计算变力所做的功引力压力和函数的平均值等，由曲线及射线围成的图形称为曲边扇形曲边扇形的面积元素为，解这个旋转椭球体也可以看作是由半个椭圆，平行截面面积为已知的立体的体积。

高等数学讲稿(青岛大学)拾贰

《高等数学.同济五版》讲稿WORD版-第06章 定积分的应用

高等数学教案 §6 定积分的应用

教学目的 第六章定积分的应用

1、理解元素法的基本思想；

2、掌握用定积分表达和计算一些几何量（平面图形的面积、平面曲线的弧长、旋转体的体积及侧面积、平行截面面积为已知的立体体积）。

3、掌握用定积分表达和计算一些物理量（变力做功、引力、压力和函数的平均值等）。 教学重点：

1、计算平面图形的面积、平面曲线的弧长、旋转体的体积及侧面积、平行截面面积为已知

2、计算变力所做的功、引力、压力和函数的平均值等。

1、 截面面积为已知的立体体积。

§6 1定积分的元素法

是以[a b]为底的曲边梯形的面积 则积分上限函数

就是以[a x]为底的曲边梯形的面积 而微分dA(x)f (x)dx 表示点x处以dx为宽的小曲边梯形面积的近似值Af (x)dxf (x)dx称为曲边梯形的面积元素

以[a b]为底的曲边梯形的面积A就是以面积元素f(x)dx为被积表达式 以

[a b]为积分区间的定积分

一般情况下 为求某一量U 先将此量分布在某一区间[a b]上 分布在[a x]上的量用函数U(x)表示 再求这一量的元素dU(x) 设dU(x)u(x)dx 然后以u(x)dx为被积表达式 以[a b]为积分区间求定积分即得

用这一方法求一量的值的方法称为微元法(或元素法)

高等数学教案 §6 定积分的应用

§6 2定积分在几何上的应用

设平面图形由上下两条曲线yf上(x)与yf下(x)及左右两条直线xa与xb所围成 则面积元

类似地由左右两条曲线x左(y)与x右(y)及上下两条直线yd与yc所围成设平面图形的

例1 计算抛物线y2x、yx2所围成的图形的面积

例2 计算抛物线y22x与直线yx4所围成的图形的面积

2y2x1所围成的图形的面积例3 求椭圆2ab2

解 设整个椭圆的面积是椭圆在第一象限部分的四倍 椭圆在第一象限部分在x 轴上的投影区间为[0 a] 因为面积元素为ydx所以

高等数学教案 §6 定积分的应用

曲边扇形及曲边扇形的面积元素

由曲线()及射线 围成的图形称为曲边扇形 曲边扇形的面积元素为

例4. 计算阿基米德螺线a (a >0)上相应于从0变到2 的一段弧与极轴所围成的图形的面积

旋转体就是由一个平面图形绕这平面内一条直线旋转一周而成的立体 这直线叫做旋转轴常见的旋转体 圆柱、圆锥、圆台、球体

旋转体都可以看作是由连续曲线yf (x)、直线xa 、ab 及x轴所围成的曲边梯形绕x轴旋转一周而成的立体

设过区间[a b]内点x 且垂直于x轴的平面左侧的旋转体的体积为V (x) 当平面左右平移dx后 体积的增量近似为V[f (x)]dx 于是体积元素为

例1连接坐标原点O及点P(h r)的直线、直线xh 及x 轴围成一个直角三角形 将它绕x轴旋转构成一个底半径为r、高为h的圆锥体 计算这圆锥体的体积

解: 直角三角形斜边的直线方程为yrxhb2

高等数学教案 §6 定积分的应用

a22yb221所成的图形绕x轴旋转而成的旋转体(旋转椭球体)的体积

解: 这个旋转椭球体也可以看作是由半个椭圆

及x轴围成的图形绕x轴旋转而成的立体 体积元素为

于是所求旋转椭球体的体积为

例3计算由摆线xa(tsin t) ya(1cos t)的一拱 直线y0所围成的图形分别绕x轴、y轴旋转而成的旋转体的体积

解所给图形绕x轴旋转而成的旋转体的体积为

所给图形绕y轴旋转而成的旋转体的体积是两个旋转体体积的差 设曲线左半边为x=x1(y)、右半边为x=x2(y) 则

2．平行截面面积为已知的立体的体积

设立体在x轴的投影区间为[a b] 过点x 且垂直于x轴的平面与立体相截 截面面积为A(x) 则体积元素为A(x)dx立体的体积为

例4一平面经过半径为R的圆柱体的底圆中心 并与底面交成角 计算这平面截圆柱所得立体的体积

解 取这平面与圆柱体的底面的交线为x轴 底面上过圆中心、且垂直于x轴的直线为y轴 那么底圆的方程为x 2 y 2R 2 立体中过点x且垂直于x轴的截面是一个直角三角形 两个直角边b2

高等数学教案 §6 定积分的应用 分别为R2x2及R2x2tan 因而截面积为

例5 求以半径为R的圆为底、平行且等于底圆直径的线段为顶、高为h的正劈锥体的体积

解: 取底圆所在的平面为x O y 平面 圆心为原点 并使x轴与正劈锥的顶平行 底圆的方程为x 2 y 2R 2 过x轴上的点x (R<x<R)作垂直于x轴的平面 截正劈锥体得等腰三角形 这截面的面积为

于是所求正劈锥体的体积为

设A B 是曲线弧上的两个端点 在弧AB上任取分点AM0 M1 M2 Mi1 MiMn1 MnB并依次连接相邻的分点得一内接折线 当分点的数目无限增加且每个小段Mi1Mi都缩向

一点时 如果此折线的长|Mi1Mi|的极限存在 则称此极限为曲线弧AB的弧长 并称此曲线

定理光滑曲线弧是可求长的

设曲线弧由直角坐标方程

给出 其中f(x)在区间[a b]上具有一阶连续导数 现在来计算这曲线弧的长度

取横坐标x为积分变量 它的变化区间为[a b] 曲线yf(x)上相应于[a b]上任一小区间[x xdx]的一段弧的长度 可以用该曲线在点(x f(x))处的切线上相应的一小段的长度来近似代替 而切线上这相应的小段的长度为

从而得弧长元素(即弧微分)

以y2dx为被积表达式 在闭区间[a b]上作定积分 便得所求的弧长为

在曲率一节中 我们已经知道弧微分的表达式为dsy2dx这也就是弧长元素因此 例1 计算曲线y2x2上相应于x从a到b的一段弧的长度

3解 yx 从而弧长元素

例2 计算悬链线ycch上介于xb与xb之间一段弧的长度

解 yshx 从而弧长元素为

设曲线弧由参数方程x(t)、y(t) (t )给出 其中(t)、(t)在[ ]上具有连续导数因为

8a3．极坐标情形 设曲线弧由极坐标方程

给出 其中r()在[ ]上具有连续导数 由直角坐标与极坐标的关系可得 x()cosy()sin() 于是得弧长元素为

例14求阿基米德螺线a (a>0)相应于 从0到2 一段的弧长解弧长元素为

§6 3功水压力和引力

一、变力沿直线所作的功

例1把一个带q电量的点电荷放在r轴上坐标原点O处 它产生一个电场 这个电场对周围的电荷有作用力 由物理学知道 如果有一个单位正电荷放在这个电场中距离原点O为r的地方 那么电场对它的作用力的大小为

当这个单位正电荷在电场中从ra处沿r轴移动到rb(a<b)处时 计算电场力F对它所作的功例1电量为+q的点电荷位于r轴的坐标原点O处它所产生的电场力使r轴上的一个单位正电荷从r=a处移动到r=b(a<b)处求电场力对单位正电荷所作的功

提示: 由物理学知道 在电量为+q的点电荷所产生的电场中 距离点电荷r处的单位正电荷所受到的电场力的大小为Fk

解: 在r轴上 当单位正电荷从r移动到r+dr时电场力对它所作的功近似为k即功元素为dWk于是所求的功为

例2在底面积为S的圆柱形容器中盛有一定量的气体 在等温条件下 由于气体的膨胀

把容器中的一个活塞(面积为S)从点a处推移到点b处 计算在移动过程中 气体压力所作的功解 取坐标系如图 活塞的位置可以用坐标x来表示 由物理学知道 一定量的气体在等温条件下 压强p与体积V的乘积是常数k即

kV解: 在点x处 因为VxS 所以作在活塞上的力为

当活塞从x移动到xdx时 变力所作的功近似为dx k

例3 一圆柱形的贮水桶高为5m 底圆半径为3m 桶内盛满了水 试问要把桶内的水全部吸出需作多少功？

解 作x轴如图 取深度x 为积分变量 它的变化区间为[0 5] 相应于[0 5]上任小区间[x xdx]的一薄层水的高度为dx 水的比重为98kN/m 因此如x的单位为m 这薄层水的重力为9832dx 这薄层水吸出桶外需作的功近似地为

