中心对称和中心对称图形

　　把一个图形绕着某一点旋转 ，如果它能够与另一个图形重合，那么就说这两个图形关于这个点对称，这个点叫做对称中心，两个图形关于点对称也称中心对称，这两个图形中的对应点，叫做关于中心的对称点．

　　中心对称的两个图形具有如下性质：（1）关于中心对称的两个图形全等；（2）关于中心对称的两个图形，对称点的连线都过对称中心，并且被对称中心平分．

　　判断两个图形成中心对称的方法是：如果两个图形的对应点连线都经过某一点，并且被这一点平分，那么这两个图形关于这一点对称．

　　把一个图形绕某一点旋转 ，如果旋转后的图形能够和原来的图形互相重合，那么这个图形叫做中心对称图形，这个点就是它的对称中心．

　　矩形、菱形、正方形、平行四边形都是中心对称图形，对角钱的交点就是它们的对称中心；圆是中心对称图形，圆心是对称中心；线段也是中心对称图形，线段中点就是它的对称中心．

　　本节课的重点是中心对称的概念、性质和作已知点关于某点的对称点.因为概念是推导三个性质的主要依据、性质是今后解决有关问题的理论依据；而作已知点关于某个点的对称点又是作中心对称图形的关键.

　　本节课的难点是中心对称与中心对称图形之间的联系和区别.从概念角度来说，中心对称图形和中心对称是两个不同而又紧密相联的概念.从学生角度来讲，在学习轴对称时，有相当一部分学生对轴对称和轴对称图形的概念理解上出现误点.因此本节课的难点是中心对称与中心对称图形之间的联系和区别.

　　本节内容和生活结合较多，新课导入可考虑以下方法：

　　（1）从相似概念引入：中心对称概念与轴对称概念比较相似，中心对称图形与轴对称图形比较相似，可从轴对称类比引入，

　　（2）从汉字引入：有许多汉字都是中心对称图形，如“田”、“日”、“曰”、“中”、“申”、“王”，等等，可从汉字引入，

　　（3）从生活实例引入：生活中有许多中心对称实例和中心对称图形，如飞机的螺旋桨，风车的风轮，纽结，雪花，等等，可从生活实例引入，

　　（4）从商标引入：各公司、企业的商标中有许多中心对称实例和中心对称图形，如联想，联合证券，湘财证券，中国工商银行，中国银行，等等，可从这些商标引入，

　　（5）从车标引入：各品牌汽车的车标中有许多都是中心对称图形，如奥迪，韩国现代，本田，富康，欧宝，宝马，等等，可从车标引入，

　　（6）从几何图形引入：学习过的许多图形都是中心对称图形，如圆，平行四边形，矩形，菱形，正方形，等等，可从几何图形引入，

　　（7）从艺术品引入：艺术品中有许多都是呈中心对称或是中心对称图形，如下图，可从艺术品引入。

　　1．知道中心对称的概念，能说出中心对称的定义和关于中心对称的两个图形的性质。

　　2．会根据关于中心对称图形的性质定理2的逆定理来判定两个图形关于一点对称；会画与已知图形关于一点成中心对称的图形。

　　此外，通过复习图形轴对称，并与中心对称比较，渗透类比的思想方法；用运动的观点观察和认识图形，渗透旋转变换的思想。

　　想一想：怎样的两个图形叫做关于某直线成轴对称？成轴对称的两个图形有什么性质？

　　（帮助学生复习轴对称的有关知识，为中心对称教学作准备）

　　画一画：如图4.7-1(1)，已知点P和直线L，画出点P关于直线L的对称点P′；如图4.7-1(2)，已知线段MN和直线a,画出线段MN关于直线a的对称线段M′N′。

　　(通过画图形进一步巩固和加深对轴对称的认识)

　　上述问题由学生回答，教师作必要的提示，并归纳总结成下表：

　　观察与思考：图4.7-2所示的图形关于某条直线成轴对称吗？如果是，画出对称轴，如果不是，说明理由。

　　（教师把图4.7－2的两个图形制成投影片或教具，学生仔细观察后，能发现这两个图形都不是轴对称。然后，教师适时提出问题：这两个图形能不能重合？怎样才能使这两个图形重合呢？让学生观察、探究、讨论，教师可以直观地演示中心对称变换的过程，让学生发现：把其中一个图形统一特殊点旋转180度后能与另一个图形重合。）

