反常积分∫(负无穷到0)cosxdx收敛还是发散?

条件是g的值域∩f的定义域≠空集

反函数存在的充要条件:y有且仅有一个对应的x,如y=x2就没有反函数
函数fx :x映射到y
求y=shx的反函数,解法:将ex视作整体,分子分母同乘ex

  • 注意无界函数的定义的有界函数的补集,所以一个函数不是有界函数就是无界函数

xn看作一个是值,落在x轴上的值,同时也是数列中的一个值

数列极限存在,部分列极限也存在
注意:所有部分列能还原成原数列,且所有部分列极限存在且相等才能反推原数列极限


∞在函数和数列中定义是不一样的,数列中无穷默认为+无穷

x -> ∞,要判断两个极限,一个是x趋向+∞,一个是x趋向-∞,左右有别

左右有别的常见考题,x->0,在x=0处出考点



夹逼准则常用在求极限,
那么如何判断这个极限能用夹逼来做?


n的阶乘远大于2n,所以等0


要用这个定理先要证明有界

高阶、低阶、同阶、等价,k阶无穷小

洛必达常用,直接看最高阶的项即可

注意 无穷小可能=0,就不能做分母,


注意lim a(x)=0,lim b(x)=∞的条件,不是任何条件都可以乱用的!
结论的推导还是用的幂指函数求极限的方法,保守点就用幂指函数求极限

常见等价无穷小 要背 mark

注意:等价无穷小做初等公式变换,如(x-sinx)1/2,(1-cosx)3,这些把原来的等价无穷小看作因子,相乘就是幂次形式,所以不要被吓到

这里的等价无穷小可以推泰勒展开,如 1-cosx ~ 1/2x^2就可以推 cosx的泰勒展开,ln(1+x),(1+x)^a的泰勒也可以推了,在稍微记一下通项就基本记住了

有两个极限存在就能推第三个极限一定存在,注意下面可以拆分的条件是极限A和极限B存在

【存在 ±*/ 存在 】,这个一定存在
【不存在 ±*/ 不存在】,都不一定
【存在 ±*/ 不存在】,只有存在±不存在=不存在



洛必达,注意洛必达是否可以用,得先求才能知晓(结果是存在或者∞才能用)
七种类型的极限都可以用洛必达法则
∞-∞可以通分用洛必达,也可以直接用泰勒展开

0±0和∞±∞常用泰勒展开,展开原则,展开到x的最高阶

如果含有极限非0因子,先求出来,以化简
注意使用等价无穷小只能在乘法因子中使用

如果f(x)一阶可导,没有说连续,那么不能用洛必达法则!
如果f(x)二阶可导,没有说连续,只能洛到一阶。
这种题型使用导数定义做:

分子就可以用泰勒,一桶刨沙
注意!!! 分子不能用等价无穷小,因为不是乘除法的因子,这里是±
(等价无穷小使用条件是,等价无穷小代换后相减或者相加后不等于0)

这题其实将3提出来做更简单

题型:数列推导求极限题
先要用单调有界准则证明极限存在(首先说明单调增并且有上界=>极限存在),然后才能设limXn=limXn+1=a求极限

单调有界准则 常用不等式证明有界,
补充均值不等式:算数平均和几何平均比较常见

间断点题型:找有几个间断点,讨论间断点

如何找间断点?找不存在的值处

这个fx函数可以拆成3个因子,每个因子分别找无定义的点处,x=0,x=1处,直接求极限,但是出现ex,arctanx,分段函数,|f(x)±a| 时得分左右极限来求


那这个fx可以拆成4个因子,依次判断无定义的点即可,核心还是求极限

这一题做了一点变化,这里首先是得求出fx,而求出fx又要x分类讨论
这里考点是4个讨论区间
在讨论x=1处和x=-1处,判断是否间断?判断是跳跃间断还是可去间断?


