2009年全国各地数学模拟试卷（新课标）分章精编---概率（选修2-3部分）doc--预览
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2009年全国各地数学模拟试卷（新课标）分章精编《概率》选修2-3部分一、选择题1.小球在右图所示的通道由上到下随机地滑动，最后在下底面的某个出口落出，则一次投放小球，从"出口"落出的概率为（
D. 2.将1，2，...，9这9个数随机分给甲、乙、丙三人，每人三个数，则每人手中的三个数都能构成等差数列的概率为（ A
(D) 3.若将逐项展开得，则出现的频率为，出现的频率为，如此将逐项展开后出现的频率是（ A
D．4.如图，正方形的四个顶点为，曲线经过点。现将一质点随机投入正方形中，则质点落在图中阴影区域的概率是学科网A．
D．学科网5.如图，在一个长为，宽为2的矩形内，曲线与轴围成如图所示的阴影部分，向矩形内随机投一点（该点落在矩形内任何一点是等可能的），则所投的点落在阴影部分的概率是(
D. 6.从集合中任取三个数排成一列，则这三个数成等差数列的概率是（B ）
D、 7.从编号分别为1，2，...，9的9张卡片中任意抽取3张，将它们的编号从小到大依次记为x, y, z，则的概率是（ D
D．8.等差数列的前项为，，且，则所有可能的的不同值中事件""发生的概率为（
（D）9.在区间上任意取两个实数，则函数在区间上有且仅有一个零点的概率为（ D
D．10.在5张卡片上分别写着1，2，3，4，5混合后，再任意排成一行，则得到的数能被2或5整除的概率为　　A．0.2 B．0.4 C．0.6 D．0.811.设，则关于的方程有实根的概率是 （
D、12.甲袋内有大小相同的8个红球和4个白球，乙袋内有大小相同的9个红球和3个白球，从两个袋中各摸出一个球，则为（ B
）　　A .2个球都是白球的概率
B. 2个球中恰好有1个白球的概率　　C. 2个球都不是白球的概率
D .2个球不都是白球的概率13.从1，2，......9这9个数字中任取3个不同的数字求和，结果是偶数的概率是（C
） A． B． C． D．14.已知，则关于的方程有实根的概率为AA.
D. 15.在正方体上任取三个顶点连成三角形，则所得的三角形是等腰三角形的概率是（ D ）
16.某小组有4名男生，5名女生，从中选派5人参加竞赛，要求有女生且女生人数少于男生人数的选派方法种数有( B
D．11017.在北京奥运会中，外语学院的3名男生与2名女生志愿者被随机安排到3个不同运动场馆担任翻译，每个场馆至少一位志愿者，则恰好仅有1男1女两位志愿者被安排到同一场馆的概率是B
D．18.在由两个１，两个２，三个３可以组成个不同的七位数中，任取一个是偶数的概率为（　 A　）　　Ａ．　　　　 　Ｂ．　　
　Ｃ．　　
　Ｄ．19.设，则关于的方程有实根的概率是 （
D、从1，2，3，4，5，6，7，8，9，10这10个号码中任意抽取3个号码，则所抽取的3个号码中，仅有两个号码是连续整数的概率为（
D、有10件产品，其中3件是次品，从中任取两件，若表示取到次品的个数，则E等于（
） A． B． C． D．1一支足球队每场比赛获胜（得3分）的概率为，与对手踢平（得1分）的概率为，负于对手（得0分）的概率为，已知该足球队进行一场比赛得分的期望是1，则的最小值为（
A ）A． B． C． D．二、填空题1.若集合，集合，在中随机地选取一个元素，则所选取的元素恰好在中的概率为________． 2.从书架上顺序排列的7本书中取出3本书，那么这3本书恰好是从互不相邻的位置上取出的概率为
．（结果用分数表示） 3.在一个小组中有8名女同学和4名男同学，从中任意地挑选2名同学担任交通安全宣传志愿者，那么选到的两名都是女同学的概率是
4.某机关的年新春联欢会原定个节目已排成节目单，开演前又增加了两个反映军民联手抗震救灾的节目，将这两个节目随机地排入原节目单，则这两个新节目恰好排在一起的概率是
；5.一只猴子随机敲击只有26个小写英文字母的练习键盘. 若每敲1次在屏幕上出现一个字母，它连续敲击10次，屏幕上的10个字母依次排成一行，则出现单词"monkey"的概率为
（结果用数值表示）.6.有一堆除颜色外其它特征都相同的红白两种颜色的球若干个，已知红球的个数比白球多，但比白球的2倍少，若把每一个白球都记作数值2，每一个红球都记作数值3，则所有球的数值的总和等于60.现从中任取一个球，则取到红球的概率等于
.7.某射手射击击中目标的概率为，他从开始射击到首次击中目标所需要的射击次数的概率分布的方差为 ，则为_____
．8.在等差数列中，现从的前10项中随机取数，每次取出一个数，取后放回，连续抽取3次，假定每次取数互不影响，那么在这三次取数中，取出的数恰好为两个正数和一个负数的概率为
（用数字作答）9.两封信随机投入三个空邮箱，则邮箱中至少有一封信的概率为
三、解答题1.四个纪念币、、、,投掷时正面向上的概率如下表所示.这四个纪念币同时投掷一次,设表示出现正面向上的个数. (Ⅰ)求的分布列及数学期望； (Ⅱ)在概率中,若的值最大,求的取值范围；解：(Ⅰ)是个正面向上,个背面向上的概率.其中的可能取值为.
∴的分布列为
的数学期望为.
(Ⅱ)∵,∴,.则,,由,得,即的取值范围是....12分2.一项体育比赛按两轮排定名次，每轮由A、B两种难度系数的4个动作构成。某选手参赛方案如表所示：若这个选手一次正确完成难度系数为A、B动作的概率分别为0.8和0.5（Ⅰ）求这个选手在第一轮中恰有3个动作正确完成的概率； （Ⅱ）求这个选手在第二轮中两种难度系数的动作各至少正确完成一个概率。解：（Ⅰ）设这个选手在第一轮中恰有3个动作正确完成的的事件为A，他可能前3个动作正确完成第4个动作未正确完成，也可能前3个动作恰有2个正确完成第4个也正确完成所以P（A）=（Ⅱ）设选手在第二轮中两种难度系数的动作各至少正确完成一个的概率为B
