用通俗语言讲清数学问题一直是我期望的一件事。特别是能让外行能看懂，难度很大。
　　因发表上下标显示不了，n2只能写n的平方。这导致与读者的沟通有些障碍，容易产生误解。
　　而第一次数学危机只涉及勾股定理，初中数学。
　　第二次数学危机涉及微积分；
　　第三次数学危机涉及数理逻辑学、集合论、悖论；
　　第四次数学危机涉及数理逻辑学、悖论、形式数论公理系统、哥德尔不完全性定理、证明论（元数学）。后面三次危机涉及高等数学。
　　没有一定数学基础很难读懂。
　　如果要详细介绍几次数学危机，要很大篇幅。

　　公元前四世纪，哲学的发展给几何学以深刻的影响，特别是柏拉图学派，把形式逻辑的“三段论”思维方法带到几何论证中，使几何学面貌一新，这方面工作最出色的是欧几里得。

　　欧几里得是公元前三世纪人，出生于希腊，其著作《几何原本》共十三卷，几乎涉及了今天中学几何课程的全部内容。他的贡献在于创造性的把前希腊人的几何知识系统地总结出来，构成了一个标准化的演绎体系。牛顿的《自然哲学的数学原理》都采用欧几里得《几何原本》的体例。

　　《几何原本》在西方世界成为仅次于《圣经》而流传最广的书籍。

　　在《几何原本》第一卷中建立了几何学的“公理系统”。该系统由二十三个定义、五条公理和五条“公设”组成。

　　欧几里得的五条公设是：

　　Ⅰ、从任何一点到另一点可以引一条直线。

　　Ⅱ、每条直线都可以无限延长。

　　Ⅲ、以任意点为中心，以任意长为半径可以作圆周。

　　Ⅳ、凡直角都相等。

　　Ⅴ、平面上两直线被一直线所截，若截线一侧的两内角之和小于二直角，则此两线必相交于截线的这一侧。

　　凡不用公设Ⅴ就能证明的命题称为绝对几何命题。人们一直企图证明第五公设可化为绝对几何定理，两千多年证明的失败，表明第五公设可能是独立的命题。

　　@李子ljb 如果要详细介绍几次数学危机，要很大篇幅。 我尽力吧。

　　欢迎开个这样的专贴，标题搞个贴切的，系统的阐述一下这类论题吧！

　　欧几里得几何学是数学第一次危机的产物。尽管它存在一些缺点和不足，但在两千多年的时间里一直被公认是反映物质世界的正确理论。

　　既然欧几里得几何学是唯一的、必然的、完美的，大家都希望欧几里得几何学的公理、公设简单明白、直截了当。

　　用现在的话说是选择公理系统的公理、公设，应该通过我们的直觉即可直接判断公理、公设为真。

　　也可以说公理、公设应该显然符合实际，即显然为真，然而欧几里得几何学的第五个公设并不显然为真，更象一条定理，人们一直企图证明第五公设可化为绝对几何定理，两千多年证明的失败，表明第五公设也许不可能获得证明。数学家高斯已经看到了这一点。

　　俄国的罗巴切夫斯基1929年发表了“关于几何原理的推论”，创立了“罗氏几何”。他以罗氏平行公理取代了欧几里得几何学第五公设。

　　罗氏平行公理：过已知直线外一点至少可以作两条直线与已知直线不相交。

　　关于非欧几何学，1923年有一个年仅21岁的青年J·波约伊以附录的方式发表过，并给高斯看过。而高斯也有相同的研究，没予发表。

　　罗氏平行公理与欧几里得几何学第五个公设是矛盾的，然而这种替换后诞生了新的数学理论罗氏几何学。并且罗氏几何学的无矛盾性可隐含地变成欧几里得几何学的无矛盾性。即如果欧几里得几何学无矛盾，则必可证罗氏几何学无矛盾。

　　通过“模型”证明非欧几何学的相对无矛盾的方法，导致了另一非欧几何学的诞生，即黎曼（B.Riemann，）创立了椭圆几何学。

　　这三个几何学并不相容，其定理互相矛盾。

　　三个公理系统是相对无矛盾的。即每个几何学的公理系统要么都不存在逻辑矛盾，要么都存在逻辑矛盾。

　　楼上说的没错，欧氏几何可判断其来源为感性经验。
　　非欧几何的来源是欧氏几何学，其来源不能说是感性经验。
　　而爱因斯坦将黎曼几何学运用于广义相对论，并成功预言了光线在月亮旁发生弯曲，被科学家实践所证实。
　　大家都相信欧氏几何是真理，而黎曼通过模型论证明非欧几何学相对欧氏几何学是一致的。
　　这样黎曼几何学被大家所接受。
　　尽管如此，也有部分顶尖学者至死都不认可非欧几何学，如高斯、弗雷格等。

　　我也闲着没事在看《数学史概论》、看到牛顿和莱布尼茨掐架就看不深透了。现在最疑惑的是统计理论、有预测的概率论。它们都是以小见大、据往测未的神术，迷惑…

　　由欧几里得几何学可得到定理p：“三角形内角之和为180度”。
　　由罗氏几何可得到定理q：“三角形内角之和小于180度”。

　　由黎曼几何学可得到定理r：“三角形内角之和大于180度”。

　　其中黎曼几何学是爱因斯坦广义相对论的基础。

　　欧几里得几何学是否存在逻辑矛盾？关于这点涉及到欧几里得几何学的生存，如果欧几里得几何学产生逻辑矛盾，则数学又面临危机了。然而到目前为止，欧几里得几何学的不矛盾性并未得到直接的证明，只有相对不矛盾的证明。

　　非欧几何学的不矛盾性是通过模型证明了非欧几何学的不矛盾性可归结为欧几里得几何学的不矛盾性。即如果欧几里得几何学是不矛盾的，则必可证非欧几何学是不矛盾的。

　　意大利数学家贝特拉米（E.Beltrami，）于1869年提出的常负曲率曲面模型（非欧几何学的欧氏模型），德国数学家克莱因（F.Klein，）于1871年提出的射影平面模型和彭加勒在1882年提出的用自守函数解释的单位圆内部模型。这些模型的确证明了非欧几何学的相对不矛盾性。

