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过点P（2，1）作直线l分别交x，y正半轴于A，B两点．（1）当△AOB面积最小时，求直线l的方程；（2）当|PA|o|PB|取最小值时，求直线l的方程．
题型：解答题难度：中档来源：不详
（1）设所求的直线方程为xa+yb=1（a＞0，b＞0），由已知2a+1b=1．于是 2ao1b≤(2a+1b2)2=14，当且仅当2a=1b=12，即a=4，b=2时，取最大值，即S△AOB=12oab取最小值4．故所求的直线l的方程为x4+y2=1，即x+2y-4=0．（2）设直线l：y-1=k（x-2），分别令y=0，x=0，得A(2-1k，0)，B(0，1-2k)．则|PA|o|PB|=(4+4k2)(1+1k2)=8+4(k2+1k2)≥4，当且仅当k2=1，即k=±1时，|PA|o|PB|取最小值，又∵k＜0，∴k=-1，这时l的方程为x+y-3=0．
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据魔方格专家权威分析，试题“过点P（2，1）作直线l分别交x，y正半轴于A，B两点．（1）当△AOB面积最..”主要考查你对&&基本不等式及其应用，直线的方程&&等考点的理解。关于这些考点的“档案”如下：
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基本不等式及其应用直线的方程
基本不等式：
（当且仅当a＝b时取“=”号）； 变式：①，（当且仅当a＝b时取“=”号），即两个正数的算术平均不小于它们的几何平均。 ②；③；④； 对基本不等式的理解：
(1)基本不等式的证明是利用重要不等式推导的，即，即有(2)基本不等式又称为均值定理、均值不等式等，其中的算术平均数，的几何平均数，本定理也可叙述为：两个正数的算术平均数不小于它们的几何平均数．(3)要特别注意不等式成立的条件和等号成立的条件．均值不等式中：①当a=b时取等号，即 对于两个正数x，y，若已知xy，x+y，中的某一个为定值，可求出其余各个的最值：如：（1）当xy＝P（定值），那么当x=y时，和x+y有最小值2，； （2）x+y=S（定值），那么当x=y时，积xy有最大值，； （3）已知x2+y2=p，则x+y有最大值为，。
应用基本的不等式解题时：
注意创设一个应用基本不等式的情境及使等号成立的条件，即“一正、二定、三相等”。
利用基本不等式比较实数大小：
(1)注意均值不等式的前提条件．(2)通过加减项的方法配凑成使用均值定理的形式．(3)注意“1”的代换．(4)灵活变换基本不等式的形式，并注重其变形形式的运用．重要不等式的形式可以是，也可以是，还可以是等，不仅要掌握原来的形式，还要掌握它的几种变形形式以及公式的逆用等，以便应用．(5)合理配组，反复应用均值不等式。&
基本不等式的几种变形公式：
直线方程的定义：
以一个方程的解为坐标的点都是某条直线上的点，这个方程就叫做这条直线的方程，这条直线叫做这个方程的直线。
基本的思想和方法：
求直线方程是解析几何常见的问题之一，恰当选择方程的形式是每一步，然后釆用待定系数法确定方程，在求直线方程时，要注意斜率是否存在，利用截距式时，不能忽视截距为0的情形，同时要区分“截距”和“距离”。
直线方程的几种形式：
1.点斜式方程：（1），（直线l过点，且斜率为k）。（2）当直线的斜率为0°时，k=0，直线的方程是y=y1。当直线的斜率为90°时，直线的斜率不存在，它的方程不能用点斜式表示，但因l上每一点的横坐标都等于x1，所以它的方程是x=x1。 2.斜截式方程：已知直线在y轴上的截距为b和斜率k，则直线的方程为：y=kx+b，它不包括垂直于x轴的直线。 3.两点式方程：已知直线经过（x1，y1），（x2，y2）两点，则直线方程为：4.截距式方程：已知直线在x轴和y轴上的截距为a，b，则直线方程为：（a、b≠0）。5.一般式方程：（1）定义：任何直线均可写成：Ax+By+C=0（A，B不同时为0）的形式。（2）特殊的方程如：平行于x轴的直线：y=b（b为常数）；平行于y轴的直线：x=a（a为常数）。 几种特殊位置的直线方程：
求直线方程的一般方法:
(1)直接法：根据已知条件，选择适当的直线方程形式，直接求出直线方程．应明确直线方程的几种形式及各自的特点，合理选择解决方法，一般地，已知一点通常选择点斜式；已知斜率选择斜截式或点斜式；已知在两坐标轴上的截距用截距式；已知两点用两点式，这时应特别注意斜率不存在的情况．(2)待定系数法：先设出直线的方程，再根据已知条件求出假设系数，最后代入直线方程，待定系数法常适用于斜截式，已知两点坐标等．利用待定系数法求直线方程的步骤：①设方程；②求系数；③代入方程得直线方程，如果已知直线过一个定点,可以利用直线的点斜式求方程，也可以利用斜截式、截距式等形式求解．
发现相似题
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340572257230456971247533859523261344红对勾文科数学2-12_百度文库
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函数f(x)=x^2+2x+a/x.x∈[1,+∞] （1）当a=1/2时求函数f(x)的最小值
（2）若任意x∈[1,+∞]f(x)&0立求实数a取值范围x^2+2x+a整除x要程
提问者采纳
解： （1）a＝1/2
x∈[1,+∞]
∴f(x)=(x^2+2x+1/2)/x=x+1/2x+2
∴f(x)求导：
f'(x)=1-1/(4x^2)
∵x∈[1,+∞]
∴1/(4x^2)＜1
∴f'(x)=1-1/(4x^2)＞0恒立
∴f(x)x∈[1,+∞] 增函数
f(x)取值：
f（x）min＝7/2（2）∵f(x)=(x^2+2x+a)/x=x+a/x+2任意x∈[1,+∞]f(x)&0恒立
x+a/x+2＞0∵x∈[1,+∞]
x+a/x+2＞0进行移项变形：
a＞-x^2-2x令
g（x）=-x^2-2x
x∈[1,+∞] ∴g（x）=-x^2-2x
=-(x+1)^2+1∴g(x)
x∈[1,+∞] 减函数
∴g(x)值：
g（x）max=g(1)=-3∴a＞(-x^2-2x)max=g(x)max=-3∴a取值范围：
a＞-3若懂再问我
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1)f(x)=x^2+2x+a/x=x+a/x+2a=1/2双钩函数f(x)=x+1/(2x)+2&=3x=squr（1/2）则[1,+∞]f（x）∈[7/2,+∞)2）a&0用双钩函数易立
a=0立a&0f(x)=x^2+2x+a/x=x+a/x+2导数F=1-ax^(-2)&0即增函数x∈[1,+∞]f(1)=1+a+2&0即a&-3,所a∈[-3,+∞]
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