P（B）==0.723.一个袋中有大小相同的标有1，2，3，4，5，6的6个小球，某人做如下游戏，每次从袋中拿一个球（拿后放回），记下标号。若拿出球的标号是3的倍数，则得1分，否则得分。（1）求拿4次至少得2分的概率；（2）求拿4次所得分数的分布列和数学期望。解：（1）设拿出球的号码是3的倍数的为事件A，则，，拿4次至少得2分包括2分和4分两种情况。，， （2）的可能取值为，则；；；；；分布列为P
-4
-2
0
2
4
4.质地均匀的正四面体玩具的4个面上分别刻着数字1，2，3，4。将4个这样的玩具同时抛掷于桌面上。（1）求与桌面接触的4个面上的4个数的乘积能被4整除的概率；（2）设为与桌面接触的4个面上数字中偶数的个数，求的分布列及期望E。答案：（1）不能被4整除的有两种情影：①4个数均为奇数，概率为（2）4个数中有3个奇数，另一个为2，概率为故所求的概率为P（2）的分布列为
0
1
2
3
4
P
服从二项分布5.(1)用红、黄、蓝、白四种不同颜色的鲜花布置如图一所示的花圃，要求同一区域上用同一种颜色鲜花，相邻区域用不同颜色鲜花，问共有多少种不同的摆放方案?(2)用红、黄、蓝、白、橙五种不同颜色的鲜花布置如图二所示的花圃，要求同一区域上用同一种颜色鲜花，相邻区域使用不同颜色鲜花．①求恰有两个区域用红色鲜花的概率；②记花圃中红色鲜花区域的块数为S，求拿的分布列及其数学期望E(S).【解】（1）根据分步计数原理，摆放鲜花的不同方案有：种．
（2）① 设M表示事件"恰有两个区域用红色鲜花"，　　如图二，当区域A、D同色时，共有种；　　　　　　当区域A、D不同色时，共有种；
因此，所有基本事件总数为：180+240=420种
(由于只有A、D，B、E可能同色，故可按选用3色、4色、
5色分类计算，求出基本事件总数为种）
它们是等可能的。又因为A、D为红色时，共有种；　　　　　　B、E为红色时，共有种；
因此，事件M包含的基本事件有：36+36=72种．
②随机变量的分布列为：　　
　　0
　　1
　　2
　　P
　　
　　
　　
所以，=．6.某批产品成箱包装，每箱5件．一用户在购进该批产品前先取出3箱，再从每箱中任意抽取2件产品进行检验．设取出的第一、二、三箱中分别有0件、1件、2件二等品，其余为一等品．　（Ⅰ）用ξ表示抽检的6件产品中二等品的件数，求ξ的分布列及ξ的数学期望；　（Ⅱ）若抽检的6件产品中有2件或2件以上二等品，用户就拒绝购买这批产品，求这批产品级用户拒绝的概率．【解】（Ⅰ）ξ可能的取值为0，1，2，3．P(ξ＝0)＝·＝＝P(ξ＝1)＝·＋·＝P(ξ＝2)＝·＋·＝P(ξ＝3)＝·＝． ξ的分布列为ξ
0
1
2
3
P
数学期望为Eξ＝1.2．(Ⅱ)所求的概率为p＝P(ξ≥2)＝P(ξ＝2)＋P(ξ＝3)＝＋＝7.某陶瓷厂准备烧制甲、乙、丙三件不同的工艺品，制作过程必须先后经过两次烧制，当第一次烧制合格后方可进入第二次烧制，两次烧制过程相互独立．根据该厂现有的技术水平，经过第一次烧制后，甲、乙、丙三件产品合格的概率依次为，经过第二次烧制后，甲、乙、丙三件产品合格的概率依次为．（1）求第一次烧制后恰有一件产品合格的概率；（2）经过前后两次烧制后，合格工艺品的个数为，求随机变量的期望．【解】 分别记甲、乙、丙经第一次烧制后合格为事件（1）设表示第一次烧制后恰好有一件合格，则．（2）解法一：因为每件工艺品经过两次烧制后合格的概率均为，所以
故．解法二：分别记甲、乙、丙经过两次烧制后合格为事件，则所以
于是 8.在一次抗洪抢险中，准备用射击的方法引爆从桥上游漂流而下的一巨大汽油罐.已知只有5发子弹备用，且首次命中只能使汽油流出，再次命中才能引爆成功，每次射击命中率都是.，每次命中与否互相独立.
(1) 求油罐被引爆的概率.
(2) 如果引爆或子弹打光则停止射击，设射击次数为ξ，求ξ的分布列及ξ的数学期望【解】（1）"油罐被引爆"的事件为事件A，其对立事件为，则P()=C　　　∴P(A)=1-
答：油罐被引爆的概率为
（2）射击次数ξ的可能取值为2，3，4，5， P(ξ=2)=，
P(ξ=3)=C ，　　　P(ξ=4)=C， P(ξ=5)=C ξ
2
3
4
5
P
故ξ的分布列为：
Eξ=2×+3×+4×+5×= 9.袋中装有黑球和白球共7个,从中任取2个球都是白球的概率为.现在甲、乙两人从袋中轮流摸取1球，甲先取,乙后取,然后甲再取,......,取后不放回,直到两人中有一人取到白球时即终止.每个球在每一次被取出的机会是等可能的,用表示取球终止时所需要的取球次数．　(Ⅰ)求袋中原有白球的个数；　(Ⅱ)求随机变量的概率分布及数学期望；　(Ⅲ)求甲取到白球的概率．　【解】 (Ⅰ)设袋中原有n个白球,由题意知：，所以=12，　解得n=4(舍去),即袋中原有4个白球　(Ⅱ)由题意,的可能取值为1，2，3，4　,　　所以，取球次数的分布列为：　　
　　1
　　2
　　3
　　4
　　P
　　
　　
　　
　　
(Ⅲ)因为甲先取,所以甲只有可能在第1次和第3次取球,记"甲取到白球"的事件为A，　　则或 "=3"）,所以10.甲、乙、丙三人参加了一家公司的招聘面试，面试合格者可正式签约，甲表示只要面试合格就签约.乙、丙则约定：两人面试都合格就一同签约，否则两人都不签约.设甲面试合格的概率为，乙、丙面试合格的概率都是，且面试是否合格互不影响．求：
（1）至少有1人面试合格的概率;
（2）签约人数的分布列和数学期望．【解】用A，B，C分别表示事件甲、乙、丙面试合格.由题意知A，B，C相互独立，　　且.-（1）至少有1人面试合格的概率是　　　（2）的可能取值为0，1，2，3.-
∴的分布列是
0
1
2
3
　的期望-11.在一次国际大型体育运动会上，某运动员报名参加了其中5个项目的比赛．已知该运动员在这5个项目中，每个项目能打破世界纪录的概率都是0.8，那么在本次运动会上：　（Ⅰ）求该运动员至少能打破3项世界纪录的概率；　（Ⅱ）若该运动员能打破世界纪录的项目数为，求的数学期望（即均值）．【解】（Ⅰ）依题意，该运动员在每个项目上"能打破世界纪录"为独立事件，并且每个事件发生的概率相同. 设其打破世界纪录的项目数为随机变量，"该运动员至少能打破3项世界纪录"为事件A，则有.