　　牛顿和莱布尼兹被公认为微积分的奠基人。由于其运算的完整性和应用范围的广泛性，使微积分成为解决问题的重要工具，同时关于微积分基础的问题也越来越严重。

　　在微分法和求导数的过程中，无穷小量究竟是不是零，引起了极大的争论。

　　以求速度为例，瞬时速度是△s/△t，当△t变成零时的值。△t既等于零又不等于零。

　　这种包含逻辑矛盾的无穷小量，从一发表就一直遭到一些人的批判和攻击。特别有名的是贝克莱主教（G.Berkeley，）在1734年的攻击。

　　这些攻击笔者认为很正常，是一种学术辩论，也是辩论各方公开的逻辑论证。因为微积分的基础确实不严密，△t既等于零又不等于零,显然存在逻辑矛盾,它关系到微积分的生存。

　　到了十九世纪二十年代，由波尔查诺B.Bolano、阿贝尔N.Abel、柯西A.Cauchy及狄里赫利P.G.Dirichlet等人的工作，将微积分严格地建立在极限的基础上，才克服了第二次数学危机。

　　如果要想把这四次数学危机的根源和来龙去脉都讲解清楚，估计至少是数学博士水平了。楼主还需要加油努力啊！

　　第一次危机的解决还没讲完呢，怎么就跳到第二次危机了？？？第一次危机的解决是由引入无理数这个新概念来解决的。有理数无法满足勾股定理，故而必然出现无理数的添加，增大数的范围，才解决第一次的数学危机。这个和黎曼几何没有什么关系啊。

　　楼上说的不错，第一次危机的解决是由引入无理数这个新概念来解决的。有理数无法满足勾股定理，故而必然出现无理数的添加，增大数的范围，才解决第一次的数学危机。这是后面的改进。
　　第一次数学危机的产物是欧几里得几何学理论的诞生。它是有史以来第一次总结古希腊人的数学知识，构建一个标准化演绎体系，欧几里得几何公理系统。
　　对欧几里得几何第五公设的证明，导致了非欧几何学的诞生。黎曼几何学是其中的一种。

　　任何一个公理系统都存在三个基本性质。
　　一、公理系统的不矛盾性。所谓公理系统的不矛盾性是指该系统不会出现即可证定理p，又可证其否定命题﹃p。

　　二、公理系统的独立性。即指公理系统的某公理能否被其它公理所证明，可证则该公理不独立，否则该公理独立。因此一个公理系统一般会选独立的命题作公理。但公理是否独立，不会改变该公理系统的不矛盾性、完备性和其它性质。

　　三、公理系统的完备性。所谓公理系统的完备性是指在本系统为真的命题能否被本系统所证明。能证明则系统完备，不能证明则系统不完备。

　　目前，数学最严格的要求是系统的不矛盾性。一旦系统出现矛盾，数学危机就会出现。

　　数学上已发生过三次数学危机。

　　第一次数学危机是发现了一些直角三角形的三边不能用整数或整数之比来表达，由此导致古典逻辑与欧几里得几何学的发展。

　　第二次数学危机是无穷小量是不是零的争论，导致了集合论的诞生，并把数学分析的无矛盾性问题化归为实数论的无矛盾性问题。

　　第三次数学危机是1901年6月罗素在集合论发现了“悖论”，并且一连串的集合论的悖论出现，动摇了整个数学的基础，使数学家们不得不修改数学理论，希望将悖论彻底排除。

　　数学的三次危机都与逻辑矛盾有关。一个数学理论不存在逻辑矛盾是判定该理论为数学真理的唯一标准。

　　数学家以不存在逻辑矛盾作为判定数学真理的唯一标准。这种方法作否定标准是可行的。

　　因为一个系统若存在逻辑矛盾，则会出现即可证定理p，又可证其否定命题﹃p。如果定理p符合事实，是真命题，则命题﹃p必然与事实不符，﹃p必假。而假命题不是真理。

　　关于一致性应该大部人很清楚，即指一个理论，既能证明p，又能证明﹃p。
　　关于完备性可以简单理解为，在公理系统k内，存在k系统合式公式（命题）p与﹃p均不可证。
　　关于辩证逻辑不能说比形式逻辑全面。
　　辩证逻辑是一种动态逻辑，是用发展、变化的眼光看待事物。是二种不同的逻辑，尽管如此，辩证逻辑也要遵守形式逻辑的规律。

　　关于一致性应该大部人很清楚，即指一个理论，既能证明p，又能证明﹃p。
　　更正为；关于一致性应该大部人很清楚，即指一个理论，不能既可证明p又能证明﹃p。

　　楼上对哥德尔不完全性定理有误解。

　　“哥德尔定理就指出了形式化数学本身存在矛盾，是p与﹃p之间的矛盾。也就是有了﹃p以后就没有了完备性，﹃p是一种可能”

　　哥德尔第一不完全性定理：如果形式数论公理系统N是一致的，则存在数论命题g在N内不可证，并且﹃g不可证。而若扩充g为N的公理，在新系统：N＋g内，依然存在不可证命题g’。哥德尔用对角线法证明了，永远存在无法弥补的漏洞，即形式数论公理系统若是一致的，则一定不完备。

　　哥德尔并没有证明：形式化数学本身存在矛盾。

　　形式逻辑并没有包含﹃p，所以，就不具有完备性。
　　在形式逻辑有p ，非p（﹃p），还有5个真值表都有﹃p。

　　这样的观点不要发表出来啦。

　　形式化数学没有包含无穷。这也是错误的。
　　所有自然数的集合，包含无穷了吧？这是集合论的内容。
　　罗素的类型论及谓词演算中的量词所有（将A倒过来）就包含无穷。

　　数学的相对不矛盾性与数学危机

　　欧几里得几何学是否存在逻辑矛盾？关于这点涉及到欧几里得几何学的生存，如果欧几里得几何学产生逻辑矛盾，则数学又面临危机了。然而到目前为止，欧几里得几何学的不矛盾性并未得到直接的证明，只有相对不矛盾的证明。