考点2:关于连续性运算和性质,连续函数的性质的证明题


首先是连续函数的最值定理,存在最大最小值
其次用到了介值定理的推论,f(ξ)应该想到:m<=f(ξ)<=M,所以把证明改写,将p+q移过去,单独把f(ξ)表达出来。


求导,其实就是特殊的极限,因此一阶导可以看作是fx的特殊极限(Δx->0),二阶导可以看作是一阶导的特殊极限。
两种写法,这两种写法分母都是分子的自变量相减
1)左右有别,分别用定义去计算导数,最普遍的方法
2)等号这边的函数,可以用其导函数来求导
那么f’+则需要用到定义去求

3)导数存在的必要条件:此点连续。如果此点不连续那么导数不存在

什么叫连续?连续是指函数在此处极限存在且与函数值相等
什么叫可导?直观来讲,可导就是在这点的上的切线有一定的方向;可导可以看作是fx空心邻域与此处fx值的关系,有空心邻域fx必要条件就是此处连续

若不连续,导致这点上的导数的切线缺失了方向(变化率不存在,或者说是切线变化不光滑),导数不存在。
更何况连续都不一定可导,譬如fx=|x|

导数是函数某点的变化率,微分是函数的改变量

通俗的说微分是函数上的一小段(用kx拟合)在y轴的映射



dy是Δy的线性主部(近似的主要部分),将Δy的高阶无穷小忽略了


可微的(充分)必要条件是可导,就是可微和可导等价,
很少考可微性的判定,因为可微判断可导即可(一元中可微和可导等价),不会用定义去做,而可导需要用到定义去判断。

一元考导数,多元考微分

微分是函数上的一小段(用kx拟合,简单讲就是切线代替曲线,dy是切线拟合,Δy就是原本的曲线)在y轴的映射

连续可导可微之间的关系



可导 => 连续的正确理解,可导和一阶导连续、一阶导极限是否存在无关
所以,在fx二阶可导的时候,洛必达不能乱用,fx二阶可导且连续才能求到二阶,(注意:二阶可导说明f’x连续;而fx可导是一阶可导,说明的是fx连续)
=>二阶可导,lim f’’(x)不一定存在,更不一定连续,洛必达只能用到一阶,后面请使用导数定义


导数公式及求导法则(背

但是这个幂指数改写成exln(1+sinx)会好做一些
这题就很适合用对数求导,因为对数可以把乘法化成加法



这题我们已知x对时间的变化率,求另外一个变量l对时间变化率,这种题型叫相关变化率

x和l是两个相关的量,

首先建立起这两个相关量的关系

题目要求我们l对t求导

考题:求极限、极值最值、凹向拐点、渐近线、方程的根、不等式证明、微分中值定理证明

什么时候用微分中值定理

题目告诉我们导数的条件,让我们研究函数
或者给的是函数条件,研究导数

本质是建立fx和高阶导数之间关系
用多项式逼近一般函数fx

极值的必要条件,导数=0
导数=0的点称为驻点,驻点包含极值点(错),极值点(y=|x|)不一定是驻点
如果fx可导的条件下,才极值点=>驻点,驻点包含极值点

细节,可以用在导数=0处,也可以用在导数不存在的点处只要fx连续

最值要么在内部的极值处,要么在端点处(极值是一个领域,所以极值不能在端点取到,但这里是最值)