（Ⅱ）由（Ⅰ）解答可知，～B（5，0.8），故所求数学期望为. 12.已知10件产品中有3件是次品.　　（I）任意取出3件产品作检验，求其中至少有1件是次品的概率；　　（II）为了保证使3件次品全部检验出的概率超过0.6，最少应抽取几件产品作检验？【解】（1）任意取出3件产品作检验，全部是正品的概率为故至少有一件是次品的概率为1-7/24=17/24（2）设抽取n件产品作检验，则3件次品全部检验出的概率为由整理得：，
∴当n=9或n=10时上式成立.答：任意取出3件产品作检验，其中至少有1件是次品的概率为17/24，为了保证使3件次品全部检验出的概率超过0.6，最少应抽取9件产品作检验.13.某俱乐部举行迎圣诞活动，每位会员交50元活动费，可享受20元的消费，并参加一次游戏：掷两颗正方体骰子，点数之和为12点获一等奖，奖价值为a元的奖品；点数之和为11或10点获二等奖，奖价值为100元的奖品；点数之和为9或8点获三等奖，奖价值为30元的奖品；点数之和小于8点的不得奖。求：（1）同行的三位会员一人获一等奖、两人获二等奖的概率；（2）如该俱乐部在游戏环节不亏也不赢利，求a的值。 解：（1）设掷两颗正方体骰子所得的点数记为（x，y），其中，则获一等奖只有（6，6）一种可能，其概率为：；获二等奖共有（6，5）、（5，6）、（4，6）、（6，4）、（5，5）共5种可能，其概率为：；设事件A表示"同行的三位会员一人获一等奖、两人获二等奖"，则有：P（A）=；　　ξ
　　30-a
　　-70
　　0
　　30
　　p
　　
　　
　　
　　
（2）设俱乐部在游戏环节收益为ξ元，则ξ的可能取值为,,0,,其分布列为：则：Eξ=；由Eξ=0得：a=310，即一等奖可设价值为310 元的奖品。 14.在2006年多哈亚运会中，中国女排与日本女排以"五局三胜"制进行决赛，根据以往战况，中国女排每一局赢的概率为.已知比赛中，第一局日本女排先胜一局，在这个条件下，
（Ⅰ）求中国女排取胜的概率；（Ⅱ）设决赛中比赛总的局数为，求的分布列及.（两问均用分数作答）【解】（Ⅰ）解：中国女排取胜的情况有两种： ①中国女排连胜三局;②中国女排在第2局到第4局中赢两局，且第5局赢，故中国女排取胜的概率为
故所求概率为 （Ⅱ）比赛局数
的分布列为:
3
4
5
P
15.甲、乙两人进行摸球游戏，一袋中装有2个黑球和1个红球。规则如下：若一方摸中红球，将此球放入袋中，此人继续摸球；若一方没有摸到红球，将摸到的球放入袋中，则由对方摸彩球。现甲进行第一次摸球。(Ⅰ)在前三次摸球中，甲恰好摸中一次红球的所有情况；（Ⅱ）在前四次摸球中，甲恰好摸中两次红球的概率。；（Ⅲ）设是前三次摸球中，甲摸到的红球的次数，求随机变量的概率分布与期望。解: (Ⅰ)
甲红甲黑乙红黑均可；甲黑乙黑甲红，（Ⅱ）；
设的分布是
E= 16.有一批数量很大的产品，其次品率是10%。　　（1）连续抽取两件产品，求两件产品均为正品的概率；　　（2）对这批产品进行抽查，每次抽出一件，如果抽出次品，则抽查终止，否则继续抽查，直到抽出次品，但抽查次数最多不超过4次，求抽查次数的分布列及期望。解：（1）两件产品均为正品的概率为（2）可能取值为1，2，3，4　　；；　　　　所以次数的分布列如下　　∴ 17.一袋中有m(m∈N*)个红球，3个黑球和2个自球，现从中任取2个球．
（Ⅰ）当m=4时，求取出的2个球颜色相同的概率；
（Ⅱ）当m=3时，设ξ表示取出的2个球中黑球的个数，求ξ的概率分布及数学期望；
（Ⅲ）如果取出的2个球颜色不相同的概率小于，求m的最小值．【解】 (1)设"取出的2个球颜色相同"为事件A
P(A)= (2)ξ
0
1
2
P
Eξ=0×+1×+2×=
(3)设"取出的2个球中颜色不相同"为事件B，则P(B)=
∴x2-6x+2>0
∴x>3+或x<3-，x的最小值为6．18.在一个盒子中，放有标号分别为，，的三张卡片，现从这个盒子中，有放回地先后抽得两张卡片的标号分别为、，记．　（1）求随机变量的最大值，并求事件"取得最大值"的概率；　（2）求随机变量的分布列和数学期望．【解】（Ⅰ）、可能的取值为、、，，，，且当或时，．因此，随机变量的最大值为．有放回抽两张卡片的所有情况有种，．（Ⅱ）的所有取值为
时，只有这一种情况， 时，有或或或四种情况，时，有或两种情况． ，，则随机变量的分布列为：
因此，数学期望．19.某商场在七月初七举行抽奖促销活动，要求一男一女参加抽奖，抽奖规则是:从装有3个白球和2个红球的箱子中每次随机地摸出一个球，记下颜色后放回. 若1人摸出一个红球得奖金10元，1人摸出2个红球得奖金50元. 规定:一对男女中男的摸一次，女的摸二次.令表示两人所得奖金总额.　（1）求=20时的概率;
（2）求的数学期望.【解】 对应的事件为：男的摸到红球且女的一次摸到红球，
0
10
20
50
60
P
　　=16.820.在"自选模块"考试中，某试场的每位同学都选了一道数学题，第一小组选《数学史与不等式选讲》的有1人，选《矩阵变换和坐标系与参数方程》的有5人，第二小组选《数学史与不等式选讲》的有2人，选《矩阵变换和坐标系与参数方程》的有4人，现从第一、第二两小组各任选2人分析得分情况.学科网
（Ⅰ）求选出的4 人均为选《矩阵变换和坐标系与参数方程》的概率；学科网
（Ⅱ）设为选出的4个人中选《数学史与不等式选讲》的人数，求的分布列和学科网
数学期望．学科网学科网
∴ 的数学期望
21.已知、两盒中都有红球、白球，且球的形状、大小都相同。盒子中有个红球与个白球，盒子中有个红球与个白球（0<m<10）．（Ⅰ）分别从中各取一个球，表示红球的个数．　　（ⅰ）请写出随机变量的分布列，并证明等于定值；　　（ⅱ）当取到最大值时，求的值．（Ⅱ）在盒子中不放回地摸取3个球．事件：在第一次取到红球后，以后两次都取到白球．事件：在第一次取到白球后，以后两次都取到红球，若，求的值．【解】（Ⅰ）
0
1
2
P
22.把一根长度为8的铁丝截成3段．
(1)如果三段的长度均为整数，求能构成三角形的概率；
(2)如果把铁丝截成2，2，4的三段放入一个盒子中，然后有放回地摸4次，设摸到长度为2的次数为，求．解：（1）设构成三角形的事件为A基本事件数有5种情况："1，1，6"；"1,2,5"；"1.3.4"；"2.2.4"；"2.3.3"，其中能构成三角形的情况有一种情况："2.3.3"
则所求的概率是P(A)=(2)根据题意知随机变量～23.甲、乙、丙三人按下面的规则进行乒乓球比赛：第一局由甲、乙参加而丙轮空，以后每一局由前一局的获胜者与轮空者进行比赛，而前一局的失败者轮空.比赛按这种规则一直进行到其中一人连胜两局或打满6局时停止.设在每局中参赛者胜负的概率均为，且各局胜负相互独立.求：　　（Ⅰ） 打满3局比赛还未停止的概率；（Ⅱ）比赛停止时已打局数的分别列与期望E.解：令分别表示甲、乙、丙在第k局中获胜.（Ⅰ）由独立事件同时发生与互斥事件至少有一个发生的概率公式知，打满3局比赛还未停止的概率为（Ⅱ）的所有可能值为2，3，4，5，6，且　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　故有分布列　
2
3
4
5
6
　P
　　　　　　　从而（局）.24.甲、乙等五名奥运志愿者被随机地分到四个不同的岗位服务，每个岗位至少有一名志愿者．　　⑴求甲、乙两人同时参加岗位服务的概率；　　⑵求甲、乙两人不在同一个岗位服务的概率；　　⑶设随机变量为这五名志愿者中参加岗位服务的人数，求的分布列和数学期望．解：⑴、记甲、乙两人同时参加岗位服务为事件，那么，即甲、乙两人同时参加岗位服务的概率是．⑵、记甲、乙两人同时参加同一岗位服务为事件，那么，　　所以，甲、乙两人不在同一岗位服务的概率是．⑶、随机变量可能取的值为1，2．事件""是指有两人同时参加岗位服务，则　　．所以，　　的分布列是：
1
2
∴25.甲、乙两人参加一次英语口语考试，已知在备选的10道试题中，甲能答对其中6题，乙能答对其中的8题，规定每次考试都从备选题中随机抽出3题进行测试，至少答对2题才算合格.（1）求甲答对试题数的概率分布及数学期望；（2）求甲、乙两人至少有一人考试合格的概率。解：（Ⅰ）依题意，甲答对试题数的概率分布如下：
0
1
2
3
甲答对试题数的数学期望： 　（Ⅱ）设甲、乙两人考试合格的事件分别为　　　则
　　　甲、乙两人考试均不合格的概率为：∴甲、乙两人至少一个合格的概率为26.下面玩掷骰子放球游戏，若掷出1点或6点，甲盒放一球；若掷出2点，3点，4点或5点，乙盒放一球，设掷n次后，甲、乙盒内的球数分别为x、y．⑴当n＝3时，设x＝3，y＝0的概率；⑵当n＝4时，设，求ξ的分布列及数学期望Eξ．解：由题意知，在甲盒中放一球概率为时，在乙盒放一球的概率为①当n＝3时，x＝3，y＝0的概率为②当n＝4时，x＋y＝4，又|x－y|＝ξ，所以ξ的可能取值为0，2，4(i)当ξ＝0时，有x＝2，y＝2，它的概率为(ii)当ξ＝2时，有x＝3，y＝1或x＝1，y＝3
它的概率为(iii)当ξ＝4时，有x＝4，y＝0或x＝0，y＝4
它的概率为故ξ的分布列为
ξ
0
2
4
10分
∴ξ的数学期望Eξ＝27.某中学号召学生在今年春节期间至少参加一次社会公益活动（以下简称活动）。该校合唱团共有100名学生，他们参加活动的次数统计如图所示。
（1）求合唱团学生参加活动的人均次数；
（2）从合唱团中任选两名学生，求他们参加活动次数恰好相等的概率；
（3）从合唱团中任选两名学生，用表示这两人参加活动次数之差的绝对值，求随机变量的分布列及数学期望解：由图知，参加活动1次、2次和3次的学生人数分别为10、50、40.（1）该事唱团参加活动的人均次数为.（2）从合唱团中任选两名学生，他们参加活动次数恰好相等的概率为（3）从合唱团中任选两名学生，记"这两人中一人参加1次活动，另一人参加2次活动"为事件A，"这两人中一人参加2次活动，另一人参加3次活动"为事件B，"这两人中一人参加1次活动，另一人参加3次活动"为事件C.则
.28.一个均匀的正四面体的四个面上分别涂有、、、四个数字，现随机投掷两次，正四面体底面上的数字分别为、，记.
