本文探讨多元函数微分学中知识点之间的关系。 包括全微分、偏导数、方向导数、梯度、全导数等内容。

第一次学习这些知识的时候，学生显然觉得掌握这些概念不难，定义和计算公式也很容易记住，但是觉得糟糕到不知道从哪里说起。 不管怎么说，笔者是这样的。 其实根本原因是没有整理这些知识之间的关系，也没有从本质上理解这些知识。 现在，和笔者一起重新审视它们，看看你心中的一些疑问是否解决了。

一、导数和微分到底是什么，以及为什么有这些概念

关于导数和微分是什么，笔者在讨论一元函数微分时做了清楚的说明，现在再复述一遍。 如下所示。

导数和微分是数学家制作的两个代数工具，是为了从代数的角度描述函数图像的几何变化。 简言之，每次说明函数图像的变化，就不用再画画了。 有了这个，直接用数学公式计算就可以了。 因此，导数和微分也是沟通几何和代数的重要桥梁之一。 导数表示函数在一个点上变化的速度趋势，是变化的速度，微分表示函数从一个点向另一个点变化的幅度，是变化的量。

在一元函数中，我们知道函数从一个点到另一个点的变化，只有沿着函数曲线移动即可的方向。 另外，由于函数在某一点上的切线也只有一个，所以函数变化的速度只由该切线(的斜率)决定。 但是，多变量函数是不同的。 多变量函数往往是一个方面，因此，多变量函数的微分学会会提出很多东西，产生很多概念。 但请不要担心。 其实很多东西只是一元函数微分的展开。 本质都是一样的。 不信的话，请跟着笔者往下看。 并不难。 万变不离其宗。

请看图1。 现在，和笔者一起想象一下数学家一样吧。 其实，从数学家的角度学习思考问题，往往最能达到理解知识本质的目的。 记述函数的变化，一是记述函数变化的速度，二是记述函数变化多少。 例如在图1中，就像一元函数的讨论那样，我想知道函数在a点变化的速度的倾向和从a点到b点的变化幅度是多少。 另外，我们的多元函数的图像有一个有趣的问题。 函数可以固定一个变量，使另一个变量变化。 那么，这又是一个与一元函数非常不同的变化。 其实这是变化维度的问题。 这些是数学家最感兴趣的问题。

现在，让我们来总结一下。 我想全面记述多元函数的变化，应该考虑哪些方面呢？ 如下所示。

(1)函数在a点的趋势发生变化。

)2)函数从a到b的变化量。

)3)函数降维时的变化，如固定y，将二元函数视为一个单项函数，x单独变化，会怎么样？

弄清楚我们要解决的问题，其实是如何用数学工具来表达上述变化，就要着手解决问题。 那么，根据一元函数微分学的经验，记述变化的速度，必须看导数，即切线的斜率。 说明变化多少要看微分。 于是我们动手按照那个目的画画，得到了图2和图3。 以下所示。

从图2可以看出，过了a点有无数条曲线，相应地一定有无数条切线。 因此切线的倾斜度一定有多个。 从图3可以看出，从a到b可以到达无数个路径。 那么，我们面临的问题是，如何相应地拓展一元函数的导数和微分知识，以适应这些“无数”问题？

这么点问题肯定打不倒数学家。 于是多元函数微分学的概念应运而生。 a点不是存在无数条切线吗？ 那么，这些切线的斜率都是导数。 那么，定义方向导数来表示他们。 另外，如果有无数条切线，就会有没有变化的方向。 这之中哪个方向变化最快呢？ 于是坡度的定义来了。 数学家表示，由于将变化最快的方向定义为梯度，所以梯度实际上是向量，在a点表示变化趋势最大的方向。 变化快的问题基本解决了。 那么，从a变化到b有多少的问题怎么解决呢？ 这就是全微分的定义。 从a到b的变化多寡定义为全微分。 剩下的最后一个问题是，如果函数降维变化，例如固定x，单独变化y，该变化是如何描述的？ 没关系。 我把他们定义为偏导数。 那么，方向导数、梯度、全微分、偏导数的概念已经出来了。 当然，实际情况是数学家们经过大量论证，决定了把a点无数切线的变化方向称为“方向导数”，不如称为“偏导数”。 我在这里这样说话，只是做了事后的hsdm。 具体各概念的定义和公式，也只有经过数学家们的大量论证和证明才能得到，才能看到相关教材。

