s2 =｛0，1，2，3｝ 类似于 k=3 时的分析，决策变量 x2 允许决策集 U 2 ： 1）满足需求： s2 ＋ x2 ≥3，即 x2 ≥3－ s2 ； 2）非负限制： x2 ≥0。 综合 1）2）知， x3 ≥max｛0,3－ s2 ｝. 3）期末存货为零： s 3 ≤4＋2，即 s2 ＋ x2 －3≤6，即 x2 ≤9－ s2 。 4）最大库存量的限制： s 3 = s2 ＋ x2 －3≤3，即 x2 ≤6－ s2 。 5）最大生产能力的限制： x2 ≤6 综合 3）4）5）知 x2 ≤min｛6，6－ s2 ，9－ s2 ｝ 总之有： U2：Max｛0,3－ s2 ｝≤ x2 ≤min｛6,6－ s2 ,9－ s2 ｝的整数 下对 s2 = 0，1，2，3 分别计算 f 2 ( s 2 ) 的值。1 s =0，由（4）式知：3≤ x ≤6，所以 ○ 2 2（4）f 2 (0) = min {E (0) ? C ( x2 ) ? f 3 ( x2 ? 3)}3? x2 ? 6=min{ E(0) ? C (3) ? f 3 (0) , E(0) ? C (4) ? f 3 (1) , E(0) ? C(5) ? f 3 (2) ,E(0) ? C (6) ? f 3 (3) }=min ｛0＋6＋12,0＋7＋11.5,0＋8＋8,0＋9＋8｝=16.2 s =1，由（4）式知：2≤ x ≤5，所以 ○ 2 2? =5. x2f 2 (1) = min {E (1) ? C ( x2 ) ? f 3 ( x2 ? 2)}2 ? x2 ? 5=min｛ E(1) ? C (2) ? f 3 (0) , E(1) ? C(3) ? f 3 (1) , E(1) ? C (4) ? f 3 (2)36E(1) ? C(5) ? f 3 (3) ｝=min｛0.5＋5＋12,0.5＋6＋11.5,0.5＋7＋8,0.5＋9＋8｝=15.5.3 s =2，由（4）式知：1≤ x ≤4，所以 ○ 2 2? =4 x2f 2 (2) = min {E (2) ? C ( x2 ) ? f 3 ( x2 ? 1)}1? x2 ? 4=min｛ E(2) ? C(1) ? f 3 (0) , E(2) ? C(2) ? f 3 (1) , E(2) ? C(3) ? f 3 (2)E(2) ? C(4) ? f 3 (3) ｝=｛1＋4＋12,1＋5＋11.5,1＋6＋8,1＋7＋8｝=15.4 s =3，由（4）式知：0≤ x ≤3，所以 ○ 2 2? =3 x2f 2 (3) = min {E (3) ? C ( x2 ) ? f 3 ( x2 )}0 ? x2 ? 3=min｛ E(3) ? C (0) ? f 3 (0) , E(3) ? C(1) ? f 3 (1) , E(3) ? C(2) ? f 3 (2) ,E(3) ? C(3) ? f 3 (3) ｝=min｛1.5＋12,1.5＋4＋11.5,1.5＋5＋8,1.5＋6＋8｝=13.5. 计算结果见下表：? =0 x20.5s 2 x2 ? 0 x2 ? ? ?0.5s 2 ? (3 ? x2 ) x 2 ? 1,2,3,4,5,6s20 1 2 3 0 1 2 17.5 17.5 14.5 3 4 5 6 17f 2 (s2 )? x213.517 1718 18.5 16 18 15.5 17 15 16 15.516 15.5 15 13.55 4 3 0当 k=1 时，有f1 (s1 ) =min｛ E(s1 ) ? C ( x1 ) ? f 2 (s1 ? x1 ? 2) ｝其中状态变量 s1 =0。 决策变量 x1 满足的约束为：1 需求量： x ≥2。 ○ 1372 最大生产能力： x ≤6。 ○ 1 3 最大库存能力： s ≤3，即 x －2≤3，即 x ≤5。总之： 2≤ x ≤5 的整数。 ○ 1 1 1 2从而f1 (s1 ) = f1 (0) = min {C ( x1 ) ? f 2 ( x1 ? 2)}2? x1 ?5计算结果见下表：x1 C( x1 ) ? f 2 ( x1 ? 2)f1 (s1 )s10 2 21 3 21.5 4 22 5 21.5 21? x12故总最低费用为 f1 (0) =21（千元） 。? 第一个月的最佳产量为 x1 =2，而需求为 g1 =2，所以第二个月初库存量为 0，即 s2 =0。? ? 由 s2 =0 查表得：x2 =5， 即第二个月的最佳产量为 5， 而需求为 g 2 =3， 故 s 3 =2， 查表得 x3 =0，* 即第三个月的最佳产量为 0，这样，第四个月的产量只能是 x4 =4。