　　问题1：你能举出1～2个实例或实物，说明它们也具有上面所说的特性吗？

　　说明：学生自己举例有助于他们感性地认识中心对称的意义。然后，教师指出：具有这种特性的图形叫做中心对称图形，并介绍对称中心，对称点等概念。

　　问题2：你能给“中心对称”下一个定义吗？

　　说明与建议：学生下定义会有困难，教师应及时修正，并给出明确的定义，然后指出定义中的三个要点：（l）有一个对称中心――点；（2）图形绕中心旋转180度；（3）旋转后与另一图形重合。把这三要点填入引导性材料中的空表内，在顶空格内写上“中心对称”字样，以利于写“轴对称”进行比较。

　　练一练：在图4.7－3中，已知△ABC和△EFG关于点O成中心对称，分别找出图中的对称点和对称线段。

　　说明与建议：教师可演示△ABC绕点O旋转180度后与△EFG重合的过程，让学生说出点E和点A，点B和点F，点C和点G是对称点；线段AB和EF、线段AC和EG，线段BC和FG都是对称线段。教师还可向学生指出，图4.7－3中，点A、O、E在一条直线上，点C、O、G在一条直线上，点B、O、F在一条直线上，且AO=EO，BO=FO，CO＝GO。

　　问题3：从上面的练习及分析中，可以看出关于中心对称的两个图形具有哪些性质？

　　说明与建议：引导学生总结出关于中心对称的两个图形的性质：定理l---关于中心对称的两个图形是全等形；定理2――关于中心对称的两个图形，对称点连线都经过对称中心，并且被对称中心平分。

　　问题4：定理2的题设和结论各是什么？试说出它的逆命题。

　　说明与建议：学生解答此题有困难，教师要及时引导。特别是叙述命题时，学生常常照搬“对称点”、“对称中心”这些词语，教师应指出：由于没有“两个图形关于中心对称”的前提，所以不能使用“对称点”、“对称中心”这样的词语，而要改为“对应如”、“某一点”。最后，教师应完整地叙述这个逆命题---如果两个图形的对应点连线都经过某一点，并且被这一点平分，那么这两个图形关于点对称。

　　问题5：怎样证明这个逆命题是正确的.？

　　说明与建议：证明过程应在教师的引导下，师生共同完成。由已知条件――对应点的连线都经过某一点，并且被这一点平分，可以知道：若把其中一个图形绕着这点旋转180度，它必定于另一个图形重合，因此，根据定义可以判定这两个图形关于这一点对称。这个逆命题即为逆定理。根据这个逆定理，可以判定两个图形关于一点对称，也可以画出已知图形关于一点的对称图形。

　　练一练：访画出图4．7－4中，线段PQ关于点O的对称线段P′Q′。

　　（画法如下：（1）连结PO，延长PO到P′，使OP′＝OP，点P′就是点P关于点O的对称点，（2）连结QO，延长QO到Q′，使Q′Q=OQ，点Q′就是点Q的对称点，则PQ′就是线段PQ关于O点的对称线段。教师应指出：画一个图形关于某点的中心对称图形，关键是画“对称点”。比如，画一个三角形关于某点的中心对称三角形，只要画出三角形三个顶点的对称点，就可以画出所要求的三角形。）

　　说明：（l）教师应让学生读题分析，给每个学生印发一张印有图4.7-5的纸，让学生动手画图。（2）画好图后让学生总结：画多边形的中心对称图形只要画出多边形各顶点的对称点，即能画出所求的对称图形。

　　课本例后练习第1、2题。

　　（对第2题，应先画出图形，然后按照中心对称的定义或逆定理来说明理由。第2题的第（1）小题可用定义说明，第2题的第（2）小题可根据逆定理来说明。这里把平行四边形的对角顶点和平行四边形的对边分别看成两个图形：分别是两个点和两条线段。）

　　2．中心对称与轴对称有什么不同？

　　中心对称――图形绕点旋转180度。

　　轴对称――图形沿轴翻折180度。

　　2.课本习题4.4A组第3、4题。

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23.2.2　中心对称图形
要点1　中心对称图形的概念
把一个图形绕着某一个点 ，如果旋转后的图形能够与原来的图形 ，那么这个图形叫做中心对称图形，这个点就是它的 .
要点2　中心对称图形的性质
对称点的连线被对称中心 ；经过中心对称图形的对称中心的任意一条直线都将图形分成 的两部分.
1. 如图所示，不是中心对称图形的是(　　)
2. 下列图形中是中心对称图形的有(　　)
正三角形 平行四边形 正五边形 正六边形
3. 下列图形中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是(　　)
4. 如图是一个中心对称图形，A为对称中心，若∠C＝90°，∠B＝30°，BC＝1，则BB′的长为(　　)

