好玩的点卡网络游戏数学详案
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时间：2014-10-28 02:41
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幼儿园大班数学关于 单双数 详案或教案速求!最好是优秀观摩课的教案,最好要详细些
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1设计思路：认识10以内的单双数是大班幼儿学习的内容,根据传统的教学方法既枯燥又没有真正的理解单双数的实际意义.《纲要》中体现出来的数学教育的新目标和教育价值,要求我们教师转变教育观念,在生活和和游戏的真实情景和解决问题的过程中逐渐形成幼儿的数学感和数学意识,因此,我通过创设2元超市的情境,让幼儿在富有生活气息的超市中感知理解单双数的概念,在操作中区分10以内的单双数.在整个教学活动中,教师与幼儿之间、幼儿相互之间以及幼儿与材料之间,不断地进行着交流、对话,引导幼儿感受和体验事物的数量关系,帮助他们整理、归纳所获得的单双数学习经验.活动目标：1、通过创设情境、游戏化的教学,让幼儿在操作中理解并区分10以内的单双数；2、培养幼儿从身边事物中发现单双数的能力；3、激发幼儿对单双数的兴趣,能积极主动地参与数学活动.活动准备：2元超市场景、1——10的代用券,红色水彩笔每人一支、幼儿分组操作材料活动过程：一、情景导入,引起兴趣瞧!我们已经来到了2元超市,你们来猜一猜,它为什么叫2元超市呢?二、在购物游戏中体验、感知单双数1、教师讲解游戏规则.数一数,你有几元钱?圈一圈,你能买几样东西?2、幼儿进行购物游戏,提醒幼儿做一个文明小顾客.三、在交流与比较中理解单双数1、讨论：你有几元钱?买了几样东西?还有钱多吗?2、回收代用券：还剩一元的小朋友把代用券送到一边,都用完的送到另一边.3、集体检验,解决问题：“1”该送哪边?4、教师小结：①像1、3、5、7、9这样两个两个地数,总会剩下一个的数叫单数；2、4、6、8、10这样都能凑成2个2个的数叫双数.②10以内有5个单数,也有5个双数.③单数挨着双数,双数挨着单数,它们手拉手,都是好朋友.四、在游戏与操作中区分单双数1、寻找身边的单双数2、分组操作准备4组操作材料,幼儿自由选择进行操作.●圈一圈：两个两个地圈,区分单双数.●分一分：在许多点卡和图卡中区分出单双数.●转一转：转动转盘,当转盘停下时记录下指针所指的数是单数还是双数.●扔一扔：扔骰子,记录下单双数并写出它的两个相邻数.3、集体游戏抱一抱：单数——自己抱自己；双数——找个朋友抱一抱.2一、活动目标能区别10以数的单双数.发展思维的灵活性.二、重点与难点理解单数和双数的含义.三、材料及环境创设在活动室里放置一些成单成双的物体.在教学角里提供木珠、雪花片等操作材料.各种贴绒水果、动物、教学卡、汉字卡…….四、设计思路幼儿区别和理解10以内数的单双数,一般要经过以下过程：第一对单和双概念的了解,即知道一个物体为单,如人身上的嘴是单个的.两各物体是双,如一双手,一双眼睛.第二形成区别一组物体是成双的还是成单的技能.即知道一组物体如果两个两个数,数到最后正好数完的是双数,数到最后还剩一个的是单数,并能进行实际操作.第三运用上面的技能区别10以内数的单双数.如6个物体先用数字6表示,然后通过操作知道6个物体是成双,即确定6是双数.经过这一过程,幼儿可以在理解的基础上掌握10以内的单双数,并且可以举一反三.五、活动流程感知――操作――理解――迁移通过寻找活动感知单和双的含义.（1）让幼儿找出自己身上成双和成单的东西.（2）让幼儿在活动室里找成双和成单的物品.（3）让幼儿说出大自然中成双或成单的物体.2．通过操作活动形成区别单双数的技能. （1）教幼儿认识汉字：单、双.（2）讨论如何知道某组物体是成双还是成单的,如班上的小朋友数是单还是双?让幼儿了解区别单双数的操作定义,即“两个两个数,……”（3）让幼儿操作教学角里的材料,区别盒子里的物体是双还是单,贴上相应的汉字.3．通过讨论理解如何确定某数是单数还是双数.（1）出示1~10的数字让幼儿将数字分为单数和双数两类.（2）讨论为什么1、3、5、7、9是单数,2、4、6、8、10是双数.先让幼儿在每个数字下贴上相应的水果或动物卡片,然后用操作定义去证明.（3）出示图片,让幼儿判断图上的物体是成双的还是成单的.讨论用什么方法可以很快作出正确判断（该环节着重训练幼儿思维的灵活性.）（4）通过迁移活动培养幼儿举一反三的能力.为幼儿提供超10的物体,让幼儿区别单和双.
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（数字和图案）你能发现什么秘密.关注幼儿在游戏中对数的概念的掌握情况，表扬能分享材料、合作游戏的幼儿。活动反思，要求明确，操作性强：数学活动《做纸牌》贴近幼儿生活.理解8以内数的实际意义。活动中各个环节清楚，每张卡片上图案的排列方式要不一样。
2.导入活动，产生兴趣，而且每张纸牌上图案的排列方式都不一样哦。通过3到8大扑克牌的出示，数一数、说一说，有效的帮助了幼儿理解8以内数的实际意义。通过画有与数字相等数量图案纸牌的出示。
1.教师出示纸牌8，提问。2？（数字和图案的数量是相等的。人手一个小印章.教师继续出示8以内的纸牌，引导幼儿看图的数量来说纸牌上的数字，帮助幼儿理解8以内的实际意义.感知等量物体不同的空间排列形式，再请能力中等的幼儿示范操作，请该幼儿讲述其操作过程，体验纸牌的乐趣与成功的喜悦之情。可是也存在一些不足的地方。如盖出来的印章颜色太淡，不方便展示交流，最好还是用勾线笔画点子比较好，数完以后举手回答问题，教师根据幼儿讲述给每张纸牌填上相对应的数字，并且引导幼儿念一念。
3。活动重难点，清楚操作要求。制作纸牌时，大部分幼儿都能根据数字盖出相应数量的印章，提问：看一看，这4张卡片，你能发现什么秘密、清楚要求，做纸牌。
1，并请其讲述操作过程：重点：理解8以内数的实际意义。难点，是一个趣味性强，体验到了成功制作纸牌的乐趣。）
2。因此班中幼儿参与的积极性很高，能理解8以内的实际意义，也感知了等量物体不同的空间排列形式。通过活动的开展，我觉得此活动有值得肯定的地方.教师请2名幼儿上前示范制作纸牌.提出要求：请幼儿2到3人一组自由结伴，在做好的纸牌中每个数挑两张凑成一副牌。
教师出示卡片，帮助他们理解各种纸牌游戏的规则，告诉幼儿：今天我们来开一个纸牌加工厂，请小朋友来做纸牌，图案和数字的数量相等，每一张卡片上图案的排列方式都不一样）教师小结：感知等量物体不同的空间排列形式，数量多于班级人数的4倍以上。活动准备：3~8画有图案的大扑克牌，交流、小结.教师强调要求：每人4张卡片.幼儿每人完成4张纸牌加工的作业、操作性强并且受到幼儿喜欢的活动，提醒幼儿每张卡纸牌上图案的排列方式要不一样、会用多种方法玩纸牌，没有数字。扑克牌大小的卡片。
2.学习根据数字按不同排列形式画出相应的点子，每张卡片上事先写好4~8的数字，更有利幼儿清楚操作要求，也有仍需调整一些地方。我先说说值得肯定的地方吧。活动过程：一、结合纸牌。教师做质量检查员，回收幼儿做的纸牌并鼓励做的不符合要求的幼儿重新做一张，理解8以内的实际意义，引发兴趣，根据数字画出相应数量的图案。b，帮助幼儿了解操作要求，并在个别幼儿的示范操作中。教师再请一能力较强的幼儿上前示范做纸牌，教师提问：“你是怎么做的？”三：这是什么？（纸牌）纸牌上有什么。提问：请小朋友看一看、数一数每张纸牌上有几个图案，应该写上数字几？幼儿心里默数.教师小结：纸牌可真有意思，每一张纸牌上都有数字和图案，并且数字和图案的数量是相等的。1，如正确，愿意多做的可再做一些。教师检查幼儿有没有按纸牌上的数来画相应的图案；请个别幼儿操作示范时，最好先请一能力较强的幼儿。二、学习根据8以内的数字，按不同的空间排列形式画出相应的点子。
1、纸牌比大小等游戏。2.教师可带领不会玩得幼儿玩一次。
a.教师出示4张同一个数的卡片（5）？（都是数字5的卡片：纸牌加工厂给每个小朋友4张相同数字的纸牌，要小朋友在纸牌上画出与数字相等数量的图案。同时，对此活动，合作玩纸牌排数序、纸牌配对，清楚操作要求。教师先请一能力中等的幼儿上前示范做纸牌，其他幼儿观看是否做对，教师提问：“你是怎么做的？”如做错，请其他幼儿帮助改正。四。3活动目标：1
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&span class=&url&&&span class=&z-ico-video&&&/span&https://www.zhihu.com/video/605056&/span&
&p&相信通过视频中的故事你会记住这些公式的，但&b&请注意：这节课只适用于椭圆！&/b&&/p&&p&双曲线与抛物线同样有口算公式，添加微信：t，再帮功夫老师完成一个小任务，就可以免费得到双曲线与抛物线的口算方法。&/p&&p&也可以关注我们的公众号：gfsx365，最新的免费课程都会更新在那里。&/p&&p&这么干货的教程，你不点个赞再走吗？&/p&&p&或者，您有更先进的方法，或者更牛逼的记忆技巧，可以在下面评论，好东西大家共享！&/p&
圆锥曲线大题不难，但是很多同学都苦于计算量大，容易算错，联立韦达步骤麻烦。别急，功夫老师这节课就来教大家如何口算圆锥曲线，让你的圆锥曲线大题永远不会出现计算错误！因为，我们的方法根本就不需要计算！当别人还在苦苦联立韦达时，你已经能够得出最…
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阅读须知：1.大神请移步关注曾加、Yuhang Liu、王筝等等数学仁波切。2.编辑不易，收藏同时不要忘记点赞、点赞、点赞。3.闲下来会续更，欢迎关注专栏4.如有错误，欢迎更正。如有更优解，欢迎分享。5.欢迎有想法的小伙伴投稿到专栏。 欢迎关…
&figure&&img src=&https://pic2.zhimg.com/v2-217d76e03d593e909c65e_b.jpg& data-rawwidth=&545& data-rawheight=&375& class=&origin_image zh-lightbox-thumb& width=&545& data-original=&https://pic2.zhimg.com/v2-217d76e03d593e909c65e_r.jpg&&&/figure&.&p& 向量法是解高中立体几何题的神器。只要能建立空间直角坐标系的题，都可以用向量法来解，而这样的题目可以占到所有立体几何题的 95% 以上。与传统方法相比，向量法的计算量稍微大一些，但它的优点是不需要费脑筋做辅助线，而只需要简单粗暴地按套路进行计算，所以尤其适用于复杂的问题。&/p&&p& 向量法的完整套路中，包含一种名为「叉积」的运算，它在部分地区是超出教学大纲的。但是没有「叉积」的向量法在很多情况下发挥不出它的魔力。本文就来把「叉积」这个缺口补上，让大家领略一下向量法的简单、粗暴、有效。当然啦，我知道你们会有「考试时不让用叉积」的抱怨。没关系，我会教你怎样把叉积「伪装」成不超纲的内容。&/p&&p& 本文的第一部分将介绍向量间的点积、叉积两种运算，包括它们的定义、计算公式、运算律，以及向量法中直线和平面的方向的表示方法。高中立体几何题的大部分问题都是求角或求距离，本文的第二、三部分就来介绍各种角和距离用向量法怎么求。证明题一般是要证明线、面之间的平行或垂直，或者两个角的大小、两条线段的长度相等，都可以化归成求角或求距离。在第四部分，我会讲一下叉积在求面积、求体积这两种相对罕见的题型中的用法。最后展示一道例题。&/p&&h2&一、基础知识&/h2&&p&&b& 1.1 向量的点积运算&/b&&/p&&p& 向量的点积是大纲之内的内容。设两个向量为&img src=&https://www.zhihu.com/equation?tex=%5Cvec%7Ba%7D%2C+%5Cvec%7Bb%7D& alt=&\vec{a}, \vec{b}& eeimg=&1&&，它们的夹角为&img src=&https://www.zhihu.com/equation?tex=%5Ctheta& alt=&\theta& eeimg=&1&&。&img src=&https://www.zhihu.com/equation?tex=%5Cvec%7Ba%7D%2C+%5Cvec%7Bb%7D& alt=&\vec{a}, \vec{b}& eeimg=&1&&的点积记作&img src=&https://www.zhihu.com/equation?tex=%5Cvec%7Ba%7D+%5Ccdot+%5Cvec%7Bb%7D& alt=&\vec{a} \cdot \vec{b}& eeimg=&1&&，读作「a 点乘 b」，或干脆读作「a 点 b」（「点」字常常儿化）。&img src=&https://www.zhihu.com/equation?tex=%5Cvec%7Ba%7D+%5Ccdot+%5Cvec%7Bb%7D& alt=&\vec{a} \cdot \vec{b}& eeimg=&1&&是一个数，它等于&img src=&https://www.zhihu.com/equation?tex=%5Cvec%7Ba%7D%2C+%5Cvec%7Bb%7D& alt=&\vec{a}, \vec{b}& eeimg=&1&&各自的模之积再乘以夹角的余弦：&img src=&https://www.zhihu.com/equation?tex=%5Cvec%7Ba%7D+%5Ccdot+%5Cvec%7Bb%7D+%3D+%7C%5Cvec%7Ba%7D%7C+%7C%5Cvec%7Bb%7D%7C+%5Ccos+%5Ctheta& alt=&\vec{a} \cdot \vec{b} = |\vec{a}| |\vec{b}| \cos \theta& eeimg=&1&&。当&img src=&https://www.zhihu.com/equation?tex=%5Cvec%7Ba%7D%2C+%5Cvec%7Bb%7D& alt=&\vec{a}, \vec{b}& eeimg=&1&&垂直时，&img src=&https://www.zhihu.com/equation?tex=%5Cvec%7Ba%7D+%5Ccdot+%5Cvec%7Bb%7D+%3D+0& alt=&\vec{a} \cdot \vec{b} = 0& eeimg=&1&&。&/p&&br&&p& 点积运算适用于任何维度的向量，不过本文只讨论三维情况。在空间直角坐标系中，设&img src=&https://www.zhihu.com/equation?tex=%5Cvec%7Ba%7D%2C+%5Cvec%7Bb%7D& alt=&\vec{a}, \vec{b}& eeimg=&1&&的坐标为&img src=&https://www.zhihu.com/equation?tex=%5Cvec%7Ba%7D+%3D+%28x_1%2C+y_1%2C+z_1%29%2C+%5Cvec%7Bb%7D+%3D+%28x_2%2C+y_2%2C+z_2%29& alt=&\vec{a} = (x_1, y_1, z_1), \vec{b} = (x_2, y_2, z_2)& eeimg=&1&&，则&img src=&https://www.zhihu.com/equation?tex=%5Cvec%7Ba%7D+%5Ccdot+%5Cvec%7Bb%7D& alt=&\vec{a} \cdot \vec{b}& eeimg=&1&&可用这些坐标表达为&img src=&https://www.zhihu.com/equation?tex=%5Cvec%7Ba%7D+%5Ccdot+%5Cvec%7Bb%7D+%3D+x_1x_2+%2B+y_1y_2+%2B+z_1z_2& alt=&\vec{a} \cdot \vec{b} = x_1x_2 + y_1y_2 + z_1z_2& eeimg=&1&&。&/p&&p& 向量的点积具有交换律和分配律：&br&&/p&&br&&ul&&ul&&li&交换律：&img src=&https://www.zhihu.com/equation?tex=%5Cvec%7Ba%7D+%5Ccdot+%5Cvec%7Bb%7D+%3D+%5Cvec%7Bb%7D+%5Ccdot+%5Cvec%7Ba%7D& alt=&\vec{a} \cdot \vec{b} = \vec{b} \cdot \vec{a}& eeimg=&1&&&/li&&li&分配律：&img src=&https://www.zhihu.com/equation?tex=%5Cvec%7Ba%7D+%5Ccdot+%28%5Cvec%7Bb%7D+%2B+%5Cvec%7Bc%7D%29+%3D+%5Cvec%7Ba%7D+%5Ccdot+%5Cvec%7Bb%7D+%2B+%5Cvec%7Ba%7D+%5Ccdot+%5Cvec%7Bc%7D& alt=&\vec{a} \cdot (\vec{b} + \vec{c}) = \vec{a} \cdot \vec{b} + \vec{a} \cdot \vec{c}& eeimg=&1&&&/li&&/ul&&/ul&&p&但没有结合律，因为两个向量的点积是一个数，不能再与第三个向量进行点积运算。&/p&&p&&b& 1.2 向量的叉积运算&/b&&/p&&p& 向量的叉积是本文要介绍的重点。&b&叉积仅对三维向量有定义&/b&。设两个三维向量为&img src=&https://www.zhihu.com/equation?tex=%5Cvec%7Ba%7D%2C+%5Cvec%7Bb%7D& alt=&\vec{a}, \vec{b}& eeimg=&1&&，它们的夹角为&img src=&https://www.zhihu.com/equation?tex=%5Ctheta& alt=&\theta& eeimg=&1&&。&img src=&https://www.zhihu.com/equation?tex=%5Cvec%7Ba%7D%2C+%5Cvec%7Bb%7D& alt=&\vec{a}, \vec{b}& eeimg=&1&&的叉积记作&img src=&https://www.zhihu.com/equation?tex=%5Cvec%7Ba%7D+%5Ctimes+%5Cvec%7Bb%7D& alt=&\vec{a} \times \vec{b}& eeimg=&1&&，读作「a 叉乘 b」，或干脆读作「a 叉 b」（「叉」字也可以儿化）。&img src=&https://www.zhihu.com/equation?tex=%5Cvec%7Ba%7D+%5Ctimes+%5Cvec%7Bb%7D& alt=&\vec{a} \times \vec{b}& eeimg=&1&&是一个&b&向量&/b&，它具有以下性质：&/p&&ol&&ol&&li&它的模等于&img src=&https://www.zhihu.com/equation?tex=%5Cvec%7Ba%7D%2C+%5Cvec%7Bb%7D& alt=&\vec{a}, \vec{b}& eeimg=&1&&各自的模之积再乘以夹角的正弦，即&img src=&https://www.zhihu.com/equation?tex=%7C+%5Cvec%7Ba%7D+%5Ctimes+%5Cvec%7Bb%7D+%7C+%3D+%7C%5Cvec%7Ba%7D%7C+%7C%5Cvec%7Bb%7D%7C+%5Csin+%5Ctheta& alt=&| \vec{a} \times \vec{b} | = |\vec{a}| |\vec{b}| \sin \theta& eeimg=&1&&；&/li&&li&它的方向与&img src=&https://www.zhihu.com/equation?tex=%5Cvec%7Ba%7D%2C+%5Cvec%7Bb%7D& alt=&\vec{a}, \vec{b}& eeimg=&1&&都垂直，且满足&b&右手定则&/b&，如下图所示。&/li&&/ol&&/ol&&figure&&img src=&https://pic2.zhimg.com/v2-bcf9a0a639b75f27edeb4ab_b.jpg& data-rawwidth=&371& data-rawheight=&343& class=&content_image& width=&371&&&/figure&&p& 右手定则有两种理解方式，如下图。一种是：伸出拇指和食指，让它们分别朝向&img src=&https://www.zhihu.com/equation?tex=%5Cvec%7Ba%7D%2C+%5Cvec%7Bb%7D& alt=&\vec{a}, \vec{b}& eeimg=&1&&的方向，然后伸出中指让它与手掌垂直，则中指的方向就是&img src=&https://www.zhihu.com/equation?tex=%5Cvec%7Ba%7D+%5Ctimes+%5Cvec%7Bb%7D& alt=&\vec{a} \times \vec{b}& eeimg=&1&&的方向。另一种是：让四指从&img src=&https://www.zhihu.com/equation?tex=%5Cvec%7Ba%7D& alt=&\vec{a}& eeimg=&1&&的方向弯向&img src=&https://www.zhihu.com/equation?tex=%5Cvec%7Bb%7D& alt=&\vec{b}& eeimg=&1&&的方向，并伸出拇指，则拇指的方向就是&img src=&https://www.zhihu.com/equation?tex=%5Cvec%7Ba%7D+%5Ctimes+%5Cvec%7Bb%7D& alt=&\vec{a} \times \vec{b}& eeimg=&1&&的方向。&figure&&img src=&https://pic1.zhimg.com/v2-5039cbe610bffba3bd8078dad4c3c3e3_b.jpg& data-rawwidth=&509& data-rawheight=&282& class=&origin_image zh-lightbox-thumb& width=&509& data-original=&https://pic1.zhimg.com/v2-5039cbe610bffba3bd8078dad4c3c3e3_r.jpg&&&/figure&&/p&&br&&p&当&img src=&https://www.zhihu.com/equation?tex=%5Cvec%7Ba%7D%2C+%5Cvec%7Bb%7D& alt=&\vec{a}, \vec{b}& eeimg=&1&&平行时，&img src=&https://www.zhihu.com/equation?tex=%5Cvec%7Ba%7D+%5Ctimes+%5Cvec%7Bb%7D+%3D+%5Cvec%7B0%7D& alt=&\vec{a} \times \vec{b} = \vec{0}& eeimg=&1&&（注意结果是&b&零向量&/b&）。&br&&/p&&p& 在空间直角坐标系中，设&img src=&https://www.zhihu.com/equation?tex=%5Cvec%7Ba%7D%2C+%5Cvec%7Bb%7D& alt=&\vec{a}, \vec{b}& eeimg=&1&&的坐标为&img src=&https://www.zhihu.com/equation?tex=%5Cvec%7Ba%7D+%3D+%28x_1%2C+y_1%2C+z_1%29%2C+%5Cvec%7Bb%7D+%3D+%28x_2%2C+y_2%2C+z_2%29& alt=&\vec{a} = (x_1, y_1, z_1), \vec{b} = (x_2, y_2, z_2)& eeimg=&1&&，则&img src=&https://www.zhihu.com/equation?tex=%5Cvec%7Ba%7D+%5Ctimes+%5Cvec%7Bb%7D& alt=&\vec{a} \times \vec{b}& eeimg=&1&&可用这些坐标表达为&img src=&https://www.zhihu.com/equation?tex=%5Cvec%7Ba%7D+%5Ctimes+%5Cvec%7Bb%7D+%3D+%28y_1z_2+-+z_1y_2%2C+%5C%2C+z_1x_2+-+x_1z_2%2C+%5C%2C+x_1y_2+-+y_1x_2%29& alt=&\vec{a} \times \vec{b} = (y_1z_2 - z_1y_2, \, z_1x_2 - x_1z_2, \, x_1y_2 - y_1x_2)& eeimg=&1&&。这个公式可以用交叉相乘法来记忆：&/p&&p&&figure&&img src=&https://pic3.zhimg.com/v2-edc49f2f3787acaaf5197e_b.jpg& data-rawwidth=&435& data-rawheight=&248& class=&origin_image zh-lightbox-thumb& width=&435& data-original=&https://pic3.zhimg.com/v2-edc49f2f3787acaaf5197e_r.jpg&&&/figure&注意，左、右两个交叉相乘是「捺减撇」，中间的交叉相乘是「撇减捺」。&/p&&p& 向量的叉积具有&b&反交换律&/b&和分配律：&/p&&ul&&ul&&li&反交换律：&img src=&https://www.zhihu.com/equation?tex=%5Cvec%7Ba%7D+%5Ctimes+%5Cvec%7Bb%7D+%3D+-+%5Cvec%7Bb%7D+%5Ctimes+%5Cvec%7Ba%7D& alt=&\vec{a} \times \vec{b} = - \vec{b} \times \vec{a}& eeimg=&1&&&br&&/li&&li&分配律：&img src=&https://www.zhihu.com/equation?tex=%5Cvec%7Ba%7D+%5Ctimes+%28%5Cvec%7Bb%7D+%2B+%5Cvec%7Bc%7D%29+%3D+%5Cvec%7Ba%7D+%5Ctimes+%5Cvec%7Bb%7D+%2B+%5Cvec%7Ba%7D+%5Ctimes+%5Cvec%7Bc%7D& alt=&\vec{a} \times (\vec{b} + \vec{c}) = \vec{a} \times \vec{b} + \vec{a} \times \vec{c}& eeimg=&1&&&/li&&/ul&&/ul&&br&&p&两个向量的叉积是一个向量，可以继续与第三个向量进行叉积运算，但不幸的是，叉积运算也不满足结合律，即没有&img src=&https://www.zhihu.com/equation?tex=%28%5Cvec%7Ba%7D+%5Ctimes+%5Cvec%7Bb%7D%29+%5Ctimes+%5Cvec%7Bc%7D+%3D+%5Cvec%7Ba%7D+%5Ctimes+%28%5Cvec%7Bb%7D+%5Ctimes+%5Cvec%7Bc%7D%29& alt=&(\vec{a} \times \vec{b}) \times \vec{c} = \vec{a} \times (\vec{b} \times \vec{c})& eeimg=&1&&。&/p&&p&&b& 1.3 直线与平面方向的表示&/b&&br&&/p&&p& 在能建立空间直角坐标系的题目中，提到一条直线，一定会已知直线上两点&img src=&https://www.zhihu.com/equation?tex=A%2CB& alt=&A,B& eeimg=&1&&的坐标。两个坐标的差就是直线的方向向量&img src=&https://www.zhihu.com/equation?tex=%5Coverrightarrow%7BAB%7D& alt=&\overrightarrow{AB}& eeimg=&1&&，它可以表示直线的方向，在求角和求距离时都很有用。&/p&&p& 而平面的方向，则是用与平面&b&垂直&/b&的向量来表示的，这个向量称为「法向量」。提到一个平面，一定会已知平面上不共线的三点&img src=&https://www.zhihu.com/equation?tex=A%2CB%2CC& alt=&A,B,C& eeimg=&1&&的坐标，由此可以得到两个向量&img src=&https://www.zhihu.com/equation?tex=%5Coverrightarrow%7BAB%7D%2C+%5Coverrightarrow%7BAC%7D& alt=&\overrightarrow{AB}, \overrightarrow{AC}& eeimg=&1&&。这两个向量的叉积就是平面的法向量。根据需要，可以选择&img src=&https://www.zhihu.com/equation?tex=%5Coverrightarrow%7BAB%7D+%5Ctimes+%5Coverrightarrow%7BAC%7D& alt=&\overrightarrow{AB} \times \overrightarrow{AC}& eeimg=&1&&或&img src=&https://www.zhihu.com/equation?tex=%5Coverrightarrow%7BAC%7D+%5Ctimes+%5Coverrightarrow%7BAB%7D& alt=&\overrightarrow{AC} \times \overrightarrow{AB}& eeimg=&1&&作为平面的法向量，这两个法向量大小相同，方向相反。&br&&/p&&p&&figure&&img src=&https://pic3.zhimg.com/v2-6f18980ed7abcec5fa3b1c_b.jpg& data-rawwidth=&544& data-rawheight=&275& class=&origin_image zh-lightbox-thumb& width=&544& data-original=&https://pic3.zhimg.com/v2-6f18980ed7abcec5fa3b1c_r.jpg&&&/figure& 在立体几何题中，叉积的主要用途就是求平面的法向量。如果考试时不允许在步骤中使用叉积运算，可以用如下方法绕过去：既然法向量就是与平面中两个已知向量都垂直的向量，那么可以设出法向量&img src=&https://www.zhihu.com/equation?tex=%5Cvec%7Bn%7D& alt=&\vec{n}& eeimg=&1&&的坐标&img src=&https://www.zhihu.com/equation?tex=%28x_n%2Cy_n%2Cz_n%29& alt=&(x_n,y_n,z_n)& eeimg=&1&&，并利用&img src=&https://www.zhihu.com/equation?tex=%5Cvec%7Bn%7D& alt=&\vec{n}& eeimg=&1&&与&img src=&https://www.zhihu.com/equation?tex=%5Coverrightarrow%7BAB%7D%2C+%5Coverrightarrow%7BAC%7D& alt=&\overrightarrow{AB}, \overrightarrow{AC}& eeimg=&1&&都垂直来列出两个方程。设&img src=&https://www.zhihu.com/equation?tex=%5Coverrightarrow%7BAB%7D%2C+%5Coverrightarrow%7BAC%7D& alt=&\overrightarrow{AB}, \overrightarrow{AC}& eeimg=&1&&的坐标分别为&img src=&https://www.zhihu.com/equation?tex=%28x_1%2C+y_1%2C+z_1%29%2C+%28x_2%2C+y_2%2C+z_2%29& alt=&(x_1, y_1, z_1), (x_2, y_2, z_2)& eeimg=&1&&，则两个垂直可以用点积表示为：&/p&&blockquote&★ &img src=&https://www.zhihu.com/equation?tex=%5Cleft%5C%7B+%5Cbegin%7Barray%7D%7Bll%7D%0Ax_1x_n+%2B+y_1y_n+%2B+z_1z_n+%3D+0+%5C%5C%0Ax_2x_n+%2B+y_2y_n+%2B+z_2z_n+%3D+0%0A%5Cend%7Barray%7D+%5Cright.& alt=&\left\{ \begin{array}{ll}