（Ⅰ）分别求出取得最大值和最小值时的概率；
（Ⅱ）求的分布列及数学期望。【解】（Ⅰ）掷出点数可能是：、、、.则分别得：、、、，于是的所有取值分别为：、、.因此的所有取值为：、、、、、.当时，可取得最大值，当时，可取得最小值，（Ⅱ）由（Ⅰ）知的所有取值为：、、、、、.且；；；；.　　　所以的分布列为：
　　　即的期望.29.某大学开设甲、乙、丙三门选修课，学生是否选修哪门课互不影响. 已知某学生选修甲而不选修乙和丙的概率为0.08，选修甲和乙而不选修丙的概率是0.12，至少选修一门的概率是0.88，用表示该学生选修的课程门数和没有选修的课程门数的乘积. （I）记"函数为R上的偶函数"为事件A，求事件A的概率；（Ⅱ）求的分布列和数学期望. 解：设该学生选修甲、乙、丙的概率分别为x、y、z 依题意得 （1）若函数为R上的偶函数，则=0 当=0时，表示该学生选修三门功课或三门功课都没选. =0.4×0.5×0.6+（1－0.4）（1－0.5）（1－0.6）=0.24 ∴事件A的概率为0.24
（2）依题意知的的取值为0和2由（1）所求可知P（=0）=0.24 P（=2）=1- P（=0）=0.76　　　则的分布列为
0
2
P
0.24
0.76
　　∴的数学期望为E=0×0.24+2×0.76=1.5230.袋中装有黑球和白球共7个,从中任取2个球都是白球的概率为.现在甲、乙两人从袋中轮流摸取1球，甲先取,乙后取,然后甲再取,......,取后不放回,直到两人中有一人取到白球时即终止.每个球在每一次被取出的机会是等可能的,用表示取球终止时所需要的取球次数．（1）求袋中原有白球的个数；（2）求随机变量的分布列及数学期望；（3）求甲取到白球的概率．解：(1)设袋中原有n个白球,由题意知：，所以=12，　解得n=4(舍去),即袋中原有4个白球; 　(2)由题意,的可能取值为1，2，3，4所以，取球次数的分布列为：
1
2
3
4
P
(Ⅲ)因为甲先取,所以甲只有可能在第1次和第3次取球,记"甲取到白球"的事件为A，则或 "=3"）,所以 31.某地区为下岗人员免费提供财会和计算机培训，以提高下岗人员的再就业能力，每名下岗人员可以选择参加一项培训、参加两项培训或不参加培训，已知参加过财会培训的有60%，参加过计算机培训的有75%，假设每个人对培训项目的选择是相互独立的，且各人的选择相互之间没有影响．（1）任选1名下岗人员，求该人参加过培训的概率；（2）任选3名下岗人员，记为3人中参加过培训的人数，求的分布列和期望已知、两盒中都有红球、白球，且球的形状、大小都相同。盒子中有个红球与个白球，盒子中有个红球与个白球（0<m<10）．
（Ⅰ）分别从中各取一个球，表示红球的个数．
（ⅰ）请写出随机变量的分布列，并证明等于定值；
（ⅱ）当取到最大值时，求的值．
（Ⅱ）在盒子中不放回地摸取3个球．事件：在第一次取到红球后，以后两次都取到白球．事件：在第一次取到白球后，以后两次都取到红球，若，求的值．　　　
0
1
2
　　　P
　　（ⅰ）；　　（ⅱ），当m=5时，取到最大。
（2）m=532.某学习小组有6个同学，其中4个同学从来没有参加过数学研究性学习活动，2个同学曾经参加过数学研究性学习活动. （1）现从该小组中任选2个同学参加数学研究性学习活动，求恰好选到1个曾经参加过数学研究性学习活动的同学的概率； （2）若从该小组中任选2个同学参加数学研究性学习活动，活动结束后，该小组没有参加过数学研究性学习活动的同学个数是一个随机变量，求随机变量的分布列及数学期望.解：（1）记"恰好选到1个曾经参加过数学研究性学习活动的同学"为事件的,
则其概率为
答：恰好选到1个曾经参加过数学研究性学习活动的同学的概率为
（2）随机变量
　∴随机变量的分布列为
2
3
4
P
∴ 33.哈尔滨市第三中学要用三辆通勤车从新校区把教师接到老校区，已知从新校区到老校区有两条公路，汽车走公路①堵车的概率为；汽车走公路②堵车的概率为。若甲、乙两辆汽车走公路①，丙汽车由于其他原因走公路②，且三辆车是否堵车相互之间没有影响。
（I）若三辆汽车中恰有一辆汽车被堵的概率为，求走公路②堵车的概率；
（II）在（I）的条件下，求三辆汽车中被堵车辆的个数的分布列和数学期望。解：（I）解：由已知条件得 即（II）解：可能的取值为0，1，2，3
的分布列为：
0
1
2
3
P
　　所以34.体育课进行篮球投篮达标测试，规定：每位同学有5次投篮机会，若投中3次则"达标"；为节省测试时间，同时规定：若投篮不到5次已达标，则停止投篮；若后面投篮全中，也不能达标（例如前3次都未投中等情形），则停止投篮．同学甲投篮命中率为且每次投篮互不影响．
(Ⅰ)求同学甲恰好投4次达标的概率；
(Ⅱ)设测试中甲投篮次数记为ξ，求ξ的分布列及数学期望Eξ.解：（Ⅰ）同学甲同学恰好投4次达标的概率 （Ⅱ）可取的值是， ；
，的分布列为　　
　3
　4
　5
P
　
　
　
所以的数学期望为 35.有甲、乙两只口袋，甲袋装有个白球个黑球，乙袋装有个白球和个黑球，（Ⅰ）若从甲、乙两袋中各任取出球后并交换放入袋中，求甲袋内恰好有4个白球的概率；
(Ⅱ) 若从甲、乙两袋中各任取出球后并交换放入袋中，求甲袋中白球个数的概率分布和数学期望.解：（Ⅰ）设甲袋内恰好有4个白球为事件，则包含三种情况： 　　①甲袋中取2个白球，且乙袋中取2个白球，②甲袋中取1个白球，1个黑球，且乙袋中取1个白球，1个黑球，③甲、乙两袋中各取2个黑球．　　∴　．　　(Ⅱ)
　　　　，　　分布列
3
4
5
36.北京的高考数学试卷中共有8道选择题,每个选择题都给了4个选项(其中有且仅有一个选项是正确的).评分标准规定:每题只选1项,答对得5分,不答或答错得0分.某考生每道题都给出了答案,已确定有4道题的答案是正确的,而其余的题中,有两道题每题都可判断其有两个选项是错误的,有一道题可以判断其一个选项是错误的,还有一道题因不理解题意只能乱猜.对于这8道选择题,试求:(Ⅰ) 该考生得分为40分的概率;(Ⅱ) 该考生所得分数的分布列及数学期望.解: (Ⅰ)要得40分,8道选择题必须全做对,在其余四道题中,有两道题答对的概率为,有一道题答对的概率为,还有一道题答对的概率为,所以得40分的概率为　　　.
