八年级数学函数交点问题求解思路

摘  要：函数是研究运动变化的重要数学模型，是培养和考查学生数学学科核心素养的重要载体，是中考压轴题的命题热点，在初中数学中具有核心地位. 2021年全国各地中考试题都非常重视与实际生活的联系，立足于函数基础知识、基本技能、基本思想、基本活动经验等方面，突出考查学生的数学思考、数学表达和问题解决能力.

关键词：函数模型;问题解决;数学素养

函数是研究运动变化的重要数学模型. 20世纪以来，世界各国中学数学中关于代数的内容逐渐从以解方程为中心转到以研究函数为中心. 函数概念已经成为中学数学中最为重要的概念之一.

函数是初中数学的核心内容之一，也是中考数学试卷中的重点，更是难点. 初中学段的函数主要包括一次函数、反比例函数和二次函数，是“数与代数”领域的重要内容. 其主要考点为：具体实例中的数量关系;常量和变量的意义;函数的概念和三种表示方法;确定简单实际问题中函数自变量的取值范围，并会求函数值;结合图象对简单实际问题中的函数关系进行分析;理解一次函数、反比例函数与二次函数的概念、图象和性质，并应用这三类函数解决简单的实际问题;体会函数与方程、不等式之间的关系;感受函数与几何图形之间的内在联系.

函数表达是数学表达的抽象和深化. 函数是培养和考查学生数学学科核心素养的重要载体.

综观2021年全国各地函数中考试题，立足于函数基础知识、基本技能、基本思想、基本活动经验等方面的考查，突出对学生数学观察、数学思考、数学表达、问题解决能力的考查.

1. 夯实知识技能，重视函数概念考查

例1 （浙江·嘉兴卷）根据数学家凯勒的“百米赛跑数学模型”，前30 m称为“加速期”，30 m ～ 80 m为“中途期”，80 m ～ 100 m为“冲刺期”. 市田径队把运动员小斌某次百米跑训练的速度y（m / s）与路程x（m）之间的观测数据，绘制成曲线如图1所示.

（1）y是关于x的函数吗？为什么？

（2）“加速期”结束时，小斌的速度为多少？

（3）根据图形提供的信息，给小斌提一条训练建议.

解析：（1）根据函数的概念可以直接判断，说明理由中，核心是说清两个变量之间的对应关系.

（2）由图象可知，“加速期”结束时，即跑30 m时，小斌的速度为10.4 m / s.

（3）答案不唯一，但要表述一定的依据. 例如，根据图象信息，小斌在80 m左右时速度下降明显，建议增加耐力训练，提高成绩.

【评析】此题主要考查函数概念，理解题干中“百米赛跑数学模型”，通过观察，读出图中的数据是解题的关键. 此题重视对数学核心概念的考查，对教学有一定的导向作用.

例2 （黑龙江·绥化卷）如图2，在平面直角坐标系中，O为坐标原点，MN垂直于x轴，以MN为对称轴作△ODE的轴对称图形，对称轴MN与线段DE相交于点F，点D的对应点B恰好落在[y=kxk≠0，x<0]的双曲線上，点O，E的对应点分别是点C，A. 若A为OE的中点，且S△AEF = 1，则k的值为       .

解析：如图3，连接OB，

【评析】此题主要从解析法与图象法两个角度考查反比例函数相关概念，试题有一定的难度. 函数学习必须通过一些实例让学生逐渐习得，深度理解函数的对应关系，归纳体验函数的三种表示方法，进而感悟变量的研究具有一般性. 综观2021年全国各地区中考试题，对于函数的解析法、列表法和图象法三种表达形式，都有相应的考查. 这是知识与技能考查的基础，也是核心内容. 解决此类题的关键是合理引进参数，找到变量之间的相互关系，构建方程求解. 例如，辽宁锦州卷第15题、浙江绍兴卷第15题、四川达州卷第14题、重庆卷第12题、湖北鄂州卷第15题、江苏宿迁卷第17题等都对反比例函数解析法中k值的确定进行了考查.

2. 渗透思想方法，着力函数图象与性质考查

例3 （四川·遂宁卷）已知二次函数[y=ax2+bx+ca≠0]的图象如图4所示，有下列5个结论：

⑤ 若方程[ax2+bx+c]= 1有四个根，则这四个根的和为2.

（A）2个 （B）3个

（C）4个 （D）5个

解析：此题考查二次函数图象与系数的关系，考查二次函数的图象与性质.