x_1x_n + y_1y_n + z_1z_n = 0 \\
x_2x_n + y_2y_n + z_2z_n = 0
\end{array} \right.& eeimg=&1&&&/blockquote&&p&在试卷上列出这个方程组后，不必真正去解它，而是在草稿纸上根据&img src=&https://www.zhihu.com/equation?tex=%5Cvec%7Bn%7D+%3D+%5Coverrightarrow%7BAB%7D+%5Ctimes+%5Coverrightarrow%7BAC%7D& alt=&\vec{n} = \overrightarrow{AB} \times \overrightarrow{AC}& eeimg=&1&&，利用交叉相乘法算出法向量坐标，直接把结果写到试卷上。但这种「伪装」具有一定的局限性——方程组只能解出法向量的方向，不能解出它的模，所以遇到需要使用叉积的模的场合，就绕不过去了。&/p&&h2&二、用向量法求各种角&/h2&&p& 高中立体几何涉及的角度有：线线角、线面角、面面角。&/p&&p&&b& 2.1 求两条直线的夹角&/b&&/p&&p& 设两条直线的方向向量分别为&img src=&https://www.zhihu.com/equation?tex=%5Cvec%7Ba%7D%2C+%5Cvec%7Bb%7D& alt=&\vec{a}, \vec{b}& eeimg=&1&&，它们的夹角为&img src=&https://www.zhihu.com/equation?tex=%5Ctheta& alt=&\theta& eeimg=&1&&。两条直线的夹角，就是&img src=&https://www.zhihu.com/equation?tex=%5Ctheta& alt=&\theta& eeimg=&1&&和&img src=&https://www.zhihu.com/equation?tex=%5Cpi+-+%5Ctheta& alt=&\pi - \theta& eeimg=&1&&中较小的那个，它的余弦一定是非负的。由点积定义&img src=&https://www.zhihu.com/equation?tex=%5Cvec%7Ba%7D+%5Ccdot+%5Cvec%7Bb%7D+%3D+%7C%5Cvec%7Ba%7D%7C+%7C%5Cvec%7Bb%7D%7C+%5Ccos+%5Ctheta& alt=&\vec{a} \cdot \vec{b} = |\vec{a}| |\vec{b}| \cos \theta& eeimg=&1&&可得两个方向向量的夹角为&img src=&https://www.zhihu.com/equation?tex=%5Carccos+%5Cfrac%7B%5Cvec%7Ba%7D+%5Ccdot+%5Cvec%7Bb%7D%7D%7B%7C%5Cvec%7Ba%7D%7C+%7C%5Cvec%7Bb%7D%7C%7D& alt=&\arccos \frac{\vec{a} \cdot \vec{b}}{|\vec{a}| |\vec{b}|}& eeimg=&1&&，于是两条直线的夹角就是&img src=&https://www.zhihu.com/equation?tex=%5Carccos+%5Cfrac%7B%7C%5Cvec%7Ba%7D+%5Ccdot+%5Cvec%7Bb%7D%7C%7D%7B%7C%5Cvec%7Ba%7D%7C+%7C%5Cvec%7Bb%7D%7C%7D& alt=&\arccos \frac{|\vec{a} \cdot \vec{b}|}{|\vec{a}| |\vec{b}|}& eeimg=&1&&。&/p&&p&&figure&&img src=&https://pic2.zhimg.com/v2-c6adbbf10eb7bed_b.jpg& data-rawwidth=&572& data-rawheight=&225& class=&origin_image zh-lightbox-thumb& width=&572& data-original=&https://pic2.zhimg.com/v2-c6adbbf10eb7bed_r.jpg&&&/figure& 有同学要问了：上面的方法利用的是点积，那么利用叉积求得两条直线的夹角为&img src=&https://www.zhihu.com/equation?tex=%5Carcsin+%5Cfrac%7B%7C%5Cvec%7Ba%7D+%5Ctimes+%5Cvec%7Bb%7D%7C%7D%7B%7C%5Cvec%7Ba%7D%7C+%7C%5Cvec%7Bb%7D%7C%7D& alt=&\arcsin \frac{|\vec{a} \times \vec{b}|}{|\vec{a}| |\vec{b}|}& eeimg=&1&&行不行呢？答案是：行，但是&b&叉积的计算量比点积大&/b&，所以优先选择点积。&/p&&br&&p& 注意向量法并不要求两条直线共面，它&b&同样适用于异面直线&/b&！这就避免了传统方法中作平行线的麻烦。&br&&/p&&p&&b& 2.2 求直线与平面的夹角&/b&&/p&&p& 设直线的方向向量为&img src=&https://www.zhihu.com/equation?tex=%5Cvec%7Ba%7D& alt=&\vec{a}& eeimg=&1&&，平面的法向量为&img src=&https://www.zhihu.com/equation?tex=%5Cvec%7Bn%7D& alt=&\vec{n}& eeimg=&1&&，两个向量的夹角为&img src=&https://www.zhihu.com/equation?tex=%5Ctheta& alt=&\theta& eeimg=&1&&。容易看出，待求的线面角&img src=&https://www.zhihu.com/equation?tex=%5Calpha& alt=&\alpha& eeimg=&1&&是&img src=&https://www.zhihu.com/equation?tex=%5Ctheta& alt=&\theta& eeimg=&1&&和&img src=&https://www.zhihu.com/equation?tex=%5Cpi+-+%5Ctheta& alt=&\pi - \theta& eeimg=&1&&中较小者的余角，&img src=&https://www.zhihu.com/equation?tex=%5Csin%5Calpha+%3D+%7C%5Ccos%5Ctheta%7C& alt=&\sin\alpha = |\cos\theta|& eeimg=&1&&。由点积定义，&img src=&https://www.zhihu.com/equation?tex=%5Cvec%7Ba%7D+%5Ccdot+%5Cvec%7Bn%7D+%3D+%7C%5Cvec%7Ba%7D%7C+%7C%5Cvec%7Bn%7D%7C+%5Ccos+%5Ctheta& alt=&\vec{a} \cdot \vec{n} = |\vec{a}| |\vec{n}| \cos \theta& eeimg=&1&&，于是有&img src=&https://www.zhihu.com/equation?tex=%5Calpha+%3D+%5Carcsin+%5Cfrac%7B%7C%5Cvec%7Ba%7D+%5Ccdot+%5Cvec%7Bn%7D%7C%7D%7B%7C%5Cvec%7Ba%7D%7C+%7C%5Cvec%7Bn%7D%7C%7D& alt=&\alpha = \arcsin \frac{|\vec{a} \cdot \vec{n}|}{|\vec{a}| |\vec{n}|}& eeimg=&1&&。与 2.1 节相同，我们优先选择计算量小的点积运算，而不是叉积。&figure&&img src=&https://pic2.zhimg.com/v2-df0f89a2b82dee5e1251e01_b.jpg& data-rawwidth=&347& data-rawheight=&197& class=&content_image& width=&347&&&/figure&&/p&&p& 请再次领略向量法的简单粗暴有效：传统方法中，要求线面角，必须找到直线与平面的交点，并作出直线在平面内的投影。而在向量法中，只要知道直线上的任意两点和平面中任意三点（不共线）的坐标，就可以代入公式计算出直线的方向向量和平面的法向量，再代入公式计算夹角，完全不必考虑五个已知点的位置关系。&/p&&p&&b& 2.3 求两个平面的夹角&/b&&/p&&p& 设两个平面的法向量分别为&img src=&https://www.zhihu.com/equation?tex=%5Cvec%7Bn%7D%2C+%5Cvec%7Bm%7D& alt=&\vec{n}, \vec{m}& eeimg=&1&&，它们的夹角为&img src=&https://www.zhihu.com/equation?tex=%5Ctheta& alt=&\theta& eeimg=&1&&。两个平面的夹角，就是&img src=&https://www.zhihu.com/equation?tex=%5Ctheta& alt=&\theta& eeimg=&1&&和&img src=&https://www.zhihu.com/equation?tex=%5Cpi+-+%5Ctheta& alt=&\pi - \theta& eeimg=&1&&中较小的那个。用与 2.1 节相同的方法，可以得到两个平面的夹角为&img src=&https://www.zhihu.com/equation?tex=%5Carccos+%5Cfrac%7B%7C%5Cvec%7Bn%7D+%5Ccdot+%5Cvec%7Bm%7D%7C%7D%7B%7C%5Cvec%7Bn%7D%7C+%7C%5Cvec%7Bm%7D%7C%7D& alt=&\arccos \frac{|\vec{n} \cdot \vec{m}|}{|\vec{n}| |\vec{m}|}& eeimg=&1&&。&br&&/p&&figure&&img src=&https://pic2.zhimg.com/v2-5d6a75bd7a4afebe4befc_b.jpg& data-rawwidth=&375& data-rawheight=&298& class=&content_image& width=&375&&&/figure&&p& 在几何题中，提到「二面角」，往往指的不是两个「平面」的夹角，而是两个「半平面」的夹角——也就是说，求的是&img src=&https://www.zhihu.com/equation?tex=%5Ctheta& alt=&\theta& eeimg=&1&&和&img src=&https://www.zhihu.com/equation?tex=%5Cpi+-+%5Ctheta& alt=&\pi - \theta& eeimg=&1&&中特定的某一个。怎么知道是哪一个呢？还记得在求法向量的时候，可以人为选择箭头指向哪一头吗？只要让两个法向量&b&一个指向角外，一个指向角内&/b&（如上图），那么两个半平面构成的二面角&img src=&https://www.zhihu.com/equation?tex=%5Calpha& alt=&\alpha& eeimg=&1&&，就一定是两个法向量的夹角&img src=&https://www.zhihu.com/equation?tex=%5Ctheta+%3D+%5Carccos+%5Cfrac%7B%5Cvec%7Bn%7D+%5Ccdot+%5Cvec%7Bm%7D%7D%7B%7C%5Cvec%7Bn%7D%7C+%7C%5Cvec%7Bm%7D%7C%7D& alt=&\theta = \arccos \frac{\vec{n} \cdot \vec{m}}{|\vec{n}| |\vec{m}|}& eeimg=&1&&（注意分子上没有绝对值），而不是它的补角了。反之，如果两个法向量都指向角内或都指向角外，那么二面角&img src=&https://www.zhihu.com/equation?tex=%5Calpha& alt=&\alpha& eeimg=&1&&就是法向量夹角&img src=&https://www.zhihu.com/equation?tex=%5Ctheta& alt=&\theta& eeimg=&1&&的补角&img src=&https://www.zhihu.com/equation?tex=%5Cpi+-+%5Ctheta& alt=&\pi - \theta& eeimg=&1&&。&/p&&br&&p& 用向量法求二面角，同样不需要找到两个面的交线和它在两个面内的垂线，而只需要知道两个面内六个点的坐标。在很多情况下，交线上会有两个已知点，那么就只需要在两个面中各再找一个点。&/p&&br&&h2&三、用向量法求各种距离&/h2&&p& 点、线、面三种图形两两组合，可以得到六种距离：两点距、点线距、点面距、线线距、线面距、面面距。其中线面距、面面距只在线面或面面平行时才有定义，此时可以在直线或其中一个平面中任取一点，转化为点面距。因此这一部分将介绍前四种距离的求法。&/p&&p&&b& 3.1 求两点间的距离&/b&&/p&&p& 设两点的坐标分别为&img src=&https://www.zhihu.com/equation?tex=A%28x_1%2Cy_1%2Cz_1%29%2C+B%28x_2%2Cy_2%2Cz_2%29& alt=&A(x_1,y_1,z_1), B(x_2,y_2,z_2)& eeimg=&1&&，则它们的距离为&img src=&https://www.zhihu.com/equation?tex=%7CAB%7C+%3D+%5Csqrt%7B%28x_1-x_2%29%5E2+%2B+%28y_1-y_2%29%5E2+%2B+%28z_1-z_2%29%5E2%7D& alt=&|AB| = \sqrt{(x_1-x_2)^2 + (y_1-y_2)^2 + (z_1-z_2)^2}& eeimg=&1&&。&/p&&p&&b& 3.2 求点到直线的距离&br&&/b&&/p&&p& 如图，设直线上任意一点到已知点的向量为&img src=&https://www.zhihu.com/equation?tex=%5Cvec%7Ba%7D& alt=&\vec{a}& eeimg=&1&&，直线的方向向量为&img src=&https://www.zhihu.com/equation?tex=%5Cvec%7Bb%7D& alt=&\vec{b}& eeimg=&1&&，两个向量的夹角为&img src=&https://www.zhihu.com/equation?tex=%5Ctheta& alt=&\theta& eeimg=&1&&。可以看出，点到直线的距离为&img src=&https://www.zhihu.com/equation?tex=%7C%5Cvec%7Ba%7D%7C+%5Csin+%5Ctheta& alt=&|\vec{a}| \sin \theta& eeimg=&1&&。由叉积的定义，有&img src=&https://www.zhihu.com/equation?tex=%7C+%5Cvec%7Ba%7D+%5Ctimes+%5Cvec%7Bb%7D+%7C+%3D+%7C%5Cvec%7Ba%7D%7C+%7C%5Cvec%7Bb%7D%7C+%5Csin+%5Ctheta& alt=&| \vec{a} \times \vec{b} | = |\vec{a}| |\vec{b}| \sin \theta& eeimg=&1&&，所以点到直线的距离就是&img src=&https://www.zhihu.com/equation?tex=%5Cfrac%7B%7C%5Cvec%7Ba%7D+%5Ctimes+%5Cvec%7Bb%7D%7C%7D%7B%7C%5Cvec%7Bb%7D%7C%7D& alt=&\frac{|\vec{a} \times \vec{b}|}{|\vec{b}|}& eeimg=&1&&。&/p&&br&&p&&figure&&img src=&https://pic4.zhimg.com/v2-1f3fa64e5d2c14cf6b343e91d3296457_b.jpg& data-rawwidth=&419& data-rawheight=&172& class=&content_image& width=&419&&&/figure& 这里为什么使用了计算量大的叉积，而不是点积呢？这是为了利用叉积定义中现成的&img src=&https://www.zhihu.com/equation?tex=%5Csin+%5Ctheta& alt=&\sin \theta& eeimg=&1&&。&/p&&p&&b& 3.3 求点到平面的距离&br&&/b&&/p&&p& 如图，设平面上任意一点到已知点的向量为&img src=&https://www.zhihu.com/equation?tex=%5Cvec%7Ba%7D& alt=&\vec{a}& eeimg=&1&&，平面的法向量为&img src=&https://www.zhihu.com/equation?tex=%5Cvec%7Bn%7D& alt=&\vec{n}& eeimg=&1&&，两个向量的夹角为&img src=&https://www.zhihu.com/equation?tex=%5Ctheta& alt=&\theta& eeimg=&1&&。可以看出，点到直线的距离为&img src=&https://www.zhihu.com/equation?tex=%7C%5Cvec%7Ba%7D%7C+%7C%5Ccos+%5Ctheta%7C& alt=&|\vec{a}| |\cos \theta|& eeimg=&1&&（余弦取绝对值是因为&img src=&https://www.zhihu.com/equation?tex=%5Ctheta& alt=&\theta& eeimg=&1&&可能是钝角）。由点积的定义，有&img src=&https://www.zhihu.com/equation?tex=%5Cvec%7Ba%7D+%5Ccdot+%5Cvec%7Bn%7D+%3D+%7C%5Cvec%7Ba%7D%7C+%7C%5Cvec%7Bn%7D%7C+%5Ccos+%5Ctheta& alt=&\vec{a} \cdot \vec{n} = |\vec{a}| |\vec{n}| \cos \theta& eeimg=&1&&，所以点到平面的距离就是&img src=&https://www.zhihu.com/equation?tex=%5Cfrac%7B%7C%5Cvec%7Ba%7D+%5Ccdot+%5Cvec%7Bn%7D%7C%7D%7B%7C%5Cvec%7Bn%7D%7C%7D& alt=&\frac{|\vec{a} \cdot \vec{n}|}{|\vec{n}|}& eeimg=&1&&。&/p&&br&&p&&figure&&img src=&https://pic1.zhimg.com/v2-7c10fa086b4c_b.jpg& data-rawwidth=&365& data-rawheight=&216& class=&content_image& width=&365&&&/figure& 点到平面的距离，其实是向量&img src=&https://www.zhihu.com/equation?tex=%5Cvec%7Ba%7D& alt=&\vec{a}& eeimg=&1&&在法向量&img src=&https://www.zhihu.com/equation?tex=%5Cvec%7Bn%7D& alt=&\vec{n}& eeimg=&1&&上的投影长度，&img src=&https://www.zhihu.com/equation?tex=%5Cfrac%7B%7C%5Cvec%7Ba%7D+%5Ccdot+%5Cvec%7Bn%7D%7C%7D%7B%7C%5Cvec%7Bn%7D%7C%7D& alt=&\frac{|\vec{a} \cdot \vec{n}|}{|\vec{n}|}& eeimg=&1&&也正是投影长度公式。&br&&/p&&p&&b& 3.4 求两条直线的距离&/b&&/p&&p& 三维空间中直线有三种位置关系：相交、平行、异面。后两种情况都可以求距离，但方法不一样。若两条直线平行，则可在其中一条直线上任取一点，转化成求该点到另一条直线的距离。若两条直线异面，则可以按如下步骤求出它们的距离。设第一条直线上有两个已知点&img src=&https://www.zhihu.com/equation?tex=A%2CB& alt=&A,B& eeimg=&1&&，第二条直线上有两个已知点&img src=&https://www.zhihu.com/equation?tex=C%2CD& alt=&C,D& eeimg=&1&&。首先，找一个向量与两条直线都垂直，这个向量可以是两条直线的方向向量的叉积&img src=&https://www.zhihu.com/equation?tex=%5Cvec%7Bn%7D+%3D+%5Coverrightarrow%7BAB%7D+%5Ctimes+%5Coverrightarrow%7BCD%7D& alt=&\vec{n} = \overrightarrow{AB} \times \overrightarrow{CD}& eeimg=&1&&。然后，任作一条连结两条直线的线段（比如&img src=&https://www.zhihu.com/equation?tex=AC& alt=&AC& eeimg=&1&&），将它投影到&img src=&https://www.zhihu.com/equation?tex=%5Cvec%7Bn%7D& alt=&\vec{n}& eeimg=&1&&上，投影长度&img src=&https://www.zhihu.com/equation?tex=%5Cfrac%7B%7C%5Coverrightarrow%7BAC%7D+%5Ccdot+%5Cvec%7Bn%7D%7C%7D%7B%7C%5Cvec%7Bn%7D%7C%7D& alt=&\frac{|\overrightarrow{AC} \cdot \vec{n}|}{|\vec{n}|}& eeimg=&1&&就是异面直线的距离。&/p&&br&&figure&&img src=&https://pic3.zhimg.com/v2-2b5fbe67aff97b6fb7af5d784ad4e0d4_b.jpg& data-rawwidth=&266& data-rawheight=&209& class=&content_image& width=&266&&&/figure& 我们看到，两条直线的位置关系不同时，它们的距离求法不一样。但向量法最有用的时候，正是图形的位置关系不清楚的时候。有没有简便的方法判断直线的位置关系呢？有！先不管三七二十一地计算「法向量」&img src=&https://www.zhihu.com/equation?tex=%5Cvec%7Bn%7D+%3D+%5Coverrightarrow%7BAB%7D+%5Ctimes+%5Coverrightarrow%7BCD%7D& alt=&\vec{n} = \overrightarrow{AB} \times \overrightarrow{CD}& eeimg=&1&&，如果算出来发现是零向量，那么说明两条直线平行，转化成点线距。如果算出来法向量非零，那么就继续计算投影长度，如果投影长度为 0，说明两条直线相交，否则两条直线异面，投影长度是它们之间的距离。&h2&四、用向量法求三角形面积和四面体体积&/h2&&p& 这两种题型在高中立体几何中出现的频率不高，但它们与高等数学中「行列式」的概念联系紧密，有兴趣的同学可以涉猎一下。&/p&&p&&b& 4.1 求三角形的面积&br&&/b&&/p&&p& 设三角形三个顶点&img src=&https://www.zhihu.com/equation?tex=A%2CB%2CC& alt=&A,B,C& eeimg=&1&&的坐标均已知，则三角形的面积为&img src=&https://www.zhihu.com/equation?tex=S+%3D+%5Cfrac%7B1%7D%7B2%7D+%7CAB%7C+%7CAC%7C+%5Csin+%5Cangle+A& alt=&S = \frac{1}{2} |AB| |AC| \sin \angle A& eeimg=&1&&。而由叉积的定义，&img src=&https://www.zhihu.com/equation?tex=%7C%5Coverrightarrow%7BAB%7D+%5Ctimes+%5Coverrightarrow%7BAC%7D%7C+%3D+%7C%5Coverrightarrow%7BAB%7D%7C+%7C%5Coverrightarrow%7BAC%7D%7C+%5Csin+%5Cangle+A& alt=&|\overrightarrow{AB} \times \overrightarrow{AC}| = |\overrightarrow{AB}| |\overrightarrow{AC}| \sin \angle A& eeimg=&1&&，所以&img src=&https://www.zhihu.com/equation?tex=S+%3D+%5Cfrac%7B1%7D%7B2%7D+%7C%5Coverrightarrow%7BAB%7D+%5Ctimes+%5Coverrightarrow%7BAC%7D%7C& alt=&S = \frac{1}{2} |\overrightarrow{AB} \times \overrightarrow{AC}|& eeimg=&1&&。&br&&/p&&p& 这个公式同样适用于平面几何，此时&img src=&https://www.zhihu.com/equation?tex=A%2CB%2CC& alt=&A,B,C& eeimg=&1&&的&img src=&https://www.zhihu.com/equation?tex=z& alt=&z& eeimg=&1&&坐标均为 0。设&img src=&https://www.zhihu.com/equation?tex=%5Coverrightarrow%7BAB%7D+%3D+%28x_1%2C+y_1%2C+0%29& alt=&\overrightarrow{AB} = (x_1, y_1, 0)& eeimg=&1&&，&img src=&https://www.zhihu.com/equation?tex=%5Coverrightarrow%7BAC%7D+%3D+%28x_2%2C+y_2%2C+0%29& alt=&\overrightarrow{AC} = (x_2, y_2, 0)& eeimg=&1&&，则&img src=&https://www.zhihu.com/equation?tex=%5Coverrightarrow%7BAB%7D+%5Ctimes+%5Coverrightarrow%7BAC%7D+%3D+%280%2C+0%2C+x_1y_2+-+y_1x_2%29& alt=&\overrightarrow{AB} \times \overrightarrow{AC} = (0, 0, x_1y_2 - y_1x_2)& eeimg=&1&&。这个向量的&img src=&https://www.zhihu.com/equation?tex=z& alt=&z& eeimg=&1&&坐标的绝对值的一半就是三角形&img src=&https://www.zhihu.com/equation?tex=ABC& alt=&ABC& eeimg=&1&&的面积，而&img src=&https://www.zhihu.com/equation?tex=z& alt=&z& eeimg=&1&&坐标的绝对值是以&img src=&https://www.zhihu.com/equation?tex=AB%2CAC& alt=&AB,AC& eeimg=&1&&为邻边的平行四边形的面积。&img src=&https://www.zhihu.com/equation?tex=z& alt=&z& eeimg=&1&&坐标的正负号，表示在平面中从&img src=&https://www.zhihu.com/equation?tex=%5Coverrightarrow%7BAB%7D& alt=&\overrightarrow{AB}& eeimg=&1&&到&img src=&https://www.zhihu.com/equation?tex=%5Coverrightarrow%7BAC%7D& alt=&\overrightarrow{AC}& eeimg=&1&&是逆时针还是顺时针旋转，因此&img src=&https://www.zhihu.com/equation?tex=z& alt=&z& eeimg=&1&&坐标也称为平行四边形的&b&有向面积&/b&。