此即功元素 于是所求的功为

从物理学知道 在水深为h处的压强为ph这里是水的比重 如果有一面积为A 的平板水平地放置在水深为h处 那么 平板一侧所受的水压力为

如果这个平板铅直放置在水中 那么 由于水深不同的点处压强p不相等 所以平板所受水的压力就不能用上述方法计算

例4 一个横放着的圆柱形水桶 桶内盛有半桶水 设桶的底半径为R 水的比重为计算桶的一个端面上所受的压力

解 桶的一个端面是圆片 与水接触的是下半圆 取坐标系如图在水深x处于圆片上取一窄条 其宽为dx得压力元素为

从物理学知道 质量分别为m 1、m 2 相距为r的两质点间的引力的大小为

其中G为引力系数 引力的方向沿着两质点连线方向

如果要计算一根细棒对一个质点的引力 那么 由于细棒上各点与该质点的距离是变化的 且各点对该质点的引力的方向也是变化的 就不能用上述公式来计算

例5 设有一长度为l 、线密度为的均匀细直棒 在其中垂线上距棒a单位处有一质量为m的质点M 试计算该棒对质点M的引力

例5 求长度为l、线密度为的均匀细直棒对其中垂线上距棒a单位处质量为m的质点M的引力

解 取坐标系如图 使棒位于y轴上 质点M位于x轴上 棒的中点为原点O 由对称性知

引力在垂直方向上的分量为零 所以只需求引力在水平方向的分量 取y为积分变量 它的变化区间为[l,l] 在[l,l]上y点取长为dy 的一小段 其质量为dy 与M相距ra2y2 于

是在水平方向上 引力元素为

引力在水平方向的分量为

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1.1初等函数图象及性质

函数 （m是常数） 叫做幕函数。幕函数的定头域，要看m是什么数而定。例如，当m二3吋，y二x‘的定狡 域是（-8 ,+oo）；当m = 1/2时.y二x‘ '的定狡域是［0, ）；当m二T/2时，y=x "的定狡域是（0, +oo ）。但

不论m取什么值，彖函数在（0,+8）总有定义。最常见的無函数图象如下图所示：［如图］

1.1.2指数函数与对数函数

函数y二a，（a是常数且a>0,a*1）叫做指数函数，它的定艾域是区间（-8 ,+8）。

因为对于任何实数值x,总有『>0,又a°=1,所以指数函数的图形，总在x轴的上方.且通过点（0,1）o

若a>1,指数函数『是单调增加的。若0<a<1,指数函数『是单调减少的。

由于y=（1/a）"x=a x,所以尸才的图形与y=（1/a）x的图形是关于y轴对称的（图1-21）。［如图］

它的定艾域是区间（0,+8）。对数函数的图形与指数函数的图形关于直线y二x对称（图1-22） o

y= Iogax的图形总在y轴上方，且通过点（1,0） o

若a>1,对数函数lo&x是单调增加的，在开区间（0,1）函数值为负，而在区间（1,+8）函数值为正。

若0<a<1,对数函数log°x是单调减少的，在开区间（0,1）函数值为正，而在区间（1, +oo）函数值为负。［如图］

1.1.3三角函数与反三角函数

正弦函数和余弦函数都是以2TT为周期的周期函数，它们的定艾域都是区间（-8 ,+8）,值域都是必区间［-1, Uo 正弦函数是奇函数，余弦函数是偶函数。

正切函数和余切函数都是以TT为周期的周期函数，它们都是奇函数。

及三角函数是三角函数的反函数，其图形都可由相应的三角函数的图形按反函数作图法的一般规則作出。 这四个反三角函数都是多值函数。但是，我们可以选取这些函数的单值支。

例如，把Arcsinx的值限制在闭区间［-,］上，称为反正弦函数的主值，并记作arcsinxo

这样，函数y = arcsinx就是定狡在闭区间［-1, 1］±的单值函数，且有。

1.2 数列极限的概念

设｛｝是一个数列，a是实数，如果对于任意给定的，总存在一个正整数N,当n>N时都有，我们就称a是数列｛｝ 的极限，或者称数列｛｝收敛，且收夕攵于a,记为，a即为的极限。

数列极限的几何解释：以a为极限就是对任意给定的开区间，第N项以后的一切数全部落在这个区间。

设函数f（x）在点附近（但可能除掉点本身）有定艾，设A为一个定数，如果对任意各定，一定存在，使得当时， 总有，我们就称A是函数f（x）在点的极限，记作，这时称f（x）在点极限存在，这里我们不要求f（x）在点有定艾， 所以才有。 例如：，当xh时.函数是没有定狡的.但在xh点函数的极限存在，为2。

1.4单调有界数列必有极限

单调有界数列必有极限，是判断极限存在的重要准则之一，具体叙述如下： 如果数列满

足条件，就称数列是单调增加的;反之則称为是单调滅少的。

在前面的幸节中曾证明：收敛的数列必有界。但也曾指出：有界的数列不一定收敛。现在这个准则表明：如果数 列不仅有界，而且是单调的，則其极限必定存在。

对这一准则的直观说明是，对应与单调数列的点只可能向一个方向移动，所以只有两种可能情形：或者无限趙近 某一定点；或者沿数轴移向无穷远（因为不趋向于任何定点且递增，已符合趁向无穷的定狡）。但现在数列又是 有界的，这就意味着移向无穷远已经不可能，所以必有极限。

从这一准则出发，我们得到一个重要的应用。考虑数列，易证它是单调增加且有界（小于3）,故可知这个数列 极限存在，通常用字母e来表示它，即o可以证明，当x取实数而趋于或吋，函数的极限存在且都等于e,这 个e是无理数，它的值是 e = 2. 9045-

我们发现，有时候收敛数列不一定是单调的，因此，单调有界数列必有极限准则只是数列收敛的充分条件，而不 是必要的。当然，其中有界这一条件是必要的。下面叙述的柯西极限存在准则，它给出了数列收夕攵的充分必要条 件。柯西(Cauchy)极限存在准则 数列收敛的充分必要条件是：

对于任意给定的正数，存在着这样的正整数N,使得当m>N, n>N时，就有。

必要性的证明 设，若任意给定正数，则也是正数，于是由数列极限的定狡，存在着正整数N,当n>N时，有； 同样，当m>N吋，也有。

因此，当m>N, n>N时,有氐?L g -叭- g T 十-十氐-小产才— 所以条件是必要的。充分性的证明从略。

这准则的几何意义麦示，数列收敛的充分必要条件是：对于任意给定的正数，在数轴上一切具有足够大的点，任 意两点间的距离小于。柯西极限存在准則有时也叫做柯西审敛原理。

1.6.1定义：若函数f(x)在xo点的附近包括xo点本身有定义，并且，

则称f(X)在Xo点连续，Xo为f(x)的连续点。［如图］

1.6.2充要条件：f(x)在X。点既是左连续又是右连续。

初等函数如三角、反三角函数，指数、对数函数等都是在自定艾区间的连续函数。

1.6.3三类不连续点：

第一类不连续点：f (xo+0), f (xo-0)存在但不相等。［如图］

第二类不连续点:f(xo+O),f(xo-0)中至少有一个不存在。［如图］

第三类不连续点：f(xo+0),f(xo-0)存在且相等,但它不等于f(x°)或f(x)在X。点无定艾。［如图］

一致连续性的概念及它与连续的不同

1.7.1定义：对，可找到只与有关而与x无关的，使得对区间任意两点xbx2,当时总有，就称f(x)在区间一致 连续。

1.7.2与连续的比较：

连续可对一点来讲，而一致连续必须以区间为对象。

连续函数对于某一点xo,取决于xo和，而一致连续函数的只取决于，与x值无关。

—致连续的函数必定连续。［例：函数y二1/x,当xG(0, 1 )吋非一致连续，当xe (C,1)时一致连续］

康托定理：闭区间［a , b］上的连续函数f(x)-定在［a , b］上一致连续。

微分学是微积分的重要组成部分，他的基本概念是导数与微分，其中导数反映出自变量的变化快慢程度，而微 分则指明当自变量有微小变化时，函数大体上变化多少。

2.1.1导数的定义：设函数y=f (x)在点xo的某个邻域有定艾，当自变在X。处取得增量x (点xo?x仍在该领 域)时，相应地函数取得增量；如果与之比当吋的极限存在，则称函数在处可字，并称这个极限为函数在点处的 导数，记为，

导数的定义式也可取不同的形式，常见的有和

导数的概念就是函数变化率这一槪念的精确描述。

例求函数(n为正整数)在处的导数

把以上结果中的换成得，即

更一般地,对于彖函数(为常数)，有这就是策函数的导数公式.

解 5 h 5 h 即 这就是说，正弦函数的导数是余弦函数.用类

就是说，余弦函数的导数是负的正弦函数。

即这就是指数函数的导数公式，特殊地，当时，因，故有

八巧-如二越二畑 -1^ 1。盼(厂-旬T昭“

这就是对数函数的导数公式，特殊地，当时，由上式得自然对数的数的导数公式：

2.1.3 导数的几何意义

由导数的定艾可知：函数在点处的字数在几何上表示曲线在点处的切线斜率，即，其中是切线的倾角?如下图：

例 求等边双曲线y=1/x,在点(1/2,2)处的切线的斜率，并写出在该点处的切线方程和法线方程。

解根据导数的几何意狡知道，所求切线的斜率为

由于，于是从而所求切线方程为即4x+y-4=0?

2.1微分的定义 设函数在某区间有定艾，及在这区间，如果函数的增量

其中A是不依赖于的常数，而是比离阶的无穷小，那末称函数在点是可微的，

而叫做函数在点相应于自变量增董的微分，记作，即

解函数在处的徹分为在处的微分为

函数在任意点的微分.称为函数的微分，记作或，即

例如，函数的微分为 函数的微分为

通常把自变量的增量称为自变量的微分，记作dx,即?于是函数y=f (x)的微分又可记作dy=f, (x)dx,从而有x=3 就是说，函数的微分dy与自变董的微分dx之商等于该函数的导数?因此，导数也叫做"微商”.

设是曲线y=f(x)上的点的纵坐标的增#,dy是曲线的切线上的纵坐标的相应的增量，

当I Ax |很小时，| Ay-dy |比| Ax |小得多，因此在M点的邻近，我们可以用切线段来近似代替曲线段.