拐点是曲线上的点,用(x0,y0)表示

垂直,如tanx,分母等于0的点就是可疑的点
斜,±∞的一侧出现斜渐近线

f’x=0或者f’x不存在


y’'左右两侧异号,图像上看一边是凹一边是凸


水平:看x趋向∞,fx=常数


1)零点定理,区间连续,fx异号 = > 至少存在一个根

2)构造辅助函数使用罗尔定理,F’x = fx,区间连续,端点相等 => 存在fξ=0


1)单调性,构造函数,求F’x

首先考了函数性质:偶函数


2)构造辅助函数(一般是直接把右边移动到左边),罗尔定理
考了介值定理和拉格朗日中值定理


2个概念 原函数和不定积分



但不连续也可能存在原函数


不定积分基本公式 (背

第一换元积分法 凑微分 (背


第二换元积分法 换元法 (背


还有直接令的形式,t = 根号下1+e2

比较适用于两类不同函数相乘


分母分解因式,分子分母同乘凑微分


同除以cos2x,凑微分


第一换元积分法 凑微分,根号下1-x凑微分



题型:分段函数的原函数应保证在分界点连续
选择题的话,先判断原函数Fx分界点的连续性,再判定F’x=fx



第二换元积分法 换元法


三角函数+指数函数,使用分部积分法,因为分部积分法比较适用于两类不同函数相乘,这里把ex放进dx去



两类不同函数相乘,使用分布积分,这里先凑1/根号x的微分



这里考点是简单无理函数积分和有理函数积分,直接令根号下多项式 = t

有理函数积分使用拆项的方法做,拆项的具体方法是看出分母是由那两个多项式因子组成的,将分子用这两个多项式因子进行加减运算表示



考点是分部积分和原函数定义和不定积分的性质



考点是换元积分法,综合了不定积分的性质


具体定义略,大致说一下是定积分是非均匀分布的闭区间上的求和极限,定积分是一个常数




最常见的半圆公式计算定积分的时候



积分上限的函数 (变上限积分


有点类似于概率论里的分布函数 ∫ fx dx = Fx


fx为奇函数,它的变上限积分为偶函数







记忆:先写 n-1/n,往后倒推:
如果写到了1/2,就多乘一个派/2


考点:定积分定义求极限


考点:定积分的几何意义
S3注意一下是梯形面积,
f’'x>0表示是函数图像是凹的


考点:定积分的性质,不等式


考点:定积分的几何意义,
变上限积分定理2:fx为奇函数,它的变上限积分为偶函数,反之,fx为偶,∫0->xfxdx为奇函数
这里fx是奇函数,所以Fx是偶函数

上下限a->b,应该满足b>=a的,才有定积分的几何意义,不满足条件需要对调ab,并且添加负号


考点:定积分的几何意义,


考点:罗尔定理(F’x = fx,区间连续,端点相等 => 存在fξ=0),


考点:定积分计算之奇偶性
+号拆分成左右两个部分,奇函数部分先化成0,偶函数部分化成2倍


考点:定积分计算之奇偶性,定积分的几何意义
定积分的几何意义,中提到的偏圆公式


考点:定积分常用结论,点火公式,定积分计算之奇偶性



考点:第二换元积分法,换元法


考点:换元法,简单无理函数积分


这里很明显把x放进dx



这里fx是求不出来的,因此只能用分部积分把求fx转换成求f‘x的问题


3种类型,1,23,4
2)x在变上限定积分里是常数,把x提出去,在对x求导
3)换元,令x-t=u,注意变上下限
4)也是换元,令x+t=u,注意变上下限


考点:变上限积分定理1(就是求导公式)


考点:都是变上限积分求导

但是最快的方法是特殊值法,直接令fx=1


考点:Fx原函数性质(连续,F’x=fx)
因为F‘x=fx在分界点处很难求F’x,
但是通过判断Fx连续性(连续必可导),不连续的直接排除,就可以选出答案了


常用结论:fx不连续,存在跳跃间断点,原函数Fx连续,在间断点处但不可导


分段函数求原函数,容易做错,类比一下离散型随机变量求分布函数就好,


考点:极限计算,洛必达,变上限积分求导


考点:洛必达,变上限积分求导(或者用定积分性质:中值定理)
之所以可以用定积分性质中值定理,是因为这里被积分式子有fx和gx,可以把fx或者gx提出来变为fξ或者gξ,而ξ->0


考点:微分,隐函数求导,变上限积分求导

定义1:(半)无穷区间上[a,正无穷)的反常积分,类似的还有(负无穷,b]无穷区间上的反常积分

这两种无穷区间:一半无穷,一半有界,求它反常积分的散敛性就是直接求定积分,直接带无穷结果是常数则为收敛,若是无穷则为发散


定义2:无穷区间上的散敛性,
这种无穷区间,两端都是无穷,则要拆分成左右两个半无穷区间,两个都收敛,这个无穷区间反常积分才收敛


无界函数即不是有界函数的函数,如y=1/x


如果函数fx在点a任一领域内都无界,称点a为瑕点,


设函数fx在(a,b]上连续,点a为瑕点,下面极限存在,称此极限为fx在闭区间[a,b]上的反常积分
反之fx在[a,b)上连续,b为瑕点,类比下面极限存在,称此极限为fx在闭区间[a,b]上的反常积分