&br&&/p&&p& 把&img src=&https://www.zhihu.com/equation?tex=%5Coverrightarrow%7BAB%7D%2C+%5Coverrightarrow%7BAC%7D& alt=&\overrightarrow{AB}, \overrightarrow{AC}& eeimg=&1&&的二维坐标排成两行两列&img src=&https://www.zhihu.com/equation?tex=%5Cleft%7C+%5Cbegin%7Barray%7D%7Bcc%7D+x_1+%26+y_1+%5C%5C+x_2+%26+y_2+%5Cend%7Barray%7D+%5Cright%7C& alt=&\left| \begin{array}{cc} x_1 & y_1 \\ x_2 & y_2 \end{array} \right|& eeimg=&1&&，这个东西称为「行列式」，它的值是一个数。二阶行列式的计算公式是「交叉相减」：&img src=&https://www.zhihu.com/equation?tex=%5Cleft%7C+%5Cbegin%7Barray%7D%7Bcc%7D+x_1+%26+y_1+%5C%5C+x_2+%26+y_2+%5Cend%7Barray%7D+%5Cright%7C+%3D+x_1y_2+-+y_1x_2& alt=&\left| \begin{array}{cc} x_1 & y_1 \\ x_2 & y_2 \end{array} \right| = x_1y_2 - y_1x_2& eeimg=&1&&。二阶行列式对应着平面中两个向量的叉积，其几何意义就是「平行四面体的有向面积」。&/p&&br&&p&&b& 4.2 求四面体的体积&br&&/b&&/p&&p&&figure&&img src=&https://pic2.zhimg.com/v2-84ec92aa63b4a1e19a21c_b.jpg& data-rawwidth=&346& data-rawheight=&295& class=&content_image& width=&346&&&/figure& 设四面体四个顶点&img src=&https://www.zhihu.com/equation?tex=A%2CB%2CC%2CD& alt=&A,B,C,D& eeimg=&1&&的坐标均已知。由 4.1 节，底面三角形&img src=&https://www.zhihu.com/equation?tex=ABC& alt=&ABC& eeimg=&1&&的面积为&img src=&https://www.zhihu.com/equation?tex=%5Cfrac%7B1%7D%7B2%7D+%7C+%5Coverrightarrow%7BAB%7D+%5Ctimes+%5Coverrightarrow%7BAC%7D+%7C& alt=&\frac{1}{2} | \overrightarrow{AB} \times \overrightarrow{AC} |& eeimg=&1&&；而四面体的高是顶点&img src=&https://www.zhihu.com/equation?tex=D& alt=&D& eeimg=&1&&到底面的距离，由 3.3 节，这个距离为&img src=&https://www.zhihu.com/equation?tex=h+%3D+%5Cfrac%7B%7C%5Coverrightarrow%7BAD%7D+%5Ccdot+%28%5Coverrightarrow%7BAB%7D+%5Ctimes+%5Coverrightarrow%7BAC%7D%29%7C%7D+%7B%7C%5Coverrightarrow%7BAB%7D+%5Ctimes+%5Coverrightarrow%7BAC%7D%7C%7D& alt=&h = \frac{|\overrightarrow{AD} \cdot (\overrightarrow{AB} \times \overrightarrow{AC})|} {|\overrightarrow{AB} \times \overrightarrow{AC}|}& eeimg=&1&&。四面体的体积为&img src=&https://www.zhihu.com/equation?tex=V+%3D+%5Cfrac%7B1%7D%7B3%7DSh+%3D+%5Cfrac%7B1%7D%7B6%7D%7C%5Coverrightarrow%7BAD%7D+%5Ccdot+%28%5Coverrightarrow%7BAB%7D+%5Ctimes+%5Coverrightarrow%7BAC%7D%29%7C& alt=&V = \frac{1}{3}Sh = \frac{1}{6}|\overrightarrow{AD} \cdot (\overrightarrow{AB} \times \overrightarrow{AC})|& eeimg=&1&&。&/p&&p& 上述结果去掉&img src=&https://www.zhihu.com/equation?tex=%5Cfrac%7B1%7D%7B6%7D& alt=&\frac{1}{6}& eeimg=&1&&后剩下的部分&img src=&https://www.zhihu.com/equation?tex=%7C%5Coverrightarrow%7BAD%7D+%5Ccdot+%28%5Coverrightarrow%7BAB%7D+%5Ctimes+%5Coverrightarrow%7BAC%7D%29%7C& alt=&|\overrightarrow{AD} \cdot (\overrightarrow{AB} \times \overrightarrow{AC})|& eeimg=&1&&，是以&img src=&https://www.zhihu.com/equation?tex=AB%2CAC%2CAD& alt=&AB,AC,AD& eeimg=&1&&为三边的平行六面体的体积。再去掉绝对值，剩下的部分称为向量&img src=&https://www.zhihu.com/equation?tex=%5Coverrightarrow%7BAB%7D%2C+%5Coverrightarrow%7BAC%7D%2C+%5Coverrightarrow%7BAD%7D& alt=&\overrightarrow{AB}, \overrightarrow{AC}, \overrightarrow{AD}& eeimg=&1&&的&b&混合积&/b&，它表示了平行六面体的&b&有向体积&/b&——若从角&img src=&https://www.zhihu.com/equation?tex=A& alt=&A& eeimg=&1&&内部观察，向量&img src=&https://www.zhihu.com/equation?tex=%5Coverrightarrow%7BAB%7D%2C+%5Coverrightarrow%7BAC%7D%2C+%5Coverrightarrow%7BAD%7D& alt=&\overrightarrow{AB}, \overrightarrow{AC}, \overrightarrow{AD}& eeimg=&1&&呈逆时针排列，则体积为正，反之为负。&/p&&br&&p& 设&img src=&https://www.zhihu.com/equation?tex=%5Coverrightarrow%7BAB%7D+%3D+%28x_1%2C+y_1%2C+z_1%29& alt=&\overrightarrow{AB} = (x_1, y_1, z_1)& eeimg=&1&&，&img src=&https://www.zhihu.com/equation?tex=%5Coverrightarrow%7BAC%7D+%3D+%28x_2%2C+y_2%2C+z_2%29& alt=&\overrightarrow{AC} = (x_2, y_2, z_2)& eeimg=&1&&，&img src=&https://www.zhihu.com/equation?tex=%5Coverrightarrow%7BAD%7D+%3D+%28x_3%2C+y_3%2C+z_3%29& alt=&\overrightarrow{AD} = (x_3, y_3, z_3)& eeimg=&1&&。容易验证，&img src=&https://www.zhihu.com/equation?tex=%5Coverrightarrow%7BAD%7D+%5Ccdot+%28%5Coverrightarrow%7BAB%7D+%5Ctimes+%5Coverrightarrow%7BAC%7D%29+%3D+x_1y_2z_3+%2B+y_1z_2x_3+%2B+z_1x_2y_3+-+x_1z_2y_3+-+y_1x_2z_3+-+z_1y_2x_3& alt=&\overrightarrow{AD} \cdot (\overrightarrow{AB} \times \overrightarrow{AC}) = x_1y_2z_3 + y_1z_2x_3 + z_1x_2y_3 - x_1z_2y_3 - y_1x_2z_3 - z_1y_2x_3& eeimg=&1&&。这正是三阶行列式&img src=&https://www.zhihu.com/equation?tex=%5Cleft%7C+%5Cbegin%7Barray%7D%7Bccc%7D+x_1+%26+y_1+%26+z_1+%5C%5C+x_2+%26+y_2+%26+z_2+%5C%5C+x_3+%26+y_3+%26+z_3+%5Cend%7Barray%7D+%5Cright%7C& alt=&\left| \begin{array}{ccc} x_1 & y_1 & z_1 \\ x_2 & y_2 & z_2 \\ x_3 & y_3 & z_3 \end{array} \right|& eeimg=&1&&的计算公式。三阶行列式对应着三维空间中三个向量的混合积，其几何意义是「平行六面体的有向体积」。&/p&&br& 行列式的概念还可以推广到更高维的空间。从同一个点出发的&img src=&https://www.zhihu.com/equation?tex=n& alt=&n& eeimg=&1&&个&img src=&https://www.zhihu.com/equation?tex=n& alt=&n& eeimg=&1&&维向量的坐标排成的&img src=&https://www.zhihu.com/equation?tex=n& alt=&n& eeimg=&1&&阶行列式，代表了以这些向量为边的&img src=&https://www.zhihu.com/equation?tex=n& alt=&n& eeimg=&1&&维「超平行体」的「有向超体积」。&h2&五、一道例题&/h2&&p&&figure&&img src=&https://pic2.zhimg.com/v2-217d76e03d593e909c65e_b.jpg& data-rawwidth=&545& data-rawheight=&375& class=&origin_image zh-lightbox-thumb& width=&545& data-original=&https://pic2.zhimg.com/v2-217d76e03d593e909c65e_r.jpg&&&/figure& 图中是一座金字塔。它是一个正四棱锥，底面&img src=&https://www.zhihu.com/equation?tex=ABCD& alt=&ABCD& eeimg=&1&&是一个边长 10 米的正方形，各个侧面都是正三角形。在底边&img src=&https://www.zhihu.com/equation?tex=BC& alt=&BC& eeimg=&1&&的中点&img src=&https://www.zhihu.com/equation?tex=G& alt=&G& eeimg=&1&&处竖立着一根高&img src=&https://www.zhihu.com/equation?tex=2%5Csqrt%7B2%7D& alt=&2\sqrt{2}& eeimg=&1&&米的火把&img src=&https://www.zhihu.com/equation?tex=FG& alt=&FG& eeimg=&1&&。&/p&&ol&&ol&&li&求金字塔相邻侧面所成的二面角&img src=&https://www.zhihu.com/equation?tex=A-EB-C& alt=&A-EB-C& eeimg=&1&&。&/li&&li&求金字塔的棱&img src=&https://www.zhihu.com/equation?tex=AE& alt=&AE& eeimg=&1&&所在直线与底边&img src=&https://www.zhihu.com/equation?tex=BC& alt=&BC& eeimg=&1&&所在直线的距离。&/li&&li&求火苗&img src=&https://www.zhihu.com/equation?tex=F& alt=&F& eeimg=&1&&到棱&img src=&https://www.zhihu.com/equation?tex=BE& alt=&BE& eeimg=&1&&所在直线的距离。&/li&&/ol&&/ol&&figure&&img src=&https://pic4.zhimg.com/v2-a1dffae48f5fce4a8520a61_b.jpg& data-rawwidth=&717& data-rawheight=&478& class=&origin_image zh-lightbox-thumb& width=&717& data-original=&https://pic4.zhimg.com/v2-a1dffae48f5fce4a8520a61_r.jpg&&&/figure&&p&&b&解：&/b&如上图建立空间直角坐标系，原点&img src=&https://www.zhihu.com/equation?tex=O& alt=&O& eeimg=&1&&为底面中心。容易求得下列各点坐标：&img src=&https://www.zhihu.com/equation?tex=A%285%2C+-5%2C+0%29%2C+B%285%2C+5%2C+0%29%2C+C%28-5%2C+5%2C+0%29%2C+F%280%2C+5%2C+0%29%2C+G%280%2C+5%2C+2%5Csqrt%7B2%7D%29& alt=&A(5, -5, 0), B(5, 5, 0), C(-5, 5, 0), F(0, 5, 0), G(0, 5, 2\sqrt{2})& eeimg=&1&&（单位均为米，下略）。金字塔的高未知，设顶点的坐标为&img src=&https://www.zhihu.com/equation?tex=E%280%2C0%2Ch%29& alt=&E(0,0,h)& eeimg=&1&&。由于侧面都是等边三角形，&img src=&https://www.zhihu.com/equation?tex=EB+%3D+%5Csqrt%7B5%5E2+%2B+5%5E2+%2B+h%5E2%7D+%3D+10& alt=&EB = \sqrt{5^2 + 5^2 + h^2} = 10& eeimg=&1&&，解得&img src=&https://www.zhihu.com/equation?tex=h+%3D+5%5Csqrt%7B2%7D& alt=&h = 5\sqrt{2}& eeimg=&1&&。&/p&&br&&p&&b&求二面角&/b&&b&&img src=&https://www.zhihu.com/equation?tex=A-EB-C& alt=&A-EB-C& eeimg=&1&&：&/b&侧面&img src=&https://www.zhihu.com/equation?tex=EBC& alt=&EBC& eeimg=&1&&的一个法向量为&img src=&https://www.zhihu.com/equation?tex=%5Coverrightarrow%7BBC%7D+%5Ctimes+%5Coverrightarrow%7BBE%7D+%3D+%28-10%2C+0%2C+0%29+%5Ctimes+%28-5%2C+-5%2C+5%5Csqrt%7B2%7D%29+%3D+%280%2C+50%5Csqrt%7B2%7D%2C+50%29& alt=&\overrightarrow{BC} \times \overrightarrow{BE} = (-10, 0, 0) \times (-5, -5, 5\sqrt{2}) = (0, 50\sqrt{2}, 50)& eeimg=&1&&，不妨缩短成&img src=&https://www.zhihu.com/equation?tex=%5Cvec%7Bn%7D+%3D+%280%2C+%5Csqrt%7B2%7D%2C+1%29& alt=&\vec{n} = (0, \sqrt{2}, 1)& eeimg=&1&&，它指向二面角&img src=&https://www.zhihu.com/equation?tex=A-EB-C& alt=&A-EB-C& eeimg=&1&&外部。侧面&img src=&https://www.zhihu.com/equation?tex=EAB& alt=&EAB& eeimg=&1&&的一个法向量为&img src=&https://www.zhihu.com/equation?tex=%5Coverrightarrow%7BBA%7D+%5Ctimes+%5Coverrightarrow%7BBE%7D+%3D+%280%2C+-10%2C+0%29+%5Ctimes+%28-5%2C+-5%2C+5%5Csqrt%7B2%7D%29+%3D+%28-50%5Csqrt%7B2%7D%2C+0%2C+-50%29& alt=&\overrightarrow{BA} \times \overrightarrow{BE} = (0, -10, 0) \times (-5, -5, 5\sqrt{2}) = (-50\sqrt{2}, 0, -50)& eeimg=&1&&，不妨缩短成&img src=&https://www.zhihu.com/equation?tex=%5Cvec%7Bm%7D+%3D+%28-%5Csqrt%7B2%7D%2C+0%2C+-1%29& alt=&\vec{m} = (-\sqrt{2}, 0, -1)& eeimg=&1&&，它指向二面角&img src=&https://www.zhihu.com/equation?tex=A-EB-C& alt=&A-EB-C& eeimg=&1&&内部。二面角的大小就是法向量的夹角，即&img src=&https://www.zhihu.com/equation?tex=%5Carccos+%5Cfrac%7B%5Cvec%7Bn%7D+%5Ccdot+%5Cvec%7Bm%7D%7D%7B%7C%5Cvec%7Bn%7D%7C+%7C%5Cvec%7Bm%7D%7C%7D+%3D+%5Carccos+%5Cleft%28-%5Cfrac%7B1%7D%7B3%7D%5Cright%29& alt=&\arccos \frac{\vec{n} \cdot \vec{m}}{|\vec{n}| |\vec{m}|} = \arccos \left(-\frac{1}{3}\right)& eeimg=&1&&。&br&&/p&&p&&b&求直线&img src=&https://www.zhihu.com/equation?tex=AE& alt=&AE& eeimg=&1&&与&img src=&https://www.zhihu.com/equation?tex=BC& alt=&BC& eeimg=&1&&的距离：&/b&先求一个与两条直线都垂直的向量&img src=&https://www.zhihu.com/equation?tex=%5Coverrightarrow%7BAE%7D+%5Ctimes+%5Coverrightarrow%7BBC%7D+%3D+%28-5%2C+5%2C+5%5Csqrt%7B2%7D%29+%5Ctimes+%28-10%2C+0%2C+0%29+%3D+%280%2C+-50%5Csqrt%7B2%7D%2C+50%29& alt=&\overrightarrow{AE} \times \overrightarrow{BC} = (-5, 5, 5\sqrt{2}) \times (-10, 0, 0) = (0, -50\sqrt{2}, 50)& eeimg=&1&&，不妨缩短成&img src=&https://www.zhihu.com/equation?tex=%5Cvec%7Bl%7D+%3D+%280%2C+-%5Csqrt%7B2%7D%2C+1%29& alt=&\vec{l} = (0, -\sqrt{2}, 1)& eeimg=&1&&。将&img src=&https://www.zhihu.com/equation?tex=%5Coverrightarrow%7BAB%7D+%3D+%280%2C+10%2C+0%29& alt=&\overrightarrow{AB} = (0, 10, 0)& eeimg=&1&&投影到这个向量上，投影长度为&img src=&https://www.zhihu.com/equation?tex=%5Cfrac%7B%7C%5Coverrightarrow%7BAB%7D+%5Ccdot+%5Cvec%7Bl%7D%7C%7D%7B%7C%5Cvec%7Bl%7D%7C%7D+%3D+%5Cfrac%7B10%7D%7B3%7D+%5Csqrt%7B6%7D& alt=&\frac{|\overrightarrow{AB} \cdot \vec{l}|}{|\vec{l}|} = \frac{10}{3} \sqrt{6}& eeimg=&1&&，这就是直线&img src=&https://www.zhihu.com/equation?tex=AE& alt=&AE& eeimg=&1&&与&img src=&https://www.zhihu.com/equation?tex=BC& alt=&BC& eeimg=&1&&的距离。&br&&/p&&br&&p&&b&求点&img src=&https://www.zhihu.com/equation?tex=F& alt=&F& eeimg=&1&&到直线&img src=&https://www.zhihu.com/equation?tex=BE& alt=&BE& eeimg=&1&&的距离：&/b&此距离&img src=&https://www.zhihu.com/equation?tex=d+%3D+%7CBF%7C+%5Csin+%5Cangle%7BFBE%7D+%3D+%5Cfrac%7B%7C+%5Coverrightarrow%7BBF%7D+%5Ctimes+%5Coverrightarrow%7BBE%7D+%7C%7D%7B%7C%5Coverrightarrow%7BBE%7D%7C%7D& alt=&d = |BF| \sin \angle{FBE} = \frac{| \overrightarrow{BF} \times \overrightarrow{BE} |}{|\overrightarrow{BE}|}& eeimg=&1&&。&img src=&https://www.zhihu.com/equation?tex=%5Coverrightarrow%7BBF%7D+%3D+%28-5%2C+0%2C+2%5Csqrt%7B2%7D%29& alt=&\overrightarrow{BF} = (-5, 0, 2\sqrt{2})& eeimg=&1&&，&img src=&https://www.zhihu.com/equation?tex=%5Coverrightarrow%7BBE%7D+%3D+%28-5%2C+-5%2C+5%5Csqrt%7B2%7D%29& alt=&\overrightarrow{BE} = (-5, -5, 5\sqrt{2})& eeimg=&1&&，&img src=&https://www.zhihu.com/equation?tex=%5Coverrightarrow%7BBF%7D+%5Ctimes+%5Coverrightarrow%7BBE%7D+%3D+%2810%5Csqrt%7B2%7D%2C+15%5Csqrt%7B2%7D%2C+25%29& alt=&\overrightarrow{BF} \times \overrightarrow{BE} = (10\sqrt{2}, 15\sqrt{2}, 25)& eeimg=&1&&，代入得&img src=&https://www.zhihu.com/equation?tex=d+%3D+%5Cfrac%7B%5Csqrt%7B51%7D%7D%7B2%7D& alt=&d = \frac{\sqrt{51}}{2}& eeimg=&1&&。&/p&
. 向量法是解高中立体几何题的神器。只要能建立空间直角坐标系的题，都可以用向量法来解，而这样的题目可以占到所有立体几何题的 95% 以上。与传统方法相比，向量法的计算量稍微大一些，但它的优点是不需要费脑筋做辅助线，而只需要简单粗暴地按套路进行计…
&figure&&img src=&https://pic4.zhimg.com/v2-bcf4bdead256bc08ed3b4d8_b.jpg& data-rawwidth=&439& data-rawheight=&276& class=&origin_image zh-lightbox-thumb& width=&439& data-original=&https://pic4.zhimg.com/v2-bcf4bdead256bc08ed3b4d8_r.jpg&&&/figure&&p&
把平时总结的易遗漏知识点罗列如下，占分不多，比较冷门；然万字长文，请大家各取所需。但我在这里总结的也不全面，希望童鞋们不吝拿出想到的易忽略内容和大家分享一下。&br&&/p&&p&——————我是分割线(=^▽^=)————————&/p&&h2&高中数学&/h2&&p&&b&1.容斥定理：&/b&&br&&/p&&img src=&https://www.zhihu.com/equation?tex=%7CA_%7B1%7D%5Ccup++A_%7B2%7D%5Ccup+%5Ccdot+%5Ccdot+%5Ccdot+%5Ccup++A_%7Bm%7D+%7C%3D& alt=&|A_{1}\cup
A_{2}\cup \cdot \cdot \cdot \cup
A_{m} |=& eeimg=&1&&&br&&figure&&img src=&https://pic2.zhimg.com/v2-16dbdd7c768_b.jpg& data-rawwidth=&592& data-rawheight=&42& class=&origin_image zh-lightbox-thumb& width=&592& data-original=&https://pic2.zhimg.com/v2-16dbdd7c768_r.jpg&&&/figure&&p&常用：&img src=&https://www.zhihu.com/equation?tex=%7CA%5Ccup+B%5Ccup+C%7C+%3D+%7CA%7C%2B%7CB%7C%2B%7CC%7C+-+%7CA%5Ccap+B%7C+-+%7CB%5Ccap+C%7C+-+%7CC%5Ccap+A%7C+%2B+%7CA%5Ccap+B%5Ccap+C%7C& alt=&|A\cup B\cup C| = |A|+|B|+|C| - |A\cap B| - |B\cap C| - |C\cap A| + |A\cap B\cap C|& eeimg=&1&&&br&&/p&&p&详细证明及题目：&a href=&https://link.zhihu.com/?target=http%3A//baike.baidu.com/link%3Furl%3D-t-D-3v6H9kZcvP7paxphyp7hPyuat_YaVri4D2mmwMsEqUM--EHtv7wu3LivqbrOPbApWSdX9KE9yPSq5noBZTbyDAWzuNxq_4c51-2kmzjdH6i3pmebFtWBlQx31IE& class=& wrap external& target=&_blank& rel=&nofollow noreferrer&&容斥原理&/a&&/p&&p&&b&2.海伦公式：&/b&有一个三角形，边长分别为a、b、c，三角形的面积&img src=&https://www.zhihu.com/equation?tex=S%3D%5Csqrt%7Bp%28p-a%29%28p-b%29%28p-c%29%7D+& alt=&S=\sqrt{p(p-a)(p-b)(p-c)} & eeimg=&1&&其中，&img src=&https://www.zhihu.com/equation?tex=p%3D%5Cfrac%7Ba%2Bb%2Bc%7D%7B2%7D+& alt=&p=\frac{a+b+c}{2} & eeimg=&1&&。&/p&&p&&b&3.三角形中线定理：&/b& 若AO是三角形ABC边BC的中线，则&img src=&https://www.zhihu.com/equation?tex=AB%5E%7B2%7D+%2BAC%5E%7B2%7D+%3D2%28BO%5E%7B2%7D+%2BAO%5E%7B2%7D+%29& alt=&AB^{2} +AC^{2} =2(BO^{2} +AO^{2} )& eeimg=&1&&&br&&/p&&p&&b&4.三角形五心&/b&(重心，外心，垂心，内心和旁心)定律。想不起来的童鞋看过来：&a href=&https://link.zhihu.com/?target=http%3A//baike.baidu.com/item/%25E4%25B8%%25A7%%25BD%25A2%25E4%25BA%%25BF%%25AE%259A%25E5%25BE%258B/Ffr%3Daladdin& class=& wrap external& target=&_blank& rel=&nofollow noreferrer&&三角形五心定律&/a&&/p&&p&&b&5.函数对称公式：&/b&&/p&&p&&img src=&https://www.zhihu.com/equation?tex=f%28a-x%29%3Df%28b%2Bx%29& alt=&f(a-x)=f(b+x)& eeimg=&1&&,则对称轴为&img src=&https://www.zhihu.com/equation?tex=x%3D%5Cfrac%7B%28b%2Ba%29%7D%7B2%7D+& alt=&x=\frac{(b+a)}{2} & eeimg=&1&&&/p&&p&&img src=&https://www.zhihu.com/equation?tex=f%28a-x%29%3D-f%28b%2Bx%29& alt=&f(a-x)=-f(b+x)& eeimg=&1&&,则对称中心为(&img src=&https://www.zhihu.com/equation?tex=%5Cfrac%7Ba%2Bb%7D%7B2%7D+& alt=&\frac{a+b}{2} & eeimg=&1&&,0)&/p&&p&当看到一个等式中x之和为0时一般为对称函数,对称轴即等于括号里的相加除以2，若题目中告诉某函数&img src=&https://www.zhihu.com/equation?tex=f%28x%29& alt=&f(x)& eeimg=&1&&关于对称&img src=&https://www.zhihu.com/equation?tex=x%3D5& alt=&x=5& eeimg=&1&&,则可写成&img src=&https://www.zhihu.com/equation?tex=f%28x%29%3Df%2810-x%29& alt=&f(x)=f(10-x)& eeimg=&1&&或&img src=&https://www.zhihu.com/equation?tex=f%285%2Bx%29%3Df%285-x%29& alt=&f(5+x)=f(5-x)& eeimg=&1&&&br&&/p&&p&&b&6.对勾函数：&/b&即形如&img src=&https://www.zhihu.com/equation?tex=f%28x%29%3Dax%2B%5Cfrac%7Bb%7D%7Bx%7D+& alt=&f(x)=ax+\frac{b}{x} & eeimg=&1&&的函数，是奇函数；渐近线是&img src=&https://www.zhihu.com/equation?tex=f%28x%29%3Dax& alt=&f(x)=ax& eeimg=&1&&和&img src=&https://www.zhihu.com/equation?tex=x%3D0& alt=&x=0& eeimg=&1&&；在第一象限，转折点是&img src=&https://www.zhihu.com/equation?tex=%28%5Csqrt%7B%5Cfrac%7Bb%7D%7Ba%7D+%7D%2C2%5Csqrt%7Bab%7D++%29& alt=&(\sqrt{\frac{b}{a} },2\sqrt{ab}