第三章：中值定理与导数的应用

上一章里，从分析实际问题中因变量相对于自变童的变化快慢出发，引出了导数的概念，并讨论了导数的计算 方法。本章中，我们将应用导数来研究函数以及曲线的某些性态，并利用这些知识解决一些实际问题。我们将 介绍微分学的几个中值定理，他们是导数应用的理论基础

罗尔定理 如果函数f(x)在闭区间［a, b］上连续，在开区间(a,b)可导，且在区间端点的函数值相等，即f(a) =f(b),那么在(a,b)至少有一点，使得函数f(x)在该点的导数等于零：。

3.1.2拉格朗日中值定理

拉格朗日中值定理 如果函数f(x)在区间［a,b］上连续，在开区间(a,b)可导，那么在(a,b)至少有一点

3.1.3柯西中值定理

柯西中值定理 如果函数f(x)及F(x)在闭区间［a,b］上连续，在开区间(a,b)可导，且F' (x)在(a, b)的每一点 处均不为零，那么在(a, b)至少有一点，使等式(2)成立.

定狡：求待定型的方法(与此同时)；定理：若f(x)与g(x)在(a,a+)上有定艾，且f(x)二g(x)=O;

2.2定理推广：由证明过程显然定理条件x可推广到x, x,xo所以对于待定型，

可利用定理将分子、分母同吋求导后再求极限。

注意事项：1.对于同一算式的计算中，定理可以重复多次使用。2.当算式中出现Sin或Cos形式时，应慎重考虑 是否符合洛必达法则条件中f'(X)与『(X)的存在性。向其他待定型的推广。(下转化过程中描述引用的仅为记 号?)

可化为=,爭实上可直接套用定理。

3 泰勒公式及其误差图示 来源：实践，常用导数进行近似运算.

围：在直接求f(x)困难，而在X附近X。处f(X。)与f'(X。)较易时应用.条件是X与X。充分接近，可达到一定的精度. 利用当为不同函数吋.有常用近似公式如下：(|x|很小时)

泰勒公式来源：上述公式在|x|很小时，于是即，ph(0)+f，(0)x与f(x)在x=0处函数值相等，且一阶导数相等. 为进一步提鬲精度欲使与

在二阶导数处也相等?于是，，?

得依此类推:/匕〉”心仗)-/(0)

对于误差，有定理：在x=0处有*1阶连续导数，則上式误差(在x与0之间) 由定理：此式为 在x=0处的关于x的泰勒展开公式?即：

公式推广：一般地在x=X。附近关于X。点的泰勒公式

2! m 注意：虽然泰勒公式是在X 丁附近”展开，但是事实上X可以取f(x)定爻域任意值，只不过若|x-|过大(即X离过远) 时，相应变大.即使用代替f(x)的误差变大.可是，无论如何泰勒公式总是成立的，当固定后，不同的X将使发生变 化，并使变化，从而影响对f(x)的近似精度.

3.4函数图形描绘示例

定理：若f(x)在［a,b］上连续，(a, b)可导.则f(x)在［a,b］单调上升(或单调下降)的充分必要条件为(a, b)

(或)，推论：若f(x)在［a,b］连续，(a,b)可导，且不变号，則(或〈0)严格单调上升(下降).

定理(极值的必要条件)：若X。为f(x)的极值点，那么X。只可能是(x)的零点或f(x)的不可导点.

定埋(极值判别法)：则，f()为极大值，，f0为极小值

若不存在，但f(x)在与上可导 则若，则为极小点,反之为极大点

定狡：若曲线在一点的一边为上凸，另一边为下凸，则称此点为拐点，显然拐点处

定狡：若则称ax+b为f(x)的一条渐进线.

定狡：若则称x二c为f(x)的一条垂直渐进线.

定理：若f (x)的一条渐进线为ax+b则，

函数图象描述的基本步骤：

确定y=f (x)的定狡域并讨论函数的基本性质，如奇偶性，对称性\周期性等.

求出与及与不存在的各■点.

3?由2的结果函数的上升，下降区间，及图形的上凸，下凸区间以及各极值点.

定出函数的渐近线. 5.描点作用.

3.5曲率的概念及计算公式

5.1概念：来源：为了平衡曲线的弯曲程度。

平均曲率，这个定艾描述FAB曲线上的平均弯曲程度。其中表示曲线段AB上切线变化的角度，为AB弧长。 例：对于圆，。所以：圆周的曲率为1/R,是常数。而直线上，所以，即直线“不弯曲”。

对于一个点，如A点，为精确刻画此点处曲线的弯曲程度，可令，即定狡，为了方便使用，一般令曲率为正数. 即：。

3. 5.2计算公式的推导■:

由于，所以要推导与ds的表示法.ds称为曲线弧长的微分(T5-28, P218)

因为，所以。令，同时用代替得

再推导，因为，所以，两边对x求导，得，推出。

下面将与ds代入公式中：，即为曲率的计算公式。

3.5.3曲率半径：一般称为曲线在某一点的曲率半径。

几何意义(T5-29)如图为在该点做曲线的法线(在凹的一侧)，在法线上取圆心，以p为半径做圆，则此圆称为 该点处的曲率圆。曲率圆与该点有相同的曲率，切线及一阶、两阶稻树。

应用举例：求上任一点的曲率及曲率半径(T5-30)

首先：判断方程是否满足应用前提，先对端点a, b求f(a)、f(b),取与f"(x)同号的一点为是点。

过是点做f(x)的切线，交x轴与。然后：过(，)做的切线，交x轴与。

以次类推，直到满足箱度要求。

求：在［1, 2］的根，误差

由于.所以误差国的近似解为

祈提条件的作用：第一个条件显然是为了保证区间上解的存在性。

第二、第三个条件是为了保证各步迭代后，得到的交点仍落在区间上的

迭代公式：设第n步后的交点为，所以下一步过(，)做f(x)的切线，写出其方程就是：，它与X轴交 点为，这就是迭代公式。

在第二章中，我们讨论了怎样求一个函数的导函数问题，本章将讨论他的反问题，即要求一个导函数的原函数， 也就是求一个可导函数，使他的导函数等于已知函数。这是积分学的基本问题之一

4.1不定积分的概念与性质

4.1.1原函数与不定积分的概念

那一个函数具备何种条件，才能保证它的原函数一定存在呢？简单的说就是，连续的函数一定有原函数。 下面还要说明两点。

第一，如果有，那么，对任意常数C,显然也有，即如果是的原函数，那F(x)+C也是于(x)的原函数。

第二，当C为任意常数时，表达式F(x)-H),就可以表示f(x)的任意一个原函数。也就是说，f(x)的全体原函数所 纽成的集合，就是函数族。由以上两点说明.我们引入如下定义。

定义2在区间上，函数的带有任意常数项的原函数称为(或)在区间上的不定积分，记作.其中记号称为积分 号，称为被积函数，称为被积表达式，称为积分变量。

由此定义及前面的说明可知，如果F(x)是f(x)在区间I上的一个原函数，那么F (x) +C就是f(x)的不定积分， 即。 因而不定积分可以表示的任意一个原函数。

例1求.解由于&所以是的一个原函数。因此.

解 当时，由于弓所以是在的一个原函数。因此，在，当时，由于=,由上同理，在，

将结果合并起来，可写作

4.1.2不定积分的性质

根据不定积分的定艾，可以推得它的如下两个性质：

性质1函数的和的不定积分等于各个函数的不定积分的和，即.

性质2求不定积分时，被积函数中不为零的常数因子可提到积分号外面来，即(k是常数,kH0).

注意 检脸积分结果是否正确，只要对结果求导，看它的导数是否等于被枳函数，相等时结果是正确的，否是错误 的。

4.2两类换元法及举例

利用基本积分表与积分的性质，所能计算的不定积分是非常有限的.因此，有必要进一步来研究不定积分的求法.把复合函数的微分法反过来求不定积分，利用中间变董的代换，得到复合函数的积分法，称为换元积分法，简换元 法.

定理1设f(u)具有原函数，u=e(x)可导，则有换元公式

类似地可得f cot x dx =/n/sin x]+C.在对变董代换比较熟练以后，就不一定写出中间变量”

解J PF ■行不百打质尹

利用定理1来求不定积分，一般却比利用复合函数的求导法则求函数的导数要来的困难，因为其中需要一定的技 巧，而且如何适当的选择变量代换u=<p Q没有一般途径可循，因此要掌握换元法，除熟悉一些典型的例子，需多 练习.

解 求这个积分的困难在于有根式，但我们可以利用三角公式siSt+coVth来化去根式.

所求积分化为+ 。(°工1?

利用例6的结果得卜sin 2i

于是所求积分为?具体解题时要分析具体情况，选简捷的代换.