这种反常积分的散敛性情况,直接计算此极限,若为常数则收敛,若不存在则为发散


函数fx[a,b]上除点c外都连续,c为瑕点,索要计算[a,b]区间上的散敛性,将区间ab拆分成,ac,bc


ac和bc又回到上面所述的反常积分情况,区间ac和bc都收敛,那么ab区间收敛,
只要有一个发散,那么ab发散


反常积分常用结论1 (p积分

考点:反常定积分的计算
A可以用p积分结论来做,BCD直接计算定积分,若结果为常数则收敛,其实本质上还是考定积分的计算


考点:分段函数的无穷区间上的反常定积分计算
这里的fx是一个分段函数,而要计算分段函数的反常积分,需要拆分成两个部分,1到e和e到正无穷,要求这两个部分都收敛


考点:ex极限计算(左右有别),定积分计算
第一个0和第二个0代表的正负性是不一样的


考点:同敛性的比较判别法,双瑕端点的散敛性判断
这题要注意,0点是个无界点!所以这个区间ab要拆分成ac和cb,c为了计算方便取1.


计算题,本质还是考定积分的计算。
定积分的计算为非就是3个方法,凑微分,换元和分部积分
这里很明显是两类不同函数相成,用分部积分来做


这题是凑微分,我们一般都会先把e-x消掉


根号一次式,我们直接把令成t,或者另外种方法就是凑根号这个的微分


这一章其实很简单,记住4个公式即可


1表示高为1,底面积×1 = 体积 = 底面积
dσ是微小块面积,一般为dxdy


图形D围绕直线L:ax+by=c旋转,求体积V

2派r(x,y)dσ,dσ是图形上一小块,2派r(x,y)则是圆周长,那么圆周长×面积视为圆环体积

这个圆环体积就是体积微分dv

但是用的多还是这两个公式:



2派 · fx 是圆周长,圆周长×弧长,视作长条侧面积微分

这部分的例题平面面积计算、旋转体积计算和弧长计算,这部分就直接略了,都是直接套公式的题目,把图形画出来就基本没问题了。

这里我觉得主要难题是在物理应用上,做这种题的主要思想是找微元,像在二维平面建立xy轴,一般就是y做微分,切成许多的横条薄片,这一横条薄片做微元在y上积分


抽水主要思想是把水沿着y方向,横向划分成n份不同水块,底面积为S,高为dy,抽水就是把这n份水块从底部移动到顶
口,每个水块移动的距离不一样,最后在y上积分即可


这题是考的 压力=压强×面积
水主要思想是把水沿着y方向,横向划分成n份不同水块,单独考虑这一小水块的压力即可



含有位置函数的导数或者微分的方程称为微分方程

微分方程的解是满足方程的函数

积分曲线是方程的一个解在平面上对应的一条曲线




这个一般需要提一下东西出来,才能看到y/x,

这个方法的本质是将F(x, y, y’)通过变量代换变成F(x, u, u’)方程

原本的F(x, y, y’)不好用分离变量法,换成F(x, u, u’)就好用分离变量法,求得函数G(u,x) = 0满足方程,u用y/x代回去,变成G(x,y) = 0(或者改写成y=g(x)方程)的方程即为答案,

最后如果有初始条件,计算C即可


这个就是直接背公式,注意y’前面系数是1


把yn除过去,会会先一个y1-n,u=y1-n,整理成一阶线性微分方程




这个最简单,直接积分即可


(这里p’就出现dp/dx)再用可分离变量的方程解法



线性微分方程的解的结构 (理论




非齐次方程特解关于非齐次项具有叠加性


二阶常系数齐次线性微分方程


三阶的微分方程怎么算呢?我们发现这个也是常系数微分方程,一样先写特征方程

解一个解是r1=2,将特征方程整理成(r-2)*多项式 = 0,继续解多项式 = 0即可

二阶常系数非齐次线性微分方程


如果fx是多项式*指数函数.

其中Qm(x)与fx中的多项式同次.