)& eeimg=&1&&，&img src=&https://www.zhihu.com/equation?tex=x%3D%5Csqrt%7B%5Cfrac%7Bb%7D%7Ba%7D+%7D+& alt=&x=\sqrt{\frac{b}{a} } & eeimg=&1&&时&img src=&https://www.zhihu.com/equation?tex=y& alt=&y& eeimg=&1&&取最小值&img src=&https://www.zhihu.com/equation?tex=2%5Csqrt%7Bab%7D+& alt=&2\sqrt{ab} & eeimg=&1&&。&/p&&p&&b&7.焦半径公式：&/b&&/p&&p&椭圆：&img src=&https://www.zhihu.com/equation?tex=r_%7B1%7D+%3Da%2Bex%2C%0Ar_%7B2%7D%3Da-ex%3B%0A& alt=&r_{1} =a+ex,
& eeimg=&1&&&br&&/p&&p&双曲线：&img src=&https://www.zhihu.com/equation?tex=r_%7B1%7D%3D%5Cleft%7Ca%2Bex%5Cright%7C%2C%0Ar_%7B2%7D%3D%5Cleft%7Ca-ex%5Cright%7C+++%3B%0A& alt=&r_{1}=\left|a+ex\right|,
r_{2}=\left|a-ex\right|
& eeimg=&1&&&/p&&p&抛物线：&img src=&https://www.zhihu.com/equation?tex=r%3Dx%2B%5Cfrac%7Bp%7D%7B2%7D+& alt=&r=x+\frac{p}{2} & eeimg=&1&&&br&&/p&&br&&p&这里有推导过程：&a href=&https://link.zhihu.com/?target=https%3A//wapbaike.baidu.com/item/%25E7%%25E5%258D%258A%25E5%25BE%%2585%25AC%25E5%25BC%258F%3Fref%3Dwise%26ssid%3D0%26from%3Duid%3D0%26pu%3Dusm%Csz%%252Cta%2540iphone___11_8.5%26bd_page_type%3D1%26baiduid%3DE2FBA3A5DD98319FBF94CB15D373B531%26tj%3Dformula_1_0_10_title& class=& wrap external& target=&_blank& rel=&nofollow noreferrer&&焦半径公式&/a&&/p&&p&焦半径公式数形结合常在圆锥曲线的选择判断压轴题。&/p&&p&8.老师敲破黑板都会忘的地方：&/p&&p&
(1).&b&&u&定义域。&/u&&/b&判断奇偶性、三角函数周期、求反函数、换元之后、实际应用题中一定一定要想着定义域。&/p&&p&
(2).直线与&img src=&https://www.zhihu.com/equation?tex=xy& alt=&xy& eeimg=&1&&轴平行/垂直的情况，各种角(平面角/二面角/异面直线成角等)范围。&/p&&p&&a href=&https://link.zhihu.com/?target=http%3A//wenku.baidu.com/link%3Furl%3Do0PfhlmIR_j1P-TKPVIM1u9l6myCbxxAsD71zandD0pLvIXJZG6I-vhZOoEQMGq27U5t82RHoE1glYhP-5mQ7jZjdDd6WHTq1iMylI-_a0W& class=& wrap external& target=&_blank& rel=&nofollow noreferrer&&高中数学易混易错知识点大全&/a&这个比较基础，愿意看的童鞋可以一看。&/p&&br&&br&&br&&br&&h2&高中生物&/h2&
1.课本上的&b&每一个实验&/b&：要认真看每一个字，尤其是所用的试剂(如溴麝香草酚蓝水溶液，斐林和双缩脲两液差别，50%酒精用于洗浮色/75%酒精用于消毒/95%酒精用于解离和粗提取DNA等等(见以下链接))和大致步骤;糖/蛋白质/脂肪/DNA鉴定、色素提取分离和观察有丝分裂要看得滚瓜烂熟甚至背过。&br&&a href=&https://link.zhihu.com/?target=https%3A//wapwenku.baidu.com/view/c90aa73deff9aefd.html%3Fssid%3D0%26from%3Duid%3D0%26pu%3Dusm%400%2Csz%4%2Cta%40utouch_1_5.1_11_8.5%26bd_page_type%3D1%26baiduid%3DE2FBA3A5DD98319FBF94CB15D373B531%26tj%3Dwenkuala_1_0_10_title%235& class=& wrap external& target=&_blank& rel=&nofollow noreferrer&&高中生物实验试剂归纳&/a&&p&&a href=&https://link.zhihu.com/?target=https%3A//wk.baidu.com/view/56a0f62acfc789eb172dc8a4%3Fpcf%3D2%235& class=& wrap external& target=&_blank& rel=&nofollow noreferrer&&高中生物实验大全&/a&&/p&&p&&b&2.课本上所有大黑体字。无论它在哪个位置，一定要背过，而且重要词语不能错字。(一定要记得这件事情)&/b&&/p&&p&&b&3.零碎易忽略知识点：&/b&&/p&&br&(1)能复制的细胞器:线粒体,叶绿体,中心体。&p&(2)原核细胞转录与翻译,出现在同一地点。&/p&&p&(3) 精原细胞和卵原细胞是通过有丝分裂形成的。&/p&&p&(4)香蕉是三倍体，减数分裂联会紊乱，不能产生正常配子，不能正常受精，因而不能&/p&&p&形成种子 。&/p&&p&(5)(选修三)生长素在植物组织培养中的主要作用是促进细胞生长与分裂,用于诱导愈伤组织形成、根的分化以及细胞的分裂和生长；细胞分裂素主要作用是促进细胞的分裂与分化,诱导不定芽的形成。&/p&&p&(6)血红蛋白在红细胞内，不属于内环境
&/p&&p&(7)吞噬细胞，来源造血干细胞，三大作用：处理，逞递抗原；吞噬抗原抗体结合体；构成人体第二道防线。
B细胞，来源造血干细胞，在骨髓中发育，起识别抗原，分化为浆细胞，记忆细胞作用。T细胞，来源造血干细胞，在胸腺中发育，识别，逞递抗原，分化为效应T细胞，记忆细胞。&/p&&p&(8)生物多样性：基因、物种、生态系统
&/p&&p&(9)细胞内具有两种核酸——脱氧核酸和核糖核酸，病毒仅具有一种遗传物质——DNA或RNA，而阮病毒仅具蛋白质。
&/p&&p&(10)叶绿体囊状结构上的能量转化途径是光能→电能→活跃的化学能→稳定的化学能
&/p&&p&(11)常见RNA病毒：烟草花叶病毒、SARS 病毒、HIV、禽流感病毒、所有流感病毒、车前草病毒、甲肝和丙肝病毒；常见DNA病毒：噬菌体、天花病毒、乙肝病毒。&/p&&p&(12)一切感觉产生于大脑皮层&br&&/p&&p&(13)目的基因被误插到受体细胞的非编码区，受体细胞不能表达此性状，而不叫基因重组（插入编码区内叫基因重组）&br&&/p&&p&(14)双螺旋和肺炎双球菌转化的相关科学家。（至今对双螺旋背后的第三人威尔金斯抱不平）&/p&&p&...(n)高中生物易忽略点实在太多，童鞋们最好拿出时间来把课本从头到尾每个字都读一遍，把自己觉得考试可能考的地方圈划下来。再次邀请看到本文的童鞋在评论区分享你所想到的易忽略内容。&/p&&br&&br&&br&&br&&h2&高中化学&/h2&&p&1.&img src=&https://www.zhihu.com/equation?tex=NaHSO_%7B4%7D+& alt=&NaHSO_{4} & eeimg=&1&&在水溶液中电离为&img src=&https://www.zhihu.com/equation?tex=Na%5E%7B%2B%7D+& alt=&Na^{+} & eeimg=&1&&，&img src=&https://www.zhihu.com/equation?tex=H%5E%7B%2B%7D+& alt=&H^{+} & eeimg=&1&&;硫酸根离子，熔融态电离为：&img src=&https://www.zhihu.com/equation?tex=Na%5E%7B%2B%7D+& alt=&Na^{+} & eeimg=&1&&，&img src=&https://www.zhihu.com/equation?tex=HSO_%7B4%7D%5E%7B-%7D+& alt=&HSO_{4}^{-} & eeimg=&1&&&/p&&p&2.&img src=&https://www.zhihu.com/equation?tex=HNO_%7B3%7D+& alt=&HNO_{3} & eeimg=&1&&，&img src=&https://www.zhihu.com/equation?tex=H_%7B2%7D+SO_%7B4%7D+& alt=&H_{2} SO_{4} & eeimg=&1&&不是离子化合物，是共价化合物。&/p&&p&3.&img src=&https://www.zhihu.com/equation?tex=SO_%7B2%7D& alt=&SO_{2}& eeimg=&1&&与&img src=&https://www.zhihu.com/equation?tex=Na_%7B2%7DCO_%7B3%7D& alt=&Na_{2}CO_{3}& eeimg=&1&&的反应，&img src=&https://www.zhihu.com/equation?tex=SO_%7B2%7D& alt=&SO_{2}& eeimg=&1&&由少到多分别可写为： &/p&&img src=&https://www.zhihu.com/equation?tex=SO_%7B2%7D+%2BH_%7B2%7D+O%2B2Na_%7B2%7D+CO_%7B3%7D+%3D2NaHCO_%7B3%7D+%2BNa_%7B2%7D+SO_%7B3%7D++& alt=&SO_{2} +H_{2} O+2Na_{2} CO_{3} =2NaHCO_{3} +Na_{2} SO_{3}
& eeimg=&1&&&img src=&https://www.zhihu.com/equation?tex=SO_%7B2%7D+%2BH_%7B2%7D+O%2BNa_%7B2%7D+CO_%7B3%7D+%3D+H_%7B2%7D+O%2BCO_%7B2%7D%5Cuparrow+%2BNa_%7B2%7D+SO_%7B3%7D++& alt=&SO_{2} +H_{2} O+Na_{2} CO_{3} = H_{2} O+CO_{2}\uparrow +Na_{2} SO_{3}
& eeimg=&1&&&br&&img src=&https://www.zhihu.com/equation?tex=2SO_%7B2%7D%2BH_%7B2%7DO%2BNa_%7B2%7DCO_%7B3%7D%3DCO_%7B2%7D%2B2NaHSO_%7B3%7D& alt=&2SO_{2}+H_{2}O+Na_{2}CO_{3}=CO_{2}+2NaHSO_{3}& eeimg=&1&&&br&&p&4.不同于其他卤化银，AgF既溶于水也溶于酸。&/p&&p&5.氨的催化氧化反应条件是铂铑合金。&/p&&p&6&img src=&https://www.zhihu.com/equation?tex=.Na%2B& alt=&.Na+& eeimg=&1&&&img src=&https://www.zhihu.com/equation?tex=Cl_%7B2%7D+& alt=&Cl_{2} & eeimg=&1&&点燃；&img src=&https://www.zhihu.com/equation?tex=P%2B& alt=&P+& eeimg=&1&&&img src=&https://www.zhihu.com/equation?tex=Cl_%7B2%7D+& alt=&Cl_{2} & eeimg=&1&&点燃；氨气与氯化氢；磷在氧气中燃烧；氨气与氯气都有白烟产生；&img src=&https://www.zhihu.com/equation?tex=H_%7B2%7D+%2BCl_%7B2%7D+%3D2HCl& alt=&H_{2} +Cl_{2} =2HCl& eeimg=&1&&(点燃)
&img src=&https://www.zhihu.com/equation?tex=H_%7B2%7D+%2BBr_%7B2%7D+%3D2HBr& alt=&H_{2} +Br_{2} =2HBr& eeimg=&1&&都有白雾；在过量的氯气中：&img src=&https://www.zhihu.com/equation?tex=2P%2B5Cl_%7B2%7D+%3D2PCl_%7B5%7D+& alt=&2P+5Cl_{2} =2PCl_{5} & eeimg=&1&&发出光,形成白烟，在不足量氯气中：&img src=&https://www.zhihu.com/equation?tex=2P%2B3Cl_%7B2%7D+%3D2PCl_%7B3%7D+& alt=&2P+3Cl_{2} =2PCl_{3} & eeimg=&1&&发出光,形成白雾&/p&&br&&p&7.容器中气体压强改变可能是加入了该气体，也可能是压缩体积，一般考虑后者，那么值得注意的是压强变则离子浓度必然变。&br&&/p&&p&8.电解法制Al不能电解&img src=&https://www.zhihu.com/equation?tex=AlCl_%7B3%7D& alt=&AlCl_{3}& eeimg=&1&&（分子晶体），电解的是氧化铝，助熔剂为冰晶石；冶炼镁不能电解MgO，因为MgO熔点太高，应电解&img src=&https://www.zhihu.com/equation?tex=MgCl_%7B2%7D& alt=&MgCl_{2}& eeimg=&1&&。&/p&&p&9.白磷分子是正四面体，键角&img src=&https://www.zhihu.com/equation?tex=60%5E%7B0%7D+& alt=&60^{0} & eeimg=&1&&，1mol白磷有6mol共价键；甲烷键角&img src=&https://www.zhihu.com/equation?tex=109%5E%7Bo%7D28%27+& alt=&109^{o}28' & eeimg=&1&&。&/p&&p&10.“用电子式表示共价化合物、离子化合物形成过程”还记得怎么写吗？&/p&&p&11.结晶水合物蒸干是化学反应，石墨加压变成金刚石也是化学反应，核反应不是化学反应。&br&&/p&&p&12.碱性氧化物一定是金属氧化物。&/p&&p&13.中和热测定实验中的“环形玻璃搅拌棒”。&/p&&p&14.标况下：HF是液体，甲醛（沸点-19.3℃）是气体，乙醛（沸点20.8℃）是液体。&br&&/p&&br&&p&15.AgI胶体即可吸附正离子，又可吸附负离子。并非所有胶体都能吸附电子，即并非所有胶体都能发生电泳现象。&br&&/p&&p&16.离子共存问题中，透明并非无色。注意溶液不能只含一种电性的离子。 单质既不属于电解质也不属于非电解质。&/p&&p&17.酸性：&img src=&https://www.zhihu.com/equation?tex=HClO4_%7B4%7D+& alt=&HClO4_{4} & eeimg=&1&&＞&img src=&https://www.zhihu.com/equation?tex=HNO_%7B3%7D+& alt=&HNO_{3} & eeimg=&1&&＞HCl＞&img src=&https://www.zhihu.com/equation?tex=H_%7B2%7D+SO_%7B4%7D+& alt=&H_{2} SO_{4} & eeimg=&1&&＞&img src=&https://www.zhihu.com/equation?tex=H_%7B2%7D+SO_%7B3%7D+& alt=&H_{2} SO_{3} & eeimg=&1&&＞&img src=&https://www.zhihu.com/equation?tex=H_%7B3%7D+PO_%7B4%7D+& alt=&H_{3} PO_{4} & eeimg=&1&&＞HF＞&img src=&https://www.zhihu.com/equation?tex=H_%7B2%7D+C_%7B2%7D+O_%7B4%7D+& alt=&H_{2} C_{2} O_{4} & eeimg=&1&&＞HCOOH＞&img src=&https://www.zhihu.com/equation?tex=C_%7B6%7D+H_%7B5%7D+COOH& alt=&C_{6} H_{5} COOH& eeimg=&1&&＞&img src=&https://www.zhihu.com/equation?tex=CH_%7B3%7D+COOH& alt=&CH_{3} COOH& eeimg=&1&&＞RCOOH(高级脂肪酸)＞&img src=&https://www.zhihu.com/equation?tex=H_%7B2%7D+CO_%7B3%7D+& alt=&H_{2} CO_{3} & eeimg=&1&&＞&img src=&https://www.zhihu.com/equation?tex=H_%7B2%7D+S& alt=&H_{2} S& eeimg=&1&&＞HClO＞&img src=&https://www.zhihu.com/equation?tex=H_%7B2%7D+SiO_%7B3%7D+& alt=&H_{2} SiO_{3} & eeimg=&1&&&/p&&p&
还原性：&img src=&https://www.zhihu.com/equation?tex=S_%7B2%7D+%5E%7B-%7D+& alt=&S_{2} ^{-} & eeimg=&1&&＞&img src=&https://www.zhihu.com/equation?tex=SO_%7B3%7D%5E%7B2-%7D++& alt=&SO_{3}^{2-}
& eeimg=&1&&＞&img src=&https://www.zhihu.com/equation?tex=I%5E%7B-%7D+& alt=&I^{-} & eeimg=&1&&＞&img src=&https://www.zhihu.com/equation?tex=Fe%5E%7B2%2B%7D+& alt=&Fe^{2+} & eeimg=&1&&＞&img src=&https://www.zhihu.com/equation?tex=Br%5E%7B-%7D+& alt=&Br^{-} & eeimg=&1&&＞&img src=&https://www.zhihu.com/equation?tex=Cl%5E%7B-%7D+& alt=&Cl^{-} & eeimg=&1&&＞&img src=&https://www.zhihu.com/equation?tex=F%5E%7B-%7D+& alt=&F^{-} & eeimg=&1&&&/p&&p&
氧化性：&b&&img src=&https://www.zhihu.com/equation?tex=Fe%5E%7B3%2B%7D+& alt=&Fe^{3+} & eeimg=&1&&＞&img src=&https://www.zhihu.com/equation?tex=Cu%5E%7B2%2B%7D+& alt=&Cu^{2+} & eeimg=&1&&＞&img src=&https://www.zhihu.com/equation?tex=H%5E%7B%2B%7D+& alt=&H^{+} & eeimg=&1&&＞&img src=&https://www.zhihu.com/equation?tex=Fe%5E%7B2%2B%7D+& alt=&Fe^{2+} & eeimg=&1&&&/b&&/p&&br&&p&18.溶于水生成3种酸的物质：&img src=&https://www.zhihu.com/equation?tex=PCl_%7B3%7D+& alt=&PCl_{3} & eeimg=&1&&、&img src=&https://www.zhihu.com/equation?tex=PCl_%7B5%7D+& alt=&PCl_{5} & eeimg=&1&&。溶于水生成两种碱的物质：&img src=&https://www.zhihu.com/equation?tex=Mg_%7B3%7D+N_%7B2%7D+& alt=&Mg_{3} N_{2} & eeimg=&1&&、&img src=&https://www.zhihu.com/equation?tex=Li_%7B3%7D+N& alt=&Li_{3} N& eeimg=&1&&。&br&&/p&&p&19.甲烷和低层臭氧均为温室气体。 酸雨与&img src=&https://www.zhihu.com/equation?tex=SO_%7B2%7D+& alt=&SO_{2} & eeimg=&1&&有关，与&img src=&https://www.zhihu.com/equation?tex=CO_%7B2%7D& alt=&CO_{2}& eeimg=&1&&无关。光化学烟雾与氮氧化物、臭氧有关，与&img src=&https://www.zhihu.com/equation?tex=SO_%7B2%7D& alt=&SO_{2}& eeimg=&1&&无关。&/p&&p&20.分子间氢键使分子间作用力增强，从而熔、沸点升高，分子内氢键则相反。&br&&/p&&p&21.注意热化学方程式的书写，各物质的聚集态、计量数，△符号，不需要标明反应条件，不需要写沉淀和气体等，中和热无负号。燃烧热是完全燃烧、1mol、生成稳定氧化物。&/p&&p&...(n)化学零碎知识多，课本版本也多，希望我抛的几块砖，能引各位同学之玉。&/p&&br&&br&&br&&br&&h2&高中物理&/h2&&p&1.物理学史：&a href=&https://link.zhihu.com/?target=http%3A//wenku.baidu.com/view/142989fac8d376eeaeaa3126.html%3Fre%3Dview& class=& wrap external& target=&_blank& rel=&nofollow noreferrer&&高中物理课本科学家对应内容(按课本顺序)&/a&(人教版)&/p&&p&2.课本实验：&a href=&https://link.zhihu.com/?target=http%3A//wenku.baidu.com/view/1cd642f7a300a6c30d229fac.html%3Ffrom%3Dsearch& class=& wrap external& target=&_blank& rel=&nofollow noreferrer&&物理课本演示实验整理_图文&/a&(人教版，这个非常全，截取了课本并配有题目)&/p&&p&3.非常基础的对概念的理解易错点：&a href=&https://link.zhihu.com/?target=http%3A//wenku.baidu.com/view/a54bd1d26b81.html& class=& wrap external& target=&_blank& rel=&nofollow noreferrer&&高考}
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幼儿园大班数学关于 单双数 详案或教案速求!最好是优秀观摩课的教案,最好要详细些
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1设计思路：认识10以内的单双数是大班幼儿学习的内容,根据传统的教学方法既枯燥又没有真正的理解单双数的实际意义.《纲要》中体现出来的数学教育的新目标和教育价值,要求我们教师转变教育观念,在生活和和游戏的真实情景和解决问题的过程中逐渐形成幼儿的数学感和数学意识,因此,我通过创设2元超市的情境,让幼儿在富有生活气息的超市中感知理解单双数的概念,在操作中区分10以内的单双数.在整个教学活动中,教师与幼儿之间、幼儿相互之间以及幼儿与材料之间,不断地进行着交流、对话,引导幼儿感受和体验事物的数量关系,帮助他们整理、归纳所获得的单双数学习经验.活动目标：1、通过创设情境、游戏化的教学,让幼儿在操作中理解并区分10以内的单双数；2、培养幼儿从身边事物中发现单双数的能力；3、激发幼儿对单双数的兴趣,能积极主动地参与数学活动.活动准备：2元超市场景、1——10的代用券,红色水彩笔每人一支、幼儿分组操作材料活动过程：一、情景导入,引起兴趣瞧!我们已经来到了2元超市,你们来猜一猜,它为什么叫2元超市呢?二、在购物游戏中体验、感知单双数1、教师讲解游戏规则.数一数,你有几元钱?圈一圈,你能买几样东西?2、幼儿进行购物游戏,提醒幼儿做一个文明小顾客.三、在交流与比较中理解单双数1、讨论：你有几元钱?买了几样东西?还有钱多吗?2、回收代用券：还剩一元的小朋友把代用券送到一边,都用完的送到另一边.3、集体检验,解决问题：“1”该送哪边?4、教师小结：①像1、3、5、7、9这样两个两个地数,总会剩下一个的数叫单数；2、4、6、8、10这样都能凑成2个2个的数叫双数.②10以内有5个单数,也有5个双数.③单数挨着双数,双数挨着单数,它们手拉手,都是好朋友.四、在游戏与操作中区分单双数1、寻找身边的单双数2、分组操作准备4组操作材料,幼儿自由选择进行操作.●圈一圈：两个两个地圈,区分单双数.●分一分：在许多点卡和图卡中区分出单双数.●转一转：转动转盘,当转盘停下时记录下指针所指的数是单数还是双数.●扔一扔：扔骰子,记录下单双数并写出它的两个相邻数.3、集体游戏抱一抱：单数——自己抱自己；双数——找个朋友抱一抱.2一、活动目标能区别10以数的单双数.发展思维的灵活性.二、重点与难点理解单数和双数的含义.三、材料及环境创设在活动室里放置一些成单成双的物体.在教学角里提供木珠、雪花片等操作材料.各种贴绒水果、动物、教学卡、汉字卡…….四、设计思路幼儿区别和理解10以内数的单双数,一般要经过以下过程：第一对单和双概念的了解,即知道一个物体为单,如人身上的嘴是单个的.两各物体是双,如一双手,一双眼睛.第二形成区别一组物体是成双的还是成单的技能.即知道一组物体如果两个两个数,数到最后正好数完的是双数,数到最后还剩一个的是单数,并能进行实际操作.第三运用上面的技能区别10以内数的单双数.如6个物体先用数字6表示,然后通过操作知道6个物体是成双,即确定6是双数.经过这一过程,幼儿可以在理解的基础上掌握10以内的单双数,并且可以举一反三.五、活动流程感知――操作――理解――迁移通过寻找活动感知单和双的含义.（1）让幼儿找出自己身上成双和成单的东西.（2）让幼儿在活动室里找成双和成单的物品.（3）让幼儿说出大自然中成双或成单的物体.2．通过操作活动形成区别单双数的技能. （1）教幼儿认识汉字：单、双.（2）讨论如何知道某组物体是成双还是成单的,如班上的小朋友数是单还是双?让幼儿了解区别单双数的操作定义,即“两个两个数,……”（3）让幼儿操作教学角里的材料,区别盒子里的物体是双还是单,贴上相应的汉字.3．通过讨论理解如何确定某数是单数还是双数.（1）出示1~10的数字让幼儿将数字分为单数和双数两类.（2）讨论为什么1、3、5、7、9是单数,2、4、6、8、10是双数.先让幼儿在每个数字下贴上相应的水果或动物卡片,然后用操作定义去证明.（3）出示图片,让幼儿判断图上的物体是成双的还是成单的.讨论用什么方法可以很快作出正确判断（该环节着重训练幼儿思维的灵活性.）（4）通过迁移活动培养幼儿举一反三的能力.为幼儿提供超10的物体,让幼儿区别单和双.