第五章：定积分本章将讨论积分学的另一个基本问题一定积分问题。我们先从几何与力学问题出发引进定积分的概念，再讨 论他的性质和计算方法，关于定积分的应用，将在下一章讨论。

定义 设函数f(x)在［a,b］上有界，在［a, b］中任意插入若千个分点，

把区间［a, b］分成n个小区间，设有常数I,如呆对于任意给定的正数e ,总存在一个正数d，使得对于区间［a, b］ 的任何分法，不论在中怎样取法，只要，总有成立，则称I是f(x)在区间［a,b］上的定积分，记作。

接下来的问题是：函数f(x)在［a, b］上满足怎样的条件，f(x)在［a,b］上一定可积？以下给出两个充分条件。 定理1设f(x)在区间［a,b］上连续,则f(x)在［a,b］上可积。

定理2设f(x)在区间［a,b］上有界，且只有有限个间断点，则f(x)在［a,b］上可积。

对面积賦以正负号，在X轴上方的图形面积賦以正号，在X轴下方的图形面积赋以负号，則在一般情形下，定积 分的几何意狡为：它是介于x轴、函数f(x)的图形及两条直线x = a. x = b之间的各部分面积的代数和。

5.2牛顿一莱步尼兹公式及实例

定理 如果函数F(x)是连续函数f(x)在区间［a,b］上的一个原旳数，则o (1)

证 已知函数F(x)是连续函数f(x)的一个原函数，又根据前面的定理知道，积分上限的函数

也是f(x)的一个原函数。于是这两个原函数之差为菜个常数(第四幸第一节)，

以代入(2)式中的F (x),可得，在上式中令x = b,就得到所要证明的公式(1)?n

由积分性质知，(1)式对a>b的情形同样成立。为方便是见，以后把F(b) - F(a)记成。

公式(1)叫做牛顿(Newton)-莱步尼兹(Leibniz)公式，给定积分提供了一种简便的计算方法，也称为微积分基本 公式。

例4计算正弦曲线y二sinx在［0,p］上与x轴所围成的平面图形的面积。 解。

例5求 解 易知这是一个型的未定式，我们利用洛必达法则来计算。

5.3定积分的近似计算

在应用问题中常遇到要求定积分的数值，但f(x)的原函数根本不能普通的初等函数表示出来。例如等，所以提 出了积分的近似计算问题。

定积分近似计算公式的原理：求定积分就是求面积，近似计算公式是对面积的近似求法。此处介绍抛扬线法

廉理：实质上是用抛物线逼近曲线段.如图由此可推出

o此公式称为辛卜生公式。［儿亠尹2艮乜山+…亠如?2)+401十…+畑

o此公式称为辛卜生公式。

5.4.1无穷限的广义积分定义1设函数f(x)在区间［a, +￥ )上连续，取b>a,若极限存在，則称此极限为函数f(x)在无穷区间［a, +￥ ) 上的广义积分，记作，即。(1)

这时也称广义积分收敛；若上述极限不存在，称为广义积分发散。

类似地，若极限存在，则称广义积分收敛。

设函数f(x)在区间(-￥ ,+￥ )上连续，如果广义积分和都收敛，則称上述两广义积分之和为函数f(x)在无穷 区间(-￥ , +￥ )上的广义积分，记作，也称广义积分收敛；否则就称广义积分发散。上述广义积分统称为无 穷限的广艾积分。

因此，当p>1时，这广狡积分收敛，其值为：当卩￡ 1时，这广义积分发散。

5.4.2无界函数的广义积分

现在我们把定积分推广到被积函数为无界函数的情形。

定义2 设函数f(x)在(a,b］上连续，而在点a的右领域无界，取，如果极限 存在，則称此极限为函数f(x)在

(a,b］上的广义积分，仍然记作，这时也称广义积分收敛。

类似地，设函数f(x)在［a, b］±除点c(Xc〈b)外连续，而在点c的领域无界，如果两个广义积分与都收敛，则

定义叮⑴小"(如二辄『％)小辄

否則，就称广义积分发散。

例2 证明广狡积分当q〈1时收敛，当吋发散。

因此，当q C 1时，这广狡积分收敛，其值为(b-a)f/(1-q);当时，这广狡积分发散。

第七章：空间解析几何与向量微分 在平面解析几何中，通过坐标把平面上的点与一对有序实数对应起来，把平面上的图形和方程对应起来，从而 可以用代数方法来研究几何问题，空间解析几何也是按照类似的方法建立起来的。

曲面S上任一点的坐标都满足方程(1);不在曲面S上的点的坐标都不满足方程(1), 那末，方程⑴就叫做曲面S的方程，而曲面S就叫做方程(1)的图形。

7. 2.2平面方程的几种形式

点法式方程：。 截距式方程：O

三点式方程：已知平面过空间三点,,,则平面方程为

1.几科特殊的曲面方程

获转曲面方程 设平面曲线I :绕z轴旋转，則旋转曲线方程为

柱面方程 母线平行与坐标轴的柱面方程为不完全的三元方程，如F(y, z)=0就表示母线平行与x

轴， 准线为 的柱面. 二次曲面方程(见第七章知识点3)

7. 3.1 空间曲线一般方程

空间曲线可以看作两个曲面的交线。设F(x, y, z)二0和G(x, y, z)二0是两个曲面的方程，它们的交线为C［如 图］。因为曲线C上的任何点的坐标应同时满足这两个曲面的方程，所以应满足方程组(1)

反过来，如果点M不在曲线C上，那末它不可能同吋在两个曲面上，所以它的坐标不满足方程组(1) o因此， 曲线C可以用方程组(1)来表示。方程组(1)叫做空间曲线C的一般方程。

1.为空间曲线的一般方程，空间曲线的参数方程为t为参数.

1.方程组表示怎样的曲线？

方程组中第一个方程表示母线平行于z轴的圆柱面，其准线是xOy面上的圆，圆心在原点0,半径为1。方程组中 第二个方程表示一个母线平行于y轴的柱面，由于它的准线是zOx面上的直线，因此它是一个平面。方程组就表 示上述平面与圆柱面的交线，［如图］。

方程组表示怎样的曲线？

方程组中第一个方程表示球心在坐标原点0 .半径为a的上半球面。第二个方程表示母线平行于z轴的圆柱面， 它的准线是xOy面上的圆，这圆的圆心在点(a/2, 0),半径为a/2。方程组就表示上述半球面与圆柱面的交线。

7. 3.2 空间曲线在坐标上的投彩

设空间曲线C的一般方程为由上述方程纽消去变量z, x, y后所得的方程分别为：

表示曲线C在yOz面上的投影，表示曲线C在xOz面上的投影。

例已知两球面的方程为(a)和(b)

求它们的交线C在xOy面上的投影方程。

解 先求包含交线C而母线平行于z轴的柱面方程。因此要由方程(a) , (b)消去z,为此可先从(a)式减去(b) 式并化简，得到y + z = 1,再以z = 1 -y代入方程(a)或(b)即得所求的柱面方程为x2+2y-2y=0 易看出，这是交线C关于xOy面的投影柱面方程，于是两球面的交线在xOy面上的投影方程是 注：在重积

分和曲线积分的计算中，往往需要确定一个立体或曲面在坐标面上的投影，这时要利用投影柱面和投影曲线。

二次曲面 我们把三元二次方程所表示的曲面叫做二次曲面。为了 了解三元方程F (x , y ,z )二0所表示得的曲面的形状.

我们通常釆用截痕法。即用坐标面和平行于坐标面的平面与曲线相截，考察其交线(即截痕)的形状，然后加以 综合，从而了解曲面的全貌。同学们可试用截痕法考察下面的二次曲面。

所表示的曲面叫做椭球面，［截痕法渍示］。

(P和q同号)所表示的曲面叫做抛物面.［截痕法演示］。

(P和q同号)所表示的曲面叫做双曲抛物面，［截痕法演示］。 所表示的曲面叫做单叶双曲面，［裁痕法演示］。

方程 所麦示的曲面叫做双叶双曲面，［截痕法演示］。

第八章：多元函数微分 在很多实际问题中，往往牵涉到多方面的因素，反映到数学上，就是一个变置依赖于几个变量的情形，这就提出了多元函数微分和积分的问题，本章将在一元微分的基础上，讨论二元及二元以上的多元函数的微分。

8.1多元函数的极限与连续性

8.1.1定义 设函数f (x,y)在开区域(或闭区域)D有定艾，Po (xo, yo)是D的点或边界点。如果对于任意给定 的正数E,总存在正数6,使得对于适合不等式的一切点P(x,y)GD,

因为「宀宀^宀一° W

因为「宀宀^宀一° W

則当时，总有成立，所以。

我们必须注意，所谓二重极限存在，是指P (x,y)以任何方式趙于P。(xo, yo)吋，函数都无限接近于A。 定义 设函数f(x,y)在开区域(或闭区域)D有定义，Po(xo, yo)是D的点或边界点且P°WD。

性质1 (最大值和最小值定理)在有界闭区域D上的多元连续函数，在D上一定有最小值和最大值。

性质2(介值定理)在有界闭区域D上的多元连续函数，如果在D上取得两个不同的函数值，则它在D上取得 介于这两个值之间的任何值至少一次。

一切多元初等函数在其定艾区域是连续的。所谓定狡区域，是指包含在定艾域的区域或闭区域。

由多元初等函数的连续性，如果要求它在点P0处的极限，而该点又在此函数的定狡区域，則极限值就是函数在 该点的函数值，即。

8.2偏导数的定义及计算法

对于函数z=f (x, y)，求时，只要把y暂时看作常量而对y求导。

&2.2高阶偏导数 定理 如呆函数z二f (x,y)的两个二阶混合偏导数在区域D连续.那末在该区域

这两个二阶混合偏导数必相等。

8.3多元复合函数求导法则及实例

定理如果函数u=0 (t)及屮(t)都在点t可字，函数Z=f (u, V)在对应点(u, V)具有连续偏导数,則复合函数Z=f [0 (t), m(t)]在点t可导，且其导数可用下列公式计算：。

8.4隐函数的求导公式

8.4.1 一个方程的情形

& 5 微分法在几何上的应用

&5.1空间曲线的切线与法平面

设空间曲线「的参数方称为x= 0 (t), y=w仕)，Z=w (t),这里假定上式的三个函数都可导。[插图1]

在曲线「上取对应于t=to的一点M (xo, yo, z0)o根摇解析几何，可得曲线在点M处的切线方程为

8.5.2曲面的切平面与法线 [插图2]