　　非欧几何学的不矛盾性是通过模型证明了非欧几何学的不矛盾性可归结为欧几里得几何学的不矛盾性。即如果欧几里得几何学是不矛盾的，则必可证非欧几何学是不矛盾的。

　　意大利数学家贝特拉米（E.Beltrami，）于1869年提出的常负曲率曲面模型（非欧几何学的欧氏模型），德国数学家克莱因（F.Klein，）于1871年提出的射影平面模型和彭加勒在1882年提出的用自守函数解释的单位圆内部模型。这些模型的确证明了非欧几何学的相对不矛盾性。

　　李子三十几个几何学的不矛盾性是通过欧几里得几何学的不矛盾性和其公设的独立性而获得了相对不矛盾性的证明。

　　数学家们认为只要某公理系统的本系统不矛盾，则可以认可。因数学家们相信欧几里得几何学是不矛盾的，所以非欧几何学在十九世纪八十年代被大部分数学家所接受。

　　希尔伯特的《几何学基础》的出版，标志着数学公理化新时期的到来。希尔伯特把几何学公理的无矛盾性变成了实数算术的无矛盾性。

　　戴德金、康托尔进一步把实数算术的无矛盾性归结成自然数论的无矛盾性。

　　弗雷格和戴德金又把自然数论的无矛盾性归结为逻辑与集合论，这样一来，逻辑与集合论成为了整个数学的基础。

　　罗素在集合论发现了罗素悖论，震动了整个数学界，第三次数学危机由此引发。

　　数学啊, 现在发展还行吧, 主要是计算机方面应用很大!

　　十九世纪七十年代数学家康托尔创立的集合论是现代数学的基础，也是第三次数学危机的直接来源。

　　1901年6月，罗素在集合论发现了“悖论”。悖论的出现动摇了整个数学的基础，数学面临第三次数学危机。

　　什么是悖论？悖论p是一种矛盾命题。它存在以下逻辑关系：

　　如果命题p是悖论，则p→┓p，并且┓p→p。

　　古老的悖论是说谎者悖论。

　　命题p：“本命题是假的”

　　若p为真，则p应该与事实相符，而p的内容是p是假的，由此可得p为假。

　　如果p是假的，而命题p的内容表明自己是假的，则命题p的内容与事实完全相符，命题p是真话，应该是真命题。

　　命题p究竟为真还是为假呢？

　　一个集r，它由下述条件定义出：

　　对于任一x而言，x∈r，当且仅当x不∈x。

　　用r替换x后可得：

　　r∈r，当且仅当r不∈r。

　　用自然语言简述一下这个悖论A：所有不属于自己集合的集合。

　　如果A属于A，则A是A的元素，而A的元素性质是不属于自己，产生矛盾，因此A不属于A。

　　如果A不属于A，则因A是所有不属于自己集合的集合。

　　现问：A属于A，还是不属于A？

　　罗素悖论简单明了，震惊整个数学界，造成了第三次数学危机。

　　罗素一直都在努力消除数学中存在的悖论，罗素与和怀特海的《数学原理》也引起一些争论，但到目前为止还没有更好的数学理论能象《数学原理》由简单的几个公理，可推出数论的大部分定理。

　　哥德尔不完全性定理不仅表明《数学原理》不可能推出数论的所有真命题，但也表明对所有的数学理论，只要包含初等形式数论系统，哥德尔不完全性定理都成立。

　　目前没有任何一个数学理论能推出数论的所有真命题。《数学原理》依然是数学的基础。

　　1935年起甘岑等人用新方法去证明数论的一致性，到1936年给出了证明。1940年阿克曼给出了另一个证明。1958年哥德尔用自然数域上有穷类型的可计算函数对自然数论的一致性给出了另一个证明。至此，数论的一致性（不矛盾性）已经得到了严格的证明，数学似乎已彻底的解决了矛盾问题。

　　然而李子说数学矛盾还未彻底解决，在罗素的《数学原理》的形式数论系统存在逻辑矛盾和逻辑悖论，并且任何包含初等形式数论系统的理论都是不一致的。

　　数学面临第四次危机！

　　(请阅后续文章《第四次数学危机》)

　　十九世纪七十年代数学家康托尔创立的集合论是现代数学的基础，也是第三次数学危机的直接来源。

　　1901年6月，罗素在集合论发现了“悖论”。悖论的出现动摇了整个数学的基础，数学面临第三次数学危机。

　　什么是悖论？悖论p是一种矛盾命题。它存在以下逻辑关系：

　　如果命题p是悖论，则p→┓p，并且┓p→p。

　　古老的悖论是说谎者悖论。

　　命题p：“本命题是假的”

　　若p为真，则p应该与事实相符，而p的内容是p是假的，由此可得p为假。

　　如果p是假的，而命题p的内容表明自己是假的，则命题p的内容与事实完全相符，命题p是真话，应该是真命题。

　　命题p究竟为真还是为假呢？

　　一个集r，它由下述条件定义出：

　　对于任一x而言，x∈r，当且仅当x不∈x。

　　用r替换x后可得：

　　r∈r，当且仅当r不∈r。

　　用自然语言简述一下这个悖论A：所有不属于自己集合的集合。

　　如果A属于A，则A是A的元素，而A的元素性质是不属于自己，产生矛盾，因此A不属于A。

　　如果A不属于A，则因A是所有不属于自己集合的集合。

　　现问：A属于A，还是不属于A？

　　罗素悖论简单明了，震惊整个数学界，造成了第三次数学危机。

　　罗素一直都在努力消除数学中存在的悖论，罗素与和怀特海的《数学原理》也引起一些争论，但到目前为止还没有更好的数学理论能象《数学原理》由简单的几个公理，可推出数论的大部分定理。