【评析】函数的图象与性质的主要考点是：图象的形状、大小、位置，函数解析式中系数变化与图象大小、图象位置的关系，函数的增减性、最值、图象对称性、函数值的大小比较等. 对于每一个性质，都应遵循“数形结合”思想方法，从“数”与“形”两个方面去理解. 此题中对于③[2c<3b]的判断，应抓住当[x=-1]时， [y=a-b+c<0]这一点. 对于④[a+2b>][mam+b][m≠1]的判断，应从函数的最值上寻找突破口. 对于⑤的判断，应注意分类讨论，转化为一元二次方程，用两根之和的知识加以解决. 此类二次函数图象与系数关系的问题，是2021年全国各地中考试题的热点问题. 例如，湖北恩施卷第9题、湖南株洲卷第9题、江苏宿迁卷第8题、山东泰安卷第15题、贵州遵义卷第16题等.

例4 （浙江·金华卷）背景：点A在反比例函数[y=kxk>0]的图象上，[AB⊥Ox]于点B，[AC⊥Oy]于

点C，分别在射线[AC]，[BO]上取点[D]，[E]，使得四边形ABED为正方形. 如图5，点A在第一象限内，当[AC=4]时，小李测得[CD=3].

探究：通过改变点A的位置，小李发现点D，A的横坐标之间存在函数关系. 试帮助小李解決下列问题.

（2）设点A，D的横坐标分别为x，z，将z关于x的函数称为“Z函数”. 如图6，小李画出了[x>0]时“Z函数”的图象.

① 求这个“Z函数”的表达式.

② 补画[x<0]时“Z函数”的图象，并写出这个函数的性质（两条即可）.

③ 过点（3，2）作一直线，与这个“Z函数”图象仅有一个交点，求该交点的横坐标.

解析：此题利用新定义函数的背景，考查学生对函数的图象及其性质迁移应用的能力.

② 画出的图象如图7所示，性质如下（答案不唯一）.

（a）函数的图象是两个分支组成的，是两条曲线.

（b）函数的图象关于平面直角坐标系的原点成中心对称.

（c）当[x>0]时，函数值z随自变量x的增大而增大;当[x<0]时，函数值z随自变量x的增大而增大.

③ 第一种情况，当过点（3，2）的直线与x轴垂直时，[x=3].

第二种情况，当过点（3，2）的直线与x轴不垂直时，

设该直线的函数表达式[z=mx+bm≠0]，

所以交点的横坐标分别为2，3，4，6.

【评析】此题考查学生在新定义函数的背景下，灵活运用函数的相关知识解决问题的能力. 第（1）小题中，利用正方形的性质，可求出AD，AB的长，即可得到点A的坐标. 第（2）小题第①问中，设点A坐标为[Ax， 4x]，可求出点D的横坐标. 第②问先画出x < 0的函数图象，利用函数图象可以得到此函数的性质. 第③问分情况讨论：第一种情况，过点（3，2）的直线与x轴垂直;第二种情况，过点（3，2）的直线与x轴不垂直，此时设该直线的函数表达式为[z=mx+b][m≠0，]由[2=3m+b]，得[z=mx-3m+2m≠0]. 与[z=x-4x]联立，可得[m-1x2+2-3mx+4=0]. 进一步再按[m=1]和[m≠1]分类讨论，当[m≠1]时，利用[b2-4ac=0]可顺利求解. 利用新定义函数的背景，考查函数的图象与性质，是2021年的热点之一. 例如，湖北鄂州卷第23题、湖南娄底卷第11题、江苏无锡卷第10题、四川自贡卷第24题、重庆A卷第22题等.

3. 积累活动经验，突出函数应用考查

例5 （辽宁·营口卷）某商家正在热销一种商品，其成本为30元 / 件，在销售过程中发现随着售价增加，销售量在减少. 商家决定当售价为60元 / 件时，改变销售策略，此时售价每增加1元需支付由此产生的额外费用150元. 该商品销售量y（件）与售价x（元 / 件）满足如图8所示的函数关系（其中40 ≤ x ≤ 70，且x为整数）.

（1）直接写出y与x的函数关系式;

（2）当售价为多少时，商家所获利润最大，最大利润是多少？

解析：此题是典型的二次函数应用问题，重点考查学生应用一次函数、二次函数等相关知识解决现实生活中利润最大化问题的能力.

（2）设获得的利润为w元，

所以当x = 50时，w有最大值，最大值为4 000元.

综上所述，当售价为70元时，该商家获得的利润最大，最大利润为4 500元.