第八讲：设备更新问题企业中经常会遇到一台设备应该使用多少年更新最合算的问题。 一般来说， 一台设备在 比较新时，年运转量大，经济收入高，故障少，维修费用少，但随着使用年限的增加，年运 转量减少因而收入减少，故障变多，维修费用增加。如果更新可提高年净收入，但是当年要 支出一笔数额较大的购买费。 设备更新的一般提法为：在已知一台设备的效益函数 r (t ) ，维修费用函数 u(t ) 及更新 费用函数 c(t ) 条件下，要求在 n 年难得每年初作出决策，是继续使用旧设备还是更换一台 新的，使 n 年总效益最大。下从一具体的例子讲起。 例 11 某台新设备的年效益及年均维修费、更新净费用如表 7-15 所示。试确定今后 5 年内的更新策略，使总收益最大。 表 7-15 单位：万元 役龄 项目 效益 rk (t ) 0 5 1 4.5 2 4 3 3.75 4 3 5 2.538维修费 u k (t ) 更新费 ck (t )0.5 0.51 1.51.5 2.22 2.52.5 33 3.5解：以年限划分阶段 k：1，2，3，4，5x1 s1 =0Ⅰ x2x2 s2 =1Ⅱ x3x3s3Ⅲx4 s4Ⅳ x3x5 s5 x4s6x3 g1 ( x1 )g 2 ( x2 )g 3 ( x3 )第 k 年初：g 3 ( x3 )g 4 ( x4 )g 3 ( x3 )x3 g 5 ( x5 )?K 决策变量 xk ： xk = ? ?Rg 2 ( x2 )g保留使用 2 ( x2 )g 3 ( x3 )更新g 4 ( x4 )g 3 ( x3 )g 2 ( x2 )g 3 ( x3 )状态变量 sk ：第 k 年初，设备已使用过的年数，称役龄。 状态转移方程： s k ?1 = ?g 2 ( x2 )g 3 ( x3 )?s k ? 1 x k ? K xk ? R ? 1，再使用 1 年时的效益。 rk (t ) ：在第 k 年设备已使用过 t 年（或役龄为 t 年） ，再使用 1 年时的维修费用。 u k (t ) ：在第 k 年设备已使用过 t 年（或役龄为 t 年）ck (t ) ：在第 k 年卖掉一台役龄为 t 年的设备，买进一台新的设备的更新净费用。即： ck (t ) =买一部新机器的费用－卖一部 t 年役龄的旧机器的收益。 阶段指标函数：? rk ( s k ) ? u k ( s k ) g k ( xk ) = ? ?rk (0) ? u k (0) ? ck ( s k )xk ? K xk ? R最优指标函数 f k ( s k ) ：第 k 年初，使用一台已用了 sk 年的设备，到第 5 年末的最大效 益，有? r ( s ) ? u k ( s k ) ? f k ?1 ( s k ?1 ) f k ( s k ) = max ? k k ?rk (0) ? u k (0) ? ck ( s k ) ? f k ?1 (1)按逆序建立递推式：xk ? K xk ? R? f k (sk ) ? ? ? f 6 (s6 ) ? 0xk ? K , Rmax ?g k ( x k ) ? f k ?1 ( s k ?1 )? k ? 5,4,3,2,1下面用逆序法求解：39K=5 时：? r5 ( s5 ) ? u 5 ( s5 ) f 5 (s5 ) = max {g 5 ( x5 ) ? f 6 ( s 6 )} =max ? x5 ? K , R ?r5 (0) ? u 5 (0) ? c5 ( s5 )x5 ? K x5 ? R此时， s5 得所有可能取值为：1，2，3，4。下分别求最优指标函数值：r5 (1) ? u 5 (1) ? f 5 (1) = max ? ?r5 (0) ? u 5 (0) ? c5 (1)=max ?x5 ? K x5 ? R* 此时， x5 =K? 4.5 ? 1 ? ? =3.5. ?5 ? 0.5 ? 1.5?r5 ( 2) ? u 5 ( 2) ? f 5 (2) =max ? ?r5 (0) ? u 5 (0) ? c5 ( 2)= max ?x5 ? K x5 ? R* 此时， x5 =K? 4 ? 1.5 ? ? =2.5 5 ? 0 . 5 ? 2 . 2 ? ?r5 (3) ? u 5 (3) ? f 5 (3) = max ? ?r5 (0) ? u5 (0) ? c5 (3)= max ?x5 ? K x5 ? R* 此时， x5 =R? 3.75 ? 2 ? ? =2 ?5 ? 0.5 ? 2.5?r5 ( 4) ? u 5 ( 4) ? f 5 (4) = max ? ?r5 (0) ? u 5 (0) ? c5 ( 4)= max ?x5 ? K x5 ? R* 此时，}