　　哥德尔不完全性定理不仅表明《数学原理》不可能推出数论的所有真命题，但也表明对所有的数学理论，只要包含初等形式数论系统，哥德尔不完全性定理都成立。

　　目前没有任何一个数学理论能推出数论的所有真命题。《数学原理》依然是数学的基础。

　　1935年起甘岑等人用新方法去证明数论的一致性，到1936年给出了证明。1940年阿克曼给出了另一个证明。1958年哥德尔用自然数域上有穷类型的可计算函数对自然数论的一致性给出了另一个证明。至此，数论的一致性（不矛盾性）已经得到了严格的证明，数学似乎已彻底的解决了矛盾问题。

　　然而李子说数学矛盾还未彻底解决，在罗素的《数学原理》的形式数论系统存在逻辑矛盾和逻辑悖论，并且任何包含初等形式数论系统的理论都是不一致的。

　　数学面临第四次危机！

　　(请阅后续文章《第四次数学危机》)

　　这是一个很有趣的问题。我已找到了问题所在，暂不发表，考考网友，为什么会多出一个面积呢？

　　明天告诉你答案。给你一天思考时间，错在哪里呢？

　　老马公布答案了。问题就在斜边不是直线。

　　可进行下面的证明：
　　在图中有一个红色三角形和绿色三角形。
　　如果大三角形的斜边是直线，则根据欧几里得几何学可得：同位角相等。由此可得：红色三角形和绿色三角形的左边的尖角相等。
　　根据正切函数的关系：
　　tg＠=对边÷邻直角边

　　设小长方形高为a，底边为b，则

　　绿色三角形的左边的尖角tg＠=2a÷5b
　　红色三角形的左边的尖角tg＠=3a÷8b

　　二者不相等，角度不等，则大三角形的斜边不是直线。

　　对问题进行研究，才能发现真理。

　　不要迷信权威和书本。

　　侞利略发现钟摆规律就是根据现场观察发现：钟摆规律的事实与书本权威观点不同，提出了新的符合事实的钟摆规律新观点。

　　本人比不了侞利略，但研究都是一样的，那就是发现问题，穷追不舍。

　　哥德尔的第一不完全性定理

　　1931年哥德尔证明了著名的第一不完全性定理，可称之为数理逻辑最重大的成就之一。哥德尔证明了下一个逻辑蕴涵命题为真命题：

　　一个包含初等数论的形式系统N，如果N是一致的，则N是不完备的。

　　哥德尔十分巧妙而严格地证明了第一不完全性定理。

　　首先他将罗素《数学原理》的形式数论公理系统的符号、公式、证明序列都给予唯一的自然数编码（哥德尔数），其次十分巧妙地构造了形式数论符号命题g：“我不可证”，最后进行了严格的证明。

　　哥德尔第一不完全性定理证明了：包含初等形式数论系统的N系统，如果N一致，则存在不可证数论符号命题g，g用自然语言表达即为：“我在本系统不可证”。

　　哥德尔证明了：如果N一致，则g不可证。如果N是w一致的，则? g不可证。并证明了用扩充公理g的办法，在新系统N+g系统依然存在新系统不可证数论符号命题g’。 g’用自然语言表达即为：“我在本系统不可证”。即g’为：“我在N+g系统不可证”。他用对角线法证明了N存在永远无法弥补的漏洞，即N不完备。即无论怎样扩充公理，都存在本系统不可证的数论符号命题。

　　有数学家进一步证明了如果N一致，则g与? g均不可证。

　　哥德尔的第一不完全性定理

　　1931年哥德尔证明了著名的第一不完全性定理，可称之为数理逻辑最重大的成就之一。哥德尔证明了下一个逻辑蕴涵命题为真命题：

　　一个包含初等数论的形式系统N，如果N是一致的，则N是不完备的。

　　哥德尔十分巧妙而严格地证明了第一不完全性定理。

　　首先他将罗素《数学原理》的形式数论公理系统的符号、公式、证明序列都给予唯一的自然数编码（哥德尔数），其次十分巧妙地构造了形式数论符号命题g：“我不可证”，最后进行了严格的证明。

　　哥德尔第一不完全性定理证明了：包含初等形式数论系统的N系统，如果N一致，则存在不可证数论符号命题g，g用自然语言表达即为：“我在本系统不可证”。

　　哥德尔证明了：如果N一致，则g不可证。如果N是w一致的，则? g不可证。并证明了用扩充公理g的办法，在新系统N+g系统依然存在新系统不可证数论符号命题g’。 g’用自然语言表达即为：“我在本系统不可证”。即g’为：“我在N+g系统不可证”。他用对角线法证明了N存在永远无法弥补的漏洞，即N不完备。即无论怎样扩充公理，都存在本系统不可证的数论符号命题。

　　有数学家进一步证明了如果N一致，则g与? g均不可证。

　　哥德尔的第一不完全性定理

　　1931年哥德尔证明了著名的第一不完全性定理，可称之为数理逻辑最重大的成就之一。哥德尔证明了下一个逻辑蕴涵命题为真命题：

　　一个包含初等数论的形式系统N，如果N是一致的，则N是不完备的。

　　哥德尔十分巧妙而严格地证明了第一不完全性定理。

　　首先他将罗素《数学原理》的形式数论公理系统的符号、公式、证明序列都给予唯一的自然数编码（哥德尔数），其次十分巧妙地构造了形式数论符号命题g：“我不可证”，最后进行了严格的证明。

