如图求通解

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不是分基础解系和通解么 这个是哪一个?另一个呢?

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二阶常系数齐次常微分方程,指的就是那些形如y''+py'+qy=0的微分方程

如果是形如y''+py'+qy=f(x)的微分方程,就叫做二阶常系数线性微分方程

顾名思义,就是有二阶导数的微分方程,且p、q是实数

下面给出一道例题,能够更加直观的体现

如图所示,通过这道题我们可以知道很多信息点

其一,这种含有未知函数以及其导数的关系式就是微分方程

其二,这是一个一元函数,所以被称为常微分方程

其三,我来提供一下解答这道题的思路

我们知道,在求二阶常系数齐次常微分方程的时候,往往有这些公式

这里有一个点要解释一下,就是共轭复根,可能有些小伙伴对这个概念不是很理解

共轭复根:指的是两个实部相等,虚部互为相反数的复数根

好,知道这些概念之后我们就可以去做了

如图所示,是我自己写的过程,当时在做的时候,看到这道题我想到了特征方程,但是当求出p^2-4q<0之后我就懵了,咦,这道题好像没根啊,但事实上我错了,这就是基础不牢固的原因,要是基础牢固怎么会犯这样的错误

所以我去查阅资料,然后仔细思考,哦,这道题是微分方程,p^2-4q<0得到的结果就是共轭复根,然后我竟然不清楚共轭复根是什么,再去查,哦,原来共轭复根是这个式子

总的来说,我才发现这道题目真的非常非常基础,不应该卡住的,卡住了只能说明自己的能力不够,不能怪别人,还是要多多努力啊,下面给出完整的解答过程

但是当我完整做完这道题之后,我又产生疑问了

为什么通解中会有cos和sin出现呢

知道r的时候,我们又怎么来解出y的结果呢,原来通解中就用到了r,即

那当它是共轭复根的时候,又是怎么解出cos和sin的

这时我们不得不提到欧拉公式

欧拉公式我这里不多做解释了,给出过程,大家自己理解一下

是不是觉得这样很方便呢

总结一下,我们在做题的时候一定要万分注意,公式公式公式,真的很重要!

有这些公式,能够帮助我们做题事半功倍,前提条件是不要记错!

在记忆的前提下进行理解

好好吃透这些题,再简单的题都有方法,而方法是共同的,与大家共勉,加油努力奋斗!

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本套试卷总计10道题,三角方面有两道题,立几方面有两道题,几何证明方面两道题,复数一道,具体如下图:

第一题,现在仍然是一个考察重点,三角函数弦切互化;
第六题,和差化积公式,这是第一次出现在高考题目中,也代表着和差化积公式会成为一个考点;
第十题,利用轴截面,将立体图形平面化,最后一问是考察函数的最值问题,立几与函数相结合起来。

有训练价值的问题及适用范围

    • 1956年第6题 解方程组

8.已知1、2、3、4、7、9六个数,
(1)可以组成多少没有重复数字的五位数;
(2)其中有多少个是偶数;
(3)其中有多少个是3的倍数。
【解题笔记】简单的排列组合问题,第一问,全排问题;第二问,对特殊位置先考虑;第三问,组成数字之和必须是3的倍数。

    • 1951·全国·5 试题10道,选答8道,则选法有几种?
    • 1960·全国·2 有5组蓝球队,每组6队,首先每组中各队进行单循环赛(每两队赛一次),然后各组冠军再进行单循环赛,问先后比赛多少场?

9.已知与圆相交于、,,,为圆的切线,求证:
【解题笔记】根据题意画图如下:

由切割线定理及题目已知可以推出:,又有对顶角及直角,可以推出结论。

10.半径为1的球内切于圆锥(直圆锥),已知圆锥母线与底面夹角为
(1)求证:圆锥的母线与底面半径的和是
(2)求证:圆锥全面积是
(3)当是什么值时,圆锥的全面积最小?
【解题笔记】(1)根据题意作过球心与圆锥底面的中心作一平面与圆锥和球的截面如图一个轴截面如下:

立体几何问题就转化为平面几何问题,可以知道是一个底角等于的等腰三角形那么,去求解三角形即可;
(2)利用第一问的结果可以求解出;
(3)求解第二问的最值问题,转化为求的最小值,这个直接求分母的最大值即可,这个最值可以利用基本不等式,也可以利用二次函数配方。

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