【评析】此题以生活中的销售问题为背景，考查学生应用待定系数法求函数解析式、用二次函数的相关知识解决实际问题的能力. 解决此类问题的关键是根据自变量的不同范围求出相应的函数解析式，再利用二次函数的相关知识求出最值，特别要注意的是分类讨论.

例6 （贵州·贵阳卷）甲秀楼是贵阳市一张靓丽

的名片. 如图9，甲秀楼的桥拱截面[OBA]可视为抛物线的一部分，在某一时刻，桥拱内的水面宽[OA=8]（m），桥拱顶点[B]到水面的距离是4（m）.

（1）按如图10所示建立平面直角坐标系，求桥拱部分抛物线的函数表达式.

（2）一只宽为1.2（m）的打捞船径直向桥驶来，当船驶到桥拱下方且距点[O]0.4（m）时，桥下水位刚好在[OA]处. 有一名身高1.68（m）的工人站立在打捞船正中间清理垃圾，他的头顶是否会触碰到桥拱，试说明理由（假设船底与水面齐平）;

（3）如图11，桥拱所在的函数图象是抛物线[y=][ax2+bx+ca≠0]，该抛物线在[x]轴下方部分与桥拱[OBA]在平静水面中的倒影组成一个新函数图象. 将新函数图象向右平移[mm>0]个单位长度，平移后的函数图象在[8≤ x≤ 9]时，[y]的值随x值的增大而减小，结合函数图象，求m的取值范围.

解析：此题主要考查二次函数在生活中的应用.

（1）由题意，得A（8，0），B（4，4）.

设二次函数的解析式为[y=axx-8]，

所以他的头顶不会触碰到桥拱.

将新函数图象向右平移[mm>0]个单位长度，如图12，观察图象可知，[m+4≥9]，且[m≤8].

【评析】此题考查了二次函数的实际应用——拱桥问题. 解决此类应用性问题的关键是建立合适的平面直角坐标系，构建相应的函数模型加以解决. 在解决问题的过程中，注意将生活情境与背景数学化. 综观2021年全国各地区中考试题，二次函数的应用是考查的重点，也是热点. 例如，浙江金华卷第21题、广西北部湾卷第24题、浙江衢州卷第18题、河北卷第25题等.

1. 关注最值问题考查，重视模型应用

例7 （广东卷）设O为坐标原点，点A，B为抛物线[y=x2]上的两个动点，且[OA⊥OB]. 连接点A，B，过点O作[OC⊥AB]于点C，则点C到y轴距离的最大值为（    ）.

解析：此题考查点到直线的最大距离.

如图13，过点C作y轴垂线，垂足为点H，AB与y轴的交点为点D，[∠OCD=90°]，点C在以点E为圆心，OD长为直径的圆上.

再结合图象可知，当点H和点E重合时，CH最大，也就是半径.

通过构造相似三角形推理得出D（0，1）.

【评析】此题属于隐形圆问题，通过引进变量，设A（a，[a2]），B（[-b]，[b2]），构造相似三角形，求出直線AB经过定点D（0，1）. 解决此类问题的关键是通过几个特殊点理清动点的运动轨迹，将问题巧妙转化，从而顺利求解.

例8 （湖北·荆门卷）如图14，抛物线y = ax2 + bx + c交x轴于A（-1，0），B（3，0）两点，交y轴于点C（0，-3），点Q为线段BC上的动点.

（1）求抛物线的解析式.

（3）过点Q作PQ∥AC，交抛物线的第四象限部分于点P，连接PA，PB，记△PAQ与△PBQ面积分别为S1，S2，设S = S1 + S2，求点P的坐标，使得S最大，并求此最大值.

解析：此题主要考查待定系数法求函数解析式、轴对称的性质、两线段之和最小、图形面积最大等知识.

（2）如图15，作点O关于直线BC的对称点O′，且O′（3，-3），连接QO′，

【评析】此例中，通过设P（m，m2 - 2m - 3），巧妙地求出Q[m2+m4， m2+m-124]，从而使问题迎刃而解. 解决此类问题的关键是找到已知与未知的关系，表示出面积或周长，利用函数相关知识加以解决. 综观2021年全国各地中考试题，最值问题是热点之一. 例如，考查有关线段长度的最值问题的有湖北鄂州卷第24题、湖南娄底卷第26题、四川达州卷第25题、天津卷第25题、广西北部湾卷第18题等;考查有关图形面积最值问题的有湖南常德卷第25题、江苏盐城卷第27题、重庆A卷第25题等.