设曲面》由方程F (x, y,z) =0给出，M (xo, yo, zo)是曲面》上的一点，并设函数F (x,y,z)的偏导数在该点 连续且不同时为零。则根損解析几何，可得曲面上通过点M的一切曲线在点M的切线都在同一个平面上。这个平 面称为曲面工在点M的切平面。这切平面的方程是

通过点M (xo, y0, zo)而垂直于切平面的直线称为曲面在该点的法线。

法线方程是x=3垂直于曲面上切平面的向量称为曲面的法向量。

&6多元函数极值的求法

& 6.1多元函数的极值

二元函数的极值问题.一般可以利用僞导数来解决。

AC-B2<0时没有极值： (3) AC-B2=0时可能有极值，也可能没有极值，还需另作讨论。

利用定理1、2,我们把具有二阶连续徧导数的函数z = f(x,y)的极值的求法叙述如下：

第二步 对于每一个驻点(Xo, y0),求出二阶偏导数的值A、B和C。

第三步 定出AC-B2的符号，按定理2的结论判定f (xo, yo)是否是极值、是极大值还是极小值。

6.2条件极值 拉格朗日乘数法

拉格朗日乘数法 要找函数z = f(x, y)在附加条件4)(x, y) = 0下的可能极值点，可以先构成辅助函数F (x,y) =f(x,y) + X 0 (x,y),其中入为某一常数。求其对x与y的一阶僞导数，并使之为零，然后与方程0 (x, y) = 0 联立起来：

有这方程组解出X, y及入，则其中X, y就是函数f (x,y)在附加条件4> (x, y)二0下的可能极值点的坐标。 这方法还可以推广到自变量多于两个而条件多于一个的情形。

至于如何确定所求得的点是否极值点，在实际问题中往往可根据问题本身的性质来判定。

本章和下一章是多元函数积分的容。在一元函数积分学中，定积分是某种确定形式的和的极限。这种和的极限 的概念推广到定义在区域、曲线、曲面上的多元函数的情形，得到重积分、曲线积分、曲面积分的概念。

9.1二重积分的概念与性质

为引出二重积分的概念，我们先来讨论两个实际问题。

设有一平面薄片占有”如面上的闭区域2它在点(x. y)处的面密度为p (x, y),这里p (x, 丫)>0且在〃 上连续。现在要计算该薄片的质量饥

由于面密度p (x, y)是变量，薄片的质量不能直接用密度公式(〃二pS)来计算。但p(X, y)是连续的，利 用积分的思想，把薄片分成许多小块后，只要小块所占的小闭区域Dsi的直径很小，这些小块就可以近似地看 作均匀薄片。在D s i (这小闭区域的面积也记作D s i)上任取一点(x山h i),则p (x i, h D D s i (i = 1, 2,…，n)可看作第i个小块的质量的近似值［插图1］o通过求和，再令n个小区域的直径中的最大值(记作入) 趋于零，取和的极限，便自热地得出薄片的质量饥 即。

再设有一立体，它的底是”如面上的闭区域2它的侧面是以〃的边界曲线为准线而母线平行于z轴的柱面，它 的顶是曲面z = f (x, y),这里f (x, y) M 0且在D上连续。这种立体叫做曲顶柱体。

现在要计算上述曲顶柱体的体积V.

由于曲顶柱体的离f (x, y)是变量，它的体积不能直接用体积公式来计算。但仍可釆用上面的思想方法，用一 纽曲线网把。分成n个小闭区域D s 1 , D s 2,…，D s n,在每个D s i上任取一点(x h ?),则f (x “ h .)D s i (i = 1, 2, n)可看作以f (x山h i)为离而底为D s i的平顶柱体的体积［插图2］。

通过求和，取极限，便得出。

上面两个问题所要求的，都归结为同一形式的和的极限。在其他学科中，由许多物理董和几何董也可归结为这一 形式的和的极限。因此我们要一般地研究这种和的极限，并抽象出下述二重积分的定艾。

定义 设f (x, y)是有界闭区域Q上的有界函数。将闭区域。任意分成〃个小闭区域D s 1 , D s 2,…，D s 其中D s .表示第/个小闭区域，也表示它的面积。在每个D s i上任取一点(x ” h i),作乘积f (x ” h J D s i (/ = 1, 2,…，卩)，并作和。如果当各小闭区域的直径中的董大值I趋于零时，这和的极限总存在，则 称此极限为函数f (x, y)在闭区域。上的二重积分，记作，即。

其中f (x, y)叫做被积函数，f (x, y) ds叫做被积表达式，ds叫做面积元素，x与y叫做积分变量，Q叫做 积分区域，叫做积分和。

在二重积分的定艾中对闭区域Q的划分是任意的，如果在直角坐标系中用平行于坐标轴的直线网来划分Q,那末 除了包含边界点的一些小闭区域外?其余的小闭区域都是矩形闭区域。设矩形闭区域D s .的边长为D Xj和Dyk, 則D s = D Xj?D yko因此在直角坐标系中，有时也把面积元素ds记作dxdy,而把二重积分记作

其中dxdy叫做直角坐标系中的面积元素。这里我们要指出，当f (x, y)在闭区域。上连续时，(*)式右端的 和的极限必定存在，也就是说，函数f (x, y)在。上的二重积分必定存在。

9.1.2二重积分的性质

二重积分与定积分有类似的性质：

性质1被积函数的常数因子可以提到二重积分号的外面，即(k为常数)。

性质2函数的和(或差)的二重积分等于各个函数的二重积分的和(或差)。

#1/(兀，刃士 ￡(3皿卫=护(儿刃“处 庐卫

性质3如果闭区域〃被有限条曲线分为有限个部分闭区域，则在。上的二重积分等于在各部分闭区域上的二重 积分的和。例如〃分为两个闭区域2与则。

此性质表示二重积分对于积分区域具有可加性。

此性质的几何意艾很明显.因为高为1的平顶柱体的体积在数值上就等于柱体的底面积。

性质6设鳳刃分别是f (x, y)在闭区域。上的灵大值和最小值，s是。的面积，

则有。上述不等式是对二重积分仕值的不等式。

性质7(二重积分的中值定理)设函数f (x, y)在闭区域。上连续，s是Q的面积，则在。上至少存在一点(x , h )使得下式成立：。

9.2二重积分的计算法(直角坐标，极坐标)

按照二重积分的定义来计算二重积分，对特别简单的被积函数和积分区域来说可行，但对一般的函数和积分区域 来说，这不是一种切实可行的方法。这里介绍一种方法，把二莹积分化为两次单积分(即两次定积分)来计算。

2.1利用直角坐标计算二重积分 下面用几何的观点来讨论二莹积分的计算问题。

来表示［插图1］,其中函数j ’(X)、j 2 (x)在区间［a, b］上连续。

我们应用“平行截面面积为已知的立体的体积”的方法，来计算这个曲顶柱体的体积。

为计算截面面积，在区间［a, b］上任意取定一点X。，作平行于yOz面的平面x=x0o这平面截曲顶柱体所得截面 是一个以区间［j 1 (xo), j 2 (xo)］为底、曲线z = f (xo, y)为曲边的曲边梯形(［插图2］中阴影部分)，所 以这裁面的面积为。

一般的，过区间［a, b］上任一点x且平行于yOz面的平面裁曲顶柱体所得截面的面积为，于是，得曲顶柱体的 体积为。

这个体积也就是所求二重积分的值，从而有等式。(1)

上式右端的积分叫做先对y、后对x的二次积分。就是说.先把x看作常数，把f (x, y)只看作y的函数，并 对y计算从j, (x)到j? (x)的定积分：然后把算得的结果(是x的函数)再对x计算在区间［a, b］上的定 积分。这个先对y、后对x的二次积分也常记作。

因此，等式(1)也写成，(1‘)

在上述讨论中，我们假定f (x, y) 2 0,但实际上公式(1)的成立并不受此条件限制。

来表示［插图3］,其中函数屮’(y)、心2 (y)在区间［c, d］上连续，那末就有。 上式右端的积分叫做先对X、后对y的二次枳分，这个积分也常记作。

因此，等式(2)也写成，(2')

这就是把二重积分化为先对X、后对y的二次积分的公式。

我们称图9-2-1所示的积分区域为X-型区域，图9-2-3所示的积分区域为Y-型区域。对不同的区域，可以应用 不同的公式。如果积分区域D既不是X-型的，也不是Y-型的，我们可以把。分成几个部分，使毎个部分是X-型 区域或是Y-型区域。如果积分区域。既是X-型的，又是Y-型的，则由公式(「)及(2‘)就得 上式表明，这两个不同次序的二次积分相等.因为它们都等于同一个二重积分。

二重积分化为二次积分时，确定积分限是一个关键。而积分限是根据积分区域。的类型来确定的。

例1计算，其中D是由直线y二1、x = 2及y二x所国成的闭区域。

解法1首先画出枳分区域Q［插图4］。。是X-型的，。上的点的横坐标的变动围是区间［1, 2］o

在区间［1, 2］上任意取定一个x值，则。上以这个x值为横坐标的点在一段直线上，这段直线平行于y 轴，该线段上点的纵坐标从y = 1变到y = xo利用公式(1)得

解法2把枳分区域。看成是Y-型的。同学们可作为练习，验证解出的答案是否与解法1的相一致。对于较复杂的积分区域，在化二重积分为二次积分时，为了计算简便，需要选择恰当的二次积分的次序。 这吋，既要考虑积分区域0的形状，又要考虑被枳函数f (x, y)的特性。