　　哥德尔第一不完全性定理证明了：包含初等形式数论系统的N系统，如果N一致，则存在不可证数论符号命题g，g用自然语言表达即为：“我在本系统不可证”。

　　哥德尔证明了：如果N一致，则g不可证。如果N是w一致的，则? g不可证。并证明了用扩充公理g的办法，在新系统N+g系统依然存在新系统不可证数论符号命题g’。 g’用自然语言表达即为：“我在本系统不可证”。即g’为：“我在N+g系统不可证”。他用对角线法证明了N存在永远无法弥补的漏洞，即N不完备。即无论怎样扩充公理，都存在本系统不可证的数论符号命题。

　　有数学家进一步证明了如果N一致，则g与? g均不可证。

　　有数学家进一步证明了如果N一致，则g与? g均不可证。

　　在数学中，公理是可以随意设立的。在哥德尔的第一不完全性定理中，只要包含N，就一定存在不可证数论命题。现令某数论命题T作为公理扩充给N，组成新的系统N＋T。

　　根据哥德尔第一不完全性定理，则新系统N＋T 内必存在不可证命题g’。现令T = g’，即两命题符号串完全相同，即哥德尔数相同，请问N还一致吗？

　　一方面新系统N+T一定可以表达g’，如果不能表达，则哥德尔第一不完全性定理不能成立。因哥德尔用扩充N公理系统g的办法组建新的公理系统可以表达本系统不可证的命题，故用扩充N公理系统的数论命题T的办法组建新的公理系统必然可以表达g’。

　　另一方面g’和? g’在N系统均不可证，因若可证，则新系统与N系统为同一系统。而新系统必可证g’，并且可证? g’，新系统是矛盾的。因此若N一致，则g’和? g’在N系统均不可证。

　　因g’和? g’在N系统均不可证，且新系统是由N一致的扩充而来，所以N+T不一致，则N不一致。

　　可能有人说T不能扩充给N，这是没道理的。

　　一是T（g’）是数论符号命题是存在的，只要N扩充任一公理，该新系统就会有不可证数论符号命题g’，否则，哥德尔第一不完全性定理不能成立。

　　二是扩充公理并没有限定条件。即没有规定哪个命题可以作公理，哪个命题不能作公理。

　　还可以设计一个数论命题，用自然语言表达为k：我在所有系统不可证。k就是一个数论悖论。一方面它确实不可证，另一方面又不能扩充为公理。

　　三、实质蕴涵存在悖论

　　设计一个实质蕰涵命题A，A：（P→P）→ ? A

　　（P→P）是永真式，其值恒真。

　　根据五个真值表：如果A真，则? A假，则实质蕰涵命题：【（P→P）→ ? A】为假，即A假。

　　如果A假，则? A真， 根据五个真值表可得：【（P→P）→ ? A】为真。

　　A构成了一个悖论。

　　（P∧ ? P）是永假式，其值恒假。

　　如果B真，则? B假，根据五个真值表可得：【（P∧ ? P）∨ ? B】为假。

　　如果B假，则? B真， 根据五个真值表可得：：【（P∧ ? P）∨ ? B】为真。

　　B也构成了一个悖论。

　　[size=+0]罗素和怀特海的形式数论系统N，存在悖论，数学开始面临第四次数学危机。

　　所有？为非，即？p为“非p”。复制时发生变异。

　　设计一个实质蕰涵命题a，a：（p→p）→ ﹃ a

　　（p→p）是永真式，其值恒真。

　　根据五个真值表：如果a真，则﹃ a假，则实质蕰涵命题：【（p→p）→ ﹃ a】为假，即a假。

　　如果a假，则﹃ a真，根据五个真值表可得：【（p→p）→ ﹃ a】为真,即a真。

　　a构成了一个悖论。

　　命题b：（p∧ ﹃ p）∨ ﹃ b

　　（p∧ ﹃ p）是永假式，其值恒假。

　　如果b真，则﹃ b假，根据五个真值表可得：【（p∧ ﹃ p）∨ ﹃ b】为假,即b假.

　　如果b假，则﹃ b真， 根据五个真值表可得：：【（p∧ ﹃ p）∨ ﹃ b】为真,即b真。

　　b也构成了一个悖论。

　　命题c：（p→p）∧ ﹃ c

　　（p→p）是永真式，其值恒真。

　　根据五个真值表：如果c真，则﹃ c假，则命题：【（p→p）∧﹃ c】为假，即c假。

　　如果c假，则﹃ c真，根据五个真值表可得：【（p→p）∧ ﹃ c】为真,即c真。

　　c构成了一个悖论。

　　命题d，d：（p→p）? ﹃ d

　　（p→p）是永真式，其值恒真。

　　根据五个真值表：如果d真，则﹃ d假，则等值命题：【（p→p）? ﹃ d】为假，即d假。

　　如果d假，则﹃ d真，根据五个真值表可得：【（p→p）?﹃ d】为真,即d真。

　　d构成了一个悖论。

　　[size=+0]罗素和怀特海的形式数论系统N，存在悖论，数学开始面临第四次数学危机。

　　数学的新危机 (2)

　　李子在《第四次数学危机》一文中已证明，任何包含罗素和怀特海的形式数论公理系统的理论都存在逻辑矛盾，是不一致的，并给出了六个悖论。

　　悖论1：令T = g’，即两命题符号串完全相同，即哥德尔数相同，导致形式数论公理系统不一致。

　　悖论2：设计一个数论命题，用自然语言表达为k：我在所有系统不可证。k就是一个数论悖论。一方面它确实不可证，存在一致的扩充，可扩充为公理；另一方面扩充为公理后会导致矛盾，又不能扩充为公理。

　　悖论3：实质蕰涵命题a：（p→p）→ ﹃a。

　　悖论4：命题b：（p∧ ﹃ p）∨ ﹃ b。

　　悖论5：命题c：（p→p）∧ ﹃ c

　　悖论6：命题d，d：（p→p）? ﹃ d

　　其中悖论1、悖论2仅为罗素和怀特海的形式数论公理系统的悖论，而悖论3、悖论4、悖论5、悖论6涉及所有包含命题演算公理系统的理论，如谓词演算公理系统，悖论4、悖论5涉及到布尔代数。