2. 关注变换问题考查，重视动态变化

例9 （江苏·扬州卷）如图16，一次函数[y=][x+2]的图象与x轴、y轴分别交于点A，B，把直线AB绕点B顺时针旋转30°，交x轴于点C，则线段AC长为（    ）.

解析：此题考查在旋转变换的背景下，一次函数的图象及性质.

【评析】求解此题是充分利用了[30°]这个特殊角，构造出两个特殊三角形，利用特殊三角形边之间的关系，借助勾股定理，从而使问题顺利求解. 解此类题的关键是，明确变换的要求，利用好特殊角，构造出特殊三角形.

例10 （山东·威海卷）如图18，在菱形ABCD中，[AB=2 cm]，[∠D=60°]，点P，Q同时从点A出发，点P以1 cm / s的速度沿A-C-D的方向运动，点Q以2 cm / s的速度沿A-B-C-D的方向运动，当其中一点到

达点D时，两点停止运动. 设运动时间为x（s），[△APQ]的面积为y（cm2），则下列图象中能大致反映y与x之间函数关系的是（    ）.

解析：此题考查的是双动点下，三角形面积的变化规律，要根据时间分三种情况，得到三角形面积表达式，再根据其对应图象进行判断即可确定正确选项.

【评析】此题在菱形的背景下设置双动点问题，探究三角形面积的变化规律，蕴涵运动、变换的思想，能促进学生用发展的眼光来看待数学问题，培养学生的发散性思维. 解决此类问题的关键是要注意分析动点的运动路径，充分利用数形结合思想，合理进行分类讨论.

3. 关注存在性问题考查，感受数学魅力

例11 （内蒙古·通辽卷）如图20，抛物线y = ax2 + bx + 3交x轴于A（3，0），B（-1，0）两点，交y轴于点C，动点P在抛物线的对称轴上.

（1）求抛物线的解析式.

（2）当以点P，B，C为顶点的三角形周长最小时，求点P的坐标及△PBC的周长.

（3）若点Q是平面直角坐标系内的任意一点，是否存在点Q，使得以点A，C，P，Q为顶点的四边形是菱形？若存在，直接写出所有符合条件的点Q的坐标;若不存在，说明理由.

所以该抛物线的解析式为[y=-x-3x+1]，

如图21，连接AC交抛物的对称轴于点P.

由直线AC的解析式为[y=-x+3]，可得P（1，2）为所求的点.

② 以AC为对角线时，

例12 （湖南·邵阳卷）如图24，在平面直角坐标系中，抛物线C：y = ax2 + bx + c（a ≠ 0）经过点（1，1）和（4，1）.

（1）求抛物线C的对称轴.

（2）当a = -1时，将抛物

线C向左平移2个单位，再向下平移1个单位，得到抛物线C1.

① 求抛物线C1的解析式.

② 设抛物线C1与x轴交于A，B两点（点A在点B的右侧），与y轴交于点C，连接BC. 点D为第一象限内抛物线C1上一动点，过点D作DE⊥OA于点E. 设点D的横坐标为m. 是否存在点D，使得以点O，D，E为顶点的三角形与△BOC相似？若存在，求出m的值;若不存在，说明理由.

解析：此题重点考查二次函数的对称轴、解析式和三角形的存在性问题.

（1）抛物线的对称轴为直线x =[52].

故点B，A的坐标分别为B（-1，0），A（2，0），点C（0，2）.

【评析】例11重点考查菱形存在性问题，解题的关键是转化为等腰三角形存在性问题. 例12重点考查相似三角形存在性问题，解题的关键是利用分类讨论的数学思想，构建方程加以解决. 综观2021年全国各地中考函数试题，存在性问题是热点问题. 2021年考查的重点主要有：等腰三角形存在性问题，如江苏宿迁卷第28题、湖北随州卷第24题、湖南邵阳卷第24题、四川南充卷第25题、四川广安卷第26题等;平行四边形存在性问题，如广东卷第25题、海南卷第22题、黑龙江龙东卷第28题、四川凉山州卷第28题、重庆B卷第25题、辽宁锦州卷第25题、西藏卷第27题等;菱形存在性问题，如湖南娄底卷第26题、湖北恩施卷第24题、山西卷第23题、内蒙古鄂尔多斯卷第23题等;矩形存在性问题，如甘肃定西卷第28题、山东菏泽卷第23题、四川达州卷第25题等;相似三角形存在性问题，如山东济宁卷第22题、陕西卷第25题、四川遂宁卷第25题、湖南长沙卷第26题、浙江金华卷第24题等. 此类问题通常考查学生的数学抽象、逻辑推理、数学建模、直观想象、数学运算等素养，考查学生观察、分析问题和解决问题的综合能力. 蕴含抽象、分类、归纳、演绎、模型等数学思想. 此类压轴题涉及的知识点多，综合性强，思维含量高，学生往往容易出现漏解或错解的情况.