(Ⅱ)依题意,该考生得分的取值是20,25,30,35,40,得分为20表示只做对了四道题,其余各题都做错,故所求概率为;
同样可求得得分为25分的概率为
得分为30分的概率为;
得分为35分的概率为;
得分为40分的概率为.
于是的分布列为
20
25
30
35
40
故=.该考生所得分数的数学期望为.
37.甲、乙两名同学参加一项射击游戏，两人约定，其中任何一人每射击一次，击中目标得2分，未击中目标得0分.若甲、乙两名同学射击的命中率分别为和p ，且甲、乙两人各射击一次所得分数之和为2的概率为，假设甲、乙两人射击互不影响(1)求p的值；(2) 记甲、乙两人各射击一次所得分数之和为ξ，求ξ的分布列和数学期望.解：(1)设"甲射击一次，击中目标"为事件A，"乙射击一次，击中目标"为事件B，"甲射击一次，未击中目标"为事件，"乙射击一次，未击中目标"为事件，则依题意得，解得，故p的值为.(2)ξ的取值分别为0，2，4. ，，
，∴ξ的分布列为ξ
0
2
4
P
∴Eξ= 38.如图,两点有5条连线并联,它们在单位时间能通过的信息量依次为.现从中任取三条线且记在单位时间内通过的信息总量为.(1)写出信息总量的分布列;(2)求信息总量的数学期望.(1)由已知,的取值为
的分布列为:(2)39.某公司有10万元资金用于投资，如果投资甲项目，根据市场分析知道：一年后可能获利10﹪，可能损失10﹪，可能不赔不赚，这三种情况发生的概率分别为，，；如果投资乙项目，一年后可能获利20﹪，也可能损失20﹪，这两种情况发生的概率分别为.（1）如果把10万元投资甲项目，用表示投资收益（收益=回收资金-投资资金），求的概率分布及；（2）若把10万元投资投资乙项目的平均收益不低于投资甲项目的平均收益，求的取值范围.解：（1）依题意，的可能取值为1，0，-1
的分布列为
1
0
　　　　　　==　　（2）设表示10万元投资乙项目的收益，则的分布列为
2
　　　　　　
依题意要求
∴ 40.某射击测试规则为：每人最多有3次射击机会，射手不放过每次机会，击中目标即终止射击，第次击中目标得分，3次均未击中目标得0分．已知某射手每次击中目标的概率为0.8，其各次射击结果互不影响．（1）求该射手恰好射击两次的概率；（2）该射手的得分记为，求随机变量的分布列及数学期望．解（1）设该射手第次击中目标的事件为，则， 该射手恰好射击2次，则第1次没击中目标，第2次击中目标，表示的事件为， 由于，相互独立，则 ． 即该射手恰好射击两次的概率为； （2）可能取的值为0，1，2，3． 由于
则的分布列为
0.008
0.032
0.16
0.8
　故的数学期望为.41.旅游公司为3个旅游团提供4条旅游线路，每个旅游团任选其中一条.
（Ⅰ）求3个旅游团选择3条不同的线路的概率；
（Ⅱ）求选择甲线路旅游团数的分布列和期望.解：1）3个旅游团选择3条不同线路的概率为：P1=
（2）设选择甲线路旅游团数为ξ，则ξ=0，1，2，3 P（ξ=0）= P（ξ=1）=
P（ξ=2）=
P（ξ=3）= ξ
0
1
2
3
P
∴ξ的分布列为： ∴期望Eξ=0×+1×+2×+3×=42.有人预测:在2010年的广州亚运会上,排球赛决赛将在中国队与日本队之间展开,据以往统计, 中国队在每局比赛中胜日本队的概率为,比赛采取五局三胜制,即谁先胜三局谁就获胜,并停止比赛.（Ⅰ）求中国队以3:1获胜的概率;（Ⅱ）.设表示比赛的局数,求的期望值. (Ⅰ)设中国队以3:1获胜的事件为A.若中国队以3:1获胜,则前3局中国队恰好胜2局,然后第4局胜. 所以, (Ⅱ);所以所求的的期望值43.甲乙两人进行围棋比赛，约定每局胜者得1分，负者得分，比赛进行到有一人比对方多分或打满
局时停止．设甲在每局中获胜的概率为，
且各局胜负相互独立．已知第二局比赛结束时比赛
停止的概率为．
若右图为统计这次比赛的局数和甲、乙的总得　分数、的程序框图．其中如果甲获胜，输入，
；如果乙获胜，则输入．　（Ⅰ）在右图中，第一、第二两个判断框应分别填　写什么条件？ （Ⅱ）求的值；　　（Ⅲ）设表示比赛停止时已比赛的局数，求随机变量的分布列和数学期望． 　　　
注：""，即为""或为""．【解】（Ⅰ）程序框图中的第一个条件框应填，第二个应填．　　　注意：答案不唯一．　　　　如：第一个条件框填，第二个条件框填，或者第一、第二条件互换．都可以．　　（Ⅱ）依题意，当甲连胜局或乙连胜局时，第二局比赛结束时比赛结束．
． （Ⅲ）（解法一）依题意知，的所有可能值为2，4，6．　　设每两局比赛为一轮，则该轮结束时比赛停止的概率为．　　若该轮结束时比赛还将继续，则甲、乙在该轮中必是各得一分，此时，该轮比赛结果对下轮比赛是否停止没有影响．从而有，， 　　　　． 随机变量的分布列为：
（解法二）依题意知，的所有可能值为2，4，6． 　　令表示甲在第局比赛中获胜，则表示乙在第局比赛中获胜．　　由独立性与互不相容性得， 　　　　
，　　　　
． 随机变量的分布列为：
故． 44.第29届奥运会期间，来自美国和英国的共计6名志愿者被随机地平均分配到跳水、篮球、体操，这三个岗位服务，且跳水岗位至少有一名美国志愿者概率是。
（1）求6名志愿者中来自美国、英国的各几人；
（2）求篮球岗位恰好美国人、英国人各一人的概率；
（3）设随机变量ζ为在体操岗位服务的美国志愿者的个数，求ζ分布列及期望解：（1）记"至少一名美国志愿者被分到跳水岗位"为事件A，则A的对立事件为"没有美国志愿者被分到跳水岗位"，设由美国人x个，1≤x<6，那么P（A）= ，解得x=2，即来自美国的有2人，来自英国的4人；（2）记篮球岗位恰好美国人、英国人各有一人为事件E，那么P（E）==，
所以篮球岗位恰好美国人、英国人各一人的概率是；（3）ξ的所有可能值为0，1，2，P（ξ=0）==，P（ξ=1）==，P（ξ=2）==，
同而Eξ=0×+1×+2×=45.现有甲、乙两个盒子，甲盒子里盛有4个白球和4个红球，乙盒子里盛有3个白球和若干个红球.若从乙盒子里任取两个球，取到同色球的概率是
（1）求乙盒子里红球的个数；
（2）若从甲盒子里任意取出两个球，放入乙盒子里充分搅拌均匀后，再从乙盒子里任意取出2个球放回甲盒子里，求甲盒子里的白球没有变化的概率.解：（1）假设乙盒子里盛有n个红球，则从乙盒子里任意取出两个球，共有 种不同取法，其中取到同色球的取法有种，所以有　　整理得，即乙盒子里有5个红球；　　（2）由题意，甲盒子里的白球个数不变有以下3种情况：　　①甲、乙两盒中都取出的是2个红球时的概率为：　　②甲、乙两盒中都取出的是1个白球和1个红球时的概率为：　　　　③甲、乙两盒中都取出的是2个白球时的概率为：　　所以甲盒中白球个数不变的概率为： 46.2008年中国北京奥运会吉祥物由5个"中国福娃"组成，分别叫贝贝、晶晶、欢欢、迎迎、妮妮。现有8个相同的盒子，每个盒子中放一只福娃，每种福娃的数量如下表：福娃名称
贝贝
晶晶
欢欢
迎迎
妮妮
数量
1
2
3
1
1
从中随机地选取5只。
（1）求选取的5只恰好组成完整"奥运吉祥物"的概率；
（2）若完整地选取奥运会吉祥物记100分；若选出的5只中仅差一种记80分；差两种记60分；以此类推。设ξ表示所得的分数，求ξ的分布列和期望值。1．解：（1）选取的5只恰好组成完整"奥运吉祥物"的概率　　　　ξ的分布列为ξ
100
80
60
40
P
　　47.高三（1）班、高三（2）班每班已选出3名学生组成代表队，进行乒乓球对抗赛。比赛规则是：　　①按"单打、双打、单打"顺序进行三盘比赛；②代表队中每名队员至少参加一盘比赛，不得参加两盘单打比赛。已知每盘比赛双方胜出的概率均为
（1）根据比赛规则，高三（1）班代表队共可排出多少种不同的出场阵容？
（2）高三（1）班代表队连胜两盘的概率是多少？解：（1）参加单打的队员有种方法。
参加双打的队员有种方法。
所以，高三（1）班出场阵容共有（种）。
（2）高三（1）班代表队连胜两盘，可分为第一盘、第二盘胜或第一盘负，其余两盘胜，
所以，连胜两盘的概率为48.甲、乙两名教师进行围棋比赛，采用五局三胜制（即谁先胜三场，谁获胜）．若每一场比赛甲获胜的概率为，乙获胜的概率为，求：　　（1）甲以3：0获胜的概率；（2）甲获胜的概率．解：（1）设甲以获胜为事件A，则
（4分） （2）设甲获胜为事件B，则事件B应包括以下三种情况：①甲3:0获胜（设为事件）②甲3:1获胜（设为事件）；③甲3:2获胜（设为事件）这三种情况彼此互斥，根据互斥事件的概率计算公式得：，甲获胜的概率为.