　　问题还不仅如此，悖论3、悖论4、悖论5、悖论6表明以任何一个命题代入其中，都会构成悖论。

　　如将任意一个命题﹃p、p∨q、p∧q、﹃p∨q、﹃p∨﹃q、……代入悖论3、悖论4、悖论5、悖论6的p，就会产生无数个悖论。

　　而若将任意一个永真式（如：﹃p∨p、p→﹃﹃p……）替换悖论3、悖论5、悖论6中的（p→p），也会产生无数个悖论。

　　若将任意一个永假式替换悖论4中的（p∧﹃p），同样会产生无数个悖论。

　　这些悖论的大量存在对数学理论的影响是相当大的,几乎是一个灾难.它标志着一切以命题演算公理系统为基础的数学理论包括罗素和怀特海的形式数论公理系统理论陷入了严重的危机之中……

　　数学面临第四次危机！

　　两位网友发表了有意思的观点，我不是哲学家，不评价对错。

　　爱因斯坦曾想建立统一场论，即将物理学的所有场统一为一个场，他奋斗了一辈子也未实现目标。

　　罗素的《数学原理》企图包括数学全部内容，也被哥德尔第一不完全性定理证明为不可能。

　　建立完备的理论是科学家们奋斗的一个目标。

　　哥德尔不完备性定理的一个有趣例子是：逻辑不能自我证明。

　　统一场论不能解释统一场论本身，所以不可能是真正的统一。

　　罗素的形式数论公理系统存在悖论，导致数学出现第四次危机。这一危机还没讲完，后面还有更多的数论问题要讲。

　　现在先谈几何学的问题。

　　几何学的真假(1)

　　公元前三世纪，希腊人欧几里得发表了著作《几何原本》共十三卷。在第一卷中建立了几何学的“公理系统”。该系统由23个定义、5条公理和5个“公设”组成。

　　欧几里得的五个公设是：

　　1.从任何一点到另一点可以引一条直线。

　　2.每条直线都可以无限延长。

　　3.以任意点为中心，以任意长为半径可以作圆周。

　　4.凡直角都相等。

　　5.平面上两直线被一直线所截，若截线一侧的两内角之和小于二直角，则此两线必相交于截线的这一侧。

　　人们一直企图用前4公设来证明第五公设，两千多年的证明均失败，表明第五公设是独立的命题。

　　1929年俄国的罗巴切夫斯基发表了“关于几何原理的推论”，创立了“罗氏几何”。他以罗氏平行公理取代了欧几里得几何学第五公设。

　　罗氏平行公理：过已知直线一点至少可以两条直线与已知直线不相交。

　　罗氏几何称为非欧几何学。此外非欧几何学还有黎曼几何学。

　　由欧几里得几何学可得到定理p：“三角形内角之和为180度”。

　　由罗氏几何可得到定理q：“三角形内角之和小于180度”。

　　由黎曼几何学可得到定理r：“三角形内角之和大于180度”。

　　三种几何学有不同的结论，请问到底谁为真，谁为假？还是都真？

　　李子证明：三种几何学不可能都是真理。证明如下：用反证法。

　　先证逻辑蕴涵命题s：“如果三角形内角之和为180度，则并非三角形内角之和小于180度”是真命题。

　　设命题p：“三角形内角之和为180度”为真，则依据判定法则三可得三角形内角之和为180度必符合事实，由此可得“并非三角形内角之和小于180度”符合事实，依据判定法则一可得命题（﹃q）：“并非三角形内角之和小于180度”为真。由逻辑蕴涵命题证明方法可得命题s：“如果三角形内角之和为180度，则并非三角形内角之和小于180度”是真命题。

　　若欧几里得几何学是真理，则其定理p：“三角形内角之和为180度”是真命题。因已证命题s：“如果三角形内角之和为180度，则并非三角形内角之和小于180度”是真命题，则可得“并非三角形内角之和小于180度”是真命题。即罗氏几何与事实不符，其定理q：“三角形内角之和小于180度”是假命题。

　　可以实际测量任一个三角形的内角之和，如果该“ 三角形之和大于180度”符合测量事实，则“三角形之和为180度”必然与事实不符，是假命题，并且，“三角形之和小于180度”也与事实不符，也是假命题。

　　因此，三种几何学不可能都是真理，必有二假。

　　黎曼认为：欧几里得几何学平面曲率为0,黎曼几何学曲面曲率大于0，罗氏几何学曲面曲率小于0。

　　正如楼上认为的一样，这三种几何共同构成了几何，就像一条数轴是由正数，负数与零构成的一样。

　　后面将发表六篇文章，证明这种观点不可能成立。

　　几何学的真假(2)

　　德国著名数学家高斯早罗氏二十年就发现了非欧几何学，但他到去世也未公开发表。有人说高斯在“真理”面前畏缩不前，李子不认同。高斯是论证严谨的数学家，真理是不可能矛盾的。
　　数学家们以一个公理系统是否矛盾来确认真理，而不是以理论是否符合事实来确认真理。如欧氏几何学不矛盾，罗氏几何不矛盾，黎曼几何学不矛盾，因此都是真理。这种方法并不科学。