例2求量各底圆半径都等于R的直交圆柱面所国成的立体的体积。

利用立体关于坐标平面的对称性，只要算出它在第一卦限部分［插图5］的体积$ 然后再乘以8就行了。

所求立体在第一卦限部分可以看成是一个曲顶柱体，它的底为，

如图 9-2-5 ( b ) 所示。它的顶是柱面。于是，。利用公式 (1 ) 得

i严-5斗菲 ' '伏"叫必七后〒”冒扳_ —卄|衣 从而所求立体体枳为。

9.2.2利用极坐标计算二重积分

有些二重积分■积分区域Z?的边界曲线用极坐标方程来表示比较方便，且被积函数用极坐标变量r, 6比较简单。 这时，我们就可以考虑利用极坐标来计算二莹积分。

按二重积分的定艾有，下面将推导出这个和的极限在极坐标系中的形式。

假定从极点0出发且穿过闭区域。部的射线与Q的边界曲线相交不多于两点。我们用以极点为中心的一族同心圆: r二常数，以及从极点出发的一族射线：6=常数，把。分成n个小闭区域［插图6］。除了包含边界点的一些小闭 区域外，小闭区域的面积D s i可计算如下：

其中表示相邻两圆弧的半径的平均值。在这小闭区域取圆周上的一点，该点的直角坐标设为Xi, hi,则由直角 坐标与极坐标之间的关系有。于是

由于在直角坐标系中也常记作，所以上式又可写成

这就是二重积分的变量从直角坐标变换为极坐标的变换公式，其中rdrde就是极坐标系中的面积元素。

公式(4)表明.要把二重积分中的变量从直角坐标变换为极坐标，只要把被积函数中的x、y分别换成rcos8、

rsin 6 ,并把直角坐标系中的面积元素dxdy换成极坐标系中的面积元素rdrd 0。

极坐标系中的二莹积分，同样可以化为二次积分来计算。在［插图刀，二重积分化为二次积分的公式为

o由二重积分的性质4,闭区域Q的面积s可以

表示为。在极坐标系中，面积元素ds二rdrd 0 ,上式成为<>

如果闭区域〃如图9-2-7 (a)所示，这由公式(5T有 厅

特别地，如果闭区域〃如图9-2-8所示，则4 (0) =0, 02 (0) =<t> (6)o于是。 例3计算，其中。是由中心在原点、半径为a的圆周所国成的闭区域。

解在极坐标系中，闭区域〃可表示为0WrWa, 0WBW2tt。由公式(4)及(5)有

9.3二重积分的应用实例

在二重积分的应用中，由许多求总量的问題可以用定积分的元素法来处理。如果所要计算的菜个量对于闭区域Z? 具有可加性(就是说，当闭区域。分成许多小闭区域时，所求量〃相应地分成许多部分量，且〃等于部分量之和)， 并且在闭区域Q任取一个直径很小的闭区域do吋，相应的部分董可近似地表示为f(x, y)do的形式.其中(x, y)在do。这个f (x, y) d o称为所求量〃的元素而记作d〃，以它为被积表达式，

在闭区域。上积分：，这就是所求量的积分表达式。

在闭区域Q上任取一直径很小的闭区域do (这小闭区域的面积也记作do)。在do上取一点Pg y),对应地 曲面S上有一点M (x, y, f (x, y)),点〃在"血面上的投影即点几 点〃处曲面S的切平面设为几插图1］。 以小闭区域do的边界为准线作母线平行于z轴的柱面，这柱面在曲面S上截下一小片曲面，在切平面厂上截下 一小片平面。由于do的直径很小，切平面厂上的那一小片平面的面积d/J可以近似代替相应的那一小片面积的 面积。设点〃处曲面S上的法线(指向朝上)于z轴所成的角为Y,則。

这就是曲面S的面积元素.以它为被积表达式在闭区域。上积分，得。

上式也可写为。这就是计算曲面面积的公式。

设曲面的方程为x二g (x, y)或y二h (z, x),可分别把曲面投影到x如面上(投影区域记作久)或面上(投 影区域记作Ax),类似地可得，或。

例1求半径为a的球的表面积。

解：取上半球面的方程为，则它在“如面上的投影区域。可表示为x2+y2^a2o

因为这函数在闭区域。上无界，我们不能直接应用曲面面积公式。所以先职区域2: x2+y2^b2 (0<b<a)为积分 区域，算出相应于〃上的球面面积4后，令bTa取4的极限，就得半球面的面积。

这就是半个球面的面积，因此整个球面的面积为A = 4na2o

9. 3.2平面薄片的重心

设有一平面薄片，占有X0/面上的闭区域0,在点(x, y)处的面密度p (x, y),假定p (x, y)在0上连续。 现在要找该薄片的重心的坐标。

在闭区域Q上任取一直径很小的闭区域do (这小闭区域的面积也记作da), (x, y)是这小闭区域上的一个点。 由于do的直径很小，且p (x, y)在Q上连续，所以薄片中相应于d 0的部分的质量近似等于p (x, y) d a t 这部分质量可近似看作集中在点(x, y)上，于是可写出静矩元素d必及d":

o又由第一节知道，薄片的质量为。

所以，薄片的重心的坐标为 如 刼 O

如果薄片是均匀的，即面密度为常量，则上式中可把P提到积分记号外面并从分子、分母中约去，这样便得均匀 薄片重心的坐标为(1)其中为闭区域。的面积。这吋薄片的莹心完全由闭区域。的形状所决定。我们把均匀平 面萍片的重心叫做这平面薄片所占的平面图形的形心。因此，平面图形。的形心，就可用公式(1)计算。

例2求位于两圆r = 2sin6和r二4s in 6之间的均匀薄片的重心［插图2］

o因此，所求重心是C (0, 7/3)o解 因为闭区域D对称于丫轴.所以重心必位于y轴上，于是。再按公式计算。由于闭区域D位于半径为1与半 径为2的两圆之间，所以它的面积等于这两个風的面积之差，即A二

三.平面薄片的转动惯量

设有一薄片，占有“0/面上的闭区域0在点(x, y)处的面密度p (x, y),假定p (x, y)在〃上连续。现 在要求该薄片对于X轴的转动惯董人以及对于y轴的转动惯量/“

应用元素法，在闭区域Q上任取一直径很小的闭区域do (这小闭区域的面积也记作do), (x, y)是这小闭区 域上的一个点。由于do的直径很小，且p (x, y)在Q上连续，所以薄片中相应于do的部分的质量近似等于 p (x, y) da,这部分质量可近似看作集中在点(x, y)上，于是可写出薄片对于"轴以及对于y轴的转动惯 量元素：d A = y2 p (x, y) d a , d/y = xz p (x, y) d a o 以这些元素为被积表达式.在闭区域。上积分，便得。

例3求半径为a的均匀半圆薄片(面密度为常量p)对于其直径边的转动惯量。

解：取坐标系如图［插图3］所示，则薄片所占闭区域。可表示为xV^a2, y$0：

而所求转动惯量即半圆薄片对于X轴的转动惯量人。

其中为半圆薄片的质量。

9.4利用柱面坐标和球面坐标计算三重积分

与二重积分的计算类似，三重积分有时也要利用柱面坐标或球面坐标来进行计算。

9.4.1利用柱面坐标计算三重积分

设M (x, y, z)为空间一点，并设点"在“血面上的投影P的极坐标为r, 0 ,则这样的三个数r, 9 , z就叫 做点〃的柱面坐标［插图1］,这里规定5 9 . z的变化国为：

r二常数，即以z轴为轴的圆柱面：B二常数，即过z轴的半平面：z二常数，即与xOy面平行的平面。

显然，点M的直角坐标与柱面坐标的关系为

(1)现在要把三莹积分中的变量变换为柱面坐标。为此，用三组坐标面r =常数，6二常数，z =常数把Q分 成许多小闭区域，除了含Q的边界的一些不规则小闭区域外，这种小闭区域都是柱体。考虑由r, 6, z各?取得 微小增量dr, d? , dz所成的柱体的体积［插图2］。柱体的离为dz、底面积在不计高阶无穷小吋为r dr d0 (即 极坐标系中的面积元素)，于是得dv = r dr d 0

这就是柱面坐标中的体积元素。再注意到关系式(1),就有(2)

其中F (r, 6 , z) = f (r cos 0 , r sin 6 , z)。(2)式就是把三重积分的变量从直角坐标变换为柱面坐标的 公式。至于变量变换为柱面坐标后的三重积分的计算，则可化为三次积分来进行。化为三次积分时，积分限是根据r, e , z在积分区域Q中的变化国来确定的，下面通过例子来说明。

例1利用柱面坐标计算三重积分，其中Q是由曲面z = x2+y2与平面z = 4所围成的闭区域。

解 把闭区域Q投影到x如面上，得半径为2的圆形闭区域Q: 0WrW2, 0W6W2n。在。任取一点(r, 6 ), 过此点作平行于z轴的直线，此直线通过曲面z = x2+y2穿入Q,然后通过平面z = 4穿出Q外。因此闭区域Q 可用不等式r2WzW4, 0WrW2, 0W8W2tt来表示。于是 9.4.2利用球面坐标计算三重积分

设“(X, y, z)为空间一点，則点"也可用这样三个有次序的数r, 0, 6来确定.其中r为原点0与点〃间的 距离，0为有向线段与n轴正向所夹的角，8为从正z轴来看自”轴按逆时针方向转到有向线段的角，这里P 为点〃在“0/面上的投影［插图3］。这样的三个数r, 0, B叫做点M的球面坐标，这里r, 0, 3的变化围为0 r < +8, OWeW tt,0W8W2tt ?