例13 （黑龙江·大庆卷）如图25是甲、乙两个圆柱形水槽的横截面示意图，乙槽中有一圆柱形实心铁块立放其中（圆柱形实心铁块的下底面完全落在乙槽底面上），现将甲槽中的水匀速注入乙槽，甲、乙两个水槽中水的深度y（cm）与注水时间x（min）之间的关系如图26所示，根据图象解答下列问题.

（2）注入多长时间，甲、乙两个水槽中水的深度相同？（试写出必要的计算过程.）

解析：此题考查学生应用函数的知识解决生活中的实际问题的能力.

（1）EDC表示乙槽中水的深度与注入时间之间的关系.

线段AB表示甲槽中水的深度与注入时间之间的关系.

从图26观察可知，铁块的高度为16 cm.

（2）甲、乙两个水槽中水的深度相同，线段[AB]与线段[ED]相交.

所以注入2 min时，甲、乙两个水槽中水的深度相同.

【评析】此题考查的重点是一次函数的应用. 解决此题时应将两个水槽中水位的变化与图象结合起来，理解一些特殊点的含义，特别是两线段的交点的含义. 此题还可以提出其他探究性问题. 例如，当乙槽中的水刚好上升到铁块的高度时，求甲槽中水的深度.

例14 （山东·泰安卷）二次函数y = ax2 + bx + 4（a ≠ 0）的图象经过点A（-4，0），B（1，0），与y轴交于点C，点P为第二象限内抛物线上一点，连接BP，AC，交于点Q，过点P作PD⊥Ox于点D.

（1）求二次函数的表达式.

（2）连接BC，当∠DPB = 2∠BCO时，求直线BP的表达式.

（3）判断：[PQQB]是否有最大值. 若有，求出最大值时点P的坐标;若没有，说明理由.

解析：此题主要考查函数的图象及性质.

（2）如图27，设BP与y轴交于点E，

（方法1）如图28，设PD与AC交于点N，过点B作y轴的平行线与AC相交于点M.

所以当[m]= -2时，[PQQB]有最大值，此时，点P的坐标为P（-2，6）.

（方法2）如图29，过点P作PF∥Ox，交直线AC于点F.

所以当[m]= -2时，[PQQB]有最大值，此时，点P的坐标为P（-2，6）.

【评析】此题涉及的知识点较多，一次函数、二次函数、相似三角形、勾股定理、等腰三角形、两点间的距离、平面直角坐标系等，综合性强，难度较高. 解决此题的关键是将∠DPB = 2∠BCO进行合理的转化，以及巧妙地将[PQQB]用代数式表示出来.

综观2021年全国各地中考数学试卷，可以清楚地发现，中考命題大多数以函数知识为背景设计中考关键题或压轴题，其命题形式丰富多彩. 有纯函数概念、函数基础知识的考查;有函数与几何图形知识融合的考查;也有不同学科知识之间渗透的考查. 关注“形”与“数”的和谐统一，突出演绎和归纳两大基本数学思想，重视分类讨论思想，突出动点、最值、存在性等热点试题. 也出现了一些富有“项目化学习”韵味的新颖试题. 这些试题背景切合学生生活情境，问题具有开放性、思维性，也富有挑战性，综合考查学生分析问题和解决问题的能力.

[1]中华人民共和国教育部制定. 义务教育数学课程标准（2011年版）[M]. 北京：北京师范大学出版社，2012.

[2]史宁中. 数学基本思想与教学[M]. 北京：商务印书馆，2018.

[3]张伟，宋先波，赵洁. 2018年中考“函数”专题解题分析[J]. 中国数学教育（初中版），2019（1 / 2）：54-63.

[4]胡玲君. 2019年中考“函数”专题解题分析[J]. 中国数学教育（初中版），2020（1 / 2）：63-71.

[5]姜黄飞，陈世文. 2020年中考“函数”专题解题分析[J]. 中国数学教育（初中版），2021（1 / 2）：47-56.