　　如果欧几里得几何学五条公设都是独立的，我们可以将这五条公设及其否定命题组成三十二个以上不矛盾且互不相同的公理系统和几何学。证明如下：

　　设欧氏几何学五条公设为A、B、C、D、E。

　　则罗氏几何学公理为：A、B、C、D、﹃E。

　　可另创建不同几何公理系统为：

　　1、﹃A、B、C、D、E。

　　2、﹃A、B、C、D、﹃E

　　3、﹃A、﹃B、C、D、E

　　4、﹃A、﹃B、C、D、﹃E

　　5、﹃A、﹃B、﹃C、D、E

　　6、﹃A、﹃B、﹃C、D、﹃E

　　7、A、B、C、﹃D、E

　　8、A、﹃B、C、D、E

　　以上几何学都不会矛盾。否则五条公设A、B、C、D、E不独立或矛盾。 证明如下：

　　以1、﹃A、B、C、D、E公理系统为例，若该系统矛盾，则必有定理p和定理﹃p。

　　设p是由公理﹃A所证，则有（﹃A）→p，因此必有（﹃p）→A。

　　设定理﹃p是由B、C、D、E中的公理所证，则由定理﹃p和定理（﹃p）→A可得定理A。

　　A由B、C、D、E中的公理所证，则A不独立。

　　选择公理不同，对应不同的几何学。这里有三十二种几何学，欧几里得几何学、黎曼几何学只是其中的一种。何止三种几何！如果用互斥命题作公理，则会产生更多新几何学。

　　请问哪个几何学是正确的？哪个是错误的？理由是什么？

　　黎曼几何学是选择了不同于欧几里得几何学第五公设的否定互斥命题选作了公理，并且用了2个绝对几何学的否定互斥命题替换了欧几里得几何学的2个公理，组成了黎曼几何学。因此黎曼几何学只是三十二种几何学中的一种。

　　有人认为欧几里得几何学是黎曼几何学中的一个曲率为0的特例。在罗氏几何学中只选择了否定互斥命题替换了欧几里得几何学的第五公设，而在三十二种几何学中，不仅有用互斥命题替换了欧几里得几何学的第五公设的公理系统，还有与黎曼几何学的公理全部矛盾的互斥命题的公理系统A。

　　对于这些公理系统相对欧几里得几何学也是不矛盾的，但其平面的曲率没有这个概念，如与黎曼几何学的公理全部矛盾的互斥命题的公理系统A的平面的曲率是多少？

　　理解了楼上的意思。

　　不同几何学中的几何图形一样是不同的，他们不会同时符合俩个或两个以上的几何学。这当然是对的。

　　如果同时符合俩个或两个以上的几何学，必然会导致逻辑矛盾。

　　如要求几何学完备，则需将欧几里得几何学和罗氏几何学、黎曼几何学合并组成一个几何学，这必然会产生逻辑矛盾。

　　当然，如果用不同的平面（曲面），曲率不同，对应的几何学不同，确实可以将不同的几何学分离，并且不再产生平面上的矛盾。

　　但是，如果在现实的三维空间，如在一个半径R=1米的标准圆球上（即由空间某固定点，用固定长划圆球），在球面上取三点，用最短的线相连，测量三角形内角之和就只会有一个答案。
　　该球面的曲率由欧几里得立体几何学可得为1÷R，而由黎曼几何学可得大于1÷R。因为在二维平面欧几里得几何学平面曲率为0，黎曼几何学平面曲率大于0。

　　三角形内角之和答案是什么呢？

　　你我对几何学的理解存在不同。

　　平面的几何学和三维立体几何学是完全不同的。

　　对于现实三维空间曲面上的“三角形内角之和”，不能用欧几里得平面几何学来证明，而要用欧几里得立体几何学来证明。

　　黎曼几何学也只有与欧几里得立体几何学证明的结果来进行比较，谁更加符合测量事实，即曲面上的“三角形内角之和”具体数值是多少，而不是一个不确定的大于180度。

　　我们生活在三维空间，而欧几里得平面几何学与黎曼几何学都是二维几何学。

　　如果在现实世界里测量任意一个三角形的内角之和，会面临用二维数学工具来度量三维空间的问题，这显然是不合适的。

　　那么为什么数学家们不用欧几里得立体几何学来处理三维空间的问题而偏要用黎曼几何学来处理呢？如广义相对论为何不用欧几里得立体几何学而用黎曼几何学呢？

　　在处理三维空间的问题上，欧几里得立体几何学比黎曼几何学更具体、更确定，也与事实更加符合。

　　如制造一个半径R=1米的标准圆球，在球的表面上确定三个点，在球面上用最短的线连接三点构成三角形，由欧几里得立体几何学可以得到该球曲面的曲率、体积、表面积、连接三点“直线”的弧长，这些结果可以进行实际的测量、验证，而用黎曼几何、包括黎曼立体几何会得到与这些有确定值的否定结果。

　　如半径R=1米的标准圆球，该球曲面的曲率由欧几里得立体几何学可得等于1÷R，而用黎曼几何得到的该球曲面的曲率为大于1÷R，二者并不相同。这是因为欧几里得平面几何学的平面曲率等于0，黎曼几何的平面曲率大于0，并且具体数字不确定，即不能确定为0。1或0。15…。

　　用欧几里得平面几何学来证明在曲率大于0的曲面上的三角形的内角之和，显然是一个错误，应该用欧几里得立体几何学来证明。

　　以该球表面上任意一点为定点，以一直线的端点固定在此定点，在曲面上旋转一周，定义为360度，然后以此度量在该球曲面上的三角形的内角之和，必有测量结果，但并不能确定大于180度。既使有测量结果大于180度，也必定有一个确定的数值如180。25度，不会是模糊的数值大于180度。为什么不是大于180。2度呢？

　　如果用欧几里得立体几何学度量在该球曲面上的三角形的内角之和依然为180度，则用黎曼几何还是可得大于180度的结果，因为二者认定半径R=1米的标准圆球，该球曲面的曲率并不相等。

　　最后还是要靠实际的测量，以测量的事实告诉我们究竟是欧几里得几何学还是黎曼几何学是真理。但不管结果怎样，我们可以肯定一点的是：二种几何学至少有一个是谬论，即必然有一个与测量的事实不相符，而不可能都是真理。

　　有一个实验是可以做的：用欧几里得立体几何学可计算半径R=1米的标准圆球的体积、表面积，而用黎曼几何计算半径R=1米的标准圆球的体积、表面积结果并不相等，可进行实际的测量。如将此球沉入水中，排出去水的体积即为半径R=1米的标准圆球的体积，事实可以告诉我们正确答案。