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（数字和图案）你能发现什么秘密.关注幼儿在游戏中对数的概念的掌握情况，表扬能分享材料、合作游戏的幼儿。活动反思，要求明确，操作性强：数学活动《做纸牌》贴近幼儿生活.理解8以内数的实际意义。活动中各个环节清楚，每张卡片上图案的排列方式要不一样。
2.导入活动，产生兴趣，而且每张纸牌上图案的排列方式都不一样哦。通过3到8大扑克牌的出示，数一数、说一说，有效的帮助了幼儿理解8以内数的实际意义。通过画有与数字相等数量图案纸牌的出示。
1.教师出示纸牌8，提问。2？（数字和图案的数量是相等的。人手一个小印章.教师继续出示8以内的纸牌，引导幼儿看图的数量来说纸牌上的数字，帮助幼儿理解8以内的实际意义.感知等量物体不同的空间排列形式，再请能力中等的幼儿示范操作，请该幼儿讲述其操作过程，体验纸牌的乐趣与成功的喜悦之情。可是也存在一些不足的地方。如盖出来的印章颜色太淡，不方便展示交流，最好还是用勾线笔画点子比较好，数完以后举手回答问题，教师根据幼儿讲述给每张纸牌填上相对应的数字，并且引导幼儿念一念。
3。活动重难点，清楚操作要求。制作纸牌时，大部分幼儿都能根据数字盖出相应数量的印章，提问：看一看，这4张卡片，你能发现什么秘密、清楚要求，做纸牌。
1，并请其讲述操作过程：重点：理解8以内数的实际意义。难点，是一个趣味性强，体验到了成功制作纸牌的乐趣。）
2。因此班中幼儿参与的积极性很高，能理解8以内的实际意义，也感知了等量物体不同的空间排列形式。通过活动的开展，我觉得此活动有值得肯定的地方.教师请2名幼儿上前示范制作纸牌.提出要求：请幼儿2到3人一组自由结伴，在做好的纸牌中每个数挑两张凑成一副牌。
教师出示卡片，帮助他们理解各种纸牌游戏的规则，告诉幼儿：今天我们来开一个纸牌加工厂，请小朋友来做纸牌，图案和数字的数量相等，每一张卡片上图案的排列方式都不一样）教师小结：感知等量物体不同的空间排列形式，数量多于班级人数的4倍以上。活动准备：3~8画有图案的大扑克牌，交流、小结.教师强调要求：每人4张卡片.幼儿每人完成4张纸牌加工的作业、操作性强并且受到幼儿喜欢的活动，提醒幼儿每张卡纸牌上图案的排列方式要不一样、会用多种方法玩纸牌，没有数字。扑克牌大小的卡片。
2.学习根据数字按不同排列形式画出相应的点子，每张卡片上事先写好4~8的数字，更有利幼儿清楚操作要求，也有仍需调整一些地方。我先说说值得肯定的地方吧。活动过程：一、结合纸牌。教师做质量检查员，回收幼儿做的纸牌并鼓励做的不符合要求的幼儿重新做一张，理解8以内的实际意义，引发兴趣，根据数字画出相应数量的图案。b，帮助幼儿了解操作要求，并在个别幼儿的示范操作中。教师再请一能力较强的幼儿上前示范做纸牌，教师提问：“你是怎么做的？”三：这是什么？（纸牌）纸牌上有什么。提问：请小朋友看一看、数一数每张纸牌上有几个图案，应该写上数字几？幼儿心里默数.教师小结：纸牌可真有意思，每一张纸牌上都有数字和图案，并且数字和图案的数量是相等的。1，如正确，愿意多做的可再做一些。教师检查幼儿有没有按纸牌上的数来画相应的图案；请个别幼儿操作示范时，最好先请一能力较强的幼儿。二、学习根据8以内的数字，按不同的空间排列形式画出相应的点子。
1、纸牌比大小等游戏。2.教师可带领不会玩得幼儿玩一次。
a.教师出示4张同一个数的卡片（5）？（都是数字5的卡片：纸牌加工厂给每个小朋友4张相同数字的纸牌，要小朋友在纸牌上画出与数字相等数量的图案。同时，对此活动，合作玩纸牌排数序、纸牌配对，清楚操作要求。教师先请一能力中等的幼儿上前示范做纸牌，其他幼儿观看是否做对，教师提问：“你是怎么做的？”如做错，请其他幼儿帮助改正。四。3活动目标：1
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&a class=&video-box& href=&http://link.zhihu.com/?target=https%3A//www.zhihu.com/video/605056& target=&_blank& data-video-id=&& data-video-playable=&true& data-name=&& data-poster=&https://pic1.zhimg.com/80/v2-7dae10e56eb4_b.jpg& data-lens-id=&605056&&
&img class=&thumbnail& src=&https://pic1.zhimg.com/80/v2-7dae10e56eb4_b.jpg&&&span class=&content&&
&span class=&title&&&span class=&z-ico-extern-gray&&&/span&&span class=&z-ico-extern-blue&&&/span&&/span&
&span class=&url&&&span class=&z-ico-video&&&/span&https://www.zhihu.com/video/605056&/span&
&p&相信通过视频中的故事你会记住这些公式的，但&b&请注意：这节课只适用于椭圆！&/b&&/p&&p&双曲线与抛物线同样有口算公式，添加微信：t，再帮功夫老师完成一个小任务，就可以免费得到双曲线与抛物线的口算方法。&/p&&p&也可以关注我们的公众号：gfsx365，最新的免费课程都会更新在那里。&/p&&p&这么干货的教程，你不点个赞再走吗？&/p&&p&或者，您有更先进的方法，或者更牛逼的记忆技巧，可以在下面评论，好东西大家共享！&/p&
圆锥曲线大题不难，但是很多同学都苦于计算量大，容易算错，联立韦达步骤麻烦。别急，功夫老师这节课就来教大家如何口算圆锥曲线，让你的圆锥曲线大题永远不会出现计算错误！因为，我们的方法根本就不需要计算！当别人还在苦苦联立韦达时，你已经能够得出最…
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阅读须知：1.大神请移步关注曾加、Yuhang Liu、王筝等等数学仁波切。2.编辑不易，收藏同时不要忘记点赞、点赞、点赞。3.闲下来会续更，欢迎关注专栏4.如有错误，欢迎更正。如有更优解，欢迎分享。5.欢迎有想法的小伙伴投稿到专栏。 欢迎关…
&figure&&img src=&https://pic2.zhimg.com/v2-217d76e03d593e909c65e_b.jpg& data-rawwidth=&545& data-rawheight=&375& class=&origin_image zh-lightbox-thumb& width=&545& data-original=&https://pic2.zhimg.com/v2-217d76e03d593e909c65e_r.jpg&&&/figure&.&p& 向量法是解高中立体几何题的神器。只要能建立空间直角坐标系的题，都可以用向量法来解，而这样的题目可以占到所有立体几何题的 95% 以上。与传统方法相比，向量法的计算量稍微大一些，但它的优点是不需要费脑筋做辅助线，而只需要简单粗暴地按套路进行计算，所以尤其适用于复杂的问题。&/p&&p& 向量法的完整套路中，包含一种名为「叉积」的运算，它在部分地区是超出教学大纲的。但是没有「叉积」的向量法在很多情况下发挥不出它的魔力。本文就来把「叉积」这个缺口补上，让大家领略一下向量法的简单、粗暴、有效。当然啦，我知道你们会有「考试时不让用叉积」的抱怨。没关系，我会教你怎样把叉积「伪装」成不超纲的内容。&/p&&p& 本文的第一部分将介绍向量间的点积、叉积两种运算，包括它们的定义、计算公式、运算律，以及向量法中直线和平面的方向的表示方法。高中立体几何题的大部分问题都是求角或求距离，本文的第二、三部分就来介绍各种角和距离用向量法怎么求。证明题一般是要证明线、面之间的平行或垂直，或者两个角的大小、两条线段的长度相等，都可以化归成求角或求距离。在第四部分，我会讲一下叉积在求面积、求体积这两种相对罕见的题型中的用法。最后展示一道例题。&/p&&h2&一、基础知识&/h2&&p&&b& 1.1 向量的点积运算&/b&&/p&&p& 向量的点积是大纲之内的内容。设两个向量为&img src=&https://www.zhihu.com/equation?tex=%5Cvec%7Ba%7D%2C+%5Cvec%7Bb%7D& alt=&\vec{a}, \vec{b}& eeimg=&1&&，它们的夹角为&img src=&https://www.zhihu.com/equation?tex=%5Ctheta& alt=&\theta& eeimg=&1&&。&img src=&https://www.zhihu.com/equation?tex=%5Cvec%7Ba%7D%2C+%5Cvec%7Bb%7D& alt=&\vec{a}, \vec{b}& eeimg=&1&&的点积记作&img src=&https://www.zhihu.com/equation?tex=%5Cvec%7Ba%7D+%5Ccdot+%5Cvec%7Bb%7D& alt=&\vec{a} \cdot \vec{b}& eeimg=&1&&，读作「a 点乘 b」，或干脆读作「a 点 b」（「点」字常常儿化）。&img src=&https://www.zhihu.com/equation?tex=%5Cvec%7Ba%7D+%5Ccdot+%5Cvec%7Bb%7D& alt=&\vec{a} \cdot \vec{b}& eeimg=&1&&是一个数，它等于&img src=&https://www.zhihu.com/equation?tex=%5Cvec%7Ba%7D%2C+%5Cvec%7Bb%7D& alt=&\vec{a}, \vec{b}& eeimg=&1&&各自的模之积再乘以夹角的余弦：&img src=&https://www.zhihu.com/equation?tex=%5Cvec%7Ba%7D+%5Ccdot+%5Cvec%7Bb%7D+%3D+%7C%5Cvec%7Ba%7D%7C+%7C%5Cvec%7Bb%7D%7C+%5Ccos+%5Ctheta& alt=&\vec{a} \cdot \vec{b} = |\vec{a}| |\vec{b}| \cos \theta& eeimg=&1&&。当&img src=&https://www.zhihu.com/equation?tex=%5Cvec%7Ba%7D%2C+%5Cvec%7Bb%7D& alt=&\vec{a}, \vec{b}& eeimg=&1&&垂直时，&img src=&https://www.zhihu.com/equation?tex=%5Cvec%7Ba%7D+%5Ccdot+%5Cvec%7Bb%7D+%3D+0& alt=&\vec{a} \cdot \vec{b} = 0& eeimg=&1&&。&/p&&br&&p& 点积运算适用于任何维度的向量，不过本文只讨论三维情况。在空间直角坐标系中，设&img src=&https://www.zhihu.com/equation?tex=%5Cvec%7Ba%7D%2C+%5Cvec%7Bb%7D& alt=&\vec{a}, \vec{b}& eeimg=&1&&的坐标为&img src=&https://www.zhihu.com/equation?tex=%5Cvec%7Ba%7D+%3D+%28x_1%2C+y_1%2C+z_1%29%2C+%5Cvec%7Bb%7D+%3D+%28x_2%2C+y_2%2C+z_2%29& alt=&\vec{a} = (x_1, y_1, z_1), \vec{b} = (x_2, y_2, z_2)& eeimg=&1&&，则&img src=&https://www.zhihu.com/equation?tex=%5Cvec%7Ba%7D+%5Ccdot+%5Cvec%7Bb%7D& alt=&\vec{a} \cdot \vec{b}& eeimg=&1&&可用这些坐标表达为&img src=&https://www.zhihu.com/equation?tex=%5Cvec%7Ba%7D+%5Ccdot+%5Cvec%7Bb%7D+%3D+x_1x_2+%2B+y_1y_2+%2B+z_1z_2& alt=&\vec{a} \cdot \vec{b} = x_1x_2 + y_1y_2 + z_1z_2& eeimg=&1&&。&/p&&p& 向量的点积具有交换律和分配律：&br&&/p&&br&&ul&&ul&&li&交换律：&img src=&https://www.zhihu.com/equation?tex=%5Cvec%7Ba%7D+%5Ccdot+%5Cvec%7Bb%7D+%3D+%5Cvec%7Bb%7D+%5Ccdot+%5Cvec%7Ba%7D& alt=&\vec{a} \cdot \vec{b} = \vec{b} \cdot \vec{a}& eeimg=&1&&&/li&&li&分配律：&img src=&https://www.zhihu.com/equation?tex=%5Cvec%7Ba%7D+%5Ccdot+%28%5Cvec%7Bb%7D+%2B+%5Cvec%7Bc%7D%29+%3D+%5Cvec%7Ba%7D+%5Ccdot+%5Cvec%7Bb%7D+%2B+%5Cvec%7Ba%7D+%5Ccdot+%5Cvec%7Bc%7D& alt=&\vec{a} \cdot (\vec{b} + \vec{c}) = \vec{a} \cdot \vec{b} + \vec{a} \cdot \vec{c}& eeimg=&1&&&/li&&/ul&&/ul&&p&但没有结合律，因为两个向量的点积是一个数，不能再与第三个向量进行点积运算。&/p&&p&&b& 1.2 向量的叉积运算&/b&&/p&&p& 向量的叉积是本文要介绍的重点。&b&叉积仅对三维向量有定义&/b&。设两个三维向量为&img src=&https://www.zhihu.com/equation?tex=%5Cvec%7Ba%7D%2C+%5Cvec%7Bb%7D& alt=&\vec{a}, \vec{b}& eeimg=&1&&，它们的夹角为&img src=&https://www.zhihu.com/equation?tex=%5Ctheta& alt=&\theta& eeimg=&1&&。&img src=&https://www.zhihu.com/equation?tex=%5Cvec%7Ba%7D%2C+%5Cvec%7Bb%7D& alt=&\vec{a}, \vec{b}& eeimg=&1&&的叉积记作&img src=&https://www.zhihu.com/equation?tex=%5Cvec%7Ba%7D+%5Ctimes+%5Cvec%7Bb%7D& alt=&\vec{a} \times \vec{b}& eeimg=&1&&，读作「a 叉乘 b」，或干脆读作「a 叉 b」（「叉」字也可以儿化）。&img src=&https://www.zhihu.com/equation?tex=%5Cvec%7Ba%7D+%5Ctimes+%5Cvec%7Bb%7D& alt=&\vec{a} \times \vec{b}& eeimg=&1&&是一个&b&向量&/b&，它具有以下性质：&/p&&ol&&ol&&li&它的模等于&img src=&https://www.zhihu.com/equation?tex=%5Cvec%7Ba%7D%2C+%5Cvec%7Bb%7D& alt=&\vec{a}, \vec{b}& eeimg=&1&&各自的模之积再乘以夹角的正弦，即&img src=&https://www.zhihu.com/equation?tex=%7C+%5Cvec%7Ba%7D+%5Ctimes+%5Cvec%7Bb%7D+%7C+%3D+%7C%5Cvec%7Ba%7D%7C+%7C%5Cvec%7Bb%7D%7C+%5Csin+%5Ctheta& alt=&| \vec{a} \times \vec{b} | = |\vec{a}| |\vec{b}| \sin \theta& eeimg=&1&&；&/li&&li&它的方向与&img src=&https://www.zhihu.com/equation?tex=%5Cvec%7Ba%7D%2C+%5Cvec%7Bb%7D& alt=&\vec{a}, \vec{b}& eeimg=&1&&都垂直，且满足&b&右手定则&/b&，如下图所示。&/li&&/ol&&/ol&&figure&&img src=&https://pic2.zhimg.com/v2-bcf9a0a639b75f27edeb4ab_b.jpg& data-rawwidth=&371& data-rawheight=&343& class=&content_image& width=&371&&&/figure&&p& 右手定则有两种理解方式，如下图。一种是：伸出拇指和食指，让它们分别朝向&img src=&https://www.zhihu.com/equation?tex=%5Cvec%7Ba%7D%2C+%5Cvec%7Bb%7D& alt=&\vec{a}, \vec{b}& eeimg=&1&&的方向，然后伸出中指让它与手掌垂直，则中指的方向就是&img src=&https://www.zhihu.com/equation?tex=%5Cvec%7Ba%7D+%5Ctimes+%5Cvec%7Bb%7D& alt=&\vec{a} \times \vec{b}& eeimg=&1&&的方向。另一种是：让四指从&img src=&https://www.zhihu.com/equation?tex=%5Cvec%7Ba%7D& alt=&\vec{a}& eeimg=&1&&的方向弯向&img src=&https://www.zhihu.com/equation?tex=%5Cvec%7Bb%7D& alt=&\vec{b}& eeimg=&1&&的方向，并伸出拇指，则拇指的方向就是&img src=&https://www.zhihu.com/equation?tex=%5Cvec%7Ba%7D+%5Ctimes+%5Cvec%7Bb%7D& alt=&\vec{a} \times \vec{b}& eeimg=&1&&的方向。&figure&&img src=&https://pic1.zhimg.com/v2-5039cbe610bffba3bd8078dad4c3c3e3_b.jpg& data-rawwidth=&509& data-rawheight=&282& class=&origin_image zh-lightbox-thumb& width=&509& data-original=&https://pic1.zhimg.com/v2-5039cbe610bffba3bd8078dad4c3c3e3_r.jpg&&&/figure&&/p&&br&&p&当&img src=&https://www.zhihu.com/equation?tex=%5Cvec%7Ba%7D%2C+%5Cvec%7Bb%7D& alt=&\vec{a}, \vec{b}& eeimg=&1&&平行时，&img src=&https://www.zhihu.com/equation?tex=%5Cvec%7Ba%7D+%5Ctimes+%5Cvec%7Bb%7D+%3D+%5Cvec%7B0%7D& alt=&\vec{a} \times \vec{b} = \vec{0}& eeimg=&1&&（注意结果是&b&零向量&/b&）。&br&&/p&&p& 在空间直角坐标系中，设&img src=&https://www.zhihu.com/equation?tex=%5Cvec%7Ba%7D%2C+%5Cvec%7Bb%7D& alt=&\vec{a}, \vec{b}& eeimg=&1&&的坐标为&img src=&https://www.zhihu.com/equation?tex=%5Cvec%7Ba%7D+%3D+%28x_1%2C+y_1%2C+z_1%29%2C+%5Cvec%7Bb%7D+%3D+%28x_2%2C+y_2%2C+z_2%29& alt=&\vec{a} = (x_1, y_1, z_1), \vec{b} = (x_2, y_2, z_2)& eeimg=&1&&，则&img src=&https://www.zhihu.com/equation?tex=%5Cvec%7Ba%7D+%5Ctimes+%5Cvec%7Bb%7D& alt=&\vec{a} \times \vec{b}& eeimg=&1&&可用这些坐标表达为&img src=&https://www.zhihu.com/equation?tex=%5Cvec%7Ba%7D+%5Ctimes+%5Cvec%7Bb%7D+%3D+%28y_1z_2+-+z_1y_2%2C+%5C%2C+z_1x_2+-+x_1z_2%2C+%5C%2C+x_1y_2+-+y_1x_2%29& alt=&\vec{a} \times \vec{b} = (y_1z_2 - z_1y_2, \, z_1x_2 - x_1z_2, \, x_1y_2 - y_1x_2)& eeimg=&1&&。这个公式可以用交叉相乘法来记忆：&/p&&p&&figure&&img src=&https://pic3.zhimg.com/v2-edc49f2f3787acaaf5197e_b.jpg& data-rawwidth=&435& data-rawheight=&248& class=&origin_image zh-lightbox-thumb& width=&435& data-original=&https://pic3.zhimg.com/v2-edc49f2f3787acaaf5197e_r.jpg&&&/figure&注意，左、右两个交叉相乘是「捺减撇」，中间的交叉相乘是「撇减捺」。&/p&&p& 向量的叉积具有&b&反交换律&/b&和分配律：&/p&&ul&&ul&&li&反交换律：&img src=&https://www.zhihu.com/equation?tex=%5Cvec%7Ba%7D+%5Ctimes+%5Cvec%7Bb%7D+%3D+-+%5Cvec%7Bb%7D+%5Ctimes+%5Cvec%7Ba%7D& alt=&\vec{a} \times \vec{b} = - \vec{b} \times \vec{a}& eeimg=&1&&&br&&/li&&li&分配律：&img src=&https://www.zhihu.com/equation?tex=%5Cvec%7Ba%7D+%5Ctimes+%28%5Cvec%7Bb%7D+%2B+%5Cvec%7Bc%7D%29+%3D+%5Cvec%7Ba%7D+%5Ctimes+%5Cvec%7Bb%7D+%2B+%5Cvec%7Ba%7D+%5Ctimes+%5Cvec%7Bc%7D& alt=&\vec{a} \times (\vec{b} + \vec{c}) = \vec{a} \times \vec{b} + \vec{a} \times \vec{c}& eeimg=&1&&&/li&&/ul&&/ul&&br&&p&两个向量的叉积是一个向量，可以继续与第三个向量进行叉积运算，但不幸的是，叉积运算也不满足结合律，即没有&img src=&https://www.zhihu.com/equation?tex=%28%5Cvec%7Ba%7D+%5Ctimes+%5Cvec%7Bb%7D%29+%5Ctimes+%5Cvec%7Bc%7D+%3D+%5Cvec%7Ba%7D+%5Ctimes+%28%5Cvec%7Bb%7D+%5Ctimes+%5Cvec%7Bc%7D%29& alt=&(\vec{a} \times \vec{b}) \times \vec{c} = \vec{a} \times (\vec{b} \times \vec{c})& eeimg=&1&&。&/p&&p&&b& 1.3 直线与平面方向的表示&/b&&br&&/p&&p& 在能建立空间直角坐标系的题目中，提到一条直线，一定会已知直线上两点&img src=&https://www.zhihu.com/equation?tex=A%2CB& alt=&A,B& eeimg=&1&&的坐标。两个坐标的差就是直线的方向向量&img src=&https://www.zhihu.com/equation?tex=%5Coverrightarrow%7BAB%7D& alt=&\overrightarrow{AB}& eeimg=&1&&，它可以表示直线的方向，在求角和求距离时都很有用。&/p&&p& 而平面的方向，则是用与平面&b&垂直&/b&的向量来表示的，这个向量称为「法向量」。提到一个平面，一定会已知平面上不共线的三点&img src=&https://www.zhihu.com/equation?tex=A%2CB%2CC& alt=&A,B,C& eeimg=&1&&的坐标，由此可以得到两个向量&img src=&https://www.zhihu.com/equation?tex=%5Coverrightarrow%7BAB%7D%2C+%5Coverrightarrow%7BAC%7D& alt=&\overrightarrow{AB}, \overrightarrow{AC}& eeimg=&1&&。这两个向量的叉积就是平面的法向量。根据需要，可以选择&img src=&https://www.zhihu.com/equation?tex=%5Coverrightarrow%7BAB%7D+%5Ctimes+%5Coverrightarrow%7BAC%7D& alt=&\overrightarrow{AB} \times \overrightarrow{AC}& eeimg=&1&&或&img src=&https://www.zhihu.com/equation?tex=%5Coverrightarrow%7BAC%7D+%5Ctimes+%5Coverrightarrow%7BAB%7D& alt=&\overrightarrow{AC} \times \overrightarrow{AB}& eeimg=&1&&作为平面的法向量，这两个法向量大小相同，方向相反。&br&&/p&&p&&figure&&img src=&https://pic3.zhimg.com/v2-6f18980ed7abcec5fa3b1c_b.jpg& data-rawwidth=&544& data-rawheight=&275& class=&origin_image zh-lightbox-thumb& width=&544& data-original=&https://pic3.zhimg.com/v2-6f18980ed7abcec5fa3b1c_r.jpg&&&/figure& 在立体几何题中，叉积的主要用途就是求平面的法向量。如果考试时不允许在步骤中使用叉积运算，可以用如下方法绕过去：既然法向量就是与平面中两个已知向量都垂直的向量，那么可以设出法向量&img src=&https://www.zhihu.com/equation?tex=%5Cvec%7Bn%7D& alt=&\vec{n}& eeimg=&1&&的坐标&img src=&https://www.zhihu.com/equation?tex=%28x_n%2Cy_n%2Cz_n%29& alt=&(x_n,y_n,z_n)& eeimg=&1&&，并利用&img src=&https://www.zhihu.com/equation?tex=%5Cvec%7Bn%7D& alt=&\vec{n}& eeimg=&1&&与&img src=&https://www.zhihu.com/equation?tex=%5Coverrightarrow%7BAB%7D%2C+%5Coverrightarrow%7BAC%7D& alt=&\overrightarrow{AB}, \overrightarrow{AC}& eeimg=&1&&都垂直来列出两个方程。设&img src=&https://www.zhihu.com/equation?tex=%5Coverrightarrow%7BAB%7D%2C+%5Coverrightarrow%7BAC%7D& alt=&\overrightarrow{AB}, \overrightarrow{AC}& eeimg=&1&&的坐标分别为&img src=&https://www.zhihu.com/equation?tex=%28x_1%2C+y_1%2C+z_1%29%2C+%28x_2%2C+y_2%2C+z_2%29& alt=&(x_1, y_1, z_1), (x_2, y_2, z_2)& eeimg=&1&&，则两个垂直可以用点积表示为：&/p&&blockquote&★ &img src=&https://www.zhihu.com/equation?tex=%5Cleft%5C%7B+%5Cbegin%7Barray%7D%7Bll%7D%0Ax_1x_n+%2B+y_1y_n+%2B+z_1z_n+%3D+0+%5C%5C%0Ax_2x_n+%2B+y_2y_n+%2B+z_2z_n+%3D+0%0A%5Cend%7Barray%7D+%5Cright.& alt=&\left\{ \begin{array}{ll}