49.某鲜花店每天以每束2．5元购入新鲜玫瑰花并以每束5元的价格销售，店主根据以往的销售统计得到每天能以此价格售出的玫瑰花数的分布列如表所示，若某天所购进的玫瑰花未售完，则当天未售出的玫瑰花将以每束1．5元的价格降价处理完毕．　　（1）若某天店主购入玫瑰花40束，试求该天其从玫瑰花销售中所获利润的期望；　　（2）店主每天玫瑰花的进货量（，单位：束）为多少时，其有望从玫瑰花销售中获取最火利润?
30
40
50
解：（1）设该天其从玫瑰花销售中所获利润为
当=30时，=302.5-101=65
当=40时，=402.5=100
当=50时，=402.5=100
则（元）（2）当时，
当时，　则当时，E递增，所以当x=50时，E的最大值为90（元）50.如右图是一个方格迷宫，甲、乙两人分别位于迷宫的、两处，两人同时以每分钟一格的速度向东、西、南、北四个方向行走，已知甲向东、西行走的概率都为，向南、北行走的概率为和，乙向东、西、南、北四个方向行走的概率均为.　　（Ⅰ）求和的值；　　（Ⅱ）问最少几分钟，甲、乙两人相遇？并求出最短时间内可以相遇的概率。解（Ⅰ）∵，∴.∵，∴　　（Ⅱ）最少需要分钟，甲、乙两人相遇（如图，在、、三处相遇）.　　设在、、三处相遇的概率分别为、、.　　则；；　　.
∴. 　　故最短时间内可以相遇的概率是.51.某工厂规定，如果工人在一个季度里有1个月完成生产任务，可得奖金90元；如果有2个月完成生产任务，可得奖金210元；如果有3个月完成生产任务，可得奖金330元；如果工人三个月都未完成任务，则没有奖金．假设某工人每月完成任务与否是等可能的，求此工人在一个季度里所得奖金的期望．解：设此工人一个季度里所得奖金为，则是一个离散型随机变量.由于该工人每月完成任务与否是等可能的,所以他每月完成任务的概率等于. 所以,
所以此工人在一个季度里所得奖金的期望为153. 75元.52.某选手在电视抢答赛中答对每道题的概率都是，答错每道题的概率都是，答对一道题积1分，答错一道题积-1分，答完n道题后的总积分记为Sn
（Ⅰ）答完2道题后，求同时满足S1=1且S2≥0的概率；
（Ⅱ）答完3道题后，设ξ=S3，求ξ的分布列及其数学期望解：（Ⅰ）由题意"且"表示"答完题，第一题答对，第二题答错；或第一题答对，第二题也答对" 此时概率 （Ⅱ）P()==,
P()==,　　　　P()== ,
P()==　　
　　-3
　　-1
　　1
　　　　3
　　
　　
　　
　　
　　
∴的分布列为
∴53.某校举行环保知识大奖赛，比赛分初赛和决赛两部分，初赛采用选手选一题答一题的方式进行，每位选手最多有5次选题答题的机会，选说累计答对3题或答错3题即终止其初赛的比赛，答对3题者直接进入决赛，答错3题者则被淘汰，已知选手甲答题连续两次答错的概率为，（已知甲回答每个问题的正确率相同，并且相互之间没有影响。）（I）求甲选手回答一个问题的正确率；（Ⅱ）求选手甲可进入决赛的概率；（Ⅲ）设选手甲在初赛中答题的个数为，试写出的分布列，并求的数学期望。解答：（1）设甲选手答对一个问题的正确率为，则故甲选手答对一个问题的正确率 （Ⅱ）选手甲答了3道题目进入决赛的概率为= 选手甲答了4道题目进入决赛的概率为 选手甲答了5道题目进入决赛的概率为选手甲可以进入决赛的概率 （Ⅲ）可取3，4，5则有
（直接列表也给分）
3
4
5
故 54.用红、黄、蓝、白、橙五种颜色的鲜花布置如图所示的花圃，要求同一区域上用同一种颜色鲜花，相邻区域使用不同颜色的鲜花。学科网 （1）求恰有两个区域用红色鲜花的概率。学科网 （2）记花圃中红色鲜花区域的块数为，求的分布列及其数学期望。学科网学科网学科网解：（Ⅰ）设M表示事件"恰有两个区域用红色鲜花"，　　如图，当区域A、D同色时，共有种；　　当区域A、D不同色时，共有种；
因此，所有基本事件总数为：180+240=420种.
它们是等可能的.又因为A、D为红色时， 共有种；B、E为红色时，共有种；
因此，事件M包含的基本事件有：36+36=72种．
所以，恰有两个区域用红色鲜花的概率=．
（Ⅱ）随机变量的取值分别为0，1，2.
