费马引理、罗尔定理、拉格朗日中值定理

费马引量的另一种表述：

通常称导数等于零的点为函数的驻点(或稳定点、临界点).上图中C,D点，该两点的切线平行于X轴，因此，导数(税率)为零；

另外，可以用罗尔定理反证如果一个连续函数的导数恒不等于0，则该方程不可能有两个根；

拉格朗日中值定理应用推论

推论：在一区间上导数恒等的两个函数只相差一个常数；

1）不等式的证明：即 ：函数值的改变量小于自变量的改变量的M倍；

如果导数在某个区间有界，则：

洛必达法则(用导数求极限，洛必达法则是求未定式一种有方法，该方法可以递归使用，对极限为∞/∞的函数求极限时，洛必达法则也适用)

使用洛必达法则之前，一定要先确定所求极限的函数是0/0或∞/∞型，否则不能使用洛必达法则；

如果两个函数的乘积求极限，且为0*∞时，可以通过取倒数，将其转化成0/0或∞/∞型再用洛必达法则；

幂指函数(未定形)：将函数写在这种形式后，再分析g(x)ln f(x)的类型，再利用洛必达法则求导后再求极限；

泰勒公式(后面的项Rn(x)为误差)

泰勒公式可以用若干项连加式来表示一个函数，这些相加的项由函数在某一点的导数求得。

泰勒中值定理的另一种写法：

带Peano余项的Taylor公式的优点：条件较弱，只需在x0有n阶导数；缺点：误差为无穷小的写法，不容易作定量分析；

麦克劳林公式的另一种写法：

拉格朗日型余项的优点：便于误差估计；缺点：条件较强，需要n+1阶导数；

麦克劳林公式与泰勒公式的区别：麦克劳林公式是泰勒公式的特殊情况，泰勒公式是在任何点的展开形式,而麦克劳林公式是在0点,对函数进行泰勒展开；泰勒公式在x0处展开后，随着多项式n的项数越取越多，该函数会在x0处开始越来越接近原来的函数；

1）f(x)=e^x的拉格朗日型麦克劳林公式为：(误差当n→∞时等于的证明需要用无穷级数的幂级数证明)

2）f(x)=sin x的拉格朗日型麦克劳林公式为：

※对于一个未知函数，如果知道它在某点的函数值，以及各阶导数的函数值时，泰勒公式可以直接描述出该未函数；(如某种规律)

其它函数的麦克劳林公式：

麦克劳林公式和等价无穷小在求极限时替换的区别

麦克劳林公式进行的是等理代换，因此这种代换也可以在加减项之间进行(如sinx-xcosx)，但等价无穷小替换只能在乘积因子这间进行，不能在加减项之间进行；

函数的单调性与曲线的凹凸性

当一个函数单调增加(减少)时，不能说该函数导数一定大于零；因为单调函数不一定可导，即使函数可导，个别点的导数也可以等于零；

凹弧一般的定义:，其中

函数f(x)具有一阶导数f`(x)和二阶导数f``(x)时，一阶导数决定了函数的单调性，二阶导数决定了函数的凹凸性；

※如果曲线y=f(x)在经过点(x0,f(x0))时，曲线的凹凸性改变了，那么就称点(x0,f(x0))为这曲线的拐点；函数在拐点处的二阶导数为0；

函数的极值与最大值最小值

x0在某邻域的两个端点处，就算端点的值比邻域内其它值都大(或者都小)，该值都不能称为极值(因为极值只能是内点，不能是端点)；

极值是局部概念，极大值不一定大于极小值(如下图中x1处为极大值，但小于x4处的极小值)；

如果函数某个点x0左右单调性不同，该点x0就称为函数的极值点；

函数的驻点：函数导数为0的点称为函数的驻点;
函数的极值点：是在这点附近这一点所对应的函数值最大或者最小（注意是这个点附近）.
存在极值点的情况有两类,一类是一阶导数为零的点（也就是我们所说的驻点）,另一类是一阶导数不存在的点.
但是,这两类并不都是极值点,比如说y=x^3在x=0的时候起一阶导数为零,但不是极值点.
所以,驻点可能是极值点,极值点可能是驻点.
还有,可导函数f(x)的极值点【必定】是它的驻点.

函数在某点可导性的判断

说明：下面的函数当x=0时，除|x|外的其它项看成是g(x)，因该g(x)里将0代入后不等于0，因此该点不可导；同理x=1时，也不可导，但x=-1时可导；

求函数f(x)在该区间内的极值点和相应的极值()

求函数f(x)在[a,b]上的最大值与最小值

函数 f(x)在(a,b)上的最大值与最小值

在开区间上没有边界点，最值一定在区间(a,b)内的极值点处产生，如果函数在一区间内有唯一的极大值(极小值)，则该极大值(极小值)也是函数在该区间的最大值(最小值);

1)不等式的证明：先将不等式的两端写成大项减小项的形式，然后证明该函数增函数且它在左端点处非负，则该函数必为正；

2)证明方程有唯一的实根；依据：单调函数在单调区间最多有一零点(单调函数的曲线穿过x轴最多一次);

证明过程：根据零点定理，找到一个该使函数值大于0的点和小于0的点证明方程最少有一个实根；再用利用函数的导数证明该函数的单调性，则可以证明该函数的实根唯一；

求连续曲线的凹凸区间和拐点的步骤

1）求出函数f(x)在区间内二阶导数等于零的点和二阶导数不存在的点：x1,x2,.....xn;这些点将函数的定义域分成若干个小区间；

2）讨论二阶导数在这些小区间内的符号，以确定曲线的凹凸性；

3）考察二阶导数在以上点两侧的符号(异号时为拐点，同号时则不是)，以确定该点是否出现拐点；

定义：当曲线y=f(x)上的一动点P沿着曲线移向无穷点时，如果点P到某定直线L的距离趋向于零，那么直线L就称为曲线y=f(x)的一条渐近线；

1）铅直渐近线(垂直于x轴的渐近线)

2）水平渐近线(平行于x轴的渐近线)

当斜渐近线的斜率k=0时，斜渐近线不存在，不为0时，则存在；当分子比分母高一次幂时，一定有斜渐近线；

曲线的曲率就是针对曲线上某个点的切线方向角对弧长的转动率，通过微分来定义，表明曲线偏离直线的程度。数学上表明曲线在某一点的弯曲程度的数值。曲率越大，表示曲线的弯曲程度越大。曲率的倒数就是曲率半径。

弧微分公式(ds为弧长的微分，dx为x轴的微分，y为曲线的函数表达式)

实际工程问题中的近似计算