x_1x_n + y_1y_n + z_1z_n = 0 \\
x_2x_n + y_2y_n + z_2z_n = 0
\end{array} \right.& eeimg=&1&&&/blockquote&&p&在试卷上列出这个方程组后，不必真正去解它，而是在草稿纸上根据&img src=&https://www.zhihu.com/equation?tex=%5Cvec%7Bn%7D+%3D+%5Coverrightarrow%7BAB%7D+%5Ctimes+%5Coverrightarrow%7BAC%7D& alt=&\vec{n} = \overrightarrow{AB} \times \overrightarrow{AC}& eeimg=&1&&，利用交叉相乘法算出法向量坐标，直接把结果写到试卷上。但这种「伪装」具有一定的局限性——方程组只能解出法向量的方向，不能解出它的模，所以遇到需要使用叉积的模的场合，就绕不过去了。&/p&&h2&二、用向量法求各种角&/h2&&p& 高中立体几何涉及的角度有：线线角、线面角、面面角。&/p&&p&&b& 2.1 求两条直线的夹角&/b&&/p&&p& 设两条直线的方向向量分别为&img src=&https://www.zhihu.com/equation?tex=%5Cvec%7Ba%7D%2C+%5Cvec%7Bb%7D& alt=&\vec{a}, \vec{b}& eeimg=&1&&，它们的夹角为&img src=&https://www.zhihu.com/equation?tex=%5Ctheta& alt=&\theta& eeimg=&1&&。两条直线的夹角，就是&img src=&https://www.zhihu.com/equation?tex=%5Ctheta& alt=&\theta& eeimg=&1&&和&img src=&https://www.zhihu.com/equation?tex=%5Cpi+-+%5Ctheta& alt=&\pi - \theta& eeimg=&1&&中较小的那个，它的余弦一定是非负的。由点积定义&img src=&https://www.zhihu.com/equation?tex=%5Cvec%7Ba%7D+%5Ccdot+%5Cvec%7Bb%7D+%3D+%7C%5Cvec%7Ba%7D%7C+%7C%5Cvec%7Bb%7D%7C+%5Ccos+%5Ctheta& alt=&\vec{a} \cdot \vec{b} = |\vec{a}| |\vec{b}| \cos \theta& eeimg=&1&&可得两个方向向量的夹角为&img src=&https://www.zhihu.com/equation?tex=%5Carccos+%5Cfrac%7B%5Cvec%7Ba%7D+%5Ccdot+%5Cvec%7Bb%7D%7D%7B%7C%5Cvec%7Ba%7D%7C+%7C%5Cvec%7Bb%7D%7C%7D& alt=&\arccos \frac{\vec{a} \cdot \vec{b}}{|\vec{a}| |\vec{b}|}& eeimg=&1&&，于是两条直线的夹角就是&img src=&https://www.zhihu.com/equation?tex=%5Carccos+%5Cfrac%7B%7C%5Cvec%7Ba%7D+%5Ccdot+%5Cvec%7Bb%7D%7C%7D%7B%7C%5Cvec%7Ba%7D%7C+%7C%5Cvec%7Bb%7D%7C%7D& alt=&\arccos \frac{|\vec{a} \cdot \vec{b}|}{|\vec{a}| |\vec{b}|}& eeimg=&1&&。&/p&&p&&figure&&img src=&https://pic2.zhimg.com/v2-c6adbbf10eb7bed_b.jpg& data-rawwidth=&572& data-rawheight=&225& class=&origin_image zh-lightbox-thumb& width=&572& data-original=&https://pic2.zhimg.com/v2-c6adbbf10eb7bed_r.jpg&&&/figure& 有同学要问了：上面的方法利用的是点积，那么利用叉积求得两条直线的夹角为&img src=&https://www.zhihu.com/equation?tex=%5Carcsin+%5Cfrac%7B%7C%5Cvec%7Ba%7D+%5Ctimes+%5Cvec%7Bb%7D%7C%7D%7B%7C%5Cvec%7Ba%7D%7C+%7C%5Cvec%7Bb%7D%7C%7D& alt=&\arcsin \frac{|\vec{a} \times \vec{b}|}{|\vec{a}| |\vec{b}|}& eeimg=&1&&行不行呢？答案是：行，但是&b&叉积的计算量比点积大&/b&，所以优先选择点积。&/p&&br&&p& 注意向量法并不要求两条直线共面，它&b&同样适用于异面直线&/b&！这就避免了传统方法中作平行线的麻烦。&br&&/p&&p&&b& 2.2 求直线与平面的夹角&/b&&/p&&p& 设直线的方向向量为&img src=&https://www.zhihu.com/equation?tex=%5Cvec%7Ba%7D& alt=&\vec{a}& eeimg=&1&&，平面的法向量为&img src=&https://www.zhihu.com/equation?tex=%5Cvec%7Bn%7D& alt=&\vec{n}& eeimg=&1&&，两个向量的夹角为&img src=&https://www.zhihu.com/equation?tex=%5Ctheta& alt=&\theta& eeimg=&1&&。容易看出，待求的线面角&img src=&https://www.zhihu.com/equation?tex=%5Calpha& alt=&\alpha& eeimg=&1&&是&img src=&https://www.zhihu.com/equation?tex=%5Ctheta& alt=&\theta& eeimg=&1&&和&img src=&https://www.zhihu.com/equation?tex=%5Cpi+-+%5Ctheta& alt=&\pi - \theta& eeimg=&1&&中较小者的余角，&img src=&https://www.zhihu.com/equation?tex=%5Csin%5Calpha+%3D+%7C%5Ccos%5Ctheta%7C& alt=&\sin\alpha = |\cos\theta|& eeimg=&1&&。由点积定义，&img src=&https://www.zhihu.com/equation?tex=%5Cvec%7Ba%7D+%5Ccdot+%5Cvec%7Bn%7D+%3D+%7C%5Cvec%7Ba%7D%7C+%7C%5Cvec%7Bn%7D%7C+%5Ccos+%5Ctheta& alt=&\vec{a} \cdot \vec{n} = |\vec{a}| |\vec{n}| \cos \theta& eeimg=&1&&，于是有&img src=&https://www.zhihu.com/equation?tex=%5Calpha+%3D+%5Carcsin+%5Cfrac%7B%7C%5Cvec%7Ba%7D+%5Ccdot+%5Cvec%7Bn%7D%7C%7D%7B%7C%5Cvec%7Ba%7D%7C+%7C%5Cvec%7Bn%7D%7C%7D& alt=&\alpha = \arcsin \frac{|\vec{a} \cdot \vec{n}|}{|\vec{a}| |\vec{n}|}& eeimg=&1&&。与 2.1 节相同，我们优先选择计算量小的点积运算，而不是叉积。&figure&&img src=&https://pic2.zhimg.com/v2-df0f89a2b82dee5e1251e01_b.jpg& data-rawwidth=&347& data-rawheight=&197& class=&content_image& width=&347&&&/figure&&/p&&p& 请再次领略向量法的简单粗暴有效：传统方法中，要求线面角，必须找到直线与平面的交点，并作出直线在平面内的投影。而在向量法中，只要知道直线上的任意两点和平面中任意三点（不共线）的坐标，就可以代入公式计算出直线的方向向量和平面的法向量，再代入公式计算夹角，完全不必考虑五个已知点的位置关系。&/p&&p&&b& 2.3 求两个平面的夹角&/b&&/p&&p& 设两个平面的法向量分别为&img src=&https://www.zhihu.com/equation?tex=%5Cvec%7Bn%7D%2C+%5Cvec%7Bm%7D& alt=&\vec{n}, \vec{m}& eeimg=&1&&，它们的夹角为&img src=&https://www.zhihu.com/equation?tex=%5Ctheta& alt=&\theta& eeimg=&1&&。两个平面的夹角，就是&img src=&https://www.zhihu.com/equation?tex=%5Ctheta& alt=&\theta& eeimg=&1&&和&img src=&https://www.zhihu.com/equation?tex=%5Cpi+-+%5Ctheta& alt=&\pi - \theta& eeimg=&1&&中较小的那个。用与 2.1 节相同的方法，可以得到两个平面的夹角为&img src=&https://www.zhihu.com/equation?tex=%5Carccos+%5Cfrac%7B%7C%5Cvec%7Bn%7D+%5Ccdot+%5Cvec%7Bm%7D%7C%7D%7B%7C%5Cvec%7Bn%7D%7C+%7C%5Cvec%7Bm%7D%7C%7D& alt=&\arccos \frac{|\vec{n} \cdot \vec{m}|}{|\vec{n}| |\vec{m}|}& eeimg=&1&&。&br&&/p&&figure&&img src=&https://pic2.zhimg.com/v2-5d6a75bd7a4afebe4befc_b.jpg& data-rawwidth=&375& data-rawheight=&298& class=&content_image& width=&375&&&/figure&&p& 在几何题中，提到「二面角」，往往指的不是两个「平面」的夹角，而是两个「半平面」的夹角——也就是说，求的是&img src=&https://www.zhihu.com/equation?tex=%5Ctheta& alt=&\theta& eeimg=&1&&和&img src=&https://www.zhihu.com/equation?tex=%5Cpi+-+%5Ctheta& alt=&\pi - \theta& eeimg=&1&&中特定的某一个。怎么知道是哪一个呢？还记得在求法向量的时候，可以人为选择箭头指向哪一头吗？只要让两个法向量&b&一个指向角外，一个指向角内&/b&（如上图），那么两个半平面构成的二面角&img src=&https://www.zhihu.com/equation?tex=%5Calpha& alt=&\alpha& eeimg=&1&&，就一定是两个法向量的夹角&img src=&https://www.zhihu.com/equation?tex=%5Ctheta+%3D+%5Carccos+%5Cfrac%7B%5Cvec%7Bn%7D+%5Ccdot+%5Cvec%7Bm%7D%7D%7B%7C%5Cvec%7Bn%7D%7C+%7C%5Cvec%7Bm%7D%7C%7D& alt=&\theta = \arccos \frac{\vec{n} \cdot \vec{m}}{|\vec{n}| |\vec{m}|}& eeimg=&1&&（注意分子上没有绝对值），而不是它的补角了。反之，如果两个法向量都指向角内或都指向角外，那么二面角&img src=&https://www.zhihu.com/equation?tex=%5Calpha& alt=&\alpha& eeimg=&1&&就是法向量夹角&img src=&https://www.zhihu.com/equation?tex=%5Ctheta& alt=&\theta& eeimg=&1&&的补角&img src=&https://www.zhihu.com/equation?tex=%5Cpi+-+%5Ctheta& alt=&\pi - \theta& eeimg=&1&&。&/p&&br&&p& 用向量法求二面角，同样不需要找到两个面的交线和它在两个面内的垂线，而只需要知道两个面内六个点的坐标。在很多情况下，交线上会有两个已知点，那么就只需要在两个面中各再找一个点。&/p&&br&&h2&三、用向量法求各种距离&/h2&&p& 点、线、面三种图形两两组合，可以得到六种距离：两点距、点线距、点面距、线线距、线面距、面面距。其中线面距、面面距只在线面或面面平行时才有定义，此时可以在直线或其中一个平面中任取一点，转化为点面距。因此这一部分将介绍前四种距离的求法。&/p&&p&&b& 3.1 求两点间的距离&/b&&/p&&p& 设两点的坐标分别为&img src=&https://www.zhihu.com/equation?tex=A%28x_1%2Cy_1%2Cz_1%29%2C+B%28x_2%2Cy_2%2Cz_2%29& alt=&A(x_1,y_1,z_1), B(x_2,y_2,z_2)& eeimg=&1&&，则它们的距离为&img src=&https://www.zhihu.com/equation?tex=%7CAB%7C+%3D+%5Csqrt%7B%28x_1-x_2%29%5E2+%2B+%28y_1-y_2%29%5E2+%2B+%28z_1-z_2%29%5E2%7D& alt=&|AB| = \sqrt{(x_1-x_2)^2 + (y_1-y_2)^2 + (z_1-z_2)^2}& eeimg=&1&&。&/p&&p&&b& 3.2 求点到直线的距离&br&&/b&&/p&&p& 如图，设直线上任意一点到已知点的向量为&img src=&https://www.zhihu.com/equation?tex=%5Cvec%7Ba%7D& alt=&\vec{a}& eeimg=&1&&，直线的方向向量为&img src=&https://www.zhihu.com/equation?tex=%5Cvec%7Bb%7D& alt=&\vec{b}& eeimg=&1&&，两个向量的夹角为&img src=&https://www.zhihu.com/equation?tex=%5Ctheta& alt=&\theta& eeimg=&1&&。可以看出，点到直线的距离为&img src=&https://www.zhihu.com/equation?tex=%7C%5Cvec%7Ba%7D%7C+%5Csin+%5Ctheta& alt=&|\vec{a}| \sin \theta& eeimg=&1&&。由叉积的定义，有&img src=&https://www.zhihu.com/equation?tex=%7C+%5Cvec%7Ba%7D+%5Ctimes+%5Cvec%7Bb%7D+%7C+%3D+%7C%5Cvec%7Ba%7D%7C+%7C%5Cvec%7Bb%7D%7C+%5Csin+%5Ctheta& alt=&| \vec{a} \times \vec{b} | = |\vec{a}| |\vec{b}| \sin \theta& eeimg=&1&&，所以点到直线的距离就是&img src=&https://www.zhihu.com/equation?tex=%5Cfrac%7B%7C%5Cvec%7Ba%7D+%5Ctimes+%5Cvec%7Bb%7D%7C%7D%7B%7C%5Cvec%7Bb%7D%7C%7D& alt=&\frac{|\vec{a} \times \vec{b}|}{|\vec{b}|}& eeimg=&1&&。&/p&&br&&p&&figure&&img src=&https://pic4.zhimg.com/v2-1f3fa64e5d2c14cf6b343e91d3296457_b.jpg& data-rawwidth=&419& data-rawheight=&172& class=&content_image& width=&419&&&/figure& 这里为什么使用了计算量大的叉积，而不是点积呢？这是为了利用叉积定义中现成的&img src=&https://www.zhihu.com/equation?tex=%5Csin+%5Ctheta& alt=&\sin \theta& eeimg=&1&&。&/p&&p&&b& 3.3 求点到平面的距离&br&&/b&&/p&&p& 如图，设平面上任意一点到已知点的向量为&img src=&https://www.zhihu.com/equation?tex=%5Cvec%7Ba%7D& alt=&\vec{a}& eeimg=&1&&，平面的法向量为&img src=&https://www.zhihu.com/equation?tex=%5Cvec%7Bn%7D& alt=&\vec{n}& eeimg=&1&&，两个向量的夹角为&img src=&https://www.zhihu.com/equation?tex=%5Ctheta& alt=&\theta& eeimg=&1&&。可以看出，点到直线的距离为&img src=&https://www.zhihu.com/equation?tex=%7C%5Cvec%7Ba%7D%7C+%7C%5Ccos+%5Ctheta%7C& alt=&|\vec{a}| |\cos \theta|& eeimg=&1&&（余弦取绝对值是因为&img src=&https://www.zhihu.com/equation?tex=%5Ctheta& alt=&\theta& eeimg=&1&&可能是钝角）。由点积的定义，有&img src=&https://www.zhihu.com/equation?tex=%5Cvec%7Ba%7D+%5Ccdot+%5Cvec%7Bn%7D+%3D+%7C%5Cvec%7Ba%7D%7C+%7C%5Cvec%7Bn%7D%7C+%5Ccos+%5Ctheta& alt=&\vec{a} \cdot \vec{n} = |\vec{a}| |\vec{n}| \cos \theta& eeimg=&1&&，所以点到平面的距离就是&img src=&https://www.zhihu.com/equation?tex=%5Cfrac%7B%7C%5Cvec%7Ba%7D+%5Ccdot+%5Cvec%7Bn%7D%7C%7D%7B%7C%5Cvec%7Bn%7D%7C%7D& alt=&\frac{|\vec{a} \cdot \vec{n}|}{|\vec{n}|}& eeimg=&1&&。&/p&&br&&p&&figure&&img src=&https://pic1.zhimg.com/v2-7c10fa086b4c_b.jpg& data-rawwidth=&365& data-rawheight=&216& class=&content_image& width=&365&&&/figure& 点到平面的距离，其实是向量&img src=&https://www.zhihu.com/equation?tex=%5Cvec%7Ba%7D& alt=&\vec{a}& eeimg=&1&&在法向量&img src=&https://www.zhihu.com/equation?tex=%5Cvec%7Bn%7D& alt=&\vec{n}& eeimg=&1&&上的投影长度，&img src=&https://www.zhihu.com/equation?tex=%5Cfrac%7B%7C%5Cvec%7Ba%7D+%5Ccdot+%5Cvec%7Bn%7D%7C%7D%7B%7C%5Cvec%7Bn%7D%7C%7D& alt=&\frac{|\vec{a} \cdot \vec{n}|}{|\vec{n}|}& eeimg=&1&&也正是投影长度公式。&br&&/p&&p&&b& 3.4 求两条直线的距离&/b&&/p&&p& 三维空间中直线有三种位置关系：相交、平行、异面。后两种情况都可以求距离，但方法不一样。若两条直线平行，则可在其中一条直线上任取一点，转化成求该点到另一条直线的距离。若两条直线异面，则可以按如下步骤求出它们的距离。设第一条直线上有两个已知点&img src=&https://www.zhihu.com/equation?tex=A%2CB& alt=&A,B& eeimg=&1&&，第二条直线上有两个已知点&img src=&https://www.zhihu.com/equation?tex=C%2CD& alt=&C,D& eeimg=&1&&。首先，找一个向量与两条直线都垂直，这个向量可以是两条直线的方向向量的叉积&img src=&https://www.zhihu.com/equation?tex=%5Cvec%7Bn%7D+%3D+%5Coverrightarrow%7BAB%7D+%5Ctimes+%5Coverrightarrow%7BCD%7D& alt=&\vec{n} = \overrightarrow{AB} \times \overrightarrow{CD}& eeimg=&1&&。然后，任作一条连结两条直线的线段（比如&img src=&https://www.zhihu.com/equation?tex=AC& alt=&AC& eeimg=&1&&），将它投影到&img src=&https://www.zhihu.com/equation?tex=%5Cvec%7Bn%7D& alt=&\vec{n}& eeimg=&1&&上，投影长度&img src=&https://www.zhihu.com/equation?tex=%5Cfrac%7B%7C%5Coverrightarrow%7BAC%7D+%5Ccdot+%5Cvec%7Bn%7D%7C%7D%7B%7C%5Cvec%7Bn%7D%7C%7D& alt=&\frac{|\overrightarrow{AC} \cdot \vec{n}|}{|\vec{n}|}& eeimg=&1&&就是异面直线的距离。&/p&&br&&figure&&img src=&https://pic3.zhimg.com/v2-2b5fbe67aff97b6fb7af5d784ad4e0d4_b.jpg& data-rawwidth=&266& data-rawheight=&209& class=&content_image& width=&266&&&/figure& 我们看到，两条直线的位置关系不同时，它们的距离求法不一样。但向量法最有用的时候，正是图形的位置关系不清楚的时候。有没有简便的方法判断直线的位置关系呢？有！先不管三七二十一地计算「法向量」&img src=&https://www.zhihu.com/equation?tex=%5Cvec%7Bn%7D+%3D+%5Coverrightarrow%7BAB%7D+%5Ctimes+%5Coverrightarrow%7BCD%7D& alt=&\vec{n} = \overrightarrow{AB} \times \overrightarrow{CD}& eeimg=&1&&，如果算出来发现是零向量，那么说明两条直线平行，转化成点线距。如果算出来法向量非零，那么就继续计算投影长度，如果投影长度为 0，说明两条直线相交，否则两条直线异面，投影长度是它们之间的距离。&h2&四、用向量法求三角形面积和四面体体积&/h2&&p& 这两种题型在高中立体几何中出现的频率不高，但它们与高等数学中「行列式」的概念联系紧密，有兴趣的同学可以涉猎一下。&/p&&p&&b& 4.1 求三角形的面积&br&&/b&&/p&&p& 设三角形三个顶点&img src=&https://www.zhihu.com/equation?tex=A%2CB%2CC& alt=&A,B,C& eeimg=&1&&的坐标均已知，则三角形的面积为&img src=&https://www.zhihu.com/equation?tex=S+%3D+%5Cfrac%7B1%7D%7B2%7D+%7CAB%7C+%7CAC%7C+%5Csin+%5Cangle+A& alt=&S = \frac{1}{2} |AB| |AC| \sin \angle A& eeimg=&1&&。而由叉积的定义，&img src=&https://www.zhihu.com/equation?tex=%7C%5Coverrightarrow%7BAB%7D+%5Ctimes+%5Coverrightarrow%7BAC%7D%7C+%3D+%7C%5Coverrightarrow%7BAB%7D%7C+%7C%5Coverrightarrow%7BAC%7D%7C+%5Csin+%5Cangle+A& alt=&|\overrightarrow{AB} \times \overrightarrow{AC}| = |\overrightarrow{AB}| |\overrightarrow{AC}| \sin \angle A& eeimg=&1&&，所以&img src=&https://www.zhihu.com/equation?tex=S+%3D+%5Cfrac%7B1%7D%7B2%7D+%7C%5Coverrightarrow%7BAB%7D+%5Ctimes+%5Coverrightarrow%7BAC%7D%7C& alt=&S = \frac{1}{2} |\overrightarrow{AB} \times \overrightarrow{AC}|& eeimg=&1&&。&br&&/p&&p& 这个公式同样适用于平面几何，此时&img src=&https://www.zhihu.com/equation?tex=A%2CB%2CC& alt=&A,B,C& eeimg=&1&&的&img src=&https://www.zhihu.com/equation?tex=z& alt=&z& eeimg=&1&&坐标均为 0。设&img src=&https://www.zhihu.com/equation?tex=%5Coverrightarrow%7BAB%7D+%3D+%28x_1%2C+y_1%2C+0%29& alt=&\overrightarrow{AB} = (x_1, y_1, 0)& eeimg=&1&&，&img src=&https://www.zhihu.com/equation?tex=%5Coverrightarrow%7BAC%7D+%3D+%28x_2%2C+y_2%2C+0%29& alt=&\overrightarrow{AC} = (x_2, y_2, 0)& eeimg=&1&&，则&img src=&https://www.zhihu.com/equation?tex=%5Coverrightarrow%7BAB%7D+%5Ctimes+%5Coverrightarrow%7BAC%7D+%3D+%280%2C+0%2C+x_1y_2+-+y_1x_2%29& alt=&\overrightarrow{AB} \times \overrightarrow{AC} = (0, 0, x_1y_2 - y_1x_2)& eeimg=&1&&。这个向量的&img src=&https://www.zhihu.com/equation?tex=z& alt=&z& eeimg=&1&&坐标的绝对值的一半就是三角形&img src=&https://www.zhihu.com/equation?tex=ABC& alt=&ABC& eeimg=&1&&的面积，而&img src=&https://www.zhihu.com/equation?tex=z& alt=&z& eeimg=&1&&坐标的绝对值是以&img src=&https://www.zhihu.com/equation?tex=AB%2CAC& alt=&AB,AC& eeimg=&1&&为邻边的平行四边形的面积。&img src=&https://www.zhihu.com/equation?tex=z& alt=&z& eeimg=&1&&坐标的正负号，表示在平面中从&img src=&https://www.zhihu.com/equation?tex=%5Coverrightarrow%7BAB%7D& alt=&\overrightarrow{AB}& eeimg=&1&&到&img src=&https://www.zhihu.com/equation?tex=%5Coverrightarrow%7BAC%7D& alt=&\overrightarrow{AC}& eeimg=&1&&是逆时针还是顺时针旋转，因此&img src=&https://www.zhihu.com/equation?tex=z& alt=&z& eeimg=&1&&坐标也称为平行四边形的&b&有向面积&/b&。