　　没关系，我的文章是给大家看的，包括不了解非欧几何学的人。

　　网上的讨论是大家一起探讨真理。

　　我写的文章有人愿意看就是我得到最大的安慰。

　　现在的数学界对这个问题的看法是：公认了非欧几何学。

　　是我对此进行反驳，我不认可非欧几何学。

　　“这个圆球上的几何图形是可以同时满足俩个几何学的而且是不矛盾的”的观点是错误的。因为进行实际的测量只可能有一个答案。即要么“三角形内角之和等于180度”，要么“三角形内角之和不等于180度”，不可能同时满足。

　　你说的这些只不过是你对立体几何学的理解，你不讲大家都知道。

　　但是，一用到实际的三维测量，欧几里得立体几何学与黎曼立体几何学就会矛盾。

　　你一直将平面几何与三维世界混为一谈。

　　说个具体的例子你回答一下：

　　半径为R=1米的圆球体积=？

　　楼上这段讲话是正确的。尽管未给出具体数字，用小于整数回答不能说错误。

　　还是请你让我把话说完你再发言吧。（5篇文章后）

　　几何学的真假（3）

　　黎曼几何是爱因斯坦广义相对论的基础。如果黎曼几何不是真实世界的几何学，则爱因斯坦的广义相对论就成了谬误。

　　由黎曼几何可得定理：“三角形内角之和大于180度”，该命题是符合事实，还是不符合事实呢？

　　如果“三角形内角之和大于180度” 符合事实，则欧几里得几何学定理：“三角形内角之和为180度”必然与事实不符，是假命题，欧几里得几何学则是谬误。

　　有人说非欧几何学是球面几何学，一个是凸面椭圆几何学，一个是凹面双曲面几何学，这在非欧几何学的系统里并未作出规定，而只有公设的不同。

　　实践是检验真理的唯一标准。可以通过实际测量三角形内角之和究竟是多少来确定哪个几何学是真理吗？回答是十分困难。一是现实中的二维平面难找到；二是三种几何的误差很小，实际测量难严格区分。那是否就无法确定哪个几何学是真理了呢？

　　可以在现实的三维空间建立三种平面几何为基础的立体几何学，由各立体几何学计算球体表面三角形内角之和应为多少，然后实际制造一球体，实际测量球体表面三角形内角之和究竟是多少来确定哪个几何学是真理。

　　欧几里得几何学第五公设等价于平行定理，即若二直线平行则永不相交，而黎曼几何学可证二直线在无穷远处有交点。问题是无穷远处不是固定点，是动态的点，无止境的点，二直线在无穷远处不确定的点相交难令人信服，也不可能用事实验证。

　　几何学的真假（4）

　　著名数学家高斯曾亲自测量三角形内角之和并到去世都不发表非欧几何学。

　　建立了谓词演算公理系统的数理逻辑学家弗雷格至死都不承认非欧几何学。有人说高斯在真理面前畏缩不前，说弗雷格太固执，等等。笔者不认同。高斯、弗雷格都是顶尖数学家，至死不承认非欧几何学一定有其道理。李子在前面已证明三种几何学不可能都是符合事实的真理，下文证明欧几里德几何学是现实世界的几何学。

　　为了避免空洞的论证，本文用现实中直角坐标系来进行论证。

　　在平面直角坐标系内，设OX轴单位长为现实中的米为单位。

　　令过OX轴外一点(x = 0，y = 1)点，作OX轴的平行线。则由极限理论有：

　　欧几里德几何学有定理：当x →∞时，y = 1 。

　　罗氏几何学有定理：设π（y）称为平行角，y为平行距。则当y →∞时，limπ（y）= 0 , 当y →0时, limπ（y）=π/2 .因此，对于π（1）平行线，当x →∞时，y →0 但y ≠ 0 .

　　黎曼几何学有定理：当x→∞时，y = 0.

　　三种几何学究竟谁是真理？

　　现用数学归纳法证明欧几里德几何学定理：当x → ∞ 时， y = 1 成立，是真命题。

　　证明：可用初等函数表示经过OX轴外一点(x = 0，y = 1)点，作OX轴的平行线， 该直线方程为：f（x）= 1。

　　用数学归纳法进行逻辑证明：

　　设f（n）= 1成立，证f（n 1）= 1必成立。

　　当f（n）= 1成立时，由直线方程可得f（n 1）= 1 。

　　由数学归纳法可得：

　　欧几里德几何学定理： 当x →∞时， y = 1 成立，是真命题。

　　罗氏几何学有定理：过OX轴外一点(x = 0，y = 1)点， 作OX轴的平行线，平行角为π（1） 。 当x →∞时，y → 0，该直线跟OX轴不相交。现在问该直线当x = ？时， y = 0.5 ?

　　黎曼几何学有结论：经过(x = 0，y = 1)点，没有任何直线跟OX轴不相交。即当x→∞时，y = 0

　　现在问黎曼几何学，当平行线x = ？时，y = 0.5 。即y从1到0.5再到0，x是在有限距离，还是在无穷远处一下从1突变到0？

　　罗氏几何学和黎曼几何学都有当y = 0.5时，平行线x = ？问题。

　　y = 0.5也是直线方程，若与过(x = 0，y = 1)点OX轴的平行线有交点，x为多少？若x为有限距离，则可推算出该平行线与OX轴的交点，若x为无穷远，则二几何学y在无穷远处一下从1突变到0无法使人相信。

　　用数学归纳法是通过有限距离证明无限远结果的最可靠的方法。因此，本文认为欧几里德几何学是真理。

　　在现实世界里，如果实际需要我们生产一个互相垂直的两条平行线的长方形产品，根据直角坐标系和欧几里德几何学，我们可以很快确定这个长方形的四个顶点，生产出这一产品。

　　而非欧几何学因平行线问题，不能确定第四个点的位置，在这个世界上，谁都无法用非欧几何学生产出这一产品。

　　因此，欧几里德几何学更加贴近事实。

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