是的，废话很多。 总结一下：

(1)方向导数)本质是函数a点上无数切线斜率的定义。 每条切线都表示变化的方向。

(2)梯度)函数是a点无数变化方向中变化最快的方向。

)3)全微分)函数从a点到b点变化的量(其实是取无限小变化的量)。

(4)偏导：多元函数降维时的变化。 例如，二元函数通过固定y，只单独改变x，被视为关于x的一元函数的变化来研究。

再经过论证和证明得到了教材上关于他们的严格公式，从此数学家们就拿着这个公式开始在微分几何领域叱咤风云了！

说到这里，让我们回顾一下我们是如何理解这些知识点的。 其实，就是把自己当成数学家，想象自己解决这些问题应该怎么做，然后结合现有知识仔细思考，获得知识的本质理解。 这就是思维是如何产生的过程。 公式点实际上是探究那些概念的几何意义。

二、相关概念的界定和官方评述

为了加深理解，笔者干脆用白话把这些概念写在这里供大家结合理解。

上面讲了，偏导其实就是多元函数的降维下的导数。那么就非常简单了，比如二元函数关于x的偏导，只需要模仿一元函数导数的定义即可。这里把y看成常量。如下：

同理，大家可以得出f关于y的偏导。

比如二元函数f在A点沿一个方向L变化，这条切线L由点A和切线L上另外一点B所确定。其中A(x1,y1)，B(x2,y2)。那么怎么求f沿L的方向导数呢？经过数学家们的论证，有如下公式：

数学家们经过证明，发现函数只要每一个变量都沿着关于这个变量的偏导所指定的方向来变化，函数的整体变化就能达到最快(变化的绝对值最大)。因此函数在A处的梯度为(以三元函数为代表)：

全微分的定义书上有严格的数学语言。这里我就用大白话说简单点。数学家们发现，其实跟一元函数差不多，多元函数从A到B的变化可以用一个线性变化来进行逼近，毕竟非线性的东西太复杂了。只要取的变化区间无穷小，总能找到一个多元的线性函数对这种变化的量进行逼近，而且线性函数的系数不受从A到B的路径选择的影响，只跟变化的量(即\[\Delta x\]或者\[\Delta y\])有关。于是把这个线性函数定义为全微分。之所以称之为全微分，是针对偏微分而言的，偏微分这里不提，有兴趣可以查查。而且数学家还证明了，系数其实就是偏导。

在此提一句，别总是纠结\[\Delta x\]和dx的区别，你可以简单理解为取到无穷小就是dx。

在这里再啰嗦一句。其实大家可以顺着想一想什么是切平面。前面说过A点存在无数条切线，这些切线肯定在同一个平面中，这个面就是在A点的切平面。是不是就很好理解了。

切记，导数和微分的本质含义。

导数，即描述函数在一点处的变化快慢的趋势。

微分，即描述函数在一点处发生一个无穷小区间的变化的量的线性逼近。

相信通过这篇文章，大家对偏导、方向导数、梯度、以及全微分他们之间的区别和联系理解的更加透彻了。

哦，对了，差点把全导数给忘记了。其实全导数本质上就是一元函数的导数。他是针对复合函数而言的定义。比如z=f(x,y)，x=u(t)，y=v(t)。那么z关于t的导数就是全导数。所以我说本质上就是个一元函数的导数，z本质上就是个一元函数。因此全导数没什么好说的。