那这个就是二阶常系数微分方程,

这里的Dy是y对t求导,因此求出的通解是y=f(t),再换元回来即可。


一阶线性微分方程求解通常有4个思路

  1. 伯努利方程,把yn除过去,令u=y1-n,化成一阶线性微分方程
  • 二阶常系数齐次方程,求特征方程
  • 二阶常系数非齐次方程,,先求齐次方程,第二步设特解y*,待定系数

这题考点是0次齐次微分方程求解法


考点:二阶常系数齐次方程
写出特征方程,求出r1r2


考点:微分方程解的结构
y是二阶常系数非齐次线性微分方程的特解,
重点是找出特解y*,y1和y2是线性无关的函数,
通过y1和y2反推r1r2,找到特征方程,求出a和b


考点:微分方程解的结构,二阶非齐次方程求解
通过齐次方程求得r1r2,找到特征方程,求出a和b

这里的y* = 多项式为Ax+B,指数函数e0x,λ=0,不是根,所以k=0


考点:微分方程解的结构


考点:变上限积分求导,一阶线性微分方程求解


考点:切线方程、一阶微分方程求解

这里的微分一般指全微分公式,全微分又需要求偏导数,所以在多元常考微分,就和偏导数一起考了

概念部分常出小题,考点有判断极限存在,求极限,连续性(一般考一元),偏导数定义,二阶偏导数,全微分定义,全微分存在的必要条件和充分条件

第二部分是多元函数微分法,一般称作计算题,这部分题目一般都是方法性的题目,不难,主要掌握3个微分计算方法,


动点xy是以任意方式趋向x0,y0的


连续性是一个重极限,是一个区域都连续

一阶偏导数的连续也是一个重极限:
f’x是fx对x求偏导
因此也是一个区域D都连续,是一个比较充分的条件


本质上还是函数的增量与x增量的之比值的极限

先代入后求会简化很多很多

f’x几何意义,过点M(x0,y0,f(x0,y0))做平面y=y0与曲面f(x,y)相交,其交线为平面y=y0上的曲线,f‘x(x0,y0)则表示交线在点M处的切线对x轴的斜率



二阶偏导数在区域D连续,则下标可以互换位置


函数的微增量可以写成AΔx + BΔy + o(ρ)的形式,其中A=f’x,B=f’y,是x和y的偏导数,

因此全微分的必要条件是f’x和f’y存在(为常数)




连续、可导、可微之间的关系

多元函数和一元函数的区别主要是偏导引起的


例题 (全微分定义和性质


xy/x2+y2这个是很常见的不连续
可导性需要用偏导的定义来求f’x, f’y,直接看这个极限存不存在即可


这题个人认为是一道难题,需要重点掌握全微分的定义,看出分母部分是动点到定点的距离,分子部分需要凑一个f(x0, y0),凑成形式:Δz - [AΔx + BΔy],那A和B就是f’x和f’y

另外一个解题思路是特殊值法,令fxy = 2x-y+2



我更喜欢叫走路法 doge


这部分的考题还不是很清楚


  1. 直接对方程左右两边求x的偏导,y要视为x的函数
  2. 全微分法,方程左右两边每一项同时求全微分,整理dy和dx,得出dy/dx

直接对x求导,y和z都视为x的函数,
而公式法一般用在F(x,y,z)=0的情况,求F’x时,y和z都作为常数


这部分例题比较容易,但是要细心,对f’1求导时 先把f’1(u,v)写在旁边,对着来求导,就没那么容易错。


这题建议是先代入y后求导



就是直接求,先代入后求导,解1这样做就慢了


考点:二阶微分方程和二阶偏导数

直接方程两边对x求偏导,y和z都看作是x的函数
公式法,求F‘x,一般公式法是用在F(x,y,z)=0的情况,求F’x时,y和z都作为常数


  1. f’x,f’y至少一个不存在的点


我们可以看到要有极值,首先就是该点领域附近有定义,所以端点是取不到极值的,只能取到最值



一般的,我们能够计算f’x=0,f’y=0,我们希望进一步判断是极大值还是极小值

用此条件判断需要f(x,y)在某领域内有二阶连续偏导数

计算AC-B2,判别式大于0,A>0 开口朝上 有极小值,A<0 开口朝下,有极大值


对于1)来说还有一个函数可以用定义来判定,如 f(x,y) = x2y2,在0,0点一定是极小值


什么是条件极值?条件极值是求在g(x,y)=0的条件函数fxy的极值

这里问题的关键是如何解方程组,一般情况下λ=0或者什么=0,分情况讨论

其实就结果直接计算,选最大做极大值,选最小的做极小值


    求f’x f’x,求ABC,或者用拉格朗日乘数法
  1. 求边界上点的极大值和极小值
    这里的边界一般就作为条件函数,化成Gxy=0 用拉格朗日乘数


这一题给了函数的全微分,全微分说明该函数可导且连续,下面要求该点是极大值还是极小值,第一个思路就是求ABC,因为f’x,f’y已经知道了,ABC很好求

第二个思路是直接构造特殊值,凑微分,求出z=f(x,y)