r =常数，以原点为心的球面；e二常数，即以原点为顶点、n轴为轴的圆锥面；6 =常数，即过z轴的半平 面。

点〃的直角坐标与球面坐标的关系为(3)

为了把三重积分中的变董从直角坐标变换为球面坐标，用三组坐标面r二常数，常数，6二常数把积分区域 Q分成许多小闭区域。考虑由r, 4), 6各取得微小增董dr, de, de所成的六面体的体积［插图4］。不计爲阶 无穷小，可把这个六面体看作长方体，其经线方向的长为rd0,纬线方向的宽为r sin0de ,向径方向的商为 dr,于是得dv = r 2 sin0drd(t)d6 ,这就是球面坐标系中的体积元素。再注意到关系式(3),就有

其中F (r, 0 , 0 ) = f (r sin 0 cos 0 t r sincpsin 0 , r cos 0 )。(4)式就是把三重积分的变量从直角坐标 变换为球面坐标的公式。要计算变量变换为球面坐标后的三重枳分，可把它化为对r对4>及对8的三次积分。 若积分区域Q的边界曲面是一个包国原点在的闭曲面，其球面坐标方程为r = r(0, 6 ),则

闽皿械丘=\ dpf八5亿焰佛异sin叔尸

当积分区域Q为球面r = a所囤成时，则。特别地，当F (r, 0 , 6 ) = 1时，由上式即得球的体积

例2求半径为a的球面与半顶角为a的接维面所围成的立体［插图5］的体积。

解 设球面通过原点0,球心在z轴上，又接锥面的顶点在原点0,其轴与z轴重合，则球面方程为r = 2acos4),

在三重积分的应用中也可采用元素法。

设物体占有空间闭区域Q,在点(x, y, z)处的密度为p (x, y, z),假定这函数在Q上连续，求该物体的重 心的坐标和转动惯量。与第三节中关于平面薄片的这类问题一样，应用元素法可写出

例3求均匀半球体的重心。

解 取半球体的对称轴为N轴，原点取在球心上，又设球半径为a,则半球体所占空间闭区域Q可用不等式 x2+y2+z2^a2, zMO来表示。显然，重心在z轴上，故

第十章：曲线积分与曲面积分

上一章，我们已经花积分概念从积分围为数轴上一个区间的情形推广到了积分围为平面或空间一个闭区域的情 形。本章将把积分围推广到一段曲线弧或一片曲面的情形，并阐明有关这两科积分的一些基本容。

10.1.1第一类曲线积分

1 ?曲线L光滑，方程可以写成为： 2 ?函数在L上有定狡，且连续。

公式变形：若L为平面曲线，L方程为，则公式可以写成为：

1 .对于曲线L可以写成为参数形式的，可直接套用公式.

2?对于平面曲线，可以用公式的变形. 3?计算中，根据图形特点，直接将ds化为dx,dy或dz?

当l_是简单的折线段时，可以将L分为几个连续线段的和，然后分别求积分，再求和。(注意：由于折线段不 连续，所以这种情况下不能对L直接套用公式，否则，公式中的将有无意义的点.

推导的总体思想：将曲线L先分割，再求和，最后取极限。推导过程中要用到：中值定理，弧长公式及连续函数 的一些极限性质.

分割：在L上插入n个分割点，令，()：

记d=max (),为［］上的弧长，为［］上任意一点.

由弧长公式： 由中值定理：

其中是由中值定理确定的［］上的一点，：

利用，，，的连续性，有：

右端是黎曼积分和数，利用黎曼积分定狡取极限:

10.1.2第二类曲线积分

问题的来源：物理上，力F作用于物体上，使之沿曲线AB由A运动到B.求力F所做的功W. 公式的推导 分割：将AB曲线分为小弧段?在毎个小段上将"F视为常力F.于是上作功.(其中?是线段与的夹角) 设，，是在x, y, z三轴正方向的投影.

10.1.3两类曲线积分的联系

设曲线上以(t, x), (t, y), (t, z)表示正向切线t与三正向坐标系的夹角?于是 八，据二类曲线计算公式：

;由一类曲线推导得: 由曲线方程对称性的公式如下:L/e的+砂血皿心)+如s)+亦如炒

对于平面吋，公式可化为：

10.2第一类曲面积分

思想：与曲线积分类似，但分割的是平面.曲线积分中一切线段代替曲线段，以微小切平面代替曲面.求和，取极限. 公式：其中z=f (x, y)为曲面方程.也可写成，其中为法线与z轴夹角?若s为参数形式x二x (u, v), y=y (u, v), z=z (u, v) 由于

若记，，则公式亦可写为：.

1?利用原始公式求积分.(但是注意：有些方程虽不能写成z二z(x,y)的显示形式，但利用隐式求导.求出与后. 由于方程的特殊形式，有可能消去子项，从而可利用原始公式.

2?化方程为参数方程?计算A, B, C或E, F, G利用推倒公式求积分.

3.有些方程利用图像的对称性.可以只求其中的几个部分即可?这样做可大大降地计算量.

10.3第二类区面积分 同第二类曲线积分的推导及形式，相类似的有积分形式为:

下面求第二类曲面的计算公式：与上述推导类似，分割，做和，与I相比较，有

对于正负号的取舍，适当UV平面的正向与曲面S选定一侧相关的正向相互对应时取正号，否则取负. 因为第二类区面积分计算可利用上述公式将分别计算，然后求和.

10.4 两类曲面积分的联系

对于微小面有(由中值定理得其存在性)?作和，

由于?取极限：」 Z ，其中为微小元的直径的灵大值?因为，于是

得由方程对称性得到联系方程」 5 (为法线与

10.5各种积分间的联系 三大公式：

其中：1为光滑曲线,D为平面单连通区域，I为D的边界.P,Q在D及I上连续，并且有对x,y的连续倔导，右侧积 分取区域正向，即延正向祈进，区域在左边.

出希；+学+乍■磁如2 =和Fcos(g)十Q co心刃+ R cos(w, x)]ds Y 丿 5 其中：s为光滑曲面?V为空间单连通区域,s为V的边界.P,Q,R在V及s上对x,y,z有连续偏导数，N为s外法 线方向，最后的积分是延区面s的外侧.

其中：I为光滑曲线s为光滑曲面.L为s的边界.P,Q,R在S及I上对x,y,z有连续偏导数，曲线积分方向与曲 面的侧依右手定则联系.

无穷级数是高等数学的一个重要组成部分，它是表示函数、研究函数的性质以及进行数值计算的一种工具。本 章先讨论常数项级数，介绍无穷级数的一些基本容，然后讨论函数项级数，着重讨论如何将函数展开成幕级数 和三角函数的问题。

11.1收敛级数的性质

性质一：若级数收敛，a为任意常数，则亦收敛，并且二a。

性质二：若两个级数和都收敛，则也收敛，并且有

性质三：一个收敛级数对其项任意加括号后所成的级数仍收敛，且其和不变。

注意：加括号后的级数为收敛时，不能斷言原来未加括号的级数也收敛，即性质三的逆命题不成立。

例：显然级数发散，加括号后成为（1+1） + （1+1）???显然结果为零。

性质四（收敛的必要条件）：若级数收敛，则。

注意：此命题仅给出了级数收敛的必要条件而非充分条件。

11.2正项级数及交错级数的审敛法 正项级数的定艾：各项都是正数或零的级数称为正项级数.

Z1正项级数的审敛法：

1?（比较审敛法）:设和都是正项级数，且（n=1,2, 3, ???）?

若级数收敛，则级数收敛：反之，若级数发散，则级数发散.

推论1:设和都是正项级数，如果级数收敛，且存在自然数N,使当时有（k>0）成立，则级数收敛;如果级数发散，且当 时有（k>0）成立，则级数发散.

推论2：设是正项级数，如果有p>1,时（n=1,2-）, ??］级数收敛;

若（n=1,2,-），则级数发散.

（比值审敛法）：若正项级数的后项与前项比值的极限等于：，

则当吋级数收夕攵；（或）吋级数发散；时级数可能收敛也可能发散.

（根值审敛法）：设为正项级数，如果它的一般项的n次根的极限等于：，則当时级数收敛，（或）时级数发散，吋级 数可能收敛也可能发散.

交错级数的定狡：各项是正负交错的级数称为交错级数.

11.2.2交错级数的审敛法：

（莱布尼兹定理）：如果交错级数满足条件：

（1）: （n=1,2, 3,…） （2）:則级数收敛，且其和，其余项的绝对值.