则当时，用黄、蓝、白、橙四种颜色来涂色， 若A、D为同色时，共有种；若A、D为不同色时，共有种；
即所包含的基本事件有48+24=72种，所以;
由第（Ⅰ）问得;
从而随机变量的分布列为：　　
　　0
　　1
　　2
　　P
　　
　　
　　
所以，=．55.在一种智力有奖竞猜游戏中，每个参加者可以回答两个问题（题1和题2），且对两个问题可以按自己选择的顺序进行作答，但是只有答对了第一个问题之后才能回答第二个问题．假设：答对题（），就得到奖金元，且答对题的概率为（），并且两次作答不会相互影响．学科网（１）当元，，元，时，某人选择先回答题1，设获得奖金为，求的分布列和．学科网（２）若，，若答题人无论先回答哪个问题，答题人可能得到的奖金一样多，求此时的值．学科网解：（１）分布列：学科网
0
0.4
0.12
0.48
． （２）设选择先回答题1，得到的奖金为；选择先回答题2，得到的奖金为，学科网　　则有，．根据题意可知：学科网　　，学科网　　当时，（负号舍去）．当时，，学科网，先答题1或题2可能得到的奖金一样多．56.某科技公司组织技术人员分别独立地试制不同类型的新产品和，新产品试制成功的概率是，新产品试制成功的概率是（1）第一小组对新产品做了三次试制，求至少两次成功的概率；（2）第一小组对新产品做了三次试制，第二小组对新产品做了三次试制，求第一小组对产品试制成功的次数比第二小组对产品试制成功的次数少2次的概率；（3）第二小组对新产品做了2次试制，对产品做了一次试制，用表示3次试制中成功的次数，写出随机变量的分布列并求出其数学期望。　　
　　0
　　1
　　2
　　3
　　
　　
　　
　　
　　
57.下面玩掷骰子放球游戏, 若掷出1点或6点, 甲盒放一球; 若掷出2点, 3点, 4点或5点, 乙盒放一球, 设掷n次后, 甲、乙盒内的球数分别为x、y. (I)当n＝3时, 设x＝3, y＝0的概率;
(II)当n＝4时, 设, 求ξ的分布列及数学期望Eξ.由题意知，在甲盒中放一球概率为时，在乙盒放一球的概率为①当n＝3时，x＝3，y＝0的概率为 ②当n＝4时，x＋y＝4，又|x－y|＝ξ，所以ξ的可能取值为 0，2，4(i)当ξ＝0时，有x＝2，y＝2，它的概率为(ii)当ξ＝2时，有x＝3，y＝1或x＝1，y＝3
它的概率为(iii)当ξ＝4时，有x＝4，y＝0或x＝0，y＝4
它的概率为故ξ的分布列为： 　　ξ
　　0
　　2
　　4
　　p
　　
　　
　　
∴ξ 的数学期望Eξ＝ 58.某批产品成箱包装，每箱5件，一用户在购进该批产品前先取出3箱，再从每箱中任意抽取2件产品进行检验，设取出的第一、二、三箱中分别有0件、1件、2件二等品，其余为一等品。 （1）用表示抽检的6件产品中二等品的件数，求的分布列及的数学期望； （2）若抽检的6件产品中有2件或2件以上二等品，用户就拒绝购买这批产品，求这批产品被用户拒绝购买的概率。解：（1）可能值为0，1，2，3，
（2）所求的概率为：59.盒子中装着标有数字1,2,3,4,5的卡片各２张，从盒子中任取３张卡片，每张卡片被取出的可能性都相等，用表示取出的3张卡片上的最大数字，求：（1）取出的3张卡片上的数字互不相同的概率；（2）随机变量的概率分布和数学期望；解：（１）记＂一次取出的３张卡片上的数字互不相同的事件＂为Ａ，则 　（２）由题意有可能的取值为：２，３，４，５　　　　　　所以随机变量的概率分布为：　
２
３
４
５
Ｐ
所以的数学期望为Ｅ＝＋＋＋＝60.大量统计数据表明，某班一周内（周六、周日休息）各天语文、数学、外语三科有作业的概率如下表：
周一
周二
周三
周四
周五
语文
　　根据上表：
（I）求周五没有语文、数学、外语三科作业的概率；
（II）设一周内有数学作业的天数为，求随机变量的分布列和数学期望。解：（I）设"周五没有语文、数学、外语三科作业"为事件A，则
（II）设一周内有数学作业的天数为，则
所以随机变量的概率分布列如下：P
0
1
2
3
4
5
故61.有一种密码，明文是由三个字符组成，密码是由明文对应的五个数字组成，编码规则如下表：明文由表中每一排取一个字符组成，且第一排取的字符放在第一位，第二排取的字符放在第二位，第三排取的字符放在第三位，对应的密码由明文对应的数字按相同的次序排成一组成.第一排
明文字符
A
B
C
D
密码字符
11
12
13
14
第二排
明文字符
E
F
G
H
密码字符
21
22
23
24
第三排
明文字符
M
N
P
Q
密码字符
1
2
3
4
设随机变量ξ表示密码中不同数字的个数.
（Ⅰ）求P（ξ=2）
（Ⅱ）求随机变量ξ的分布列和它的数学期望.解：（Ⅰ）密码中不同数字的个数为2的事件为密码中只有两个数字，注意到密码的第1，2列分别总是1，2，即只能取表格第1，2列中的数字作为密码.
（Ⅱ）由题意可知，ξ的取值为2，3，4三种情形.
若ξ= 3，注意表格的第一排总含有数字1，第二排总含有数字2则密码中只可能取数字1，2，3或1，2，4.
若 （或用求得）.
的分布列为：ξ
2
3
4
p
62.甲、乙、丙三人参加了一家公司的招聘面试，面试合格者可正式签约，甲表示只要面试合格就签约.乙、丙则约定：两人面试都合格就一同签约，否则两人都不签约.设甲面试合格的概率为，乙、丙面试合格的概率都是，且面试是否合格互不影响．求：
（1）至少有1人面试合格的概率;
（2）签约人数的分布列和数学期望．解:
用A，B，C分别表示事件甲、乙、丙面试合格.由题意知A，B，C相互独立，　　且.（1）至少有1人面试合格的概率是（2）的可能取值为0，1，2，3.-
∴的分布列是
0
1
2
3
的期望-63.按照新课程的要求, 高中学生在每学期都要至少参加一次社会实践活动(以下简称活动). 该校高2010级一班50名学生在上学期参加活动的次数统计如图所示．学科网（I）求该班学生参加活动的人均次数；学科网（II）从该班中任意选两名学生，求他们参加活动次数恰好相等的概率．学科网（III）从该班中任选两名学生，用表示这两人参加活动次数之差的绝对值，求随机变量的分布列及数学期望．学科网（要求：答案用最简分数表示）学科网解：由图可知，参加活动1次、2次和3次的学生人数分别为5、25和20．（I）该班学生参加活动的人均次数为=．（II）从该班中任选两名学生，他们参加活动次数恰好相等的概率为．（III）从该班中任选两名学生，记"这两人中一人参加1次活动，另一人参加2次活动"为事件，"这两人中一人参加2次活动，另一人参加3次活动"为事件，"这两人中一人参加1次活动，另一人参加3次活动"为事件．易知；　　　. 的分布列：
0
1
2
的数学期望：． 64.春暖大地，万物复苏．目前已进入绿化造林的黄金季节，到处都能看到绿化工人（绿化员）和参加义务植树的百姓植树种草、绿化环境的身影．某8人（5男3女）绿化组，为了提高工作效率，开展小组间的比赛，现分成A、B两个小组，每个小组4人．学科网（1）求A、B两组中有一组恰有一名女绿化员的概率；学科网（2）求A组中女绿化员人数 ? 的数学期望．解：（1）设"A、B两组中有一组恰有一名女绿化员"为事件A1，则 ．　　（2）? 可取0，1，2，3． ，，　　，，　　所以 ．65.甲有一只放有x个红球，y个黄球，z个白球的箱子，乙有一只放有3个红球，2个黄球，1个白球的箱子，（1）两个各自从自己的箱子中任取一球，规定：当两球同色时甲胜，异色时乙胜。若用x、y、z表示甲胜的概率； （2）
在（1）下又规定当甲取红、黄、白球而胜的得分分别为1、2、3分，否则得0分，求甲得分的期望的最大值及此时x、y、z的值。解：（1）P（甲胜）=P（甲、乙均取红球）+P（甲、乙均取白球）+P（甲、乙均取黄球）