这题直接让我求极值,不难,求f’x=0,f’y=0,ABC就行


这题就是直接考拉格朗日乘数法多元推,难点在怎么解方程组,其实也很好解



这里给了全微分,和初始条件,直接用凑微分法求出原函数,

我要们求最值,需要求两个,1是极值,2是边界上的点,求边界上的最值有两个思路:

  1. 化条件为无条件,y用x表示,或者用参数方程表示y和x

积分微元是平面上的小块 dσ





1)直角坐标系 xy,yx,或者交换次序


这部分主要就是考交换积分次序和计算,
解法很固定,都是先画图,然后选择4种计算方法


直接做不好做,交换积次序




这题考的奇偶性,画出图形,是一个三角形,主要思想就是通过添加辅助线,将图形划分为两个关于x和y轴对称的图形,利用奇函数性质化简



奇函数性质化简,画出图像,使用极坐标,注意三角函数部分的化简,点火公式运用


绝对值的处理,划分区域成D1,D2,D2计算可以用正方形-D1



这题第一个想法是用极坐标计算,但是分子一个x不好计算,
又发现区域D是一个圆,考虑轮换对称性,加一个f(y,x)


区间不动的变量代换: 令x=a+b-t
再利用诱导公式,cos转换成sin,相加进行化简
有点像轮换对称性的思想



这题是函数fxy不变在不同区域种,

另一种考法是不等式性质,在区域D不变,考虑不同的fxy


就是每一项都是常数的无穷项累加

发散通常就是S = 无穷


  1. 级数S收敛,kS也收敛
  2. 级数u和级数v收敛,u+v也收敛
  3. 不存在 + 存在 = 不存在
  4. 不存在+ 不存在 = 不确定

  1. 级数的敛散性只与后无穷项有关
  2. 收敛级数加括号收敛且和不变
  1. 级数加括号收敛,原级数不一定收敛,如 1-1+1-1…
  2. 级数加括号后发散,原级数一定发散,部分发散,整体一定发散

对1举个反例,如1/n的级数发散,但是极限lim un = 0


这部分考题的重点,分成3个部分,

1)是正项级数,就是每一项都大于0,
有4个办法,先用34,比值法和根值法,再用12比较判别法和比较法的极限形式(需要缩放,不好做)

34方法的思想是等比数列的类比
12方法,大收小也收,小散大就散,2和1差不多意思,(2)的①同敛散转换用的挺多


2)交错级数,就是一个正数,一个负数,交错的级数,
用莱布尼茨准则,数列单调 且 lim un=0,则交错级数收敛


用加绝对值的方法,转换成正项级数,若绝对值|S|收敛,则S必收敛,因为大收敛小必收敛
或者利用条件收敛,条件收敛的正/负项构成的级数一定发散,
这是因为S收敛了,而|S|发散,一种特殊情况是S是一正一负抵消了,单独把正项和负项提出来则必发散



A 正确定理,级数收敛,级数加括号也收敛,反之不成立,BD错误
C,un若为交错级数前项加后项抵消,改成减必发散


类比一下泰勒展开,泰勒展开最后高阶无穷小代替,而幂级数是n->无穷的累加和


幂级数S(x)的收敛半径和收敛域的由来

2)幂级数收敛性质只有下面三种可

收敛半径、收敛区间和收敛域


条件收敛则一定是收敛区间的一个端点,刚好是一个临界状态,∑anxn收敛,∑|anxn|发

求收敛半径的两个方法,比值法和根值法,这和?什么很像


1)有理运算性质:加减乘除
R是R1R2中小的那个

anxn·bnxn的系数是有规律的,注意xn的系数:a的i从0到n,b的j从n到0,aibj累加


连续性:收敛区间内连续
可导性和可积性:级数项乘一个或者除一个数不影响收敛区间


求收敛半径就两个求法,比值和根值,注意使用系数算



要求收敛区间,先求收敛半径,收敛区间=(x0-R,x0+R)

难点:判断端点处,x=常数R,变成常数项级数,判断的收敛性,用3类审敛法(正项,交错,任意)