定艾：绝对收敛：对于级数，如果级数收敛的话，则称为绝对收敛。

条件收敛：如果发散，但却是收敛的，则称为条件收敛。

关系：绝对收敛级数必为收敛级数，但反之不然。

例：此级数非绝对收敛，但却是条件收敛的。 注意：当我们运用柯西判别法和达朗贝尔判别法来判别

正项级数而获得为发散时.我们可以断言，级数亦发散。幕级数及其收敛性

定狡：形如(a为实数)的级数称为嫌级数。

收敛半径：任意幕级数必存在数r>=0使得(1)这一幕级数在(-r, r)必区间一致收敛且绝对收敛

(1)若幕级数在x二r收敛，则对任意，这一幕级数在［-r, r］一致收敛，若幕级数在x二r收敛，有相同的结果。(3) 对任意，幕级数在x发散。则称r为嫌级数的收敛半径。只须求出r,则幕级数的收敛性就知道。

r的求法:若，或存在，则幕级数的收敛半径

11.5泰勒级数及其应用

11.5.1泰勒级数的定义：

若函数f (x)在点的某一临域具有直到(n+1)阶导数，則在该邻域f (x)的n阶泰勒公式为：

其中：.称为拉格朗日余项。以上函数展开式称为泰勒级数。

11.5.2泰勒级数在幕级数展开中的作用：

在泰勒公式中，取，得： 2! 加

这个级数称为麦克劳林级数。函数f (x)的麦克劳林级数是x的彖级数，那么这种展开是唯一的，且必然与f (X)的麦克劳林级数一致。

11.5.3注意：如果f (x)的麦克劳林级数在点的某一临域收敛，它不一定收敛于f (x)。因此，如果f (x)在 处有各阶导数，则f(X)的麦克劳林级数虽然能做出来，但这个级数能否在菜个区域收敛，以及是否收敛于f

(X)都需要进一步验证。

11.6函数展开成富里叶级数

定义：设周期为的函数f(x)在［-,］可积和绝对可积

如果f(x)是周期为2I的函数在［-I, I］可积和绝对可积，则其富里叶级数为~

例:在［-,］上展开成富里叶级数

解??因为f(x)为偶函数，所以富里叶系数

11.7函数展开成正弦级数或余孫级数

在实际应用中，有时需要把定艾在区间上的函数f(x)展开成正弦级数或余弦级数.根据上一节的知识，我们可以 得到一下解决方法：

在开区间补充函数f(x)的定义，得到定义在上的函数F(x),使得它在上成为奇函数(偶函数).按这种方法扩展函 数定义域的过程成为奇延拓(偶延拓).然后用上一节的方法就可以得到函数富里叶级数.限制x在上，此时 F(x) =f (x),这样便得到f (x)的正弦级数(余弦级数)展开式.

解：对函数f(x)进行奇延拓.

函数是客观事物的部联系在数量方面的反映，利用函数关系又可以对客观事物的规律性进行研究，因此如何寻求函数关系，在实践中具有重要意义。在许多问题中，不能直接找到所需的函数关系，但是根据问题所提供的 情况，有时可以列出含有要找的函数及其导数的关系式，这样的关系式称为：微分方程。对其进行研究，找寻 未知函数，称为解微分方程。本章主要介绍微分方程的一些基本概念和几种常用解法。

一般地，如果一个一阶微分方程能写成g(y)dy二f(x)dx (*)的形式，就是说，能把微分方程写成一端只含y的 函数和dy,另一端只含x的函数和dx,那末原方程就称为可分离变量的微分方程。

那么我们将怎样解可分离变量的微分方程？通常我们釆用两边积分的方法求解。

假定方程(*)中的函数g(y)和f (x)是连续的。设 是方程(*)的解，将它代入(*)中得到恒等式 将上式两端积分，并由引进变量y ,得

设G(y )及F(x)依次为g(y)及f(x)的原函数，于是有G(y)=F (x)+C,因此，方程(*)的解满足上式。 例仁求微分方程的通解。

解 此方程是可分离变董的，分离变量后得两端积分 得

从而因仍是任意常数，把它记作C,便得方程的通解。

如果一阶微分方程中的函数可写成的函数，即，则称这方程为齐次方程。例如：是齐次方程，因为

12. 2.2齐次方程的解法：

在齐次方程(1)中，引进新的未知函数(2)

就可化为可分离变量的方程。因为由(2)有代入方程(1),便得方程

即 分离变量，得 两端积分，得

求出积分后，再用y/x代替u,便得所给齐次方程的通解。

解原方程可写成因此是齐次方程。令，則，

于是原方程为：即。分离变量，得两端积分，得或写为以代入上式中的U,便得所给方程的通解为。

12. 3.1定义：方程(1)叫做一阶线性微分方程，因为它对于未知函数y及其导数是一次方程。如果Q(x)=O则 方程(1)称为齐次的；如果Q(x)不恒等于零，則方程(1)称为非齐次的。

12. 3.2非齐次线性方程的解法

方程(2)叫做对应于非齐次线性方程(1)的齐次线性方程。方程(2)是可分离变量的，分离变董后得，两端 积分，得，或，

这是对应的齐次线性方程(2)的通解。

现在我们用所谓常数变易法来求非齐次线性方程(1)的通解。把(2)的通解中的C换成x的未知函数u(x),即

卩朋.诉⑵訝皿碍仃(论P加

两端积分，得 把上式代入(3),便得非齐次线性方程(1)的通解

.(5)将(5)式改写成两项之和

第一项是对应的齐次线性方程(2)的通解，第二项是非齐次线性方程(1)的一个特解，由此可知，一阶非齐次 线性方程的通解等于对应的齐次方程的通解与非齐次线性方程的一个特解之和。

例：求微分方程 满足条件y(1)=1的特解。

解 先将方程化为线性方程标准形，再求解。将原方程变形为利用公式八

当n二0或n=l时，这是线性微分方程。当n$0或时，可把它化为线性的。只要以除方程(10)的两端，得。 容易看出，上式左端第一项与只差一个常数因1-n,因此我们引入新的未知函数.那末。用(1-n)乘方程(11) 的两端，再通过上述代换得线性方程。求出这方程的通解后，以 代z,便得到伯努利方程的通解。

12.4可降阶的高阶微分方程 有三种容易降阶的高阶方程：

方程右端只含x,容易看出，只要把作为新的未知函数，那未(1)式就是新的未知函数的一阶微分方程。 两边积分，就得到一个nT阶的微分方程

依此法继续进行，接连积分n次，便得方程(1)的含有n个任意常数的通解。

解对所给方程接连积分三次，得

方程右端不显含未知函数y,如果我们设，那末而方程就成为.

这是一个关于变量x, p的一阶微分方程。设其通解为。但是，因此又得到一个一阶微分方程对它进行积分，便 得到方程(2)的通解为。

例求微分方程满足初始条件，的特解。

解 所给方程是型的。设y‘ = p,代入方程并分离变量后，有?两端积分.

得，即()，由条件，得，所以.两端再积分，得 又由条件，得，于是所求的特解为.

(3)方程中不明显地含自变量X。为了求出它的解，我们令y‘ =p ,并利用复合函数的求导法则把化为对y的导 数，即?这样，方程(3)就成为。

这是一个关于变量y, p的一阶微分方程。

设它的通解为，分离变董并积分，便得方程(3)的通解为。

解所给方程不明显地含自变量x,设，則，代入方程中，得。

在、时，约去P并分离变量，得。

两端积分，得，即，或。

再分离变量并两端积分，便得方程的通解为，或()。

12.5二阶常系数齐次线形微分方程

在二阶齐次线形微分方程(1)中，如果的系数P(x) , Q(x)均为常数，

即(1)式写成为(2)其中p,q是常数，则称(2)为二阶常系数齐次线形微分方程。

如果p,q不全为常数，称(1)为二阶变系数齐次线形微分方程。

当r为常数时，指数函数和它的各阶导数都只相差一个常数因子。由于指数函数有这个特点，因此我们用来尝试, 看能否选取适当的常数r ,使满足方程(2)。

将求导，得到把和代入方程(2),得

由于，所以(3)由此可见，只要r满足代数方程(3),函数就是微分方程(2)的解。我们把代数方程(3) 叫做微分方程(2)的特征方程。

下面我们就通过研究特征方程(3)来研究微分方程的解。可得出求二阶常系数齐次线形微分方程(2)的通解 的步骤如下：第一步写出微分方程(2)的特征方程(3)

第二步求出特征方程(3)的两个根。

第三步 根据特征方程(3)的两个根的不同情形，按照下列表格写出微分方程(2)的通解：

例1求微分方程的通解。

解 所给微分方程的特征方程为

其根是两个不相等的实根，因此所求通解为

例2求方程满足初始条件，的特解。

解所给方程的特征方程为其根是两个相等的实根，因此所求微分方程的通解为

将条件代入通解，得，从而 将上式对t求导，

得，再把条件代入上式，得，于是所求特解为。

例3求微分方程的通解。

其根为一对共純复根，因此所求通解为。

12.7微分方程的幕级数解法

当微分方程的解不能用初等函数或其积分式表达时，我们就要寻求其它解法。常用的有幕级数解法和数值解法。 本节我们简单地介绍一下微分方程的嫌级数解法。

满足初始条件的特解，其中函数f (x , y)是、的多项式：

.这时我们可以设所特解可展开为的嫌级数

卩二兀+十…十仓仗_心)”十…，(2) 其中是待定的系数，把(2)代入⑴

中，便得一恒等式，比较这恒等式两端的同次篝的系数，就可定出常数，以这些常数为系数的级数(2)在其收 敛区间就是方程(1)满足初始条件的特解。

例1求方程满足的特解。

把及的幕级数展开式代入原方程，得

由此，比较恒等式两端X的同次幕的系数.得

于是所求解的幕级数展开式的开始几项为。

关于二阶齐次线性方程 (3)

用幕级数求解的问题，我们先叙述一个定理：

定理 如果方程(3)中的系数P(x)与Q(x)可在一RVxVR展开为x的幕级数那么在一R<x<R方程(3)必有 形如的解。

例2求微分方程的满足初始条件，的特解。

解 这里在整个数轴上满足定理的条件。因此所求的解可在整个数轴上殿开成x的幕级数

( 4 ) 由条件 得。对级数(4 )逐项求导，有

“1 ,由条件得.于是我们所求方程的级数解及的形式已成

(7)把(5)和(7)代入所给方程，并按x的升幕集项，得

+ (6 ?轨-旳)/…+血亠习⑺+ 1)务Q 一备山"+…=0 因为幕级数(4)是方程的解，上式必然是恒等式，因此方程左端各项的系数必全为零，于是有 一般地(n=3 , 4，…)?从这递推公式可以推得