（2）设甲的得分为随机变量，则：　　　　∵x、y、z∈N且x + y + z =6，∴0 ≤y≤666.已知某人工养殖观赏鱼的池塘中养殖着大量的红鲫鱼与中国金鱼，且只养殖这两种鱼，为了估计池塘中这两种鱼的数量，养殖人员从池塘中捕出了红鲫鱼与中国金鱼各1000条，给每条鱼作上不影响其存活的记号，然后放回池塘，经过一定时间，再每次从池塘中随机地捕出1000条鱼，分类记录下其中有记号的鱼的数目，随即将它们放回池塘中，这样的记录作了10次，并将记录获取的数据作成以下的茎叶图，（1）根据茎叶图计算有记号的红鲫鱼与中国金鱼数目的平均数，并估计池塘中的红鲫鱼与中国金鱼的数量；（2）假设随机地从池塘逐一有放回地捕出5条鱼中的红鲫鱼的数目为，求的分布列与数学期望。67.甲乙两人进行围棋比赛，约定每局胜者得1分，负者得分（无平局），比赛进行到有一人比对方多分或打满局时停止．设甲在每局中获胜的概率为，且各局胜负相互独立．已知第二局比赛结束时比赛停止的概率为．⑴若右图为统计这次比赛的局数和甲、乙的总得分数、的程序框图．其中如果甲获胜，输入，；如果乙获胜，则输入．请问在第一、第二两个判断框中应分别填写什么条件？⑵求的值；⑶设表示比赛停止时已比赛的局数，求随机变量的分布列和数学期望．(注：""，即为""或为""．)【解】（Ⅰ）程序框图中的第一个条件框应填，第二个应填． 注意：答案不唯一．如：第一个条件框填，第二个条件框填，或者第一、第二条件互换．都可以．（Ⅱ）依题意，当甲连胜局或乙连胜局时，第二局比赛结束时比赛结束．有． 解得或． ，
．（Ⅲ）（解法一）依题意知，的所有可能值为2，4，6．设每两局比赛为一轮，则该轮结束时比赛停止的概率为．若该轮结束时比赛还将继续，则甲、乙在该轮中必是各得一分，此时，该轮比赛结果对下轮比赛是否停止没有影响．从而有，，．随机变量的分布列为：
68.某工厂在试验阶段大量生产一种零件。这种零件有、两项技术指标需要检测，设各项技术指标达标与否互不影响。若有且仅有一项技术指标达标的概率为，至少一项技术指标达标的概率为．按质量检验规定：两项技术指标都达标的零件为合格品.　　（Ⅰ）求一个零件经过检测为合格品的概率是多少？（Ⅱ）任意依次抽出5个零件进行检测，求其中至多3个零件是合格品的概率是多少？　　（Ⅲ）任意依次抽取该种零件4个，设表示其中合格品的个数，求与.解：（Ⅰ）设、两项技术指标达标的概率分别为、　　由题意得： 　　解得：或，∴.
　　即，一个零件经过检测为合格品的概率为.（Ⅱ）任意抽出5个零件进行检查，其中至多3个零件是合格品的概率为（Ⅲ）依题意知～B(4,)，，69.有甲、乙两个盒子，甲盒子中装有3个小球，乙盒子中装有5个小球，每次随机选取一个盒子并从中取出一个球。( I )求当甲盒子中的球被取完时，乙盒子中恰剩下2个球的概率； (Ⅱ)当第一次取完一个盒子中的球时,另一个盒子恰剩下个球,求的分布列及期望解：（I）
某校要组建一支篮球队，需要在高一各班选拔预备队员，按照投篮成绩确定入围选手，选拔过程中每人最多有5次投篮机会．若累计投中3次或累计3次未投中，则终止投篮，其中累计投中3次者直接入围，累计3次未投中者则被淘汰．已知某班学生甲每次投篮投中的概率为，且各次投篮互不影响．　　（Ⅰ）求学生甲最多投篮4次就入围的概率；　　（Ⅱ）设学生甲投篮次数为随机变量?，写出的分布列，并求的数学期望．解：（Ⅰ）设"学生甲投篮3次入围"为事件A；"学生甲投篮4次入围"为事件B，且事件A、B互斥．　　则；．　　故学生甲最多投篮4次就入围的概率为．　　（Ⅱ）依题意，的可能取值为3，4，5．则， 　　，．　　则的分布列为：　　
　　3
　　4
　　5
　　P
　　
　　
　　
故甲、乙两间商店购进同一种商品的价格均为每件30元，销售价均为每件50元．根据前5年的有关资料统计，甲商店这种商品的年需求量服从以下分布：
10
20
30
40
50
0.15
0.20
0.25
0.30
0.10
　　乙商店这种商品的年需求量服从二项分布～．　　若这种商品在一年内没有售完，则甲商店在一年后以每件25元的价格处理；乙商店一年后剩下的这种商品第1件按25元的价格处理，第2件按24元的价格处理，第3件按23元的价格处理，依此类推．今年甲、乙两间商店同时购进这种商品40件，根据前5年的销售情况，请你预测哪间商店的期望利润较大？解：根据题意，甲商店这种商品的年需求量数学期望为：　　10×0.15＋20×0.20＋30×0.25＋40×0.30＋50×0.10＝30 　　∴甲商店的期望利润为30×(50－30)－(40－30)×(30－25)＝550(元) 　　乙商店这种商品的需求量的数学期望为：40×0.8＝32 　　依题意，一年后乙商店剩下的商品亏本金额是以30－25＝5为首项，公差为1，项数为40－32＝8的等差数列　　∴乙商店剩下的商品亏本金额为8×5＋×1＝68(元) 　　∴乙商店的期望利润为32×(50－30)－68＝572(元)＞550(元) 　　答：乙商店的期望利润较大． 某地区试行高考考试改革：在高三学年中举行5次统一测试，学生如果通过其中2次测试即可获得足够学分升上大学继续学习，不用参加其余的测试，而每个学生最多也只能参加5次测试．假设某学生每次通过测试的概率都是，每次测试时间间隔恰当，每次测试通过与否互相独立
（1）求该学生考上大学的概率．
（2）如果考上大学或参加完5次测试就结束，记该生参加测试的次数为，求的分布列及的数学期望．解：（1）记"该生考上大学"的事件为事件A，其对立事件为，则
（2）参加测试次数的可能取值为2，3，4，5，
， ， =． 故的分布列为：
2
3
4
5
P
． 答：该生考上大学的概率为；所求数学期望是．投掷A，B，C三个纪念币，正面向上的概率如下表所示.　　纪念币
　　A
　　B
　　C
　　概
率
　　
　　a
　　a
　　将这三个纪念币同时投掷一次, 设表示出现正面向上的个数.
（1）求的分布列及数学期望；
（2）在概率(i=0，1，2，3)中, 若的值最大, 求a的取值范围.【解】(1)是个正面向上,个背面向上的概率.其中的可能取值为0，1，2，3.
　　,　　.
所以的分布列为
　　的数学期望为　. 　　(2) ,
.　　由和，得,即a的取值范围是. 在一次数学考试中，第21题和第22题为选做题. 规定每位考生必须且只须在其中选做一题. 设4名考生选做这两题的可能性均为.（1）求其中甲、乙2名学生选做同一道题的概率；（2）设这4名考生中选做第22题的学生个数为，求的概率分布及数学期望.解：（1）设事件表示"甲选做第21题"，事件表示"乙选做第21题"，则甲、乙2名学生选做同一道题的事件为""，且事件、相互独立.∴=.（2）随机变量的可能取值为0,1,2,3,4，且～.　∴∴变量的分布表为：
0
1
2
3
4
（或）一个盒子装有六张卡片，上面分别写着如下六个定义域为R的函数：f1(x)=x，f2(x)=x2，f3(x)=x3，f4(x)=sinx，f5(x)=cosx，f6(x)=2． （1）现从盒子中任取两张卡片，将卡片上的函数相加得一个新函数，求所得函数是奇函数的概率；（2）现从盒子中进行逐一抽取卡片，且每次取出后均不放回，若取到一张记有偶函数的卡片则停止抽取，否则继续进行，求抽取次数的分布列和数学期望．（1）记事件A为"任取两张卡片，将卡片上的函数相加得到的函数是奇函数"，由题意知 （2）ξ可取1，2，3，4．
， ； 故ξ的分布列为ξ
1
2
3
4
P
答：ξ的数学期望为
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