&br&&/p&&p& 把&img src=&https://www.zhihu.com/equation?tex=%5Coverrightarrow%7BAB%7D%2C+%5Coverrightarrow%7BAC%7D& alt=&\overrightarrow{AB}, \overrightarrow{AC}& eeimg=&1&&的二维坐标排成两行两列&img src=&https://www.zhihu.com/equation?tex=%5Cleft%7C+%5Cbegin%7Barray%7D%7Bcc%7D+x_1+%26+y_1+%5C%5C+x_2+%26+y_2+%5Cend%7Barray%7D+%5Cright%7C& alt=&\left| \begin{array}{cc} x_1 & y_1 \\ x_2 & y_2 \end{array} \right|& eeimg=&1&&，这个东西称为「行列式」，它的值是一个数。二阶行列式的计算公式是「交叉相减」：&img src=&https://www.zhihu.com/equation?tex=%5Cleft%7C+%5Cbegin%7Barray%7D%7Bcc%7D+x_1+%26+y_1+%5C%5C+x_2+%26+y_2+%5Cend%7Barray%7D+%5Cright%7C+%3D+x_1y_2+-+y_1x_2& alt=&\left| \begin{array}{cc} x_1 & y_1 \\ x_2 & y_2 \end{array} \right| = x_1y_2 - y_1x_2& eeimg=&1&&。二阶行列式对应着平面中两个向量的叉积，其几何意义就是「平行四面体的有向面积」。&/p&&br&&p&&b& 4.2 求四面体的体积&br&&/b&&/p&&p&&figure&&img src=&https://pic2.zhimg.com/v2-84ec92aa63b4a1e19a21c_b.jpg& data-rawwidth=&346& data-rawheight=&295& class=&content_image& width=&346&&&/figure& 设四面体四个顶点&img src=&https://www.zhihu.com/equation?tex=A%2CB%2CC%2CD& alt=&A,B,C,D& eeimg=&1&&的坐标均已知。由 4.1 节，底面三角形&img src=&https://www.zhihu.com/equation?tex=ABC& alt=&ABC& eeimg=&1&&的面积为&img src=&https://www.zhihu.com/equation?tex=%5Cfrac%7B1%7D%7B2%7D+%7C+%5Coverrightarrow%7BAB%7D+%5Ctimes+%5Coverrightarrow%7BAC%7D+%7C& alt=&\frac{1}{2} | \overrightarrow{AB} \times \overrightarrow{AC} |& eeimg=&1&&；而四面体的高是顶点&img src=&https://www.zhihu.com/equation?tex=D& alt=&D& eeimg=&1&&到底面的距离，由 3.3 节，这个距离为&img src=&https://www.zhihu.com/equation?tex=h+%3D+%5Cfrac%7B%7C%5Coverrightarrow%7BAD%7D+%5Ccdot+%28%5Coverrightarrow%7BAB%7D+%5Ctimes+%5Coverrightarrow%7BAC%7D%29%7C%7D+%7B%7C%5Coverrightarrow%7BAB%7D+%5Ctimes+%5Coverrightarrow%7BAC%7D%7C%7D& alt=&h = \frac{|\overrightarrow{AD} \cdot (\overrightarrow{AB} \times \overrightarrow{AC})|} {|\overrightarrow{AB} \times \overrightarrow{AC}|}& eeimg=&1&&。四面体的体积为&img src=&https://www.zhihu.com/equation?tex=V+%3D+%5Cfrac%7B1%7D%7B3%7DSh+%3D+%5Cfrac%7B1%7D%7B6%7D%7C%5Coverrightarrow%7BAD%7D+%5Ccdot+%28%5Coverrightarrow%7BAB%7D+%5Ctimes+%5Coverrightarrow%7BAC%7D%29%7C& alt=&V = \frac{1}{3}Sh = \frac{1}{6}|\overrightarrow{AD} \cdot (\overrightarrow{AB} \times \overrightarrow{AC})|& eeimg=&1&&。&/p&&p& 上述结果去掉&img src=&https://www.zhihu.com/equation?tex=%5Cfrac%7B1%7D%7B6%7D& alt=&\frac{1}{6}& eeimg=&1&&后剩下的部分&img src=&https://www.zhihu.com/equation?tex=%7C%5Coverrightarrow%7BAD%7D+%5Ccdot+%28%5Coverrightarrow%7BAB%7D+%5Ctimes+%5Coverrightarrow%7BAC%7D%29%7C& alt=&|\overrightarrow{AD} \cdot (\overrightarrow{AB} \times \overrightarrow{AC})|& eeimg=&1&&，是以&img src=&https://www.zhihu.com/equation?tex=AB%2CAC%2CAD& alt=&AB,AC,AD& eeimg=&1&&为三边的平行六面体的体积。再去掉绝对值，剩下的部分称为向量&img src=&https://www.zhihu.com/equation?tex=%5Coverrightarrow%7BAB%7D%2C+%5Coverrightarrow%7BAC%7D%2C+%5Coverrightarrow%7BAD%7D& alt=&\overrightarrow{AB}, \overrightarrow{AC}, \overrightarrow{AD}& eeimg=&1&&的&b&混合积&/b&，它表示了平行六面体的&b&有向体积&/b&——若从角&img src=&https://www.zhihu.com/equation?tex=A& alt=&A& eeimg=&1&&内部观察，向量&img src=&https://www.zhihu.com/equation?tex=%5Coverrightarrow%7BAB%7D%2C+%5Coverrightarrow%7BAC%7D%2C+%5Coverrightarrow%7BAD%7D& alt=&\overrightarrow{AB}, \overrightarrow{AC}, \overrightarrow{AD}& eeimg=&1&&呈逆时针排列，则体积为正，反之为负。&/p&&br&&p& 设&img src=&https://www.zhihu.com/equation?tex=%5Coverrightarrow%7BAB%7D+%3D+%28x_1%2C+y_1%2C+z_1%29& alt=&\overrightarrow{AB} = (x_1, y_1, z_1)& eeimg=&1&&，&img src=&https://www.zhihu.com/equation?tex=%5Coverrightarrow%7BAC%7D+%3D+%28x_2%2C+y_2%2C+z_2%29& alt=&\overrightarrow{AC} = (x_2, y_2, z_2)& eeimg=&1&&，&img src=&https://www.zhihu.com/equation?tex=%5Coverrightarrow%7BAD%7D+%3D+%28x_3%2C+y_3%2C+z_3%29& alt=&\overrightarrow{AD} = (x_3, y_3, z_3)& eeimg=&1&&。容易验证，&img src=&https://www.zhihu.com/equation?tex=%5Coverrightarrow%7BAD%7D+%5Ccdot+%28%5Coverrightarrow%7BAB%7D+%5Ctimes+%5Coverrightarrow%7BAC%7D%29+%3D+x_1y_2z_3+%2B+y_1z_2x_3+%2B+z_1x_2y_3+-+x_1z_2y_3+-+y_1x_2z_3+-+z_1y_2x_3& alt=&\overrightarrow{AD} \cdot (\overrightarrow{AB} \times \overrightarrow{AC}) = x_1y_2z_3 + y_1z_2x_3 + z_1x_2y_3 - x_1z_2y_3 - y_1x_2z_3 - z_1y_2x_3& eeimg=&1&&。这正是三阶行列式&img src=&https://www.zhihu.com/equation?tex=%5Cleft%7C+%5Cbegin%7Barray%7D%7Bccc%7D+x_1+%26+y_1+%26+z_1+%5C%5C+x_2+%26+y_2+%26+z_2+%5C%5C+x_3+%26+y_3+%26+z_3+%5Cend%7Barray%7D+%5Cright%7C& alt=&\left| \begin{array}{ccc} x_1 & y_1 & z_1 \\ x_2 & y_2 & z_2 \\ x_3 & y_3 & z_3 \end{array} \right|& eeimg=&1&&的计算公式。三阶行列式对应着三维空间中三个向量的混合积，其几何意义是「平行六面体的有向体积」。&/p&&br& 行列式的概念还可以推广到更高维的空间。从同一个点出发的&img src=&https://www.zhihu.com/equation?tex=n& alt=&n& eeimg=&1&&个&img src=&https://www.zhihu.com/equation?tex=n& alt=&n& eeimg=&1&&维向量的坐标排成的&img src=&https://www.zhihu.com/equation?tex=n& alt=&n& eeimg=&1&&阶行列式，代表了以这些向量为边的&img src=&https://www.zhihu.com/equation?tex=n& alt=&n& eeimg=&1&&维「超平行体」的「有向超体积」。&h2&五、一道例题&/h2&&p&&figure&&img src=&https://pic2.zhimg.com/v2-217d76e03d593e909c65e_b.jpg& data-rawwidth=&545& data-rawheight=&375& class=&origin_image zh-lightbox-thumb& width=&545& data-original=&https://pic2.zhimg.com/v2-217d76e03d593e909c65e_r.jpg&&&/figure& 图中是一座金字塔。它是一个正四棱锥，底面&img src=&https://www.zhihu.com/equation?tex=ABCD& alt=&ABCD& eeimg=&1&&是一个边长 10 米的正方形，各个侧面都是正三角形。在底边&img src=&https://www.zhihu.com/equation?tex=BC& alt=&BC& eeimg=&1&&的中点&img src=&https://www.zhihu.com/equation?tex=G& alt=&G& eeimg=&1&&处竖立着一根高&img src=&https://www.zhihu.com/equation?tex=2%5Csqrt%7B2%7D& alt=&2\sqrt{2}& eeimg=&1&&米的火把&img src=&https://www.zhihu.com/equation?tex=FG& alt=&FG& eeimg=&1&&。&/p&&ol&&ol&&li&求金字塔相邻侧面所成的二面角&img src=&https://www.zhihu.com/equation?tex=A-EB-C& alt=&A-EB-C& eeimg=&1&&。&/li&&li&求金字塔的棱&img src=&https://www.zhihu.com/equation?tex=AE& alt=&AE& eeimg=&1&&所在直线与底边&img src=&https://www.zhihu.com/equation?tex=BC& alt=&BC& eeimg=&1&&所在直线的距离。&/li&&li&求火苗&img src=&https://www.zhihu.com/equation?tex=F& alt=&F& eeimg=&1&&到棱&img src=&https://www.zhihu.com/equation?tex=BE& alt=&BE& eeimg=&1&&所在直线的距离。&/li&&/ol&&/ol&&figure&&img src=&https://pic4.zhimg.com/v2-a1dffae48f5fce4a8520a61_b.jpg& data-rawwidth=&717& data-rawheight=&478& class=&origin_image zh-lightbox-thumb& width=&717& data-original=&https://pic4.zhimg.com/v2-a1dffae48f5fce4a8520a61_r.jpg&&&/figure&&p&&b&解：&/b&如上图建立空间直角坐标系，原点&img src=&https://www.zhihu.com/equation?tex=O& alt=&O& eeimg=&1&&为底面中心。容易求得下列各点坐标：&img src=&https://www.zhihu.com/equation?tex=A%285%2C+-5%2C+0%29%2C+B%285%2C+5%2C+0%29%2C+C%28-5%2C+5%2C+0%29%2C+F%280%2C+5%2C+0%29%2C+G%280%2C+5%2C+2%5Csqrt%7B2%7D%29& alt=&A(5, -5, 0), B(5, 5, 0), C(-5, 5, 0), F(0, 5, 0), G(0, 5, 2\sqrt{2})& eeimg=&1&&（单位均为米，下略）。金字塔的高未知，设顶点的坐标为&img src=&https://www.zhihu.com/equation?tex=E%280%2C0%2Ch%29& alt=&E(0,0,h)& eeimg=&1&&。由于侧面都是等边三角形，&img src=&https://www.zhihu.com/equation?tex=EB+%3D+%5Csqrt%7B5%5E2+%2B+5%5E2+%2B+h%5E2%7D+%3D+10& alt=&EB = \sqrt{5^2 + 5^2 + h^2} = 10& eeimg=&1&&，解得&img src=&https://www.zhihu.com/equation?tex=h+%3D+5%5Csqrt%7B2%7D& alt=&h = 5\sqrt{2}& eeimg=&1&&。&/p&&br&&p&&b&求二面角&/b&&b&&img src=&https://www.zhihu.com/equation?tex=A-EB-C& alt=&A-EB-C& eeimg=&1&&：&/b&侧面&img src=&https://www.zhihu.com/equation?tex=EBC& alt=&EBC& eeimg=&1&&的一个法向量为&img src=&https://www.zhihu.com/equation?tex=%5Coverrightarrow%7BBC%7D+%5Ctimes+%5Coverrightarrow%7BBE%7D+%3D+%28-10%2C+0%2C+0%29+%5Ctimes+%28-5%2C+-5%2C+5%5Csqrt%7B2%7D%29+%3D+%280%2C+50%5Csqrt%7B2%7D%2C+50%29& alt=&\overrightarrow{BC} \times \overrightarrow{BE} = (-10, 0, 0) \times (-5, -5, 5\sqrt{2}) = (0, 50\sqrt{2}, 50)& eeimg=&1&&，不妨缩短成&img src=&https://www.zhihu.com/equation?tex=%5Cvec%7Bn%7D+%3D+%280%2C+%5Csqrt%7B2%7D%2C+1%29& alt=&\vec{n} = (0, \sqrt{2}, 1)& eeimg=&1&&，它指向二面角&img src=&https://www.zhihu.com/equation?tex=A-EB-C& alt=&A-EB-C& eeimg=&1&&外部。侧面&img src=&https://www.zhihu.com/equation?tex=EAB& alt=&EAB& eeimg=&1&&的一个法向量为&img src=&https://www.zhihu.com/equation?tex=%5Coverrightarrow%7BBA%7D+%5Ctimes+%5Coverrightarrow%7BBE%7D+%3D+%280%2C+-10%2C+0%29+%5Ctimes+%28-5%2C+-5%2C+5%5Csqrt%7B2%7D%29+%3D+%28-50%5Csqrt%7B2%7D%2C+0%2C+-50%29& alt=&\overrightarrow{BA} \times \overrightarrow{BE} = (0, -10, 0) \times (-5, -5, 5\sqrt{2}) = (-50\sqrt{2}, 0, -50)& eeimg=&1&&，不妨缩短成&img src=&https://www.zhihu.com/equation?tex=%5Cvec%7Bm%7D+%3D+%28-%5Csqrt%7B2%7D%2C+0%2C+-1%29& alt=&\vec{m} = (-\sqrt{2}, 0, -1)& eeimg=&1&&，它指向二面角&img src=&https://www.zhihu.com/equation?tex=A-EB-C& alt=&A-EB-C& eeimg=&1&&内部。二面角的大小就是法向量的夹角，即&img src=&https://www.zhihu.com/equation?tex=%5Carccos+%5Cfrac%7B%5Cvec%7Bn%7D+%5Ccdot+%5Cvec%7Bm%7D%7D%7B%7C%5Cvec%7Bn%7D%7C+%7C%5Cvec%7Bm%7D%7C%7D+%3D+%5Carccos+%5Cleft%28-%5Cfrac%7B1%7D%7B3%7D%5Cright%29& alt=&\arccos \frac{\vec{n} \cdot \vec{m}}{|\vec{n}| |\vec{m}|} = \arccos \left(-\frac{1}{3}\right)& eeimg=&1&&。&br&&/p&&p&&b&求直线&img src=&https://www.zhihu.com/equation?tex=AE& alt=&AE& eeimg=&1&&与&img src=&https://www.zhihu.com/equation?tex=BC& alt=&BC& eeimg=&1&&的距离：&/b&先求一个与两条直线都垂直的向量&img src=&https://www.zhihu.com/equation?tex=%5Coverrightarrow%7BAE%7D+%5Ctimes+%5Coverrightarrow%7BBC%7D+%3D+%28-5%2C+5%2C+5%5Csqrt%7B2%7D%29+%5Ctimes+%28-10%2C+0%2C+0%29+%3D+%280%2C+-50%5Csqrt%7B2%7D%2C+50%29& alt=&\overrightarrow{AE} \times \overrightarrow{BC} = (-5, 5, 5\sqrt{2}) \times (-10, 0, 0) = (0, -50\sqrt{2}, 50)& eeimg=&1&&，不妨缩短成&img src=&https://www.zhihu.com/equation?tex=%5Cvec%7Bl%7D+%3D+%280%2C+-%5Csqrt%7B2%7D%2C+1%29& alt=&\vec{l} = (0, -\sqrt{2}, 1)& eeimg=&1&&。将&img src=&https://www.zhihu.com/equation?tex=%5Coverrightarrow%7BAB%7D+%3D+%280%2C+10%2C+0%29& alt=&\overrightarrow{AB} = (0, 10, 0)& eeimg=&1&&投影到这个向量上，投影长度为&img src=&https://www.zhihu.com/equation?tex=%5Cfrac%7B%7C%5Coverrightarrow%7BAB%7D+%5Ccdot+%5Cvec%7Bl%7D%7C%7D%7B%7C%5Cvec%7Bl%7D%7C%7D+%3D+%5Cfrac%7B10%7D%7B3%7D+%5Csqrt%7B6%7D& alt=&\frac{|\overrightarrow{AB} \cdot \vec{l}|}{|\vec{l}|} = \frac{10}{3} \sqrt{6}& eeimg=&1&&，这就是直线&img src=&https://www.zhihu.com/equation?tex=AE& alt=&AE& eeimg=&1&&与&img src=&https://www.zhihu.com/equation?tex=BC& alt=&BC& eeimg=&1&&的距离。&br&&/p&&br&&p&&b&求点&img src=&https://www.zhihu.com/equation?tex=F& alt=&F& eeimg=&1&&到直线&img src=&https://www.zhihu.com/equation?tex=BE& alt=&BE& eeimg=&1&&的距离：&/b&此距离&img src=&https://www.zhihu.com/equation?tex=d+%3D+%7CBF%7C+%5Csin+%5Cangle%7BFBE%7D+%3D+%5Cfrac%7B%7C+%5Coverrightarrow%7BBF%7D+%5Ctimes+%5Coverrightarrow%7BBE%7D+%7C%7D%7B%7C%5Coverrightarrow%7BBE%7D%7C%7D& alt=&d = |BF| \sin \angle{FBE} = \frac{| \overrightarrow{BF} \times \overrightarrow{BE} |}{|\overrightarrow{BE}|}& eeimg=&1&&。&img src=&https://www.zhihu.com/equation?tex=%5Coverrightarrow%7BBF%7D+%3D+%28-5%2C+0%2C+2%5Csqrt%7B2%7D%29& alt=&\overrightarrow{BF} = (-5, 0, 2\sqrt{2})& eeimg=&1&&，&img src=&https://www.zhihu.com/equation?tex=%5Coverrightarrow%7BBE%7D+%3D+%28-5%2C+-5%2C+5%5Csqrt%7B2%7D%29& alt=&\overrightarrow{BE} = (-5, -5, 5\sqrt{2})& eeimg=&1&&，&img src=&https://www.zhihu.com/equation?tex=%5Coverrightarrow%7BBF%7D+%5Ctimes+%5Coverrightarrow%7BBE%7D+%3D+%2810%5Csqrt%7B2%7D%2C+15%5Csqrt%7B2%7D%2C+25%29& alt=&\overrightarrow{BF} \times \overrightarrow{BE} = (10\sqrt{2}, 15\sqrt{2}, 25)& eeimg=&1&&，代入得&img src=&https://www.zhihu.com/equation?tex=d+%3D+%5Cfrac%7B%5Csqrt%7B51%7D%7D%7B2%7D& alt=&d = \frac{\sqrt{51}}{2}& eeimg=&1&&。&/p&
. 向量法是解高中立体几何题的神器。只要能建立空间直角坐标系的题，都可以用向量法来解，而这样的题目可以占到所有立体几何题的 95% 以上。与传统方法相比，向量法的计算量稍微大一些，但它的优点是不需要费脑筋做辅助线，而只需要简单粗暴地按套路进行计…
&figure&&img src=&https://pic4.zhimg.com/v2-bcf4bdead256bc08ed3b4d8_b.jpg& data-rawwidth=&439& data-rawheight=&276& class=&origin_image zh-lightbox-thumb& width=&439& data-original=&https://pic4.zhimg.com/v2-bcf4bdead256bc08ed3b4d8_r.jpg&&&/figure&&p&
把平时总结的易遗漏知识点罗列如下，占分不多，比较冷门；然万字长文，请大家各取所需。但我在这里总结的也不全面，希望童鞋们不吝拿出想到的易忽略内容和大家分享一下。&br&&/p&&p&——————我是分割线(=^▽^=)————————&/p&&h2&高中数学&/h2&&p&&b&1.容斥定理：&/b&&br&&/p&&img src=&https://www.zhihu.com/equation?tex=%7CA_%7B1%7D%5Ccup++A_%7B2%7D%5Ccup+%5Ccdot+%5Ccdot+%5Ccdot+%5Ccup++A_%7Bm%7D+%7C%3D& alt=&|A_{1}\cup
A_{2}\cup \cdot \cdot \cdot \cup