5. 如图，已知□ABCD的对角线BD＝4cm，将□ABCD绕其对称中心O旋转180°，则点D所转过的路径长为(　　)
6. 如图，A，B，C三点都在方格纸的格点位置上，请你再找一个格点D，使与图中的A，B，C三点组成中心对称图形，符合要求的点D有(　　)
7. 如图所示，在图甲中，Rt△OAB绕其直角顶点O每次旋转90°，旋转三次得到如图乙所示的图形.在图丙中，四边形OABC绕O点每次旋转120°，旋转两次得到如图丁所示的图形.
在下列所示图形中，不能通过上述方式得到的是(　　)
8. 汉字“一、中、王、木”它们都是 图形，其中 几个字可看成中心对称图形.
9. 如图，直线EF经过平行四边形ABCD的对角线的交点O，若AE＝3cm，四边形AEFB的面积为15cm2，则CF＝ ，四边形EDCF的面积为 .

10. 在四边形ABCD中，AB＝CD，要使四边形ABCD是中心对称图形，只需添加一个条件，这个条件可以是 .(只要填写一种情况)
11. 在方格纸中，选择标有序号①②③④中的一个小正方形涂黑，与图中阴影部分构成中心对称图形，涂黑的小正方形的序号是 .
12. 判断下列图形是否为中心对称图形，如果是，请指出它们的对称中心.
(1)线段；(2)等边三角形；(3)平行四边形；(4)菱形；(5)圆；(6)角；(7)正七边形.
13. 如图所示，观察图案并回答下列问题：
(1)图案是不是轴对称图形？如果是，图案有几条对称轴？
(2)图案是不是中心对称图形？如果是，找出对称中心.
(3)图案绕中心旋转多少度能和原来的图案重合？

14. 已知一个四边形ABCD的四条边的长顺次为a，b，c，d，且a2＋ab－ac－bc＝0，b2＋bc－cd－bd＝0，试判断这个四边形是否是中心对称图形.
15. 如图甲，四边形ABCD是中心对称图形，过对称中心O作直线EF分别交DC，AB于点E，F.
(1)如图甲，四边形AFED与四边形CEFB的形状 ，大小 ；
(2)猜想并判断：经过中心对称图形的对称中心的任一直线把这个图形分成两个图形的面积
(填“相等”或“不相等”)；
(3)你能否画一条直线，把如图乙中的两个图形同时分成面积大小都相同的两部分？

16. 如图，有一块正方形的土地，要修两条笔直的公路，使得公路把这片土地分成面积相等的四部分，若公路的宽忽略不计，请设计三种不同的方案，画图并简述步骤.
要点1　旋转180° 重合 对称中心
8. 轴对称 一、中、王
12. 解：(1)线段是中心对称图形，它的对称中心是该线段的中点. (2)等边三角形不是中心对称图形. (3)行四边形是中心对称图形，它的对称中心是该平行四边形的对角线的交点. (4)形是中心对称图形，对称中心是该菱形的对角线的交点. (5)是中心对称图形，对称中心是该圆的圆心. (6)不是中心对称图形. (7)七边形不是中心对称图形.
13. 解：(1)是轴对称图形，共有6条对称轴.
(2)是中心对称图形，对称中心为中心圆的圆心.
(3)旋转60°或60°的整数倍，图案与原图案重合.
14. 解：是中心对称图形.理由如下：∵a2＋ab－ac－bc＝0，∴a(a＋b)－c(a＋b)＝0，∴(a＋b)(a－c)＝0，∵a>0，b>0，∴a＋b≠0，∴a－c＝0，∴a＝c.同理，由b2＋bc－bd－cd＝0，可b＝d.由此可知四边形ABCD是平行四边形，∴这个四边形是中心对称图形.
(3)能，经过平行四边形中心和圆心的直线即为所需直线，图略.
16. 解：图略.方案一：沿正方形的两条对角线所在的直线修公路，可把正方形土地分成面积相等的四部分；方案二：沿正方形相邻两边的垂直平分线修公路，可把正方形土地分成面积相等的四部分；方案三：沿过正方形的中心且互相垂直的两条直线修公路，可把正方形土地分成面积相等的四部分.