系数一样中心不一样 => 收敛半径一样,收敛域平移

这题考的是阿贝尔定理和收敛域平移



破题关键在于:幂级数定理(条件收敛的临界状态),还有一个思想要掌握是幂级数在x=x0处是常数项级数

级数an在x=1时条件收敛,则an(x-1)在x=2的时候条件收敛,则2是一个端点,x=1又是中心,可以求出收敛区间(0,2)


函数表示成幂级数形式,一种趋近的思想,化曲为直

展开幂级数的两种方法:

间接法,用7个常用公式去凑

幂级数展开的必要条件是fx任意阶可导,

展开中心x0的改变会改变收敛区间,展开中心与收敛半径的关系为(x0-R,x0+R)


这个其实就是泰勒公式,很熟悉的形式

fx任意阶可导 => 泰勒级数在收敛区间内收敛与fx 【充要条件】是 lim Rn = 0



分母因式分解,1/2-x的处理是提一个1/2 分母化成1-x的形式



老样子,分母因式分解拆项,分母提项化成 1/1±x的形式



求导数的级数展开,在积分



求收敛域,先求半径,判断端点




提一个x出去,累加项的导数S’x变成某个函数的级数,两边求积分,注意不是不定积分,


傅里叶级数主要研究周期函数,fx用级数来表示



fx在[-pai,pai]连续且只有有限个第一类间断点,且最多只有有限个极值点,则fx在区间里处处收敛。且有3个收敛公式:连续点,间断点,端点


周期2Π省略,l改成Π即可
用到了积分性质的奇偶性


例题(狄利克雷收敛定理



例题(函数展开傅里叶级数


函数在区间上连续,且为偶函数,
求an、a0即可,bn=0,根据定义写出傅里叶级数
fx写成傅里叶级数,当x=x0时化成某些特殊的常数项级数


定周期T=2l,确定l,
这里还考了奇偶延拓,展开成余弦,说明fx是偶函数,偶延拓



这部分比较简单,主要记住点乘和叉乘的公式,还有几何意义



叉乘求出来的向量同时垂直被计算的两个向量


混合积=先叉乘再点乘,代数上等于求行列式,
轮换对称性和交换变号,其实就是行列式的性质





点到直线距离,用叉乘的模的几何意义



线段绕轴旋转形成的面的方程

柱面方程,核心思想就是消掉一个变量,比如z

常见的二次曲面,知道图像

空间曲线投影,先求柱面,再z=0



求平行z轴的柱面,联立消去z即可


曲线绕轴旋转,绕什么轴,那个字母不动,另一个字母换成√另两个字母的平方合


求曲线在面上的投影,先消元,投影到xoy面上,消去z,投影到xoz面上,消去y


多元微分学在几何上的应用



到了曲线上求的就是切向量了



在点(0,1,-1)处,可以通过F’x F‘y F’z求法向量,再用点法式求切平面


绕y轴旋转,y不变,x变换,求的F’xF’yF’z



面与面平行,则它们的法向量平行,求出切点,代回求得法向量,点法式求平面



1)直角坐标,先1后2,


如果fxyz只有z,后面积分部就计算横截面积








主要是能画出图像,第一个是圆锥面,第二个柱面



性质:积分路径与结果无关


直接把弧微分展开,常用参数方程(极坐标)


对x、y等垂直方向积分,

曲线封闭吗?是,green公式,积分路径无关吗?否,参数方程(极坐标)或者补线用green


直接法,用参数方程x、y都换成一个t,对t积分


逆时针正向,顺时针要加负号




x奇函数,图像关于y对称,




也是直接法、奇偶性、轮换对称性
Dxy是投影域,扁平到平面中,函数×曲线翘值



直接法,把z换成xy的表达,投影成二元的平面积分


变成空间三重积分,要求分片光滑封闭空间曲面


一类面积分,直接法,利用公式即可,
变成投影域的二重积分,被积项=函数×曲面翘值



这题一看就是利用高斯公式好点,补一个面

补充形心,是ρ视为1常数的特殊质心

记住第二列即可,其他列可以推导
关键是写出F的向量,这是一个二类线积分


形心,ρ视为1常数的特殊质心



注意这里的cos是【l向量】 的方向余弦,要单位化




用方向导数定理(定义不好做),再用拉格朗日乘数法计算最值




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