A_{m} |=& eeimg=&1&&&br&&figure&&img src=&https://pic2.zhimg.com/v2-16dbdd7c768_b.jpg& data-rawwidth=&592& data-rawheight=&42& class=&origin_image zh-lightbox-thumb& width=&592& data-original=&https://pic2.zhimg.com/v2-16dbdd7c768_r.jpg&&&/figure&&p&常用：&img src=&https://www.zhihu.com/equation?tex=%7CA%5Ccup+B%5Ccup+C%7C+%3D+%7CA%7C%2B%7CB%7C%2B%7CC%7C+-+%7CA%5Ccap+B%7C+-+%7CB%5Ccap+C%7C+-+%7CC%5Ccap+A%7C+%2B+%7CA%5Ccap+B%5Ccap+C%7C& alt=&|A\cup B\cup C| = |A|+|B|+|C| - |A\cap B| - |B\cap C| - |C\cap A| + |A\cap B\cap C|& eeimg=&1&&&br&&/p&&p&详细证明及题目：&a href=&https://link.zhihu.com/?target=http%3A//baike.baidu.com/link%3Furl%3D-t-D-3v6H9kZcvP7paxphyp7hPyuat_YaVri4D2mmwMsEqUM--EHtv7wu3LivqbrOPbApWSdX9KE9yPSq5noBZTbyDAWzuNxq_4c51-2kmzjdH6i3pmebFtWBlQx31IE& class=& wrap external& target=&_blank& rel=&nofollow noreferrer&&容斥原理&/a&&/p&&p&&b&2.海伦公式：&/b&有一个三角形，边长分别为a、b、c，三角形的面积&img src=&https://www.zhihu.com/equation?tex=S%3D%5Csqrt%7Bp%28p-a%29%28p-b%29%28p-c%29%7D+& alt=&S=\sqrt{p(p-a)(p-b)(p-c)} & eeimg=&1&&其中，&img src=&https://www.zhihu.com/equation?tex=p%3D%5Cfrac%7Ba%2Bb%2Bc%7D%7B2%7D+& alt=&p=\frac{a+b+c}{2} & eeimg=&1&&。&/p&&p&&b&3.三角形中线定理：&/b& 若AO是三角形ABC边BC的中线，则&img src=&https://www.zhihu.com/equation?tex=AB%5E%7B2%7D+%2BAC%5E%7B2%7D+%3D2%28BO%5E%7B2%7D+%2BAO%5E%7B2%7D+%29& alt=&AB^{2} +AC^{2} =2(BO^{2} +AO^{2} )& eeimg=&1&&&br&&/p&&p&&b&4.三角形五心&/b&(重心，外心，垂心，内心和旁心)定律。想不起来的童鞋看过来：&a href=&https://link.zhihu.com/?target=http%3A//baike.baidu.com/item/%25E4%25B8%%25A7%%25BD%25A2%25E4%25BA%%25BF%%25AE%259A%25E5%25BE%258B/Ffr%3Daladdin& class=& wrap external& target=&_blank& rel=&nofollow noreferrer&&三角形五心定律&/a&&/p&&p&&b&5.函数对称公式：&/b&&/p&&p&&img src=&https://www.zhihu.com/equation?tex=f%28a-x%29%3Df%28b%2Bx%29& alt=&f(a-x)=f(b+x)& eeimg=&1&&,则对称轴为&img src=&https://www.zhihu.com/equation?tex=x%3D%5Cfrac%7B%28b%2Ba%29%7D%7B2%7D+& alt=&x=\frac{(b+a)}{2} & eeimg=&1&&&/p&&p&&img src=&https://www.zhihu.com/equation?tex=f%28a-x%29%3D-f%28b%2Bx%29& alt=&f(a-x)=-f(b+x)& eeimg=&1&&,则对称中心为(&img src=&https://www.zhihu.com/equation?tex=%5Cfrac%7Ba%2Bb%7D%7B2%7D+& alt=&\frac{a+b}{2} & eeimg=&1&&,0)&/p&&p&当看到一个等式中x之和为0时一般为对称函数,对称轴即等于括号里的相加除以2，若题目中告诉某函数&img src=&https://www.zhihu.com/equation?tex=f%28x%29& alt=&f(x)& eeimg=&1&&关于对称&img src=&https://www.zhihu.com/equation?tex=x%3D5& alt=&x=5& eeimg=&1&&,则可写成&img src=&https://www.zhihu.com/equation?tex=f%28x%29%3Df%2810-x%29& alt=&f(x)=f(10-x)& eeimg=&1&&或&img src=&https://www.zhihu.com/equation?tex=f%285%2Bx%29%3Df%285-x%29& alt=&f(5+x)=f(5-x)& eeimg=&1&&&br&&/p&&p&&b&6.对勾函数：&/b&即形如&img src=&https://www.zhihu.com/equation?tex=f%28x%29%3Dax%2B%5Cfrac%7Bb%7D%7Bx%7D+& alt=&f(x)=ax+\frac{b}{x} & eeimg=&1&&的函数，是奇函数；渐近线是&img src=&https://www.zhihu.com/equation?tex=f%28x%29%3Dax& alt=&f(x)=ax& eeimg=&1&&和&img src=&https://www.zhihu.com/equation?tex=x%3D0& alt=&x=0& eeimg=&1&&；在第一象限，转折点是&img src=&https://www.zhihu.com/equation?tex=%28%5Csqrt%7B%5Cfrac%7Bb%7D%7Ba%7D+%7D%2C2%5Csqrt%7Bab%7D++%29& alt=&(\sqrt{\frac{b}{a} },2\sqrt{ab}
)& eeimg=&1&&，&img src=&https://www.zhihu.com/equation?tex=x%3D%5Csqrt%7B%5Cfrac%7Bb%7D%7Ba%7D+%7D+& alt=&x=\sqrt{\frac{b}{a} } & eeimg=&1&&时&img src=&https://www.zhihu.com/equation?tex=y& alt=&y& eeimg=&1&&取最小值&img src=&https://www.zhihu.com/equation?tex=2%5Csqrt%7Bab%7D+& alt=&2\sqrt{ab} & eeimg=&1&&。&/p&&p&&b&7.焦半径公式：&/b&&/p&&p&椭圆：&img src=&https://www.zhihu.com/equation?tex=r_%7B1%7D+%3Da%2Bex%2C%0Ar_%7B2%7D%3Da-ex%3B%0A& alt=&r_{1} =a+ex,
& eeimg=&1&&&br&&/p&&p&双曲线：&img src=&https://www.zhihu.com/equation?tex=r_%7B1%7D%3D%5Cleft%7Ca%2Bex%5Cright%7C%2C%0Ar_%7B2%7D%3D%5Cleft%7Ca-ex%5Cright%7C+++%3B%0A& alt=&r_{1}=\left|a+ex\right|,
r_{2}=\left|a-ex\right|
& eeimg=&1&&&/p&&p&抛物线：&img src=&https://www.zhihu.com/equation?tex=r%3Dx%2B%5Cfrac%7Bp%7D%7B2%7D+& alt=&r=x+\frac{p}{2} & eeimg=&1&&&br&&/p&&br&&p&这里有推导过程：&a href=&https://link.zhihu.com/?target=https%3A//wapbaike.baidu.com/item/%25E7%%25E5%258D%258A%25E5%25BE%%2585%25AC%25E5%25BC%258F%3Fref%3Dwise%26ssid%3D0%26from%3Duid%3D0%26pu%3Dusm%Csz%%252Cta%2540iphone___11_8.5%26bd_page_type%3D1%26baiduid%3DE2FBA3A5DD98319FBF94CB15D373B531%26tj%3Dformula_1_0_10_title& class=& wrap external& target=&_blank& rel=&nofollow noreferrer&&焦半径公式&/a&&/p&&p&焦半径公式数形结合常在圆锥曲线的选择判断压轴题。&/p&&p&8.老师敲破黑板都会忘的地方：&/p&&p&
(1).&b&&u&定义域。&/u&&/b&判断奇偶性、三角函数周期、求反函数、换元之后、实际应用题中一定一定要想着定义域。&/p&&p&
(2).直线与&img src=&https://www.zhihu.com/equation?tex=xy& alt=&xy& eeimg=&1&&轴平行/垂直的情况，各种角(平面角/二面角/异面直线成角等)范围。&/p&&p&&a href=&https://link.zhihu.com/?target=http%3A//wenku.baidu.com/link%3Furl%3Do0PfhlmIR_j1P-TKPVIM1u9l6myCbxxAsD71zandD0pLvIXJZG6I-vhZOoEQMGq27U5t82RHoE1glYhP-5mQ7jZjdDd6WHTq1iMylI-_a0W& class=& wrap external& target=&_blank& rel=&nofollow noreferrer&&高中数学易混易错知识点大全&/a&这个比较基础，愿意看的童鞋可以一看。&/p&&br&&br&&br&&br&&h2&高中生物&/h2&
1.课本上的&b&每一个实验&/b&：要认真看每一个字，尤其是所用的试剂(如溴麝香草酚蓝水溶液，斐林和双缩脲两液差别，50%酒精用于洗浮色/75%酒精用于消毒/95%酒精用于解离和粗提取DNA等等(见以下链接))和大致步骤;糖/蛋白质/脂肪/DNA鉴定、色素提取分离和观察有丝分裂要看得滚瓜烂熟甚至背过。&br&&a href=&https://link.zhihu.com/?target=https%3A//wapwenku.baidu.com/view/c90aa73deff9aefd.html%3Fssid%3D0%26from%3Duid%3D0%26pu%3Dusm%400%2Csz%4%2Cta%40utouch_1_5.1_11_8.5%26bd_page_type%3D1%26baiduid%3DE2FBA3A5DD98319FBF94CB15D373B531%26tj%3Dwenkuala_1_0_10_title%235& class=& wrap external& target=&_blank& rel=&nofollow noreferrer&&高中生物实验试剂归纳&/a&&p&&a href=&https://link.zhihu.com/?target=https%3A//wk.baidu.com/view/56a0f62acfc789eb172dc8a4%3Fpcf%3D2%235& class=& wrap external& target=&_blank& rel=&nofollow noreferrer&&高中生物实验大全&/a&&/p&&p&&b&2.课本上所有大黑体字。无论它在哪个位置，一定要背过，而且重要词语不能错字。(一定要记得这件事情)&/b&&/p&&p&&b&3.零碎易忽略知识点：&/b&&/p&&br&(1)能复制的细胞器:线粒体,叶绿体,中心体。&p&(2)原核细胞转录与翻译,出现在同一地点。&/p&&p&(3) 精原细胞和卵原细胞是通过有丝分裂形成的。&/p&&p&(4)香蕉是三倍体，减数分裂联会紊乱，不能产生正常配子，不能正常受精，因而不能&/p&&p&形成种子 。&/p&&p&(5)(选修三)生长素在植物组织培养中的主要作用是促进细胞生长与分裂,用于诱导愈伤组织形成、根的分化以及细胞的分裂和生长；细胞分裂素主要作用是促进细胞的分裂与分化,诱导不定芽的形成。&/p&&p&(6)血红蛋白在红细胞内，不属于内环境
&/p&&p&(7)吞噬细胞，来源造血干细胞，三大作用：处理，逞递抗原；吞噬抗原抗体结合体；构成人体第二道防线。
B细胞，来源造血干细胞，在骨髓中发育，起识别抗原，分化为浆细胞，记忆细胞作用。T细胞，来源造血干细胞，在胸腺中发育，识别，逞递抗原，分化为效应T细胞，记忆细胞。&/p&&p&(8)生物多样性：基因、物种、生态系统
&/p&&p&(9)细胞内具有两种核酸——脱氧核酸和核糖核酸，病毒仅具有一种遗传物质——DNA或RNA，而阮病毒仅具蛋白质。
&/p&&p&(10)叶绿体囊状结构上的能量转化途径是光能→电能→活跃的化学能→稳定的化学能
&/p&&p&(11)常见RNA病毒：烟草花叶病毒、SARS 病毒、HIV、禽流感病毒、所有流感病毒、车前草病毒、甲肝和丙肝病毒；常见DNA病毒：噬菌体、天花病毒、乙肝病毒。&/p&&p&(12)一切感觉产生于大脑皮层&br&&/p&&p&(13)目的基因被误插到受体细胞的非编码区，受体细胞不能表达此性状，而不叫基因重组（插入编码区内叫基因重组）&br&&/p&&p&(14)双螺旋和肺炎双球菌转化的相关科学家。（至今对双螺旋背后的第三人威尔金斯抱不平）&/p&&p&...(n)高中生物易忽略点实在太多，童鞋们最好拿出时间来把课本从头到尾每个字都读一遍，把自己觉得考试可能考的地方圈划下来。再次邀请看到本文的童鞋在评论区分享你所想到的易忽略内容。&/p&&br&&br&&br&&br&&h2&高中化学&/h2&&p&1.&img src=&https://www.zhihu.com/equation?tex=NaHSO_%7B4%7D+& alt=&NaHSO_{4} & eeimg=&1&&在水溶液中电离为&img src=&https://www.zhihu.com/equation?tex=Na%5E%7B%2B%7D+& alt=&Na^{+} & eeimg=&1&&，&img src=&https://www.zhihu.com/equation?tex=H%5E%7B%2B%7D+& alt=&H^{+} & eeimg=&1&&;硫酸根离子，熔融态电离为：&img src=&https://www.zhihu.com/equation?tex=Na%5E%7B%2B%7D+& alt=&Na^{+} & eeimg=&1&&，&img src=&https://www.zhihu.com/equation?tex=HSO_%7B4%7D%5E%7B-%7D+& alt=&HSO_{4}^{-} & eeimg=&1&&&/p&&p&2.&img src=&https://www.zhihu.com/equation?tex=HNO_%7B3%7D+& alt=&HNO_{3} & eeimg=&1&&，&img src=&https://www.zhihu.com/equation?tex=H_%7B2%7D+SO_%7B4%7D+& alt=&H_{2} SO_{4} & eeimg=&1&&不是离子化合物，是共价化合物。&/p&&p&3.&img src=&https://www.zhihu.com/equation?tex=SO_%7B2%7D& alt=&SO_{2}& eeimg=&1&&与&img src=&https://www.zhihu.com/equation?tex=Na_%7B2%7DCO_%7B3%7D& alt=&Na_{2}CO_{3}& eeimg=&1&&的反应，&img src=&https://www.zhihu.com/equation?tex=SO_%7B2%7D& alt=&SO_{2}& eeimg=&1&&由少到多分别可写为： &/p&&img src=&https://www.zhihu.com/equation?tex=SO_%7B2%7D+%2BH_%7B2%7D+O%2B2Na_%7B2%7D+CO_%7B3%7D+%3D2NaHCO_%7B3%7D+%2BNa_%7B2%7D+SO_%7B3%7D++& alt=&SO_{2} +H_{2} O+2Na_{2} CO_{3} =2NaHCO_{3} +Na_{2} SO_{3}
& eeimg=&1&&&img src=&https://www.zhihu.com/equation?tex=SO_%7B2%7D+%2BH_%7B2%7D+O%2BNa_%7B2%7D+CO_%7B3%7D+%3D+H_%7B2%7D+O%2BCO_%7B2%7D%5Cuparrow+%2BNa_%7B2%7D+SO_%7B3%7D++& alt=&SO_{2} +H_{2} O+Na_{2} CO_{3} = H_{2} O+CO_{2}\uparrow +Na_{2} SO_{3}
& eeimg=&1&&&br&&img src=&https://www.zhihu.com/equation?tex=2SO_%7B2%7D%2BH_%7B2%7DO%2BNa_%7B2%7DCO_%7B3%7D%3DCO_%7B2%7D%2B2NaHSO_%7B3%7D& alt=&2SO_{2}+H_{2}O+Na_{2}CO_{3}=CO_{2}+2NaHSO_{3}& eeimg=&1&&&br&&p&4.不同于其他卤化银，AgF既溶于水也溶于酸。&/p&&p&5.氨的催化氧化反应条件是铂铑合金。&/p&&p&6&img src=&https://www.zhihu.com/equation?tex=.Na%2B& alt=&.Na+& eeimg=&1&&&img src=&https://www.zhihu.com/equation?tex=Cl_%7B2%7D+& alt=&Cl_{2} & eeimg=&1&&点燃；&img src=&https://www.zhihu.com/equation?tex=P%2B& alt=&P+& eeimg=&1&&&img src=&https://www.zhihu.com/equation?tex=Cl_%7B2%7D+& alt=&Cl_{2} & eeimg=&1&&点燃；氨气与氯化氢；磷在氧气中燃烧；氨气与氯气都有白烟产生；&img src=&https://www.zhihu.com/equation?tex=H_%7B2%7D+%2BCl_%7B2%7D+%3D2HCl& alt=&H_{2} +Cl_{2} =2HCl& eeimg=&1&&(点燃)
&img src=&https://www.zhihu.com/equation?tex=H_%7B2%7D+%2BBr_%7B2%7D+%3D2HBr& alt=&H_{2} +Br_{2} =2HBr& eeimg=&1&&都有白雾；在过量的氯气中：&img src=&https://www.zhihu.com/equation?tex=2P%2B5Cl_%7B2%7D+%3D2PCl_%7B5%7D+& alt=&2P+5Cl_{2} =2PCl_{5} & eeimg=&1&&发出光,形成白烟，在不足量氯气中：&img src=&https://www.zhihu.com/equation?tex=2P%2B3Cl_%7B2%7D+%3D2PCl_%7B3%7D+& alt=&2P+3Cl_{2} =2PCl_{3} & eeimg=&1&&发出光,形成白雾&/p&&br&&p&7.容器中气体压强改变可能是加入了该气体，也可能是压缩体积，一般考虑后者，那么值得注意的是压强变则离子浓度必然变。&br&&/p&&p&8.电解法制Al不能电解&img src=&https://www.zhihu.com/equation?tex=AlCl_%7B3%7D& alt=&AlCl_{3}& eeimg=&1&&（分子晶体），电解的是氧化铝，助熔剂为冰晶石；冶炼镁不能电解MgO，因为MgO熔点太高，应电解&img src=&https://www.zhihu.com/equation?tex=MgCl_%7B2%7D& alt=&MgCl_{2}& eeimg=&1&&。&/p&&p&9.白磷分子是正四面体，键角&img src=&https://www.zhihu.com/equation?tex=60%5E%7B0%7D+& alt=&60^{0} & eeimg=&1&&，1mol白磷有6mol共价键；甲烷键角&img src=&https://www.zhihu.com/equation?tex=109%5E%7Bo%7D28%27+& alt=&109^{o}28' & eeimg=&1&&。&/p&&p&10.“用电子式表示共价化合物、离子化合物形成过程”还记得怎么写吗？&/p&&p&11.结晶水合物蒸干是化学反应，石墨加压变成金刚石也是化学反应，核反应不是化学反应。&br&&/p&&p&12.碱性氧化物一定是金属氧化物。&/p&&p&13.中和热测定实验中的“环形玻璃搅拌棒”。&/p&&p&14.标况下：HF是液体，甲醛（沸点-19.3℃）是气体，乙醛（沸点20.8℃）是液体。&br&&/p&&br&&p&15.AgI胶体即可吸附正离子，又可吸附负离子。并非所有胶体都能吸附电子，即并非所有胶体都能发生电泳现象。&br&&/p&&p&16.离子共存问题中，透明并非无色。注意溶液不能只含一种电性的离子。 单质既不属于电解质也不属于非电解质。&/p&&p&17.酸性：&img src=&https://www.zhihu.com/equation?tex=HClO4_%7B4%7D+& alt=&HClO4_{4} & eeimg=&1&&＞&img src=&https://www.zhihu.com/equation?tex=HNO_%7B3%7D+& alt=&HNO_{3} & eeimg=&1&&＞HCl＞&img src=&https://www.zhihu.com/equation?tex=H_%7B2%7D+SO_%7B4%7D+& alt=&H_{2} SO_{4} & eeimg=&1&&＞&img src=&https://www.zhihu.com/equation?tex=H_%7B2%7D+SO_%7B3%7D+& alt=&H_{2} SO_{3} & eeimg=&1&&＞&img src=&https://www.zhihu.com/equation?tex=H_%7B3%7D+PO_%7B4%7D+& alt=&H_{3} PO_{4} & eeimg=&1&&＞HF＞&img src=&https://www.zhihu.com/equation?tex=H_%7B2%7D+C_%7B2%7D+O_%7B4%7D+& alt=&H_{2} C_{2} O_{4} & eeimg=&1&&＞HCOOH＞&img src=&https://www.zhihu.com/equation?tex=C_%7B6%7D+H_%7B5%7D+COOH& alt=&C_{6} H_{5} COOH& eeimg=&1&&＞&img src=&https://www.zhihu.com/equation?tex=CH_%7B3%7D+COOH& alt=&CH_{3} COOH& eeimg=&1&&＞RCOOH(高级脂肪酸)＞&img src=&https://www.zhihu.com/equation?tex=H_%7B2%7D+CO_%7B3%7D+& alt=&H_{2} CO_{3} & eeimg=&1&&＞&img src=&https://www.zhihu.com/equation?tex=H_%7B2%7D+S& alt=&H_{2} S& eeimg=&1&&＞HClO＞&img src=&https://www.zhihu.com/equation?tex=H_%7B2%7D+SiO_%7B3%7D+& alt=&H_{2} SiO_{3} & eeimg=&1&&&/p&&p&
还原性：&img src=&https://www.zhihu.com/equation?tex=S_%7B2%7D+%5E%7B-%7D+& alt=&S_{2} ^{-} & eeimg=&1&&＞&img src=&https://www.zhihu.com/equation?tex=SO_%7B3%7D%5E%7B2-%7D++& alt=&SO_{3}^{2-}
& eeimg=&1&&＞&img src=&https://www.zhihu.com/equation?tex=I%5E%7B-%7D+& alt=&I^{-} & eeimg=&1&&＞&img src=&https://www.zhihu.com/equation?tex=Fe%5E%7B2%2B%7D+& alt=&Fe^{2+} & eeimg=&1&&＞&img src=&https://www.zhihu.com/equation?tex=Br%5E%7B-%7D+& alt=&Br^{-} & eeimg=&1&&＞&img src=&https://www.zhihu.com/equation?tex=Cl%5E%7B-%7D+& alt=&Cl^{-} & eeimg=&1&&＞&img src=&https://www.zhihu.com/equation?tex=F%5E%7B-%7D+& alt=&F^{-} & eeimg=&1&&&/p&&p&
氧化性：&b&&img src=&https://www.zhihu.com/equation?tex=Fe%5E%7B3%2B%7D+& alt=&Fe^{3+} & eeimg=&1&&＞&img src=&https://www.zhihu.com/equation?tex=Cu%5E%7B2%2B%7D+& alt=&Cu^{2+} & eeimg=&1&&＞&img src=&https://www.zhihu.com/equation?tex=H%5E%7B%2B%7D+& alt=&H^{+} & eeimg=&1&&＞&img src=&https://www.zhihu.com/equation?tex=Fe%5E%7B2%2B%7D+& alt=&Fe^{2+} & eeimg=&1&&&/b&&/p&&br&&p&18.溶于水生成3种酸的物质：&img src=&https://www.zhihu.com/equation?tex=PCl_%7B3%7D+& alt=&PCl_{3} & eeimg=&1&&、&img src=&https://www.zhihu.com/equation?tex=PCl_%7B5%7D+& alt=&PCl_{5} & eeimg=&1&&。溶于水生成两种碱的物质：&img src=&https://www.zhihu.com/equation?tex=Mg_%7B3%7D+N_%7B2%7D+& alt=&Mg_{3} N_{2} & eeimg=&1&&、&img src=&https://www.zhihu.com/equation?tex=Li_%7B3%7D+N& alt=&Li_{3} N& eeimg=&1&&。&br&&/p&&p&19.甲烷和低层臭氧均为温室气体。 酸雨与&img src=&https://www.zhihu.com/equation?tex=SO_%7B2%7D+& alt=&SO_{2} & eeimg=&1&&有关，与&img src=&https://www.zhihu.com/equation?tex=CO_%7B2%7D& alt=&CO_{2}& eeimg=&1&&无关。光化学烟雾与氮氧化物、臭氧有关，与&img src=&https://www.zhihu.com/equation?tex=SO_%7B2%7D& alt=&SO_{2}& eeimg=&1&&无关。&/p&&p&20.分子间氢键使分子间作用力增强，从而熔、沸点升高，分子内氢键则相反。&br&&/p&&p&21.注意热化学方程式的书写，各物质的聚集态、计量数，△符号，不需要标明反应条件，不需要写沉淀和气体等，中和热无负号。燃烧热是完全燃烧、1mol、生成稳定氧化物。&/p&&p&...(n)化学零碎知识多，课本版本也多，希望我抛的几块砖，能引各位同学之玉。&/p&&br&&br&&br&&br&&h2&高中物理&/h2&&p&1.物理学史：&a href=&https://link.zhihu.com/?target=http%3A//wenku.baidu.com/view/142989fac8d376eeaeaa3126.html%3Fre%3Dview& class=& wrap external& target=&_blank& rel=&nofollow noreferrer&&高中物理课本科学家对应内容(按课本顺序)&/a&(人教版)&/p&&p&2.课本实验：&a href=&https://link.zhihu.com/?target=http%3A//wenku.baidu.com/view/1cd642f7a300a6c30d229fac.html%3Ffrom%3Dsearch& class=& wrap external& target=&_blank& rel=&nofollow noreferrer&&物理课本演示实验整理_图文&/a&(人教版，这个非常全，截取了课本并配有题目)&/p&&p&3.非常基础的对概念的理解易错点：&a href=&https://link.zhihu.com/?target=http%3A//wenku.baidu.com/view/a54bd1d26b81.html& class=& wrap external& target=&_blank& rel=&nofollow noreferrer&&高考}
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